北京市丰台区2012届高三第二学期统一练习(一)(数学理)

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2012年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)

与曲线 c 交于不同的两点 M、N，直线 y=1 与直线 BM 交于点 G．求证：A， G，N 三点共线．
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20．（13 分）设 A 是由 m×n 个实数组成的 m 行 n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 1，且所有数的和为零，记 s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于 A∈S（m，n），记 ri（A）为 A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj（A）为 A 的第 j 列各数之和（1≤j≤n）；记 K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…， |Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
（1）如表 A，求 K（A）的值；
1
1
﹣0.8
0.1
﹣0.3
﹣1
（2）设数表 A∈S（2，3）形如
（1）求证：A1C⊥平面 BCDE；（2）若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小；（3）线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由．
17．（13 分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生
A．28+6
B．30+6
C．56+12
D．60+12
8．（5 分）某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示．从目前记录的
结果看，前 m 年的年平均产量最高，则 m 的值为（）
A．5
B．7
C．9
第 2页（共 27页）
D．11
二.填空题共 6 小题．每小题 5 分．共 30 分.
点 E．则（）
A．CE•CB=AD•DB

2012丰台区数学高三二模理答案

丰台区2012年高三年级第二学期数学统一练习（二）数学（理科）参考答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(1,)2π10．4 11712．31.25 13． 96 14．1，1a >注：第11题第一个空答对得2分，第二个空答对得3分；第14题第一个空答对得3分，第二个空答对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.解：因为()cos sin )f x x x x =-2sin cos x x x -1cos 21)sin 222x x +-12sin 22x x -＝cos(2)62x π+-．（Ⅰ）()cos(2)3362f πππ=⨯+-== ……………………7分（Ⅱ）因为 [0,]2x π∈，所以2666x ππ7π≤+≤．当 26x π+=π，即512x π=时，函数()y f x =有最小值是12--．当512x π=时，函数()y f x =有最小值是1--． ……………………13分16．解：（Ⅰ）依题意，1000.05806000.722E a b ξ=⨯+++⨯=，OBA CD EFP x所以 806017a b +=．因为 0.050.71a b +++=，所以0.25a b +=．由 806017,0.25,a b a b +=⎧⎨+=⎩ 可得0.1,0.15.a b =⎧⎨=⎩ ……………………7分（Ⅱ）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可以抽奖2次．奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元； 100元和80元； 100元和60元；80元和80元四种情况．设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A ，则()0.050.0520.050.120.050.150.10.10.0375P A =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=．答：该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.0375． ……………………13分17．（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ．因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点，所以OP 为三角形BDF 中位线，所以BF // OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，所以BF // 平面ACP ． ……………………4分 (ⅱ)因为∠BAF =90º，所以AF ⊥AB ，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD = AB ，所以AF ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,C 所以 1(,0,1)2BE =- ，1(1,1,)2CP =-- ，所以cos ,||||BE CP BE CP BE CP ⋅<>==⋅，即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为……………………9分（Ⅱ）解：因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =- ，(1,2,0)AC =，所以平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t-=- ，所以121212||cos ,3||||n n n n n n ⋅<>===⋅，解得23t =，或2t =（舍）．此时||3PF =． ……………………14分18．解：（Ⅰ）因为14a =，131n n n a a p +=+⋅+，所以1213135a a p p =+⋅+=+；23231126a a p p =+⋅+=+．因为1a ，26a +，3a 成等差数列，所以2(26a +)=1a +3a ，即610124126p p ++=++，所以 2p =．依题意，1231n n n a a +=+⋅+，所以当n ≥2时，121231a a -=⋅+，232231a a -=⋅+，……212231n n n a a ----=⋅+， 11231n n n a a ---=⋅+．相加得12212(3333)1n n n a a n ---=+++++- ，所以 113(13)2(1)13n n a a n ---=+--，所以 3nn a n =+．当n =1时，11314a =+=成立，所以 3n n a n =+． ……………………8分（Ⅱ）证明：因为 3nn a n =+，所以 22(3)3n n nn n b n n ==+-．因为 2221+11(1)22+1=333n n n n n n n n n b b +++-+-=-，*()n ∈N ．若 22+210n n -+<，则n >，即 2n ≥时 1n n b b +<．又因为 113b =，249b =，所以49n b ≤． ……………………13分19．解：（Ⅰ）依题意设抛物线C ：22(0)x py p =>，因为点P 到焦点F 的距离为5，所以点P 到准线2py =-的距离为5．因为P (x 0，4)，所以由抛物线准线方程可得 12p=，2p =．所以抛物线的标准方程为24x y =． ……………………4分即 214y x =，所以 1'2y x =，点P (±4，4)，所以 41'|(4)22x y =-=⨯-=-，41'|422x y ==⨯=．所以点P (-4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-+，即240x y ++=；点P (4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-，即240x y --=．P 点处抛物线切线方程为240x y ++=，或240x y --=． ……………………7分（Ⅱ）设直线l 的方程为2y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立 242x y y x m⎧=⎨=+⎩，消y 得 2840x x m --=，64160m ∆=+>．所以 128x x +=，124x x m =-，所以1242x x +=，1282y y m +=+，即AB 的中点为(4,8)Q m +．所以 AB 的垂直平分线方程为1(8)(4)2y m x -+=--．因为四边形AMBN 为菱形，所以 (0,10)M m +，M ，N 关于(4,8)Q m +对称，所以 N 点坐标为(8,6)N m +，且N 在抛物线上，所以 644(6)m =⨯+，即10m =，所以直线l 的方程为 210y x =+． ……………………14分20．解：（Ⅰ）1a =时，()ln (1)ln(1)f x x x x x =+--，(01x <<)，则()ln ln(1)ln 1xf x x x x'=--=-．令()0f x '=，得12x =．当102x <<时，()0f x '<，()f x 在1(0,)2是减函数，当112x <<时，()0f x '>，()f x 在1(,1)2是增函数，所以 ()f x 在12x =时取得最小值，即11()ln 22f =． ……………………4分（Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--，所以 ()ln ln()ln xf x x a x a x'=--=-．所以当2ax =时，函数()f x 有最小值． ∀x 1，x 2∈R +，不妨设12x x a +=，则121211221111ln ln ln ()ln()2ln()22x x x xx x x x x x a x a x +++=+--≥⋅[]1212()ln()ln 2x x x x =++-． ……………………8分（Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立． ⅱ）假设当n k =( k ∈N *)时命题成立，即若1221k x x x +++= ，则112222ln ln ln ln2k k kx x x x x x +++≥- ．当1n k =+时，1x ，2x ，…，121k x +-，12k x +满足 11122121k k x x x x ++-++++= ．设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++ ，由（Ⅱ）得11111212212212()()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]k k k k F x x x x x x x x x ++++--≥++-++++-=111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++ =11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++- ．由假设可得 1()ln 2ln 2ln 2k k F x +≥--=-，命题成立．所以当 1n k =+时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立，所以若211nii x==∑，则21ln ln 2nniii x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ． ……………………13分（证法二）若1221n x x x +++= ，那么由（Ⅱ）可得112222ln ln ln n n x x x x x x +++1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++- 1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++ 1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++- 121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++--- ln 2n =-．……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

