《高等数学》同步练习册(上)新答案
高等数学 第1章 函数与极限 练习册 解答(10月19修改)
时,就有
2. 极 限 l i m f (x ) A的 定 义 是 : 对 于 0 , 存 在 X 0 , 当 x
f x A .
时,就有
3. 对 于 任 意 的 正 数 , 存 在 正 数 =
，当
时 5x 2 12 , 因 此
lim (5x 2) 12.
x2
解答：
1、当 0 x x0 时； 2、 x X 时；
1.设
xn
n n
1 ,则当 1
n
大于 正整 数
N
时, | xn 1| 104 , 对于任意正数 ,
当 n 大于正整数 N
时,
|
xn
1|
,所以
lim
n
xn
1.
2. 对于任意正数 , 存在正整数 N
cos n
, 当 n N 时,
2 0 , 所以
n
cos n lim 2 0 . n n
3. 设 xn 为任一数列, 又设对于任意正数 , 存在正整数 N1, N2 , 当 n N1 时,
第 1 章 函数与极限
V.同步练习
第 1 章 函数、极限与连续
1.1 函数及其性质
一、填空题
1.已知 f x ax2 bx 5 且 f x 1 f x 8x 3 , 则 a
；b
；
2. y cos 2x 1 的周期为
；
3.
函数
f
(x)
sin
1 x
,
x
0;
的定义域为
； 值域为
.
解. 设圆锥的半径与高分别为r, h , 则 2 r R 2 , 即 r R 2 , 从而
2
h
R2 r2
高数上册全部答案
2 2
三、1、 (2nπ ，nπ + π ) ( n = 0， 1， 2， ) 2 ± ±
lim ln sin x = 0
x→
π
2
2、1/4
3、0
4、3
0 + 6、 ( −∞，] 单调减， [ 0， ∞ ) 单调增
五、提示：利用反证法，由零点定理推出矛盾。 六、 y = 2 x 八、连续 第四章 4.1 不定积分 七、 H = D = 2
3
V0
π
4 极小值 f (1) = 0 ,极大值 f (e ) = 2 e 2 2. x = , x = 0 5
2
不定积分的概念
3. 极大值 y x = 2 = 13 ,极小值 y x =3 = 12.5 . 4. a = −3, b = 0, c = 1 5. f ( x0 ) 是极小值
4.
1 2
5. 1
6. 0
8. 1
10. 1
3.3 泰勒公式 2.5 函数的微分
（ 2 1 (1) 2 x + e ) sin （x + e ) dx.
x 2 x
1. f ( x) = −
2 π π − sec 2 ξ tan ξ ( x − )3 , ξ 在 x, 之间. 3 4 4
第 3 页/共 8 页
高等数学作业（上）参考答案
第一章
函数、极限与连续 1.1 映射与函数
(4) 1 + e
−x
x→ ⎯⎯+∞ →1， ⎯
x → ∞ 时, 1 + e − x 的极限不存在.
高等数学练习册答案
第一章函数与极限§1函数一、是非判断题1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界.[√]2、函数x e x f ln )(=与函数x e x g ln )(=是表示同一函数.[╳]答：不是同一函数，因为)(x f 的定义域是)(∞+−∞，而)(x g 的定义域)0(∞+，3、函数212)cos 1()(x x f −=与函数x x g sin )(=是表示同一函数。
[╳]答：不是表示同一函数,因为两函数的对应规律不同.4、)1ln()1()(x x e x f xx −+⋅−=+函数，则既是奇函数又是偶函数)(x f .[√]答：是,[]0)(,01000)(,0)1ln(00==−=+<==−+=−≥+x f e x x x x f x x x x x x x 从而，，当从而，，当综上述，对任意，x f x ()≡0,，，故)(0)()(0)(x f x f x f x f −==−==−既是奇函数又是偶函数)(x f .5、的最大整数，表示不超过函数x x ][则.1][)(的周期为x x x −=ϕ[√]答：是,1+<≤∈n x n R x ，若任取，n x =][则， ϕ()x x n=−[)1)1(,1]1[)1(,211+++−=+++−=+++∈+x n x x x n n x ϕ，此时=−=x n x ϕ()，故是以为周期的周期函数ϕ()x 1。
二、单项选择题1、下面四个函数中，与y=|x |不同的是(A )（A ）||ln xey =（B ）2x y =（C ）44xy =（D ）xx y sgn =）上是（，在其定义域、B x x f )()3(cos )(22∞+−∞=非周期函数。
的周期函数； 最小正周期为的周期函数；最小正周期为的周期函数； 最小正周期为)(32)(3)(3)(D C B A πππ3、是 函数)0(ln)(>+−=a xa xa x f （A ） 的值奇偶性决定于非奇非偶函数；偶函数； 奇函数； a D C B A )()()()(三、填空题1、＝则时且当设 z x z y y x f y x z , , 0 , )(2==−++=.解：2 , 0 x z y ==时因 2)(x x f x =+∴ 故有xx x f −=2)()()()(2y x y x y x f −−−=−)()(2y x y x y x z −−−++=∴2)(2y x y −+=2、的定义域为，则设 )()65lg(56)(22x f x x x x x f +−+−+=解：由 解得 ，650162+−≥−≤≤x x x 由 解得 或x x x x 256023−+><>[)(]故函数的定义域是 ，，−1236∪.3、[]＝则．， ；，设)(0202)(x f f x x x x f ⎩⎨⎧≥<+=解：[]f f x x x x ()=+<−≥−⎧⎨⎩4222，；， 四、)()(42411)(2x x f x x x x x x f x φ的反函数求．，；，；，设⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<∞−=.解：当时，，即−∞<<==x y x x y1−∞<<y 1当时，， ．141162≤≤=∴=≤≤x y x x yy 当时，， ．42162<<+∞=∴=>x y x y x ylog ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<<∞−=φ．，；，；，的反函数故16log 1611)()(2x x x x x x x x f 五、12)1()(222++=+x xx x f x x f 设 ，)(x f 求。
《高等数学》习题册参考答案
《高等数学》习题册参考答案说明 本参考答案与现在的习题册中的题目有个别的不同，使用时请认真比对，以防弄错.第一册参考答案第一章 §1.11.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤≤--<≤<≤+=--. ),(2, , ,0 , 211010101T t T T t a v T t v t at v v a va vv a v v 图形为：2.B.3.)]()([)]()([)(2121x f x f x f x f x f --+-+=， 其中)]()([)(21x f x f x F -+=为偶函数，而)]()([)(21x f x f x G --=为奇函数. 4.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<≤-<≤-<≤=.6 ,0,64 ,)4(,42 ,)2(,20 ,)(222x x x x x x x x f 5.⎩⎨⎧.)]([,)2()]([,)1(单调减单调性相反，则单调增；单调性相同，则x g f g f x g f g f6.无界.7.（1）否，定义域不同；（2）否，对应法则不同；（3）否，定义域不同.§1.21.（1）)1 ,0()0 ,1(⋃-=D ；（2）} , ,{2Z ∈+≠=k k k x x D πππ；（3）)1 ,0(=D . 2.1 ,4-==b a . 3.⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=,0 ,1,0 ,0 ,0 ,1 )]([x x x x g f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=-.1 ,,1 ,1 ,1 , )]([1x e x x e x f g4.（1）]2 ,0[,)1arcsin(2=-=D x y ； （2） ∞=+=+=022),( , )(tan log 1k a k k Dx y πππ. 5.（1）xx x f f 1)]([-=； （2）xx f f 1)(1][=. 6.+∞<<=-h r V rh hr 2 ,23122π.7.（1）a x =)(ϕ； （2）h x x +=2)(ϕ； （3）ha a h x x )1()(-=ϕ.§1.91.1-=e a .2.（1）1=x 和2=x 都是无穷间断点（属第Ⅱ类）；（2）1 ,0==x x 和1-=x 是间断点，其中：1是可去间断点（极限为21）（属第Ⅰ类）； 0是跳跃间断点（左极限1-，右极限1）（属第Ⅰ类）；-1 是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （3）0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类），1=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类）（注意：+∞==∞+-→-ee xx x 11lim ，而0lim 11==∞--→+e e xx x ）；（4）)( 2Z ∈+=k k x ππ为无穷间断点（属第Ⅱ类）； （5）⎩⎨⎧=≠=+=∞→,0 ,0,0 ,1lim )(12x x nx nx x f xn ∴ 0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类）； （6）∵ )(lim , 0)(lim 11+∞==+-→→x f x f x x ， ∴ 1=x 为第Ⅱ类间断点，（注意：这类间断点既不叫无穷间断点，也不叫跳跃间断点，不要乱叫）； ∵ 1)(lim , 0)(lim -→→==+-e x f x f x x ， ∴ 0=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类）.3.（1）1 ,0≠=b a ； （2）1 ,≠=a e b .4.（1）21)0(=f ； （2）0)0(=f .5.证：由)()0()0(22x f f x f +=+，得0)0(=f ，于是，再由0)0()(lim )]()()([lim )]()([lim 0==∆=-∆+=-∆+→∆→∆→∆f x f x f x f x f x f x x f x x x ，∴ )(x f 在x 点连续.§1.101.)(x f 在),(+∞-∞内连续，则0≥a ；又0)(lim =-∞→x f x ，则0<b ，故选D.2.) ,2()2 ,3()3 ,(∞+⋃-⋃--∞； 210)0()(lim ==→f x f x （0是连续点）， 5858213)2)(3()3()3(3322limlim)(lim -====----→-++-+-→-→x x x x x x x x x x x f （-3是可去间断点）， ∞==-++-+→→)2)(3()3()3(222lim )(lim x x x x x x x x f （2是无穷间断点）.3.（1）a1； （2）0； （3）2e （提示：原极限x e x xe x x x x x e e )ln(lim)ln(00lim ++→→==，而=+→110 )ln(lim 加分子减x e x x x 2)1(lim )]1(1ln[lim 00==-+-++→→拆分分子等价无穷小代换x e x x e x x x x x ）； （4）21-e（提示：原极限xxx e 2sin cos ln 0lim→=，而21cos 11cos 11cos 0cos 1)]1(cos 1ln[0sin cos ln 0lim lim lim lim222-====+-→--→--+→→x x xx x x x x xxx ）； 注意：（3）和（4）都用到了等价无穷小代换：□0→时，ln (1+□)～□. （5）1； （6）不存在（左极限2-，右极限2）.4.（1）0=a ，e b =； （2）a 任意，1=b .§1.111.令)sin ()(b x a x x f +-=，则)(x f 在] ,0[b a +上连续，且0)0(<-=b f ，=+)(b a f 0)]sin(1[)sin(≥+-=-+-+b a a b b a a b a .若0)(=+b a f ，则b a +就是一个正根；若0)(>+b a f ，则由零点定理，)(x f 在) ,0(b a +内有一正根.总之，)(x f 在],0[b a +内有一正根.2.作辅助函数x x f x F -=)()(，则)(x F 在] ,[b a 上连续，且0)()(<-=a a f a F ，)(b F0)(>-=b b f ，由零点定理，) ,(b a ∈∃ξ，使得0)(=ξF ，即ξξ=)(f .3.由题设：)(x f 在] ,[1n x x 上连续，设m M 、分别为)(x f 在] ,[1n x x 上的最大值和最小值，则M x f x f x f c m n n≤+++=≤)]()()([211 ，于是，由介值定理可知：) ,() ,(1b a x x n ⊂∈∃ξ，使得c f =)(ξ，即)]()()([)(211n nx f x f x f f +++= ξ. 4.令)()()(a x f x f x F +-=，则)(x F 在] ,0[a 上连续.若)()0()0(a f a f f =+=，则取 00=x ，命题成立；设)()0(a f f ≠，则由)()0()0(a f f F -=，而)2()()(a f a f a F -= )]()0([)0()(a f f f a f --=-=，所以，)0(F 与)(a F 异号，于是，由零点定理可知：) ,0(a ∈∃ξ，使得0)(=ξF ，即)()(a f f +=ξξ，命题成立.第一章 总复习题1.⎪⎩⎪⎨⎧>≤=+.0,1 ,0 ,)]([211x x x f x ϕ 2.22sin 2x. 3.) ,(∞+e .4.证：∵A x f x x =→)(lim 0，∴对于事先给定的无论多么小的正数ε，都存在正数δ，只要δ<-<00x x ，就必有ε<-A x f )(成立①（这就是函数极限的“δε-定义”）； 又∵)( lim 00x x x x n n n ≠=∞→，∴对①中的正数δ（因这样的正数是任意的），必存在自然数N ，只要N n >，就必有δ<-0x x n 成立（这就是数列极限的“N -ε定义”）.但对任何n ，0x x n ≠，所以这时也就有δ<-<00x x n 成立②.把①②两步结合起来就是(从②推回到①)：对于事先给定的无论多么小的正数ε，（由①，0>∃δ，从而由②）必存在自然数N ，只要N n >，（①②同时成立）就必有 ε<-A x f n )( 成立. 故由极限的定义可知：A x f n n =∞→)(lim .附注：本题是函数极限与数列极限相结合的题目，抽象且有点难，但提供了一个重要的求极限的方法，即数列极限可作为函数极限的特殊情况来处理，比如下面：∵a xa x x e x a x a x x x x ln ln lim 1lim 1lim0ln 00==-=-→→→（用到了□→0时，e □-1～□）, ∴a xa naa n x x nn nn ln 1lim 11lim)1(lim 01=-=-=-+→∞→∞→. 5.（1）23-； （2）2011 ,20111； （3）5，531. 