数学综合题

综合题解法集锦要点：所谓综合题，是泛指题目本身或在解题过程中，涉及多个知识点和多种数学思想方法、具有较高能力要求的数学题.如下,我们从八个方面举例,对综合题的解题策略作一探讨.一、从条件入手——分析条件，化繁为简，注重隐含条件的挖掘. 二、从结论入手---执果索因,搭好联系条件的桥梁. 三、回到定义和图形中来.四、以简单的、特殊的情况为突破口.五、构造辅助问题(函数、方程、图形……),换一个角度去思考. 六、通过横向沟通和转化,将各数学分支中不同的知识点串联起来. 七、培养整体意识，把握整体结构。

八、连续性问题——承上启下,层层递进,充分利用已得出的结论. 【例题示范】1、成等差数列的四个数之和为26，第二数和第三数之积为40，求这四个数． 解：设四个数为d a d a d a d a 3,,,3++-- 则：⎩⎨⎧=+-=++++-+-40))((26)3()()()3(d a d a d a d a d a d a由①： 213=a 代入②得： 23±=d∴ 四个数为2,5,8,11或11,8,5,2．2、在等差数列{}n a 中，若21512841=+---a a a a 求15S ．解：∵124151a a a a +=+ ∴ 28-=a 而3015815-==a S 3、已知等差数列的前n 项和为a ，前n 2项和为b ，求前n 3项和．解：由题设 a S n = b S n =2 ∴a b a a a n n n -=+++++221 而)(2)()(22132|21221n n n n n n n a a a a a a a a a +++=++++++++++ 从而：)()()(32|212221213n n n n n n n n a a a a a a a a a S +++++++++++=+++ )(3)(3221a b a a a n n n -=+++=++ 4、已知11=a ，n n a n S 2= )1(≥n 求n a 及n S ．解：1221)1(----=-=n n n n n a n a n S S a 从而有111-+-=n n a n n a∵11=a ∴312=a 31423⨯=a 3142534⨯⨯=a 314253645⨯⨯⨯=a∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=⨯⨯⋅-+⨯⨯⨯⋅--=n n n n n n n a n ∴122+==n na n S n n5、已知*)(2142N n a S n n n ∈--=- 求n n a a a 和11,+的关系式及通项公式n a解： 1214121111=⇒--==-a a S a⎪⎩⎪⎨⎧--=--=-+++-2)1(112214214n n n n n na S a S⇒②-①：21112121--+++-+-=n n n n n a a a 即：n n n a a 21211+=+将上式两边同乘以n 2得： 12211+=-+n n n n a a 即：12211=--+n n n n a a 显然：{}n n a 12-是以1为首项，1为公差的AP ∴ n n a n n =⋅-+=-1)1(121 ∴ 12-=n n n a6、已知n n n S a a 2311+==-且，求n a 及n S ．解：∵1--=n n n S S a ∴ n n n S S 221=-- ∴12211=---n n nn S S设nn n S b 2=则{}n b 是公差为1的等差数列 ∴11-+=n b b n又：∵2322111===a Sb ∴212+=n S nn ∴12)12(-+=n n n S当2≥n 时 212)32(--+=-=n n n n n S S a ∴⎩⎨⎧⋅+=-22)32(3n n n a)2()1(≥=n n 12)12(-+=n n n S7、设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n 求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n证：∵n nn n =>+2)1( 212)21()1(2+=+<+n n n n∴ 212)1(+<+<n n n n∴ 2)12(31321++++<<++++n a n n∴2)1(2)1(2+<<+n a n n n8、已知函数)2||,0,0)(sin()(π<ϕ>ω>ϕ+ω=A x A x f 的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（2,0x ）和（2,30-π+x ）.（I ）求)(x f 的解析式；（II ）用列表作图的方法画出函数y =f (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象. 解：（Ⅰ）由已知，易得A =2． ππ3)3(200=-+=x x T ，解得31,6=∴=ωπT ．