角的概念的推广
3.1角的概念的推广与任意角的三角函数
∴cos6－sin6>1，∴lg(cos6－sin6)>0. sincosθ sincosθ ∴ <0.∴ 的符号是负号． cossin2θ cossin2θ ∴lg(cos6－sin6)的符号为正号．
题型3.三角函数的定义 例5(1)已知角 的终边上一点 P (
且 sin 2 4 y , 求 cos
1 a
sin（ cos ）
cos sin 2 ） （
的符
（3）已知点P(sinα-cosα，tanα）在第一象限， 则在[0,2π）内α的取值范围。
cos （4）已知 sin ， ，若θ为第二象 1 a 1 a 限角，求实数a的取值范围。 3a 1
5、如果α是第三象限，那么-α， α/2,2 α的终边落在何 处？（用图表示）
练习： 已知α是第二象限的角 • (1)指出 所在的象限，并用图形表示其 变化范围． • (2)若α同时满足条件|α＋2|≤4，求α的取 值区间．
题型2.三角函数符号的判断
例4 sincosθ (1)若 θ 是第二象限角，判断 的符号； cossin2θ
(2)确定 lg(cos6－sin6)的符号．
3.1 角的概念的推广与 任意角的三角函数
一、知识点 1.角的概念的推广 (1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转) (2)终边相同角的表示: k 360 0 (k Z ) (3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角. 如：终边在x轴上的角 k ( k Z ) (4)有关对称角的关系 X 轴， y轴 ，原点 如：关于y 轴对称的角 2k ( k Z ) 2.角的度量 (1)角度制与弧度制的概念 180 180 ( 弧度 ) 1弧度 ( ) 57 1 8 (2)换算关系: (3)弧长公式:l r
角的概念的推广概念
角的概念的推广概念角是数学中非常重要的概念，它是指由一个初始点出发，以一定的角度旋转后所形成的图形。
它可以帮助我们理解和描述事物之间的关系以及解决各种实际问题。
然而，角的概念可以进一步推广到更复杂的形式，从而应用于更广泛的领域。
首先，角可以分为几何角和平面角。
几何角是指由两条射线构成的图形，其中初始射线称为边，旋转的射线称为腿。
平面角则是指在一个平面上的角。
几何角和平面角可以相互转换，并且可以按照大小进行比较。
角的概念可以推广到三维空间中。
在三维空间中，角可以由两个非共线的向量构成，并且可以通过点乘和向量的模运算来计算角度。
三维空间中的角可以用来描述物体之间的关系，例如两个平面的夹角或者两个直线的夹角。
角的概念也可以推广到曲线上。
在曲线上，可以定义曲率角，它是指曲线在某一点上的切线与某一特定方向的夹角。
曲率角可以用来描述曲线的弯曲程度，例如在数学和物理学中常用来描述曲线运动的轨迹。
此外，角的概念还可以应用于三角函数中。
三角函数是以角作为自变量的函数，它们描述了角和直角三角形之间的关系。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们在数学和物理学中有广泛的应用，例如在解决三角形的边长和角度问题中。
在物理学中，角的概念也有广泛的应用。
例如，角动量是物体旋转运动的重要物理量，在刚体力学和量子力学中都有非常关键的作用。
角速度也是用来描述物体旋转运动的重要概念，它是物体单位时间内旋转的角度。
在计算机图形学和计算机游戏中，角的概念也有重要的应用。
例如，计算机游戏中的角色会随着玩家操作而改变角度，而计算机图形学中的三维模型也是由许多角所构成的。
因此，理解和运用角的概念对于计算机图形学和游戏开发非常关键。
总之，角是数学中的重要概念，它可以被推广到几何角、平面角、三维空间角、曲线上的角、三角函数中的角，甚至在物理学和计算机科学中有广泛的应用。
理解和掌握角的概念，可以帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。
角的概念的推广
第三象限角的集合：
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
第四象限角的集合：
第三象限角的集合：
{x | k 360 180 x k 360 270, k Z}
例1. 在 - 720到720之间，写 出与60角终边相同的角的集合M.
例1. 在 - 720到720之间，写 出与60角终边相同的角的集合M. 例2. 求终边为直线y x的角的集合.
例3. 已知 是第二象限角，
问：12 是第几象限角？ 2 是第几象限角？
2
3 是第几象限角？
3
课堂练习
1. A {小于90的角}，B {第一象限
的角}，则A B （ ）
A.{锐角}
B.{小于90的角}
C.{第一象限的角} D.以上都不对
2. 若90 135, 则 的范围是______, 的范围是_______ .
3. 与- 457角终边相同的角的集合是：
A.{ | k 360 457, k Z} B.{ | k 360 97, k Z} C.{ | k 360 263, k Z} D.{ | k 360 263, k Z}
角的概念的推广
一、复习
1.初中是如何定义角的？
二、角的概念的推广：
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
O
A
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
O
A
二、角的概念的推广： 1.“旋转”形成角.
