24.6-24.7九年级数学资料向量的线性运算(很好-很全-很详细)
沪教版(上海)九年级上册数学 24.6-24.7实数与向量相乘 向量的线性运算 同步练习
24.6-24.7实数与向量相乘 向量的线性运算 同步练习一、选择题1. 若四边形ABCD 的对角线交于点O ，且有，则以下结论正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．2.在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则2FA AB BO ED +++=u u u r u u u ru u u ru u u r（）A.FE u u u rB.AC u u u rC.DC u u u rD.FC u u u r3.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C)，则AP =u u u r( )A ．(),(0,1)AB AD λλ+∈u u u r u u u r B ．2(),(0,)2AB BC λλ+∈u u u r u u u rC ．(),(0,1)AB AD λλ-∈u u u r u u u r D ．2(),(0,)2AB BC λλ-∈u u u r u u u r4. 已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．55.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，，那么等于（ ）A ．B ．C ．D ．6.在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，123AD DB CD CA CB λ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，，则λ=( )A.23B.13C.13-D.23-二、填空题7．已知向量,a b r r ，且AB →＝2a b +rr ，BC →＝56a b -+r r ，CD →＝72a b -r r ，共线的三点是__________．8. 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若 AC →＝λAE →＋μAF → ，其中λ、μ均为实数，则λ＋μ＝________.9. 已知AD 是△ABC 的中线，点G 是△ABC 的重心，=，那么用向量表示向量为 ．10.如图所示，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量为123 r r r u r u r u r 、、，则OD u u u r=_______________.11. 如图，已知四边形ABCD ，点P ，Q ，R 分别是对角线AC,BD 和边AB 的中点，设,BC a DA b ==u u u r r u u u r r ，则向量PQ uuu r 关于向量,a b r r的分解式为 .12.如图，在△ABC 中，点E 、F 分别在边AC 、BC 上，EF ∥AB ，CE=AE ，若=，=，则= ．三、解答题13. 如右图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知 AM →＝c r ，AN →＝d ur ，试用c r ，d u r 表示 AB →，AD →.14. 已知O 、A 、B 是不共线的三点，且 OP →＝mOA →＋nOB →(m 、n 均为实数)．(1)若m ＋n ＝1，求证：A 、P 、B 三点共线； (2)若A 、P 、B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.15.如图，在△ABC中，AB=AC=12，DC=4，过点C作CE∥AB交BD的延长线于点E，=，=．（1）求（用向量、的式子表示）；（2）求作向量+（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．答案与解析 一、选择题 1.【答案】A ． 【解析】解：A 、∵，∴AB ∥CD ，AB=2DC ， ∴△OAB ∽△OCD ，∴OA ：OC=AB ：DC=2：1， ∴OA=2OC ， ∴=2；故正确； B 、||不一定等于||；故错误；C 、≠，故错误；D 、=；故错误．2.【答案】B【解析】,FA BO AB ED OC =-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2BO AB BO OC AB BO OC AO OC AC ∴-+++=++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r原式=.3.【答案】A4.