几类混合单调算子方程解存在的唯一性定理
解的存在唯一性定理证明
存在唯一性定理 如(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足利普希茨条件，则方程(,),dyf x y dx=在区间0x x h -≤上存在唯一解00(),()y x x y ϕϕ==，其中(,)min ,,max (,)xy R bh a M f x y M∈⎛⎫== ⎪⎝⎭逐步迫近法 微分方程(,)dyf x y dx=等价于积分方程00(,)xxy y f x y dx =+⎰取00()x y ϕ=，定义001()(,()),1,2,xn n x x y f x x dx n ϕϕ-=+=⎰ 可证明lim ()()n n x x ϕϕ→∞=的()y x ϕ=满足积分方程。
通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。
命题1 先证积分方程与微分方程等价：设()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx =定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初值条件00()x y ϕ=的解，则()y x ϕ=是积分方程000(,),xx y y f x y dx x x x h =+≤≤+⎰定义于区间00x x x h ≤≤+上的连续解。
反之亦然。
证 因()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx=的解，有 ()(,())d x f x x dxϕϕ= 两边从0x 到0x h +取定积分0000()()(,()),xx x x f x x dx x x x h ϕϕϕ-=≤≤+⎰代入初值条件00()x y ϕ=得0000()(,()),xx x y f x x dx x x x h ϕϕ=+≤≤+⎰即()y x ϕ=是积分方程0000(,),xx y y f x y dx x x x h =+≤≤+⎰定义于区间00x x x h ≤≤+上的连续解。
反之，则有0000()(,()),xx x y f x x dx x x x h ϕϕ=+≤≤+⎰微分之()(,())d x f x x dxϕϕ= 且当0x x =时有00()x y ϕ=。
混合单调算子方程组解的存在唯一性定理_栾世霞
其中 N 为锥 P 的正规常数。此外，对 ∀x0 ∈ [u0 , v0 ]，令 xn+1 = Axn (n = 0, 1, 2, · · · )，则 有 x∗ = lim xn 。
n→∞
推论 3 设 A : [u0 , v0 ] → E 是减算子且存在正的有界线性算子 T1 , T2 , T3 : E → E ，使得谱 半径 r(T1 + T2 + T3 ) < 1，且满足下列条件： (H1 ) A(u) − A(v ) ≤ T1 (v − u), u0 ≤ u ≤ v ≤ v0 ； (H2 ) u0 + T2 (v0 − u0 ) ≤ A(v0 ), A(u0 ) ≤ v0 − T3 (v0 − u0 )。 则算子 A 在 [u0 , v0 ] 中有唯一不动点 x∗ ，而且迭代序列 un+1 = Avn − T2 (vn − un ), (16) v n+1 = Aun + T3 (vn − un ), n = 0, 1, 2, · · · 都收敛于 x∗ ，并有误差估计式 x∗ − un (或 vn ) ≤ N rn v0 − u0 , r(T1 + T2 + T3 ) < r < 1, (17)