2012年高考理科数学北京卷(含详细答案)

A B=1,0}1,0,1}xy e=关于y轴对称，则()f x=()B.1x e-D.1xe--( )B.y=D.y=l与C所围成的图形的面积等于( )C.83D.表示的平面区域内存在点00(,)P x y，满足( )B.1(,)3-∞D.5(,)3-∞-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上.9.在极坐标系中，点π(2,)6到直线sin2ρθ=的距离等于___________.10.若等比数列{}na满足2420a a+=，3540a a+=，则公比q=____；前n项和nS=____.11.如图，AB为圆O的直径，P A为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若3PA=，:PD9:16DB=，则PD=___________；AB=___________.12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是___________.13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb（λ，μ∈R），则λμ=________.14.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，E为BC的中点，点P在线段1D E上.点P到直线1CC的距离的最小值为___________.4的正方形，平面ABC ⊥平面，并求1BDBC 的值.. 19.（本小题满分14分）已知A ，B ，C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点.（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.20.（本小题满分13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，…的最小值记为n B ，n n n d A B =-.（Ⅰ）若{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列（即对任意*n N ∈，4n n a a +=），写出1d ，2d ，3d ，4d 的值；（Ⅱ）设d 是非负整数，证明：()1,2,3,n d d n =-=的充分必要条件是{}n a 是公差为d 的等差数列；（Ⅲ）证明：若12a =，1(1,2,3,)n d n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】2|3A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，利用二次不等式的解法可得{|3B x x =>或}1x <-，易得{}|3AB x x =>．【提示】求出集合B ，然后直接求解A B ．【考点】集合间的基本运算． 2.【答案】D【解析】题目中0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122π24π4224P ⨯-⨯-==⨯，故选D ．【提示】本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．【考点】不等式组，平面区域与几何概率． 3.【答案】B【解析】当0a =时，如果0b =，此时i 0a b +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果i a b +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0a =，因此是必要条件，故选B ．【提示】利用前后两者的因果关系,即可判断充要条件．【考点】复数的概念，充分、必要条件． 4.【答案】C【解析】0,11,12,23,8k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==，循环结束，输出的s 为8，故选C ．【提示】列出循环过程中s 与k 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【考点】循环结构的程序框图． 5.【答案】A【解析】由切割线定理可知2CE CB CD =，在直角ABC △中90,ACB CD AB ∠=⊥，则由射影定理可知2CD AD DB =，所以CE CB AD DB =．数学试卷第10页（共36页）【提示】由题中三角形和圆的位置关系，通过条件求解即可．【考点】几何证明选讲． 6.【答案】B【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析3种选择，之后二位，有2种选择，最后百位2种选择，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有一种选择，共6种，因此总共12618+=种，选B ．【提示】选择数字进行排列，判断奇偶性即可．【考点】排列组合． 7.【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和．利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10,10,10,65S S S S ====后右底左，因此该几何体表面积3065S =+，故选B ．【提示】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．【考点】由三视图求几何体的表面积． 8.【答案】C【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C ．【提示】由已知中图像表示某棵果树前n 年的总产量S 与n 之间的关系，结合图像可得答案．【考点】函数图像的应用．第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】2【解析】直线转化为1x y +=，曲线转化为圆229x y +=，圆心(0,0)到直线1x y +=的距离132d =<，所以有两个交点．【提示】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论．【考点】直线和圆的位置关系． 10.【答案】1 【解析】23S a =，所以111211212a a d a d d a a d ++=+⇒=⇒=+=．【提示】由{}n a 是等差数列23S a =，解得12d =，由此能求出2a ．【考点】等差数列的通项． 11.【答案】4【解析】在△ABC 中，得用余弦定理22214()()47()cos 2444a c b c b c b c b B ac c c+-++-+-=⇒-==，化简得8740c b -+=，与题目条件7b c +=联立，可解得4,3b c ==，答案为4．【提示】根据27a b c =+=，，1cos 4B =-，利用余弦定理可得，即可求得b 的值【考点】余弦定理的运用． 12.【答案】3【解析】由24y x =，可求得焦点坐标为(1,0)F ，因为倾斜角为60，所以直线的斜率为tan603k ==，利用点斜式，直线的方程为33y x =-，将直线和曲线方程联立233123(3,23),,334y x A B y x⎧⎛⎫=-⎪⇒- ⎪⎨ ⎪=⎪⎝⎭⎩，因此11123322OAF A S OF y =⨯⨯=⨯⨯=△．【提示】确定直线l 的方程，代入抛物线方程，确定A 的坐标，从而可求OAF △的面积．．【考点】抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系． 13.【答案】1【解析】根据平面向量的点乘公式cos DE CB DE DA DE DA θ==，可知cos DE DA θ=，所以21DE CB DA ==；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα==，又因为cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE DC 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为||DC ，所以长度为1．【提示】直接利用向量转化，求出数量积即可．【考点】平面向量在平面几何中的运用． 14.【答案】(4,2)--【解析】对于①∵()22xg x =-，当1x <时，()0g x <，又∵①()0x R f x ∀∈<，或()0g x <∴()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x ≥时恒成立，则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左边，则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩，∴40m -<<，即①成立的范围为40m -<<，数学试卷第16页（共36页）又∵②(,4)x ∈∞--，()()0f x g x <， ∴此时()220x g x =-<恒成立∴()(2)(3)0f x m x m x m =-++>在(,4)x ∈-∞-有成立的可能，则只要4-比12x x ，中的较小的根大即可，（i ）当10m -<<时，较小的根为3m --，34m --<-不成立，（ii ）当1m =-时，两个根同为24->-，不成立，（iii ）当41m -<<-时，较小的根为224m m <，-即2m <-成立．综上可得①②成立时42m -<<-．【提示】①由于()220x g x =->时，1x ≥，根据题意有()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x >时成立，根据二次函数的性质可求．②由于(,4)x ∈∞--，()()0f x g x <，而()220xg x =-<，则()(2)(3)0f x m x m x m =-++>在(,4)x ∈∞--时成立，结合二次函数的性质可求【考点】指数函数的性质，二次函数的性质．三、解答题15.【答案】（Ⅰ）{|π,}x x k k ≠∈Z π（Ⅱ）ππ,π8k k k ⎡⎫-+∈⎪⎢⎭⎣Z 和3ππ,π8k k k ⎛⎤+∈ ⎥⎦⎝Z 【解析】（Ⅰ）(sin cos )sin2()sin x x xf x x-=(sin cos )2sin cos sin x x x xx-=2(sin cos )cos x x x =-sin 21cos 2x x =--π2sin 214x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，{|π}x x k k ≠∈Z ,原函数的定义域为{|π,}x x k k ≠∈Z ，最小正周期为π；（Ⅱ）由πππ2π22π+,242k x k k -≤-≤∈Z ．解得π3πππ,,88k x k k -≤≤+∈Z 又{|π,}x x k k ≠∈Z ，原函数的单调递增区间为ππ,π8k k k ⎡⎫-+∈⎪⎢⎭⎣Z ，3ππ,π8k k k ⎛⎤+∈ ⎥⎦⎝Z ．【提示】（Ⅰ）直接求出函数的定义域和最小正周期．（Ⅱ）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可．【考点】三角函数的定义域，周期，单调性． 16.【答案】（Ⅰ）证明CD DE ⊥，1A D DE ⊥，又1CDA D D =，∴DE ⊥平面1A CD ，又1AC ⊂平面1A CD ， ∴1AC ⊥DE ，又1AC CD ⊥，CD DE D =∴1AC ⊥平面BCDE ．