6.提示：因)(x f 在],[b a 上连续，而 )(m ax )(m in ],[2)()(2],[x f M m x f b a x d f c f kb a x ∈+∈=≤=≤=，对)(x f 在],[b a 上用介值定理.7.（1）21（提示：每个括号通分，分子因式分解，并与分母约分，再整理得n n 21+）； （2）a-11（提示：给极限式子乘)1(a -，打开括号得)1(4na -，并利用一个重要结果)1( 0lim <=∞→q q n n ）；（3）ab--11（提示：分子、分母都利用等比数列前n 项和公式：1减公比分之首项减去末项乘公比，再利用（2）中的重要结果）；（4）21（提示：有理化，分子、分母再同除以n 或利用重要结果：当0 ,000≠≠b a 时，⎪⎩⎪⎨⎧>>∞>=<<==++++++++∞→----∞→.0 ,,0 ,,0 ,0 lim lim 00002211022110m k m k m k n b na b n b n b n b a n a n a n a b a mkn m m m m n k k kn ）； （5）t （提示：利用重要极限）；（6）2-（提示：分母就是x 2sin -～2x -，再拆分）；（7）2b a +（提示：有理化，再利用（4）中重要结果）； （8）4（提示：分子减1加1并拆分，再利用等价无穷小代换：□→0时，cos 1-□～21□2）； （9）e （提示：原极限e e e x x x x x x ==→+→=22220tan )1ln(0lim lim 等价无穷小代换）； （10）2)1(+n n （提示：分子因式分解，先分出个因式)1(-x 并与分母约简，再分出个因式)1(-x 仍可与分母约简，聪明的人一下子就可分出因式2)1(-x ）； （11）π2（提示：令x t -=1，则原极限]2 cos sin [lim 20t t t t ππ→=，再利用重要极限）. 8.提示：把根号进行放缩得不等式：n n n n n n n n n A nA a a a A ⋅=<+++< 21，并注意：1lim=∞→nn n （会推证吗？），再用夹逼定理（或叫夹挤准则，俗称“两头夹”）.第二章 §2.61.（1）)cos(21sin )cos(2xy x x xy y --； （2）)1(2xy e e e e y xyy xxy +-+； （3）y x y x -+； （4）22ln ln xx xy y y xy --（两端取对数）；（5）]111[ln )1(x x x x x x ++++（两端取对数或利用一个重要公式：若)()]([x g x f y =，则])()(ln )([)]([)()()(x f x f x g x g x f x g x f y '⋅+'⋅='）；（6）])1)(1(2)2()1(2[111222x x x x x x x x x x x x x ++++-+--+++-（利用对数求导法）. 2.（1）3222)1(])1()1[(--+--y x x y y ； （2）])1()1(213[2322422+-++y y x y y x . 3.])(arctan )()(arctan )([2222x y x y f y x f y x x y '-+'++-（提示：令xyv v u == ,arctan 而，则原方程变为 y x u f =)(，两端对x 求导得 y x y u f x y x y v '+=⋅⋅'⋅-⋅'+22111)(，再解出y '）.4.提示：求出一、二、三阶导数，代入左端化简.5.切线方程：)1(152-=-x y ； 法线方程：)1(125--=-x y . 6.（1）2t； （2）23-. 7.（1）21)1(cos ----t a ； （2）1)]([-'t f .8.)2)(1(1e e t t-+（提示：第二个方程两端对t 求导，得0d d =+t y e e y t ，解出y t e e t y -=d dee e e e e t t t t 22-=--=，并代入 t x t y x y d d d d d d = 之中再约简）.9.在时刻t ，甲船所走路程t t s 40)(1=，乙船所走路程t t s 30)(2=，两船间的距离为 t t t t d 50)30()40()(22=+=，两船间的距离增加的速度为50)(='t d .10.设y OP x ON == ,，则由木杆匀速前移知：c tx=d d （为常数）， 由题图知：OA MN y x y =-，即 x MN OA OA y -=，从而 txMN OA OA t y d d d d -=. 可见tyd d 为常量，即P 点前移的速度是匀速的.§2.71.（1）增量为-0.09，微分为-0.1；（2）增量为-0.0099，微分为-0.01.评注：①结果表明：x ∆愈小，则y y d 与∆愈接近，这就是微分的数量特征；②微分的几何特征是“以直代曲”.2.（1）C x x ++3； （2）C x +-2cos 21； （3）C e x +--； （4）C x +2arctan 21. 3.（1）x d 2； （2）x a d ； （3）x d 42； （4）x d .4.（1）x x x d 13)]13ln(2sin[3++； （2）t t t t e t t d )52(2)23(332)52ln(323+--⋅+-；（3）x x x x d )21(sec )21tan(8222++. 5.150110+. 第二章 总复习题1.A 、E .2.)(x f 在0=x 处可导必连续.由连续有：)0()2sin (lim lim 0f x b e x ax x =+=+-→→，求极限得：1=b ；由可导有：⎪⎩⎪⎨⎧=='=--=''='--+→+→-+-+-,2lim )0(,01lim )0( , )0()0(01)2sin 1(00x x x ax x f a x e f f f 而 所以，2=a . 3.由)0(f '存在，则)0()0(+-''f f 、存在且相等. 而x f x f x x f x f x f )0()(00)0()(0lim lim )0(-→--→+++=='， )0(lim lim lim )0()0()(0)0()(0)0()(0+-→----→--→-'-=-==='++-f f xf x f x x f x f x x f x f x ， 要使)0()0(+-'='f f ，只有0)0()0()0(='='='+-f f f . 4.（1）222211))((x a x ax axa +++-+； （2）]ln [ln 12xx x x x x x x ++（提示：===xx x x xexy lnxexx e ln ln ⋅，再利用指数复合函数求导；或者利用取对数求导法）；（3）⎪⎩⎪⎨⎧≥<=--,1 ,,1 ,)(11x e x e x f x x 则 1<x 时，x e x f --='1)(； 1>x 时，1)(-='x e x f ；1=x 时，)1(lim 11lim )1(11111111+--→--→-'==≠-=='-+--f f x e x x e x x x ，则在1=x 处不可导.（4）4 ,1--； （5）tet t t t t t t t 22222)2sin cos 2()2cos 2(sin 4 , 2sin cos 22sin sin 2-+-+； （6）])6(1)5(1[!100101101+-+x x （提示：分母因式分解，并拆分，再求导）. 5.1)0(=g ，11)sin 1(lim 0)0()(lim)0(1200=-++=--='→→xx x x g x g g x x x ， 0≠x 时，x x x x x x x g 1112cos sin 21)sin 1()(-+='++='. 6.)0(lim 1lim )0( ,0)0(00)11(000)1ln(0+----+→--+→-'===='=+-f f f x x x x x x x ， 所以，函数)(x f 在点0=x 处可导，且1)0(='f ，从而必在0=x 处连续.评注：2、3、4（3）、5、6都涉及函数在一点处的导数，特别是分段函数在分界点处的导数，导数的定义以及左右导数的概念起到关键的作用，务必要高度注意.7.（1）由xy y f x f y x f 2)()()(++=+，得0)0(=f .当0≠y 时，x y y f y x f y x f 2)()()(+=-+. 由已知并由导数定义，得 y y f y y f y f y f k )(0)0()(0lim lim )0(→-→=='=， k x x f y x f y x f y +=='-+→2lim )()()(0.故对一切) ,(∞+-∞∈x ，)(x f 皆可导，且 k x x f +='2)(.（2）由k x x f +='2)(，知C kx x x f ++=2)(，再由0)0(=f ，得kx x x f +=2)(.第三章 §3.31.)0( !2)(32之间与介于x x e x x x f ξξ++=. 2.) 1( )1()1(])1()()(1[)(1212之间与介于x x x x x x f n n n n-+-++++++++-=+++ξξ .3.2)1(2)1(76)(-+-+=x x x f .4.（1）61-（提示：分母的x sin ～x ，从而只需把分子的x sin 展开到3x 阶）； （2）121-（提示：把分子的x cos 和22xe-都展开到4x 阶）.§3.41.（1）) ,0(21∈x 单减，),(21+∞∈x 单增；（2）),(4 3a x -∞∈单增，),(4 3+∞∈a x 单减. 2.（1）证①：利用拉格朗日中值定理.令xe xf =)(，则x x e x f e e f x f x >⋅=-'=-=-ξξ)0)(()0()(0.证②：利用单调性.令1)(--=x e x f x ，则1)(-='xe xf .当0<x 时，0)(<'x f ，从而)(x f 单调减；而当0>x 时，0)(>'x f ，从而)(x f 单调增.故对一切0≠x ，0)0()(=>f x f ，即要证的不等式成立.评注：①虽抽象，但更简洁；②虽通俗，但稍显麻烦.（2）令)1sec 2(sin )( ,2sec cos )( ,2tan sin )(22-=''-+='-+=x x x f x x x f x x x x f .当20π<<x 时，)(0)(x f x f '⇒>''单调增0)0()(='>'⇒f x f )(x f ⇒单调增， 故当20π<<x 时，0)0()(=>f x f ，即要证的不等式成立（好好体会推理过程）. 评注：本题与（1）和下面的（3）的不同之处在于：需两次利用单调性.（3）参考上题方法或用泰勒公式：①利用单调性方法：令331tan )(x x x x f --=，则 ))(tan (tan tan 1sec )(2222x x x x x x x x x f -+=-=--='， 当20π<<x 时，0)(>'x f ，所以，)(x f 单调增，故当20π<<x 时，0)0()(=>f x f . ②利用泰勒公式：令x x f tan )(=，则x x f 2sec )(='，x x x x f tan sec sec 2)(=''， )1tan 4tan 3(2)sec sec tan 3(2)(24222++=+='''x x x x x x f ，x x x x x x x x f23223)4(sec )tan 2tan 3(8)sec tan 8sec tan 12(2)(+=+=（很麻烦），，之间与介于其中) 0 ( )( !4)(!3)0(!2)0()0()0()(tan 43314)4(32x x R x x x f x f x f x f f x f x ξξ++=+'''+''+'+== 当20π<<x 时，0)(4!4)(4)4(>=x x R f ξ，故 331tan x x x +> 成立. 评注：对本题而言，①似乎简单一些，但对②而言，得到泰勒公式（实际上是麦克劳林公式）后，其结果却更显而易见.擅长泰勒公式（或麦克劳林公式）的同学建议用②，其它几个题目也有类似的情况.总之，此类方法要好好掌握.（4）参考（1）题方法或用泰勒公式：4)1(14132432)1ln(x x x x x ξ+⋅-+-=+，而 0)(4)1(14134>⋅=+x x R ξ（ξ介于0与x 之间），故 3232)1ln(x x x x +-<+. 3.原不等式化为a a x a x a ln )ln(<++，设x xx f ln )(=，则2ln 1)(xx x f -='.所以，当e x >时， 0)(<'x f ，从而)(x f 单调减，故aax a x a ln )ln(<++，即原不等式成立. 评注：把要证的不等式先等价转化再利用单调性的方法会大大简化.4.不一定，例如，x x x f sin )(+=在) ,(∞+-∞内单增，但x x f cos 1)(+='在) ,(∞+-∞内不单调.5.) ,(512-∞∈x 单增，),(512+∞∈x 单减；10205205241m ax 512)(===f f ，无极小.6.函数)(x f y =处处连续，322232a x x y -⋅='，有一个驻点0=x 和两个不可导点a x ±=；0)(=±a f 为极小值，也是最小值；34)0(a f = 为极大值，但无最大值.7.在]1 ,0[上函数单减，故4)0(π=f 最大，0)1(=f 最小. 8.令x bx x a x f ++=2ln )(，则应有 012)1(=++='b a f ，014)2(2=++='b f a ， 求得 32-=a ，61-=b ；而)1(f 极小，)2(f 极大. 9.提示：因函数处处可导，而可导的极值点必为驻点. 但 c bx ax x f ++='23)(2 当0)3(434)2(22<-=⋅⋅-≡∆ac b c a b ，即 032<-ac b 时无零点.§3.51.)1 ,0(∈x 时，凸；) ,1(∞+∈x 时，凹；拐点)7 ,1(-.2.82±=k ，各有两个拐点) ,1(22±±. 3.3 ,0 ,1-===c b a .4.tt y 1143)1(2⋅-=''，0=''y 的点 1±=t ，y '' 不存在的点 0=t ；有三个拐点：)2 ,1(11-↔-=t ，)0 ,0(02↔=t ，)4 ,1(13↔=t .§3.61.其图形如下所示：2.点) ,(22ln 22-处曲率半径有最小值233. 4.（1）铅锤渐近线两条：2=x 和3 -=x ；水平渐近线一条：1=y ；（2）铅锤渐近线：ex 1-=；斜渐近线：x y =.第四章 §4.11.（1）x e x 2cos 233+--； （2）C x x x +--33222 ,22； （3）C x x ++441221； （4）1ln +=x y .2.（1）C x x x x ++++22123232；（2）C x x ++-4147474；（3）C x x x ++-arctan 331； （4）C x +7272ln 121； （5）C x x +-arcsin 2arctan 3； （6）C e xxe ++1)5ln(1)5(； （7）C x +-cot 21；（8）C x x +-sec tan ；（9）C x x ++cos sin ；（10）C x x +-cot tan . §4.21.（1）C x x ++++])1[ln(411441； （2）C b ax nn n a n++++1)(2)1(2；（3）C x +)arcsin(tan ； （4）C x x +-ln 1； （5）C x+-10ln 1arccos 22110；（6）C x +2)(arctan； （7）C x+2sin 2212arctan ； （8）C x xe e ++1ln . 2.