2012年福建高考数学试题(理数)

2012 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（理科）
第 I 卷（选择题 共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1. 若复数 z 满足 zi = 1 − i ，则 z 等于（ ） A． − 1 − i B． 1 − i C． − 1 + i D． 1 + i 考点：复数的运算。 难度：易。 分析：本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可。 解答： z =
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12. 阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的 s 值等于_____________________。 【 − 3】
考点：算法初步。 难度：易。 分析：本题考查的知识点为算法中流程图的读法，直接根据箭头的指向运算即可。 解答： k = 1, s = 1 ； s = 2 × 1 − 1 = 1, k = 2 ； s = 2 × 1 − 2 = 0, k = 3 ； s = 2 × 0 − 3 = −3, k = 4 ； 结束。 13. 已知 ∆ABC 的三边长成公比为 2 的等比数列，则其最大角的余弦值为_________。 【− 考点：等比数列和余弦定理。 难度：易。 分析：本题考查的知识点为等比数列的定义和余弦定理的应用。 解答：设 ∆ABC 三边为 a = m, b = 则可得 ∠C 所对的边最大， 且 cos C =
1− i i
(1 − i )( −i ) i ( −i ) − i −1 。 = 1 = −i − 1 =
2. 等差数列 {an } 中， a1 + a5 = 10, a 4 = 7 ，则数列 {an } 的公差为（ A．1 B．2 考点：等差数列的定义。 难度：易。 C．3 D．4 ）
分析：本题考查的知识点为复等差数列的通项公式 a n = a1 + ( n − 1) d 。 解答： ⎨ 3.
⎧1, x为有理数 ⎩0, x为无理数
= D ( x ) ，所以 D( x ) 为偶函数。
C 中， D ( x + 1) = ⎨
⎧1, x为有理数 ⎩0, x为无理数
= D ( x ) ，所以可以找到 1 为 D ( x ) 的一个周期。
D 中， D(1) = 1, D ( 2 ) = 0, D( 2) = 1...... ，所以不是单调函数。
x）Biblioteka A．1 2B．1
C．
3 2
D．2
考点：线性规划。 难度：中。 分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像。 解答：可行域如下：
（0,3）
y = 2x (m,3 − m )
（3,0）
3 （0， - ） 2
⎧x + y − 3 ≤ 0 ⎪ 所以，若直线 y = 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ⎨ x − 2 y − 3 ≤ 0 ， ⎪x ≥ m ⎩
1 1 ≥ x (当x = 0时，x 2 + = x ) 。 4 4 1 1 B 中， sin x + ≥ 2(sin x ∈ (0,1]) ； sin x + ≤ −2(sin x ∈ [ −1,0)) 。 sin x sin x
C 中， x 2 − 2 | x | +1 = (| x | −1) 2 ≥ 0( x ∈ R ) 。
⎧2a1 + 4d = 10 ⇒ d = 2。 ⎩a1 + 3d = 7
） B． ∀x ∈ R ,2 x > x 2
下列命题中，真命题是（ A． ∃x0 ∈ R, e x0 ≤ 0
C． a + b = 0 的充要条件是
a = −1 b
D． a > 1, b > 1 是 ab > 1 的充分条件
考点：逻辑。 难度：易。 分析：本题考查的知识点为复逻辑中的充要条件的判定。 解答：A 中， ∀x ∈ R , e
2 】 4
2m, c = 2m ，
a 2 + b2 − c2 = 2。 2ab nπ 【3018】 + 1 ，前 n 项和为 S n ，则 S 2012 = ___________。 2
14. 数列 {an } 的通项公式 a n = n cos
考点：数列和三角函数的周期性。 难度：中。 分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。 解答： a 4 n +1 = ( 4n + 1) × cos
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。 11. ( a + x ) 4 的展开式中 x 3 的系数等于 8，则实数 a = _________。 【2】 考点：二项式定理。 难度：易。 分析：本题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可。
r 4 −r r 3 4 −3 解答： ( a + x ) 4 中含 x 3 的一项为 Tr +1 = C 4 a x ，令 r = 3 ，则 C 4 a = 8 ，即 a = 2 。
6.