【答案】B【解析】由 MA →＋MB →＋MC →＝0得： MB →＋MC →＝－MA →①由向量的减法的三角形法则得： 2MB MA ABMB MC MA AB ACMC MA AC ⎧-=⎪⇒+-=+⎨-=⎪⎩u u u r u u u r u u u ru u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ②将②代入①得：1()3AM AB AC =+u u u u ru u ur u u u r ∴M 为△ABC 的重心设BC 的中点为D ，得，AB →＋AC →＝2AD →，又AM →＝23AD →，故m ＝3.5.【答案】B【解析】∵▱ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，∴OA=OC=AC ， ∵=，=，∴==（+）=+，故选B ．6．【答案】A【解析】在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD u u u r =2DB u u u r ，13CD CA CB λ=+u u u r u u u r u u u r，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1233CA CB =+u u u r u u u r ，∴23λ=.二、填空题7.【答案】A 、B 、D 【解析】AB →＋BC →＋CD →＝AD →＝36a b +r r ，∵AD →＝3AB →，∴A 、B 、D 三点共线． 8．【答案】43【解析】设AB →＝a r ，AD →＝b r， 那么AE →＝12a b +r r，AF →＝12a b +r r. 又∵AC →＝a b +r r， ∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.9.【答案】﹣．【解析】∵三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍 ∴=﹣．∴用向量表示向量为﹣．10.【答案】132r r r +-u r u r u r【解析】∵132OD OA AD OA BC OA OC OB r r r =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u r u r u r .11.【答案】1122a b --r r【解析】∵点P ，Q ，R 分别是对角线AC,BD 和边AB 的中点 ∴1122PR BC a =-=-u u u ru u u r r ，1122RQ DA b =-=-u u u ru u ur r又∵PQ PR RQ =+u u u r u u u r u u u r∴1122PQ a b =--u u u rrr 12.【答案】﹣【解析】∵=，=， ∴=﹣=﹣，∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ， ∴，∵CE=AE ， ∴==﹣．三、解答题： 13．【解析】解法一：设AB →＝a r ，AD →＝b r，则a r ＝AN →＋NB →＝d u r ＋(－12b r)①b r ＝AM →＋MD →＝c r ＋(－12a r)②将②代入①得a r ＝d u r ＋(－12)[c r ＋(－12a r)]⇒a r ＝43d u r －23c r，代入②得b r ＝c r ＋(－12)(43d u r －23c r )＝43c r －23d ur .即AB →＝43d ur －23c r ，AD →＝43c r －23d u r .解法二：设AB →＝a r ，AD →＝b r.因为M ，N 分别为CD ，BC 的中点， 所以BN →＝12b r ，DM →＝12a r ，1212c b ad a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩r r r u r r r 解得：2(2)3a d c =-r u r r ，2(2)3b c d =-r r u r即AB →＝43d ur －23c r ，AD →＝43c r －23d u r ．14. 【解析】证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m)OB →＝OB →＋m(OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m(OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线, 又因为BP 与BA 有公共点B ， ∴A 、P 、B 三点共线．(2)若A 、P 、B 三点共线，则BP →与BA →共线，故存在实数λ，使BP →＝λBA →， ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)，由条件得：mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0. 因O 、A 、B 不共线，∴OA →、OB →不共线，由平面向量基本定理知⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0∴m ＋n ＝1. 15. 【解析】 解：（1）∵CE ∥AB ， ∴，∵AB=AC=12，DC=4，∴AD=8； ∴=，∴AB=2CE ， ∵， ∴， ∴=﹣=﹣；（2）如图，即为所求．∵AB∥CE，∴BD：DE=AB：CE=2，∴===﹣，∵=+=+，∴+=+．。
