2019高考理数小题专练：(6)数列

合集下载

2019年高考试题汇编理科数学--数列(2021年整理精品文档)

2019年高考试题汇编理科数学--数列编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考试题汇编理科数学--数列）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019年高考试题汇编理科数学--数列的全部内容。

（2019全国1理）9。

记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和。

已知40S =，55a =，则（） A 。

25n a n =- B 。

310n a n =- C 。

228n S n n =- D 。

2122n S n n =- 答案： A 解析：依题意有415146045S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩,可得132a d =-⎧⎨=⎩，25n a n =-,24n S n n =-.（2019全国1理)14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若113a =，246a a =，则5S = .答案： 5S =1213解答:∵113a =,246a a =设等比数列公比为q∴32511()a q a q =∴3q = ∴5S =12132019全国2理）19。

已知数列{}n a 和{}n b 满足11=a ，01=b ，4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b . （1）证明： {}n n b a +是等比数列，{}n n b a -是等差数列; （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式。

答案：（1）见解析（2）21)21(-+=n a n n ，21)21(+-=n b n n 。

解析：(1）将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 相加可得n n n n n n b a b a b a --+=+++334411, 整理可得)(2111n n n n b a b a +=+++，又111=+b a ，故{}n n b a +是首项为1，公比为21的等比数列. 将4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b 作差可得8334411+-+-=-++n n n n n n b a b a b a ,整理可得211+-=-++n n n n b a b a ，又111=-b a ，故{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列。

2019年高考理数——数列(解答)

2019年高考理数——数列1.(19全国二理19．（12分）)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-. （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.2.(19北京理（20）（本小题13分）)已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p <q ，求证：0m a <0n a ；（Ⅲ）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式．3.(19天津理19．（本小题满分14分）)设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,1,,k k n kk c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N ．（i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式；（ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N ．4. (19浙江20．（本小题满分15分）)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n c n *=∈N证明：12+.n c c c n *++<∈N L5.(19江苏20．（本小满分16分）)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．参考答案：1.解：（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+．又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+．又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-．所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-， 111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．2.解：（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一）（Ⅱ）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为1210,,,,q r r r n a a a a -L . 由p <q ，得10p q r r n a a a -≤<.因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a ，又12,,,p r r r a a a L 是{}n a 的长度为p 的递增子列，所以0p m r a a ≤. 所以00m n a a <·（Ⅲ）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m −1之前（m 为正整数）. 假设2m 排在2m −1之后.设121,,,,21m p p p a a a m --L 是数列{}n a 的长度为m 末项为2m −1的递增子列，则121,,,,21,2m p p p a a a m m --L 是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m .因为2k 排在2k −1之前（k =1，2，…，m −1），所以2k 和21k -不可能在{}n a 的同一个递增子列中.又{}n a 中不超过2m +1的数为1，2，…，2m −2，2m −1，2m +1，所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m mm --⨯⨯⨯⨯⨯⨯=<L 1442443个. 与已知矛盾.最后证明：2m 排在2m −3之后（m ≥2为整数）.假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m −3之前，则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m .与已知矛盾.综上，数列{}n a 只可能为2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…. 经验证，数列2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…符合条件. 所以1,1,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.3.（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意得2662,6124,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,2,d q =⎧⎨=⎩故14(1)331,6232n nn n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯．所以，{}n a 的通项公式为{}31,n n a n b =+的通项公式为32n n b =⨯．（Ⅱ）（i ）解：()()()()22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-．所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()221941n n n a c -=⨯-．（ii ）解：()()22221111211n n niini iiiiii i i i a c a a c a a c====⎡⎤=+-=+⎣⎦-∑∑∑∑()()12212439412n n n ni i =⎛⎫- ⎪=⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭∑()()2114143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n --=⨯+⨯--∈N ．4.（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ．所以2*n S n n n =-∈N ，，由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++．解得()2121n n n n b S S S d++=-．所以2*,n b n n n =+∈N ．（2）*n c n ===∈N ．我们用数学归纳法证明．（i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；（ii ）假设()*n k k =∈N时不等式成立，即12k c c c +++<L 那么，当1n k =+时，121k k c c c c +++++<<L <==．即当1n k =+时不等式也成立．根据（i ）和（ii），不等式12n c c c +++<L 对任意*n ∈N 成立．5.解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k kq k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=．令()0f 'x =，得x =e.列表如下：x (1,e)e (e ，+∞) ()f 'x+0 –f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取33q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤，经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．。

山东各地2019高考数学(理科)最新试题分类大汇编6：数列(2)

山东各地2019高考数学（理科）最新试题分类大汇编6：数列（2）【一】选择题【山东省烟台市2018届高三期末检测理】5.数列{}n a 满足2,11+==+n n a a a a 。

