因式分解归类
因式分解所有方法归纳总结
因式分解所有方法归纳总结在代数学中，因式分解是一个重要的概念和技巧。
它可以帮助我们简化复杂的数学表达式，找出其基本的构成部分。
在本文中，我们将对因式分解的各种方法进行归纳总结，并介绍它们的应用以及解题技巧。
一、公因式提取法公因式提取法是最基本的因式分解方法之一。
它的思路是将一个表达式中的公因式提取出来，从而简化表达式。
例如，对于表达式3x+9，我们可以提取出公因式3，得到3(x+3)。
在这个例子中，公因式提取法的应用使我们得到一个更简单的表达式。
二、配方法配方法是因式分解中常用的方法之一。
它的基本思路是通过适当的变换将一个表达式转化为可以直接进行因式分解的形式。
例如，对于二次三项式x^2+5x+6，我们可以通过配方法将其转化为(x+2)(x+3)的形式来进行因式分解。
具体的步骤是：1.找出二次三项式的首项系数、末项系数和常数项，记作a、b和c；2.计算出常数项的因子组合，找出满足a+c=b的两个数；3.将找到的两个数作为中间项的系数，拆分中间项，然后进行因式分解。
三、差的平方差的平方是一种特殊的因式分解形式，它的规则是(a-b)(a+b)=a^2-b^2。
通过利用这个规则，我们可以将一个二次差的平方表达式直接因式分解。
例如，对于表达式x^2-4，我们可以利用差的平方公式直接得到(x-2)(x+2)的形式。
四、完全平方差完全平方差是另一种特殊的因式分解形式，它的规则是(a-b)^2=a^2-2ab+b^2。
通过利用这个规则，我们可以将一个二次完全平方差表达式直接因式分解。
例如，对于表达式x^2-4x+4，我们可以利用完全平方差公式直接得到(x-2)^2的形式。
五、综合法综合法是一种综合利用以上各种方法的因式分解方法。
它的基本思路是通过适当地组合和变换，找到使得一个表达式能够因式分解的形式。
例如，对于二次三项式x^2-5x+6，我们可以应用配方法和差的平方形式来进行因式分解。
具体的步骤是：1.使用配方法将表达式转化为(x-2)(x-3)的形式；2.观察到x-2和x-3之间存在差的平方关系，即(x-2)(x-3)=(x-2)^2-1，从而进一步化简为((x-2)^2-1)。
初中数学因式分解的12种方法
因式分解常用12种方法及应用【因式分解的12种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1.提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1.分解因式x3-2x2-x(2003淮安市中考题)x3-2x2-x=x(x2-2x-1)2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
@初中生家长例2.分解因式a2+4ab+4b2(2003南通市中考题)解：a2+4ab+4b2=(a+2b)23.分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n)，又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式m2+5n-mn-5m解：m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n@初中生家长=(m2-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4.十字相乘法对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4.分解因式7x2-19x-6分析：1×7=7，2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
@初中生家长例5.分解因式x2+6x-40解x2+6x-40=x2+6x+(9)-(9)-40=(x+3)2-(7)2=[(x+3)+7][(x+3)–7]=(x+10)(x-4)6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
初中因式分解公式大全
初中因式分解公式大全因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它是解决代数式的一个重要方法。
因式分解的目的是将一个代数式分解成若干个乘积的形式，从而更容易进行计算和求解。
在初中阶段，因式分解公式是学生们需要掌握的基础知识之一。
下面我们将介绍一些常见的初中因式分解公式，希望能对大家的学习有所帮助。