1 ∈ (0,1]( x ∈ R ) 。 x +1 如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为（ ） 1 1 1 1 A． B． C． D． 4 5 6 7
D 中，
2
考点：积分的计算和几何概型。 难度：中。 分析：本题考查的知识点为公式法计算积分和面型的几何概型。 解答： S ( Ω ) = 1 × 1 = 1 ，
1 ) > lg x ( x > 0) 4
B． sin x + D．
1 ≥ 2( x ≠ kπ , k ∈ Z ) sin x
C． x 2 + 1 ≥ 2 | x | ( x ∈ R )
1 > 1( x ∈ R ) x +1
2
考点：不等式及基本不等式。 难度：中。 分析：本题考查的知识点为不等式的性质及基本不等式的性质。 解答：A 中， x 2 +
x1 + x2 + x3 + x 4 ( x + x2 ) + ( x 3 + x 4 ) )= f( 1 ) 2 2
1 x + x2 x + x4 [f( 1 )+ f( 3 )] 2 2 2 1 1 1 ≤ [ ( f ( x1 ) + f ( x 2 )) + ( f ( x1 ) + f ( x 2 ))] 。 2 2 2 1 ≤ [ f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) + f ( x4 )] 4 ≤ 第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）
8.
双曲线
x2 y2 − 2 = 1 的右焦点与抛物线 y 2 = 12 x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ） 4 b
B． 4 2 C．3 D．5
A． 5
考点：双曲线的定义。 难度：中。 分析：本题考查的知识点为双曲线的定义，焦点，渐近线，抛物线的定义。 解答：抛物线 y 2 = 12 x 的焦点为 (3,0) 。 双曲线中， b 2 = 9 − 4 = 5 。
① f ( x ) 在 [1,3] 上的图像时连续不断的； ② f ( x 2 ) 在 [1, 3 ] 上具有性质 P ； ③若 f ( x ) 在 x = 2 处取得最大值 1，则 f ( x ) = 1 ， x ∈ [1,3] ； ④对任意 x1 , x2 , x3 , x 4 ∈ [1,3] ，有 f ( 其中真命题的序号是（ A．①② B．①③ ） C．②④ D．③④
所以 a 4 n +1 + a 4 n +2 + a 4 n +3 + a 4 n + 4 = 6 。 即 S 2012 =
则 3 − m ≥ 2 m ，即 m ≤ 1 。 10. 函数 f ( x ) 在 [a , b] 上有定义，若对任意 x1 , x 2 ∈ [ a, b] ，有 f (
x1 + x 2 1 ) ≤ [ f ( x1 ) + f ( x 2 )] ，则称 f ( x ) 在 2 2
[a , b] 上具有性质 P 。设 f ( x ) 在[1,3]上具有性质 P ，现给出如下命题：
x1 + x2 + x3 + x4 1 ) ≤ [ f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) + f ( x4 )] 。 2 4
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考点：演绎推理和函数。 难度：难。 分析：本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误只需举出反例即可，说明一个结论正确要证明 对所有的情况都成立。 解答：A 中，反例：如图所示的函数 f ( x ) 的是满足性质 P 的，但 f ( x ) 不是连续不断的。
2 1 1 。 S ( A) = ∫ ( x − x )dx = ( x 2 − x 2 ) |1 0= 0 3 2 6
1
3
所以 P ( A) =
S ( Ω) 1 = 。 S ( A) 6
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7.
设函数 D ( x ) = ⎨
⎧1, x为有理数 ⎩0, x为无理数
，则下列结论错误的是（
）
A． D ( x ) 的值域为 {0,1} C． D ( x ) 不是周期函数
⎧ f ( x ) + f (4 − x ) ≥ 2 ⎪ ⇒ f ( x) = 1 ， ⎨ f ( x ) ≤ f ( x ) max = f ( 2) = 1 ⎪ f ( 4 − x ) ≤ f ( x ) = f ( 2) = 1 ⎩ max
所以，对于任意 x1 , x2 ∈ [1,3], f ( x ) = 1 。 D 中， f (