空间向量及其线性运算 课件
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【课件】空间向量及其线性运算+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
使 OE OF OG OH k. OA OB OC OD
D
C
A
B
H
G
求证：E, F,G, H四点共面.
E
F
法三： 四边形ABCD是平行四边形，
AD BC， OE OF OG OH k.
OA OB OC OD
EH OH OE,
kOD OA
kAD 同理可得，FG kBC
简结果.
D
F
B
E
C
4.如图，已知正方体 ABCD ABCD, E, F分别是上底面 AC
和侧面CD中心.求下列各式中 x, y的值.
(1)AC xAB BC CC
B'
A'
D'
E
C'
(2)AE AA xAB yAD
Байду номын сангаас
F
(3)AF AD xAB yAA
A
D
B
C
课堂小结：
1.空间向量及其相关概念. 2.空间向量的线性运算. 3.空间向量的线性运算的运算律. 4.空间向量共线的充要条件. 5.空间向量共面的充要条件.
OH kOD, 四边形ABCD平行四边形
AC AB AD
EG OG OE kOC kOA kAC
kAB AD kOB OA OD OA
EG, EF, EH共面 E, F,G, H四点共面.
kOB kOA kOD kOA OF OE OH OE EF EH
如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC
性不一定成立.
(4)此定理可以用来证明两 直线平行或三点共线 .
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，
则对于直线 l上任意一点 P,
D
C
A
B
H
G
求证：E, F,G, H四点共面.
E
F
法三： 四边形ABCD是平行四边形，
AD BC， OE OF OG OH k.
OA OB OC OD
EH OH OE,
kOD OA
kAD 同理可得，FG kBC
简结果.
D
F
B
E
C
4.如图，已知正方体 ABCD ABCD, E, F分别是上底面 AC
和侧面CD中心.求下列各式中 x, y的值.
(1)AC xAB BC CC
B'
A'
D'
E
C'
(2)AE AA xAB yAD
Байду номын сангаас
F
(3)AF AD xAB yAA
A
D
B
C
课堂小结：
1.空间向量及其相关概念. 2.空间向量的线性运算. 3.空间向量的线性运算的运算律. 4.空间向量共线的充要条件. 5.空间向量共面的充要条件.
OH kOD, 四边形ABCD平行四边形
AC AB AD
EG OG OE kOC kOA kAC
kAB AD kOB OA OD OA
EG, EF, EH共面 E, F,G, H四点共面.
kOB kOA kOD kOA OF OE OH OE EF EH
如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC
性不一定成立.
(4)此定理可以用来证明两 直线平行或三点共线 .
如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，
则对于直线 l上任意一点 P,
111空间向量及其线性运算课件-2023高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
(2)结合律：(a b) c a (b c)，(a) ()a (3)分配律：( )a a a ，(a b) a b
如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，分别标出 AB AD AA' , AB AA' AD 表示的向量. 从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律 吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
C
Pα
所以 AP AB AC ，
A
B
即 OP OA (OB OA) (OC OA) ，
化简得 OP (1 )OA OB OC ，
O
所以有 OP xOA yOB zOC (x y z 1) .
1.判断下列命题的真假． (1)空间向量就是空间中的一条有向线段； (2)不相等的两个空间向量的模必不相等； (3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； (4)向量 AB 与向量B A 的长度相等．
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
1.了解空间向量的概念. 2.掌握空间向量的加减运算、数乘运算. （重点） 3.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点)
平面向量
1.定义：既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：用有向线段表示.
字母表示法：用字母 a ，b 等或者用有向线段的起点与终点字母 AB 表示.
任意一点P，由数乘的定义及向量共线的充要条件可知，
存在实数 λ，使得 OP a . 我们把与向量 a 平行的
非零向量称为直线l 的方向向量.
这样，直线l 上任意一点都可以由直线l 上的
a
l P
一点和它的方向向量表示，也就是说，直线 可以由其上一点和它的方向向量确定.
如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，分别标出 AB AD AA' , AB AA' AD 表示的向量. 从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律 吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
C
Pα
所以 AP AB AC ，
A
B
即 OP OA (OB OA) (OC OA) ，
化简得 OP (1 )OA OB OC ，
O
所以有 OP xOA yOB zOC (x y z 1) .