（1）C x x ++21； （2）C x x+--32arccos 39； （3）C xx +-442；（4）C x x x +++-)21ln()2()2(32323433132； （5）C x x x x +---)1(4arcsin 2222122； （6）提示：令 sin t x =（只需 20π<<t 即可），则 原式]d [d d cos sin )sin (cos d 21cos sin cos sin sin cos 21cos sin cos ⎰⎰⎰⎰++++-+++===t t t t tt tt t t tt tt t t （很巧妙）C x x x Ct t t t +-+++++==]1ln [arcsin ]cos sin ln [22121回代把.第五章 §5.11.提示：把区间n ]1 ,0[等份，每份长都是n1，每个小区间),,2,1( ],[1n i n in i =-都取右端点，则a a a n a a an a a ax a nn n n n n n n ni ninn x ln 1)ln (]1[lim )1(])(1[limlimd 11111111-=--=--==∞→∞→=∞→∑⎰. 附注：其中①利用了分解式 )1)(1(112-++++-=-n n b b b b b （上式中n ab 1=）；②利用了等价无穷小代换：□→0时，1-a □～-□ln a .2.（1）极限中的和式相当于：把区间n ]1 ,0[等份，每份长都是n1，每个小区间 ],[1n in i - ),,2,1( n i =都取右端点，函数x x f +=1)(在所取点处的值再乘以小区间的长度并把它们加起来的结果（这种和有个名称，叫“积分和”），于是，按定义：原极限=⎰+1d 1x x ；（2）同理，极限中的和式是函数x x f πsin )(=在区间]1 ,0[上的积分和，于是，按定义： 原极限=⎰1d sin x x π.另外，该极限式子又可变为 ∑=∞→ni n ni n11sinlimπππ，暂不管π1，而这极限中的和式是函数 x x f sin )(= 在区间] ,0[π上的积分和，所以，仍按定义：又有 原极限⎰=ππ 01d sin x x .（同一式子导致两种不同的表示说明：“会看看门道”的道理）3.（1）不可积，无界；（2）可积，连续.4.（1）⎰πd sin x x ； （2）⎰-112d x x .§5.21.（1）2110 152d 2≤≤⎰+x xx （提示：在]1 ,0[上，211522≤≤+x x ，再利用定积分的估值不等式性质）； （2）412222d 2---≤≤-⎰e x e e xx（提示：在]2 ,0[上，2241e e e x x ≤≤--，再利用定积分的估值不等式性质，注意：下限大，而上限小）.2.（1）反证法：若存在一点] ,[0b a x ∈，使0)(0≠x f ，则由题设可知，必有0)(0>x f ，又因)(x f 连续，从而存在0x 的一个邻域) ,(00δδ+-x x ，在这邻域内0)(>x f .于是，就有0d )(00>⎰+-δδx x x x f ；但另一方面，又由题设可知0d )(d )( 00=≤⎰⎰+-bax x x x f x x f δδ，矛盾. 故对一切] ,[b a x ∈，都有0)(=x f ，即在] ,[b a 上，0)(≡x f .（2）证：由题设可知：存在一点] ,[0b a x ∈，使0)(0>x f ，从而存在0x 的一个邻域) ,(00δδ+-x x ，在这邻域内0)(>x f .于是，就有0d )(00 >⎰+-δδx x x x f ，故0d )(d )(00 >≥⎰⎰+-δδx x bax x f x x f .（3）这是（1）的直接推论. 3.提示：①先对定积分用“积分中值定理”再取极限.②也可以“两头夹”：01sin d sin 01sin sin 01−−→−≤≤⇒≤≤∞→⎰n n n nnx x x .§5.31.（1）0； （2）⎰-xt t e 0 d 2； （3）)0()(f x f -； （4）0 ,0 ,0 ,2x xe -； （5）x e ycos --.2.（1）81221213x x x x ++-； （2）x x x x cos )sin cos()sin ()cos cos(22⋅--⋅ππ.3.（1）2（连续用两次洛必达法则，还可先把分母等价无穷小代换后再用洛必达法则）；（2）提示：0→x 时，2sin x ～2x ，12-x e ～x 21，x arctan ～x ，所以，原极限=01)1ln(lim 22lim d lim2201)1ln(0221 01)1ln(022002=++⋅→++→++→==⎰x x xx x tx x x x x t t x 约简型洛； （3）原极限21lim 2]1d [lim 2d 2lim202222200 02 0=⋅⋅→→→=⎰=⎰=xx x x t x xx x t x e e xte xe et e 型洛约简型洛； 注意：在极限的运算过程中，极限为1的变量式子21xe 直接“抹掉了”（想想合法吗 ？）.（4）原极限)(lim 1)(d )(1 0a f a x f x t t f ax xa=⎰⋅+⋅→=型洛.4.（1）原式4d sin 42 0==⎰πx x ； （2）原式1d )1(210 =-=⎰x x ；（3）原式⎰-++=+=0141121d )3(2πx x x ； （4）原式3821 2211 0d d )1(=++=⎰⎰x x x x . 5.当)1 ,0[∈x 时，231 02d )(x t t x x==Φ⎰； 当]2 ,1[∈x 时，=+=Φ⎰⎰xt t t t x 11 02d d )(61221-x （这一步是关键）. 故 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=Φ,21,,10 , )(61221331x x x x x 显然，)(x Φ在]2 ,0[内连续（显然吗?）.6.当)0 ,(-∞∈x 时，0d 0 d )()(00 =-==Φ⎰⎰xx t t t f x ；当] ,0[π∈x 时，=Φ)(x )cos 1(d sin 2121x t t x-=⎰； 当) ,(∞+∈πx 时，⎰⎰⎰+==Φxx t t t t t f x 0 210 d 0d sin d )()(ππ1=.故 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<=Φ. , 1 , 0 , )cos 1(,0 , 0 )(21ππx x x x x 7.先用一次洛必达法则得 xb xa x x cos lim120-=+→，因分子极限为0，所以分母极限也一定是0（想想为什么？），从而 1=b ；这时分母 x cos 1-～221x ，再一次取极限得 4=a . 8.提示：当) ,(b a x ∈时，2)(d )())(()(a x tt f a x x f xax F ---⎰='，只需证分子 0≤ 即可.于是，若令⎰--=x at t f x f a x x g d )()()()(，则)()()()()()()(x f a x x f x f a x x f x g '-=-'-+='，因在),(b a 内0)(≤'x f ，所以，在),(b a 内0)(≤'x g ，从而在),(b a 内0)()(=<a g x g .§5.71.（1）22ωω+p （连续两次分部积分，并注意会出现循环现象，再移项求解）； （2）2π. 2.1>k 收敛；1≤k 发散； 当1>k 时，11)2(ln 1112)(ln 1112)(ln 1d --⋅=⋅=-∞+-∞+⎰k k kk x k x x x ，而函数 )0( )()2(ln 1>=x x f xx 当 2ln ln 1-=x 时取得它在) ,0(∞+内的最小值=m in f 12ln ln 1)2ln (ln +-，所以，当2ln ln 11-=-=k x ，即 2ln ln 11-=k 时广义积分的值最小.3.左c x cx c x e 22)1(lim =+=-∞→， 右⎰⎰∞-∞-∞--==ct ctct t e te e t 221221 221d )(dc c c tc c e e e 241224122)(-=-=∞-， 应有 1412=-c ，所以 25=c . 第五章 总复习题1.（1）A ； （2）C ；（3）提示：0=M 是奇函数在对称区间上的积分；P 的第一部分积分为0，第二部分积分为负，所以，0<P ；而N 的第一部分积分为0，第二部分积分为正（很容易算出，等于几呢？），所以，0>N ，故选D ；（4）提示：⎰⎰-=x xt t f t t t f xx F 02 02d )(d )()(，则⎰='xt t f x x F 0d )(2)(，而极限10 0 00d )(2lim d )(2lim )(lim -→→→⎰⎰=='k xx k x x k x x t t f x t t f x x x F 2000)1()(2lim-→-=k x x k x f 型洛0)0()(lim0 3 ≠'=→==f x x f x k 时当才会存在，故选C ；（5）提示：如图所示，由题设可知：)(x f 的图形在x 轴的上方单调下降且是凹的，2S 是下边小矩形的面积，最小；3S 是梯形的面积，最大；而1S 是阴影的面积，介于其间，故选B ；（6）提示：利用周期函数的积分性质：若)()(t f T t f =+，则对任意的常数a ，积分⎰⎰=+TTa at t f t t f 0 d )(d )( 与a 无关，现在t e t f t sin )(sin = 的 π2=T ，可知：⎰⎰⎰⎰+===πππππ2 sin 0sin 2 0sin 2 0d sin d sin d sin d )()(t te t t et t et t f x F t tt，对第二个积分令 π+=u t 换元而化为 ⎰⎰-=--ππsin 0sin d sin d )sin (t etu u e t u ， 故可知：0d sin ]1[)( 0sin sin >-=⎰πt t ee x F tt 为正常数，故选A ；（7）提示：先通过换元把被积函数符号)(22t x f -中的x “拿出来”，再求导.=⎰=⎰-=-⋅---换凑22)()(d )( d )( 21 02222 0 22t x u xxtx t x f t t xf t⎰⎰=-=2221021d )(d )(x x u u f u u f ，故选A. （评注：本题的关键是换元）2.（1）0； （2）a 2sec ； （3）0； （4）0； （5）0；（6）x x f 3sin )3(cos 3-； （7）2sin x ； （8）8π； （9）3ln ； （10）π1231+. 3.（1）证①：⎰⎰⎰⎰--=-11 0d )(d )()1(d )(d )(λλλλλλx x f x x f x x f x x f （积分中值定理）)10( 0)]()()[1()1)(()()1(≤≤≤≤≥--=--⋅-=ηλξηξλλληλλξλf f f f .证②：⎰⎰⎰⎰--=-11 0d )(d )()1(d )(d )(λλλλλλx x f x x f x x f x x f0)()1()()1(=---≥λλλλλλf f .评注：两种证法仅是考虑问题出发点不同：①的核心是积分中值定理与单调性的结合；②的核心是积分的不等式性质与单调性的结合.（2）提示：分部积分，得原式⎰⎰----+=⋅-=πππππππππ 0)( 0sin 0d sin )( d )(x x f x x x xf xx x x2)( d sin )( d d sin )( 00 sin 0=-+=-+=⎰⎰⎰-πππππππππππf x x f x x x f xx ；评注：本题的特点是含有“积不出”的积分 ⎰-xt tt 0 sin d π，但并不影响要求的定积分. （3）)32ln(23++-（提示：令xet 21--=，则原积分⎰-=231d 22t t t ，再拆分）； （4）)()](2)([42222t f t f t t f ''+'（特点是参数方程，但含有变限积分）；（5）令xt u =，则u t xd d 1=，xu t 010↔，⎰=x x u u f x 01d )()(ϕ，由A xx f x =→)(0lim及)(x f连续知：0)0(=f ，A f =')0(；由 ===→⎰→→=)0(limlim)(lim 1)(0d )(00 0f x x f x xt t f x x x型洛ϕ0)0(d )0(1==⎰ϕt f ，知)(x ϕ在点0=x 处连续；==='→--→xx x x x x )(00)0()(0lim lim )0(ϕϕϕϕ 22)(0d )(0lim lim 02 0 Ax x f x x tt f x x=→⎰→=型洛； 0≠x 时，20 d )()()(x tt f x f x x x ⎰-='ϕ，且因)0(][lim lim)(lim 22d )()(0d )()(02 0 2ϕϕ'==-=⎰-⎰='→-→→=A A x tt f x x f x x t t f x f x x x A x xx拆分，故可知)(x ϕ'在点0=x 处连续，从而处处连续.评注：本题是属于对变限积分所定义的函数的可导性的研究的题目.核心是导数的定义.（6）π2（提示：先放缩分母得不等式 ∑∑∑===+<+<ni n n i i n i ni n ni n n i 1111111sinsin sin πππ， 而左端的极限（利用定积分）πππππ2111 0 111111d sin sin lim ]sin [lim sin lim ===⋅=∑∑⎰∑==∞→+∞→=+∞→n i n i n n n n n n ni n n x x n i n i n i ， 右端的极限（利用定积分）πππ21 0 11d sin sin lim ==⎰∑=∞→x x n i ni nn ，再利用夹逼定理）； 评注：本题是利用夹逼准则和定积分相结合的方法而求和式极限的题目，加大了难度. （7）首先，因分子极限为0，所以，分母极限也一定是0，于是得0=b ；由洛必达法则得 20)1ln(0cos limcos lim 3x x a xa c x x x x --=→+→=分母等价无穷小代换，可知 1=a ；进而知21=c ； （8）原式⎰⎰--+=23 1)1(1121 )1(1d d x x x x x x ，第一个积分令2x x t -=，则012121t x ↔， )411(221t x -+=，所以，221)2(110214121 21)1(1)d(2d d 22π===⎰⎰⎰----t t x t tx x ；而对第二个积分令x x t -=2，则23231tx ↔，)411(221t x ++=，所以， ⎰⎰+-=23412231)1(1d d 2t x t x x 2320223)2(11))2(12ln()d(2t t t t ++==⎰+)32ln(+=， 故原式)32ln(2++=π.评注：本题中所作的两个换元虽有相似，但却本质不同，因此，相当于两个不同的积分. （9）提示：⎰∑⎰⎰∑--=-=-+-=-=nn n k n nnk n x x f n f x x f k f x x f k f a 1111111d )()(]d )()([d )()()](d )([ 11n f x x f a nn n --=⎰--，因)(x f 单调减，则)1(d )()( 1-≤≤⎰-n f x x f n f n n ，从而 0)](d )([1 ≥-⎰-n f x x f nn ，所以 1-≤n n a a ，即n a 单调减；另一方面，对一切n ，)(]d )()([d )()(11111n f x x f k f x x f k f a n k k knnk n +-=-=∑⎰⎰∑-=+=0)()()]()([11>=+-≥∑-=n f n f k f k f n k ，即n a 有下界. 综上：n a 单调递减有下界，故由单调有界准则（或原理）可知：A a n n =∞→lim 存在. 