双曲线及其标准方程PPT课件(公开课)

2.2.1 双曲线及其标准方程
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y
M
F1
o
F2
x
1、复习
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
动 画
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹是 椭圆 .
Y
M x, y
2. 引入问题：
F1 c , 0
O
F2 c, 0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
如图所示，建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上，并 且点O与线段AB的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为(x,y)， 则 PA PB 340 2 680 A o B x 即 2a=680，a=340 AB 800 2c 800, c 400, b2 c 2 a 2 44400 800 PA PB 680 0 , x 0 2 x y2 1( x 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400
思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆 炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的 时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定 爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最 关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸 点的准确位置呢?
变式3 已知双曲线的焦距为10，双曲线上一点P 到两焦点F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双 曲线的标准方程.
解:
∵
∴
2a = 6,
c=5
a = 3, c = 5
∴
b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为：
x2 y2 1 或 9 16
y2 x2 1 9 16
课堂练习
F1
o
F2
x
- PF2|= 2a
即 | (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 | = 2a
4.化简.
移项两边平方后整理得：
cx a a
2
x c y2
2
两边再平方后整理得： c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2 由双曲线定义知：
课后思考:
当 00 180 0 时 ，
x2 y2 1 sin cos
表示什么图形?
如果我是双曲线，你就是那渐近线 如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 虽然我们有缘，能够生在同一个平面 然而我们又无缘，漫漫长路无交点 为何看不见，等式成立要条件 难到正如书上说的，无限接近不能达到 为何看不见，明月也有阴晴圆缺 此事古难全，但愿千里共婵娟
2
2
y
M
M
y
F2
F ( ±c, 0)
F1
o
F2
x
F1
x
y2 x2 2 1 2 a b
F(0, ± c)
c 2 a 2 b 2 a 0, b 0
练习：写出以下双曲线的焦点坐标
x2 y2 1. 1 16 9 y2 x2 3. 1 16 9
x2 y2 2. 1 F(±5,0) 9 16 y2 x2 4. 1 F(0,±5) 9 16
1.写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1) a=4 ，b=3 ， 焦点在x轴上.
x2 y2 答：双曲线的标准方程为 1 16 9
2）a= 15 ，c=4 ，焦点在坐标轴上.
答 : b c a 16 15 1
2 2 2
x2 y2 2 2 标准方程为 y 1或 x 1 15 15
平面上动点M到两定点距离的差为常数的轨迹是什么 ?
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)， |MF2|-|MF1|=2a 由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
F
上面 两条曲线合起来叫做双曲线
定义:
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值
解:
由题知点P的轨迹是双曲线的右支，
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
x2 y2 2 1 (a 0, b 0) 2 a b ∵ 2a = 6, c=5 ∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52-32 =16
x2 y2 1 (x>0) 所以点P的轨迹方程为： 9 16
变式2 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动点P，
满足|｜PF1|－|PF2| |= 10，求点P的轨迹方程.
解:
因为|｜PF1|－|PF2| |= 10,
|F1F2|= 10,
| |PF1|－|PF2| |= |F1F2|
所以点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的 两条射线， 其轨迹方程是： 0 ( x 5, 或x 5) y=
2c 2a 即：c a c 2 a 2 0
c 2 a 2 b 2 b 0 代入上式整理得： 设
x y 2 1 a 0, b 0 2 a b
2
2
• 想一想
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程是什么
2 y
2 a
-
2 x 2 b
y F2 o F1
= 1
x
方程
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y x 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
2
2
焦点 a.b.c 的关 系
c a b
2
双曲线与椭圆之间的区别与联系： 椭
定义
圆
双曲线
||MF1|－|MF2|=2a
2 x2 - y = 1 2 2 a b y2 x2 = 1 2 a b2
x
(a 0，b 0)
双曲线的标准方程
y
y
M
M F2 x
F
O
1
F
2
x
O
F1
x y 2 1 2 a b
2 2 2
2
2
y x 2 1 2 a b
2
2
c a b a 0, b 0
x y 2 1 2 a b
2
2
y
M
M
y
F2
F ( ±c, 0)
F1
o
F2
x
F1
x
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两 处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的 方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点 的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
六 、 走 向 高 考
x2 y2 1 ( m n 0) 2.若椭圆 m n x y 1 ( a b 0) a b
|MF1|+|MF2|=2a
2 x2 + y = 1 2 2 a b
方程
y2 x2 =1 2 + 2 a b
焦点
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的关 系
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
作业 ：
一、 习题 2. 2A组 3、(1)(2)
动 画
等于常数（小于︱F1F2︱） 的点的轨迹叫做双曲线.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
M
注意
（1）差的绝对值等于常数 ；
（2）常数小于︱F1F2︱
F
o
1
F
2
1、|MF1 | － |MF2 | =2a (2a< |
2、|MF2 | － | MF1| =2a (2a< | F1 F2| )
2
线2
和双曲
F1 F2
有相同的焦点 、 P | 点 1 | 为椭圆与双曲线的公共点，则 PF | PF2 | 等于（1 ( m a ) ） ma 2
A. B.
m a
2 2
m a
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1 o F2
x
F1
3、若常数2a=0
F1 F2
|)
M
F1
F2
4、若常数2a = | F1 F2 |
F1 F2
1 2
5、若常数2a＞| F F | 轨迹不存在
如何求双曲线的标准方程？
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴， 线段F1F2的中点为原点建立直角
y
P
坐标系
设P（x , y）,双曲线的焦 2.设点． 距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a 3.列式． |PF1
例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双 曲线的标准方程.
解:根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
x y 2 1 (a 0, b 0) 2 a b
∵ 2a = 6, c=5
2 2
∴
∴
a = 3, c = 5
b2 = 52-32 =16
2 2
x y 1 所以所求双曲线的标准方程为： 9 16