第26卷 第2期 2009年04月
工
程
数
学
学
报
CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS
Vol. 26 No. 2 Apr. 2009
文章编号:1005-3085(2009)02-0373-04
混合单调算子方程组解的存在唯一性定理∗
栾世霞, 孙钦福
(曲阜师范大学数学科学学院，曲阜 273165) 摘 要: 利用锥理论和单调迭代方法，本文在更广泛的条件下得到了一般 Banach 空间中的混合单调算子 方程组解的存在唯一性定理，进一步得到了混合单调、增、减算子新的不动点的存在唯一性定 理。本文结果一方面改进并推广了最近的一些已知结果，另一方面本文所给的条件在实际应用中 更便于检验。最后给出了一个应用，以检验本文所得结果。 中图分类号: 果
几种随机微分方程解的存在性与唯一性TheExistenc(精)
(5)
文献[6]中给出了这一定理的证明，先证唯一性，再证存在性。但是存在性的证明过程中需要构造迭 代格式， 并且运用了鞅不等式[7]， 切比雪夫不等式， Borel-Cantelli 引理[8]， 还用到了无穷级数一致收敛， 归纳法以及递推的方法， 证明既繁琐又复杂。 下面我们对一些具体的随机微分方程， 利用 Cauchy-Schwarz 不等式，通过变换利用伊藤公式[9]，再利用 Gronwall 引理来完成随机微分方程存在性与唯一性的证明， 对于这些具体的随机微分方程证明过程变得比较简炼，使我们更容易理解接受。 注
39
几种随机微分方程解的存在性与唯一性
ˆ, t ) ≤ L x − x ˆ ，对于所有的 0 ≤ t ≤ T ， x, x ˆ ∈ n (i) (Lipschitz 条件) b ( x, t ) − b ( x
(ii) (线性增长有界条件)
b ( x, t ) ≤ L (1 + x )
(3) (4)
φ ( t ) ≤ C0 + ∫0 f φ ds,
t
对于所有的0 ≤ t ≤ T
(2)
那么
φ ( t ) ≤ C0 e ∫0
t
fds
，对于所有的 0 ≤ t ≤ T 。
2.4. 存在性与唯一性定理
假定 b : n × [ 0, T ] → n ，和 B : n × [ 0, T ] → M n×m ，是连续的，并且满足下面的条件[4]：
那么
X2 0 = dX dt + dW g () f ()
② 考虑到定义中的(iii)，我们可以总是假定 X ( ⋅) 几乎必然有连续的样本路径。
格空间中算子方程解的存在唯一性定理
在 唯一 性 ， 因此本 文不 同 于 以往 文献 的研 究 ．
先介 绍相 关概 念 及 一 些 记 号 （ 关 向量 格 的详 有
则 称 Ｅ是一 个 向量格 （ 献 ［ —７ 中向 量格 又 称 为 文 ４ ］
Ｒｉ ｚ ｅ 空间 ） ｓ ．
设 Ｅ是 向量 格 ， 如果 对来自给 定 的 Ｘ， ∈Ｐ 及任 意 Ｙ
Ｅ是 ｏ 完备 的 Ａｒｈｍｅ ｅ ｎ向量 格． ｃ ｉ ｄａ 定义 ２ ［ 设 ＷｃＥ， 于是 × ｃＥ×Ｅ．
Ｐ导出， Ｄ—Ｅ ， ］ Ｅ 中 的序 区 间 ， Ｄ 卜 Ｅ． ｗ。 是 Ａ： ＿ 一
满足 下列 条件 ： ｉ 在 。 幂算 子 Ｌ， 得 ）存 零 使
０≤ Ａｖ— Ａｗ ≤ Ｌ（ ｖ一 叫），ｗ０≤ 训 ≤ ≤ ０ ； ｉ ｉ ）ｗｏ Ａｗｏ Ａ７ ≤ ７ ， ≤ ， ］ ３ ｏ ｏ
格 ， 为正 规 向量 格 ， 且 Ｐ是 Ｅ 中 的锥 ， 中 的半 序 由 Ｅ
