例析导数在函数中的应用

例析导数在函数中的应用
有关导数在函数中的应用主要类型有：判断函数的单调性，求函数的极值和最值， 利用函数的单调性证明不等式，求参数的范围，前面几种类型的综合及与解析几何等综合题.这些类型成为近两年最闪亮的热点,是高中数学学习的重点之一,预计也是“新课标”下高考的重点.
一．利用导数判断函数的单调性 例1．求函数22ln y x x =-的单调区间。

分析：求出导数y ˊ,令y ˊ>0或y ˊ<0，解出x 的取值范围，便可求出单调区间。

解：y ˊ()()221211414x x x x x x x
-+-=-==，由定义域知x>0，
y ˊ>0
{
(21)(21)0
12
x x x x >-+>⇔⇔>，
y ˊ<0{0
(21)(21)01
02
x x x x >-+<⇔⇔<<
, 故所求单调增区间为12⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+，单调减区间为102⎛⎫ ⎪
⎝
⎭
，。

方法总结：利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定()f x 的定义域；（2）求导数f ˊ(x)；（3）在函数()f x 的定义域内解不等式f ˊ(x)>0和f ˊ(x)<0；（4）确定()f x 的单调区间.若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论.
二．利用导数求函数的极值
例2．求函数2
221
x
y x =
-+的极值 解：()f x 的定义域为R. f ˊ(x)()()
()
()
222
2
2
2
21222111x x x
x x
x
+-⋅-=
=
++.
令y ˊ=0，解得x=1或x=－1.当x 变化时，y ˊ、y 的变化情况如下：
当x=－方法总结：求可导函数极值的步骤是：（1）求导数f ˊ(x)；（2）求f ˊ(x)= 0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x 0）的左右侧，导函数f ˊ(x)的符号如何变化，如果f ˊ(x)的符号由正变负，则f(x 0)是极大值；如果f ˊ(x)的符号由负变正，则f(x 0)是极小值. 注意：如果f ˊ(x)= 0的根x = x 0的左右侧符号不变，则f(x 0)不是极值.
三.利用导数求函数的最值
例3．（2004年.全国Ⅳ.理）求函数f(x)()2
1ln 14
x x =+-在[0，2]上的最大值和最小值. 解：f ˊ(x)11,12x x =
-+令11012
x x -=+，化简为2
20x x +-=，解得x 1=－2(舍去)，x 2=1.当0≤x<1时, f ˊ(x)>0，f(x)单调递增；当1<x ≤2时, f ˊ(x)<0，f(x)单调递减.所以,
f(1)=1
ln 24
-
为函数f(x)的极大值.又因f(0)=0,()2ln31f =->0, f(1)> f(2),f(0)=0为函数f(x)在[0，2]上的最小值，f(1)=1
ln 24
-为函数f(x)在[0，2]上的最大值.
方法总结：求f(x)在[a ，b]内的最大值和最小值的步骤：（1）求f(x)在（a ，b ）内的极值； （2）求f(x)在区间端点的值f(a)与f(b)；（3）将函数f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
四.证明不等式
例4.已知x ∈R ，e x ≥x+1.
分析：应首先构造函数，对函数进行求导，并判断函数的单调性.
证明：令f(x)= e x －x －1，∴f ˊ(x) =e x －1.∵x ∈[)0-∞，,∴e x －1≥0恒成立，即f ˊ(x)≥0. ∴f(x)为增函数.当x ∈(－∞,0)时，f ˊ(x) =e x －1<0，∴f(x)为增减数. 又∵f(0)=0,∴当x ∈R 时，f(x)≥f(0)，即e x －x －1≥0，∴e x ≥x+1.
五．求参数的值或范围：这种类型往往是已知函数的单调性，通过逆向思维，判断导函数的符号，再求参数的值或范围.
例5．（2005年.湖北）已知向量2
(,1),(1,),()a x x b x t f x a b =+=-=⋅ 若函数在区间（－1，
1）上是增函数，求t 的取值范围.
解法1：依定义,)1()1()(2
3
2
t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2
t x x x f ++-='则
.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若
()032,(1,1),()32,
f x t x x
g x x x '∴≥⇔≥--=-在区间上恒成立考虑函数1
(),3
g x x =由于的图象是对称轴为开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间
（－1，1）上恒成立⇔.5),1(≥-≥t g t 即
.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t
5≥t t 的取值范围是故.
解法2：依定义,)1()1()(2
3
2
t tx x x x t x x x f +++-=++-=
.
0)()1,1(,)1,1()(.
23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若
)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线，
时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f
.
5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在
六.综合型
例6.(2005年.湖南.文)设0≠t ，点P （t ，0）是函数c bx x g ax x x f +=+=23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线. （Ⅰ）用t 表示a ，b ，c ；
（Ⅱ）若函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，求t 的取值范围. 解：（I ）因为函数)(x f ，)(x g 的图象都过点（t ，0），所以0)(=t f ，
即03=+at t .因为,0≠t 所以2
t a -=..,0,0)(2ab c c bt t g ==+=所以即
又因为)(x f ，)(x g 在点（t ，0）处有相同的切线，所以).()(t g t f '=' 而.23,2)(,3)(2
2bt a t bx x g a x x f =+='+='所以
将2t a -=代入上式得.t b = 因此.3t ab c -==故2t a -=，t b =，.3
t c -=
（II ）解法一：))(3(23,)()(2
23223t x t x t tx x y t tx x t x x g x f y -+=--='+--=-=.
当0))(3(<-+='t x t x y 时，函数)()(x g x f y -=单调递减. 由0<'y ，若t x t t <<-
>3,0则；若.3
,0t
x t t -<<<则 由题意，函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，则
).3,()3,1(),3()3,1(t t t t -⊂--⊂-或所以.39.33
3≥-≤≥-≥t t t
t 或即或
又当39<<-t 时，函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减. 所以t 的取值范围为).,3[]9,(+∞⋃--∞
解法二：))(3(23,)()(2
2
3
2
2
3
t x t x t tx x y t tx x t x x g x f y -+=--='+--=-= 因为函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，且))(3(t x t x y -+='是（－1，3）
上的抛物线，所以⎩⎨⎧≤'≤'=-=.0|,0|31x x y y 即⎩⎨⎧≤-+≤--+-.
0)3)(9(.
0)1)(3(t t t t 解得.39≥-≤t t 或
所以t 的取值范围为).,3[]9,(+∞⋃--∞。