数学建模案例在高等数学教学中的应用

何 用所 学数 学知识 来 解释 这个 现象 呢 ？
经 过 一 些 合 理 假 设 后 ， 到 如 图 ２ ２坐 标 系 ， 中 Ａ， ， Ｄ正 方 形 Ａ Ｄ 的 中 心 为 坐 标 原 点 ． ＢＣ ０为 Ａ 连 线 与 轴 的 夹 角 ， （ Ｃ 厂 ０）
首 先 ， 们 把 易 拉 罐 近 似 看 成 一 个 正 圆 柱 形 进 行 建 模 是 有 一 定 合 理 性 的 ． 一 步 观 察 我 们 发 现 罐 体 的侧 边 我 进
材 料 很 薄 ， 顶 盖 材 料 很 硬 （ ， 为 要 使 劲 拉 ）； 说 明 实 际 建 模 必 须 考 虑 不 同 部 位 的 体 积 （ 同 部 位 材 料 不 而 厚 因 这 不 同 ， 应 的 价 格 也 不 同 ） 因此 ， 们 可 简 化 为 如 下 模 型 ： 拉 罐 内 部 体 积 一 定 ， 盖 厚 度 为 其 余 部 分 厚 度 的 相 ． 我 易 顶 倍 时 ， 易 拉罐 材料 的体 积最 小 的罐体 内部 的尺寸 为 多少 ？ 使 设 饮 料 罐 的 半 径 为 ｒ 因 此 ， 径 为 ｄ＝２ ）， 的 高 为 ｈ， 内 体 积 为 ； 盖 外 的 材 料 的 厚 度 为 ｂ 项 盖 的 厚 （ 直 ｒ 罐 罐 顶 ，
．
为 Ａ， ｃ两 脚 与 地 面 距 离 之 和 ， ） ｇ（ 为 ， 两 脚 与 地 面 距 离 之 和 ， ０） ０， Ｄ ｆ（ ｇ （ ０ ） ．由假 设 （ ） ｇ都 是 连 续 函 数 ． 假 设 （ ）， 于 任 意 ０ 厂 ） ｇ（ ）中 ２ ，， 由 ３ 对 （ 和 ０
案 例 ２： 点 存 在 定 理 与 椅 子 放 平 问 题 零
在 介 绍 闭 区 问 上 连 续 函 数 的 零 点 存 在 定 理 时 ， 们 可 以 给 出 下 面 来 自 日常 生 活 中 的 问 题 ： 把 四 条 腿 长 我 一
度 相 等 的 方 凳 在 不 平 的 地 面 上 是 否 能 放 平 。 ７ 这 个 问 题 看 似 简 单 ， 生 们 也 可 随 时 用 椅 子 做 试 验 的 问 题 ， 学 如
要 趋势 ．
数 学 建 模 思 想 融 人 高 等 数 学 教 学 中 的 一 个 直 接 有 效 的 方 法 是 在 教 学 过 程 中 引 入 与 教 学 内容 相 关 的 简 单 数 学 模 型 案 例 ． 学 模 型 案 例 来 自实 际 生 活 的 不 同 领 域 ， 过 解 决 这 些 具 体 实 例 ， 但 能 让 学 生 掌 握 数 学 概 念 及 数 通 不 原 理 ， 且 极 大 地 提 高 了学 生 运 用 所 学 知 识 解 决 实 际 问 题 的 能 力 ， 强 学 生 学 习 数 学 的 兴 趣 和 信 心 ． 而 增 下面 我们通 过几 个简 单实 例说 明如何 把数 学建模 案例 融人 高等数 学 的教学 之 中．
至 少 有 一 个 为 零 ， ０＝０时 不 妨 设 ｇ（ 当 ）＝０，（ ）＞０ 这 样 ， 变 方 凳 的 位 置 Ｉ 厂 ． 改
使 四 只脚 同 时 着 地 ， 归 结 为 证 明 如 下 数 学 命 题 ： 就
、
ｃ