向量的线性运算
向量的线性运算向量是数学中一种非常常用的概念，可以用来表示物理空间内的一个方向或一个方向上的一个量。
在一个n维空间中，一个向量可以用n维的数组表示，如：[x1,x2,...,xn]。
两个向量可以使用线性运算进行组合，形成一个新的向量，这些线性运算包括加法、乘法，以及一些更复杂的运算。
首先来说向量的加法。
两个n维的向量可以按照分量逐个相加，形成一个新的n维向量。
若u=[u1,u2,...,un]和v=[v1,v2,...,vn]，则u+v=[u1+v1,u2+v2,...,un+vn]。
例如，若u=[1,2,3]，v=[4,5,6]，则u+v=[5,7,9]。
其次是乘法。
向量的乘法可以分为内积、外积以及点乘。
内积表示两个向量的方向一致的乘积，也称为内积。
向量的内积记为uv，它是两个向量的对应分量的乘积之和，即：uv=u1v1+u2v2+...+unvn。
例如，若u=[1,2,3],v=[4,5,6]，则uv=1×4+2×5+3×6=32。
外积表示两个向量的方向不一致的乘积，也称为外积。
外积记作u×v，它是一个新的n维向量，它的n个分量分别由u×v=<u1v2-u2v1,u1v3-u3v2,...,un-1vn-u2v1>所确定，例如，若u=[1,2,3],v=[4,5,6]，则u×v=[2×6-3×5,-1×6+3×4,-2×5+1×4]，即u×v=[-3,6,-3]。
最后是点乘。
点乘是一种乘法，表示的是两个向量的垂直投影的积。
点乘记作uv，其求解公式为uv=|u||v|cosθ。
其中|u|表示向量u的模，|v|表示向量v的模，而θ表示向量u和v的夹角。
例如，若u=[1,2,3],v=[4,5,6]，则uv=|u||v|cosθ=√14×√77cos10°=45.58。
246-247 平面向量的线性运算(难点)(作业)-2021-2022学年九年级数学上(沪教版原卷版
24.6-24.7平面向量的线性运算(难点)一、单选题1．（2021·上海九年级专题练习）已知非零向量a ，b ，c ，下列条件中，不能．．判定a //b 的是（ ） A ．a b =； B ．a b =-；C ．a //c ，b //c ；D ．2a c =，4a c =．2．（2021·上海九年级专题练习）下列命题中，正确的是（ ）A ．如果e 为单位向量，那么a a e =B ．如果a 、b 都是单位向量，那么a b =C ．如果a b =-，那么//a bD ．如果a b =，那么a b = 3．（2021·上海九年级专题练习）以下说法错误的是（ ）A ．如果0ka =，那么0a =；B ．如果2a b =-，那么||2||a b =；C ．如果23a b =（b 为非零向量），那么//a b ；D ．如果0a 不是与非零向量a 同方向的单位向量，那么0||a a a =．4．（2020·上海交大附中九年级期中）下列关于向量的说法中，不正确的个数是（ ）①()()3330a b a b ---=； ②若3a b =，则3a b =-；③若m 、n 是实数，则()()m na mn a =；④如果非零向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使得b ma =；⑤如果非零向量a mb =，则a 与b 所在的直线平行；⑥如果0a →与0b →分别是a 与b 的单位向量，则00//a b →→ A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．（2021·上海九年级专题练习）已知非零向量a 与b ，那么下列说法正确的是（ ）A ．如果a b =，那么a b =B ．如果a b =-，那么//a b ；C ．如果//a b ，那么||||a b =；D ．如果a b =-，那么a b =．6．（2021·上海九年级专题练习）下列命题正确的是（ ）A ．如果|a |＝|b |，那么a ＝bB ．如果a 、b 都是单位向量，那么a ＝bC ．如果a ＝k b （k ≠0），那么a ∥bD ．如果m ＝0或a ＝0，那么m a ＝07．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知一个单位向量e ，设a 、b 是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．A ．1a e a =；B ．e a a =；C ．b e b =；D ．11a b a b =．8．（2019·上海）在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =2DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =13CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +λCB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则λ=( ) A ．