定义数列{}n b ，使得nn a b 1=，*N n ∈。

假设4<a < 6,那么数列{}n b 的最大项为 A. 2bB. 3bC. 4bD. 5b【答案】B那么数列{}n a 前11项的和S11等于A. 24B. 48C. 66D. 132【答案】D【山东省潍坊市三县2018届高三12月联考理】3. 数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且)(*1N n a a b n n n ∈-=+假设b 3=－2，b 2=12，那么a 8=A 、0B 、3C 、8D 、11 【答案】B【山东省阳信一中2018届高三上学期期末理】14、数列}{na 的各项均为正数，满足：对于所有*N ∈n ，有2)1(4+=n n a S ，其中n S表示数列}{na 的前项和、那么=∞→nn a n lim A 、 B 、 C 、21 D 、【答案】C【山东枣庄市2018届高三上学期期中理】4、设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，2553,9,a a S ==则等于〔〕 A 、15B 、20C 、25D 、30【答案】C【山东省枣庄市2018届高三上学期期末理】12.数列{}n a 中b a a a ==21,，且满足,21+++=n n n a a a 那么2012a 的值为A.bB.b —aC.—bD.—a 【答案】A【山东实验中学2018届高三第一次诊断性考试理】4. {a n }为等差数列，其公差为 (A).-110 (B).-90 (C).90 (D).110 【答案】D【解析】解：a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为-2，所以a 72=a 3•a 9，所以a 72=〔a 7+8〕〔a 7-4〕，所以a 7=8，所以a 1=20，所以S 10=10×20+10×9/2×(-2)=110。