1.判断下列命题的真假． (1)空间向量就是空间中的一条有向线段； (2)不相等的两个空间向量的模必不相等； (3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； (4)向量 AB 与向量B A 的长度相等．
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
1.了解空间向量的概念. 2.掌握空间向量的加减运算、数乘运算. （重点） 3.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点)
平面向量
1.定义：既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：用有向线段表示.
字母表示法：用字母 a ，b 等或者用有向线段的起点与终点字母 AB 表示.
任意一点P，由数乘的定义及向量共线的充要条件可知，
存在实数 λ，使得 OP a . 我们把与向量 a 平行的
非零向量称为直线l 的方向向量.
这样，直线l 上任意一点都可以由直线l 上的
a
l P
一点和它的方向向量表示，也就是说，直线 可以由其上一点和它的方向向量确定.
第1章 1.1 1.1.1 空间向量及其线性运算课件(共71张PPT)
·
情
课
景
堂
导
小
学
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点
结
·
探
提
新 知
(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．
素 养
合
(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．
作
课
探 究
①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向
时 分
层
释 疑
量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
作 业
难
返 首 页
·
结 提
新
素
知
(2)若空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，满足O→P＝13O→A 养
合
作
课
探 究
＋13O→B＋13O→C，则点 P 与点 A，B，C 是否共面？
时 分 层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
17
·
情 景
[提示]
(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成
课 堂
导
小
学 为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．
课 时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
12
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探
思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？
·
提
新
素
知
养
[提示] 没有关系．
合
作
课
探
时
究
分
层
释
空间向量及其线性运算(课件)(人教A版2019选修一)高二数学同步精品
自主学习
三．空间向量的线性运算
空 加法 间
三角形法则:a＋b＝O→A ＋A→B ＝ O→B 平行四边形法则:a＋b＝O→A ＋O→C ＝ O→B
向 量
减法
a－b＝O→A －O→C ＝C→A
的 线
当 λ>0 时，λa（λa 的长度为 a 的|λ|a 倍）＝λO→A
性 运 算
数乘 运算
＝P→Q （与 a 同向）
当堂达标
2.向量 a，b 互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( ) A．a＝b B．a＋b 为实数 0 C．a 与 b 方向相同 D．|a|＝3
D 解析：向量 a，b 互为相反向量，则 a，b 模相等、方向相反，故选 D.
当堂达标
3.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A→1E＝14A→1C1，若A→E＝xA→A1＋y(A→B＋A→D)，则(
自主学习
六.共面向量 定义：平行于___同__一__个__平__面_____的向量叫做共面向量.
1.证明空间三个向量共面，常用如下方法： (1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合， 即若 a＝xb＋yc，则向量 a，b，c 共面； (2)寻找平面 α，证明这些向量与平面 α 平行.
)
A．x＝1，y＝12
B．x＝12，y＝1
C．x＝1，y＝13
D．x＝1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy＝14
D 解析：A→E＝A→A1＋A→1E＝A→A1＋14A→1C1＝A→A1＋14(A→B＋A→D)．所以 x＝1，y＝14．
当堂达标
4.如图，在长方体 ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1， 则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： ①单位向量共有多少个？ ②试写出模为 5的所有向量． ③试写出与向量A→B相等的所有向量． ④试写出向量-A-→A′的所有相反向量．
数学人教A版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算课件
空间一点 P 位于平面 MAB内
推论1：空间四点 P、M、A、B 共面
引入空间任一点 O ,
存在唯一有序实数对( x , y ) 使 MP x MA y MB
MP OP OM ,
B
可变式为 OP OM x MA y MB.
α
P
M
A
O
又
MA OA OM , MB OB OM
探究思考 1：空间向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？
[提示] 没有关系．
3.知识拓展
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
An 1
A1
A1 A2 A2 A3 A3 A4
An
A2
+ An 1 An A1 An
A4
A3
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即 ：
G
F
OF OE OH OE
EF EH
由向量共面的充要条件可知，EH , EF , EG 共面,又
点E ,从而
四点共面.
EH , EF , EG过同一
六.课堂小结
平面向量
类比
空间向量
1.空间向量的概念.
2.空）的概念及空间向量
存在唯一的有序实数对 ( x , y , z ) 使
OP xOA yOB zOM 其中 (x y z 1) .