一、一次因式分解公式。
1. a^2 b^2 = (a + b)(a b)。
这是一个一次因式分解的基本公式，它可以用来分解两个平方数之差。
当我们遇到类似的代数式时，可以利用这个公式来进行因式分解，从而简化计算过程。
二、二次因式分解公式。
1. a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。
这是一个常见的完全平方公式，它可以用来分解一个完全平方的代数式。
在实际问题中，我们经常会遇到完全平方的情况，因此掌握这个公式对于解题非常有帮助。
2. a^2 2ab + b^2 = (a b)^2。
这是完全平方公式的另一种形式，与上一个公式相对应。
当我们遇到完全平方差的情况时，可以利用这个公式进行因式分解。
三、三次因式分解公式。
1. a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 ab + b^2)。
这是一个常见的立方和公式，它可以用来分解两个立方数的和。
在代数式的计算中，有时会遇到这种情况，因此掌握这个公式对于解题非常有帮助。
2. a^3 b^3 = (a b)(a^2 + ab + b^2)。
这是立方差公式，与上一个公式相对应。
当我们遇到两个立方数的差时，可以利用这个公式进行因式分解，从而简化计算过程。
四、其他常见因式分解公式。
1. a^2 + b^2 = (a + b)(a bi)(a + bi)。
这是一个关于复数的因式分解公式，它可以用来分解两个复数的和。
在高中阶段学习复数时，这个公式会被进一步应用和拓展。
2. a^3 + b^3 + c^3 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 ab ac bc)。
因式分解最全方法归纳
因式分解最全方法归纳在数学中，因式分解是一种将多项式表达式分解为较简单的乘法形式的方法。
它是解决多项式的基础步骤，也是高等数学和代数学中的重要概念。
本文将对因式分解的最全方法进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、因式分解的基本定义因式分解是一种将多项式表达式分解为乘法形式的方法。
通常，我们将一个多项式表示为包含常数项、一次项、二次项等的和的形式。
而因式分解的目的就是将这个多项式表示为一个或多个因子相乘的形式。
二、常见因式分解方法1. 因式分解公式法因式分解公式法是因式分解中常用的方法之一。
根据不同的多项式形式，我们可以利用一些常见的因式分解公式来进行因式分解。
例如：- 当多项式为二次差平方时，可以利用差平方公式进行因式分解。
例如，x^2 - a^2 = (x+a)(x-a)。
- 当多项式为完全平方时，可以利用完全平方公式进行因式分解。
例如，x^2 + 2ab + b^2 = (x+a)^2。
- 当多项式为二次三项差积时，可以利用二次三项差积公式进行因式分解。
例如，x^2 - ax - b = (x-c)(x-d)，其中c、d为满足cd = b且c+d = a的两个数。
2. 提取公因式法提取公因式法是因式分解的一种常用方法。
当多项式的各项存在公因式时，我们可以将这些公因式提取出来，得到一个公因式和一个因式分解后的多项式。
例如：对于多项式2x^2 + 4x，我们可以提取出公因式2x，得到2x(x+2)。
3. 分组分解法分组分解法是一种将多项式进行分组，然后再进行因式分解的方法。
它通常适用于多项式中存在四项以上的情况，且多项式的各项无法直接提取公因式。
例如：对于多项式x^3 + x^2 + 3x + 3，我们可以按照如下方式进行分组分解：(x^3 + x^2) + (3x + 3)。
进一步因式分解得到：x^2(x + 1) + 3(x + 1)。
再进一步因式分解得到：(x^2 + 3)(x + 1)。
因式分解分类讲解
因式分解分类讲解因式分解-提公因式法因式分解是将一个多项式表示为几个整式的积的形式，提公因式法是因式分解的一种方法。
确定公因式的方法：1.系数公因式：取多项式中各项系数的最大公因数。
2.字母公因式：取多项式中各项字母的最小次数。
注意点：1.结果应该是因式乘积的形式。
2.必须分解到每个因式都不能再分解为止。
3.如果结果有相同的因式，必须写成因式乘积的形式。
公因式是多项式时，可把这个因式作为一个整体提出。
提取公因式时的注意点：1.首项为负数，一般要提出“-”号；在括号内的多项式的各项都要变号。
2.公因式是多项式时，可把这个因式作为一个整体提出。
3.底数需调整为同底数幂。
