2012年福建高考数学文试题及答案三明
高考文科数学试卷福建卷附答案
2012年高考文科数学试卷（福建卷）附答案数学试题（文史类）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数（2+i）2等于A.3+4iB.5+4iC.3+2iD.5+2i2.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是A.∩N={2}3.已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a⊥b的充要条件是A.x=-B.x-1C.x=5D.x=04.一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可一世A球B三棱锥C正方体D圆柱5已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于ABCD6阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于A-3B-10C0D-27.直线x+-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点，则弦AB的长度等于A.B.C.D.18.函数f(x)=sin(x-)的图像的一条对称轴是A.x=B.x=C.x=-D.x=-9.设,则f(g(π))的值为A1B0C-1Dπ10.若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件则实数m 的最大值为A.-1B.1C.D.211.数列的通项公式，其前n项和为Sn，则S2012等于A.1006B.2012C.503D.012.已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0.其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
把答案填在答题卡的相应位置。
13.在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，，则AC=_______。
14.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。
2012高考真题文数福建卷
数学试题（文史类）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数（2+i ）2等于A.3+4iB.5+4iC.3+2iD.5+2i2.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是A.N ⊆MB.M ∪N=MC.M ∩N=ND.M ∩N={2}3.已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a ⊥b 的充要条件是 A.x=-12 B.x-1 C.x=5 D.x=04. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是 A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱5 已知双曲线22x a -25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于 A 31414 B 324 C 32 D 436 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于A -3B -10C 0D -27.直线x+3y -2=0与圆x 2+y 2=4相交于A,B 两点，则弦AB 的长度等于A. 25 B 23. C.3 D.1 8.函数f(x)=sin(x-4π)的图像的一条对称轴是 A.x=4π B.x=2π C.x=-4π D.x=-2π 9.设,则f(g(π))的值为A 1B 0C -1D π10.若直线y=2x 上存在点（x ，y ）满足约束条件则实数m 的最大值为 A.-1 B.1 C. 32D.2 11.数列{a n }的通项公式，其前n 项和为S n ，则S 2012等于A.1006B.2012C.503D.0（I ） 已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论：①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2012年福建高考文科数学真题
2013年福建高考（文科）数学考试真题第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（2+i）2等于（）2．已知集合M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，下列结论成立的是（）3．已知向量=（x﹣1，2），=（2，1），则⊥的充要条件是（）4．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）5．已知双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）B6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于（）7．直线x+﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（）8．函数f（x）=sin（x﹣）的图象的一条对称轴是（）﹣﹣））的值为（）9．设f（x）=，g（x）=，则f（g（πm的最大值为（）2我相信，我能行！我能考到120分！11．数列{a n}的通项公式a n =ncos，其前n项和为S n，则S2012等于（）12．已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是（）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC=，则AC=_________14．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_________．15．已知关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________．16．某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点A，B，C表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10．现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为_________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=b1=1，b4=8，{a n}的前10项和S10=55．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）现分别从{a n}和{b n}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．优一5班提分专用318．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（Ⅰ）求回归直线方程=bx+a，其中b=﹣20，a=﹣b；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点．（1）求三棱锥A﹣MCC1的体积；4我相信，我能行！我能考到120分！（2）当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC．20．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°；（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°；（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°；（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin2（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin2（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．优一5班提分专用521．（12分）（2012•福建）如图，等边三角形OAB 的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py （p＞0）上．（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=﹣1相较于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y 轴上某定点．22．（14分）（2012•福建）已知函数，且在上的最大值为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明．6我相信，我能行！我能考到120分！2012年福建高考（文科）数学真题答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．因为向量==⊥，所以∵双曲线=1﹣d=由直线与圆相交的性质可知，，即=kπ+，x=kπ+，）的图象对﹣9．B优一5班提分专用7由题意，）满足约束条件=ncos是以T=）＜8我相信，我能行！我能考到120分！优一5班 提分专用9二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．AC=．的对边，可利用正弦定理，14．应抽取女运动员人数是 12 ．15．实数a 的取值范围是 （0，8） ．16．铺设道路的最小总费用为 16 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． =10+∴这两项的值相等的概率：．=a=﹣，∴回归直线方程∴该产品的单价应定为，又CC×2×1=1=AD•．，MC= =10我相信，我能行！我能考到120分！20.sin30°，故．．﹣cos sinαcosαsin．+﹣﹣（）﹣sin﹣cos2α+sin2α﹣﹣+．，，4，）上，∴）知，：即优一5班提分专用11得，∴）（﹣x+y+）=2y，）﹣，，又函数故函数在，不合题意；，，又函数故函数在12我相信，我能行！我能考到120分！）=综上所述，得）知，，从而有＜（=又函数在，）单调递增，故函数，，）[，，，∈（，）在（，，）＞）在（）在（，优一5班提分专用13。
