概率论模拟试卷三

模拟题三一、单项选择题（共5题，每题2分，共计10分） 1．差事件:A B -发生当且仅当 .A ． A 发生而B 不发生； B ．A 与B 同时发生；C ． A 不发生，B 发生；D ．A 与B 不能同时发生.2. 设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示事件：A ，B ，C 中至少有两个发生 。

A ．AB BC AC ⋃⋃ B ．ABC C ．ABCD ．A B C ⋃⋃3. 若连续型随机变量X 的概率密度为1,0,()0,0.xe xf x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，其中0θ>是常数，则称X 服从参数为θ的 。

A ．泊松分布B ．均匀分布C ．指数分布D ．正态分布 4. 设12,,,(1)n X X X n >是来自总体2(,)X μσ的一个样本，μ未知，则下面的式子不是统计量的是 。

A. 211()1n i i X X n =--∑B. 1XC. 21ni i X μ=∑ D. 111n k i i X n =-∑ 5. 设总体X 的k 阶矩()k k E X μ=已知，又设12,,,(1)n X X X n >是来自总体X 的一个样本，期望值μ已知，则下列估计量中，唯有 是k μ的无偏估计。

A. 111n k i i X n =-∑B. 211()1ni i X n μ=--∑ C. 11n k i i X n =∑ D. 211()1n i i X n μ=-+∑二、填空题（共15个空，每空2分，共计30分） 1.已知11111(),(),(),(),(),2351015P A P B P C P AB P AC =====11(),(),2030P BC P ABC == 则(1) ()P A B ⋃= ； (2) ()P A B = ； (3) ()P A B C ⋃⋃= ； (4) ()P A B C = ； (5) ()P A B C = ； (6) ()P A B C ⋃= ；2. 若(0,1),()X N x x ϕΦ，()分别表示它的概率密度函数、分布函数，则()()x x Φ+Φ-= ；()x dx ϕ∞-∞=⎰ ；{1}P X == 。

3.随机变量X 的密度函数为22,0,()0,0.x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，则()E X = ;()D X = 。

4. 若X ～N(μ,2σ),令 Z=X μσ-则()E Z = ；()D Z = 。

5.若22()n χχ，则有2()E χ= ；2()D χ= 。

三、解答题（共7题，第1，2题各5分，其余每题10分，共计60分）1. (5分) 某班学生的考试成绩数学不及格的占%15，语文不及格的占%5，这两门都不及格的占%3。

已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？2. (5分)某工厂一个班共有男工7人、女工4人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？3. ( 10分) 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布。

已知}2{2}1{===X P X P ，求： (1) }3{=X P ；(2) }2{≥X P 。

4. ( 10分) 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≥≥=--其他，且,0,21,),(2y x ke y x f y x（1）求常数k ；（2）求),(Y X 关于X ，关于Y 的边缘概率密度。

5. ( 10分) 设X 的分布函数为330 ()1 x a F x a x a x≤⎧⎪=⎨->⎪⎩(0)a >， 试求(23)E X +。

6. ( 10分) 已知随机变量X 的概率密度为||)(x ae x f λ-=，0>λ，+∞<<∞-x 。

求系数a 和分布函数()F x 。

7. ( 10分) 设总体X 在区间[,]a b 上服从均匀分布，参数,a b 未知，12,,,n X X X 是来自X的一个样本， 12,,,n x x x 是样本12X ,,,n X X 的观察值。

求：(1) 参数,a b 的矩估计量； (2) 参数,a b 的最大似然估计量。

答案及评分标准 一、选择题（共5题，每题2分，共计10分） 1．A ；2．A ； 3．C ；4．C ；5． C 二、填空题（共15个空，每空2分，共计30分） 1．11417377;;;;;151520206020； 2. 1;1;0；3. 11;24; 4. 0;1；5. n ， 2n 。

三、解答题（共7题，第1，2题各5分，其余每题10分，共计60分） 1.记事件A 为“数学不及格”，B 为“语文不及格”。

2.015.003.0)()()|(===A P AB P A B P 。

……………(5分)2. 设事件A={3个代表中至少有一个女工}，则A ={3个代表全为男工}。

…(1分)因为 337)(31137==C C A P ， ………………………………………………(2分)所以 33263371)(1)(=-=-=A P A P 。

………………………………(2分) 3. 解：由λλ-==e k k X P k !}{),3,2,1,0( =k 及}2{2}1{===X P X P ，得 λλλλ--⨯=e e !22!12，解此方程得0,1=λ(舍去)。

……………(5分)因此，1!1}{-==e k k X P ， ,3,2,1,0=k …………………………(1分) (1) ee X P 61!31}3{1===-； ………………………………(2分)(2) ee eX P X P X P X P 211}1{}0{1}2{1}2{11-=--==-=-=<-=≥--。

……………(2分)4. (1) 由()()24121(,)2x y k f x y dxdy ke dxe dy e +∞+∞+∞+∞----∞-∞===⎰⎰⎰⎰， ………(3分) 即124=-e k ，得42e k =。

………………………(1分)(2) ),(Y X 关于X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>==⎰⎰+∞--∞+∞-其他,0,1,2),()(224x dy edy y x f x f y x X⎩⎨⎧>=-.,0,1,222其他x e x …………………(3分)),(Y X 关于Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥==⎰⎰+∞--∞+∞-其他,0,2,2),()(124y dx edx y x f y f y x Y ⎩⎨⎧≥=-.,0,2,2其他y e y ………………… (3分)5. 解：由题意得343,,()0,a x a f x x x a⎧>⎪=⎨⎪≤⎩…………………(3分)333 4323333()()22aa aa a aE X xf x dx x dx dx a x x x +∞+∞+∞+∞-∞==⋅==-=⎰⎰⎰………(5分) 3(23)2()3233(1)2E X E X a a +=+=⨯+=+ ………………… (2分)6. 解：由λλλa dx ae dx ae dx x f x x 22)(10||====⎰⎰⎰+∞-+∞∞--+∞∞-可得2λ=a 。

… (3分)故||2)(x e x f λλ-=，0>λ，+∞<<∞-x 。

由于⎰∞-=xdx x f x F )()(， …………………(2分)当0<x 时，xxt xe dt e dt tf x F λλλ212)()(===⎰⎰∞-∞-； …………(2分)当0≥x 时，x x t txe dt e dt e dt tf x F λλλλλ--∞-∞--=+==⎰⎰⎰21122)()(00。

……(2分)所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<=-.0,211,0,21)(x e x e x F x xλλ ……………… (1分)7. （1）记()E X μ=，2()D X σ=，则有22,2(),12a b b a μσ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩…………………(1分)即2a b b a μ+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，由此得到a μ=，b μ=。

……(2分) 所以，由矩估计法得,a b 的估计量分别为ˆˆaμ=，ˆˆb μ= 其中11ˆn i i X n μ==∑，ˆσ=(2分) （2） 似然函数为121,()(,,,;,)0,i nn a x b b a L x x x a b ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩其他…………(2分) 为选择使似然函数L 达到最大值的,a b ，应使分母b a -达到最小，即应使b 达到最小而a 达到最大。

由此可知应取1max i i nb x ≤≤=，1min i i na x ≤≤=。

…………(2分)因此，未知参数的最大似然估计量为1ˆmin i i na X ≤≤=， 1ˆmax ii nb X ≤≤=。

…………(1分)。