评注：上述分析推到过程中，积分的不等式性质起到关键作用. （10）] )( )([ )( )(22222222d 1d 21 12d 1d 2⎰⎰⎰=⎰+++=++=a auuu a auuu a a uuu a u x axxx a u f u f u f x f 令 而上式右端第二个积分⎰=⎰-⋅++=1d )d ()( )(2222222a t a a t ta u a au u ua t t f u f ta 令⎰⎰+=+=au u u a a t t t a u f t f 1d 1 d )( )(22（恰与第一个积分相等）. ∴ ⎰+a x x x ax f 1 d 2 )(22⎰+=a u uu a u f 1 d )(2⎰+=a x x x a x f 1d )(2. 评注：通过两次不同的换元才最终达到目的是本题的特点.第六章 §6.51.由虎克定律：kx x F =)(（x 为弹簧伸长厘米数），由5=x 时，100=F ，即k 5100=，得 20=k ，于是，x x F 20)(=，故 2250d 20d )(150 15===⎰⎰x x x x F W （克厘米）.2.如图所示，沙堆母线AB 的方程为 1=+hyr x ，即)1(h yr x -=.沙的比重2000=ρ公斤/米3.对应于薄层]d ,[y y y +，则y yr y x y V y W h y d )1( d d d 222-===πρρπρ，故 22350022 d )1( h r y yr W hh y ππρ=-=⎰. 3.（1）660d )8(10 ,d )8(10d 6=+=+=⎰x x F x x F （吨）；（2）设应升h 米，则 )11(60d )8(10 2 ,d )8(10d 60 +=++=++=⎰h x h x F x h x F ，于是，应有 )11(606602+=⋅h ，故 11=h （米）.4.（1）AB 的线密度为l M，)(d )( 0 2a l a kmM x a x l kmM F l +=+=⎰（k 为引力常数）； （2）引力分解为两个分力，由对称性，x x a l kmMF F x d )(d ,022+==，x x a l kmMax x a l kmM F y d )(cos d )(d 232222+=⋅+=ϕ， 222 2 232242d )(la a kmMx x a l kmMa F l l y +=+=⎰-. §6.61.232211d 2 e x x xe y -==⎰-. 2.12d )23( 3231=+=⎰t t t v （m/s ）.3.mT T I t t i 21 021d )(I ==⎰. 第六章 总复习题1.23+-=x y ； )3 ,( , )1 ,(2921-； 31613 22123d ])[(=--=⎰-y y y A . 2.) , 2(4πa ；⎰⎰+2 42214 0221d )cos 2( d )sin 2( πππθθθθa a ； 22)1(a -π. 3.4ln 141+-=x y （提示：曲线]6 ,2[ ln ∈=t x y 在处的切线 方程为)(ln 1t x t y t -=-，即1ln 1-+=t x y t.题设中所指的 面积为⎰--+=-=62 8d ln )2ln 2(2)(x x t S S t S t曲边梯形梯形6ln 62ln 2ln 416-++=t t. 令0)(4162=+-='ttt S ，求得唯一驻点为]6 ,2[4∈=t ，从而曲线上的点为)4ln ,4(）.4.)32ln(6++（提示：抛物线221x y =与圆322=+y x 的右交点为)1 ,2(A ，如图：由对称性，所求的弧长为⎰⎰⎰+='+==2220 2 d 12d 12d 2x x x y s l OA）.5.222342 , ab ab ππ（提示：椭圆绕直线b y =旋转所得的 立体与把椭圆向上平移b 个单位再绕x 轴旋转所得的立体一样大小.如图所示：所求的体积为⎰--=aax y y V 2221d ])()[(π⎰-----+=aaa x a x xb b b b 22d ])1()1[(2222π⎰⎰-⋅⋅=-=-aabaa a x x x a xb 022 2d 42d 14222ππ 2 8 222412ab a a b πππ=⋅⋅=）. 6.0 , 2 , 35==-=c b a （提示：因抛物线过原点，∴0=c .如图：由题意，得图中阴影的面积为231 0294d )(ba x bx ax +=+=⎰ ①；此阴影绕x 轴旋转所得的立体的体积为)(d )(23121251122b ab a x bx ax V ++=+=⎰ππ.由①得)(2394a b -=，并代入V 的表达式而转化为求)(a V 的最小值问题，令0)(='a V ，可得唯一驻点35-=a ，从而2=b ）. 7.提示：与曲线221-+=x x y 关于点)2 ,(p p 对称的曲线方程，是从21211-+=x x y 以及p x x =+)(121 和p y y 2)( 121=+中消去1y 和1x 而得到的，即 224)14(222++-++-=p p x p x y .设1y 与2y 的交点横坐标为)( βαβα<、，则所围面积为33112)(d )()(αββα-=-=⎰x y y p S .令21y y 、右端相等，得022222=--+-p p px x ，解之得βα、，并令判别式大于0解得 21<<-p ，23231])12(9[)(--=p p S ，21=p 时，)(p S 取最大值9.8.如图所示，设球的比重1≡ρ，半径为r ，则对应于 薄层]d ,[x x x +上的体积微元V d 上的功的微元为,d ])([1d d d 222x r x r gx x g x y x g V W --=⋅⋅⋅=⋅⋅=ππρ∴=-=⎰r x x rx x g W 2 02d )2(π)s /m 8.9( 2434=g g r π. 9.如图所示，水深x 处宽为x d 的面积微元x y A d 2d =上所受的压力微元为 x x gxA gx F d 2d d 22ρρ==，∴ ===⎰g x x x g F ρρ5162 0d 2N 31360； 设压力加倍时闸门下降m h , 则⎰+=2d )(22x x h x g F ρh g F ρ38+=，即 51638=h ，∴ =h m 2.1.其中ρ为水的比重. 定积分应用总评住：对所有专业而言，面积、体积和弧长应是最基本的；力学、物理方面的应用因专业而异；限于篇幅，未涉及经济和其它方面的应用.第二册参考答案第一章 §1.31.（1）B ；（2）C ；（3）C ；（4）A .2.（1）证：∵a x n n =∞→lim ，∴对于事先给定的无论多么小的正数ε（简记为0>∀ε），都存在自然数N （记为N ∃），只要N n >，就必有不等式ε<-a x n 成立，从而对任一自然数k ，当N k n >+（即k N n ->）时，不等式ε<-+a x k n 仍成立，故由数列极限的定义可知：a x k n n =+∞→lim .（2）证：∵a a n n =∞→lim ，∴N n N >∃>∀ , , 0ε时，ε<-a a n ，这时也必有ε<-≤-a a a a n n ，故a a n n =∞→lim .反例：n n a )1(-=，则1)1(lim lim =-=∞→∞→n n n n a 存在，但nn n n a )1(lim lim -=∞→∞→不存在（即n n a )1(-=发散）.（3）证：∵0lim =∞→n n x ，∴N n N >∃>∀ , , 0ε时，ε<-0n x ε<-⇔0n x 成立，故0lim =∞→n n x .（4）证：∵)2( 112)12(232231232223222>=<==--+-+-+n nn n nn n n n nn ，∴][ , 01εε=∃>∀N （取整）只要N n > （从而ε1>n ），必有ε<><--+)2( 12312322n n n nn 成立，故2312322lim =-+∞→n n n n . 3.证：∵数列}{n x 有界，∴0>∃M ，使得对一切N ∈n ，都有M x n ≤成立①；又∵0lim =∞→n n y ，∴N n N >∃>∀ , ,0ε时，Mn n y y ε<=-0②. 于是，0>∀ε，对②中的N ，当N n >时，①②同时成立，所以这时εε=⋅<⋅<=-M n n n n n n M y x y x y x 0，故 0lim =∞→n n n y x .§1.41.（1）分析：因为22)2)(2(42-+=-+=-x x x x x ，而2→x ，所以可设31<<x ，于是，252242-<-+=-x x x x ，对于给定的0>ε，为了ε<-42x ，则只要δε=<-52x 即可，于是有如下的证明： 证：对于事先给定的无论多么小的正数ε，取5εδ=，只要δ<-<20x ，就必有 ε<-42x 成立，所以，4lim 22=→x x .（2）分析：因为)4)(2(2)106(2--=-+-x x x x ，而2→x ，所以可设31<<x ，于是，234)2(2)106(2-<--=-+-x x x x x ，对0>∀ε，为了ε<-+-2)106(2x x ，只要δε=<-32x 即可，从而证明如下：证：0>∀ε，03>=∃εδ，只要δ<-<20x ，就必有ε<-+-2)106(2x x成立，故 2)106(lim 22=+-→x x x .评注：以上的证法就是函数极限的“δε-论证法”，虽然抽象，但很严密，望认真体会.2.（1）证：∵21211212222x xxx x ≤=-++-，∴0>∀ε，取2εδ=，只要δ<-<00x ，就必有ε<≤=-++-21211212222x xxx x 成立，故 1lim 22110=+-→x x x . （2）证：∵34312221++-=-x x x ，∴0>∀ε，取34-=εX （10<<ε），则当X x >时，必有ε<=-++-34312221x x x 成立，故 1lim 3122=+-∞→x x x . 当01.0=ε时，397=X .评注：（2）的证法就是函数∞→x x f )(当时极限的“X -ε论证法”，望认真体会.3.（1）1)00( ,1)00(=+-=-f f ，所以，)(lim 0x f x →不存在；（2）0)00( ,1)00(=+=-f f ，所以，)(lim 0x f x →不存在； 而 1)(lim 1=→x f x .4.⎪⎩⎪⎨⎧>-><-=. 0 ,1, 0 ,1 ,0 ,1)(为无理数且为有理数且x x x x x x f。
高数练习册答案
第一章 函数与极限部分习题答案§1 映射与函数一、填空题：1、224>-<<-x x 或2、)01(1ln>>-=x x x y 3、奇函数 4、41 §2 数列的极限一、填空题：1、不存在 2、必要 3、1二、计算题：1、0 2、1 3、21§3 函数的极限一、填空题：1、 充要 2、1 3、1；不存在 二、计算题：1、 6 2、21 3、62- 4、（1）：1；（2）：-1；（3）：不存在§4 无穷小和无穷大二、计算题：1、0 2、1 3、2§5 极限的运算法则一、计算题：1、-11 2、32 3、214、-15、236、17、528、1二、计算：a=2; b=-8 三、计算；a=1; b=-1§6 极限存在准则 两个重要极限一、填空题：1、0；1；1；0 2、1-e ；2e ；3e ；2e ；二、计算题：1、0； 2、2； 3、2； 4、2e ； 5、 3-e ； 6、6-e ；三、计算：1§7无穷小的比较一、 计算题：1、2； 2、32； 3、0； 4、1 二、 计算题；3=α§8函数的连续性与间断点一、 填空题：1、充要； 2、可去；二、不连续，跳跃间断点 三、跳跃间断点 四、41=a §9连续函数的运算与初等函数的连续性一、计算题；∞,21,31；二、1、2ln π2、1；3、0；4、1三、计算a=1； b=-1第一章自测题一、填空题：1、0≠x，1，-1； 2、0； 3、0； 4、2； 5、21三、计算题：1、2 x ； 2、1； 3、1； 4、3e ； 5、； 6、41； 7、1； 8、1四、计算；a=1； 23-=b§ 2.1 二、 )(a φ；三、 4311;33x ---；四、460;470x y x y --=++=；五、连续且可导。
§2.2 二、2,e e ππ--； 三、（1； （2）；(3)1tan 221111(cos sin sec )x e x x x x-+；（4）22sin 2[(sin )(cos )]x f x f x -。
同济大学 第六版 高数练习册答案 上册
高等数学习题解答第一章（7-11） 第六节 极限存在准则 两个重要极限1.0；1；1；0；2；2/32. 1-e ;1432;0;;;--e e e e3. 证明：{n x }显然单调递增，1x 3≤，若31≤-n x ，则n x ≤33+≤3∴ {n x }单调有界，∴{n x }收敛，不妨设∞→n lim n x =a , 则有 a =3+a ,解得，a =(1+13)/2,2)131(-=a∴2)131(lim +=∞→n n x4. 解：1)12111(22222+≤++++++≤+n n nn n n n n n11limlim22=+=+∞→∞→n nn n n n n∴1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n第七节 无穷小的比较1.（B ）2. （A ）3. 证明： 令t x sin = ， 1sin lim arcsin lim00==→→ttx x t x∴当0→x 时，x x ~arcsin 。
4. 解：（1）0lim →x x x 25tan =0lim →x x x 25=25（2）0lim →x ())cos 1(arcsin 2x x x -=0lim →x 222x x x =∞（3）0lim →x x x )sin 21ln(-=0lim→x 2sin 2-=-xx（4）0lim →x =-+1)21ln(3x e x 3232lim 0=→x x x（5）0lim→x x x x 3sin sin tan -=0lim →x =-xx x x cos )cos 1(sin 30lim →x 322xx x=1/2（6）0lim →x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x tan 1sin 1=0lim →x x x sin cos 1-=0lim →x 022=x x （7）431)3tan arctan (lim 220=+=+++→nn n n n a n n第八节 函数的连续性与间断点1. 0 ；2. 充要；3. 2；4. D5. B6. C7. 解：12121lim 1212lim )(lim0=+-=+-=--+∞→+∞→→+t tt t t t x x f1)(lim 0-=-→x f x ∴ )(x f 在x=0 不连续，且x=0 为函数)(x f 的第一类间断点。
高等数学(上)练习册答案2018版