2012年福建省高考数学试卷(文科)教师版
2012年福建省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•福建）复数（2+i）2等于（）A．3+4i B．5+4i C．3+2i D．5+2i【分析】直接根据复数的乘法的运算法则，以及i2=﹣1可求出所求．【解答】解：（2+i）2=4+4i+i2=3+4i故选：A．2．（5分）（2012•福建）已知集合M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，下列结论成立的是（）A．N⊆M B．M∪N=M C．M∩N=N D．M∩N={2}【分析】由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，则可知，﹣2∈N，但是﹣2∉M，则N⊄M，M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，M∩N={2}≠N，从而可判断．【解答】解：A、由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，可知﹣2∈N，但是﹣2∉M，则N⊄M，故A错误；B、M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，故B错误；C、M∩N={2}≠N，故C错误；D、M∩N={2}，故D正确．故选：D．3．（5分）（2012•福建）已知向量=（x﹣1，2），=（2，1），则⊥的充要条件是（）A．x=﹣B．x=﹣1C．x=5D．x=0【分析】直接利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算求出x的值即可．【解答】解：因为向量=（x﹣1，2），=（2，1），⊥，所以2（x﹣1）+2=0，解得x=0．故选：D．4．（5分）（2012•福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱【分析】利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等【解答】解：A、球的三视图均为圆，且大小均等；B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同；C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形．故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱．故选：D．5．（5分）（2012•福建）已知双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），可得a=2，进而可求双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），∴a2+5=9∴a2=4∴a=2∵c=3∴故选：C．6．（5分）（2012•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于（）A．﹣3B．﹣10C．0D．﹣2【分析】通过循环，计算s，k的值，当k=4时退出循环，输出结果即可．【解答】解：k=1，满足判断框，第1次循环，s=1，k=2，第2次判断后循环，s=0，k=3，第3次判断并循环s=﹣3，k=4，第3次判断退出循环，输出S=﹣3．故选：A．7．（5分）（2012•福建）直线x+﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（）A．2B．2C．D．1【分析】由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要先求圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d，即可求解【解答】解：∵圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d=由直线与圆相交的性质可知，即∴故选：B．8．（5分）（2012•福建）函数f（x）=sin（x﹣）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣【分析】将内层函数x﹣看做整体，利用正弦函数的对称轴方程，即可解得函数f（x）的对称轴方程，对照选项即可得结果【解答】解：由题意，令x﹣=kπ+，k∈z得x=kπ+，k∈z是函数f（x）=sin（x﹣）的图象对称轴方程令k=﹣1，得x=﹣故选：C．9．（5分）（2012•福建）设f（x）=，＞，，＜，g（x）=，为有理数，为无理数，则f（g（π））的值为（）A．1B．0C．﹣1D．π【分析】根据π是无理数可求出g（π）的值，然后根据分段函数f（x）的解析式可求出f（g（π））的值．【解答】解：∵π是无理数∴g（π）=0则f（g（π））=f（0）=0故选：B．10．（5分）（2012•福建）若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．﹣1B．1C．D．2【分析】根据，确定交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则m≤1，由此可得结论．【解答】解：由题意，，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示．可得m≤1∴实数m的最大值为1故选：B．11．（5分）（2012•福建）数列{a n}的通项公式a n=ncos，其前n项和为S n，则S2012等于（）A．1006B．2012C．503D．0【分析】由已知得f（n）=cos是以T==4为周期的周期函数，由此能求出S2012的值．【解答】解：∵a n=ncos，又∵f（n）=cos是以T==4为周期的周期函数，∴a1+a2+a3+a4=（0﹣2+0+4）=2，a5+a6+a7+a8=（0﹣6+0+8）=2，…a2009+a2010+a2011+a2012=（0﹣2010+0+2012）=2，S2012=a1+a2+a3+a4+…+a2012=（0﹣2+0+4）+（0﹣6+0+8）+…+（0﹣2010+0+2012）=2×503=1006故选：A．12．（5分）（2012•福建）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f （b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】根据f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点及a、b、c的大小关系，由此可得结论．【解答】解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．∴a＜1＜b＜3＜c，设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc，∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9，∴b+c=6﹣a，∴bc=9﹣a（6﹣a）＜，∴a2﹣4a＜0，∴0＜a＜4，∴0＜a＜1＜b＜3＜c，∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0，∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．（4分）（2012•福建）在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，BC=，则AC=．【分析】结合已知两角一对边，要求B的对边，可利用正弦定理，进行求解【解答】解：∵∠BAC=60°，∠ABC=45°，∴BC=由正弦定理可得，可得AC===故答案为：14．（4分）（2012•福建）一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是12．【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到结果．【解答】解：∵田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，∴这支田径队有女运动员98﹣56=42人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28的样本，∴每个个体被抽到的概率是=∵田径队有女运动员42人，∴女运动员要抽取42×=12人，故答案为：1215．（4分）（2012•福建）已知关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是（0，8）．【分析】将关于x的不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立，转化成△＜0，从而得到关于a的不等式，求得a的范围．【解答】解：因为不等式x2﹣ax+2a＞0在R上恒成立．∴△=（﹣a）2﹣8a＜0，解得0＜a＜8故答案为：（0，8）．16．（4分）（2012•福建）某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点A，B，C表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10．现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为16．【分析】确定铺设道路的总费用最小时的线路为：A→E→F→G→D，从G分叉，G→C→B，即可求得铺设道路的最小总费用．【解答】解：由题意，铺设道路的总费用最小时的线路为：A→E→F→G→D，从G分叉，G→C→B总费用为2+3+1+2+3+5=16故答案为：16三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•福建）在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1=b1=1，b4=8，{a n}的前10项和S10=55．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）现分别从{a n}和{b n}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．【分析】（Ⅰ）先根据条件求出公差和公比，即可求出通项；（Ⅱ）先根据第一问的结果把基本事件都写出来，再找到满足要求的即可求出结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．由题得：S10=10+d=55；b4=q3=8；解得：d=1，q=2．