１ 。 ≤ｅ 。则 称 ｛ 收敛 到 。 记为 ｚ — ｚ 一ｚ ｌ ｚ ， ￡ ｘ ）。 ， ｘ ． 果对 任意 的 ｅ ， 。如 ＞０ 存在 自然 数 Ｎ 使得 当 ≥ ， ｍ≥Ｎ 时 ，ｚ 一 Ｉ ｌ ｅ 。 则 称 序 列 ｛ 为 。 ≤ ， ｘ｝ 基 本列． 如果 Ｅ 中任何 。 本 列都 是 。 基 收敛 的 ， 则称
关键 词 ： ｏ完备的 Ａｒｈｍｅ ｅｎ向量格 ；。零幂算子 ； “ ｃ ｉ ｄａ Ｕ 混合 单调算子
唯一性定理
唯一性定理唯一性定理是数学中的重要定理之一，它指出了在某些条件下，特定类型的方程或问题只有唯一解。
唯一性定理最经典的形式是微分方程的唯一性定理，它在微积分和微分方程的研究中占据重要的地位。
微分方程是描述自然现象和物理规律的重要工具，通过对微分方程的求解，可以得到问题的解析解，从而更好地理解和预测现象。
然而，并不是所有的微分方程都能够得到解析解，有些方程可能只能通过数值方法进行求解。
因此，唯一性定理提供了一种重要的判据，用于确定方程是否有唯一解。
在微分方程的唯一性定理中，通常需要满足连续性和局部利普希茨条件。
连续性要求方程中的函数在某个区域内是连续的，这是非常基本的要求，因为连续性是数学分析中的重要概念。
局部利普希茨条件则要求方程中的函数在一定范围内具有有界的导数，这个条件保证了方程的解在某个区间内是唯一的。
微分方程的唯一性定理可以通过三个步骤来证明。
首先，需要利用泰勒级数展开将微分方程转化为一个无穷级数。
其次，需要证明无穷级数的解存在且唯一。
最后，通过局部利普希茨条件和连续性条件，得到解的存在范围。
除了微分方程的唯一性定理，数学中还有一些其他类型问题的唯一性定理。
例如，线性代数中的矩阵方程的唯一性定理，数论中的素因数分解的唯一性定理等等。
这些定理都有一个共同点，即在满足一定条件下，问题的解是唯一的。
唯一性定理在数学研究和应用中有着广泛的应用。
通过这些定理，我们可以确定问题是否存在唯一解，从而帮助我们深入研究和理解问题。
唯一性定理也经常被用于证明其他定理，深化了我们对数学的认识和理解。
总之，唯一性定理是数学中的一类重要定理，它指出了在满足特定条件下，方程或问题具有唯一解的情况。
微分方程的唯一性定理是其中最经典和重要的定理之一，它在微积分和微分方程的研究中扮演着重要的角色。
唯一性定理的应用广泛，帮助我们理解和解决各种数学问题，并进一步推动数学的发展。
唯一性定理除了在微分方程中应用广泛，还在其他数学领域中有重要的应用。
解的存在唯一性定理
一阶微分方程解的存在性定理的其它证明方法姜旭东摘要 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.关键词 一阶微分方程 不动点定理 解的存在性 唯一性 1、引言微分方程来源于生活实际，研究微分方程的目的在于掌握它所反映的客观规律。
在文[1]第二章里,介绍了能用初等解法求解的一阶方程的若干类型,但同时指出,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求解它的通解,而实际问题需要的往往是要求满足某种初始条件的解. 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解的存在唯一性定理的其它几种证法.考虑一阶微分方程 (,)dyf x y dx= (1.1)这里(,)f x y 是在矩形区域00:||,||R x x a y y b -≤-≤ (1.2)上的连续函数.函数(,)f x y 在R 上满足Lipschitz 条件，即存在常数L ＞0，使得不等式1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤- (1.3)对所有12(,),(,)x y x y R ∈都成立, L 称为Lipschitz 常数。