（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系C xyz -，则(2,0,0)D -，1(00,23)A ,，(0,3,0)B ，(2,2,0)E -，(0,0,0)C ， ∴1(0,3,23)A B =-，1(2,2,23)A E =--，设平面1A BE 法向量为(,,)n x y z =，则1100A B n A E n ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴323022230y z x y z ⎧-=⎪⎨---=⎪⎩∴322z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴(1,2,3)n =-又∵(1,0,3)M -∴(1,0,3)CM =-∴1342cos 2||||14313222CM n CM n θ+====+++∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45数学试卷第22页（共36页）（Ⅲ）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为(0,,0)a ，则[0,3]a ∈则1(0,,23)A P a =-，(2,,0)DP a =设平面1A DP 法向量为1111(,,)n x y z =，则111123020ay z x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴11113612z ay x ay⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴1111(,,)(3,6,3)n x y z a a ==-，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直，则10n n =， ∴31230a a ++=，612a =-，2a =- ∵03a ≤≤，∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直．【提示】（Ⅰ）证明1A C ⊥平面BCDE ，因为1A C CD ⊥，只需证明1AC DE ⊥，即证明DE ⊥平面1A CD ．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面1A BE 法向量(1,2,3)n =-，(1,0,3)CM =-，利用向量的夹角公式，即可求得CM 与平面1A BE 所成角的大小；（Ⅲ）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为(0,,0)a ，则[0,3]a ∈，求出平面1A DP 法向量为1(3,6,3)n a a =-，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直，则10n n =，可求得03a ≤≤，从而可得结论．．【考点】平面图形的折叠问题，立体几何．17.【答案】（Ⅰ）由题意可知，厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱400吨，故生活垃圾投放错误的概率为：40026003= （Ⅱ）由题意可知，生活垃圾投放错误有200602020300+++=, 故生活垃圾投放错误的概率：20060403100010++=（Ⅲ）由题意可知：600a b c ++=，,,a b c 的平均数为200，222222211[(200)(200)(200)](120000)33S a b c a b c =-+-+-=++-，因此有当600a =，0b =，0c =时有280000S =．【提示】（Ⅰ）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率．（Ⅱ）生活垃圾投放错误有2006040300++=，故可求生活垃圾投放错误的概率．（Ⅲ）计算方差可得22221(120000)3S a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时，有280000S =．【考点】概率，方差18.【答案】（Ⅰ）33a b =⎧⎨=⎩（Ⅱ）12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）由(1,)c 为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =，3()g x x bx =+，则2()=3g x x b '+，23k b =+，∴23a b =+①又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩．（Ⅱ）24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增 ①若12a -≤-，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126aa -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a -≥-时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．综上所述：当(02]a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当(2,)a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【提示】（Ⅰ）根据曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a b ，的值．（Ⅱ）根据24a b =，构建函数3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++，求导函数，利用导数的正负，可确数学试卷第28页（共36页）定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间(,1)-∞-上的最大值．【考点】利用导数求函数单调区间及最值．19.【答案】（Ⅰ）原曲线方程可化简得：2218852x y m m +=--，由题意可得：8852805802m m mm ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：75.2m <<（Ⅱ）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)0k ∆->，解得：232k >．由韦达定理得：21621M N k x x k +=-+①，22421M Nx x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(,1)G G x 则MB 方程为：62M Mkx y x x +=-，则3,16M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， ∴316M M x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,，(),2N N AN x x k =+，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+ 将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证．【提示】（Ⅰ）原曲线方程，化为标准方程，利用C 是焦点在x 轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m 的取值范围．（Ⅱ）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)0k ∆->，解得232k >设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(,1)G G x ，则MB 方程为：62M Mkx y x x +=-，则3,16M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭，从而可得316M M x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,，(),2N N AN x x k =+，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线，利用韦达定理，可以证明．【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．11 / 1220.【答案】（Ⅰ）0.7（Ⅱ）1（Ⅲ）212t t ++ 【解析】（Ⅰ）由题意可知1() 1.2r A =，2() 1.2r A =-，1() 1.1c A =，2()0.7c A =，3() 1.8c A =-∴()0.7k A =（Ⅱ）先用反证法证明()1k A ≤：若()1k A >，则1|()||1|11c A a a =+=+>，∴0a >同理可知0b >，∴0a b +>，由题目所有数和为0，即1a b c ++=-，∴11c a b =---<-与题目条件矛盾∴()1k A ≤．易知当0a b ==时，()1k A =存在∴()k A 的最大值为1．（Ⅲ）()k A 的最大值为212t t ++．首先构造满足21()2t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+： 1,11,21,1,11,21,211...1,...2t t t t t a a a a a a t +++-========-+，22,12,22,2,12,22,211...,...1(2)t t t t t t a a a a a a t t +++++========-+．经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且1221|()||()|2t r A r A t +==+，2121121|()||()|...|()|11(2)22t t t t t c A c A c A t t t t ++++====+>+>+++，1221121|()||()|...|()|122t t t t t c A c A c A t t +++-+====+=++．下面证明212t t ++是最大值．若不然，则存在一个数表(2,21)A S t ∈+，使得21()2t k A x t +=>+．由()k A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[,2]x 中．由于1x >，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x -．设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g h <，则1g t h t ≤≥+，．另外，由对称数学试卷第34页（共36页）数学试卷第35页（共36页）数学试卷第36页（共36页）性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负．考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于1t +个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于1x -（即每个负数均不超过1x -）．因此11|()|()1(1)(1)21(1)[21(2)]r A r A t t x t t x x t t x x =≤++-=+-+=++-+<，故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾．因此()k A 的最大值为212t t ++ 【提示】（Ⅰ）由题意可知1() 1.2r A =，2() 1.2r A =-，1() 1.1c A =，2()0.7c A =，3() 1.8c A =-，其中的最小值，即可求出所求．（Ⅱ）先用反证法证明()1k A ≤，然后证明()1k A =存在即可．（Ⅲ）首先构造满足21()2t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+，然后证明212t t ++是最大值即可．【考点】合情推理．。