4.提公因式后，括号内有同类项必须合并同类项。
5.提公因式后，括号内的项数，不增不减，特殊是某一项为1，千万不要漏掉此项。
例1：把下列各式分解因式1）2a(x-2y)-3b(x-2y)解：公因式为(x-2y)，因此：2a(x-2y)-3b(x-2y) = (x-2y)(2a-3b)2）4x^2-12xy+9y^2解：首先，可以看出括号内的公因式为(2x-3y)^2，因此：4x^2-12xy+9y^2 = (2x-3y)^23）2a(x-2y)^2+b(2y-x)^3解：公因式为(x-2y)，因此：2a(x-2y)^2+b(2y-x)^3 = (x-2y)^2(2a+b(2y-x))4）(x-y)^2-3(y-x)^3+2(y-x)^4解：公因式为(y-x)^2，因此：x-y)^2-3(y-x)^3+2(y-x)^4 = (y-x)^2(-2(y-x)+2(y-x)^2-3(y-x)^2) = (y-x)^2(-y+x)^222）a(x2y)3b(2y x)4c(x2y)4）15b(3a b)25(b3a)36）(a x)m1(b x)n1(a x)m(b x)n2.4xy-6x2y3+2xy4 can be factorized as 2xy(2-y)(y+1).2a(x-2y)-3b(2y-x)-4c(x-2y) can be simplified as (2a-3b-4c)x+(4b-2a)x.15b(3a-b)2+25(b-3a)3 can be factorized as 5b(3a-b)(13b-27a).To calculate 299-298 using n。
数学因式分解的12种方法
数学因式分解的12种方法数学因式分解的12种方法数学因式分解是数学中的一项基础技能，它指的是将一个多项式化简成若干项乘积的形式。
因式分解可用于求解方程、化简式子、计算概率等各种领域，是数学学习过程中必不可少的内容。
下面介绍12种数学因式分解的方法，以便更好地掌握这项技能。
1. 相加法当括号内所有的项都有一个公共因子时，我们可以应用“相加法”来求得它们的积。
例如，3x+6x可以写成3(x+2x)的形式，而8a+12a+20a则可以写成4(2a+3a+5a)的形式。
2. 分组法这个方法通常用于处理有四项甚至更多项的式子，它可以将这些项分成两组，使得每组内都有一个公共因子，从而进行因式分解。
例如，2x^3+3x^2+2x+3=2x^2(x+1)+3(x+1)=(2x^2+3)(x+1)。
3. 因数分解法这个方法是将一个多项式写成多个项的乘积形式，然后查找其每一项的因数。
例如，6x^2+11x+4可以分解成(3x+4)(2x+1)的形式。
4. 公因数法当多项式的每一项都有相同的公因数时，可以用公因数法将其化简。
例如，24x^2+36x=12x(2x+3)。
5. 平方公式平方公式是将一个多项式化简为若干项平方的和的形式，例如(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。
它常常可以应用于因式分解中，例如4x^2-4y^2=4(x^2-y^2)=(2x+2y)(2x-2y)。
6. 完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式可以表示成两个一次多项式的平方和差的形式，例如(a+b)(a-b)=a^2-b^2。
应用完全平方公式，可以将二次多项式分解为相加或相减的两个一次项。
7. 差平方公式差平方公式是指一个多项式之差可以表示为二次项的差的形式，例如a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
应用差平方公式，可以将含有二次项的多项式化简为二次项之差的形式，进而进行因式分解。
8. 转化法如果一个多项式不容易因式分解，我们可以通过变量代换的方法来转化它。
八年级因式分解
八年级因式分解
因式分解是将一个多项式表示为两个或更多个因子的乘积的过程。
在八年级，通常会涉及到以下类型的因式分解：
1. 平方差公式的因式分解：如x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)。
2. 因式分解为一次因式和二次因式的乘积：如2x^2 + 5x + 3 = (2x + 1)(x + 3)。
3. 因式分解为两个二次因式的乘积：如x^2 - 4x + 4 = (x - 2)(x - 2) = (x - 2)^2。
4. 多项式的公因式提取：如2x^3 + 4x^2 = 2x^2(x + 2)。