所以：a n=n，b n=2n﹣1．．（Ⅱ）分别从从{a n}和{b n}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：（1，1），（1，2），（1，4），（2，1），（2，2），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4）．两项的值相等的有（1，1），（2，2）．∴这两项的值相等的概率：．18．（12分）（2012•福建）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（Ⅰ）求回归直线方程=bx+a，其中b=﹣20，a=﹣b；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）【分析】（I）计算平均数，利用b=﹣20，a=﹣b，即可求得回归直线方程；（II）设工厂获得的利润为L元，利用利润=销售收入﹣成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大．【解答】解：（I），=∵b=﹣20，a=﹣b，∴a=80+20×8.5=250∴回归直线方程=﹣20x+250；（II）设工厂获得的利润为L元，则L=x（﹣20x+250）﹣4（﹣20x+250）=﹣20∴该产品的单价应定为元，工厂获得的利润最大．19．（12分）（2012•福建）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M为棱DD1上的一点．（1）求三棱锥A﹣MCC1的体积；（2）当A1M+MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC．【分析】（1）由题意可知，A到平面CDD1C1的距离等于AD=1，易求=1，从而可求；（2）将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面，当A1，M，C′共线时，A1M+MC取得最小值．易证CM⊥平面B1C1M，从而CM⊥B1M，同理可证，B1M⊥AM，问题得到解决．【解答】解：（1）由长方体ABCD﹣A1B1C1D1知，AD⊥平面CDD1C1，∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD=1，又=CC1×CD=×2×1=1，∴=AD•=．（2）将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面，当A1，M，C′共线时，A1M+MC取得最小值．由AD=CD=1，AA1=2，得M为DD1的中点．连接C1M，在△C1MC中，C1M=，MC=，C1C=2，∴=+MC2，得∠CMC1=90°，即CM⊥C1M，又B1C1⊥平面CDD1C1，∴B1C1⊥CM，又B1C1∩C1M=C1，∴CM⊥平面B1C1M，∴CM⊥B1M，同理可证，B1M⊥AM，又AM∩MC=M，∴B1M⊥平面MAC20．（12分）（2012•福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos48°（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【分析】（Ⅰ）选择（2），由sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，可得这个常数的值．（Ⅱ）推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边，化简可得结果．证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα），即1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣，化简可得结果．【解答】解：选择（2），计算如下：sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣sin30°=，故这个常数为．（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=．证明：（方法一）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=sin2α+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα﹣sinαcosα﹣sin2α=sin2α+cos2α=．（方法二）sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）=+﹣sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=1﹣+（cos60°cos2α+sin60°sin2α）﹣sin2α﹣sin2α=1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣=1﹣﹣+=．21．（12分）（2012•福建）如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上．（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=﹣1相较于点Q．证明以PQ 为直径的圆恒过y轴上某定点．【分析】（1）依题意，|OB|=8，∠BOy=30°，从而可得B（4，12），利用B 在x2=2py（p＞0）上，可求抛物线E的方程；（2）由（1）知，，，设P（x0，y0），可得l：，与y=﹣1联立，求得，取x0=2，x0=1，猜想满足条件的点M存在，再进行证明即可．【解答】解：（1）依题意，|OB|=8，∠BOy=30°，设B（x，y），则x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12∵B（4，12）在x2=2py（p＞0）上，∴∴p=2，∴抛物线E的方程为x2=4y；（2）由（1）知，，设P（x0，y0），则x0≠0．l：即由得，∴，取x0=2，此时P（2，1），Q（0，﹣1），以PQ为直径的圆为（x﹣1）2+y2=2，交y轴于点M1（0，1）或M2（0，﹣1）取x0=1，此时P（1，），Q（﹣，﹣1），以PQ为直径的圆为（x+）2+（y+）2=2，交y轴于点M（0，1）或M4（0，﹣）3故若满足条件的点M存在，只能是M（0，1），证明如下∵，，，∴=2y0﹣2﹣2y0+2=0故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（0，1）．22．（14分）（2012•福建）已知函数f（x）=axsinx﹣（a∈R），且在，上的最大值为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明．【分析】（I）由题意，可借助导数研究函数，在，上的单调性，确定出最值，令最值等于，即可得到关于a的方程，由于a的符对函数的最值有影响，故可以对a的取值范围进行讨论，分类求解；（II）借助导数研究函数f（x）在（0，π）内单调性，由零点判定定理即可得出零点的个数．【解答】解：（I）由已知得f′（x）=a（sinx+xcosx），对于任意的x∈（0，），有sinx+xcosx＞0，当a=0时，f（x）=﹣，不合题意；当a＜0时，x∈（0，），f′（x）＜0，从而f（x）在（0，）单调递减，又函数在，上图象是连续不断的，故函数在，上上的最大值为f（0）=﹣，不合题意；当a＞0时，x∈（0，），f′（x）＞0，从而f（x）在（0，）单调递增，又函数在，上图象是连续不断的，故函数在，上上的最大值为f（）==，解得a=1，综上所述，得（II）函数f（x）在（0，π）内有且仅有两个零点．证明如下：由（I）知，，从而有f（0）=﹣＜0，f（）=＞0，又函数在，上图象是连续不断的，所以函数f（x）在（0，）内至少存在一个零点，又由（I）知f（x）在（0，）单调递增，故函数f（x）在（0，）内仅有一个零点．当x∈[，π]时，令g（x）=f′（x）=sinx+xcosx，由g（）=1＞0，g（π）=﹣π＜0，且g（x）在[，π]上的图象是连续不断的，故存在m∈（，π），使得g（m）=0．由g′（x）=2cosx﹣xsinx，知x∈（，π）时，有g′（x）＜0，从而g（x）在[，π]上单调递减．当x∈（，m），g（x）＞g（m）=0，即f′（x）＞0，从而f（x）在（，m）内单调递增故当x∈（，m）时，f（x）＞f（）=＞0，从而（x）在（，m）内无零点；当x∈（m，π）时，有g（x）＜g（m）=0，即f′（x）＜0，从而f（x）在（，m）内单调递减．又f（m）＞0，f（π）＜0且f（x）在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f（x）在[m，π]内有且仅有一个零点．综上所述，函数f（x）在（0，π）内有且仅有两个零点．。
2012高考福建文科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(福建卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．理科：第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数(2＋i)2等于()A．3＋4i B．5＋4i C．3＋2i D．5＋2i2．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是()A．N M B．M∪N＝MC．M∩N＝N D．M∩N＝{2}3．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是()A．12x=-B．x＝－1C．x＝5 D．x＝04．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()．A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱5．已知双曲线22215x ya-=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()A．14B4C．32D．436．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于()A．－3 B．－10 C．0 D．－27．直线x＋－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于()A．B．C D．18．函数f(x)＝sin(x－π4)的图象的一条对称轴是… ()A．π4x=B．π2x=C．π4x=-D．π2x=-9．