标架与坐标

e3
P
{
}
{
}
r
e1
O
{
}
e2
x, y , z 叫做点 P 关于标架 o; e1 , e2 , e3 的坐标, 记作 P ( x, y, z ) 或 ( x, y, z ) .
一一对应 → 有序三数组 ( x, y, z ) , 空间矢量 OP 或点 P ⎯⎯⎯⎯
{
}
3. 空间坐标系
空间坐标系 o; e1 , e2 , e3
x2 − x1 x3 − x1 x4 − x1
y2 − y1 y3 − y1 y4 − y1
x1 z2 − z1 x z3 − z1 = 0 .或 2 x3 z4 − z1 x4
y1 y2 y3 y4
z1 z2 z3 z4
1 1 1 1
= 0.
(4).线段的定比分点坐标
= λ PP2 ,则称点 P 把 线段定比分点的概念:对于有向线段 P 1 1P 2 (P 1 ≠ P 2 ) ,如果点 P 满足 PP
x= x1 + λ x2 y + λ y2 z + λ z2 , y= 1 , z= 1 1+ λ 1+ λ 1+ λ
z
= λ PP2 证明: ∵ PP 1 PP = OP − OP 1 1 PP2 = OP2 − OP
∴ OP − OP 1 = λ OP 2 − OP ,
e1
x
P 1
P
P2
e3
(
)
同理, y =
1 1 ( y1 , y2 , y3 ) , z = ( z1 , z2 , z3 ) 3 3
e1
x
e2
⎛ x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 z1 + z2 + z3 ⎞ 所以 ΔP , , 1P 2P 3 的重心坐标为 ⎜ ⎟. 3 3 3 ⎝ ⎠
5
例 2.已知三矢量 a = {4, 6, 2} , b = {6, −9,3} , c = {6, −3,3} ,试判别 a, b, c 是否共面,并求 (1). p = 2a − b + 3c ;(2). c 表示成 a, b 的线性组合. 解:因为 a = {4, 6, 2} , b = {6, −9,3} , c = {6, −3,3} ,
定理 2. .三个非零向量 a = { X 1 , Y1 , Z1} , b = { X 2 , Y2 , Z 2 } , c = { X 3 , Y3 , Z 3 } 共面的充要条件是
X 1 Y1 对应分量成比例,即 X 2 Y2 X 3 Y3
Z1 Z2 = 0 . Z3
证明: 因为 a, b , c 共面的充要条件是存在不全为零的数 λ , μ , γ 使得 λ a + μ b + γ c = 0 ,
证明:设 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) , P 2 ( x2 , y2 , z2 ) ,
∵ OP 1 = x1 e1 + y1 e2 + z1 e3 OP2 = x2 e1 + y2 e2 + z2 e3
∴ OP = OP2 − OP 1 = x2 e1 + y2 e2 + z2 e3 − x1 e1 + y1 e2 + z1 e3 = ( x2 − x1 ) e1 + ( y2 − y1 ) e2 + ( z2 − z1 ) e3
4 6 2 2 6 2 由 6 −9 3 = 2 3 −9 3 = 0 得 a, b, c 共面. 6 −3 3 3 −3 3
(1). p = 2a − b + 3c = 2 {4, 6, 2} − {6, −9,3} + 3{6, −3,3} = {20,12,10} (2).设 c = λ a + μ b ,则
X 1 Y1 Z1 . = = X 2 Y2 Z 2
证明: 因为 a, b 共线的充要条件是其中一矢量可用另一矢量来线性表示.
3
不妨设 a = λ b , 则
{ X1 , Y1 , Z1} = λ { X 2 , Y2 , Z 2 } = {λ X 2 , λY2 , λ Z 2 }
X 1 = λ X 2 , Y1 = λY2 , Z1 = λ Z 2
§1.5 标架与坐标
一.标架与坐标 1.空间(三维)标架
⎧ ⎪ − − − − − − − − − − − − − − 仿射标架 ⎧ ⎪定点o----原点 ⎪ 标架 o;e1 , e2 , e3 ⎨ ⎨ ei = 1 − − − − − − − − − − − 笛氏标架 − − 不共面矢量 基矢 e , e , e ⎪ ⎪ 1 2 3 ⎩ ⎪ e = 1且ei 互相垂直 − −笛氏直角标架 ⎩ i
z
P 1 P2
(
) (
)
e3
即
e1
x
o
y
P 1P 2 = { x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1} .