定理1.1、如果(,)f x y 在R 上连续且关于y 满足Lipschitz 条件，则方程(1.1)存在唯一的解()y x ϕ=,定义于区间0||x x h -≤上,连续且满足初始条件00()x y ϕ=这里min(,)bh a M=,(,)max |(,)|x y R M f x y ∈=.文[1]中采用皮卡逐步逼近法来证明这个定理.为了简单起见,只就区间00x x x h≤≤+来讨论,对于00x h x x -≤≤的讨论完全一样.分五个命题来证明这个定理:命题1、设()y x ϕ=是方程(1.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上满足初始条件00()x y ϕ=的解,则()y x ϕ=是积分方程0(,)xx y y f x y dx =+⎰ 00x x x h ≤≤+ (1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然. 现在取00()x y ϕ=,构造皮卡逐步逼近函数序列如下:0000100()()(,())x nn x x y x y f d x x x hϕϕξϕξξ-=⎧⎪⎨=+≤≤+⎪⎩⎰ (1.5)(n=1,2,…)命题2 、对于所有的n ，(1.5)中()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上有定义、且满足不等式0|()|n x y b ϕ-≤命题3 、函数序列{}()n x ϕ在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的. 命题4 、()x ϕ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.命题5 、()x ψ是积分方程(1.4)的定义于00x x x h ≤≤+上的一个连续解，则()()x x ϕψ=，00x x x h ≤≤+.综合命题1—5，即得到存在唯一性定理.本文在方程(1.1)在满足定理1.1条件下,应用应用压缩映像原理，Schauder 不动点定理，以及Euler 折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.2、预备知识定义 2.1、 定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =,如果存在数M ＞0，使得对任一f F ∈，都有()f t M ≤，当t αβ≤≤时，则称函数族F 在t αβ≤≤上是一致有界的.定义2.2 、定义在t αβ≤≤上的实值(m 维)向量函数族{}()F f t =，如果对于任给的ε﹥0，总存在δ﹥0，使得对任一f F ∈和任意的12,[,]t t αβ∈，只要12|,|t t -＜δ就有12()()f t f t -＜ε则称函数族F 在 t αβ≤≤上是同等连续.定义2.3、设X 是度量空间，M 是X 中子集，若M 是X 中紧集，则称M 是X 中相对紧集。
混合单调算子方程解的存在与唯一性定理
混合单调算子方程解的存在与唯一性定理
1 混合单调算子方程
混合单调算子方程是一种普通微分方程，被应用于研究各种自然现象，体现了它的重要意义。
大多数混合单调算子方程都是常微分方程，两个变量均具有一个决定解的重要性。