设1,0,()0,0,1,0,xf x xx>⎧⎪==⎨⎪-<⎩1,()xg xx⎧=⎨⎩为有理数，，为有理数，则f(g(π))的值为()A．1 B．0 C．－1 D．π10．若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件30,230,,x yx yx m+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m的最大值为()A．12B．1 C．32D．211．数列{a n}的通项公式πcos2nna n=，其前n项和为S n，则S2 012等于()A．1 006 B．2 012 C．503 D．012．(文)已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0．现给出如下结论：①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(3)＞0；④f(0)f(3)＜0．其中正确结论的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④第Ⅱ卷二、填空题：(理科)本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．(文科)本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC=，则AC＝__________．14．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是__________．15．已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是__________．16．某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案．方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10．现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为__________．三、解答题：(理科)本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(文科)本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{a n}的前10项和S10＝55．(1)求a n和b n；(2)现分别从{a n}和{b n}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．18．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试(1)求回归直线方程 y bx a=+，其中b＝－20，a y b x=-；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(Ⅰ)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 19．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．(1)求三棱锥A－MCC1的体积；(2)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC．20．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°．(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．21．如图，等边三角形OAB的边长为E：x2＝2py(p＞0)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q．证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．22．已知函数f(x)＝ax sin x－32(a∈R)，且在［0，π2］上的最大值为π32-．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．1．A(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i．2． D ∵M ＝{1,2,3,4}，N ＝{－2,2}，∴M ∩N ＝{2}． 3． D ∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(2,1)＝2(x －1)＋2×1＝2x ＝0，即x ＝0．4． D ∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆， ∴这个几何体不可以是圆柱．5． C 由双曲线的右焦点为(3,0)知c ＝3，即c 2＝9，又∵c 2＝a 2＋b 2，∴9＝a 2＋5，即a 2＝4，a ＝2．故所求离心率32c e a ==．6． A (1)k ＝1,1＜4，s ＝2×1－1＝1； (2)k ＝2,2＜4，s ＝2×1－2＝0； (3)k ＝3,3＜4，s ＝2×0－3＝－3； (4)k ＝4，输出s ＝－3．7． B 圆心O 到直线AB的距离1d ==，所以||AB ===． 8． C 函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的对称轴是x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z ．当k ＝－1时x ＝－π＋3π4＝π4-．故选C ．9．B ∵g (π)＝0，∴f (g (π))＝f (0)＝0．10． B 由约束条件作出其可行域如图所示：由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x ＝3－x ，即x ＝1＝m ．11． A ∵函数πcos 2n y =的周期2π4π2T ==，∴可分四组求和：a 1＋a 5＋…＋a 2 009＝0，a 2＋a 6＋…＋a 2 010＝－2－6－…－2 010＝503(22010)2⨯--＝－503×1 006，a 3＋a 7＋…＋a 2 011＝0，a 4＋a 8＋…＋a 2 012＝4＋8＋…＋2 012＝503(42012)2⨯+＝503×1 008．故S 2 012＝0－503×1 006＋0＋503×1 008＝503×(－1 006＋1 008)＝1 006．12． C 设g (x )＝x 3－6x 2＋9x ＝0，则x 1＝0，x 2＝x 3＝3，其图象如下图：要使f (x )=x 3－6x 2+9x －abc 有3个零点，需将g (x )的图象向下平移，如图所示：又f ′(x )=3x 2－12x +9=0时，x 1=1，x 2=3，即得f (1)是极大值，f (3)是极小值． 故由图象可知f (0)·f (1)＜0，f (0)·f (3)＞0．13．解析：如图： 由正弦定理得sin sin AC BC BA=，即sin 45sin 60AC =︒︒22=，故AC =14．答案：12 解析：∵282987=，即每7人抽取2人，又知女运动员人数为98－56＝42(人)，∴应抽取女运动员人数为42×27＝12(人)．15．答案：(0,8) 解析：∵x 2－ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，∴∆＝(－a )2－4·2a ＜0，即a 2－8a ＜0,0＜a ＜8．故a 的取值范围是(0,8)．16．答案：16解析：由题意知，各城市相互到达，且费用最少为1＋2＋2＋3＋3＋5＝16＝FG ＋GD ＋AE ＋EF ＋GC ＋BC ．17．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ．依题意得S 10＝10＋1092⨯d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1．(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率29P =．18．解：(1)由于x ＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y ＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80，所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为 y ＝－20x ＋250． (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －334)2＋361.25，当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润． 19．解：(1)由长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1知，AD ⊥平面CDD 1C 1，故点A 到平面CDD 1C 1的距离等于AD ＝1． 又∵111121122M C C S C C C D ∆=⋅=⨯⨯=，∴111133A M C C M C C V A D S -∆⋅＝＝．(2)将侧面CDD 1C 1绕DD 1逆时针转90°展开，与侧面ADD 1A 1共面(如图)，当A 1，M ，C ′共线时，A 1M +MC 取得最小值． 由AD =CD =1，AA 1=2，得M 为DD 中点．连结C 1M ，在△C 1MC 中，1M C =，MC =，CC 1=2，∴CC 12=MC 12+MC 2，得∠CMC 1=90°，即CM ⊥MC 1． 又由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知，B 1C 1⊥平面CDD 1C 1， ∴B 1C 1⊥CM ．又B 1C 1∩C 1M =C 1，∴CM ⊥平面B 1C 1M ，得CM ⊥B 1M ． 同理可证，B 1M ⊥AM ，又AM ∩MC =M ，∴B 1M ⊥平面MAC ．20．(理17，文20)解：方法一：(1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝13144-=．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α·(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋2sin αcos α＋14sin 2α－2sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34．