23 B ．13 C ．−13 D ．−239．（2020·上海九年级专题练习） 设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ）A ．m na mn a （）＝（）B ．m n a ma na ++（）＝ C ．m a b ma mb +（+）＝ D ．若0ma =，那么0a =10．（2017·上海普陀区·九年级二模）如图，在△ABC 中，中线AD 、CE 交于点O ，设ABa,BC k ，那么向量AO 用向量a b ⋅表示为（ ）A ．12a bB ．2133a bC ．2233a bD ．1124a b 11．（2020·上海九年级专题练习）下列说法不正确的是（ ） A ．设e 为单位向量，那么1e =B ．已知a 、b 、c 都是非零向量，如果2a c =，4b c =，那么a bC ．四边形ABCD 中，如果满足AB CD ∥，||||AD BC =，那么这个四边形一定是平行四边形D ．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解12．（2021·全国九年级专题练习）规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP 可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n =.已知：11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，如果12120x x y y ⋅+⋅=，那么OA 与OB 互相垂直.下列四组向量，互相垂直的是（ ） A ．(3,2)OC =，(2,3)OD =- B ．(21,1)OE =，(21,1)OF = C ．0(3,2018)OG =，1(,1)3OH =-- D ．31(8,)2OM =-，2((2),4)ON =二、填空题13．（2018·上海九年级期末）计算：13222a b a b ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________． 14．（2017·上海第二工业大学附属龚路中学九年级期中）a 的长度是单位向量e 长度的2倍，方向相反，用e 表示a ，a =_________．15．（2019·上海市民办新北郊初级中学九年级期中）已知2,4a b →→==，且b →和a →反向，用向量a →表示向量b →=__________． 16．（2021·上海市实验学校九年级二模）如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 是边AB 的中点，DE 与对角线AC 相交于点F ，如果AB a AD b ==，，那么_____________DF =（用含a b 、的式子表示）．17．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，那么向量AB 关于a 、b 的分解式为______． 18．（2021·上海九年级专题练习）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且//EF BC ，53AE BC BE AD ==，若AB a =，DC b =，则向量EF 可用a 、b 表示为______________．19．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，DC 、BE 交于点O ，AB ＝3AD ，设BD ＝a ，DE ＝b ，那么向量DO 用向量a 、b 表示是__．20．（2021·上海闵行区·九年级二模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，点D 为AB 中点，将ACD △沿直线CD 翻折后，点A 落在点E 处，设BC a =，DB b =，那么向量DE 用向量a ，b 表示为________．三、解答题21．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在ABCD 中，AE 平分BAD ∠，AE 与BD 交于点F ， 1.2AB =，1.8BC =．（1）求:BF DF 的值；（2）设AB a =，BC =b ，求向量DF （用向量a 、b 表示）．22．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，//AB DE ，//AC DF ，AC 与DE 相交于点G ，12AG DG GC GE ==，2BE =．（1）求BF 的长；（2）设EG a =，BE b =，那么BF = ，DF = （用向量a 、b 表示）．23．