命题 ： 已知 ， ） ｇ（ 是 ０连 续 函 数 ， 于 任 意 ０ （ （ 和 ） 对 ）・ｇ（ ）＝０， ｇ 且
高 等 数 学 是 高 等 院 校 理 工 科 及 经 济 管 理 各 专 业 的 一 门 重 要 的 基 础 理 论 课 程 ， 学 生 学 习 后 续 专 业 课 程 的 是
一
个 基 本 工 具 ， 是 培 养 学 生 思 维 能 力 和 创 新 能 力 的 重 要 手 段 ． 此 ， 等 数 学 教 学 质 量 的 高 低 将 直 接 影 响 到 也 因 高
了不 同 的 收 费 方 案 ． 体 方 案 如 表 ２ １ 具 ．．
表 ２ １ “ 球 通 ” 动 电话 资 费 套 餐 ． 全 移
方案
１ ２
基本月租（ ） 免费时间（ 元 分钟 ） 超过免 费时间的话 费（ 分钟 ） 元／
３ ０ ９ ８ ４８ １０ ７ Ｏ． ６ ０． ６
度 为 ６ 如 右 图 ． ； 建 立 变 量 与 参 数 之 间 的关 系 如 下 ：
（ ） 拉 罐 侧 面 所 用 材 料 的 体 积 为 ： 仃（ ＋６ 一７ｒ ） １易 （ ｒ ） 『 ｈ＝７６ ２ ｒ （ ｒ＋ｂ ｈ： ） （ 易 拉 罐 顶 盖 所 用 材 料 的 体 积 为 ：￣ｃ （ ＋ｂ ； ２） ｃ ｒｒ ） ｂ
严 可 颂
５５ ０ ） ４ ０４ （ 柳州师范高等专科学校 ， 广西 柳州
摘
要： 介绍 了数 学建模 与高等数 学相结合 的重要 性 ， 通过几个 数 学建模 案例说 明如何在 高职 高专高等 数学 并
课程 中应用数学建模思想．
关 键词 ： 学建模 ； 数 高等数学； 学； 教 案例 中图分 类号 ：６ ２ ４ Ｇ ４ ． 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １０ ７ ２ （０ ２ ０ ０ ０ ０ ０ ３— ００ ２ １ ）３— １０— ３
［ 作者简 介］严可颂 （９ ９ ） 男 ， １７ 一 ， 湖南安化人 ， 讲师 ， 硕士 ， 研究方 向： 动力 系统及遍历论 。
１０ ０
下 面 我 们 以方 案 ４ 为 例 说 明 通 话 时 间 与 通 话 费 之 间 的 关 系 ． 套 餐 ” ４种 收 费 方 式 是 月 租 费 为 ２ ８元 ， “ 第 ６ 免 费 通 话 时 问 为 ６ ０分 钟 ， 出 免 费 通 话 时 间 为 每 分 钟 ０ ４ ０ 超 ． ５元 ． 月 通 话 费 为 元 ， 话 时 间 为 分 钟 ， 我 们 可 设 通 则
第２ ７卷第 ３期
２１ ０ ２年 ６月
柳
州
师
专
学
报
Ｖｏ． ７ Ｎｏ ３ １２ ．
Ｊ ｕ ａ ｆＬ ｕ ｈ ｕ Ｔ ａ ｈ ｒ ｏｌｇ ｏ ｒ ｌ ｉｚ ｏ ｅ ｃ ｅｓＣ ｌ ｅ ｎ ｏ ｅ
Ｊｎ ２ １ ｕ ．０ ２
数 学建 模 案 例在 高等 数 学教 学 中的应 用
案 例 １： 段 函 数 与 移 动 电 话 资 费 “ 餐 ” 题 分 套 问 学生们 在学 习初 等数 学过 程 中了解 了许 多重要 的 函数 ， 多 项式 函数 ， 数 函数 ， 数 函数 等 ； 而 ， 些 如 指 对 然 这 函 数 均 为 初 等 函 数 ． 段 函 数 是 高 等 数 学 一 个 非 常 重 要 的 概 念 ， 是 构 造 非 初 等 函数 的 一 个 重 要 方 法 ． 现 实 分 它 在