5. 差平方的因式分解：如x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)。
6. 完全平方的因式分解：如x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2。
以上是一些常见的因式分解方法，八年级通常会遇到这些类型的因式分解题目。
实际的题目中也可能涉及到多种因式分解方法的组合。
专题07 常见因式分解的类型
数学思维解法技巧培优小专题专题7 常见因式分解的类型题型一 只提不套型【典例1】因式分解：（1）x n x m 221624--=_____________________； （2）ab b a ab +-223=_____________________； （3）bc a c b a c b a 32423575-+=_____________________；（4）()()b c n c b m ---23=____________________. 【点拨】先提公因式，然后整理化简【解析】（1）()22238n m x +-;（2）()13+-a b ab ;（3）()75223-+ab c b a bc a ;（4）()()n m c b 23+-.【典例2】因式分解：（1）()()a x a x -+-112; （2）()()m n m n m m ---2282. 【点拨】先提公因式，然后整理化简【解析】解:(1) 原式=()()()()11112--=---x a x a x a x ; (2)原始=()()[]()()n m n m m m n m n m m --=+--5242，题型二 只套不提型【典例3】因式分解：（1）2169x +-=_____________________； （2）2242025y xy x +-=_____________________； （3）()()3612y 2++-+y x x =_____________________； （4）()()2244c b c b a a ++++=____________________. 【点拨】直接套用平方差公式或完全平方公式【解析】（1）()()3434-+x x ;（2）()225y x -;（3）()26-+y x ;（4）()c b a 22++. 【典例4】因式分解：（1）4416y x -; （2）()22241a a -+; （3）()()9666222+---x x ;（4）()()2221---x x x . 【点拨】直接套用平方差公式或完全平方公式【解析】解:(1) 原式=()()()()()y x y x y x y xy x 22444222222-++=-+; (2)原始=()()()()2222111212-+=+-++a a a a a a ; (3) 原式=()()()()22222233936-+=-=--x x x x ;(4)原始=()()1122+---+-x x x x x x 题型三 先提后套型【典例5】因式分解：（1）ax ax 93-; （2）x y x y x 32162223+-; （3）()()2232321n m n m +--; （4）()()()x y y x y x x -----227218232.【点拨】先提公因式,然后运用平方差公式或完全平方公式法分解【解析】解:(1) 原式=()()()3392-+=-x x ax x ax ; (2)原始=()()42168222-=+-xy x xy y x x ; (3) 原式=()()[]()()[]()()[]()()n m n m n m n m n m n m n m n m 725323323213432122-+=+--++-=+--; (4)原始=()()()()()96232272182322+--=-+---x x y x y x y x x y x x ()()2323--=x y x 题型四 先套后提型【典例6】因式分解：（1）()()221692n m n m +--; （2）()()2232232x y x x y x +-+-.【点拨】先套用平方差公式或者完全平方公式,然后再提公因式整理化简【解析】解:(1) 原式=()()[]()()[]()()n m n m n m n m n m n m 411453132132++-=+--++-;(2)原始=()()()22293332y x y x x y x -=-=+-， 题型五 先破后立型【典例7】因式分解：（1）()()ab b a b a +--4;（2）()16322-+-m m m ;（3）()2342+--a a ; （4）()()xy y x x y x ++--72822.