四.课堂练习
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间向量 a，b，c，若 a∥b，b∥c，则 a∥c．
(
)
(2)相等向量一定是共线向量．
(
)
(3)三个空间向量一定是共面向量．
人教版高中数学选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算第一课时【课件】
= + +
= +
( + = )
= + +
( + + = )
小结
1、空间向量的定义及表示方法
2、特殊的向量
3、向量的加减法
4、向量的数乘运算
5、共线向量与共面向量
规定：零向量与任意向量平行
练习
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向
量的模就越大．( √
)
(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不
是共面向量．( × )
(3)零向量是长度为 0，没有方向的向量．( × )
果的向量.(如图)
D1
() +
() + +
() ( + + )
() + +
C1
A1
B1
M
G
D
A
解：(1) + ＝
(2) + + 1 = + 1 = + 1 = 1
1
1
(3) ( + + 1 ) = =
3
3
1
(4) + + 1 ＝.
2
C
B
12. 向量共线定理
՜ ՜ ՜ ՜ ՜
՜
对任意两个空间向量 ， ( ≠ ), //
՜
՜
⇔ 存在实数，使 = 。
12. 方向向量
1.1.1空间向量及其线性运算 课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有 大小 和 方向
的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的 大小 ．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用 有向线段 表示；
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A，
→
→
终点是 B，也可记作：_____，其模记为____或____．
|a|
随堂练习
1.下列说法正确的是(
)
A.任意两个空间向量都可以比较大小
B.由于0方向不定,故0不能与任何向量平行
C.若|a|=|b|,则a与b共线
D.空间向量的模可以比较大小
解析:任意两个空间向量都不能比较大小,故A错误;规定0的方向是任意的,
它与任意向量平行,故B错误;仅知两向量的模相等,无法判断两向量是否共
向量 a 方向 相反；当 λ＝0 时，λa＝ 0；λa 的长度是 a 的长度的 |λ| 倍．
空间向量线性运算的运算律(其中λ，μ∈R)
b＋a
①交换律：a＋b＝_______；
a＋(b＋c)
(λμ)a
②结合律：(a＋b)＋c＝______________，λ(μa)＝_______；
③分配律：(λ＋μ)a＝__________，λ(a＋b)＝__________.
所以 + 1 =
1
2
1
1
3
1
3
2
2
2
2
2
+ + + + = a+ b+ c.
反思感悟 用已知向量表示未知向量,是向量线性运算的基础类型,解决
这类问题,要注意两个方面:
(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律.
(1)定义：在空间，具有 大小 和 方向
的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的 大小 ．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用 有向线段 表示；
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A，
→
→
终点是 B，也可记作：_____，其模记为____或____．
|a|
随堂练习
1.下列说法正确的是(
)
A.任意两个空间向量都可以比较大小
B.由于0方向不定,故0不能与任何向量平行
C.若|a|=|b|,则a与b共线
D.空间向量的模可以比较大小
解析:任意两个空间向量都不能比较大小,故A错误;规定0的方向是任意的,
它与任意向量平行,故B错误;仅知两向量的模相等,无法判断两向量是否共
向量 a 方向 相反；当 λ＝0 时，λa＝ 0；λa 的长度是 a 的长度的 |λ| 倍．
空间向量线性运算的运算律(其中λ，μ∈R)
b＋a
①交换律：a＋b＝_______；
a＋(b＋c)
(λμ)a
②结合律：(a＋b)＋c＝______________，λ(μa)＝_______；
③分配律：(λ＋μ)a＝__________，λ(a＋b)＝__________.
所以 + 1 =
1
2
1
1
3
1
3
2
2
2
2
2
+ + + + = a+ b+ c.
反思感悟 用已知向量表示未知向量,是向量线性运算的基础类型,解决
这类问题,要注意两个方面:
(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律.
1.1.1 空间向量及其线性运算(课件)(人教A版2019选修一)优秀公开课获奖课件高二数学同步备课
题型二 求夹角和模 例 1 (1)如图，已知空间四边形 OABC 的各边及对角线 AC， OB 的长都相等．E，F 分别为 AB，OC 的中点，求异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值．
解析：(1)如图所示，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，且|a|＝|b|＝ |c|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝π3， 所以a·b＝b·c＝c·a＝12. 因为O→E＝12(a＋b)，B→F＝12c－b， 所以O→E·B→F＝12(a＋b)·(12c－b)＝14a·c＋14b·c－12a·b－12(b)2＝－12.