全国通用2019-2020高考数学(理)试题汇编第六章数列含解析

第六章数列第一节等差数列与等比数列题型67等差（等比）数列的公差（公比）1.(2017北京理10)若等差数列an 和等比数列bn满足a1b –11，a b 844，则a2b2解析_______.由a 1，a 8，则a a d 132，由b 1，b 8，则q 2 142114，则b b q 2 21.故a221b22.2.（2017全国1理4）记S为等差数列n an 的前n项和．若a a 24，S 48，则{a}456n的公差为（）.A．1B．2C．4D．8解析a a a 3d a 4d 24 4511，S 6a61652d 482a7d 24，联立6a15d 48①②①3②，得2115d24，即6d 24，所以d 4.故选C.3.（2017全国2理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）.A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏解析设顶层灯数为a1，q 2，S7a121127381，解得a 31．故选B.4.（2017全国3理14）设等比数列___________．a满足a a –1，a–a –3，则a n12134解析因为a n为等比数列，设公比为．由题意得a a 112a a 313a aq 1，即a aq 311q1 121 1②①1显然q 1， a0 1，式② 式①，得 1 q 3 ，即 q2，代入 ① 式可得 a 1 1，所以 aa q 413128．题型 68等差、等比数列求和问题的拓展1.（2017 全国 1 理 12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是 2 ，接下来的两项是 2 ， 2 ，再接下来的三项是 2 ， 2 ， 2 ，依此类推.求满足如下条件的最小整数 N ：N 100 码是（）.且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活A.440B.330C.220D.110解析设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推． n1n设第 n 组的项数为 n ，则 n 组的项数和为，由题意得， N100 ，令 2n1n2100 ，得 n ≥ 14 且 n N*，即 N 出现在第 13 组之后，第 n 组的和为1 2n 1 22 n1， n 组总共的和为2 12n1 2n 2n 12 n，若要使前 N 项和为 2 的整数幂，则 Nn1n2项的和 2k 1应与2 n 互为相反数，即 2k1 2 nk N *，n ≥14，k log2n 3，得 n 的最小值为n 29 ，k 5，则 N2912925 440 .故选 A.2.2017 山东理 19）已知xn是各项均为正数的等比数列，且xx3 ， xx2 1232，x 的通项公式；（1）求数列n（2）如图所示，在平面直角坐标系 xOy中，依次联结点P x ，1，Px ，21122，…，P n 1x , n 130 0 1 0 1 2得到折线PP n 112Pn1，求由该折线与直线y0，x x，x x1n 1所围成的区域的面积T.n2解析（1）设数列{x}n的公比为，由已知q 0.由题意得x x q 311x q2x q 211，所以3q25q 20，因为q 0，所以q 2,x 11，因此数列{x}n的通项公式为x 2n 1.n（2）过P,P,P,,P123n 1向轴作垂线，垂足分别为Q ,Q,Q,,Q123n 1，由（1）得xn 1x 2n 2n 12n 1. n记梯形P P Q Q的面积为b.n n 1n 1n n由题意bn (n n 1)22n 1(2n 1)2n 2，所以T b b bn1bn31n n n n①又2T 32n0521722(2n 1)2n 2(2n 1)2n 1②①②，得T 3n 1n n n 232n 1( n n 1(21所以Tn (2n 1)22n1.qx3题型69等差、等比数列的性质及其应用1.（2017江苏09）等比数列a的各项均为实数，其前n项的和为nSn，已知S374，63S ，则a4．解析解法一：由题意等比数列公比不为1S，由S a 1q 371q4a 1q 6631q4，因此S S61q339，得q 2．又S a a a a1q q3123127a171，得a ，所以a a q44732．故填32．7S4解法二（由分段和关系）：由题意S S q3S63法一．634，所以q38，即q 2．下同解2.（2017全国2理15）等差数列a n的前n项和为Sn，a 33，S 104，则n1Sk 1k．解析设an 首项为a，公差为d ．由a a 2d 3，S 4a 6d 10，得a 1，d 1，1 3 1 4 1 1所以a nn，Sn nn12，n 122S 1223 k 1 k22n n 1n n 1111212231111n 1n n n 112n 21n 1n 168361181133.4题型70判断或证明数列是等差、等比数列1.（2017江苏19）对于给定的正整数k，若数列an满足a nakan1k1na1na+a2k对a任意正整数nn k 1n k n总成立，则称数列a n 是“Pk数列”．（1）证明：等差数列a n 是“P3数列”；（2）若数列a n 既是“P 2数列”，又是“P 3数列”，证明：a n是等差数列．解析（1）因为a n 是等差数列，设其公差为d，则a a n 1d，n1从而当n…4时，an k an kan k 1d a n k 1d =112a 2n 1d2a，k 1,2,3，1n所以an 3an 2+an1+an 1an 2+an 36a ，因此等差数列a是“P 3数列”．n n（2）由数列a n既是“P 2数列”，又是“P 3数列”，因此，当n…3时，an 2an 1an 1an 24an①当n…4时，an 3an 2an 1an 1an 2an 36an②由①知，an 3an 24a n 1aann1n≥4③a n 2an 34a n 1a n 1ann≥2④将③④代入②，得an 1an 12a，其中n…4，n所以a,a,a,是等差数列，设其公差为d345．在①中，取n 4，则a a a a 4a，所以a a d2356423，在①中，取n 3，则a a a a 4a，所以a a 2d ，1245313从而数列a是等差数列．n评注这是数列新定义的问题，其实类似的问题此前我们也研究过，给出仅供参考．（2015南通基地密卷7第20题）设数列的各项均为正数，若对任意的n N*，a n5存在k N*，使得a2n k a a nn 2k成立，则称数列a n为“Jk型”数列．（1）若数列a n是“J2型”数列，且a 8，a 1，求a；282n（2）若数列a n 既是“J型”数列，又是“J型”数列，证明数列34a n是等比数列．解析（1）由题意得，a,a,a,a,2468成等比数列，且公比1a 3 1q 8a22，所以a a q n 12n21n 4．（2）由a n 是“J型”数列得4a,a,a,a,a,a,159131721成等比数列，设公比为t，由a n是“J3型”数列得a,a,a,a,a,1471013成等比数列，设公比为；1a,a,a,a,a,25811 14a,a,a,a,a,36912 15成等比数列，设公比为；2成等比数列，设公比为；3a a a则13 4 t3，17 4 t3，214t3，a a a159所以，不妨令123123，则t 43．所以a3k k 13a3k212，a11a3k 1a k 25a t k 21a1k23a133k 11，所以a3k a k 39a t12k3a1k13a133k1，综上a an 13n1，从而a n是等比数列．2.(2017北京理20)设{a}n 和{b }n是两个等差数列，记2 123c max{b a n,b a n,,b an}(n 1,2,3,)n1122n nx,x,,x这s个数中最大的数．12s ，其中max{x,x,,x}12s表示（1）若a n，b 2n 1，求c,c,c n n123的值，并证明{c }n是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n m时，cn Mn；或者存在正整数6m，使得c,cm m1,cm 2,是等差数列．解析（1）c b a 110111，c max b2a,b 2a max121,322121122，c max b3a,b 3a,b 3a max 131,332,53323112233.当n…3时，bk 1nak1b nabk k k 1bn ak k 1a2n0k，所以b nak k关于k N*单调递减.从而c m na bx11a n,b2n2,ann,，b1an11b a n将n 1,2,3代入，满足此式，所以对任意等差数列.n…1，c 1n，于是c c 1，得cn n 1n n是（2）设数列an 和bn的公差分别为d,d12，则b na b k 1d a (k 1)d n b a n d nd k k12111121b an n 1d nd,当d nd时112121.b 1a1n,当d2…nd1时k 1.①当d 01时，取正整数md2d1，则当n…m 时，nd d，因此c b a n12n11.此时，c,cm m1,cm 2,是等差数列.②当d 01时，对任意n…1，c b a nn 1max d,0b a n 1max d,0an1121121此时，c,c,c,123,c,n是等差数列.③当d 01时，当dn 2d1时，有ndd12 c所以n.1112，所以c b a n n1d nd b d n1121n d d a d12…n n n7n d d a d |b d| 111212.对任意正数M，取正整数m max M |b d|a d d d12112,2d d11，c故当n…m时，n Mn.题型71等差数列与等比数列的交汇问题——暂无第二节数列的通项公式与求和题型72题型73数列通项公式的求解数列的求和1.（2017天津理18）已知{a}n 为等差数列，前n项和为Snn N，{b}n是首项为2的等比数列，且公比大于0，b b 12，b a 2a，S 11b23341114.（1）求{a }和{b}nn的通项公式；（2）求数列a b 的前n项和n N.2n2n 1解析（1）设等差数列{a}n 的公差为d，等比数列{b}n的公比为q.由已知b b 1223，得b(q q2)12，而b 2，所以q112q 60.又因为q 0，解得q 2.所以b 2nn.由b a 2a341，可得3d a 81①S=11b，可得a 5d 16由1141a 1，d 3，由此可得联立①②，解得1a 3n 2n.②所以数列{a}n 的通项公式为a 3n 2n，数列{b}n的通项公式为b 2nn.(2)设数列{a b2n2n 1}的前n项和为T，n由a2n 6n 2，b2n 124n1，有a b2n2n 1(3n 1)4n，8故 T2 4 5 4 n28 4 3(3n 1) 4 n，4T 2 4 25 43 8 4 4n(3n 4) 4 n(3n 1) 4n 1 ，上述两式相减，得3T2 434 23 43n3 4 n(3n 1) 4 n112 (14n ) 144 (3n 1) 4n 1= (3n 2) 4 n 18，得 Tn3n 2 8 4n 133.所以数列a b2n 2n 1的前n 项和为3n 2 8 4n 133.2.（2017 全国 3 理 9）等差数列an的首项为 1，公差不为 0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则数列an前6 项的和为（）.A ．24B ． 3C ．3D ．8解析因为an为等差数列，且 a , a , a 236成等比数列，设公差为d ，则 a 23a a ，即2 6a12d2a d1a 5d .因为a1 11，代入上式可得 d 22d 0，又 d 0 ，则 d2，所以 S 6a 6 1 6 5 6 5d 16 2 24 .2 2故选A .第三节数列的综合题型 74数列与不等式的综合1.(2017 浙江理 22)已知数列xn* n N 时.0 xx ；（1） n n 1x xn n 1 2xx；（2） nn 12满足： x1 1， x xnn 1ln 1xn 1n N *.证明：当（3）1 1 剟x 2n 1 2n -2.解析（1）用数学归纳法证明：x0 n.n当n 1时，x 101，假设n k时，x 0k，9那么n k1时，若x 0k 1，则0x x kk 1ln 1xk1…，矛盾，故xk 10.因此x 0n N *，所以n x xn n1ln 1xn1xn1.因此0xn1xn N *.n（xn 124xn）12 xn由xnx21n1l x nnx .n11xn12xn1，l得xn1x n1n 1xn记函数fxx 22xx 2l n 1x x 0.fx 22x 1x22x2xx 2x 2ln1x ln x 1ln x 1 0x 1x 1x 1，知函数f x 在0,上单调递增，所以fx…f 0，因此x2n 12xn 1xn 12l n 1xn1f xn1…0，即2xn 1x…n n 1n N *.2（3）因为x xn n 1ln 1xn1…xn1xn12xn1n N *，得x1n 1…，以此类推，x2nx1 n厖, x2 n 1x,2x112，所以x x xn n 1x x n 1n 2x2=xx?x11n1，故1x…2n 1.由（2）知，x xn n 1…2x x n Nn 1n*，即1111 (20)x2x2n 1n，所以111111厖2?2n 12x2x2x2n n 11n 2，故x …n21n 2.综上，11剟x n N2n 12n 2*2x xnn12n2n.10。