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，点M 为边BC 上一点，13BM BC =，联结AM 交DE 于点N ．（1）求DN NE的值； （2）设AB a =，AM b =，如果23AD DB =，请用向量a 、b 表示向量NE ． 24．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，一个33⨯的网格．其中点A 、B 、C 、D 、M 、N 、P 、Q 均为网格点．（1）在点M 、N 、P 、Q 中，哪个点和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似？请说明理由；（2）设AB a =a ，BC b =，写出向量AD 关于a 、b 的分解式．25．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，已知ABC 中，//DE BC ，2AD =，4DB =，8AC =．（1）求线段AE 的长；（2）设BA a =，BC b =．①请直接写出向量AE 关于a 、b 的分解式，AE =________；②连接BE ，在图中作出向量BE 分别在a 、b 方向上的分向量．（可以不写作法，但必须写出结论）26．（2021·上海九年级专题练习）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a 、b 、c （如图），求作线段x ，使::a b c x =他的作法如下：（1）以点O 为端点画射线OM ，ON ．（2）在OM 上依次截取OA a =，AB b =．（3）在ON 上截取OC c =．（4）联结AC ，过点B 作//BD AC ，交ON 于点D ．所以：线段________就是所求的线段x ．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是________③如果4OA =，5AB =，AC π=，试用向量π表示向量DB ．27．（2020·上海九年级专题练习）如图，已知AD 是△ABC 的中线，G 是重心．（1）设AB ＝a ，BC ＝b ，用向量a 、b 表示BG ；（2）如果AB ＝3，AC ＝2，∠GAC ＝∠GCA ，求BG 的长．28．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在ABC 中，点G 是ABC 的重心，联结AG ，联结BG 并延长交边AC 于点D ，过点G 作//GE BC 交边AC 于点E ．（1）如果AB a =，AC b =，用a 、b 表示向量BG ；（2）当AG BD ⊥，6BG =，45GAD ∠=︒时，求AE 的长．29．（2019·湖北九年级一模）定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。
向量的线性运算
向量的线性运算线性运算是数学中的一个重要概念，它在许多不同领域中都有广泛的应用。
在线性代数中，线性运算指的是对向量进行加法、标量乘法和一些其他操作的过程。
这些操作可以用于解决很多实际问题，在计算机科学、物理学、工程学以及经济学等领域都有重要应用。
在线性代数中，一个向量通常可以表示为一个由多个数值组成的有序集合。
例如，一个二维向量可以表示为(x, y)，其中x和y分别表示向量在x和y轴上的分量。
对于一个n维向量，可以用类似的方式表示为(x1, x2, ..., xn)。
首先，让我们来看一下向量的加法。
向量的加法是指两个向量按照对应分量相加的操作。
例如，对于向量a=(2, 3)和向量b=(1, -1)，它们的和a+b=(2+1, 3+(-1))=(3, 2)。
向量的加法可以用于解决很多实际问题，如计算机图形学中的坐标变换、力学中的力合成等。
其次，我们来介绍一下向量的标量乘法。
向量的标量乘法是指一个向量与一个实数相乘的操作。
例如，对于向量a=(2, 3)和标量c=2，它们的标量乘积c*a=(2*2, 3*2)=(4, 6)。
向量的标量乘法可以用于调节向量大小、计算向量的线性组合等。
除了加法和标量乘法之外，还有一些其他的向量运算。
例如，向量的点积和向量的叉积是两个非常重要的运算。
向量的点积是指两个向量按照对应分量相乘再相加的操作。
例如，对于向量a=(2, 3)和向量b=(1, -1)，它们的点积a·b=2*1+3*(-1)=2-3=-1。
向量的点积可以用于计算向量的长度、计算向量之间的夹角等。
向量的叉积是指两个三维向量按照一定规则进行运算得到的新向量。
向量的叉积在物理学中常用于计算力学中的力矩、电磁学中的磁场等。
线性运算在许多实际问题中都有广泛的应用。
在计算机科学中，线性运算被广泛应用于计算机图形学中的坐标变换、计算机视觉中的特征提取等。
在物理学中，线性运算被广泛应用于力学中的力合成、电磁学中的电磁场计算等。
24.7(1)向量的线性运算
例题2：已知：两个不平行的向量 a 、 b
7 求作： a b a 2b 2
b
a
注：先化简，再画图
了解概念： 向量，c
一般来说，如果 a 、b
c xa yb