【点拨】先按整式乘法运算化简,然后再进行因式分解【解析】解:(1) 原式=()222244b a b ab a -=+-; (2)原始=()()1212142-+=-m m m ; (3) 原式=()()()()()522322-+=+--+a a a a a ;(4)原始=()()y x y x y x 441622-+=-题型六 运用分组分解法因式分解【典例8】因式分解：（1）9222-+-y xy x ; （2）y y x 41422+--; （3）3223y xy y x x --+; （4）842222+--y y x y x ; （5）b a b ab a 424422+-+-; （6）mn n m 692522++-. 【点拨】先分组使之提公因式或能运用公式法分解【解析】解:(1) 原式=()()()33322--+-=--y x y x y x ; (2)原始=()()()()1212121442222+--+=--=+--y x y x y x y y x ; (3) 原式=()()()()()()y x y x y x y y x x y xy y x x -+=+-+=+-+2223223; (4)原始=()()()()4224222--=---y x y y y y x ; (5) 原式=()()()()2222222---=---b a b a b a b a ; (6)原始=()()()()53532532596222-+++=-+=-++n m n m n m n mn m 题型七 运用十字相乘法因式分解【典例9】因式分解：（1）652++x x =_____________________；（2）1582+-x x =_____________________； （3）1872--x x =_____________________； （4）322--x x =_____________________； （5）12532-+x x =_____________________； （6）221312y xy x -+=____________________. 【点拨】运用十字相乘法分解因式【解析】（1）()()32++x x ;（2）()()53--x x ;（3）()()92-+x x ;（4）()()132+-x x ;（5）()()433-+x x ;（6）()()y x y x -+13.【典例10】因式分解：（1）m ma ma 91232-+-; （2）4324-+a a . 【点拨】运用十字相乘法分解因式【解析】解:(1) 原式=()()()3133432---=+--a a m a a m ; (2)原始=()()()()()41141222++-=+-a a a a a ， 巩固练习1．分解因式：（p ﹣4）（p +1）+6．【点拨】首先求出（p ﹣4）（p +1）的值是多少；然后应用十字相乘法，把（p ﹣4）（p +1）+6分解因式即可．【解析】解：（p﹣4）（p+1）+6＝p2﹣3p+2＝（p﹣1）（p﹣2）2．因式分解：（1）（x﹣1）（x﹣3）+1（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）【点拨】（1）直接去括号进而合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可；（2）直接提取公因式（x﹣y），进而利用平方差公式分解因式即可．【解析】解：（1）（x﹣1）（x﹣3）+1＝x2﹣4x+3+1＝（x﹣2）2；（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝（x﹣y）（a2﹣4b2）＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．3．因式分解：（1）2a2﹣8b2（2）1+（x﹣1）（x﹣3）【点拨】（1）先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；（2）先将式子展开，再根据完全平方公式进行分解．【解析】解：（1）2a2﹣8b2＝2（a2﹣4b2）＝2（a+2b）（a﹣2b）；（2）1+（x﹣1）（x﹣3）＝1+x2﹣3x﹣x+3＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2．4．分解因式：6k2+9km﹣6mn﹣4kn．