关于混合单调算子方程解的存在与唯一性，目前学术界已普遍接受四个基本定理：测试定理、正略定理、总体正略定理和曲线正略定理。
2 测试定理
测试定理指出，如果一个混合单调算子方程的系数满足一定的有界性，那么这个方程就有唯一的解。
测试定理是混合单调算子方程的首要定理，有着重要的学术价值。
3 正略定理
正略定理是混合单调算子方程的次要定理，它宣称混合单调算子方程的解可以分解成低阶的单调算子子方程的解。
这个定理能够显著简化解决这类方程的难度，也为此类方程的应用提供了有力支持。
4 总体正略定理
总体正略定理指出，对于混合单调算子方程，满足测试定理的解都以总体形式存在，而且这类解是唯一的。
5 曲线正略定理
曲线正略定理指出，如果满足测试定理，则混合单调算子方程可以分解成一系列以曲线形式存在的子方程，而且这些子方程的解又是唯一的。
综上所述，混合单调算子方程解的存在性和唯一性有四个基本定理来证实，它们是测试定理、正略定理、总体正略定理和曲线正略定理。
它们揭示了混合单调算子方程解的存在性及其独特性，为此类方程的应用发展和研究奠定了基础。
第2节 解的存在唯一性
≡ C1 ⋅ 0 + C2 ⋅ 0 = 0
即 y = C1 y1( x) + C2 y2( x)是(3.2)的解.
对于齐线性方程组(3.2) s， 对于齐线性方程组 r r r r d[C1 y1( x) + C2 y2( x)] dy1( x) dy2( x) Q = C1 + C2 dx dx dx r r = C1 ⋅ A( x) y1( x) + C2 ⋅ A( x) y2( x) r r = A( x)[C1 y1( x) + C2 y2( x)]
y = ϕ( x) ( x ∈ I= A( x) y + f ( x) dx y( x0 ) = y0
(3)′
y10 y1 y 0 y y′ r y20 0 其中 y = 2 = , y0 = , f ( x) = . M M M M y f ( x) yn y(n−1) n0
r r r d y = A( x) y + f ( x) 定理2 定理 对于 d x (2), r r y( x0 ) = y0 r 若A( x) = [ai j ( x)]n×n，f ( x) = [ fi ( x)]n×1在区间 r I = [a, b]上连续，则∀ x0 ∈ I及任一y0 = [ yi0 ]n×1, 上连续，
i=1 m
L[ y] = ∑Ci fi ( x)
i=1
的解, 其中C 均为常数. 的解 其中 i (i=1, 2, ··· , m)均为常数 均为常数
r∗ (2) 若 yi ( x)是方程组 r dy r r = A( x) y + fi ( x) (i = 1, 2, L, m) dx m r∗ 的解， 的解，则 ∑Ci yi ( x) 是方程组
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．
Ｓ ｖ ｒ １Ｔ ｐ ｓ ｏ ｉ ｅ ｏ ｏ ｏ ｅ Ｏ ｅ ａ ｏ ｑ ａ ｉｎ ｎ ｎ ｅ ｅ ｓ Ｔ ｅ ｒ ｍ Ｅ ｉ ｔ ｅ ｅ ａ ｙ ｅ ｆ Ｍ ｘ ｄ Ｍ ｎ ｔｎ ｐ ｒ ｔ ｒ Ｅ ｕ ｔ ｓ ａ ｄ Ｕ ｉ ｕ ｎ ｓ ｈ ｏ ｅ ｘ ｏ ｑ ＳＳ
．
类 几
混 △
么 令 Ｌ ＝ ｕ，） ｙ Ａ ，ｎ 则 必 有 ｕ Ｖ － 使 ｘ Ａ（ ｎＬ ： ｕ ， Ｖ， ） 叶∈Ｄ
Ｌ ＝ （ ｘ Ｄ中的解。 ｘＡｘ ） ，在
Ｌ ｎ Ａｕ，） ｖ ｌ （ ，） ｕ １ （ ｎＬ ｎ Ａ ｖｕ 。因此可构造无穷序列： ＋ ＝ ｖ， ＋ ＝ ｎ