江苏省2019年高考数学小专题复习6--函数单调性在数列中的应用(有答案)

解，求整数 m 的最小值.
四、【练习】
1. 已知等差数列 {an } 的首项 a1 20 ，公差 d 2 ，则前 n 项和 S n 的最大值为
*
.110
2. 在数列 {an } 中， a1 18 ， a n 1 a n 3 ( n N ) ，则数列 {an } 的前 n 项和 S n 的最小值为 .-63 3. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，且 a2 an S 2 S n 对一切正整数 n 都成立. （1）求 a1 ， a2 的值；（2）设 a1 0 ，数列 {lg 大值. 解：（1）取 n=1,得 a2 a1 S 2 S1 2a1 a2 , 取 n=2,得 a 2 2a1 2a 2 , 又②-①，得 a 2 ( a 2 a1 ) a 2 若 a2=0, 由①知 a1=0, 若 a2 0，由③知a 2 a 1 1 , 由①④解得， a1 ④
2 1, a 2 2 2.
当 n 2时，有（ 2 2）a n S 2 S n , (2+ 2 )an-1=S2+Sn-1，
（ 1 2 ）a n （ 2 2）a n 1, 即 an= 2a n 1 (n 2) , 所以
所以 a n a1 ( 2 ) 令 b n lg
n
（3）令 en n (Tn 3) n (2n 3)2
n
n
[来源:学|科|网]
由 en en 1 ，得 n(2n 3)2 (n 1)(2n 1)2

n 1
，即 n(2n 3) 2(n 1)(2n 1)
解得对任意 n N 成立，即数列 {en } 为单调递增数列，所以 {en } 的最小项为 e1 2 因为 en 对任意 n N 恒成立，所以 2 ，

理科数学2010-2019高考真题分类训练专题六数列(47页吐血汇总,含习题,答案,讲解)

专题六数列第十五讲等差数列2019年1.（2019全国1理9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ．310n a n =- C ．228n S n n =- D ．2122n S n n =- 2.（2019全国3理14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 3.（2019江苏8）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 .4.（2019北京理10）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25310a S =-=-，,则5a = ________ . n S 的最小值为_______.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10D ．122．（2017新课标Ⅰ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a的公差为A ．1B ．2C ．4D ．83．（2017新课标Ⅲ）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．8 4．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．（2016年全国I ）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=aA ．100B ．99C ．98D ．97 6．（2015重庆）在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则6a ＝A ．－1B ．0C ．1D ．67．（2015浙江）已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ．若348,,a a a 成等比数列，则A ．140,0a d dS >>B ．140,0a d dS <<C ．140,0a d dS ><D ．140,0a d dS <>8．（2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >9．（2014福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =A ．8B ．10C ．12D ．1410．（2014重庆）在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =A ．5B ．8C ．10D ．1411．（2013新课标Ⅰ）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝ A ．3B ．4C ．5D ．612．（2013辽宁）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为A ．12,p pB ．34,p pC ．23,p pD ．14,p p13．（2012福建）等差数列{}n a 中，1510a a +=,47a =，则数列{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．3D ．414．（2012辽宁）在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=SA ．58B ．88C ．143D ．17615．（2011江西）设{}n a 为等差数列，公差2d =-,n S 为其前n 项和，若1011S S =，则1a =A ．18B ．20C ．22D ．2416．（2011安徽）若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=L 则A ．15B ．12C ．-12D ．-1517．（2011天津）已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．－110B ．－90C ．90D ．11018．（2010安徽）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为A ．15B ．16C ．49D ．64 二、填空题19．(2018北京)设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为___．20．(2018上海)记等差数列{}n a 的前几项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = ．21．（2017新课标Ⅱ）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． 22．（2015广东）在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ． 23．（2014北京）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =__时{}n a 的前n 项和最大．24．（2014江西）在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．25．（2013新课标2）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为____.26．（2013广东）在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____． 27．（2012北京）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a = ；n S = .28．（2012江西）设数列{},{}n n a b 都是等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=___________．29．（2012广东）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =____．30．（2011广东）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k =_________．三、解答题31．（2018全国卷Ⅱ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．32．（2017北京）设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．33．（2016年山东高考）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 34．（2016年天津高考）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的*N n ∈，n b 是n a 和1n a +的等差中项．(Ⅰ)设22*1,N n n n c b b n +=-∈，求证：数列{}n c 是等差数列；(Ⅱ)设()22*11,1,N nkn kk a d T b n ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑35．（2015四川）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值。