B
角的概念的推广
角的概念的推广角是几何学中的重要概念，它在日常生活中的应用广泛且重要。
角的概念使我们能够更好地理解和描述物体之间的关系，从而更好地解决实际问题。
本文将探讨角的概念以及它在不同领域的推广应用。
一、角的定义和性质角是由两条射线共同起源的部分平面，常用三个字母表示。
根据角的大小，可以将角分为锐角、直角和钝角。
锐角指小于90度的角，直角指等于90度的角，钝角指大于90度但小于180度的角。
角的大小可以通过角度来测量，角度是角所对应的弧长在单位圆上的长度比值。
除了大小外，角还具有其他一些重要性质。
首先，两个角互为补角当且仅当它们的和为90度。
其次，两个角互为余角当且仅当它们的和为180度。
此外，角的顶点、起始射线和终止射线确定一个平面。
这些性质为我们研究角的性质和应用提供了基础。
二、角的推广应用1. 几何学中的角在几何学中，角是研究平面和空间图形间相对位置关系的重要工具。
角的推广应用在多边形的研究中尤为重要。
例如，我们可以通过计算多边形的内角和来判断它们的类型，进而帮助解决诸如平行四边形的判定、多边形的内切圆问题等。
2. 物理学中的角角的概念在物理学中也有着广泛的应用。
例如，角度被广泛用于描述力的作用方向和大小。
在机械学中，角度还用于描述转动运动和力矩的计算。
此外，角速度和角加速度也是物理学中经常使用的概念，通过这些概念可以描述物体的旋转状态以及旋转的快慢程度。
3. 工程学中的角在工程学中，角的概念被广泛应用于测量和布局。
例如，利用角度可以确定建筑物的方向，帮助制定建筑物的布局方案。
此外，在电气工程中，角度也用于描述交流电的相位差，从而确定电路中电压和电流的相对位置。
4. 地理学中的角在地理学中，角被广泛应用于测量和描述地球表面上的地理位置和方向。
例如，利用经纬度可以确定地理位置的坐标，并且通过计算角度可以确定两个地点之间的方位角和航向角。
这些信息对于导航和地图制作非常关键。
5. 计算机图形学中的角在计算机图形学中，角的概念被广泛用于描述和渲染三维图形。
角的概念的推广
角的概念的推广§2角的概念的推广一、教学目标1、知识与技能：（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。
2、过程与方法：类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点重点:理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。
难点:把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
三、学法与教法在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。
教法:类比探究交流法。
四、教学过程（一）、创设情境，揭示课题同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。
但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。
角的概念的推广思政要点
角的概念的推广思政要点
角的概念的推广涉及到数学、物理、地理、文化等多个方面，以下是思政要点:
1. 角的静态定义和动态定义：角的静态定义是指具有公共端的
两条射线组成的图形，而动态定义是指一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
角的大小与边的长短没有关系，而决定于角的两条边张开的程度。
2. 角的种类：角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0 角等 10 种。
3. 角的符号：角的符号是以角度为单位的，通常用符号“°”
表示，例如 90°表示一个直角。
4. 角的测量：角的测量通常使用角度计或量角器等工具，其中
角度计可以测量任意角度，而量角器只能测量固定角度。
5. 角在物理中的应用：角在物理学中有许多应用，例如在几何
学中，角可以用来描述平面几何中的角度和线段长度之间的关系;在
力学中，角可以用来描述物体的运动轨迹和受力情况。
6. 角在地理中的应用：角在地理学中也有许多应用，例如在地
图上，角可以用来描述两个地点之间的夹角，以及地图上各种线条的夹角。
7. 角的文化意义：角在中国传统文化中具有重要的象征意义，
例如在古代社会中，角被广泛用于装饰和祭祀活动中，代表着权力、荣誉和信仰等意义。
角的概念的推广涉及到多个学科领域，需要从多个角度进行思考和理解，有助于提高人们的综合素质和跨学科思维能力。
角的概念的推广——任意角
(二)角的分类:
正角：按逆时针方向旋转所形成的角. 2100 如α=210º.
负角：按顺时针方向旋转所形成的角.
如α=-150º.
-1500
零角：没有作任何旋转的角.记作α=0º.
角的概念推广后，它包括任意大小的正角、负角 和零角
注意
⑴在不引起混淆的情况下，“角 ” 或“∠ ”可以简化成“ ”；
90°+k∙360° y x 0
270°+k∙360°
S1={β|β=90°+k∙360°,k∈Z} ={β| β=90°+2k·180°,k∈Z}
终边落在ｙ轴负半轴上的角的集合为 S2={β| β=270°+k∙360°,k∈Z} ={β| β=90°+(2k+1) ·180° ,k∈Z}
∴终边落在ｙ轴上的角的集合为 S=S1∪S2 ={β| β=90°+n∙180° ，n∈Z}
00 3600 k 900 3600 k k Z
第二象限角的表示方法：
900 3600 k 1800 3600 k k Z
第三象限角的表示方法：
1800 3600 k 2700 3600 k k Z
第四象限角表示方法：
2700 3600 k 3600 3600 k k Z
◆
10、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。。09:29:5509:29:5509:291/5/2022 9:29:55 AM
◆
11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。。22.1.509:29:5509:29Jan-225-Jan-22
◆
12、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。。09:29:5509:29:5509:29Wednesday, January 05, 2022
中职数学-4.1角的概念的推广
分针按逆时针方向旋转2周形成的角，记作720°，如图(1)所示； 分针按顺时针方向旋转2周形成的角，记作-720°，如图(2)所示.
(1)
开始/结束
(2)
开始/结束
4.1.1 任意角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
通常使用角的顶点或顶点与始边、终边上的字母来表示 角.例如,下图中的角,可以记作“∠AOB”或“∠O”.
4.1.1 任意角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
3．在平面直角坐标系中, 分别作出下列各角, 并指出 它们是第几象限角：
(1) 460° ； (2) 945°； (3) −200° ； (4) −700° ．
4.1.2
终边相同的角
4.1.2 终边相同的角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
4.1.1 任意角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
规定：一条射线绕其端点按逆时 针方向旋转形成的角称为正角,如图(1) 所示；按顺时针方向旋转形成的角称 为负角,如图(2)所示．
如果一条射线没有做任何旋转,也 认为形成了一个角,这个角称为零角.
4.1.1 任意角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
4.1.1 任意角
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
角α是第一象限角
GO
角β是第三象入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何一个象限，称 为界限角．如, 0°,90°,180°,360°,−90°角都是界限角．