注 １若 Ａ ｕ ）Ａ ： （ ｖ ｕ且 Ｌ Ｉ则我们可得增算子 ： ＝， Ａ的不动点定理 注 ２ 若 Ａ（ｖ： ｖ Ｌ Ｉ则我们可得减算子 ： ｕ ）Ａ 且 ＝ ，
，
。
性 ＿ — —
定
理
，
Ｌ ｏ ｕ ｕ …ｓ …ｓ Ｌ ｎ … Ｌ ｌ Ｌ 。 Ａ的不动点定理 ｕ５Ｌ ｌ ｎ ≤Ｌ Ｖ Ｖ ｖ （） ２ 定 理 ２２ 设 Ｅ是 实 Ｂ ｎｃ ａａｈ空 间 ， Ｐ是 Ｅ 中的 ｕ ｕ Ｌ ｎ … …ｓ Ｖ … Ｖ 。 Ｉ ｕ Ｄ ｌ ≤ ≤Ｖ （ 正规锥 存在 ｕ’ ∈Ｅ使得 ｕ ｖＤ ［ ，］混 合单 ３ ） ｏ０ Ｖ ｏ ｏ ＝ｕ ｖ ， ， ｏｏ 由引理知 Ｏ ｍ Ｍ 存在 ， ＜＜ 使得： 调算子 Ａ ： ×Ｅ－ Ｅ － Ｅ满足： － ￣
徐 洁 陈婷 婷 。
Ｘｕ ｉ Ｃｈ ｎ Ｔｉ ｔｎｇ Ｊｅ ｅ ｎｇ ｉ
（． １江西电力职业技术学院， 江西 南昌 ３０ ３ ； ． ３０ ２ ２南昌大学， 江西 南昌 ３０ ３） ３０１
（．ａｇｉ ｃｔ ｎｌｎ ｅｈｉａＣ ｌｇ ｆ ｌｃ ｉｔ，ｉ ｇｉ ｎｈｎ ３０２ ２ＮａｃａｇＵ ｉ ｒｉ， １ ｉ ｘ ａｏａ ｄＴ ｃｎｃｌ ｏｌ ｅ ｅｔｃｙＪ ｎ ｘＮａｃａｇ３０３ ； ． ｎｈｎ ｎｖ ｓｙ Ｊ ｎ Ｖｏ ｉ ａ ｅ ｏＥ ｒｉ ａ ｅ ｔ
数。 证 明 ： 理 ２１ 同的 证 明 方法 ， 得 到 两 个 与定 ・相 可
条件 ｆＭ Ｌ 。 ｕ ｌ）１ （ Ｉ Ｌ ｓｆ Ｉ Ｖ Ｌ ｏ ＜ Ｍ Ｌ （ Ｉ 一 Ｉ
Ｊ ｎｘ Ｎ ｎ ｈｎ ０ ３） ｉ ｇｉ ａｃａｇ ３ ０ ａ ３ １ 摘 要：本文利用锥理论和半序方法在 Ｂ ｎｃ ａａｈ空间研究 了一类混合单调算子方程解的存在唯一性， 把 压 缩映 射推广 到 了函数及 算 子的形 式 ， 到一些 新 的定理 ， 得 所获结 果推广 了 已知 的结 论。
，
，
所以｛ ＬｎｕＩ 为单 Ｉ ＶＬ ） 调递减 Ｉ － １ 序列， 由
（ ７ ）
ｕ ｕｖ ≤ Ｚ Ｉ ＇ （） Ｍ ． ［ Ｉ ＮＬ 一
其 中实数 Ｍ， 满足 Ｏ ｍ＜ 入＝（ ｆ Ｉ 。 ０ ｍ ＜ Ｍ， ｆ （ Ｉ 。 Ｎ Ｍ Ｖ ｕ
Ｉ） Ｉ ０ ｏ － Ｍ Ｖ Ｄ Ｉ） Ｉ Ｍ ｖ ｕ Ｉ） Ｉ 。 ｆ（ Ｉ ｏ ｏＩ ， ｔ Ｉ － ， Ｎ是锥 Ｐ的正规常
ｒ
＋ｌ
＝
在（ 中令 ｏ得 Ｉ ｕ Ｌ 入“ Ｌ 旷 ｕ ９ ） ｏ Ｉ ‘ ｕ｝ Ｌ Ｉ 【 ｖＬｏ Ｉ
堕 口
｛ ｖ ０… （ ｕ，］ｕ ｌＬ等￡‰１ 调 Ｌ ｎ ， ， １ 故］Ｌ ． ￡ 五一（ 子 １ ） ＇ ｕ１ ｌ 一￡ ２ 方 Ｕ ； ， － ＊Ｉ 一≤９ Ｉ） ． ＝ ２ ： －≤ 。 Ｚ Ｌ ｚ ｌ ｖ 算 ０
Ｌ ｎ１ 肺 一 Ｉ ｖ 。＿ １Ｉ Ｌ ｌ （） ６ 由 ｆ（ ∈（， （ Ｏ， ｌＬ Ｉ ｕ Ｉ ｓ ｌ ｔ ０１ ｖｔ ） 贝 Ｉ Ｖ Ｌ ｎＩｌ ｌ ） ） 广
Ｌ ｑ Ｌｕ． ｖ ． ＿ ，
－
ｌ ｕ Ｖ ， ｌ ２ｖ ｕ ｎ ｏ １２ 则 ｝ ： （ ，ｎ ： （ｎ ＝ ，， …， Ａ 。 ） Ａ ，） ， ｛ｎ Ｖ 都收敛于 ｕ 且误差估计为： ） ．
明方 法 也不 同．
定 理 ２１ 设 Ｅ是 实 Ｂ ｎ ｃ 问， ． ａａｈ空 Ｐ是 Ｅ中 的
正规锥， 设算子 Ｌ： —Ｅ满足 Ｌ Ｄ ＝ Ｄｃ ， （ ）Ｅ及 （ ） Ｃ 条 件， 混合单调算予 Ａ ： ｘＥ Ｅ —Ｅ满足： （） 在 ｕ，ｏ 使得 Ｌ ｏ ｕ，。 １存 ｏＶＣＤ， ｕ Ａ（０ ） ｓ ｖ ≤Ａ（ｏ ０ ｖ， ） ｕ
２ 主要 结果
１ ｌ ｙ
本文利用迭代法讨论 了半序 Ｂ ｎｃ ａａｈ空间 中几