高考数学二轮复习练习：专题限时集训6 数列含答案

专题限时集训(六)数列(限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)1．(四川省凉山州2019届高中毕业班第一次诊断性检测)设数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，若数列{a n }是常数列，则a ＝________.－2[因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2－2a ＋1，即a (a ＋1)＝a 2－2，解得a ＝－2.]2．(江苏省南京市、盐城市2019届高三第一次模拟)设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝________.63[由a 4＋a 5＋a 6＝21得a 5＝7，所以S 9＝a 1＋a 92＝9a 5＝63.]3．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．1830[当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1；当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3. 所以a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，所以a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2，所以a 2k －1＝a 2k ＋3，所以a 1＝a 5＝…＝a 61. 所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61) ＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1) ＝30×3＋1192＝30×61＝1830.]4．(江苏省泰州中学2019届高三上学期第二次月考)等差数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝________.12[∵S 3＝12，∴S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝12.解得d ＝2，则a 6＝a 1＋5d ＝2＋2×5＝12.]5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＝3，S 3＋S 4＝533，则a 3＝________.3[∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＝3，S 3＋S 4＝533，∴a 13－3－1＋a 14－3－1＝533，解得a 1＝13.则a 3＝13×32＝3.] 6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列．且a 2＋a 5＝4，则a 8的值为________．2[∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列．且a 2＋a 5＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2×a 1－q 91－q ＝a 1－q 31－q ＋a 1－q61－q，a 1q ＋a 1q 4＝4，解得a 1q ＝8，q 3＝－12，∴a 8＝a 1q 7＝(a 1q )(q 3)2＝8×14＝2.]7．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升． 1322[设最上面一节的容积为a 1，由题设知⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝3，⎝⎛⎭⎪⎫9a 1＋9×82d －⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 1＋6×52d ＝4，解得a 1＝1322.]8．已知{a n }是公差不为0的等差数列，S n 是其前n 项和，若a 2a 3＝a 4a 5，S 9＝1，则a 1的值是________.【导学号：56394041】－527[设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， ∵a 2a 3＝a 4a 5，S 9＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d a 1＋2d ＝a 1＋3d a 1＋4d ，9a 1＋9×82d ＝1，解得a 1＝－527.]9．(广东湛江市2019届高三上学期期中调研考试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若log 2a 2＋log 2a 8＝1，则a 3·a 7＝________.2[由log 2a 2＋log 2a 8＝1得log 2(a 2a 8)＝1，所以a 2a 8＝2，由等比数列性质可得a 3a 7＝a 2a 8＝2.] 10．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为________．31[若等比数列的公比等于1，由a 1＝1，则S 4＝4,5S 2＝10，与题意不符．设等比数列的公比为q (q ≠1)，由a 1＝1，S 4＝5S 2，得a 1－q 41－q＝5a 1(1＋q )，解得q ＝±2.∵数列{a n }的各项均为正数，∴q ＝2. 则S 5＝1－251－2＝31.]11．(广东郴州市2019届高三第二次教学质量监测试卷)在△ABC 中，A 1，B 1分别是边BA ，CB 的中点，A 2，B 2分别是线段A 1A ，B 1B 的中点，…，A n ，B n 分别是线段A n －1A ，B n －1B (n ∈N *，n >1)的中点，设数列{a n }，{b n }满足：向量B n A n →＝a n CA →＋b n CB →(n ∈N *)，有下列四个命题，其中假命题是：________.【导学号：56394042】①数列{a n }是单调递增数列，数列{b n }是单调递减数列； ②数列{a n ＋b n }是等比数列； ③数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 有最小值，无最大值；④若△ABC 中，C ＝90°，CA ＝CB ，则|B n A n →|最小时，a n ＋b n ＝12.③[由BA n →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n (CA →－CB →)，B n B →＝12n CB →，B n A n →＝B n B →＋BA n →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n CA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－1CB →，所以a n ＝1－12n ，b n ＝12n －1－1.则数列{a n }是单调递增数列，数列{b n }是单调递减数列，故①正确；数列{a n ＋b n }即为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 是首项和公比均为12的等比数列，故②正确；而当n ＝1时，a 1＝12，b 1＝0，a n b n 不存在；n ＞1时，a n b n ＝2n－12－2n ＝－1＋12－2n 在n ∈N *上递增，无最小值和最大值，故③错误；在△ABC 中，C ＝90°，CA ＝CB ，则|B n A n →|2＝(a 2n ＋b 2n )CA →2＋2a n b n CA →·CB →＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －352－15，当n ＝1时，取得最小值，即有|B n A n →|最小时，a n ＋b n ＝12，故④正确．]12．(天津六校2019届高三上学期期中联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23[因为a n ＋1＝a n a n ＋2⇒1a n ＋1＝2a n ＋1⇒1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1⇒1a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋12n －1＝2n ，所以b n ＋1＝(n －2λ)·2n，因为数列{b n }是单调递增数列，所以当n ≥2时b n ＋1>b n ⇒(n －2λ)·2n>(n －1－2λ)·2n －1⇒n >2λ－1⇒2>2λ－1⇒λ<32；当n ＝1时，b 2>b 1⇒(1－2λ)·2>－λ⇒λ<23，因此λ<23.]13.(山西大学附属中学2019级上学期11月模块诊断)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 17>0，S 18<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为________．S 9a 9[S 17>0⇒a 1＋a 172>0⇒a 92>0⇒a 9>0，S 18<0⇒a 1＋a 182<0⇒a 9＋a 102<0⇒a 10＋a 9<0⇒a 10<0，因此S 1a 1>0，S 2a 2>0，…，S 8a 8>0，S 9a 9>0，S 10a 10<0，而S 1<S 2<…<S 9，a 1>a 2>…>a 8>a 9，所以S 1a 1<S 2a 2<…<S 8a 8<S 9a 9.] 14．(云南大理2019届高三第一次统测)若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)；令b n＝log 3(a n ＋1)，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝________. 5050[由a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)可知a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝3n，∴a n ＝3n－1，所以b n ＝log 3(a n ＋1)＝n ，因此b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝＋2＝5050.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分14分)(泰州中学2019届高三上学期期中考试)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)等比数列{b n }满足：b 1＝a 1，b 2＝a 2－1，若数列c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . [解](1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意设d >0.由a 2＋a 7＝16，得2a 1＋7d ＝16.