把（0，1）代入解析式)3sin(2ϕ+=x y ，得1sin 2=ϕ．又2πϕ<，解得6πϕ=．∴)63sin(2π+=x y 为所求． (6)分(Ⅱ)639、已知函数Rx x xx f ∈+=,)(3.（I ）指出)(x f 在定义域R 上的奇偶性与单调性（只须写出结论，无须证明）； （II ）若a 、b 、c ∈R ，且0,0,0>+>+>+a c c b b a ，试证明：0)()()(>++c f b f a f .解：（Ⅰ）)(x f 是定义域R 上的奇函数且为增函数． （Ⅱ）由0>+b a 得b a ->．由增函数，得)()(b f a f ->由奇函数，得)()(b f b f -=- ∴)()(>+b f a f同理可得 0)()(,0)()(>+>+a f c f c f b f 将上三式相加后，得0)()()(>++c f b f a f ．10、已知：如图，长方体ABCD —1111D C B A 中，AB =BC =4，81=AA ，E为1CC 的中点，1O 为下底面正方形的中心.求：（I ）二面角C —AB —1O 的正切值；（II ）异面直线AB 与1EO 所成角的正切值； （III ）三棱锥1O ——ABE 的体积.解：（Ⅰ）取上底面的中心O ，作AB OF ⊥于G ，连1OO 和1FO ． 由长方体的性质，得⊥1OO 平面ABCD ，由三垂线定理， 得AB F O ⊥1，则1OFO ∠为二面角1O AB C --的平面角8,22111====AA OO BC OF ．在OF O Rt 1∆中，411==∠OFO O OFO tg（Ⅱ）取11C B 的中点G ，连G O 1和EG ． 易证明AB G O //1，则G EO 1∠为所求2211==AB G O ．524222=+=EG ．在G EO Rt 1∆中，5211==∠GO EG G EO tg（Ⅲ）连BG ，AG ，由AB G O //1易证明//1G O 平面ABE ．ABS V V V BGE BGE A ABE G ABE O ⋅⋅===∆---31112)444282(2132=⨯+⨯+⨯-=∆BGE S ∴16412311=⋅⋅=-ABE O V11、已知等差数列{n a }的公差为d ，等比数列{n b }的公比为q ，且，0>n b （Nn ∈），若)1,0,,1(loglog11≠>∈>-=-a a N n n b b a a an an，求a 的取值.解：由0>n b 得01>b ，0>q 由已知，得11111log)(log )1(b qb a dn a an a -=--+-qn d n alog)1()1(->-∵1≠n ，∴qdalog= 由对数定义得q a d =当0=d ，1=q 时，得0>a ，1≠a ．当0≠d ，1=q 时，得1=a ．这与已知1≠a 相矛盾．当0≠d ，1≠q 时，得d q a 1=． 综上：当1,0==q d 时，1,0≠>a a 当0≠d ，1=q 时，a 的取值集合为空集当0≠d ，1≠q 时，d q a 1=12、已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设计，如图：图①的过水断面为等腰△ABC ，AB =BC ，过水湿周.1BC AB l += 图②的过水断面为等腰梯形ADCD AB ABCD ,,=∥︒=∠60,BAD BC ，过水湿周CDBC AB l ++=2.若ABC ∆与梯形ABCD 的面积都为S ，（I ）分别求21l l 和的最小值；（II ）为使流量最大，给出最佳设计方案. 解（Ⅰ）在图①中，设θ=∠ABC ，a BC AB ==．则θsin 212a S =．由于S 、a 、θsin 皆为正值，可解得S S a 2sin 2≥=θ．当且仅当1sin =θ，即︒=90θ时取等号． 所以S a l 2221≥=．在图②中，设m CD AB ==，n BC =．︒=∠60BAD 可求得n m AD +=，mn m n S 23)(21⋅++=解得232m mS n -=．S S m mS m m S m n m l 423232233223222=≥+=-+=+=．当且仅当2332mmS =，即334S m =时取等号．（Ⅱ）由于432>，则2l 的最小值小于1l 的最小值．所以在方案②中当2l 取得最小值时的设计为最佳方案．13、已知：如图，射线OA 为y =2x (x >0)，射线OB 为y = –2x (x >0)，动点P （x ,y ）在AOx ∠的内部，OBPN M OA PM⊥⊥,于于N ，四边形ONPM 的面积为2..（I ）动点P 的纵坐标y 是其横坐标x 的函数，求这个函数y =f (x )的解析式； （II ）确定y =f (x )的定义域.解：（Ⅰ）设)2,(a a M ，)2,(b b N - )0,0(>>b a ． 