高等数学（上）练习册答案（2018版）第一章 函数与极限1.1节1．()()+∞⋃--,22,4 . 2．[])(2,2Z k k k ∈+πππ 当210≤<a 时，[]a a -1,； 当21>a 时，φ . 3．](3,1- . 4．]1,3[--. 5．B . 6．A . 7．B . 8．C ， 9．]1,0( 10．D 11．.60,))((;40,))((≤≤=≤≤=x x x f g x x x g f12．x x x f +-=11ln)( 在)1,1(-为奇函数. 13...2);1(,111+∞<<∞--=-≠+-=-x e y x xxy x 14. .01,)(2<≤----=x x x x ϕ 15. .)(1abx a y -=ϕ 16. .1)]}([{=x f f f1.2节1． .B 2．{}n x 有界0>∃⇒M ，+∈∀N n ,有M x n ≤；由0l i m =∞→n n y ，0>∀ε，+∈∃N N ，当N n >时，有My n ε<-0；于是当N n >时，有εε=⋅<-MM y x n n 0..0lim =∴∞→n n n y x3．（1） 0. （2） 5-e . （3）0. （4）原式1)!1(11lim )!1(1!1lim1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→=∞→∑n k k n nk n . （5）原式2211lim 2211211211211lim 21222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∞→∞→n n n n . （6）原式⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=∞→n nn )32(3)1(2lim ，由nn )1(lim -∞→不存在，原式的极限不存在.4．分别用数学归纳法证明：2<n x 和数列}{n x 单调增加，得极限n n x ∞→lim 存在，对n n x x +=+21两边取极限得2lim =∞→n n x .5．由数学归纳法证明：10<<n x ，0)1(1>-=-∴+n n n n x x x x ，数列}{n x 单调递增，∴极限n n x ∞→lim 存在，设为A ，对212nn n x x x -=+两边区极限得22A A A -=； 解得1lim =∞→n n x （0=A 舍去）.6．B . 7．21 . 8．,lim a x n n =∞→ 0>∀ε，+∈∃N N ，当N n >时，有ε<-a x n ，从而有.ε<-≤-a x a x n n .lim a x n n =∴∞→但反之不然，例如：n n x )1(-= .1.3节1．D. 2． b ， 1， 1. 3．极限不存在. 4．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=)0(0)0(1)(x x xx f .5．当2=k 时，2)(lim 0=→x f x ；当2≠k 时，)(lim 0x f x →不存在. 6．极限不存在 .7．（1） 2 .（2） 0cos x .（3）21-. （4） 2-e . （5） 62-. 8．1-=a ，2-=b . 9． 设nn n n x n ++++++=222sin2sin1sinπππ，则1sinsin22+≤≤+n n x nn n n ππ，易知两端数列的极限等于π，于是π=∞→n n x lim .1.4节1． D. 2． C. 3． B . 4．B .5．（1）)(x f 在()1,0内是无界函数，0>∀M ，()1,0)2][2(1∈+=∃πM x M 使得M M M M x f M >+=+⋅+=πππ)2][2()2][2cos()2][2()(；（2）取()1,0)22(1∈+=πn x n ，则+→0n x 时，)()22()(+∞→+∞→+=n n x f n π，由海涅定理，)(lim 0x f x +→不存在；（3）取10=M ，则0>∀δ，()δπδδ,0)21]1[2(1∈+=∃x ，而10)(<=δx f ，从而∞≠+→)(lim 0x f x .6．极限不存在. 7．（1） 4. （2）35. （3） 1. （4） 1. （5） 1. （6） 1.⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→∞+-→∞-→∞+>=--+.,00,0,,0,,1)7(m n n m x n m x x m n m n 当是偶数且，是奇数且，不存在当当 .)1(8n m n m ⋅--）（ 8．444limsin 1)1(lim12204120-=⇒-=-=--=→→a a xxa xx ax x x . 9．2=a ．10．11sin ≤x，k x 必须是无穷小，从而0>k . 11．x x x x P 32)(23++=. 1.5节1． A. 2． C . 3． A . 4．（1）0=x 是)(x f 的跳跃间断点. （2）)(x f 在()+∞∞-,上连续，)(x f 没有间断点.（3） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=<+>=11101110)(x x x xx x f ，1=x 是)(x f 的跳跃间断点.5．（1） e . （2） 1-e . （3） 3e . （4） 2ln =a .6． a x x x x o a x x x x o ax x F x x x x +=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++=→→→→3sin lim3)(lim sin 3)(lim )(lim 0000， 于是13=+a ，2-=a .1.6节1． C. 2． B. 3． 令2)(2-=x x f ，应用零点定理.4．令12)(-⋅=xx x f ，在区间[]1,0上应用零点定理. 5．)(x f 在[]n x x ,1上连续，有最小值m 与最大值M ，则M nx f x f x f m n ≤+++≤)()()(21 ，由介值性定理可得要证的结论.6．令)()()(x f a x f x F -+=，在区间[]a ,0上应用零点定理.7．令x x f x F -=)()(，于是0)()(≥-=a a f a F ，0)()(≤-=b b f b F ，若取等号，a =ξ或b ，否则应用零点定理. 第一章测验题一．1． D; 2． C ; 3． C ; 4． A; 5． A..二．1． 2 ; 2． 2 ; 3． []2,0 ; 4． ()1222≠+-x x x ; 5． 2;三．1． 61; 2． 1 ; 3． 21-e ; 4． 1 ; 5． 33; 6．e ; 7． 不存在;8． 0=k 时，极限为0；0≠k 时，极限不存在. 四．0=x 是跳跃间断点，32ln 1=x 是无穷间断点. 五．由-∞=+∞→)(lim x f x ，由极限的保号性，0>∃b ，且a b >，使0)(<b f ，又0)(>a f ，)(x f在[]b a ,上连续，由零点定理知：),(),(+∞⊂∈∃a b a ξ，使0)(=ξf .六．0lim =∞→n n x .七． 2=n . 八．1． 4=a ，4=b ; 2． 1=a ，4-=b .九．xx ex f sin )(=；0=x 是可去间断点，),2,1( ±±==k k x π是第二类间断点.第二章 一元函数的导数与微分 2.1节1．.)(0x m ' 2． k . 3. D. 4．D. 5．（1） )(0'x f . （2） 0()f x '-.6. 切线方程为0=-ey x . 7． 连续，不可导 . 8． 02x a =，20x b -= .9．可导, 用定义分别求得0=x 点的左右导数都等于0.10．000()()()()()()1()limlim ()lim x x x f x x f x f x f x f x f x f x f x x x x∆∆∆∆∆∆∆∆∆→→→+-⋅--'===0(0)(0)()lim(0)()x f x f f x f f x x∆∆∆→+-'==⋅. 11．)(x f 的不可导点是0=x 和1=x .2.2节1． 2ln 28+ . 2． 1 . 3． 1 . 4． 1. 5．（1）31-; （2）224sin(1)cos(1)q q q -++; （3）)1(sec 2222+---x x e e ;（4）21; （5） 21v v -+; （6）0 ; （7）21-; （8）)]211(211[21xxx xx x +++++ ; （9）21log ln 2x +; （10）221111x x++--; （11）tan x . 6．)](cos )(sin [2sin 22x f x f x '-'. 7．令()(2)(3)(100)g x x x x x =+-+，则()(1)()f x x g x =-⋅，得()()(1)()f x g x x g x ''=+-，于是(1)(1)99!101f g '==-⨯； 或用定义求.8．2()(2()1)[()()]x x f x x ϕϕϕϕ''⋅+⋅+.9．（1）{[()]}[()]()y f f f x f f x f x ''''=⋅⋅; （2）22222(()())x x x x y x e f e e f e ''=⋅⋅+⋅.10．当0x ≠时，221)12()(2xx e x f x +-='；当0x =时，1)0(='f .11．用导数定义，()2()f a a g a '=⋅. 2.3节1．（1） .2c o s 12s i n 4ln 2cos 42x xx x x x y ---='' （2）322(1)x x -+.2． .)13(2220)20(+⋅⋅=x e y x3．)]()(2)][([)]()()][([222x x x x x f x x x x x f dxyd ϕϕϕϕϕϕ''+''+'+''=． 4．()1111(1)!()(2)(1)n n n n yn x x ++=-⋅⋅---. 5．()14cos(4)2n n y x n π-=⋅+⋅ . 6．12a =-，1b =，0c =. 7．2120()120xx f x xx ≥⎧''=⎨-<⎩，（判断(0)f '及(0)f ''时，须用定义分别计算左右导数）. 8．证明略.2.4节 1．11ye+. 2．01=--y x . 3．0 . 4．370x y --= . 5．（1）.)cos()cos(xy x e xy y e dx dy y x +-=（2）22()()2()()dy x f y y f x dx y f x x f y '--⋅='⋅+⋅ . （3）dy x y dx x y +=-. 6．（1）sin 1(ln cos sin )x dyx x x x x dx-=⋅+⋅ . （2）12341(15(2)5(3)5(4)5(5)dy x dx x x x x x ⎫=-++--⎪-----⎭. 7．=22dxy d 233(2)y y e y -⋅-，==022x dx y d 22e . 8．（1） 3. （2）dy t dx =，221()d y dx f t =''. 9．220x y -+=. 10．(2)02x y a π-+-=.11．设经过t 秒钟后船与人的距离是s 米，人行走的距离是x 米，船航行的距离是y 米，则222220s x y =++，两边对t 求导可得222ds dx dy s x y dt dt dt =+，5t =时，10x =，203y =，703s =，并将2dx dt =，43dy dt =代入方程得，526(/)21t ds m s dt ==.12．（1）1(/min)2m π. （2） 1 2(/min)m .2.5节1． 0.0401, 0.04 . 2． 0 . 3．必要非充分 . 4．(1)112+x .(2) x 2sin - . 5．B . 6．A . 7．D. 8．B. 9．2cot dy ydx = . 10．(1)0.5f '= . 11．线性主部是 .)2()]2([222x x x f x dy ∆⋅-Φ'-Φ'-= 12． 2.0052. 第二章测验题一、1． 2-; 2． 充要 ; 3． 5 ; 4．311arctan sin 223x x x e C +++; 5．2(ln 2cos33sin3)x x x --⋅⋅+.二、1． D; 2． C ; 3． A ; 4． D.三、1．222341(21)yy y y e y y -+''=--（或23(42)(2)y y y e x e y y x e ⋅⋅+-+⋅）. 2．22214d y t dx t +=. 3．22101()12sin sin cos 0x x f x x x x x x x ⎧≥⎪⎪+'=⎨⎪-+<⎪⎩ . 4．000()()f x x f x '-⋅.5．()()()n x fx e x n =⋅+. 6．22cos (sin )(sin )[(sin )]dFx f x f x f f x dx''=⋅⋅⋅. 7．1a b ==-，cos 0()100x x x f x x e x --<⎧⎪'=-=⎨⎪->⎩. 8．23(arctan 39x x dy dx x =++.9．sin 122(cos )(cos ln(cos )sin )x dy x x x x dx -=⋅⋅-. 10．(1)2f '=.四、（1）用x ，h ，θ分别表示t 时刻梯子下端与墙的水平距离，上端与地面的垂直距离及梯子与墙面的夹角，则2225x h +=，两边对t 求导得220dx dh x h dt dt ⋅+⋅=，将3x =，4h =及0.5dxdt=代入得：0.375dh dt =-； （2）sin 5x θ=，两边对t 求导得1cos 5d dx dt dtθθ⋅=， 将cos 0.5θ=，0.5dx dt =代入得：.51=dt d θ 第三章 微分中值定理与导数的应用3.1节1． 否， 是，2πξ=. 2． 是 , 914=ξ . 3． 1 . 4． B . 5． D. 6． C.7．令x x x f arccos arcsin )(+=，于是当()1,1-∈x 时，01111)(22=---='xxx f ，于是C x f =)(，2)0(π=f 得2)(π=x f ；当1±=x 时，2)(π=x f ，综上结论成立.8． 21=c . 9．令x a x a x a x f n n n 1110)(--+++= ，用罗尔定理. 10．令x x f x F 2sin )()(⋅=，用罗尔定理 .11．设)()()(0x f x x f x F ⋅-=，则0)0(=F ，)()1(0x f F -=：（1）若0)(0=x f ，)(x F 在[]1,0上满足罗尔定理条件，()1,0∈∃ξ，使0)(='ξF ，得)()(0x f f ='ξ；（2）若0)(0≠x f ，0)()1()1()(0200<--=⋅x f x F x F ，由零点定理()1,0x ∈∃η，使0)(=ηF ，于是)(x F 在[]η,0上满足罗尔定理，()ηξ,0∈∃，使0)(='ξF ，也得)()(0x f f ='ξ. 12．略. 13．即证明ξξ=''=--x x f a b a f b f )(ln )(ln ln )()(令x x g ln )(= 应用柯西中值定理. 14．略. 3.2节1．61. 2． 21- . 3． 1. 4． 1. 5． 1 (不能用罗必达法则); 6． 2 . 7． 21. 8．1. 9． 1. 10． 1. 11．.61- 12． .21n n a a a 13． .41 14． .1e15． )(x f 在点0=x 处连续． 3.3节1. 23()1!2!(1)!n x n x x x x e x o x n ⋅=+++++-. 2. (1)16; (2) 12; (3) 13. 3. 36. 4. 函数的麦克劳林展式为4531()(1)()232n n n x x x f x x o x n -=-+++-⋅+-， 比较nx 的系数有()1(0)(1)!2n n f n n --=-)3(≥n ，所以有()1!(0)(1)2n n n f n -=-⋅-)3(≥n . 3.4节1. (1) 单调递增区间是)1,0(，单调递减区间是),1(∞+; (2) 单调递减区间是(),-∞+∞.2. (1) 上凸区间(,2)-∞-，下凸区间()2,-+∞，拐点坐标222,e ⎛⎫--⎪⎝⎭; (2) 上凸区间5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，下凸区间5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，拐点坐标520,327⎛⎫⎪⎝⎭. 