§4.01-角的概念的推广
角的概念的推广
朵红缨的亮蓝色破钟一样的短发，戴着一顶狼狈的亮橙色面包一般的黑熊飞花帽，她上穿有角的深绿色洋葱形态的牙刷流光豹海袄，下穿瘦小的的锅底色蛤蟆样的警灯
鸟毛裤，脚穿古古怪怪的绿宝石色熏鹅形态的驴怪树皮靴。另外这人身后还有着破烂的淡绿色企鹅模样的二对翅膀。整个形象好像极品的朦胧温柔……女中将罗旺桑娆
嘉妖女长着凸凹的纯红色鸭蛋造型的脑袋和突兀的浅橙色胶卷样的脖子，最出奇的是一张轻灵的暗绿色橘子一般的脸，配着一只异常的银橙色被套模样的鼻子。鼻子上
y
| 45 k 360, k z
o
45
405
x
| 405 k 360 , k z
y
| k 360, k z
o
x
1、可为任意角
2、“”也可改成“”，此时为
3、k的两层含义： （1）特殊性：每对k赋一个值可得一个具体角；
（2）一般性：表示了所有与终边重合的角的集合.
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《角的概念的推广》课件
相关角和同位角
相关角和同位角是角度之间重要 的关系，它们常常在几何证明和 角度测量中发挥重要的作用。
角的应用
1
三角函数中的角
角在三角函数中起着关键的作用，它是计
圆周角和弧度制
2
算三角比例和解决三角问题的基础。
圆周角是一种特殊的角度，并且弧度制是
用于测量角度的一种更准确的方法。
3
角的测量技巧
了解角的测量技巧可以帮助我们更准确地 计算和描述角，并在几何证明中运用它们。
结语
角的重要性再强调
角在几何学和实际应用中具有广泛的重要性，深入理解 角的概念对于数学学习和问题解决至关重要。
角的前景展望
随着科学技术的发展和应用的拓展，对角的研究和应用 将不断深入，为人们创造更多的可能性。
角的度量可以用角度或弧度表 示，不同的测量方法在不同的 应用中具有重要的意义。
角的分类
角可以根据其大小和特性进行 分类，如锐角、直角和钝角等有独特的性 质，这些性质对于解决几何问题 和应用中的角起着重要的作用。
互补角和补角
互补角和补角是角度的重要概念， 它们与角的大小和关系有着密切 的联系。
《角的概念的推广》PPT 课件
通过简洁明了的介绍，本课件旨在深入浅出地推广角的应用和提高受众对角 的认识。
引言
角是几何学中重要的概念之一，在数学和实际生活中具有广泛的应用。本节 将介绍角的含义以及角在几何中的重要性。
角的基本概念
角定义
角是由两条射线共同确定的图 形，它是标志性的几何元素之 一。
角的度量和表示方法
角概念的推广
角概念的推广一、知识点归纳1．角概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2．象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，它叫轴线角。
3．终边相同的角的表示：终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等。
4. 几种终边在特殊位置时对应角的集合为：角的终边所在位置 角的集合X 轴正半轴{}Z k k ∈︒⨯=,360|ααY 轴正半轴{}Z k k ∈︒+︒⨯=,90360|αα X 轴负半轴{}Z k k ∈︒+︒⨯=,180360|αα Y 轴负半轴{}Z k k ∈︒+︒⨯=,270360|ααX 轴{}Z k k ∈︒⨯=,180|ααY 轴{}Z k k ∈︒+︒⨯=,90180|αα坐标轴{}Z k k ∈︒⨯=,90|αα5、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k kαα⋅+<<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z二、例题解析例1、自上午8点整上学到中午11点40分放学，时钟的时针和分针各转了多少度？上午8点整和中午11点40分两针所成的最小正角各是多少度？例2、给出下列命题：①小于90的角是锐角；②第二象限的角是钝角；③相等的角必是终边相同的角；④若角α和β有相同的终边，则βα-的终边必在x 轴的正半轴上.其中正确的命题序号是______________ 例3、已知 1845-=θ，在与终边相同的角中，求满足下列条件的角：（1）最小的正角 （2）最大的负角 （3）在720~360-内的角例4、若α为第三象限角，则α-，α2的终边落在何处？练习4.1、已知α为第一象限角，求α21-180是第几象限角.例5、已知α为第三象限角，求32αα，所在的象限 例6、已知集合{}Zk k k A ∈+⋅<<+⋅=,9018030180 αα，集合{}Zk k k A ∈+⋅<<-⋅=,4536045360 αα。
角概念的推广
(3)终边在第一 ,三象限的角集合是
k •1800 k •1800 900, k Z
(4)终边在第二 ,四象限的角集合是
k •1800 900 k •1800 1800, k Z
问题3(1)600 k 3600, k Z的一半
y
300
0
X
300
2、写出下列各角终边相同的角的集合S,并
把S中适合不等式 360 720的元素来；
(1)60 (2) 21 (3)36314
1.判断角在哪个象限, 只需把改写成
k 3600 0 , 其中00 0 3600
2若已知: 角满足1 k 1800 2 k 1800
§4.1角的概念的推广(2)
复习：
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角
1.任意角的概念 负角：射线按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
1)置角的顶点于原点
2.象限角
2)始边重合于X轴的正半轴 终边落在第几象限就是第几象限角
3 . 终边与 角ａ相同的角 ａ＋K3600，K ∈ Z
1是任意角2k Z 3k • 3600与之间是""号
E k 3600 2250或k 3600 450, k Z
则相等的集合为 B和D，C和E
2.如图终边落在阴影处 (包括边界 )的角集合为 D
A. 600 600, k Z
B. k 1800 600 k 3600 300, k Z C. k 3600 300 k 3600 600, k Z D. k 3600 600 k 3600 300, k Z
是否在第一象限?