【点拨】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．【解析】解：6k2+9km﹣6mn﹣4kn＝3k（2k+3m）﹣2n（3m+2k）＝（2k+3m）（3k﹣2n）．5．分解因式：（3m﹣1）2﹣（2m﹣3）2．【点拨】首先利用平方差公式分解因式，进而去括号化简得出答案．【解析】解：原式＝[（3m﹣1）+（2m﹣3）][（3m﹣1）﹣（2m﹣3）]＝（5m﹣4）（m+2）．6．（1）解方程：3x2﹣12＝0（2）在实数范围内分解因式：3a2﹣15【点拨】（1）先把原方程变形，再两边开方，即可求出方程的解；（2）首先提取公因式3，进而利用平方差公式进行分解．【解析】解：（1）∵3x2﹣12＝0，∴x2＝4，∴x＝±2；（2）3a2﹣15＝3（a2﹣5）=3(a+√5)(a−√5)7．因式分解（1）（x﹣y）3﹣4（x﹣y）（2）﹣2x3+12x2﹣18x【点拨】（1）原式提取（x﹣y），再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式﹣2x，再利用完全平方公式分解即可．【解析】解：（1）（x﹣y）3﹣4（x﹣y）＝（x﹣y）[（x﹣y）2﹣4]＝（x﹣y）（x﹣y+2）（x﹣y﹣2）；（2）﹣2x3+12x2﹣18x＝﹣2x（x2﹣6x+9）＝﹣2x（x﹣3）2．8．分解因式：（1）5x2+10x+5（2）4a2（x﹣y）+9b2（y﹣x）【点拨】（1）先提公因式法、再利用完全平方公式进行因式分解；（2）先提公因式法、再利用平方差公式进行因式分解．【解析】解：（1）5x2+10x+5＝5（x2+2x+1）＝5（x+1）2；（2）4a2（x﹣y）+9b2（y﹣x）＝（x﹣y）（4a2﹣9b2）＝（x﹣y）（2a+3b）（2a﹣3b）．9．分解因式：（1）x2y﹣4y；（2）（a+2）（a﹣2）+3a．【点拨】（1）提公因式后利用平方差公式分解因式即可；（2）展开后利用十字相乘法分解因式即可．【解析】解：（1）x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x+2）（x﹣2）；（2）（a+2）（a﹣2）+3a＝a2+3a﹣4＝（a+4）（a﹣1）．10．分解因式：（1）（a﹣b）2+4ab；（2）﹣mx2+12mx﹣36m．【点拨】（1）原式整理后，利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取﹣m，再利用完全平方公式分解即可．【解析】解：（1）（a﹣b）2+4ab＝a2﹣2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2＝（a+b）2；（2）﹣mx2+12mx﹣36m＝﹣m（x2﹣12xy+36）＝﹣m（x﹣6）2．11．因式分解：5x2﹣10x+5【点拨】先提取公因式5后，再用完全平方公式分解因式．【解析】解：5x2﹣10x+5＝5（x2﹣2x+1）＝5（x﹣1）2．12．分解因式①2x2﹣x﹣6②x3﹣3x+2【点拨】根据“十字相乘法”分解因式得出即可．【解析】解：①2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）；②x3﹣3x+2＝x3﹣4x+x+2＝x（x+2）（x﹣2）+（x+2）＝（x+2）（x2﹣2x+1）＝（x+2）（x﹣1）2．13．分解因式：（1）2ax2﹣18ay2（2）3x2﹣12x+12【点拨】（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解．（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．【解析】解：（1）2ax2﹣18ay2＝2a（x2﹣9y2）＝2a（x+3y）（x﹣3y）；（2）3x2﹣12x+12＝3（x2﹣4x+4）＝3（x﹣2）2．14．将下列各式分解因式：（1）（p﹣4）（p+1）+3p；（2）4xy2﹣4x2y﹣y3【点拨】（1）原式整理后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取﹣y，再利用完全平方公式分解即可．【解析】解：（1）（p﹣4）（p+1）+3p＝p2﹣3p﹣4+3p＝p2﹣4＝（p+2）（p﹣2）；（3）4xy2﹣4x2y﹣y3＝﹣y（4x2﹣4xy+y2）＝﹣y（2x﹣y）2．15．对下列代数式分解因式：（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．