2012年北京高考数学试题与答案(理科)

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理) (北京卷)本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{320}A x x =∈+>R ，{(1)(3)0}B x x x =∈+->R ，则AB =（2）设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（3）设a ，b ∈R ．“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（5）如图，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆与交BC 于点E ．则（A ）(,1)-∞-（B ）2(1,)3--（C ）2(,3)3-（D ）(3,)+∞（A ）4π （B ）22π- （C ）6π（D ）44π- （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16S=S ∙2k1k=0, S=1是输出S结束开始C（6）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（8）某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（A ）CE CB AD DB ⋅=⋅ （B ）CE CB AD AB ⋅=⋅ （C ）2AD AB CD ⋅= （D ）2CE EB CD ⋅=（A ）24 （B ）18（C ）12（D ）6（A ）28+（B ）30+（C ）56+（D ）60+（A ）5（B ）7 （C ）9（D ）11俯视图侧（左）视图正（主）视图434（9）直线2(1x t t y t =+⎧⎨=--⎩为参数)与曲线3cos (3sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数)的交点个数为．（10）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a = ．（11）在ABC ∆中，若2a =，7bc +=，1cos 4B =-，则b = ．（12）在直角坐标系xoy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A 、B两点，其中，A 点在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60︒，则OAF ∆的面积为．（13）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为．（14）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22xg x =-．若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <．则m 的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题共13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间．（16）（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且DE //BC ，2DE =，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A C CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证：1AC ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（Ⅲ）线段BC 上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由．（17）（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，a b c ++=600．当数据,,a b c 的方差2s 最大时，写出,,a b c的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值．（注：222121[()()s x x x x n=-+-+…2()]n x x +-，其中x 为数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）（18）（本小题共13分）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+．（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(]1-- ∞上的最大值．（19）（本小题共14分）已知曲线C ：22(5)(2)8m x m y -+-=()m ∈R ．（Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A 、B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M 、N ，直线1y =与直线BM 交于点G ．求证：,,A G N 三点共线．（20）（本小题共13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1≤i ≤)m ，()j c A 为A 的第j 列各数之和(1≤j ≤)n ．记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，…，|()|m r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，…，|()|n c A 中的最小值．（Ⅰ）对如下数表A ，求()k A 的值；（Ⅱ）设数表(2,3)A S ∈形如求()k A 的最大值；（Ⅲ）给定正整数t ，对于所有的(2,21)A S t ∈+，求()k A 的最大值．2012高考北京数学真题答案及简析三、解答题 15．解：(sin cos )sin 2(sin cos )2sin cos ()2(sin cos )cos sin sin x x x x x x x f x x x x x x--===-{}πsin 21cos 221|π4x x x x x k k ⎛⎫=-+=--≠∈ ⎪⎝⎭Z ，，（1）原函数的定义域为{}|πx x k k ≠∈Z ，，最小正周期为π．（2）原函数的单调递增区间为πππ8k k ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ，3πππ8k k ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，k ∈Z16．解：（1）CD DE ⊥，1A E DE ⊥∴DE ⊥平面1A CD ，又1A C ⊂平面1A CD ，∴1A C ⊥DE又1A C CD ⊥，∴1A C ⊥平面BCDE（2）如图建系C xyz -，则()200D -，，，()0023A ，，，()030B ，，，()220E -，，∴(103A B =-，，,()1210A E =--，，设平面1A BE 法向量为()n x y z =，，则1100A Bn A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴3020y x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩∴2z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴(12n =-，又∵(10M -，∴()103CM =-，，∴cos ||||1CM n CM n θ⋅====⋅∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为()00a ，，，则[]03a ∈，则(10AP a =-，，，()20DP a =，，设平面1A DP 法向量为()1111nx y z =，，则1111020ay x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴111112z x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()136n a =-，y C假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直则10n n ⋅=，∴31230a a ++=，612a =-，2a =- ∵03a <<∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直17．（1）由题意可知：4002=6003 （2）由题意可知：200+60+403=100010（3）由题意可知：22221(120000)3s a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时，有280000s =． 18．解：（1）由()1c ，为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =， 3()g x x bx =+，则2()=3f x x b '+，23k b =+，∴23a b =+⎺又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩．（2）24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增 ①若12a--≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．综上所述：当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．19．（1）原曲线方程可化简得：2218852x y m m +=--由题意可得：8852805802m m mm ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：752m <<（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)k ∆-，解得：232k >由韦达定理得：21621M N k x x k +=+①，22421M Nx x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ， MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭，， ∴316M M x AG x k ⎛⎫=-⎪+⎝⎭，，()2N N AN x x k =+，，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证。

2012北京数学理科(纯word版,含答案)