是两个不平行的 是平面内的一个向量，那么 其中x、y是实数
叫做 a 、 b 的线性组合
例题3： 如图，点M是△CAB的边AB的中点．设 CA a ，CB b ，试用 a 、b 的线性组合
表示向量 CM
C
A
M
B
24.7 向量的线性运算（1）
一、复习： 1、平面向量定理：
平行，那么 a 如果向量 b 与非零向量
存在唯一的实数k,使 b ka
如果存在唯一的实数 k, 使 b ka 反之：
那么 a 0 ， b∥a
2、向量加法的平行四边形法则（画图演示）
步骤：（1） 两个向量通过连接到一起 以连接后的这两个向量为 （2） 邻边向量构造平行四边形
这个平行四边形的对角线向 （3）量就是这两个向量的和向量 与差向量
3、向量加法和减法的三角形则
加法： 一终二起，一起二终 减法：共起点指向被减
例题1：已知两个不平行的向量 a
．
二、法则运用
、b
求作：3a 2b 、
b a
a 2b
向量的加法、向量的减法、实数 小结： 与向量的乘法以及它们的混合运 算叫做向量的线性运算
向量的线性运算及其性质
向量的线性运算及其性质向量是线性代数中的重要概念，是指由一组数按照一定规律排列而成的有序数列。
向量的线性运算是指在向量空间中，对两个或多个向量进行数学运算的过程，其中包括向量加法和数量乘法等两种基本运算。
一、向量加法向量加法是向量运算中最基本的一种运算方式。
在向量空间中，向量加法的定义是两个向量相同位置上的数值相加。
例如，对于向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)，它们的加法定义为：a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)在向量加法中，满足加法交换律和结合律。
即对于任意向量a,b,c，有：a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)此外，零向量也是一个特殊的向量，它的各个分量都为0，记为0。
对于任意向量a，都有：a+0=a二、数量乘法数量乘法是指一个向量乘以一个常数。
常数也称为标量，表示为k。
例如，对于向量a=(a1,a2,a3)，其数量乘法定义为：ka=(ka1,ka2,ka3)在数量乘法中，也满足交换律和结合律。
即对于任意向量a，b 和任意实数k，有：k(a+b)=ka+kb(k1k2)a=k1(k2a)此外，特别地，当k=0时，有：0a=0这个公式表示了任何向量与零向量相乘结果都是零向量。
三、线性组合如果给定一个向量集合，可以通过线性组合的方式来构造出一个新的向量。
线性组合的形式是将每个向量分别与对应的系数相乘后相加，例如：k1a1+k2a2+k3a3其中k1，k2，k3为实数，a1，a2，a3为向量。
线性组合可以看作是向量加法和数量乘法的叠加，它有着很多重要的性质。
线性组合是向量空间中的重要概念，它可以用于描述向量之间的关系。
四、向量空间向量空间是指一组向量所组成的空间，其中的向量可以进行向量加法和数量乘法等线性运算。
向量空间必须满足以下条件：1. 零向量存在并唯一。
2. 加法和数量乘法满足交换律、结合律和分配律。
3. 对于任意向量a，都有它的相反向量-b，使得a+b=0。
初中数学知识归纳向量的概念与向量的运算
初中数学知识归纳向量的概念与向量的运算初中数学知识归纳：向量的概念与向量的运算向量是数学中重要的概念之一，它在几何、物理和计算机科学等领域发挥着重要的作用。
了解向量的概念及其运算规则对于初中数学学习来说至关重要。
本文将对初中数学中的向量概念和向量的运算进行归纳总结。
一、向量的概念向量是有大小和方向的量，常用有向线段表示。
向量通常用大写字母表示，如A、B。
向量的大小称为向量的模，用|AB|表示。
向量的方向可以用箭头表示，指向向量的方向。
一个向量可以由起点和终点表示，如向量AB。
向量的起点称为原点，向量的终点称为终点。
二、向量的运算1. 向量的相加向量的相加是指两个向量相互叠加的运算。
设有向量AB和向量CD，则向量AB+CD的结果是从向量A的起点到向量D的终点所得的新向量。
2. 向量的相减向量的相减是指两个向量相互抵消的运算。
设有向量AB和向量CD，向量AB-CD的结果是从向量A的起点向向量D的相反方向延长所得的新向量。
3. 数乘数乘是指将一个向量与一个实数相乘的运算。
设有向量AB和实数k，则k*AB的结果是长度为k倍的向量，其方向与向量AB相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。
4. 向量的数量积向量的数量积也称为向量的点乘，记作AB·CD。
向量的数量积满足以下运算规则：- AB·CD = |AB| |CD| cosθ，其中θ为向量AB和向量CD之间的夹角。
- 如果两个向量的数量积为0，即AB·CD=0，则向量AB与向量CD垂直。
5. 向量的向量积向量的向量积也称为向量的叉乘，记作AB×CD。
向量的向量积满足以下运算规则：- |AB×CD| = |AB| |CD| sinθ，其中θ为向量AB和向量CD之间的夹角。