【点拨】（1）提取公因式n（m﹣2）即可；（2）根据多项式的乘法把（x﹣1）（x﹣3）展开，再利用完全平方公式进行因式分解．【解析】解：（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m），＝n2（m﹣2）+n（m﹣2），＝n（m﹣2）（n+1）；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1，＝x2﹣4x+4，＝（x ﹣2）2．16．把下列各式分解因式：（1）2x 2﹣5x ﹣3（2）12a 2（x ﹣2a ）2−14a （2a ﹣x ）3 （3）（x 2﹣3）2﹣4x 2（4）a 2﹣2a +b 2﹣2b +2ab +1（5）（x ﹣y ）（x 2+3xy +y 2）﹣5xy （x ﹣y ）（6）（a ﹣3b ）2﹣4c 2+12ab【点拨】（1）利用十字相乘法分解因式；（2）先提公因式，再化简；（3）先利用平方差公式，再根据十字相乘法分解因式；（4）分组后利用完全平方公式分解因式；（5）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式；（6）先化简，再分组后利用平方差公式分解因式．【解析】解：（1）2x 2﹣5x ﹣3，＝（x ﹣3）（2x +1）；（2）12a 2（x ﹣2a ）2−14a （2a ﹣x ）3， =14a （x ﹣2a ）2（2a +x ﹣2a ），=14ax （x ﹣2a ）2；（3）（x 2﹣3）2﹣4x 2，＝（x2﹣3）2﹣（2x）2，＝（x2﹣2x﹣3）（x2+2x﹣3），＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）（x+3）；（4）a2﹣2a+b2﹣2b+2ab+1，＝（a2+2ab+b2）﹣（2a+2b）+1，＝（a+b）2﹣2（a+b）+1，＝（a+b﹣1）2；（5）（x﹣y）（x2+3xy+y2）﹣5xy（x﹣y），＝（x﹣y）（x2+3xy+y2﹣5xy），＝（x﹣y）3；（6）（a﹣3b）2﹣4c2+12ab，＝a2﹣6ab+9b2﹣4c2+12ab，＝（a2+6ab+9b2）﹣（2c）2，＝（a+3b﹣2c）（a+3b+2c）．17．因式分解：（1）x2+3（x+y）+3﹣y2+（x﹣y）（2）x2﹣4y2+4x+4（3）（x2+3x+2）（x2+7x+12）+1（4）（2a+5）（a2﹣9）（2a﹣7）﹣91（5）x3﹣3x2+4（6）24x3﹣26x2+9x﹣1【点拨】（1）根据分组分解法先分组，再提公因式和运用公式，可分解因式；（2）根据分组分解法先分组，再运用公式，可分解因式；（3）先将x2+3x+2和x2+7x+12利用十字相乘法分解因式，再分组相乘，运用整体的思想，根据完全平方公式，可分解因式；（4）先将a2﹣9分解因式，再重新组合相乘，运用整体思想，可分解因式；（5）将﹣3x2拆项后变为x2﹣4x2，重新分组后，可分解因式；（6）将﹣26x2拆项后变为﹣6x2﹣20x2，重新分组后，可分解因式．【解析】解：（1）x2+3（x+y）+3﹣y2+（x﹣y），＝x2﹣y2+3（x+y）+3+（x﹣y），＝（x﹣y）（x+y）+（x﹣y）+3（x+y）+3，＝（x﹣y）（x+y+1）+3（x+y+1），＝（x+y+1）（x﹣y+3）；（2）x2﹣4y2+4x+4，＝（x+2）2﹣4y2，＝（x+2+2y）（x+2﹣2y）；（3）（x2+3x+2）（x2+7x+12）+1，＝（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1，＝（x2+5x+4）（x2+5x+6）+1，＝（x2+5x）2+10（x2+5x）+24+1，＝（x2+5x+5）2；（4）（2a+5）（a2﹣9）（2a﹣7）﹣91，＝[（2a+5）（a﹣3）][（2a﹣7）（a+3）]﹣91，＝（2a2﹣a﹣15）（2a2﹣a﹣21）﹣91，＝（2a2﹣a）2﹣15（2a2﹣a）﹣21（2a2﹣a）+224，＝（2a2﹣a）2﹣36（2a2﹣a）+224，＝（2a2﹣a﹣8）（2a2﹣a﹣28），＝（a﹣4）（2a+7）（2a2﹣a﹣8）；（5）x3﹣3x2+4，＝x3+x2﹣4x2+4，＝x2（x+1）﹣4（x2﹣1），＝x2（x+1）﹣4（x+1）（x﹣1），＝（x+1）（x2﹣4x+4），＝（x+1）（x﹣2）2；（6）24x3﹣26x2+9x﹣1，＝（24x3﹣6x2）﹣20x2+9x﹣1，＝6x2（4x﹣1）﹣（20x2﹣9x+1），＝6x2（4x﹣1）﹣（4x﹣1）（5x﹣1），＝（4x﹣1）（6x2﹣5x+1），＝（4x﹣1）（2x﹣1）（3x﹣1）．。