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}320A x R x =∈+>，{}(1)(3)0B x R x x =∈+->，则A B = ( ) A ．(,1)-∞- B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3- D ．(3,)+∞2.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（） A ．4π B ．22π- C ．6π D ．44π- 3.设,a b R ∈, “0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（） A ． 2 B ． 4 C ． 8 D ． 165.如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则（） A ．CE ·CB=AD ·DB B ．CE ·CB=AD ·AB C ．AD ·AB= 2CD D ．CE ·EB= 2CD6.从0,2 中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A ． 24B ． 18C ． 12D ． 67. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（） A．28+ B．30+ C．56+．60+8. 某棵果树前n 年得总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（）A ．5B ． 7C ． 9D ．11（第4题图）B第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos 3sin x y =α⎧⎨=α⎩（α为参数）的交点个数为 .10.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若112a =，23S a =，则2a = ；n S = . 11.在△ABC 中，若2a =，7bc +=，1cos 4B =-，则b = . 12.在直角坐标系xoy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F,且与该抛物线相较于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为 .13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为； DE DC ⋅的最大值为 .14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-.若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞- ，()()0f x g x <. 则m 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（1）求()f x 的定义域及最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间.16. （本小题14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D,E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2. （1）求证：A 1C ⊥平面BCDE;（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）线段BC 上是否存在点P,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由. 17.（本小题13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时，写出,,a b c 的值（结论不要求证明），并求此时2S 的值. （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为12,,n x x x 的平均数） 18.（本小题13分）已知函数2()1f x ax =+（0a >），3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求,a b 的值；（2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.19.（本小题14分）已知曲线C: 22(5)(2)8()m x m y m R -+-=∈ (1)若曲线C 是焦点在x 轴的椭圆，求m 的范围；(2)设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A,B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M,N,直线1y =与直线BM 交于点G 求证：A,G,N 三点共线. 20.（本小题13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合.对于(,)A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和1i m ≤≤，()j c A 为A 的第j 列各数之和1j n ≤≤；记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，…，|()|m r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，…，|()|n c A 中的最小值. （1）对如下数表A,求()k A 的值；（2）设数表A=(2,3)S 形如求()k A 的最大值；（3）给定正整数t ，对于所有的A ∈S(2，21t +),求()k A 的最大值.（李国波录入2012-6-8）参考答案一、选择题1、D2、D3、B4、C5、A6、B7、B8、C 二、填空题9、2；10、1，1(1)4n n +；11、4；1213、1,1；14、(4,2)--；三、解答题15、解：（1）由sin 0x ≠得,()x k k Z π≠∈，故()f x 的定义域为{|,}x R x k k Z π∈≠∈.因为(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -==2cos (sin cos )x x x -=sin 2cos 21x x --)14x π--,所以()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈. 由222,()242k x k x k k Z ππππππ-≤-≤+≠∈得3,()88k x k x k k Z πππππ-≤≤+≠∈ 所以函数()f x 的单调递增区间为[,)8k k k Z πππ-∈，和3(,]()8k k k Z πππ+∈. 16．解：（1） ,AC BC DE BC ⊥∥∴DE AC ⊥∴1DE A D ⊥,DE CD ⊥(1A D CD D = )又 DE ⊥平面1A DC ，∴DE 1AC ⊥ 又∵1A C CD ⊥，(DE CD D = ) ∴1AC ⊥平面BCDE （2）如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C xyz -，则(100A ，，，()020D ，，，M ,()300B ，，，()220E ，，，设平面1A BE 法向量为()n x y z = ，，，则10,0A B n BE n ⋅=⋅=∴(130A B =- ，，,()120BE =- ，，，∴3020x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则2,x z ==∴(21n = 设CM 与平面1A BE 所成的角为θ∵(0CM =∴sin |cos ,|||||||CM n n CM CM n θ⋅=====⋅CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒（3）线段BC 上不存在点P,使平面1A DP 与平面1ABE 垂直。