① 由a 3a 6＝55，得(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝55.②4分由①得2a 1＝16－7d 将其代入②得(16－3d )(16＋3d )＝220.即256－9d 2＝220，∴d 2＝4，又d >0，∴d ＝2.代入①得a 1＝1，∴a n ＝1＋(n －1)2＝2n －1.6分(2)∵b 1＝1，b 2＝2，∴b n ＝2n －1，∴c n ＝a n b n ＝(2n －1)2n －1， 8分S n ＝1·20＋3·21＋…＋(2n －1)·2n －1,2S n ＝1·21＋3·22＋…＋(2n －1)·2n .两式相减可得：－S n ＝1·20＋2·21＋2·22＋…＋2·2n －1－(2n －1)·2n＝1＋2×－2n －11－2－(2n －1)·2n， 10分∴－S n ＝1＋－2n －11－2－(2n －1)·2n ＝1＋2n ＋1－4－(2n －1)·2n ＝2n ＋1－3－(2n －1)·2n ，∴S n ＝3＋(2n －1)·2n－2n ＋1＝3＋(2n －3)·2n.14分16．(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2019届高三年级精英对抗赛)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前五项和S 5＝20，且a 1，a 3，a 7成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和，且存在n ∈N *，使得T n －λa n ＋1≥0成立，求实数λ的取值范围．[解](1)设数列{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝20，a 1＋2d 2＝a 1a 1＋6d ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝4，2d 2＝a 1d .2分又因为d ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝1.4分所以a n ＝n ＋1. 5分(2)因为1a n a n ＋1＝1n ＋n ＋＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝nn ＋. 7分因为存在n ∈N *，使得T n －λa n ＋1≥0成立，所以存在n ∈N *，使得n n ＋－λ(n ＋2)≥0成立，即存在n ∈N *，使λ≤n n ＋2成立.10分又n n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎫n ＋4n＋4≤116(当且仅当n ＝2时取等号)，所以λ≤116.即实数λ的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，116. 14分17．(本小题满分14分)(四川省凉山州2019届高中毕业班第一次诊断性检测)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n a n ＋1＝2n ，n ∈N *.(1)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值a 4＋1，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2上的值域； (2)求数列{a n }的通项公式． [解](1)∵a n a n ＋1＝2n，则a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＋2a n＝2，又a 1＝1，故a 1a 2＝21，即a 2＝2，∴a 3＝2，a 4＝4，∴A ＝a 4＋1＝5，故f (x )＝5sin(2x ＋φ)，4分又x ＝π6时，f (x )＝5，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，且0<φ<π，解得φ＝π6， ∴f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，6分而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π2，故2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6，从而sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，综上知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，5. 8分18．(本小题满分16分)(天津六校2019届高三上学期期中联考)已知各项都是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝a 2n ＋12a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足：b 1＝1，b n －b n －1＝2a n (n ≥2)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为T n ，求证：T n <2；(3)若T n ≤λ(n ＋4)对任意n ∈N *恒成立，求λ的取值范围.【导学号：56394043】[解](1)n ＝1时，a 1＝a 21＋12a 1，∴a 1＝12.⎩⎪⎨⎪⎧S n －1＝a 2n －1＋12a n －1S n ＝a 2n ＋12a n⇒a n ＝a 2n －a 2n －1＋12a n －12a n －1，⇒(a n ＋a n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －a n －1－12＝0，∵a n >0，∴a n －a n －1＝12， ∴{a n }是以12为首项，12为公差的等差数列．∴a n ＝12n .4分(2)证明：b n －b n －1＝n ，⎩⎪⎨⎪⎧b 2－b 1＝2b 3－b 2＝3⋮b n －b n －1＝n⇒b n －b 1＝n ＋n －2⇒b n ＝n n ＋2.1b n ＝2n n ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1，即T n <2.12分(3)由2n n ＋1≤λ(n ＋4)得λ≥2nn ＋n ＋＝2n ＋4n ＋5，当且仅当n ＝2时，2n ＋4n＋5有最大值29，∴λ≥29.16分19．(本小题满分16分)(中原名校豫南九校2019届第四次质量考评)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25. (1)求{a n }的通项公式；(2)若不等式2S n ＋8n ＋27>(－1)nk (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围． [解](1)设公差为d ，则5a 1＋5×42d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25，∴a 1＝－1，d ＝3.∴{a n }的通项公式为a n ＝3n －4. 6分(2)S n ＝－n ＋3nn －2，2S n ＋8n ＋27＝3n 2＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ；8分(－1)nk <n ＋1＋9n，当n 为奇数时，k >－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1＋9n ；当n 为偶数时，k <n ＋1＋9n，∵n ＋1＋9n ≥7，当且仅当n ＝3时取等号，∴当n 为奇数时，n ＋1＋9n的最小值为7，当n为偶数时，n ＝4时，n ＋1＋9n 的最小值为294，∴－7<k <294.16分20．(本小题满分16分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数f (x )＝12＋log 2x1－x的图象上任意两点，且OM →＝12(OA →＋OB →)，已知点M 的横坐标为12.(1)求证：M 点的纵坐标为定值；(2)若S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ，n ∈N *，且n ≥2，求S n； (3)已知a n＝⎩⎪⎨⎪⎧23，n ＝1，1S n＋Sn ＋1＋，n ≥2.其中n ∈N *.T n 为数列{a n }的前n 项和，若T n <λ(S n ＋1＋1)对一切n ∈N *都成立，试求λ的取值范围.【导学号：56394044】[解](1)证明：∵OM →＝12(OA →＋OB →)，∴M 是AB 的中点．设M 点的坐标为(x ，y )，由12(x 1＋x 2)＝x ＝12，得x 1＋x 2＝1，则x 1＝1－x 2或x 2＝1－x 1.2分而y ＝12(y 1＋y 2)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋log 2x 11－x 1＋12＋log 2x 21－x 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋log 2x 11－x 1＋log 2x 21－x 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋log 2x 11－x 1·x 21－x 2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋log 2x 1x 2x 1x 2＝12()1＋0＝12，∴M 点的纵坐标为定值12. 5分(2)由(1)，知x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝y 1＋y 2＝1，S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ，S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，两式相加，得2S n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＝1＋1＋…＋1n －1，∴S n＝n －12(n ≥2，n ∈N *).8分(3)当n ≥2时，a n ＝1S n ＋S n ＋1＋＝4n ＋n ＋＝4⎝⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2.10分T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝23＋4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝23＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1n ＋2＝2n n ＋2. 12分由T n <λ(S n ＋1＋1)，得2n n ＋2<λ·n ＋22.∴λ>4n n ＋2＝4nn 2＋4n ＋4＝4n ＋4n＋4.∵n ＋4n≥4，当且仅当n ＝2时等号成立，∴4n ＋4n＋4≤44＋4＝12. 因此λ>12，即λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 16分。