(2)若已知: 角满足1 k 3600 2 k 3600
角的概念的推广
角的概念的推广角是几何学中的重要概念，它在日常生活中的应用广泛且重要。
角的概念使我们能够更好地理解和描述物体之间的关系，从而更好地解决实际问题。
本文将探讨角的概念以及它在不同领域的推广应用。
一、角的定义和性质角是由两条射线共同起源的部分平面，常用三个字母表示。
根据角的大小，可以将角分为锐角、直角和钝角。
锐角指小于90度的角，直角指等于90度的角，钝角指大于90度但小于180度的角。
角的大小可以通过角度来测量，角度是角所对应的弧长在单位圆上的长度比值。
除了大小外，角还具有其他一些重要性质。
首先，两个角互为补角当且仅当它们的和为90度。
其次，两个角互为余角当且仅当它们的和为180度。
此外，角的顶点、起始射线和终止射线确定一个平面。
这些性质为我们研究角的性质和应用提供了基础。
二、角的推广应用1. 几何学中的角在几何学中，角是研究平面和空间图形间相对位置关系的重要工具。
角的推广应用在多边形的研究中尤为重要。
例如，我们可以通过计算多边形的内角和来判断它们的类型，进而帮助解决诸如平行四边形的判定、多边形的内切圆问题等。
2. 物理学中的角角的概念在物理学中也有着广泛的应用。
例如，角度被广泛用于描述力的作用方向和大小。
在机械学中，角度还用于描述转动运动和力矩的计算。
此外，角速度和角加速度也是物理学中经常使用的概念，通过这些概念可以描述物体的旋转状态以及旋转的快慢程度。
3. 工程学中的角在工程学中，角的概念被广泛应用于测量和布局。
例如，利用角度可以确定建筑物的方向，帮助制定建筑物的布局方案。
此外，在电气工程中，角度也用于描述交流电的相位差，从而确定电路中电压和电流的相对位置。
4. 地理学中的角在地理学中，角被广泛应用于测量和描述地球表面上的地理位置和方向。
例如，利用经纬度可以确定地理位置的坐标，并且通过计算角度可以确定两个地点之间的方位角和航向角。
这些信息对于导航和地图制作非常关键。
5. 计算机图形学中的角在计算机图形学中，角的概念被广泛用于描述和渲染三维图形。
角的概念的推广
例4.写出终边在Y轴上角的集合（用 00 到3600的角表示）
写出第三象限角的集合
例1,已知集合A 第一象限角，B 锐角，
C 小于90。的角， 则下列正确的是
A.A B C C.A C B
B.A C
D.以 上 都 不 对
作业：
P 课本 7 习题4.1
1 （3）（4）（7）（8）、 2 3（3）（4）（7）（8）、 4
可构成一个集合 ：
S | k 360 ,k Z
即：任一与角 终边相同的角，都可以表 示成角 与整数个周角的和。
例1,已知集合A 第一象限角，B 锐角，
C 小于90。的角， 则下列正确的是
A.A B C C.A C B
B.A C
D.以 上 都 不 对
例2．在 0 到 360 范围内，找出与下列
数学之友P68T4.1
4.1 角的概念的推广
1．角的定义：一条射线绕着它的端点 O，从起始位置OA旋转到终止位置OB， 形成一个角a，点 O是角的顶点，射线 OA、OB分别是角a的始边、终边。
2．角的分类： 正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称 它为零角。
各角终边相同的角，并判断它们是第几 象限角：
（1）120 （2）640 （3）950 12
练．若 k 360 1575 , k Z，
试判断角所在象限。
例3．写出与下列各角终边相同的角的 集合S，并把S中适合
不等式 360 72；
（3） 363 14 ．
3．象限角： 在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点 重合，角的始边与X轴的非负轴重合，则 （1）象限角：若角的终边（端点除外）在 第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
下学期 4.1 角的概念的推广
下学期 4.1 角的概念的推广引言角的概念是几何学中的重要内容之一，在数学教学中扮演着至关重要的角色。