北京丰台区2012高三年级第二学期第二次统一练习理科数学试题试题及答案

北京市丰台区2012年高三二模 2012.5数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数1i2i-+的虚部是 (A) i -(B) 3i 5-(C) –1(D) 35-2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为(A)2 (B)3 (C) 2 (D) 43．由曲线1y x =与y =x ，x =4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是 (A) 3132 (B) 2316(C) 1ln 42+ (D) ln 41+4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填(A) 7n ≤ (B) 7n > (C) 6n ≤ (D) 6n >5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是(A) 18125 (B)36125 (C) 44125(D) 811256．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 中点，AB =4，AC =3，则AD BC ⋅=(A) 7- (B) 72-(C)72(D) 77．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是开始结束0S =，1n =，3a =S S a =+2a a =+1n n =+输出S 是否俯视图(A)(B)(C)(D)8．已知平面上四个点1(0,0)A ，2(23,2)A ，3(234,2)A +，4(4,0)A ．设D 是四边形1234A A A A 及其内部的点构成的点的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为 (A) 2(B) 4(C) 8(D) 16第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____．10．已知椭圆22221(7)7x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______．11．如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ，AP 交圆于D ，若AB =2，AC =1，则PC =______，PD =______．12．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：年份x 2004 2005 2006 2007 恩格尔系数y (%)4745.543.541PDC BA从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有种． 14. 在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数24,0,()2,0,x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩的“姐妹点对”的个数为_______；当函数()x g x a x a =--有“姐妹点对”时，a 的取值范围是______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数()cos (3cos sin )3f x x x x =--．（Ⅰ）求()3f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．16.（本小题共13分）某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）．设奖券上的数字为ξ，ξ的分布列如下表所示，且ξ的数学期望E ξ=22．ξ 100 80 60 0P0.05ab0.7（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．17.（本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º，AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 是DF 的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（Ⅱ）若二面角D -AP -C 的余弦值为63，求PF 的长度． PFEDCAB18.（本小题共13分）已知数列{a n }满足14a =，131n n n a a p +=+⋅+(n *∈N ，p 为常数)，1a ，26a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求p 的值及数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n }满足2n n n b a n=-，证明：49n b ≤．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P (x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程；（Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程．20.（本小题共13分）设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln2x x x x x x x x +≥++-；（Ⅲ）若211nii x==∑，证明：21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市丰台区2012年高三二模数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DACDBBCB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(1,)2π10．7411．3，37712．31.25 13． 96 14．1，1a >注：第11题第一个空答对得2分，第二个空答对得3分；第14题第一个空答对得3分，第二个空答对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.解：因为()cos (3cos sin )3f x x x x =--＝23cos sin cos 3x x x --=1cos 213()sin 2322x x +-- ＝313cos 2sin 2222x x --＝3cos(2)62x π+-．（Ⅰ）3()cos(2)3362f πππ=⨯+-=33322--=-． ……………………7分（Ⅱ）因为 [0,]2x π∈，所以2666x ππ7π≤+≤．当 26x π+=π，即512x π=时，函数()y f x =有最小值是312--．当512x π=时，函数()y f x =有最小值是312--． ……………………13分16．解：（Ⅰ）依题意，1000.05806000.722E a b ξ=⨯+++⨯=，所以 806017a b +=．因为 0.050.71a b +++=，所以0.25a b +=．由806017,0.25,a b a b +=⎧⎨+=⎩ 可得00.15.a b =⎧⎨=⎩ ……………………7分（Ⅱ）依题意，该顾客在商场消费2500元，可以可以抽奖2次．奖金数不少于160元的抽法只能是100元和100元； 100元和80元； 100元和60元；80元和80元四种情况．设“该顾客获得奖金数不少于160元”为事件A ，则()0.050.0520.050.120.050.150.10.10.0375P A =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=．答：该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.0375． ……………………13分17．（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ．OBA CDEFP z yx PFEDCAB 因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点，所以OP 为三角形BDF 中位线，所以BF // OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，所以BF // 平面ACP ． ……………………4分 (ⅱ)因为∠BAF =90º，所以AF ⊥AB ，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD = AB ，所以AF ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,2,0)C ．所以 1(,0,1)2BE =- ，1(1,1,)2CP =-- ，所以45cos ,15||||BE CP BE CP BE CP ⋅<>==⋅，即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为4515． ……………………9分（Ⅱ）解：因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =- ，(1,2,0)AC =，所以平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t-=- ，所以 12122212||26cos ,3||||22(2)1()n n n n n n t t⋅<>===⋅--++，解得23t =，或2t =（舍）．此时5||3PF =． ……………………14分18．解：（Ⅰ）因为14a =，131n n n a a p +=+⋅+，所以1213135a a p p =+⋅+=+；23231126a a p p =+⋅+=+．因为1a ，26a +，3a 成等差数列，所以2(26a +)=1a +3a ，即610124126p p ++=++，所以 2p =．依题意，1231n n n a a +=+⋅+，所以当n ≥2时，121231a a -=⋅+，232231a a -=⋅+，……212231n n n a a ----=⋅+， 11231n n n a a ---=⋅+．相加得12212(3333)1n n n a a n ---=+++++- ，所以 113(13)2(1)13n n a a n ---=+--，所以 3n n a n =+．当n =1时，11314a =+=成立，所以3n n a n =+． ……………………8分（Ⅱ）证明：因为 3n n a n =+，所以 22(3)3n n n n n b n n ==+-．因为 2221+11(1)22+1=333n n n n n n n n n b b +++-+-=-，*()n ∈N ．若 22+210n n -+<，则132n +>，即 2n ≥时 1n n b b +<．又因为 113b =，249b =，所以49n b ≤． ……………………13分19．解：（Ⅰ）依题意设抛物线C ：22(0)x py p =>，因为点P 到焦点F 的距离为5，所以点P 到准线2py =-的距离为5．因为P (x 0，4)，所以由抛物线准线方程可得 12p=，2p =．所以抛物线的标准方程为24x y =． ……………………4分即 214y x =，所以 1'2y x =，点P (±4，4)，所以 41'|(4)22x y =-=⨯-=-，41'|422x y ==⨯=．所以点P (-4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-+，即240x y ++=；点P (4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-，即240x y --=．P点处抛物线切线方程为240x y ++=，或24x y --=． ……………………7分（Ⅱ）设直线l 的方程为2y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立 242x y y x m⎧=⎨=+⎩，消y 得 2840x x m --=，64160m ∆=+>．所以 128x x +=，124x x m =-，所以1242x x +=，1282y y m +=+，即AB 的中点为(4,8)Q m +．所以 AB 的垂直平分线方程为1(8)(4)2y m x -+=--．因为四边形AMBN 为菱形，所以 (0,10)M m +，M ，N 关于(4,8)Q m +对称，所以 N 点坐标为(8,6)N m +，且N 在抛物线上，所以 644(6)m =⨯+，即10m =，所以直线l的方程为210y x =+． ……………………14分20．解：（Ⅰ）1a =时，()ln (1)ln(1)f x x x x x =+--，(01x <<)，则()ln ln(1)ln 1xf x x x x'=--=-．令()0f x '=，得12x =．当102x <<时，()0f x '<，()f x 在1(0,)2是减函数，当112x <<时，()0f x '>，()f x 在1(,1)2是增函数，所以 ()f x 在12x =时取得最小值，即11()ln 22f =． ……………………4分（Ⅱ）因为 ()ln ()ln()f x x x a x a x =+--，所以 ()ln ln()ln xf x x a x a x'=--=-．所以当2ax =时，函数()f x 有最小值． ∀x 1，x 2∈R +，不妨设12x x a +=，则121211221111ln ln ln ()ln()2ln()22x x x xx x x x x x a x a x +++=+--≥⋅[]1212()ln()ln 2x x x x =++-． ……………………8分（Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ)当1n =时，由（Ⅱ）知命题成立． ⅱ）假设当n k =( k ∈N *)时命题成立，即若1221k x x x +++= ，则112222ln ln ln ln2k k kx x x x x x +++≥- ．当1n k =+时，1x ，2x ，…，121k x +-，12k x +满足 11122121k k x x x x ++-++++= ．设11111122212122()ln ln ln ln k k k k F x x x x x x x x x ++++--=++++ ，- 11 -由（Ⅱ）得111212212()()l nk k k F x x x x+++--≥++-++++- =111111212122122122()ln()()ln()(...)ln 2k k k k k x x x x x x x x x x x +++++--++++++-+++=11111212212212()ln()()ln()ln 2k k k k x x x x x x x x ++++--++++++- ．由假设可得 1()ln 2ln 2ln 2k k F x +≥--=-，命题成立．所以当 1n k =+时命题成立．由ⅰ)，ⅱ）可知，对一切正整数n ∈N *，命题都成立，所以若211nii x==∑，则21ln ln 2nniii x x =≥-∑*(,)i n ∈N ． ……………………13分（证法二）若1221n x x x +++= ，那么由（Ⅱ）可得112222ln ln ln n n x x x x x x +++1212212212()ln[()ln 2]()ln[()ln 2]n n n n x x x x x x x x --≥++-++++- 1212122122122()ln()()ln()(...)ln 2n n n n n x x x x x x x x x x x --=++++++-+++ 1212212212()ln()()ln()ln 2n n n n x x x x x x x x --=++++++-12341234212212()ln()()ln()2ln 2n n n n x x x x x x x x x x x x --≥+++++++++- 121222(...)ln[()ln 2](1)ln 2n n x x x x x x n ≥≥++++++--- ln 2n =-．……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。

