大一微积分练习题及答案

《微积分（1）》练习题
一．单项选择题
1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（ ） A ． ()()()0000
lim
x f x x f x x f x '=∆-∆-→∆ B ．()()()0000lim x f x
x f x x f x '-=∆-∆-→∆
C ．()()()0000
2lim
x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()00002
1
2lim x f h x f h x f h '=-+→
2．下列极限不存在的有（ ）
A ．201
sin lim x
x x → B ．12lim 2+-+∞→x x x x
C ． x
x e
1
lim → D ．()
x
x x
x +-∞
→63
2
21
3lim
3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ）
A ．x e 22--
B ．x e 2-
C ．x e 24-
D ． x xe 22--
4．函数⎪⎩
⎪
⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（ ）间断点。

A ．跳跃间断点；
B ．无穷间断点；
C ．可去间断点；
D ．振荡间断点
5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ） A ． 当()()0<b f a f 时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0=ξf ； B ． 对任何()b a ,∈ξ，有()()[]0lim =-→ξξ
f x f x ；
C ． 当()()b f a f =时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0='ξf ；
D ．至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -'=-ξ； 6． 已知()x f 的导数在a x =处连续，若()1lim
-=-'→a
x x f a
x ，则下列结论成立的有（ ）
A ．a x =是()x f 的极小值点；
B ．a x =是()x f 的极大值点；
C ．()()a f a ,是曲线()x f y =的拐点；
D ．a x =不是()x f 的极值点，()()a f a ,也不是曲线()x f y =的拐点； 二．填空： 1．设⎪⎭
⎫
⎝⎛=x f y 1arcsin
，f 可微，则()='x y 2．若32325-+-=x x x y ，则()=6y
3．过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线，则切线方程为
4．曲线()2142
-+=
x x y 的水平渐近线方程为 铅垂渐近线方程为 5．设x x f +='1)(ln ，则()='x f ()=x f
三．计算题：
（1）321lim 221-+-→x x x x （2）3
2lim +∞
→⎪⎭
⎫
⎝⎛-x x x x
（3）x
x x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]2
21ln x y -= 求dy
（5）053=-+x y e
xy
求
=x dx
dy
四．试确定a ，b ，使函数()()⎩
⎨⎧<-≥+++=0,10
,2sin 1x e x a x b x f ax
在0=x 处连续且可导。

五．试证明不等式：当1>x 时，()
e xe 2
1
e x e x x
+<<⋅
六．设()()()()a x a
x a f x f x F >--=
,，其中()x f 在[)+∞,a 上连续，()x f ''在()+∞,a 内存
在且大于零，求证()x F 在()+∞,a 内单调递增。

《微积分》练习题参考答案
七．单项选择题 1．（ B ）2．（ C ）3．（ A ）4．（ C ） 5．（ B ）6．（ B ） 八．填空：（每小题3分，共15分） 1． ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
'--
x f x x 1arcsin 11
2
2． ()06=y 3． 12+=x y 4． 2-=y ， 0=x
5． ()x e x f +='1，()c e x x f x ++=
三,计算题：（1）321lim 221-+-→x x x x （2）3
2lim +∞→⎪⎭
⎫
⎝⎛-x x x x
2
1222lim 3
21lim
122
1=+=-+-→→x x x x x x x ()2
62lim 3223
)21(lim 2lim -+-
+⎪⎭
⎫
⎝⎛-•-∞→+∞→==-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∞→e e x
x x x x x x x x x x x （3）x
x x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]2
21ln x y -= 求dy
3
1
3lim 3sin )1ln(lim 2
020=
⋅=+→→x x x x x x x x ()[]()()[]dx x x dx x x dy 2121ln 4221121ln 2---=-⋅-⋅-= （5）053=-+x y e
xy
求
=x dx
dy
()xy
xy
xy xe y ye y y y y x y e +-='⇒=-'+'+2
235053
又10-=⇒
=y x
2351
02
=+-='-===y x xy
xy x xe y ye y
（
九．试确定a ，b ，使函数()()⎩
⎨
⎧<-≥+++=0,10
,2sin 1x e x a x b x f ax
在0=x 处连续且可导。

（8分）
解：()()[]22sin 1lim 000
++=+++=++→b a a x b f x
()[]
01lim 000
=-=--→ax x e f ， 函数()x f 在0=x 处连续()()0000-=+f f
02=++b a ， （1）
()()[][]b x
a b a x b f x =++-+++='+
→+22sin 1lim 00
()[]a x
e x b a e
f ax x ax x =-=++--='→→--1
lim 21lim 000
函数()x f 在0=x 处可导()()00-+'='f f ，故b a = （2） 由（1）（2）知1-==b a
十．试证明不等式：当1>x 时，()
e xe 2
1
e x e x x
+<
<⋅ （8分） 证：（法一）设()t
e t
f = []x t ,1∈ 则由拉格朗日中值定理有
()()()111-<-=-<-x e x e e e x e x x ξ ()x ,1∈ξ
整理得：()
e xe 2
1
e x e x x
+<
<⋅ 法二：设()ex e x f x
-=
()()10>>-='x e e x f x 故()ex e x f x -=在1>x 时，为增函数，
()()01=>-=f ex e x f x ，即ex e x >
设()()
e xe e x
f x
x
+-
=2
1 ()()
()()1012
1
21><-=+-
='x x e xe e e x f x x x x 故()()
e xe e x
f x
x
+-
=2
1在1>x 时，为减函数，
()()()0121=<+-=f xe e e x f x x x ，即()e xe 2
1
e x x +<
综上，()
e xe 2
1
e x e x x
+<<⋅
十一． 设()()()()a x a
x a f x f x F >--=
，其中()x f 在[)+∞,a 上连续，()x f ''在()+∞,a 内存在且大于零，求证()x F 在()+∞,a 内单调递增。

（5分） 证：()()()()()()2
)
(a x a f x f a x x f x F ----'=
' ()()()()()x a a x a x f a x x f <<--'--'=ξξ2
)
( ()()a x f x f -'-'=
ξ
()()()x a
x x f <<>--''=ηξξη0 故()x F 在()+∞,a 内单调递增。