3. (1) 令31()tan 3f x x x x =--，则2222()sec 1tan 0f x x x x x '=--=->，下略. (2) 即证：当,ln 22ln ,4x x x >>令,ln 22ln )(x x x f -=下略 .(3) 考察函数)0(ln )(>=u u u u f 的凸性，应用凸性的定义可得 . (4) 略. 4. 当10a e <<时，原方程有两个实根；当1a e =时，原方程有一个实根1x e a ==；当1a e>时，原方程无实根. 5. 32a =-，92b = . 6. 略. 7.在2()[()]f x f x x '''+=中令0x =，并由(0)0f '=得(0)0f ''=；又2()[()]f x x f x '''=-， 此等式右端可导，可知()f x '''存在，且有()12()()f x f x f x ''''''=-⋅，令0x =得到 (0)10f '''=≠；于是可知点()0,(0)f 是曲线()y f x =的拐点. 3.5节1. (1) 函数在1=x 处取得极小值1-，在0x =处取得极大值0;(2) 函数在0x =处取得极小值0，无极大值; (3) 函数无极大值和极小值. 2. 函数 y 在5x =-处取得最小值56-，在34x =处取得最大值54.3. 2a =时，()f x 在3x π=4. 矩形场地的最大面积是281L 平方米.5. 提示：,)()()(lim2c a x a f x f ax =--→ 由极限的保号性，当0>c 时，存在a x =的某去心邻域),(0δa U 使得0)()()(2>--a x a f x f 恒成立，于是在),(0δa U 内有)()(a f x f >，即)(x f 在a x =处取得极小值；当0<c 时同理可证.3.6节1. 1, 0.2.2sin 32t a . 3. 曲线x y ln =在点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22ln ,22的曲率半径最小，为233. 4. 2-=x y 是一条斜渐近线，1,3=-=x x 是两条垂直渐近线 . 5. ex y 1+=是一条斜渐近线.1=x 是铅直渐近线，44-=x y 是斜渐近线；函数图象见下页.函数图象见下页.第三章 测验题一．1． B . 2． A. 3． D . 4． B .二．1． 1. 2． 3. 3．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛26,23和⎪⎪⎭⎫⎝⎛-26,23 . 4．下凸, ≥ . 5． 3. 三．1．61. 2． 1. 3． 2 . 4． n a a a 21. 四．令)()(x f x x F ⋅=，)(x F 在区间[]b ,0上应用罗尔定理即可. 五．令1)(51101-++=x x xx f ，0151101)(50100>++='x x x f ，于是)(x f 在()+∞∞-,单调递增，又01)0(<-=f ，02)1(>=f ，由零点定理知原方程有唯一实根.六．令xx x f 1)(= )0(>x ，于是数列是该函数在整数点的子列的纵坐标，易知函数)(x f 在e x =取得最大值，32<<e ，33)3(2)2(=<=f f ，所以数列{}nn 的最大项是33.七．令)1()(x e x f x -⋅= )1(<x ，xe x xf ⋅-=')(，令0)(='x f 得0=x 是驻点，x e x x f ⋅--='')1()(，01)0(<-=''f ，0=x 是极大值点也是最大值点，于是1)0()1()(=≤-⋅=f x e x f x ，又01>-x ，所以xe x -≤11. 八．332-=a ，63=b 或332=a ，63-=b .题第6题第71=x 是铅直渐近线，2=y 是水平渐近线；函数图象如下：十．1．)0(g a '=时，)(x f 为连续函数；2．()⎪⎩⎪⎨⎧=+''≠--⋅+'='021)0(0)cos )(()sin )((1)(2x g x x x g x x x g x x f .3．验证)0()(lim 0f x f x '='→，于是)(x f '在0=x 处连续.第四章 不定积分4.1节1． B . 2．C. 3． D .4．(1) C x +2552. (2) C x x ++arctan 3. (3) C x x x +++--2321213422.(4) C x x +⋅-)32(32ln 52. (5) C e x++3ln 1)3(. (6) C x x +-sec tan . x(7) C x x x x +-+--sin 2ln 7256221. (8) C x x +--arctan 1. (9) C x x +-cot tan .4.2节1．C x +-3cos 31. 2．C x +--9)21(181. 3．C p +ln ln . 4．C x +arcsin ln . 5．C x +--23131. 6．C x +2arctan 21 . 7．C s +1cos . 8．C x +-cos ln 2. 9．C x +--3sin 31. 10．C x x ++cos ln . 11．C u +)ln(ln ln .12．原式⎰+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-+--=C x x x dx x x x arctan 2111ln 411121111412. 13．C x +sin ln ln . 14．C e x ++)1ln(212 . 15．原式⎰=+=+=+=C x C t t t tdttx arctan 2arctan 223. 16．C +-2arctan 2θθ. 17．C x x +---23ln 4321. 18．C x x +++--12ln 7132ln 71. 19．C x +-5cot 51. 20．C x x ++2sin 4121. 21．C x x +-57cos 51cos 71.22．原式⎰++=+-=C x x dx xx xx cos sin sin cos sin cos 22 . 23．()C E+2arctan. 24．C x x +-12sin 2412sin 41.25．令t x =-12，.1arctan 2C x +-26．原式⎰++-=+=C x x x x x d )4ln(241ln 41)4()(616666.27．C l l ++-)9ln(292122. 28．原式C y y C t dt t tty ++=+=⎰==1sin sec sec 232tan .29．原式C x x dt t tx +-+--=--⎰==-23232)32(2723294)2(92. 30．原式⎰=+++-+=++-=-=+-=C e e C t t dt t x x te t x x 2222ln 2222ln 222222)2ln(2.31．原式C x x x C t t dt t t t tx +--=+-=⋅⎰==22sin 12arcsin 212sin 412cos cos sin . 32．令C x x x t x +---=2arcsin 4,sin 22.33．原式⎰⎰+=+=+=C x x x d x xdx )tan 23arctan(634tan 3)(tan 4tan 3sec 222. 4.3节1．C x x x ++-sin cos . 2．C x x x +-3391ln 31. 3．C x x x x +-+221cos ln tan . 4．C x x x ++-)1ln(21arctan 2. 5．C x x x +-ln . 6．C x x x ++)]sin(ln )[cos(ln 2.7．C x x e x +++--)22(21242 8．C e e x x x +-⋅---22. 9．C x x x x +++++22913ln 61912 .. 10．C x x +-2ln ln 2. 4.4节 1． 2211ln 1ln(1)arctan 21x x x C x --+-+++. 2． 令tan 2x t =，原式=C x x +-2tan ln 412cot 812. 3．原式21(sin cos )12sin cos x x dx x x +-=+⎰111(sin cos )(sin cos )csc()cot()22sin cos 2444dx x x dx x x x x C x x ππ=+-=--+-+++⎰⎰.4．令t =C =+. 5．原式21tan 2sec tan sec t x t uuduu u =+===⎰2(sin )1sin sin d u C C u u ==-+=⎰ .6．3196979899100(1)1331(1)(1)(1)(1)96979899t x t dt x x x x C t =-----+==--------+=⎰.7．令t =32424ln 1t dtx C t t===-++⎰.8． 72ln ln 17x x C -++. 9． （利用公式ααα3sin 4sin 33sin -=） s i n 2t t C ++.10．原式222sin (1sin )(cos )(sec 1)sec tan cos cos t t d t dt t dt t t t C t t -==---=-++⎰⎰⎰ .11．原式233tan sec tan (tan )1ln 1tan 3tan 1tan 1x xdx xd x x x x ====-+++⎰⎰.31tan 2arctan 331tan tan ln 612C x x x +-++-+ 12．.1212ln24121arctan221222C x x x x xx ++-+++- 13．44411ln(1)ln(2)44x x x C ++-++. 14．原式sin sin 2sin cos cos xxxdxe x xdx e x=-⎰⎰sin sin sin sin sin sin 11()()cos cos cos cos x xxx xx e xd eed xe e dx e xdx x x x=-=--+⎰⎰⎰⎰ sin (sec )x x x e C =-⋅+.15．C x x x x ++-++221)1ln(. 16．C e e e x x xx+-+---22arctan 242422 .第四章 测验题1．(1) 2x C +. (2) (2)f x . (3)14ln14xC +. (4) 1sin(12)2x C --+. (5) (1)x x e C -++. (6) ()xF e C --+. (7) 12-. (8) 21ln 2x C +. (9) 31(1)3x C --+ . (10) 22ln x x C ++. 2．(1).tan 31tan 3tan 3tan 3133C x x x x +--+(2).2)(2C x x x f +-= (3)分部积分法2ln 2ln 2x x C x x x---+. (4) 利用公式ααα3sin 4sin 33sin -=，.cos 716cos 4cos 34753C x x x +-- (5)令30t x =，393424303030309015393412x x x C +++. (6) .arctan 2C r r +-(7)令t =322(2)3x C --+. (8).)2sin 22(cos 102C x x ee xx ++-(9)21ln 12x x x C -+++. (10) 分母有理化 332211(1)(1)33x x C +--+. (11) 分部积分法，1xe C x++ . (12)分部积分法， 2111arctan arctan 222x x x x e e e e C -----+. (13)原式222214x x xe dx e C ==+⎰. (14)C x f x +⋅)(. (15)原式cos (sin )sin ln sin (1sin )sin (1sin )1sin xdx d x xC x x x x x ===++++⎰⎰.(16).cot sin C x x xx+- 3．t t f t e x e f xx ln )(,,)(='⇒=='令 ，,ln ln )(1C x x x xdx x f +-==⎰⎰⎰⎰⎰-='-==xdx x x f x dx x f x x f x x d x f dx x f x ln 31)(31)(31)(31)()(31)(333332 2441343481ln 121)ln (31)(ln 121)(31C x x x C x x x x x d x x f x ++-+-=-=⎰ 2314431165ln 41C x C x x x ++-= . 第五章 定积分及其应用 5.1节 1．（1）>， （2） < ， （3） >， （4） < . 2．C . 3．B . 4．C .5．1011lim 1in xnn i e dx e e n →+∞====-∑⎰ . 6．(1)24a π . (2) 0 . (3) 1 .7．（用反证法）设[]0,x a b ∃∈使0()0f x ≠，即0()0f x >，由()f x 在[],a b 上连续，,0>∃δ],,[],[00b a x x x ⊂+-∈∀δδ有)(21)(0x f x f >；由积分的区域可加性： 000000()()()()()0bx x b x aax x x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx δδδδδδ-++-+-=++≥>⎰⎰⎰⎰⎰，矛盾.8．()f x 在[],a b 上连续，于是可取得最大值M 和最小值m ，()m f x M ≤≤，又()0g x >， ()()()()mg x f x g x Mg x ∴≤≤，()()()()bb baaamg x dx f x g x M g x dx ∴≤≤⎰⎰⎰，即()()()babaf xg x dxm M g x dx≤≤⎰⎰，由连续函数的介值性定理知：[],a b ξ∃∈，使得()()()()b abaf xg x dxf g x dxξ=⎰⎰，结论成立.5.2节1． 0 , 2s i na -, 2sin b . 223． 022222c o s 2c o s 4xxt d t x x -⎰. 4．.1- 5． .2x y =6．23()1xx x x ϕ'=-+，0x >时()0x ϕ'>， 于是()x ϕ在[]0,1上单调增加，min (0)0ϕϕ∴==.7．(1) 1 (2)原式0lim 1x +→====. (3) 原式2])1arctan([lim22xx du dt t u xx ⋅+=⎰⎰→)0(.623)1arctan(lim202π==+=⎰→ xdt t x x8． D . 9．(1) 0, (2) 2-, (3) 1 , (4) ln 2 , (5)56. 10．.3103)(2-=x x f 11．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-≤≤---<+=.1,4321,114121,1,41)(22x x x x x x x x x F 12．（1）原式12021111lim 141()n n i dx i n x n→∞====++∑⎰π. （2）.11+p 13．提示：()0f x '≥，[],,()()t a x f t f x ∴∀∈≤，(1)在(),a b 内有≤-=⎰x a dt t f a x x F )(1)().()(1x f dt x f ax x a =-⎰ (2) 022()()()()[()()]()0()()a x x a af t dt f x x a f t dtf x f t dt F x x a x a x a '⎡⎤---⎢⎥'===≥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，证毕.14．