e2
(2).用向量的分量进行向量的线性运算 定理 1.两向量的和的分量等于两向量对应的分量的和. 证明: 设 a = { X 1 , Y1 , Z1} , b = { X 2 , Y2 , Z 2 } ,则
a + b = X 1 e1 + Y1 e2 + Z1 e3 + X 2 e1 + Y2 e2 + Z 2 e3 = ( X 1 + X 2 ) e1 + (Y1 + Y2 ) e2 + ( Z1 + Z 2 ) e3
(
) (
)
所以 a + b = { X 1 + X 2 , Y1 + Y2 , Z1 + Z 2 } 同理 a − b = { X 1 − X 2 , Y1 − Y2 , Z1 − Z 2 } 定理 2.数乘向量的分量等于这个数与向量的对应分量的积. 证明: 设 a = { X , Y , Z } ,则
x1 + x2 y + y2 z +z , y= 1 , z= 1 2. 2 2 2
( i = 1, 2,3) ,求 ΔP1 P2 P3 的重心的坐标. 解: 设 ΔP i i ( i = 1, 2,3) , 1P 2P 3 的三中线为 PM = 2GM 1 , 重心为 G ( x, y, z ) , 则 P2 M 1 = M 1 P3 , PG 1 z
λ a = λ X e1 + Y e2 + Z e3 = λ X e1 + λY e2 + λ Z e3
所以 λ a = {λ X , λY , λ Z }
(
)
(3).两向量共线的条件,三向量共面的条件. 定理 1.两个非零矢量 a = { X 1 , Y1 , Z1} , b = { X 2 , Y2 , Z 2 } 共线的充要条件是对应分量成比例, 即
线段 P 1P 2 分成定比 λ 的分点. 当 λ > 0 时, P 1 P 与 PP 2 同向, P 内分 P 1P 2 , 当 λ < 0 时, P 1 P 与 PP 2 反向, P 外分 P 1P 2 ,
4
当 λ = 1 时, P 为 P 1P 2 的中点. 注: λ ≠ −1 定理:设有向线段 P 1P 2 的始点为 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) ,终点为 P 2 ( x2 , y2 , z2 ) ,则分有向线段 P 1P 2 成定 比 λ ( λ ≠ −1 )的分点 P ( x, y, z ) 的坐标是
{
}
⎧ 仿射坐标系 ⎪ ⎧右旋坐标系 ⎪ 笛卡尔坐标系 ⎨ ⎨ ⎩左旋坐标系 ⎪ i, j , k ⎪笛卡尔直角坐标系 记 o; ⎩
{
}
1
4.常用笛氏右手直角坐系: 又记{o; x, y, z} 原点---O,
⎧ ox − − − 横轴 ( x轴 ) ⎪ 坐标轴(三个)---- ⎨ oy − − − 纵轴 ( y轴 ) ⎪oz − −立 ( 竖 ) 轴 ( z轴 ) ⎩
{
}
⎧左手标架 ⎨ ⎩右手标架
e3
e3
e1
O
e2e2O源自e12.坐标 (1).向量的坐标 对于空间任意矢量 r 总可以表示成 r = xe1 + ye2 + ze3 ,且 x, y , z 唯一,则 x, y, z 叫做 r 关于标 架 o; e1 , e2 , e3 的分量或坐标,记作 r { x, y, z} 或{ x, y, z} . (2).点的坐标 对于取定了标架 o; e1 , e2 , e3 的空间任意一点 P , 矢量 OP 叫做点 P 的径矢,径矢关于标架 o; e1 , e2 , e3 的分量
⎧ 6 = 4λ + 6μ ⎪ ⎨−3 = 6λ − 9μ ⎪ 3 = 2λ + 3μ ⎩
所以 c =
1 2 a+ b. 2 3
解得, λ =
1 2 , , μ= 2 3
6
于是有
⎧λ X 1 + μ X 2 + γ X 3 = 0 ⎪ ⎨ λY1 + μY2 + γ Y3 = 0 ⎪ λZ + μZ + γ Z = 0 2 3 ⎩ 1
因为 λ , μ , γ 不全为零,
所以
X 1 Y1 X 2 Y2 X 3 Y3
Z1 Z2 = 0 . Z3
推论: 四个点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) , P 2 ( x2 , y2 , z2 ) , P 3 ( x3 , y3 , z3 ) , P 4 ( x4 , y4 , z4 ) 共面的充要条件是
o
y
e2