1.1.2 空间向量的数量积运算
[教材要点] 要点一 空间向量的夹角 1．夹角的定义
已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝ b，则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作_〈__a_，__b_〉_．
2．夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．( × ) (2)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.( × ) (3)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条 件．( × ) (4)在△ABC中，〈A→B，C→B〉＝∠B.( × )
题型一 空间向量的数量积运算
1．已知 a＝3p－2q，b＝p＋q，p 和 q 是相互垂直的单位向量， 则 a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由题意知，p·q＝0，p2＝q2＝1， 所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1. 答案：A
2．如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是 AB，AD的中点，求值：
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的充要条件是: 存在实数 l ,使得 b = l a
△ABC 的重心,求证:
1
PG = (PA + PB + PC)
3
P
C
A
G
D
B
小结: 1. 空间向量有关概念. 2. 空间向量的线性运算:加法,减法,数乘. 关键:转化在同一平面内进行运算. 加法和数乘运算满足的运算律:
3. 空间向量共线的充要条件:
对于空间任意两个向量a,b (a 1 0) , a,b共线
规定:零向量与任一向量共线.
对于空间任意两个向量a,b (a 1 0) , a,b共线
的充要条件是: 存在实数 l ,使得 b = l a
例题:
1. 如图,在三棱柱ABC-A 1B1C1中,M是BB 1的 中点,化简下列各式.
(1)CB + BA1 = CA1 1
(2) AC + CB + 2 AA1 1
AB + AA1 + AD ?
D1
A1
C1 B1
D A
C B
学习新知: 1.空间向量;空间向量的表示:
(1)在空间中,把像位移、力、速度、加速度这 样既有大小又有方向的量，叫做空间向量。
(2)空间向量和平面向量一样,空间向量也用有 向线段表示.
凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示 同一向量或相等向量.
2.对于任意两个空间向量 a , b ,在空间任取
一点O,作 OA = a, AB = b
空间任意两个向量,都可以用某一平面内的两条
有向线段表示.
空间向量 T 平面向量
a
b
a + b = OAA+ BO= B
B
BA = OA- OB
aP O
A
OP = l a
与平面向量一样,空间向量的加法,减法,数乘 运算的意义与平面向量运算的意义相同.
3. 空间向量的加法和数乘运算满足运算律:
(1)a + b = b + a
(2)(a + b) + c = a + (b + c)
(3)l (a +=b) l a + l b
O
a
A
b
C
Bc
4.如果表示空间向量的有向线段所在的直线 互相平行或重合,则这些向量称为平行向量或 共线向量.
记作: a b
交于点O,设 OA = a,OB = b D
C
(1) AD = _______
AB = _______
O
A
B
(2) AB - AC + BC = ______
3.化简:
1 (ab+ 2 - 3c)5+ ( 21ab-
2
32
+ 2 c) - 3(a - 2b + c) 3
4.如图:在长方体ABCD-A1B1C1D1中.怎样求
= AB + BM 2
= AM
A1 A
(3) AA1 - AC - CB = CA1 - CB = BA1
B1
C1 M
B C
练习:
1. 如图,在空间四边形ABCD 中,E是AB 中 点,CF=2DF,化简下列各式:
(1) ACC+ BB+ D (2) AFB- FA- C
D F
(3) 1 AB + BC + 2 CD
2
3
A E B
C
例题: 2. 如图,在长方体OADB-CA 1D1B1中,OA=3,
OB=4,OC=2,OI=OJ=OK=1, 点E,F分别是DB,
D1B1的中点,设 OI = i,OJ = j,OK = k ,试用
i, j, k 表示下列向量. C
B1
(1)OE
(2)OF
(3)AF
A1
K
O IJ
A
D1 F
B E D
练习:
2. 如图,在正方体ABCD-A 1B1C1D1中, 点E,F分
别是上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心,
求下列各题中m,n,p 的值.
A1
D1
(1) AE = m AB + n AD + p AA1
E
(2) AF = m AB + n AD + p AA1 B1
空间向量及其线性运算
复习: 1.如图:六边形ABCDEF 是圆O的内接正六边 形.
(1)在图中标记的向量中,和 DC相等的向量有 哪些? 和 DC 互为相反的向量有哪些?
(2)在图中标记的向量
B
C
中,和 DC 共线向量有
哪些?
A
O
D
(3)怎样用向量 CF 来
表示向量 BA, ED ?