则a OM 5=，b ON 5=由动点P 在AOx ∠的内部，得x y 20<<． ∴5252yx yx PM -=-=，5252yx yx PN +=+=∴OPMONP ONPMS S S ∆∆+=四边形2])()(2[21)]2()2([21)(21=--+=++-=⋅+⋅=y b a x b a y x b y x a PN ON PM OM∴4)()(2=--+y b a x b a ① 又a x a y k PM --=-=221，b x by k PN -+==221分别解得52y x a +=，52y x b -=代入①式消去a 、b ，并化简得522=-y x ． ∵0>y ，∴52-=x y ．（Ⅱ）由P 在AOx ∠内部，得x y 20<<．又垂足N 必须在射线OB 上，否则O 、N 、P 、M 四点不能构成四边形，所以还必须满足条件xy 21<∴⎪⎩⎪⎨⎧<-<-<xx x x 21525022x x 21502<-<⇔31525<<⇔x所以)(x f y =的定义域为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<31525x x14、解关于x 的不等式：log a (x 2－x －2)＞log a (x －a2)＋1(a ＞0，a ≠1)解：原不等式等价于)2(log )2(log 2->--ax x x a a ……①1°当1>a 时，①式可化为⎪⎩⎪⎨⎧->-->->--22,02,0222ax x x ax x x 从而⎪⎩⎪⎨⎧->-->-,22,022ax x x ax 即⎪⎩⎪⎨⎧+><>10,2a x x a x 或 ∴1+>a x2°当10<<a 时，①式可化为⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--22,02,0222ax x x ax x x从而⎪⎩⎪⎨⎧-<-->--22,0222ax x x x x 即⎩⎨⎧+<<>-<1021a x x x 或 ∴∈x Φ综上所述，当1>a 时，原不等式的解集为}1|{+>a x x ；当10<<a 时，不等式的解集为Φ15、在三角形ABC 中，三内角满足A ＋C ＝2B ，cosB2cosC1cosA1-=-，求cos2C A -的值解：∵A+C=2B ，∴A+C=120°，B=60° 又∵B C A cos 2cos 1cos 1-=+，∴C A C A cos cos 22cos cos -=+∴)]cos()[cos(21222cos 2cos 2C A C A C A C A -++⋅-=-+即)12cos 221(22cos )21(22--+--=-⋅CA C A2232cos2cos222=--+-C A C A令tC A =-2cos ，则上式为0223222=-+t t∴223,2221-==t t∵1|2cos|≤-C A ，∴222cos=-CA16、已知复数z 1＝2－3x ＋xi ，z 2＝3y —1＋(3－y)i ，x 、y 属于R ，若|z 1|＝|z 2|且argz 1/z 2=90º，求10212z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+的值解：∵2arg|,|||2121π==z z z z ∴iz z 21=∴i i y y xi x ])3(13[32-+-=+-i y y )13(3-+-=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-13332y x y x解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=231231y x∴ii z 231231231231321++-=+++⋅-=，ii z 213231)2313(123132-++=+-+-+⋅=∴i i z z 2321])213231()231231[(21221+=-+++++-=+3sin3cos π+π=i∴ii z z 2321310sin310cos)2(1021--=π+π=+17、如图，平行六面体ABCD －A'B'C'D'中，AC ＝22，BC ＝AA'＝A'C ＝2，∠ABC ＝90°，点O 是点A'在底面D'A'B'C'ABCD 上的射影，且点O 恰好落在AC 上. （1）求侧棱AA'与底面ABCD 所成角的大小； （2）求侧面A'ADD'底面ABCD 所成二面角的正切值； （3）求四棱锥C －A'ADD'的体积.解：（I ）连O A 1，则⊥O A 1平面ABCD 于O∴AO A 1∠就是侧棱1AA 与底面ABCD 所成的角在AC A 1∆中，22,211===AC C A A A22222121)22(822ACCA A A ===+=+ ∴AC A 1∆是等腰直角三角形∴︒=∠451AOA ，即侧棱A A 1与底面ABCD所成角为45°，（II ）在等腰AC A Rt 1∆中，AC O A ⊥1，∴2211==AC O A ，且O 为AC 中点，过O 作AD OE ⊥于E ，连E A 1。