2012年高考理科数学北京卷-答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（理科）答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】D
【解析】，利用二次不等式的解法可得或，易得．
【提示】求出集合，然后直接求解．
【考点】集合间的基本运算．
2.【答案】D
【解析】题目中表示的区域表示正方形区域，而动点可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此，故选D．
20.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ1
（Ⅲ）
【解析】（Ⅰ）由题意可知，，，，
∴
（Ⅱ）先用反证法证明：
若，则，∴
同理可知，
∴ ，由题目所有数和为，即，
∴ 与题目条件矛盾
∴ ．
易知当时，存在
∴ 的最大值为1．
（Ⅲ）的最大值为．
首先构造满足的：
，．
经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，，．
下面证明是最大值．若不然，则存在一个数表，使得．
由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中．由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于．
设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则．另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负．
【考点】由三视图求几何体的表面积．
8.【答案】C
【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C．
【提示】由已知中图像表示某棵果树前年的总产量与之间的关系，结合图像可得答案．
【考点】函数图像的应用．

2012年北京高考数学试题与答案(理科)已校对

数学（理）（北京卷）第 1 页（共 5 页）2012年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理) (北京卷)本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{320}A x x =∈+>R ，{(1)(3)0}B x x x =∈+->R ，则A B =I（2）设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（3）设a ，b ∈R ．“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）(,1)-∞-（B ）2(1,)3--（C ）2(,3)3-（D ）(3,)+∞（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π- （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16S=S ∙2kk=k+1k=0, S=1k <3是否输出S结束开始数学（理）（北京卷）第 2 页（共 5 页）（5）如图，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆与交BC 于点E ．则（6）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（8）某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为第二部分（非选择题共110分）（A ）CE CB AD DB ⋅=⋅ （B ）CE CB AD AB ⋅=⋅ （C ）2AD AB CD ⋅= （D ）2CE EB CD ⋅=（A ）24 （B ）18（C ）12（D ）6（A ）2865+（B ）3065+（C ）56125+（D ）60125+（A ）5（B ）7 （C ）9 （D ）11俯视图侧（左）视图正（主）视图4324S nn4321567891011OADBEC数学（理）（北京卷）第 3 页（共 5 页）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）直线2(1x t t y t =+⎧⎨=--⎩为参数)与曲线3cos (3sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数)的交点个数为．（10）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a = ．（11）在ABC ∆中，若2a =，7bc +=，1cos 4B =-，则b = ．（12）在直角坐标系xoy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A 、B两点，其中，A 点在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60︒，则OAF ∆的面积为．（13）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅uuu r uu r的值为．（14）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22xg x =-．若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <．则m 的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题共13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间．数学（理）（北京卷）第 4 页（共 5 页）（16）（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且DE //BC ，2DE =，将A D E ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A C CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证：1AC ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（Ⅲ）线段BC 上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由．（17）（本小题共13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱厨余垃圾 400100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾20 20 60（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，a b c ++=600．当数据,,a b c 的方差2s 最大时，写出,,a b c的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值．（注：222121[()()s x x x x n=-+-+…2()]n x x +-，其中x 为数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）图1图2ADECB A 1MDECB数学（理）（北京卷）第 5 页（共 5 页）（18）（本小题共13分）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+．（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(]1-- ∞上的最大值．（19）（本小题共14分）已知曲线C ：22(5)(2)8m x m y -+-=()m ∈R ．（Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A 、B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M 、N ，直线1y =与直线BM 交于点G ．求证：,,A G N 三点共线．（20）（本小题共13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所数学（理）（北京卷）第 6 页（共 5 页）有数的和为零．记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1≤i ≤)m ，()j c A 为A 的第j 列各数之和(1≤j ≤)n ．记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，…，|()|m r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，…，|()|n c A 中的最小值．（Ⅰ）对如下数表A ，求()k A 的值；1 1 0.8- 0.10.3- 1-（Ⅱ）设数表(2,3)A S ∈形如1 1 C ab 1-求()k A 的最大值；（Ⅲ）给定正整数t ，对于所有的(2,21)A S t ∈+，求()k A 的最大值．2012高考北京数学真题答案及简析一、选择题数学（理）（北京卷）第 7 页（共 5 页）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B C A B B C二、填空题题号 9 10 11 12 13 14答案21；24n n +431；1()42--，三、解答题 15．解：(sin cos )sin 2(sin cos )2sin cos ()2(sin cos )cos sin sin x x x x x x x f x x x x x x--===-{}πsin 21cos 22sin 21|π4x x x x x k k ⎛⎫=-+=--≠∈ ⎪⎝⎭Z ，，（1）原函数的定义域为{}|πx x k k ≠∈Z ，，最小正周期为π．（2）原函数的单调递增区间为πππ8k k ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ，3πππ8k k ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，k ∈Z16．解：（1） CD DE ⊥，1A E DE ⊥∴DE ⊥平面1A CD ，又 1A C ⊂平面1A CD ， ∴1A C ⊥DE又1A C CD ⊥，∴1A C ⊥平面BCDE（2）如图建系C xyz -，则()200D -，，，()0023A ，，，()030B ，，，()220E -，，∴()10323A B =-，，,()1210A E =-- ，，设平面1A BE 法向量为()n x y z =，，则1100A B n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴323020y z x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩∴322z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴()123n =- ，，又∵()103M -，， ∴()103CM =- ，，∴1342cos 2||||14313222CM n CM n θ⋅+====⋅++⋅+⋅∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为()00a ，，，则[]03a ∈，则()1023A P a =-，，，()20DP a = ，，设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =，，zy xA 1 (0,0,23)D (-2,0,0)E (-2,2,0)B (0,3,0)C (0,0,0)M数学（理）（北京卷）第 8 页（共 5 页）则111123020ay z x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴11113612z ay x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()1363n a a =-，，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直则10n n ⋅=，∴31230a a ++=，612a =-，2a =- ∵03a <<∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直17．（1）由题意可知：4002=6003 （2）由题意可知：200+60+403=100010（3）由题意可知：22221(120000)3s a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时，有280000s =． 18．解：（1）由()1c ，为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =， 3()g x x bx =+，则2()=3f x x b '+，23k b =+，∴23a b =+⎺又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩．（2） 24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增 ①若12a--≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．综上所述：当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．数学（理）（北京卷）第 9 页（共 5 页）19．（1）原曲线方程可化简得：2218852x y m m +=--由题意可得：8852805802m m mm ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：752m <<（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)k ∆-，解得：232k >由韦达定理得：21621M N k x x k +=+①，22421M Nx x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ， MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭，， ∴316M M x AG x k ⎛⎫=-⎪+⎝⎭ ，，()2N N AN x x k =+，，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN共线即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证。