F
E
2.如图:在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD
C1 F
(3)EF = m AB + n AD + p AA1 A
D
B
C
练习: 3. 已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是平行四 边形,E为PC中点, AB = a, AD = b, AP = c ,试用
a, b, c 表示 CE.
P
D A 已知P是△ABC 所在平面外一点,G是
△ABC 的重心,求证:
1
PG = (PA + PB + PC)
3
P
C
A
G
D
B
小结: 1. 空间向量有关概念. 2. 空间向量的线性运算:加法,减法,数乘. 关键:转化在同一平面内进行运算. 加法和数乘运算满足的运算律:
3. 空间向量共线的充要条件:
对于空间任意两个向量a,b (a 1 0) , a,b共线
规定:零向量与任一向量共线.
对于空间任意两个向量a,b (a 1 0) , a,b共线
的充要条件是: 存在实数 l ,使得 b = l a
例题:
1. 如图,在三棱柱ABC-A 1B1C1中,M是BB 1的 中点,化简下列各式.
(1)CB + BA1 = CA1 1
(2) AC + CB + 2 AA1 1
AB + AA1 + AD ?
D1
A1
C1 B1
D A
C B
学习新知: 1.空间向量;空间向量的表示:
(1)在空间中,把像位移、力、速度、加速度这 样既有大小又有方向的量，叫做空间向量。
(2)空间向量和平面向量一样,空间向量也用有 向线段表示.
凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示 同一向量或相等向量.
2.对于任意两个空间向量 a , b ,在空间任取
一点O,作 OA = a, AB = b
空间任意两个向量,都可以用某一平面内的两条
有向线段表示.
空间向量 T 平面向量
a
b
a + b = OAA+ BO= B
B
BA = OA- OB
aP O
A
OP = l a
与平面向量一样,空间向量的加法,减法,数乘 运算的意义与平面向量运算的意义相同.
3. 空间向量的加法和数乘运算满足运算律:
(1)a + b = b + a
(2)(a + b) + c = a + (b + c)
(3)l (a +=b) l a + l b
O
a
A
b
C
Bc
4.如果表示空间向量的有向线段所在的直线 互相平行或重合,则这些向量称为平行向量或 共线向量.
记作: a b
交于点O,设 OA = a,OB = b D
C
(1) AD = _______
AB = _______
O
A
B
(2) AB - AC + BC = ______
3.化简:
1 (ab+ 2 - 3c)5+ ( 21ab-
2
32
+ 2 c) - 3(a - 2b + c) 3
4.如图:在长方体ABCD-A1B1C1D1中.怎样求
= AB + BM 2
= AM
A1 A
(3) AA1 - AC - CB = CA1 - CB = BA1
B1
C1 M
B C
练习:
1. 如图,在空间四边形ABCD 中,E是AB 中 点,CF=2DF,化简下列各式:
(1) ACC+ BB+ D (2) AFB- FA- C
D F
(3) 1 AB + BC + 2 CD
2
3
A E B
C
例题: 2. 如图,在长方体OADB-CA 1D1B1中,OA=3,
OB=4,OC=2,OI=OJ=OK=1, 点E,F分别是DB,
D1B1的中点,设 OI = i,OJ = j,OK = k ,试用
i, j, k 表示下列向量. C
B1
(1)OE
(2)OF
(3)AF
A1
K
O IJ
A
D1 F
B E D
练习:
2. 如图,在正方体ABCD-A 1B1C1D1中, 点E,F分
别是上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心,
求下列各题中m,n,p 的值.
A1
D1
(1) AE = m AB + n AD + p AA1
E
(2) AF = m AB + n AD + p AA1 B1
空间向量及其线性运算
复习: 1.如图:六边形ABCDEF 是圆O的内接正六边 形.
(1)在图中标记的向量中,和 DC相等的向量有 哪些? 和 DC 互为相反的向量有哪些?
(2)在图中标记的向量
B
C
中,和 DC 共线向量有
哪些?
A
O
D
(3)怎样用向量 CF 来
表示向量 BA, ED ?
F
E
2.如图:在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD
C1 F
(3)EF = m AB + n AD + p AA1 A
D
B
C
练习: 3. 已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是平行四 边形,E为PC中点, AB = a, AD = b, AP = c ,试用
a, b, c 表示 CE.
P
D A 已知P是△ABC 所在平面外一点,G是