- 向量AB与向量CD的向量积垂直于向量AB和向量CD所在的平面，并且其方向满足右手定则。
三、向量的应用向量的概念与运算在几何、物理和计算机科学等领域有着广泛的应用。
沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》(第2课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.7《向量的线性运算》（第2课时）教学设计一. 教材分析《向量的线性运算》（第2课时）是沪教版数学九年级上册24.7节的内容，本节课的主要内容是向量的加法、减法和数乘运算。
这部分内容是向量学习的重点和难点，也是学生进一步学习几何、代数等数学分支的基础。
教材通过实例和练习引导学生理解和掌握向量线性运算的定义和性质，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的代数和几何知识，对数学概念和运算有一定的理解。
但是，向量的概念和运算相对抽象，需要学生具有较强的空间想象能力和逻辑思维能力。
此外，由于向量是初高中数学的衔接内容，学生需要在学习过程中建立良好的学习习惯和方法，为高中数学学习打下基础。
三. 教学目标1.理解向量的加法、减法和数乘运算的定义和性质。
2.掌握向量线性运算的基本方法，能够熟练进行向量的加法、减法和数乘运算。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，提高运算能力。
4.通过对向量线性运算的学习，激发学生对数学的兴趣和好奇心。
四. 教学重难点1.向量的加法、减法和数乘运算的定义和性质。
2.向量线性运算的实质和运算规律。
3.学生对向量线性运算的理解和应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过设置问题和实例，引导学生理解和掌握向量线性运算的概念和性质。
2.利用多媒体课件和实物模型，帮助学生建立空间想象，直观理解向量线性运算。
3.采用分组讨论和合作学习的方式，让学生在讨论中思考和解决问题，培养学生的团队协作能力。
4.通过练习和总结，巩固学生对向量线性运算的理解和应用。
六. 教学准备1.多媒体课件和教学素材。
2.向量模型和实物模型。
3.练习题和测试题。
4.黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习前置知识，如初中阶段的代数和几何知识，引导学生进入学习状态。
利用实例引入向量的概念，引导学生回顾向量的定义和性质。
2.呈现（10分钟）利用多媒体课件和实物模型，呈现向量的加法、减法和数乘运算的定义和性质。
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24.6-24.7
平面向量的线性运算
【学习目标】
1.理解实数与向量相乘的意义.
2.知道实数与向量相乘的运算律.
3.在从数的运算到向量的运算的认识过程中体会类比的思想.
4.对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量
. 5.知道平行向量，会用向量关系式表示两个向量的平行关系.
6.在实数与向量相乘和平行向量定理的学习与应用中体会代数与几何的联系.
【主要概念】
1、向量的加法法则：一般的，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量为起点，最后一个向量的终点为终点的向量。
这就是向量加法的多边形法则.
2、实数与向量相乘的运算：设
n 为正整数，a 为向量，我们用a n 表示n 个a 相加；用
a n 表示n 个a 相加．又当m 为正整数时，a m n 表示与a 同向且长度为a m n
的向量.
3、a k 与a 的关系：k>0时，a k 与a 的方向相同，且大小是︱a ︱的 k 倍，K<0时，a k 与a 的方向相反，且大小是︱a ︱的︱ k ︱倍，K=0时a k =0. a k ／／a
4、实数与向量相乘的运算律：
设m ，n 为实数，a r 、b r 是向量，则
（1）a mn a n m )()
(；（2）a m a m a
n m )(；（3）b n a m b a m )(．
【典型例题】
【例1】已知非零向量a ，求作
,3,3,25
a a a 并指出他们的长度和方向. 解：在平面内任取一点O ，作A O =a 。
在射线OA 上，取OB= 25OA,则B O =2
5a
在射线OA 的反向延长线上，取OC=OA 3.则C O =-3a 。
【例2】已知平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 、分别是各边的中点EG 与FH 相交于点O.设b BA a AD
,请用向量a r 或b r 表示向量OF OE,，并写出图中与向量OE
相等的量. 【例3】已知点D 、E 分别在
ABC 的边AB 与AC 上DE ∥BC ，3AD=4DB ，试用向量
BC 表示向量DE 。
解：
DE ∥BC AB AD BC DE
A B
C
D
E H G
A O A
B E C
D。