2019年高考数学数列小题练习集(一)(2021年整理)

2019年高考数学数列小题练习集(一)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学数列小题练习集(一)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019年高考数学数列小题练习集(一)(word版可编辑修改)的全部内容。

2019年高考数学数列小题练习集(一）1.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n (S n ≠0)，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是( ）A.数列｛a n }的前n 项和为S n =4nB 。

数列｛a n }的通项公式为14(1)n a n n =+C.数列{a n }为递增数列D. 数列1{}nS 为递增数列2。

已知数列{}n a 满足: 11a =，12n n n a a a +=+*()n N ∈。

若()1121n n b n a λ+⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭*()n N ∈，1b λ=-,且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( )A. 23λ>B. 32λ>C. 32λ<D 。

23λ<3。

已知等比数列｛z n }中,11z =，2z x yi =+，yi x z +-=3（其中i 为虚数单位，x y R ∈、，且y ＞0）,则数列｛z n ｝的前2019项的和为（）A ．i 2321+B ．i 2321- C ．i 31- D ．i 31+4。

等比数列{a n ｝的前n 项和3n n S t =+，则3t a +的值为A 。

1 B.－1 C. 17 D. 185.设函数()2cos f x x x =-,{}n a 是公差为8π的等差数列,125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则2315[()]f a a a -=A ．0B ．2116πC ．218πD ．21316π6.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且满足1221,1n n a a S a +===-,则下列命题错误的是 A ．21n n n a a a ++=+ B ．13599100a a a a a ++++=C ．2499a a a a +++= D ．12398100100S S S S S ++++=-7.已知数列｛a n }满足2(1)211131,log n n n a a a -++==+，则41a =A ．－1B ．－2C ．－3D ．1－log 3408。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