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（） B．15 C．20 D．30
A．10
4．已知向量 a (sin ,cos ), b (3, 4) ，若 a b ，则 tan 2 等于（）
第1页
A．
24 7
B．
6 7
C．
24 25
D．
24 7
5．若正四棱锥的正视图和侧视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ A．4 B． 4 4 10 C．8 D． 4 4 11
1 1 1 1 ， y1 y2 yP yQ
第5页
20．（本小题共 13 分）已知函数 f ( x) x x, f '( x) 为函数 f ( x) 的导函数。
2
（1）若数列 {an } 满足 an1 f '(an ), 且a1 1 ，求数列 {an } 的通项公式；（2）若数列 {bn } 满足 b1 b, bn1 f (bn ) 。（i）是否存在实数 b，使得数列 {bn } 是等差数列？若存在，求出 b 的值；若不存在，请说明理由。（ii）若 b 0 ，求证：
北京丰台区 2012 年高三年级第二学期统一练习（一）
数学试题（理）
注意事项： 1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。 2．本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。作图题用 2B 铅笔作图，要求线条、图形清晰。 3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题、草稿纸上答题无效。 4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第3页
15．（本小题共 13 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a sin B b cos C c cos B. （I）判断△ABC 的形状；（Ⅱ）若 f ( x)
1 2 1 cos 2 x cos x ，求 f（A）的取值范围． 2 3 2
PQ ，当 PA//平面 DEQ 时，求 A 的值． PC
17．（本小题共 13 分）某班共有学生 40 人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示。（I）请根据图中所给数据，求出 a 的值；（Ⅱ）从成绩在[50，70）内的学生中随机选 3 名学生，求这 3 名学生的成绩都在[60， 70）内的概率；（Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50，70）内的学生中随机选取 3 人的成绩进行分析，用 X 表示所选学生成绩在[ 60，70）内的人数，求 X 的分布列和数
13．执行如下图所示的程序框图，则输出的 i 值为
14 ．定义在区间 [a ， b] 上的连结函数 y f ( x) ，如果 [a, b] ，使得
f ( b) f ( a )
。下列函数： f'( ) b ( ，则称 a ) 为区间[a，b]上的“中值点”
1,
D．[-1，1]
y 0, 2．若变量 x，y 满足条件 x 2 y 1, 则 z 3x 5 y 的取值范围是 x 4 y 3,
A． 3, 3． ( B． [8,3] C． ,9
（
）
D． [8,9]
x 2 6 ) 的二项展开式中，常数项是 2 x
点，x 轴正方向为极轴的极坐标系中，圆 C 的极坐标方程是 4 cos 3 0. 则圆
2
心到直线的距离是___ ． 12．如图所示，Rt△ABC 内接于圆， ABC 60 ，PA 是圆的切线，A 为切点，PB 交 AC 于 E，交圆于 D。若 PA =AE， PD= 3, BD 3 3 ，则 AP= ，AC= 。。
3 x ，则该双曲线的 4
第2页
离心率是
。
10．已知等比数列 {an } 的首项为 1，若 4a 1,2 a2, a3 ，成等差数列，则数列 { 为。
1 } 的前 5 项和 an
3 x 1 t, 2 11．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是（t 为参数）。以 O 为极 y 1 t 2
2
① f ( x) 3x 2; ② f ( x) x x 1; ③ f ( x) ln( x 1) ；④ f ( x) ( x 区间[0，1]上“中值点”多于一个函数序号为
1 3 ) 中，在 2
。（写出所有满足条件的函．．
数的序号）三、解答题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
第4页
学期望．
18．（本小题共 13 分）已知函数 f ( x) ax (a 2) x ln x. ．
2
（I）当 a=l 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（l））处的切线方程；（Ⅱ）当 a>0 时，若 f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，求 a 的取值范围；（Ⅲ）若对任意 x1 , x2 (0, ), x1 x2 ，且 f (x1) 2 x1 f (x 2) 2 x 2 恒成立，求 a 的取值范围．
19．（本小题共 14 分）
x2 y 2 2 已知椭圆 C : 2 2 1(a b 0) 的离心率为，且经过点 M（一 2，0）． a b 2
（I）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）设直线 l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点，连接 MA, MB 并延长交直线 x=4 于 P， Q 两点，设 yP , yQ 分别为点 P， Q 的纵坐标，且求证直线 l 过定点。
16．（本小题共 14 分）四棱锥 P — ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，侧面 PAD 底面 ABCD ，
BCD 60, PA PD 2 ，E 是 BC 的中点，点 Q 在侧棱 PC 上．
（I）求证：AD PB；（Ⅱ）若 Q 是 PC 的中点，求二面角 E—DQ—C 的余弦值；（Ⅲ）若
b
i 1
n
bii 11Fra bibliotek . b第6页
第7页
第8页
第9页
第 10 页
第 11 页
第 12 页
第 13 页
）
6．学校组织一年级 4 个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有 2 个班选择了甲景区的选法共有（） A． A4 3 种
2 2
B． A4 A3 种
2 2
C． C4 3 种
2 2
D． C4 A3 种
2 2
7 ．已知 a b ，函数 f ( x) sin x, g ( x) cos x. 命题 p : f ( a) p 是命题 q 成立的 q : g( x 在 ) (a ,内有最值，则命题 b) （ A．充分不必要条件 C．充要条件）
第一部分
（选择题共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合 A {x | x 1}, B {a} ，若 A
2
B ，则 a 的取值范围是（
）
A． (, 1) C．（-1，1）
(1, ) B． , 1
1 5
C． a [ , ] [5, 7]
1 1 7 5
1 5, 5 1 1 D． a [ , ] [5, 7] 7 5
B． a (0, ) （非选择题共 110 分）
第二部分
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9．已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，一条渐近线方程为 y
f ( b) ， 0命题
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3
8．已知定义在 R 上的函数 y f ( x) 满足 f ( x 2) f ( x) ，当 1 x 1 时， f ( x) x ，若函数 g ( x) f ( x) log a | x | 至少有 6 个零点，则 a （ A． a 5或a ）