方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1cos21cos(602)22αα-+︒-+－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°·cos2α＋sin60°sin2α)－2sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α4sin2α－4sin2α－14(1－cos2α)＝11131cos2cos24444αα--+=．21．解：方法一：(1)依题意，||O B =BOy ＝30°． 设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin30°＝ y ＝|OB |·cos 30°＝12．因为点B(12)在x 2＝2py 上，所以(2＝2p ×12，解得p ＝2．故抛物线E 的方程为x 2＝4y ．(2)由(1)知214y x =，12y'x =．设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 02．由20011,241,y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得2004,21.x x x y ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩ 所以Q (20042x x -，－1)．设M (0，y 1)，令0M P M Q ⋅= 对满足20014y x =(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于M P ＝(x 0，y 0－y 1)，M Q ＝(20042x x -，－1－y 1)，由0M P M Q ⋅= ，得20042x x -－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 12＝0，即(y 12＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0．(*) 由于(*)式对满足20014y x =(x 0≠0)的y 0恒成立，所以121110,20,y y y -=⎧⎨+-=⎩解得y 1＝1．故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．方法二：(1)同方法一． (2)由(1)知214y x =，12y'x =．设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且直线l 的方程为 y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 02．由20011,241,y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得2004,21.x x x y ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩ 所以Q (20042x x -，－1)．取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0,1)或M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P (1，14)，Q (32-，－1)，以PQ 为直径的圆为(x ＋14)2＋(y ＋38)2＝12564，交y 轴于M 3(0,1)或M 4(0，74-)．故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1)． 以下证明点M (0,1)就是所要求的点．因为M P ＝(x 0，y 0－1)，M Q ＝(20042x x -，－2)，M P M Q ⋅ ＝2042x -－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0． 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M ． 22．解：(1)由已知得f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )， 对于任意x ∈(0，π2)，有sin x ＋x cos x ＞0．当a ＝0时，3()2f x =-，不合题意；当a ＜0，x ∈(0，π2)时，f ′(x )＜0，从而f (x )在(0，π2)内单调递减，又f (x )在［0，π2］上的图象是连续不断的，故f (x )在［0，π2］上的最大值为3(0)2f =-，不合题意；当a ＞0，x ∈(0，π2)时，f ′(x )＞0，从而f (x )在(0，π2)内单调递增，又f (x )在［0，π2］上的图象是连续不断的，故f (x )在［0，π2］上的最大值为π()2f ，即π3π3222a --=，解得a ＝1．综上所述，得f (x )＝x sin x －32．(2)f (x )在(0，π)内有且只有两个零点． 证明如下：由(1)知，f (x )＝x sin x 32-，从而有f (0)＝32-＜0，ππ3()022f -=>，又f(x)在［0，π2］上的图象是连续不断的，所以f(x)在(0，π2)内至少存在一个零点．又由(1)知f(x)在［0，π2］上单调递增，故f(x)在(0，π2)内有且仅有一个零点．当x∈［π2，π］时，令g(x)＝f′(x)＝sin x＋x cos x．由g(π2)＝1＞0，g(π)＝－π＜0，且g(x)在［π2，π］上的图象是连续不断的，故存在m∈(π2，π)，使得g(m)＝0．由g′(x)＝2cos x－x sin x，知x∈(π2，π)时，有g′(x)＜0，从而g(x)在(π2，π)内单调递减．当x∈(π2，m)时，g(x)＞g(m)＝0，即f′(x)＞0，从而f(x)在(π2，m)内单调递增，故当x∈［π2，m］时，ππ3()()022f x f-≥=>，故f(x)在［π2，m］上无零点；当x∈(m，π)时，有g(x)＜g(m)＝0，即f′(x)＜0，从而f(x)在(m，π)内单调递减．又f(m)＞0，f(π)＜0，且f(x)在［m，π］上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．。
2012年福建高考试题文数word解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数2)2(i +等于（ ）A ．i 43+B ．i 45+C ．i 23+D ．i 25+ 答案 A解析：44)2(22++=+i i iii 43441+=++-=。
2. 已知集合}4,3,2,1{=M ，}2,2{-=N ，下列结论成立的是（ ）A ．M N ⊆B ．M N M =C ．N N M =D ．}2{=N M 答案 D解析：}4,3,2,1,2{-=N M ，}2{=N M 。
3. 已知向量)2,1(-=→x a ，)1,2(=→b ，则→→⊥b a 的充要条件是（ ）A ．21-=x B ．1-=x C ．5=x D ．0=x 答案 D解析：非零向量0=⋅⇔⊥→→→→b a b a 。
2)1(2=⇔=+-⇔x x4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 答案 D解析：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。
5. 已知双曲线15222=-y a x 的右焦点为)0,3(，则该双曲线的离心率等于（ ）xy Odrl A ．31414 B ．324 C ．32 D ．43答案 C解析：双曲线中，23325322=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=e c a ca c 。
6. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 值等于（ ） A ．3- B ．10- C ．0 D ．2-答案 A解析： 1,1==s k ；2,1112==-⨯=k s ； 3,0212==-⨯=k s ； 4,3302=-=-⨯=k s ；结束.7. 直线023=-+y x 与圆422=+y x 相交于B A ,两点，则弦AB 的长度等于（ ）A ．25B ．23C ．3D ．1 答案 B解析： 图形如图所示，圆心为)0,0(，半径为2， 圆心到直线的距离1)3(1|2030|22=+-⨯+=d ，所以222d r l -=3212222=-=。
2012年文数高考试题答案及解析-福建
全国高考文科数学试题答案及解析数学试题（文史类）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数（2+i）2等于A.3+4iB.5+4iC.3+2iD.5+2i2.已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是A.N MB.M∪N=MC.M∩N=ND.M∩N={2}3.已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a⊥b的充要条件是A.x=-12B.x=-1C.x=5D.x=0【解析】有向量垂直的充要条件得2（x-1）+2=0 所以x=0 。
D正确【答案】D【考点定位】考察数量积的运算和性质，要明确性质。
4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球B 三棱锥C 正方体D 圆柱、【解析】分别比较A、B、C的三视图不符合条件，D 符合【答案】D【考点定位】考查空间几何体的三视图与直观图，考查空间想象能力、逻辑推理能力。
5 已知双曲线22xa-25y=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于A14B4C32D436 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s值等于A -3B -10C 0D -2【解析】1.S=2×1-1=1，K=22.S=2×1-2=0，K=33．S=2×0-3=-3 K=4，输出-3【答案】A【考点定位】该题主要考察算法的基本思想、结构和功能，把握算法的基本思想是解决好此类问题的根本。
7.直线x+y2-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点，则弦AB的长度等于A. B C. D.18.函数f(x)=sin(x-4π)的图像的一条对称轴是 A.x=4π B.x=2π C.x=-4π D.x=-2π9.设,则f(g(π))的值为A 1B 0C -1D .π 【解析】因为g （π）=0 所以f （g （π））=f （0）=0 。