提示：当1>x 时，110()()f x t x t dt x tdt =-=⎰⎰1201123t dt x -=-⎰； 当10≤≤x 时，120()()()x xx xf x t x t dt t t x dt x tdt t dt =-+-=-⎰⎰⎰⎰1123111323x x t dt x tdt x x +-=-+⎰⎰；即⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤+-=1312110312131)(3x x x x x x f .15．略. 16．切线方程,x y = .2 17．)()2(,),()1(x f ∞+∞-在0=x 可导且.0)0(='f5.3节1． C . 2． B . 3．(1)332a ; (2) e 22-; (3) 令t x sin =，原式1202(1)n x dx =-⎰212(2)!!2(1)cos 2(1)(21)!!nn nn tdt n π+=-=-+⎰; (4) 34;(5) 令t x -=2π，⎰=20cos ππtdt J m m ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-⋅-=.,!!!)!1(,,2!!!)!1(2为奇数为偶数m m m m m m ππ (6) 22 ; (7) 32π ; (8) 原式2ln 81)cos (ln 212402-=-=πx ;(9) 原式2211022e e x x ==; (10) 令t x sin =，原式420313cos 42216tdt πππ==⋅⋅=⎰;(11) 原式221arctan(sin )28x ππ==; (12)4π; (13) 原式2442200(sin cos )cos sin (sin cos )(sin cos )(sin cos )x x x x dx d x x x x x x ππ--==+++⎰⎰ 44401sin cos (sin cos )(cos sin )()1sin cos sin cos sin cos 4x xx x x x d dx x x x xx x ππππ---=--=+=-+++⎰⎰.4． 由⎰⎰+=≤+≤10102212110n dx x dx x x nn ，且0121lim=++∞→n n ，所以01lim 102=+⎰+∞→dx x x nn . 5．.sin x - 6．提示：令.)(t x a b a =-+ 7．.0 8．.1)11(23-+e9．提示：)1(令;2t x -=π)2(令.t x -=π10．提示：⎰⎰-=x ax adt t g dt t f x H )()()(.)]()([⎰-=xadt t g t f5.4节1．收敛12-π. 2．收敛3ln 21-. 3．发散 . 4．收敛2π.5．收敛 1-. 6．收敛 2π. 7． 发散.8． ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<+≤=.2,1,20,2140,21)(x x x x e x F x5.5节 1．(1)332; (2) 4; (3) 2ln 23-; (4) 21.2．x e y --='，e y x -='-=1，于是切线方程为)1(+-=-x e e y ，即ex y -=， 22)(00120101e e x e e dx e dx ex e S xxx x =-+-=++=∞+----∞+---⎰⎰. 3．)245()]cos 1([212212222-=++=⎰πθθπππa d a a S . 4．由曲线过()0,0及()2,1得0=c ，2=+b a ，bx ax y +=∴2，所求面积 3323222011(2)()()()3266bbaab a S a ax bx dx ax bx a a---=+=+==⎰3243226)4()2()2(2)2(361a a a a a a a a da ds +--=----=，令0=da ds ，可得4-=a 或2=a （舍去），于是49)4(min =-=S S . 5．垂直x 轴的截面面积为h x R x A ⋅-=22)(，于是02()2R V A x dx h ==⎰⎰2211242h R R h ππ=⋅=. 6．垂直y 轴的截面面积为2222)(arcsin )2()2()(y x y A ⋅-⋅=⋅-⋅=ππππππ，于是体积3112222000()[()(arcsin )]sin 224V A y dy y dy x d x ππππππ==-=-=⎰⎰⎰. 7．由y x -±=4，垂直y轴的截面面积为22()(3(3A y ππ=-， 40()64V A y d y π===⎰.8．(1))110(27823- ; (2) a 8; (3) )]412ln(2141[22ππππ++++a ; (4) x y cos ='，由0cos ≥x 知，22ππ≤≤-x，224s ππ-===⎰.5.6节1． 深度为x 厘米时，阻力为kx f =，第一次锤击做功102kW fdx ==⎰，第二次锤击做功 00201122x x kx k W fdx kxdx ===-⎰⎰，2222020=⇒⋅=x k kx ，第二次打入12-厘米.2． 在距锥口x ]15,0[∈米处取一薄层水其重力为：dx x g x F ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=πρ2151010)(,1511002dx x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πρ其中g 为重力加速度，ρ是水的密度，水的比重为g ρ，x x F dW ⋅=)( ,1511002dx x x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ρπxdx x g dW W 2150150)151(100⎰⎰-==∴πρdx x x x g )15152(100150232⎰+-=πρ152342021002315415x x x g ρπ⎡⎤=++⎢⎥⨯⨯⎣⎦πρπρg g 187512151002==（焦）. 3．距薄板顶端h 米的面积元为dh h R dS 222-=，压强)(h a g p +=ρ，于是压力202()().23R Ra RF pdS g a h gR πρρ==+⋅=+⎰⎰ 4．以过质点M 和圆弧中点的连线为x 轴，圆心角为θ处质量元为θρρRd ds dM ==，x 轴方向上的引力元为θθρd R R km dF x cos 2=，于是2222cos sin ,0.2x y km km F R d F RR ϕϕρϕρθθ-===⎰ 5．)sin 2(αρb h gab +.6．)/(123)23(330230s m dtt t dv tsv =+==∆∆=⎰⎰.第五章测验题1．(1) D ， (2) C ， (3) B, (4) A, (5) A..2．(1) 1, (2) 0, (3) 32, (4) 1-x , (5) 0, (6) .2121e3．(1) 31， (2) 222+e ， (3) 原式)12arctan(1)sin ()sin (202+=+++=⎰ππx x x x d ,(4)原式1100211()lim ()2d x x x x xεε→+--===-+⎰, (5) 266)1(102x x y +-='', (6) 2322arctan 9-, (7) .22ln 4- 4．3134)()()(23122022+-=-+-=⎰⎰t t dx t x dx x t t S tt ，t t t S 24)(2-='，令0)(='t S 得 21=t 或0=t (舍去)，即21=t 时面积最小. 5．(1) 以垂直水面向下为x 轴，水平面为y 轴建立坐标系，压力元为xdx x hbb g dF ⋅-=)(2ρ， 于是压力;31)(2202gbh dx h x x gb F hρρ=-=⎰ (2) 坐标同上，压力元为dx h bx gx dF 2⋅=ρ，压力20322gbh dx h bx gx F h ρρ=⋅=⎰.6．(1) ⎰=aydx S 04(代入参数并整理)24622200312(sin sin )8a tdt tdt a πππ=-=⋅⎰⎰;(2) 22a V y dx π=⎰(代入参数并整理)3793220326(sin sin )105a tdt tdt a ππππ=⋅-=⋅⎰⎰; (3) t dxdy y tan -=='，04s =⎰(代入参数并整理)2034sin 262a tdt a π==⎰. 第六章 常微分方程6.1节1． 当C = 0时，选B; 当C ≠0时，选D. 2． B. 3． C. 4． A. 5． C . 6．20x y y '+⋅= . 6.2节1．32x y C x =+ . 2．sin ()xy e x C -=+ . 3．21ln 2x e y +=。
高等数学练习册答案
第一章函数的极限与连续【基本要求】1、熟练掌握基本初等函数的表达式、图形及主要性质；2、了解初等函数的概念，了解极限的直观概念（一种变化趋势），无穷小量、无穷大量的概念；3、熟练掌握函数极限四则运算法则和无穷小量的性质，掌握求极限的各种方法；4、掌握两个重要极限，会用它求有关极限问题；5、理解函数的连续性和连续函数的概念，会判断一、二类间断点，知道闭区间上连续函数的性质．第一节函数【知识要点】邻域、函数、基本初等函数、初等函数、复合函数、分段函数的概念；求定义域、值域的方法；建立函数关系．【基本训练】x+<的中心是2吗？1、邻域21答案：-22、确定函数的两要素是定义域和值域吗？答案：不是。
确定函数的两要素是定义域和对应法则。
3、函数有哪几种表示方法？答案：解析法、图示法、表格法。
4、我们常用什么方法研究函数？答案：图示法。
f x=?5、函数()答案：是y=是否为初等函数？6、函数x答案：是。
7、你能举出一个既是奇函数又是偶函数的函数吗？ 答案：()0f x =．8、奇函数的图形以（ ）对称；偶函数的图形以（ ）对称． 答案：原点；y 轴． 【能力提高】 一、单项选择题：1、C2、C3、B4、C5、D 二、确定下列函数的定义域：(1)y = (2) lg(1)y x =-+答案：[)(]2112,,- 答案：()11,- (3) x y cos = （4）21arcsin 5x y +=答案：2222k ,k ,k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦答案：[]22,- （5）ln(sin )y x = (6) ⎩⎨⎧<<-<≤--=20301x x x x y ，，答案：()2(21)k ,k ,k Z ππ+∈ 答案：[)()1002,,- 三、下列各题中()f x 和()g x 是否相同？(1) 3223()()()f x x ,g x x == (2) 2()()f x x,g x == 答案：不同 答案：不同(3) 22()1()sin cos f x ,g x x x ==+ (4) ()()f x x ==答案：相同 答案：相同四、已知()210201113x x f x x x x -≤<⎧⎪=≤<⎨⎪-≤≤⎩，求：(05)(0)(2)f .,f ,f -． 答案：(05)1(0)2(2)1f .,f ,f -=-==五、已知1(1f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0x >，求()f x ． 答案：令1u x =，1x u=． ()1111f u u u ⎛⎛=+=+ ⎝⎝= ()f x =六、已知()f x =[]1()f ,f f x x ⎛⎫⎪⎝⎭．答案：11f x ⎛⎫=⎪⎝⎭；[]()f f x ==．七、确定下列函数的奇偶性：(判定奇偶性,先要求定义域) (1) ()4cos f x x x = (2) ()1cos xf x e=答案：偶函数 答案：偶函数 (3) ()1lg1xf x x-=+ (4) ()ln f x x = 答案：奇函数 答案：非奇非偶函数八、下列各题的函数是由哪些简单函数复合而成的? (1) ()21sin 2xf x =答案：21()2,sin u f u u v ,v w,w x==== (2) ()2sin (cos3)f x x =答案：()2,sin cos ,3f u u u v,v w w x ====(3) ()f x =答案：()21ln(sin 1)2f x x =+，()21ln 1sin 2f u u,u v ,v x ==+=(4) arctan y =答案：22,arctan 1y u u v,v x ===-九、在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解： D A R O h EBC设梯形ABCD 即为题中要求的梯形，设高为h ，即OE=h ，下底CD ＝2R直角三角形AOE 中，利用勾股定理得AE =则上底＝2AE =故((22hS R h R =+=+第二节 数列的极限【知识要点】数列概念、数列极限存在的定义． 【基本训练】 1、数列是函数吗？ 答案：是2、如何在数轴上和平面直角坐标系上表示数列？3、下列做法是否改变数列的敛散性？（1）任意改变数列的有限项； 不会 （2）各项同取绝对值；会 （3）各项乘以同一常数k ； 会 （4）去掉所有偶数项．会 4、如果数列{}n x 极限存在，lim n n x a →∞=，lim n n x b →∞=，则a 与b 相等吗？答案：是5、收敛的数列一定有界吗？ 答案：是6、无界的数列会收敛吗？ 答案：否7、有界的数列一定收敛吗？ 答案：不一定 【能力提高】观察下列数列的变化趋势，对存在极限的数列，写出它的极限：（1）1(1)nn x n+-= 答案：0（2）(1)nn x n =+- 答案：不存在（3）1sinn x n = 答案：0 （4）sin n nx n= 答案：0（5）sin n x n π= 答案：0 （6）sin(2)2n x n ππ=+ 答案：1(7) cos n x n π= 答案：不存在 （8）1n x = 答案：不存在（9）2121n n nx n n-⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩ 答案：2第三节 函数的极限【知识要点】函数极限、左右极限的概念、函数极限存在与左右极限的关系． 【基本训练】1、在讨论函数极限时自变量x 的变化趋势大体分为哪两种情况？ 答案：0x ,x x →∞→2、数列极限和函数极限的区别是什么？3、函数()f x 在点0x 处无定义，则函数()f x 在点0x 处一定无极限吗？ 答案：不一定4、函数()f x 在点0x 处有定义，且函数()f x 在0x 处极限存在，则极限值一定为0()f x 吗？ 答案：不一定5、函数()f x 在点0x 处左右极限一定相等吗？如果函数()f x 在点0x 处极限存在，它在点0x 处左右极限一定相等吗？答案：不一定；是6、如果函数()f x 在点0x 处左右极限存在且相等，函数()f x 在点0x 处极限存在吗？ 答案：存在n 为奇数n 为偶数【能力提高】一、从函数的图形观察极限是否存在，若有极限等于多少？ (1) 0lim cos x x →=（ 1 ）， 2l i m c o s x x π→=（ 0 ）， lim cos x x →+∞=（ 不存在 ）， l i m c o s x x →-∞=（不存在 ）；（2）0lim arctan x x →=（ 0 ）， 1l i m a r c t a n x x →=（4π）， lim arctan x x →+∞=（2π ）， l i m a r c t a n x x →-∞=（2π- ），l i m a r c t a n x x →∞=（不存在 ）；（3）()x f x a = (1)a >当03x ,x ,x ,x →→→+∞→-∞时； 答案：0lim 1xx a →=，33lim xx a a →=，lim xx a →+∞=+∞，lim 0xx a →-∞=．