类混合单调算子方程解的存在唯一性。关于这类算 子的研究已有一些结果， 但已知文献要求算子的连 续性或者满足紧性条件，而对仅满足某些序条件的 混合单调算子方程解的存在唯一陛定理很少。本文 由锥引入半序， 压缩映射推广到了函数及算子的形 式， 且不再假设算子是连续的， 推广了文献【 相应的 １ ］ 结果 ， 文献 ［］文献 ［］ 比， 了上下解 条 件， 与 ２、 ３相 改变 证
存
在 的
唯
由条件（）得 ｕ ｕ － Ｖ ， Ｃ， Ｖ ０ 假设 Ｌ ｎ ｕ ｓ ｕ Ｌ ｎ － ｓ Ｌ ｎ ｖ 则 ｌ ｕ Ｖ ｖｓ Ｌ ｓ 。由于算子 Ａ是混合
单调算子， 可推出 Ｌ Ｌ 州 － Ｌ ｎ ｕ ｕ Ｌ Ｖ 则： ，
（ ，ｎ一 （ Ｖ－ ｆ （Ｉ － － Ａ ｕ ｎ ｕ－ ） ｔ ） Ｉ
（） ５ 足
Ｌ Ｌ ｎ Ｉ（Ｖ Ｌ ｎ ｖ ｕ－ Ｉ Ｌ ｕ－ ｌ） １ ）
又由式（） ４和条件（） ： ２可得
Ｉ Ｌ ｎ ｕ － ｆ （ ＩＬ Ｌ ｇ Ｉ ） Ｉ ’ Ｉ ｖＬｎ Ｍ Ｉ ｒ ｕ． Ｉ －Ｉ
（） 在 单调递 增的 函数 ｆ （ ２存 ：Ｏ ＋ｏ ＿ （，） ｏ ）÷Ｏ１， 使得 Ａ（ ｖ ｕ． ｕｖ ） ，） Ｉ ． ） ．） ｕ ｎ ｖ ０ Ａ（ Ｉ ｕＩ （ ｕ， ｓ Ｖ Ｉｖ ｖ ｖ 则算子方程 Ａｘ ）ｘ Ｄ中有解 ｕ。 （ ｘ＝ 在 ’若序列满
， ， ，
Ｋｅ ｗｏ ｄ ：ａｔａ ｄ ｒ Ｂａ ａ ｈＳ ａ ｅ Ｍ ｉｅ ｏ ｏｏ ｅＯｐ ｒｔ ｙ ｒ ｓＰ ｒｉｌ Ｏｒ ｅ； ｎ ｃ ｐ ｃ ； ｘ ｄＭ ｎ ｔ ｎ ｅａｏ
１ 基 本概 念及 引理
等价范数 ｌ Ｉ’ Ｉ Ｉ 满足 Ｖ ≤ｘ 都有 Ｉ 口 １ Ｏ Ｙ Ｉ ｌｌ ｘ Ｉ（ ｌ 即范数 ｌ ｌ 是单调的） ， ｌ Ｉ 口 １ 。
设 Ｅ是实 Ｂ ｎｃ ａａｈ空间，集合 Ｐ Ｅ称为锥， ｃ 如 果 Ｐ满足 ： １Ｐ为 非空 闭 凸集 ；２ （） （）对任 意 ｘ ∈Ｐ及
任 意 ＾ ＞ ， Ｘ ；３若 ｘ －ｅＰ 则 ｘ Ｏ 。给定 Ｏ ∈Ｐ （） Ａ ＥＰｘ ， ＝
Ｅ中的锥 Ｐ 可定义 Ｅ中的半序关系为 ｘ 。如果 ， ≤Ｙ ｙ ∈Ｐ 锥 Ｐ － ， ｘ 称为正规的； 如果存在 Ｎ ０ ０≤ｘ ＞， 使 ≤ Ｙ Ｉ ｓＮ ＹＩ称 Ｎ 为 Ｐ的 正规常 数 。 有 ｌ Ｉ ｌ ， ｌ ｘ ｌ ｌ 定义 ｌ 称算子 Ｌ： —Ｅ满足 ｃ条件， Ｄｃ 如果
引理 １ ． １锥 Ｐ是正规的当且 仅当存在 Ｅ上 的
Ｌ ＝ ｕ Ｖ ，ｙ Ａ ｖＵ ， Ｅ中有 解 ， 别记 为 ｕ ｘ Ａ（０ｏＬ ＝ （ｏｏ 在 ，） ，） 分 ｌ
和ｖ ｇ再 解 Ｌ ＝ ｕ，１Ｌ ＝ ｖ，１ 可 找 到 ｔ 和 ｖ。 ｘ Ａ（ｌ ） ｙ Ａ（ｌ ） ｖ， ｕ， ｌ ２ ２ 般地， 如果我们 已经找到了 ｕ 和 Ｖ ｎ ｌ …）那 Ｄ＝ ， ， （ ２
关键 词 ： 序 ； ａａｈ空间 ； 半 Ｂ ｎｃ 混合 单调 算子
中 图分类 号 ： ７ Ｏ１ ７ 文 献标识 码 ： Ａ 文章编 号 ：６ １４ ９ 一 ０ ５０ ４ ．３ １７ ．７ ２（ １ ）。２ ４０ ２ １
Ａｂ ｔａ ｔＩ ｉ ａ ｅ，ｙｕ ｉｇｔｅｔ ｅ ｒｍ ｆ ｏ ｅａ ｄｔｅｔｃ ｉｕ ｓ ｆ ａｔ ｌ ｒｅ ｅ ｒ ， ｔｄｅ ｅ ｓ ｒ ｃ ：ｎｔ ｓｐ ｐ ｒ ｓｎ ｏ ｅ ｏ ｎ ｎ ｈ ｑ ｅ ｒｉ ｄ ｒ ｈ ｏｙ ｗｅｓｕ ｉｄｔ ｈ ｂ ｈ ｈ ｃ ｈ ｅｎ ｏｐ ａｏ ｔ ｈ
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