小题专练（6）数列1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.(－1)n ＋12B ．cos n π2C.n ＋12πD ．cos n ＋22π[解析] 令n ＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． [答案] D2．(2017·福建福州八中质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，则a 2017＝( )A ．1B ．0C ．2017D ．－2017[解析] ∵a 1＝1，∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1，a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的数列，∴a 2017＝a 1＝1.[答案] A3．(2016·青岛模拟)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则log 2a 10= ( ) A.4B.5C.6D.7【解析】选B.由题意=a 3a 11=16,且a 7>0,所以a 7=4,所以a 10=a 7·q 3=4×23=25, 从而log 2a 10=5.3．(2018·湖北武汉调研)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝3(a 2＋a 8)，则a 5a 3的值为( )A.16B.13C.35D.56[解析] 因为S 5＝3(a 2＋a 8)，所以5a 1＋10d ＝3(2a 1＋8d )，即a 1＝－14d ，所以a 5a 3＝a 1＋4da 1＋2d ＝－14d ＋4d －14d ＋2d ＝56. [答案] D5．已知数列{a n }为等差数列,若a 2=3,a 1+a 6=12,则a 7+a 8+a 9= ( ) A.27B.36C.45D.63【解析】选 C.设公差为d,则a 1+d=3,2a 1+5d=12,解得a 1=1,d=2,所以a 7+a 8+a 9=3a 1+21d=3+42=45.6．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏[解析] 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3，选择B.[答案] B7．数列{a n }的通项公式a n =2,设此数列的前n 项和为S n ,则S 10-S 21+S 100的值是 ( ) A.9746B.4873C.9736D.9748【解析】选A.当n 为奇数时,a n =2(n+1);当n 为偶数时,a n =2(n-1), 故有S 10=×5+×5=60+50=110, S 21=×11+×10=464,S 100=×50+×50=10100.故S 10-S 21+S 100=9746.8．(2017·河南百校联盟质量监测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝－20，则－6a 4＋3a 5＝( )A ．－20B ．4C ．12D ．20[解析] 设{a n }的公差为d ，∵S 5＝5(a 1＋a 5)2＝－20，∴a 1＋a 5＝－8，∴a 3＝－4.又－6a 4＋3a 5＝－6(a 3＋d )＋3(a 3＋2d )＝－3a 3＝12.选C.[答案] C9．(2017·安徽安庆模拟)已知数列{a n }满足a n ＋2＝－a n (n ∈N ＋)，且a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的前2017项的和为( )A ．2B ．－3C ．3D ．1[解析] ∵a n ＋2＝－a n ＝－(－a n －2)＝a n －2，n >2，∴数列{a n }是以4为周期的周期数列．S 2017＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2017＝504(a 1＋a 2－a 1－a 2)＋a 504×4＋1＝a 1＝1.故选D.[答案] D10.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1的值为( ) A.n ＋12(n ＋2)B.34－n ＋12(n ＋2)C.34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2 D.32－1n ＋1－1n ＋2 [解析] 因为1(n ＋1)2－1＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2 所以原式＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2，故选C. [答案] C11．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若不等式+≥m对任意等差数列{a n }及任意正整数n 都成立,则实数m 的最大值为 ( ) A.B.C.D. 【解析】选D.因为S n =n,所以+≥m,即+a 1a n +≥0, 整理得5+2a 1a n +(1-4m)≥0,即+≥0,若不等式+≥m 对任意等差数列{a n }和正整数n 恒成立,满足-4m ≥0,所以m ≤,所以实数m 的最大值为.12．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )A ．440B ．330C ．220D ．110[解析] 设第一项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n 组的项数为n ，前n 组的项数和为n (n ＋1)2.由题意可知，N >100，令n (n ＋1)2>100，所以n ≥14，n ∈N *，即N 出现在第13组之后．易得第n 组的所有项的和为1－2n 1－2＝2n－1，前n 组的所有项的和为2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.设满足条件的N 在第k ＋1(k ∈N *，k ≥13)组，且第N 项为第k ＋1组的第t (t ∈N *)个数，第k ＋1组的前t 项的和2t －1应与－2－k 互为相反数，即2t －1＝k ＋2，所以2t ＝k ＋3，所以t ＝log 2(k ＋3)，所以当t ＝4，k ＝13时，N ＝13×(13＋1)2＋4＝95<100，不满足题意，当t ＝5，k ＝29时，N ＝29×(29＋1)2＋5＝440，当t >5时，N >440，故选A.[答案] A 二．填空题12.(2016·天津模拟)已知等差数列{a n },a 1=2,a 3=6,若将a 1,a 4,a 5都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为____________.【解析】由已知可得等差数列的通项为a n =2n,设所加的数为x,由已知2+x,8+x,10+x 成等比数列,所以(8+x)2=(2+x)(10+x),解得x=-11. 答案:-1113．(2017·辽宁师大附中期末)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________. [解析] 在等差数列中，S 19＝19a 10，T 19＝19b 10，因此a 10b 10＝S 19T 19＝3×19－12×19＋3＝5641.[答案]564114．(2016·德州模拟)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S m-1=45,S m =93,S m+1=189,则m=__________.【解析】因为S m-1=45,S m =93,所以a m =S m -S m-1=93-45=48,同理得a m+1=S m+1-S m =189-93=96,公比q=2, 又S m-1==45,S m ==93,两式相除得2m=32,即m=5. 答案:515．(2017·安徽合肥一中第三次段考)已知数列{a n }是各项为正且首项为1的等差数列，S n 为其前n 项和，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋8a n ＋1的最小值是________．[解析] 设数列{a n }的公差为d (d >0)，即有a n ＝1＋(n －1)d ，S n ＝n ＋12n (n －1)d ，S n ＝12dn 2＋⎝⎛⎭⎫1－12d n ，由于数列{S n }也为等差数列，可得1－12d ＝0，即d ＝2，即有a n ＝2n －1，S n ＝n 2，则S n ＋8a n ＋1＝n 2＋82n ＝12⎝⎛⎭⎫n ＋8n ≥12·2·n ·8n ＝22，当且仅当n ＝22取得等号，由于n 为正整数，即有n ＝2或3取得最小值．当n ＝2时，取得3；n ＝3时，取得176.故最小值为176.[答案] 176。