2012年全国高考理科数学试题-新课标

绝密*启用前
2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注息事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·
4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷
一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。

（1） 已知集合{1,2,3,4,5}A ，{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为
（A ）3 （B ）6 (C) 8 （D ）10
（2） 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由
1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
（A ）12种 （B ）10种 (C) 9种 （D ）8种
（3） 下面是关于复数21z i
=-+的四个命题： 1:||2P z =, 22:2P z i =,
3:P z 的共轭复数为1i +, 4:P z 的虚部为-1，
其中的真命题为
（A ）23,P P (B) 12,P P (C) 24,P P (D) 34,P P
（4） 设12F F 是椭圆E ：22
22(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（）
（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）45
（5） 已知{}
n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）
（A ）7 （B ）5 （C ）-5 （D ）-7
（6） 如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实
数12,,...,N a a a ，输出A,B,则
（A ）A+B 为12,,...,n a a a 的和
（B ）2
A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数 （C ）A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数
（D ）A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数
（7） 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
（A ）6
（B ）9
（C ）12
（D ）18
（8） 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线2
16y x =的准线交于,A B 两点，
||AB =，则C 的实轴长为
（A （B ）（C ）4 （D ）8
（9） 已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2
ππ单调递减。

则△t 的取值范围是 （A ）15
[,]24 （B ）13[,]24
（C ）1
(0,]2 （D ）(0,2]
（10） 已知函数1()ln(1)f x x x
=+-，则()y f x =的图像大致为
（11） 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为
球O 的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为
(A)6
3
(D) 2
（12） 设点P 在曲线12x y e =
上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 最小值为 （A ）1ln 2- （B
ln 2)- （C ）1ln 2+ （D
ln 2)+
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13） 已知向量,a b 夹角为450
，且||1,|2|a a b =-||b = （14） 设,x y 满足约束条件1,3,0,
0,
x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则2z x y =-的取值范围为
（15） 某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则
部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N ，且各个部件能否正常工作相互独立，那
么该部件的使用寿命超过1000小时的
概率为
（16） 数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
已知,,a b c 分别为△ABC 三个内角,,A B C 的对边,cos sin 0a C C B C --=,
（I ）求A ；
（II ）若2a =,△ABC 求,b c
（18）（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。

（Ｉ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n N ∈）的函数解析式。

（II ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（i ） 若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X x 的分布列、数学
期望及方差；
（ii ） 若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由。

（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112
AC BC AA ==
,D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥
（I ）证明：1DC BC ⊥
（II ）求二面角11A BD C --的大小。

（20）（本小题满分12分）
设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为L ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交L 于,B D 两点。

（I ）若90,BFD ABD ∠= 的面积为p 的值及圆F 的方程；
（II ）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值。

（21）（本小题满分12分）
已知函数()f x 满足121()(1)(0)2
x f x f e f x x -'=-+ （I ） 求()f x 的解析式及单调区间；
（II ） 若21()2
f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值。

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，,D E 分别为△ABC 边,AB AC 的中点，直线DE 交于△ABC
的外接圆于,F G 两点，若//CF AB ，证明：
（I ） CD BC =；
（II ）
BCD GBD
(23)(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ
=⎧⎨=⎩，（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,
)3π （I ）
求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； （II ） 设P 为1C 上任意一点，求2222
||||||||PA PB PC PD +++的取值范围。

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()|||2|f x x a x =++-.
(I)
当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集； (II) 若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。