本文旨在推广下学期 4.1 角的概念，通过对角的基本概念、角的分类以及角的性质等方面深入探讨，帮助读者更好地理解和应用角的相关知识。
一、角的基本概念角是由两条射线共享一个公共点而形成的图形。
其中，公共点称为角的顶点，两条共享的射线称为角的边。
角可以用大写字母表示，常用符号包括∠ABC、∠PQR 等。
角的顶点位于角所在的平面上。
二、角的分类根据角的大小，角可以分为三类：锐角、直角和钝角。
1.锐角：角的大小小于 90 度（即 90°）的角被称为锐角；2.直角：角的大小为 90 度（即 90°）的角被称为直角；3.钝角：角的大小大于 90 度（即 90°），但小于 180 度（即 180°）的角被称为钝角。
三、角的性质角的性质涉及到角的度数、角的相等以及角的补角和余角等方面。
1.角的度数：角的大小通常用度数来表示，一个完整的圆周共有 360 度（即360°）。
因此，一个直角是 90 度（即 90°），一个钝角是大于 90 度（即 90°）但小于 180 度（即 180°）。
2.角的相等：如果两个角的度数相等，则这两个角是相等的。
表示相等的符号为“=”。
例如，∠ABC = ∠DEF 表示角 ABC 和角 DEF 是相等的。
3.角的补角和余角：两个角的度数之和等于 90 度（即 90°）的角被称为互补角，互补角之间的度数比例为1:1。
两个角的度数之和等于 180 度（即 180°）的角被称为余角，余角之间的度数比例为1:1。
四、角的应用角的概念在几何学和物理学中有广泛的应用。
以下是角的一些应用：1.幾何形狀的描述：角可以用来描述和区分不同的几何形状，例如直角三角形、等边三角形等；2.方向指示：角可以用来表示方位和方向，例如在地图上表示风向；3.视角计算：在物理学中，角可以用来计算物体的可见度和视角；4.旋转和转动：在运动学中，角可以用来描述物体的旋转和转动状态。
角的概念的推广
4.1 角的概念的推广教学目标1.理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；2.能在0°和360°范围内，找出与此范围外每一个已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角；能写出与任一已知角终边相同的角的集合；3.能树立运动变化的观点，深刻理解推广后的角的概念；4.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律提示生活中的空间形式和数量关系．教学建议1．关于角的概念的推广的知识结构本小节内容从角不大于周角的非负角开始扩充到任意角，使角有正角、负角、零角之分。
在平面直角坐标系内建立适当的直角坐标系后，根据角的终边在哪一象限，把角划分为四个象限和特殊角等若干类，于是引入了第几象限角和终边相同的角的集合这样两个概念。
再由特殊到一般进行归纳总结.2．关于角的概念的推广的重点、难点分析本节的重点是任意角的概念和象限角的概念；难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．可以通过实例帮助建立任意角的概念，如用扳手拧螺母；车轮转动辐条形成的角，特别是钟表的指针转动，因为正角、负角是依据逆时针和顺时针来定义的．建立直角平面坐标系的前提是：角的顶点和坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合．在这个前提下角的终边落在第几象限就称为第几象限的角，若终边落在坐标轴上，称为坐标轴上的角．为了加深对任意角概念的理解，应正确区分锐角、的角、小于的角．凡与角终边相同的角均可以写作．这一条件不可少，它表明了与终边相同的角都相差的整数倍，或者在形成角的过程中，每当射线绕原点转一圈时，就会出现一个与终边相同的角，经常使在之间，求终边相同的角，可用此角去除以，使余数在之间．3．关于角的概念的推广的教法建议（1）建议通过实例帮助建立任意角的概念，如用扳手拧螺母；车轮转动辐条形成的角，特别是钟表的指针转动，因为正角、负角是依据逆时针和顺时针来定义的．也就是用运动的观点来讲述角的概念的推广实际意义．（2）正角与负角的规定是出于习惯，就和正数、负数规定一样。