得 ：
ｆ ２６８ ， ０ ｔ ６００ ：
【６ ２ ８＋０ ４ ｔ ０ ． ５（ 一６ ０）， ＞６ ０ ｔ ０ ． 这 说 明 当 通 话 时 间 不 足 ６ ０分 钟 ， 月 费 用 为 ２ ８元 ． 果 某 人 原 来 采 用 的 计 费 方 案 的 基 本 月 租 为 ５ ０ 每 ６ 如 ０元 ，
（ ） ＝０ ０）＞０ 则 存 在 ， 得 ０ ）＝ｇ（ 。 ０ ． 使 。 ０ ）：０ ．
证 明 ： 方 凳 旋 转 ， 角 线 Ａ 与 ＢＤ 互 换 ． ｇ（ 将 对 Ｃ 由 ０）＝０和 厂 ０）＞０可 知 （
图 ２２ ．
ｇ
（）０ ）０ ） 一（ ， （ ＞和 （）ｏ ／ 都 连 函 知 也 连 函 詈 ＞和 手 ＝ 令 （ ＝ ｇ ） ０ ｏ 予 ＜ 由， 是 续 数 是 续 ． ） 则 ） ． ｇ
０， 以 厂 ０ ）＝ｇ（ 。 所 （ｏ ０ ）＝０ ． 案 例 ３： 数 的应 用 与 易 拉 罐 的 优 化 设 计 导 在 很 多 高 等 数 学 或 微 积 分 教 材 中 关 于 导 数 的 应 用 这 部 分 内 容 都 会 提 到 如 下 例 题 或
数 ． 据 连 续 函 数 的基 本 性 质 ， 存 在 ０ （ 根 必 ０ ０＜０ ０＜７／ ｒ２）， 得 （ ０ 使 ０ ）＝０， 即 ０ ）＝ｇ（ ０ ． － 为 ０ ）・ ０ ） ｏ ０） Ｙ Ｎ ｏ ｇ（ ｏ
＝
习 题 ： 积 给 定 的 圆 柱 体 ， 样 设 计 才 能 使 所 用 材 料 最 省 ？ 这 是 一 个 应 用 导 数 求 极 值 的 体 怎
经 典 问题 ． 过 计 算 后 可 得 直 径 和 高 之 比 为 １时 所 用 材 料 最 省 ． 经
课 前 由 学 生 实 际 测 量 一 个 可 口可 乐 的 易 拉 罐 后 发 现 ， 拉 罐 顶 盖 的 直 径 和 从 顶 盖 到 易 底 部 的高 约 为 ６厘 米 和 ｌ ２厘 米 ； 间 胖 的 部 分 的 直 径 约 为 ６ ６ 厘 米 ， 的 部 分 高 约 为 中 ． 胖 １． ０ ２厘 米 ． 口可 乐 饮 料 罐 上 标 明 净 含 量 为 ３ ５毫 升 （ 认 为 其 体 积 为 ３ ５立 方 厘 米 ） 可 ５ 可 ５ ． 实 际 的 罐 内体 积 为 ３ ５毫 升 ． ６
学生后 继专 业课 程 的学 习 ， 响到学 生专业 素质 的提 高． 影
近些年 ， 随着 数 学 建 模 竞 赛 在 高 职 高 专 院 校 的 大 力 开 展 ， 学 建 模 在 人 才 培 养 中 的 作 用 得 到 日益 体 现 ． 数 数 学 建 模 在 提 高 学 生 学 习 数 学 的兴 趣 ， 高 学 生 主 动 获 取 知 识 的 能 力 ， 养 学 生 应 用 知 识 解 决 实 际 问 题 的 能 力 等 提 培 方 面 体 现 出 了重 要 的 作 用 ． 而 ， 在 的教 学 模 式 中仍 然 过 分 强 调 数 学 知 识 的 理 论 性 和 技 巧 性 ， 忽 略 了 数 学 然 现 而 的 应 用 性 ． 此 ， 数 学 建 模 的 思 想 融 入 日常 的 高 等 数 学 的课 程 教 学 中 是 当 今 高 职 高 专 数 学 课 程 教 学 改 革 的 主 因 将