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因式分解问题的归类
所谓因式分解是将一个整式分解成几个因式乘积的形式，由于这种变形蕴含着变换的数学思想和方法，并且对于代数式的求值、化简具有重要的意义，所以中考中除考察学生对因式分解的方法的选用外，还考察了学生恒等变形的能力。
这里搜集了历年来各地中考中出现的有关因式分解的题目，通过适当的归类来体现其本质属性。
有关因式分解的题目总体上可分为两种类型。
一. 直接分解因式，即从整式的构成形式直接观察出第一步分解因式所用的方法，经过第一步分解后再运用其他方法分解。
例1．分解因式 ()3652
2--x x 解： ()3652
2--x x = ()()656522--+-x x x x = ()()()()6132-+--x x x x 例2. 分解因式 2433-x 解： 2433-x
= ()833-x = ()()42232++-x x x
二. 间接分解型：
1. 代数式的一部分运用完全平方公式再运用平方差公式分解，分解时应注意“各项”中正、负号的变化。
例3： 分解因式 1222---b b a
解： 1222---b b a = ()1222++-b b a = ()221+-b a = ()()11--++b a b a
例4： 分解因式 24
1
2924b a a --+ 解： 24
12924b a a --+ =()24
1
2924b a a -+- =()()222
132b a -- = ()()b a b a 32322
121
--+- 2.将整式分成具有（或变形后具有）公因式的组，经提取公因式整理并运用适当方法分解。
在运用此种方法时要注意分组要准确，符号变化要避免失误。
例5：分解因式： -222223++-a a a 解： -222223++-a a a
=-2()123--+a a a =-2()()[]123+-+a a a
=-2()()[]112+-+a a a
=-2()()112-+a a
=-2()()112-+a a
例6： 分解因式： 16434--+x x x
解： 16434--+x x x
= ()()()x x x x x 416443224-+-+-
= ()()()44442222-+-+-x x x x x = ()()()4222++-+x x x x
3．将整式通过恒等变形（或采用拆项、补项）后再进行分组分解。
例7： 分解因式： ()x y y x 242-+-
解： ()x y y x 242-+-
=()4222-+-y xy x
=()42--y x
=()()22--+-y x y x
例8： 分解因式： 191896622--+--y xy x y x
解： 191896622--+--y xy x y x
=()()166918922--+-+-y x y xy x
=-()()162922--++-y x y xy x
=-()[]213--y x
=-()2133--y x
对于某些整式的分解因式它的分解方法又不是唯一的，可以通过不同的思路来分解。
例9：分解因式： 2222y y x x -+-
解： 2222y y x x -+- =()()121222--++-y y x x
=()()2211---y x
=()()y x y x --+2
另解：
解： 2222y y x x -+-
=()()y x y x 2222+-+-
=()()()y x y x y x ---+2
=()()2-+-y x y x
4．从局部到整体的分解类型。
例10：分解因式： ()()()1321++++x x x x
解： ()()()1321++++x x x x
=()[]()()[]1213++++x x x x
=()()123322++++x x x x
=()()132322
2++++x x x x =()2
213++x x 这里仅从较浅的层面谈问题，总的看来，因式分解的思路和方法始终贯穿在代数变换中，它除了在代数的恒等变形中作用巨大，其他如分式的通分和约分，以及解方程中都起着重要作用，在根式的化简计算，三角函数式子的恒等变形等方面也经常用。
因此在历届中考中因式分解总是已直接和间接的方式出题，且在分值上占有一定的比例，总之因式分解的归类分解学好对进一步研究其他数学问题起到至关紧要的作用。