2012年福建省高考数学试卷(文科)教师版
2012 年福建省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．（5 分）（2012?福建）复数（ 2+i ）2等于（）A ．3+4iB ．5+4iC ．3+2iD ．5+2i 【剖析】 直接依据复数的乘法的运算法例，以及 i 2 ﹣ 1 可求出所求．= 【解答】 解：（2+i ） 2=4+4i+i 2 =3+4i应选： A ．2．（5 分）（2012?福建）已知会合M={ 1，2，3，4} ，N={ ﹣2， 2} ，以下结论成立的是（）A ．N? MB ．M ∪N=MC ．M ∩N=ND ．M ∩N={ 2}【剖析】由 M={ 1， 2， 3，4} ，N={ ﹣ 2，2} ，则可知，﹣ 2∈ N ，可是﹣ 2?M ，则N?M ，M ∪N={ 1，2，3，4，﹣ 2} ≠M ，M ∩N={ 2} ≠N ，从而可判断．【解答】解： A 、由 M={ 1，2，3，4} ，N={ ﹣ 2，2} ，可知﹣ 2∈N ，可是﹣ 2?M ，则 N?M ，故 A 错误；B 、M ∪N={ 1，2，3，4，﹣2} ≠M ，故C 、M ∩N={ 2} ≠N ，故 C 错误；D 、M ∩N={ 2} ，故 D 正确．B 错误；应选： D ．3．（5 分）（2012?福建）已知向量件是（）=（x ﹣1，2），=（ 2， 1），则 ⊥ 的充要条A ．x=﹣B ．x=﹣1C ．x=5D ．x=0【剖析】 直接利用向量垂直的充要条件，经过坐标运算求出x 的值即可．【解答】 解：因为向量 =（x ﹣1，2）， =（2，1）， ⊥ ，因此 2（x ﹣1）+2=0，解得 x=0．应选： D ．4．（5 分）（2012?福建）一个几何体的三视图形状都同样，大小均相等，那么这个几何体不能够是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱【剖析】利用简单几何体的构造特点以及三视图的定义，简单判断圆柱的三视图不行能形状同样，大小均等【解答】解： A、球的三视图均为圆，且大小均等；B、三条侧棱两两垂直且相等的适合高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都同样；C、正方体的三视图能够是三个大小均等的正方形；D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其余两个为矩形．故一个几何体的三视图形状都同样，大小均等，那么这个几何体不能够是圆柱．应选： D．5．（5 分）（2012?福建）已知双曲线﹣=1 的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【剖析】依据双曲线﹣=1 的右焦点为（3，0），可得a=2，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线﹣=1 的右焦点为（3，0），∴ a2+5=9∴ a2=4∴ a=2∵ c=3∴应选： C．6．（5 分）（2012?福建）阅读以下图的程序框图，运转相应的程序，输出s 值等于（）A．﹣ 3B．﹣ 10C．0D．﹣ 2【剖析】经过循环，计算 s，k 的值，当 k=4 时退出循环，输出结果即可．【解答】解： k=1，知足判断框，第1 次循环， s=1，k=2，第 2 次判断后循环， s=0，k=3，第3 次判断并循环s=﹣3，k=4，第3 次判断退出循环，输出 S=﹣ 3．应选： A．7．（5 分）（2012?福建）直线 x+﹣2=0与圆x2+y2=4订交于A，B两点，则弦AB 的长度等于（）A．2B．2C．D．1【剖析】由直线与圆订交的性质可知，，要求AB，只需先求圆心（0，0）到直线x+﹣2=0 的距离d，即可求解【解答】解：∵圆心（0，0）到直线x+﹣2=0 的距离d=由直线与圆订交的性质可知，即∴应选： B．8．（ 5 分）（2012?福建）函数 f（ x）=sin（ x﹣）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣【剖析】将内层函数x﹣看做整体，利用正弦函数的对称轴方程，即可解得函数 f（x）的对称轴方程，比较选项即可得结果【解答】解：由题意，令 x﹣ =kπ+ ， k∈z得 x=kπ+ ，k∈z 是函数 f（ x） =sin（x﹣）的图象对称轴方程令 k=﹣1，得 x=﹣应选： C．．（分）（福建）设（），＞，g（ x）=，为有理数，则f（g ，9 52012? f x =，为无理数，＜（π））的值为（）A．1B．0C．﹣ 1D．π【剖析】依据π是无理数可求出g（π）的值，而后依据分段函数 f （x）的分析式可求出 f（g（π））的值．【解答】解：∵ π是无理数∴g（π） =0则 f（ g（π））=f（ 0） =0应选： B．10（．5 分）（2012?福建）若直线 y=2x上存在点（ x，y）知足拘束条件，则实数 m 的最大值为（）A．﹣1B．1C．D．2【剖析】依据，确立交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）知足拘束条件，则m≤1，由此可得结论．【解答】解：由题意，，可求得交点坐标为（1，2）要使直 y=2x 上存在点（ x，y）足束条件，如所示．可得m≤1∴ 数 m 的最大 1故： B．．（分）（福建）数列n}的通公式a n=ncos ，其前 n 和 S n，11 52012?{ aS2012等于（）A．1006B．2012C．503D．0【剖析】由已知得 f（n）=cos是以 T==4 周期的周期函数，由此能求出S2012的．【解答】解：∵ a n=ncos，又∵ f（ n） =cos是以T==4 周期的周期函数，∴a1+a2+a3+a4 =（0 2+0+4）=2，a5+a6+a7+a8=（0 6+0+8）=2，⋯a2009+a2010+a2011+a2012=（ 0 2010+0+2012）=2，S2012=a1+a2+a3+a4+⋯+a2012=（0 2+0+4）+（0 6+0+8）+⋯+（0 2010+0+2012）=2×503=1006故： A．12．（ 5 分）（2012?福建）已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且 f（ a） =f （b）=f（ c） =0．现给出以下结论：①f（0）f （1）＞ 0；② f（0）f （1）＜ 0；③ f（0）f （3）＞ 0；④f（0）f （3）＜ 0．此中正确结论的序是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【剖析】依据 f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且 f（ a）=f（ b）=f（c）=0，确立函数的极值点及a、b、c 的大小关系，由此可得结论．【解答】解：求导函数可得 f ′（x）=3x2﹣12x+9=3（ x﹣ 1）（x﹣3），∵a＜ b＜ c，且 f（ a） =f（b）=f（c）=0．∴a＜ 1＜b＜ 3＜ c，设 f（ x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（ a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc，∵ f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，∴ a+b+c=6，ab+ac+bc=9，∴ b+c=6﹣a，∴ bc=9﹣a（6﹣a）＜，∴a2﹣4a＜ 0，∴0＜ a＜4，∴0＜ a＜1＜ b＜ 3＜c，∴f（0）＜ 0， f（1）＞ 0， f（3）＜ 0，∴f（0）f （1）＜ 0，f（0）f（ 3）＞0．应选： C．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分．把答案填在答题卡的相应地点．13．（ 4 分）（ 2012?福建）在△ ABC中，已知∠ BAC=60°，∠ ABC=45°， BC=，则AC=．【剖析】联合已知两角一对边，要求 B 的对边，可利用正弦定理，进行求解【解答】解：∵∠ BAC=60°，∠ ABC=45°，∴ BC=由正弦定理可得，可得AC===故答案为：14．（ 4 分）（2012?福建）一支田径队有男女运动员98 人，此中男运动员有56人．按男女比率用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28 的样本，那么应抽取女运动员人数是12．【剖析】依据田径队的男女运动员数量和用分层抽样要抽取的数量，获取每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数量，获取结果．【解答】解：∵田径队有男女运动员98 人，此中男运动员有56 人，∴这支田径队有女运动员98﹣ 56=42 人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28 的样本，∴每个个体被抽到的概率是=∵田径队有女运动员42 人，∴女运动员要抽取42× =12 人，故答案为： 1215．（ 4 分）（2012?福建）已知对于x 的不等式 x2﹣ ax+2a＞0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是（0，8）．【剖析】将对于 x 的不等式 x2﹣ ax+2a＞0 在 R 上恒成立，转变成△＜ 0，从而获取对于 a 的不等式，求得 a 的范围．【解答】解：因为不等式 x2﹣ax+2a＞ 0 在 R 上恒成立．故答案为：（ 0， 8）．16．（ 4 分）（2012?福建）某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点 A， B， C 表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的花费，要求从任一城市都能抵达其余各城市，而且铺设道路的总花费最小．比如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总花费为 10．现给出该地域可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总花费为16．【剖析】确立铺设道路的总花费最小时的线路为：A→E→F→G→D，从 G 分叉，G→ C→B，即可求得铺设道路的最小总花费．【解答】解：由题意，铺设道路的总花费最小时的线路为：A→E→F→G→D，从G 分叉， G→ C→B总花费为 2+3+1+2+3+5=16故答案为： 16三、解答题：本大题共6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（ 12 分）（2012?