（4）当111x ,x ,x -+→→→时，2211()311x x f x x x ⎧-<=⎨+≥⎩ 的极限．答案：21lim (21)1x x -→-=，1lim (31)4x x +→+=，11lim ()14lim ()x x f x f x -+→→=≠=,1lim ()x f x →不存在．二、单项选择题： 1、C 2、D 3、B三、设函数20()0x x a x f x ex ⎧+<=⎨>⎩ 在0x →时极限存在，求常数a 的值．答案：2lim ()lim 1xx x x a a,e -+→→+==，因为函数在0x →极限存在,故左极限和右极限相等,得1a =．四、设函数1121()21xxf x -=+，讨论函数在0x →时极限是否存在．答案：11112121lim 1lim 12121xxx x xx,-+→→--=-=++，0lim ()x f x →不存在．第四节 无穷小量与无穷大量【知识要点】无穷小量、无穷大量的概念与性质、无穷小量与无穷大量的关系． 【基本训练】 1、零是无穷小量吗？ 答案：是2、若lim ()x af x A →=，则在x a →时，()f x A -是无穷小量吗？答案：是3、有限个无穷小量的和、差、积仍然为无穷小量吗？ 答案：是4、无穷小量的商一定是无穷小量吗？ 答案：不一定5、无穷小量与有界函数之积仍然为无穷小量吗？ 答案：是6、无穷大量乘任意常数一定是无穷大量吗？ 答案：不一定7、无穷大量与无穷大量之差一定是无穷小量吗？ 答案：不一定8、当2x →时，下列函数中不是无穷小量的是（ C ）． A. 38x -B. 2sin(4)x -C. 2x e- D. ln(3)x -【能力提高】一、下列函数在什么情况下是无穷小量？什么情况下是无穷大量？ （1）xe -； （2）ln x ； 答案：x →+∞,xe -为无穷小; 答案：1x →,ln x 为无穷小；x →-∞,xe -是无穷大 0x +→，x →+∞,ln x 为无穷小（3）21x x +-； （4）23x x-； 答案：2x →-，21x x +-为无穷小 答案：3x →,23x x-为无穷小1x →,21x x +-为无穷大 0x →,23x x-为无穷大（5）51x -； （6）115x -． 答案：0x →，51x -为无穷小 答案：0x →，115x -为无穷小 x →+∞,51x -为无穷大x →-∞,115x -为无穷大二、当x →∞时，将()f x 表示为一个常数与无穷小量之和．（1）3321()1x f x x -=+；答案：3321lim 21x x x →∞-=+，33()21f x x =-+,在x →∞,331x -+为无穷小(2) 21()31x f x x -=+． 答案：212lim313x x x →∞-=+，25()33(31)f x x =-+,在x →∞,53(31)x -+为无穷小第五节 函数极限的运算【知识要点】函数极限的四则运算法则、两个重要极限及应用、无穷小量的比较． 【基本训练】1、下面的解法对吗？为什么？0011lim sinlim limsin 0x x x x x x x→→→=⋅= 答案：错2、下面的解法对吗？为什么？221111212lim lim lim 01111x x x ()x x x x→→→-=-=∞-∞=---- 答案：错3、当0x →时，22x x -与23x x -哪一个是更高阶的无穷小量？ 答案：当0x →时，23x x -是比22x x -更高阶的无穷小量4、当1x →时，无穷小量1x -与（1）31x -，（2）21(1)2x -是否同阶？是否等价？ 答案：3111lim13x x x →-=-，当1x →时，无穷小量1x -与31x -是同阶无穷小量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1章 极限与连续1.1 函数1、(1) x -- (2) ]3,0()0,( -∞(3) 时，210≤<a a x a -≤≤1，φ时，21>a(4) 奇函数 (5)）（101log 2<<-x xx(6) )1(-≠x x (7) 22+x (8))(x g π2 (9) 1525++⋅x x(10) xe1sin 2-2、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<-==<<=e x e x e x e x e x e x g f 或或1011011)]([ 3、⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<--≤+=262616152)(2x x x xx x x f 4)(m a x =x f 1.2 数列的极限1、(1) D (2) C (3) D1.3 函数的极限1、(1) 充分 (2) 充要 3、 11.4 无穷小与无穷大1、(1) D (2) D (3) C (4) C1.5 极限运算法则1、 (1) 21-(2) 21(3) ∞ (4) 1- (5) 02、（1）B （2）D3、(1) 0 (2)23x (3)1-(4) 62(5) 1 (6) 4 4、a = 1 b = -11.6 极限存在准则 两个重要极限1、(1) 充分 (2) ω，3 (3) 2 ，23(4) 0，22t (5) 3e ，2e2、(1) x (2)32(3) 2 (4) 1 (5) 3-e (6) 1-e 1.7 无穷小的比较1、(1) D (2) A (3) B (4) C2、(1) 1 (2) 2 (3) 23- (4) 21- (5) 23 (6) 32-3、e1.8 函数的连续性与间断点1、(1) 充要 (2) 2 (3) 0，32(4) 跳跃 ，无穷 ，可去2、(1) B (2) B (3) B (4) D3、(1) 1-e (2)21-e4、a =1 ， b = 25、 (1))(2,0Z k k x x ∈+==ππ是可去间断点，)0(≠=k k x π是无穷间断；(2) 0=x 是跳跃间断点，1=x 是无穷间断点 6、e b a ==,01.10 总习题1、(1) 2 (2) },,,max{d c b a (3)21(4) 2 (5) 2 8- (6) 2 (7) 23 (8) 0 1- (9) 跳跃 可去 (10) 2 2、(1) D (2) D (3) D (4) C (5) D (6) B (7) D (8) D (9) B (10) B (11) B 3、（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=11575115100190100090)(x x x x x p（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=11515115100130100030)60(2x x x x x x xx p P（3）15000=P （元）。
4、(1)32 (2) 0 (3)e1 (4)21(5)a ln (6)nn a a a 21 (7) 15、x x x x f ++=232)( (提示：b ax x x x f +++=232)(令)6、a =1 b =21-7、 0=x 和)(2Z k k x ∈+=ππ是可去间断点)0(≠=k k x π是无穷间断点8、1±=x 是的跳跃间断点 9、3lim =+∞→n n x10、)(x f 在),(+∞-∞处处连续1.11 测验题1、(1) A (2) C (3) C (4) B (5) B2、(1) b (2) 21(3) e (4)（略） (5)（略）3、（1）21（2）0 (3) a 21 （4）21-e4、a =1 ， b =05、x =0为跳跃间断点，x =-1为第二类间断点，x =为可去间断点6、e+-117、2第2章 导数与微分2.1 导数的定义1、(1) 充分， 必要 (2) 充要 (3))(0x f '，)()(0x f n m '+(4) !9- (5) 21x -，x21，4743--x 2、1-3、切线方程为12ln 21-+=x y ，法线方程为42ln 2++-=x y 5、提示：左右导数定义 6、2=a ， 1-=b 7、在0=x 处连续且可导2.2 求导法则1、(1) x x e x xe 22+ (2)11-x (3) x 2cos 2 (4) 21arcsin 2xx -(5) x x x x cos sin 332+ (6) x x1sin 12 (7) 222)1(21x x x +--(8) 2)ln 1(2x x +- (9)21xx + (10) x x e e tan - (11)322)(x a x- (12) x cos (13) x 1- (14) )()(23x f x f '-2、（1）⎪⎩⎪⎨⎧=≠-0001cos1sin 2x x xx x （2）xx 2315+（3）x x x x ln 12+- (4)221xa + (5)212)(1ln sec a a xxx ax a a a ++⋅- (6) 323sin ln cos ln sin 2xx x x x x x x -- (7)mx x x n x mx m n n sin sin cos cos cos 1⋅⋅-⋅-3、(1))()]([x f x f f '⋅' (2))]()([(2222x f x f xe x '+ 4、)(2a ag 5、(1)xy xy xe xy x y xy y ye -+-)sin(2)sin( (2) y x yx -+ (3) 22ln ln x x xy y y xy --(4) )3121411(31+-+++x x x 323)12)(1(+++x x x(5) )]1ln(1)1(1[)1(21x xx x x x +-++7、0=-y x 8、(1) 212t t- (2) 1-2.3 高阶导数及相关变化率1、 (1) 2)64(3x e x x + ，)(4)(2222x f x x f ''+'(2) )2sin(πnax a n + ， )2cos(πn ax a n + (3) n x a a )(ln ， nn xn )!1()1(1---(4) 1)(!)1(+±-n na x n ， nnn x n x n )1()!1()1()!1()1(1--++---(5) )24cos(212πnx n +-2、(1) )sec 2tan tan sec 2(22x x x x e x -+- (2) ⎩⎨⎧<>0206x x3、11)1(!)1(31)2(!)1(32+++-⋅+--⋅n n n n x n x n 4、)2sin 2cos 502sin 21225(2250x x x x x -+6、(1) 2 (2)3)1(y y + (3) 2)cos 1(1t a -- (4))(1t f '' 7、)min cm ( 25162.4 微分1、(1) 18=∆y ，11=dy (2) C x++-11，C x +2 (3) C e x +441 ，C x n n +++111 (4) C x ++)13sin(312、(1) A (2) B3、(1) dx x x2tan -(2) dx xx x)33ln 31(232-⋅ (3) dx x f x f x f )]())(cos()21(2['+-'-4、dx y x y x )ln(3)ln(2-+-+5、)cos(22x x ，)cos(2x ，xx 3)cos(222.5 总习题1、(1) 1- (2) ①0>n ，②1>n ，③2>n (3) 1-，1- (4)34cos sin t t t t - (5)32sin cos xx x x - (6))(200x f x ' 2、(1) B (2) B (3)C (4) A (5) B3、(1)x x x x x x cos ln 3ln 3tan 232cot 21-+ (2) 113+x (3) x x x x )ln 1(2sin 2ln 2-- (4))(2)()(ln 2)()(ln 2)()(ln 22x f x x x f x g x x f x g x x f x xg '-'+(5) ⎩⎨⎧-<><<-222220x x xx 或(6) ])1(2cot 1[21xxe e x x --+x e x x -⋅1sin(7))()(x x ϕψ)()()())(ln()()()(2x x x x x x x ψϕϕψψϕψ'-' (8) )()(2)()(22y f x x yf y f x f y x '+-'-(9) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥+='0,sin 2sin 0,11)(22x x x x x x x x f (10) 2-e (11) 0 ，283e (12) θθ4cos sin 31a (13) 3481t t - (14) ])1(1)1(1[!)1(211+++---⋅n n n x x n(15) )24cos(41πn x n +- (16) dx xye x xy xye y yx yx ++--+ 4、)1(21-''=f a ，)1(-'=f b ，)1(f c = 5、2 2.6 测验题1、(1) B (2) A (3) B (4) C (5) D2、(1)31- (2) 1 (3) 0 (4) (16)x x e + (5) 22y x a ππ+=3、（1）2ln 21ln sin(2)x xx x--（211(cot )224(1)x xe x x e +-- （3）1ln (ln 1)x a x a a ax x x -+++4、15、2223[(1)(1)](1)y y x x y -+--6、214t t+7、21492(1)2sin()25022sin()(1)sin()222n n x n n n n x a ax na x ax n n a ax πππ----++++-+8、2ln()3ln()x y dy dx x y +-=++ 9、21=a ，1=b ，1=c第3章 中值定理与导数应用3.1 中值定理1、(1) 是，2π(2) 是，1-e (3) 4，)2,1)(1,0(),0,1(),1,2(--- 2、(1) B (2) B3.2 洛必达法则1、(1) 1-，4- (2) 12、(1) A (2) C3、(1)21(2) 31 (3) 1 (4) 1 (5)81-3.3 泰勒公式1、(1) )(!!3!2132n nx o n x x x x ++++++ (2) )()!12()1(!3121213---+--++-n n n x o n x x x (3) )()!2()1(!21222n n n x o n x x +-++- (4) )()1(212n nn x o nx x x +-++-- (5) )(12n n x o x x x +++++ 2、)1,()1()1(])1()1(1[1212之间在-+-++++++-+++x x x x n n n ξξ3、4324()4(11)4(37)4(2156）-+-+-+-+-x x x x4、)()!1()1(3132n n n x o n x x x x +--++-- 5、(1)121 (2) 41- 6、31,34-==b a *7、1)0(-=f ，0)0(='f ，37)0(=''f3.4 函数的单调性和极值1、(1) (0,2) ，),2()0,(+∞-∞ (2) 531和=x2、(1) C (2) C (3) A3、(1) 单调递增区间为),3[]1,(+∞--∞ ，单调递减区间为)3,1(-(2) 单调递增区间为),1(+∞e ，单调递减区间为)1,0(e4、极小值为0)0(=y5、23=a ， 21=b7、当e a 1>时，方程无实根；当ea 1=时，方程有一个实根e x =；当ea 10<<时，方程有两个实根。