福建）在等差数列 { a n} 和等比数列 { b n} 中， a1=b1=1，b4=8，{ a n} 的前 10 项和 S10=55．（Ⅰ）求 a n和 b n；（Ⅱ）现分别从 { a n} 和{ b n} 的前 3 项中各随机抽取一项，写出相应的基本领件，并求这两项的值相等的概率．【剖析】（Ⅰ）先依据条件求出公差和公比，即可求出通项；（Ⅱ）先依据第一问的结果把基本领件都写出来，再找到知足要求的即可求出结论．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．由题得： S10=10+d=55； b4=q3=8；解得： d=1， q=2．因此： a n=n，b n=2n﹣1．．（Ⅱ）分别从从 { a n} 和 { b n} 的前 3 项中各随机抽取一项，获取的基本领件有9 个：（1，1），（1，2），（1，4），（2，1），（2，2），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4）．两项的值相等的有（ 1，1），（2，2）．∴这两项的值相等的概率：．18．（ 12 分）（2012?福建）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理订价，将该产品按预先制定的价钱进行试销，获取以下数据：单价 x（元）88.28.48.68.89销量（件）908483807568 y（Ⅰ）求回归直线方程=bx+a，此中 b=﹣20，a= ﹣b ；（Ⅱ）估计在此后的销售中，销量与单价仍旧听从（I）中的关系，且该产品的成本是 4 元 / 件，为使工厂获取最大收益，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）【剖析】（I）计算均匀数，利用b=﹣20，a= ﹣b ，即可求得回归直线方程；（II）设工厂获取的收益为 L 元，利用收益 =销售收入﹣成本，成立函数，利用配方法可求工厂获取的收益最大．【解答】解：（I），=∵ b=﹣20，a= ﹣b ，∴a=80+20× 8.5=250∴回归直线方程=﹣20x+250；（II）设工厂获取的收益为 L 元，则 L=x（﹣ 20x+250）﹣ 4（﹣ 20x+250） =﹣20∴该产品的单价应定为元，工厂获取的收益最大．19．（12 分）（ 2012?福建）如图，在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M 为棱 DD1上的一点．（1）求三棱锥 A﹣MCC1的体积；（2）当 A1M+MC 获得最小值时，求证： B1M ⊥平面 MAC．【剖析】（1）由题意可知， A 到平面CDD1C1的距离等于AD=1，易求=1，从而可求；（ 2）将侧面 CDD1C1绕 DD1逆时针转 90°睁开，与侧面ADD1A1共面，当 A1，M，C′共线时， A1M+MC 获得最小值．易证 CM⊥平面 B1C1M ，从而 CM⊥ B1M ，同理可证， B1M ⊥AM，问题获取解决．【解答】解：（1）由长方体 ABCD﹣ A知， AD⊥平面 CDD ，1B1C1D11C1∴点 A 到平面 CDD1 1的距离等于 AD=1，C又= CC1×CD= ×2×1=1，∴= AD?= ．90°睁开，与侧面ADD A 共面，11DD 逆时针转（ 2）将侧面CDDC 绕111当 A1，M ，C′共线时， A1M+MC 获得最小值．由 AD=CD=1，AA1=2，得 M 为 DD1的中点．连结 C1M ，在△ C1MC 中， C1 M=，MC= ，C1C=2，∴=+MC2，得∠ CMC°，即CM⊥C1M，又B1C1⊥平面 CDD ，1=901C1∴B1C1⊥CM，又 B1C1∩ C1M=C1，∴CM⊥平面 B1C1M，∴CM⊥ B1M ，同理可证， B1M⊥AM，又 AM∩MC=M，∴B1M ⊥平面 MAC20．（ 12 分）（2012?福建）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．（1） sin2 13°+cos217°﹣sin13 cos17° °（2） sin2 15°+cos215°﹣sin15 cos15° °（3） sin2 18°+cos212°﹣sin18 cos12° °（4） sin2（﹣ 18°）+cos248°﹣sin（﹣ 18°）cos48 °（5） sin2（﹣ 25°）+cos255°﹣sin（﹣ 25°）cos55 °（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）依据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推行为三角恒等式，并证明你的结论．【剖析】（Ⅰ）选择（ 2），由 sin215°+cos215°﹣sin15 cos15° °=1﹣ sin30 =°，可得这个常数的值．（Ⅱ）推行，获取三角恒等式sin2α+cos2（ 30°﹣α）﹣ sin αcos（ 30°﹣α） = ．证明方法一：直接利用两角差的余弦公式代入等式的左侧，化简可得结果．证明方法二：利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为+﹣ sin α（ cos30°cos+sin30α °sin ）α， 即 1 ﹣+α sin2 αcos2 +﹣ sin2 α﹣，化简可得结果．【解答】 解：选择（ 2），计算以下：sin 215°+cos 215°﹣sin15 cos15° °=1﹣ sin30 =°，故 这个常数为 ．（Ⅱ）依据（Ⅰ）的计算结果， 将该同学的发现推行， 获取三角恒等式 sin 2α+cos 2（30°﹣α）﹣ sin αcos （30°﹣α）= ．22 2α证明：（方法一）sin α（30°﹣ α）﹣sin αcos （30°﹣α）=sin+cos+﹣ s in α（cos30°cos+sin30α °sin ）α22222 2．=sin α+ cos α+ sin α+ sin α cos ﹣α sin α cos ﹣α sin α=sin α+ cos α= 2 2αcos （30°﹣α）=+﹣（方法二）sin α（30°﹣α）﹣sin+cossin α（ cos30 ° cos+sin30α ° sin ）α﹣ + （cos60°cos2+sin60α °sin2）α﹣sin2 α﹣2α=1sin﹣+αsin2 α﹣sin2 α﹣﹣﹣ + =．=1cos2 + =121．（ 12 分）（2012?福建）如图，等边三角形 OAB 的边长为，且其三个极点均在抛物线 E ：x 2=2py （ p ＞ 0）上．（ 1）求抛物线 E 的方程；（ 2）设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P ，与直线 y=﹣1 相较于点 Q ．证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点．【剖析】（1）依题意， | OB| =8 ，∠ BOy=30°，从而可得 B （4， 12），利用 B在 x 2=2py （ p ＞ 0）上，可求抛物线 E 的方程；（ 2）由（1）知， ， ，设 P （x 0，y 0），可得 l ：，与 y=﹣1联立，求得，取x0=2，x0=1，猜想知足条件的点M 存在，再进行证明即可．【解答】解：（1）依题意， | OB| =8 ，∠ BOy=30°，设B（x， y），则 x=| OB| sin30 °=4 ， y=| OB| cos30°=12∵B（ 4 ，12）在 x2=2py（p＞0）上，∴∴p=2，∴抛物线 E 的方程为 x2=4y；（ 2）由（ 1）知，，设 P（x0，y0），则 x0≠0．l：即由得，∴，取 x0=2，此时 P（2，1），Q（0，﹣ 1），以 PQ 为直径的圆为（ x﹣ 1）2+y2=2，交y 轴于点 M 1（0，1）或 M 2（ 0，﹣ 1）取 x0=1，此时 P（1，），Q（﹣，﹣ 1），以 PQ 为直径的圆为（ x+ ）2+（y+ ）2=2，交 y 轴于点 M3（ 0， 1）或 M 4（0，﹣）故若知足条件的点M 存在，只好是 M（0，1），证明以下∵，，，∴=2y0﹣2﹣2y0 +2=0故以 PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点 M （0，1）．22．（ 14 分）（2012?福建）已知函数 f（x）=axsinx﹣（a∈R），且在，上的最大值为，（1）求函数 f（ x）的分析式；（2）判断函数 f （x）在（ 0，π）内的零点个数，并加以证明．【剖析】（ I）由题意，可借助导数研究函数，在，上的单一性，确立出最值，令最值等于，即可获取对于 a 的方程，因为a的符对函数的最值有影响，故能够对 a 的取值范围进行议论，分类求解；（II）借助导数研究函数 f （x）在（ 0，π）内单一性，由零点判断定理即可得出零点的个数．【解答】解：（ I）由已知得 f （′ x）=a（sinx+xcosx），对于随意的 x∈（ 0，），有sinx+xcosx＞0，当 a=0 时， f （x）=﹣，不合题意；当 a＜0 时， x∈（ 0，），f′（x）＜0，从而f（x）在（0，）单一递减，又函数在，上图象是连续不停的，故函数在，上上的最大值为 f （0）=﹣，不合题意；当 a＞0 时， x∈（ 0，），f′（x）＞0，从而f（x）在（0，）单一递加，又函数在，上图象是连续不停的，故函数在，上上的最大值为 f （）==，解得a=1，综上所述，得（ II）函数 f（x）在（ 0，π）内有且仅有两个零点．证明以下：由（ I）知，，从而有 f （0）=﹣＜0，f （）=＞ 0，又函数在，上图象是连续不停的，因此函数f（x）在（ 0，）内起码存在一个零点，又由（ I）知 f（x）在（ 0，）单一递加，故函数f（x）在（0，）内仅有一个零点．当 x∈[ ，π] 时，令 g（ x）=f ′（x）=sinx+xcosx，由 g（）=1＞0，g（π）=﹣π＜0，且 g（ x）在 [，π]上的图象是连续不停的，故存在m∈（，π），使得g（m）=0．由 g′（x）=2cosx﹣xsinx，知 x∈（，π）时，有g′（x）＜0，从而g（x）在[，π] 上单一递减．当 x∈（，m），g（x）＞g（m）=0，即f′（x）＞0，从而f（x）在（，m）内单一递加故当 x∈（，m）时，f（x）＞f（）=＞0，从而（x）在（，m）内无零点；当 x∈（ m，π）时，有 g（x）＜ g（m）=0，即 f ′（ x）＜ 0，从而 f（ x）在（，m）内单一递减．又 f（m ）＞0，f（π）＜ 0 且 f（ x）在 [ m，π] 上的图象是连续不停的，从而 f （ x）在[ m，π] 内有且仅有一个零点．综上所述，函数f（ x）在（ 0，π）内有且仅有两个零点．。
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2012年福建高考数学（文）试题及答案（三明市）参考公式：样本数据12,x x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式22121[()()()]n s x x x x x x n ---=-+-++- (13)V Sh =其中x -为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{11}M x x =-≤≤,{0,1,2}N =，则MN 为A ．}1{B ．}1,0{C ．}2,1,0{D ．}10|{≤≤x x 2．“12≥x ”是“1≥x ”的A ．充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件3．已知平面向量(3,1),(,3)x ==-a b ，若⊥a b ，则实数x 等于A ．3-B ．1-C ．1D ．34．已知i 是虚数单位，且复数(1)1i ()m m m -+-是纯虚数，则实数m 的值为A ． 1-B ．1C ．0或1D ．05．阅读如图所示的程序框图，运算相应程序，若输入的1m =，则输出m 应为开始输入m输出m结束否是lg 1m m ⋅≥1m m =+（第5题图）A ．1B ． 2C ． 3D ． 46．已知10<<x ，若21,,a x b c x x===．则 A ．c b a >> B ．a c b >> C ．a b c >> D ．b a c >>7．若α是第四象限角，且5tan 12α=-，则sin α= A ．513- B ．15- C ．15 D ．5138．已知n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是 A ．若αα//,//n m ，则n m //． B ．若γαβα⊥⊥,，则γβ//． C ．若βα//,//m m ，则βα//． D ．若βα⊥⊥m m ,，则βα//．9．如图是甲、乙两个学生的8次数学单元考试成绩的茎叶图．现有如下结论： ①乙甲＝X X ； ②乙的成绩较稳定； ③甲的中位数为83； ④乙的众数为80。
则正确的结论的序号是A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④ 10．已知函数1()22xx g x =-，若()(0)()()(0)g x x f x g x x ≥⎧=⎨-<⎩，则函数()f x 在定义域内 A ．有最小值，但无最大值． B ．有最大值，但无最小值．C ．既有最大值，又有最小值．D ．既无最大值，又无最小值．11．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点()5,0A -，()5,0B 距离之差为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是．．“好曲线”的是 A ．5x y += B ．229x y += C ．221259x y += D ．216x y = 12．已知线段12P P ，1||21=P P ，对于自然数n ()3≥n 有212n n n n P P P P --=，则1324352||||||||n n PP P P P P P P -+++++= A ．12 B ． 23C ． 1D ．32第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应位置． 13．已知圆01766:22=+--+y x y x C ，过原点的直线l 被圆C 所截得的弦长最长，则直线l 的方程是 ．14．在ABC ∆中，060A =，6=a ，2=b ，则B 的大小为 ．15．若[0,3]a ∈，则函数a ax x x f +-=2)(2有零点的概率为 ．16．袋内有50个球，其中红球15个，绿球12个，蓝球10个，黄球7个，白球6个．任意从袋内摸球，要使一次摸出的球中，一定有8个同色的球，那么从袋内摸出的球的只数至少应是 个．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知数列}{n a 满足1211+=+n n a a *()N n ∈． （Ⅰ）若12a ≠，求证数列{2}n a -是等比数列；（Ⅱ）若数列}{n a 是等差数列，1()2nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．(本小题满分12分)某食品厂对生产的某种食品按行业标准分成五个不同等级，等级系数X 依次为A ，B ，C ，D ，E ．现从该种食品中随机抽取20件样品进行检验，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：XABCD E频率a0.20.45bc（Ⅰ）在所抽取的20件样品中，等级系数为D 的恰有3件，等级系数为E 的恰有2件，求c b a ,,的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将等级系数为D 的3件样品记为321,,x x x ，等级系数为E 的2件样品记为21,y y ，现从21321,,,,y y x x x 这5件样品中一次性任取两件(假定每件样品被取出的可能性相同)，试写出所有可能的结果，并求取出的两件样品是同一等级的概率．19．(本小题满分12分)如图1，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，E 是AD 的中点．现截去部分几何体后得到如图2所示的四棱锥CD B A A 11-． （Ⅰ）求四棱锥CD B A A 11-的体积； （Ⅱ）求证：//1AB 面EC A 1．20．(本小题满分12分)已知函数2()sin()3cos32x f x x π=+-． （Ⅰ）将函数)(x f 的图象向上平移23个单位后得到函数()g x 的图象，求()g x 的最 大值；CA B CD A 1B 1C 1D 1图1 A 1B 1D AE图2（Ⅱ）设⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤=533|),(y x y x y x D ，若D P ∈，问：是否存在直线O OP (为坐标原点)，使得该直线与曲线)(x f y =相切？若存在，求出直线OP 的方程；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知1F 、2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点，M 、N 分别是直线:x yl m a b+=（m 是大于零的常数）与x 轴、y 轴的交点，线段MN 的中点P 在椭圆C 上．（Ⅰ）求常数m 的值；（Ⅱ）试探究直线l 与椭圆C 是否还存在异于点P 的其它公共点？请说明理由；（Ⅲ）当2a =时，试求21F PF ∆面积的最大值，并求21F PF ∆面积取得最大值时椭圆C 的方程．22．(本小题满分14分)已知函数()()2f x x x a =-，a 是大于零的常数． （Ⅰ）当1a =时,求()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[]1,2上为单调递增，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)证明：曲线()y f x =上存在一点P ，使得曲线()y f x =上总有两点N M ,，且PN MP =成立 ．参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BBCDCBADCABC13．0=-y x 14．45 15．3216．35 17．解：（Ⅰ）由1211+=+n n a a 得)2(2121-=-+n n a a ，21≠a ，021≠-∴a ， 121(1,)22n n a n n a +-∴=≥∈-N所以{2n a -是以21-a 为首项，21为公比的等比------------------------------5分 （Ⅱ）解法一：由1211+=+n n a a ，及)2(1211≥+=-n a a n n ，两式相减，得)(2111-+-=-n n n n a a a a ．又}{n a 是等差数列，于是d a a a a n n n n =-=--+11，所以d d 21=，解得0=d ， 于是1a a n =，代入1211+=+n n a a 得21=a ，于是2=n a *()n ∈N ．----------9分1)21()21(-==∴n n n n a b ，于是1)21(2))21(1(2211))21(1(1--=-⨯=--⨯=n n n n S ．---------------------12分解法二：∵{}n a 是等差数列，∴设1n n a a d +-=（d 为常数）， 即11(1)2n n n n a a a a d +-=+-=2(1)n a d ⇒=-从而{}n a 是常数列，公差0d =，故2n a =．-----------------------------9分下同解法一．18．解：（Ⅰ）由频率分布表得145.02.0=++++c b a ，即35.0=++c b a .因为抽取的20件样品中，等级系数为D 的恰有3件，所以15.0203==b . 等级系数为E 的恰有2件，所以1.0202==c . 从而1.035.0=--=c b a 。
所以1.0,15.0,1.0===c b a . -----------------------------------------6分 （Ⅱ）从样品321,,x x x ，21,y y 中任取两件，所有可能的结果为：),(21x x ，),(31x x ，),(11y x ，),(21y x ，),(32x x ，),(12y x ，),(22y x ，),(13y x ，),(23y x ，),(21y y ，共计10个设事件A 表示“从样品321,,x x x ，21,y y 中任取两件，其等级系数相等”， 则A 包含的基本事件为：),(21x x ，),(31x x ，),(32x x ，),(21y y ，共4个． 故所求的概率4.0104)(==A P . ---------------------------------------12分 19．解：（Ⅰ）如图，将几何体补形成正方体，-----------------------------------------3分则333331612111111111a a a a V V V V ABC B CC B DD A AC CD B A A =--=--=---正方体------7分 （Ⅱ）在正方体1AC 中，截面CD B A 11是矩形， 连接D B C A 11,，交于O ，则O 为D B 1中点。
又E 是AD 的中点，连接OE ，则OE 是D AB 1∆的中位线，于是OE AB //1， 又⊂OE 面EC A 1， EC A B A 11面⊄，于是//1AB 面EC A 1。