天津市南开区南大奥宇培训学校2018-2019学年高二上学期开学考试数学试题Word版含答案
天津市南开区南大奥宇培训学校2018-2019学年高二上学期第一次月考数学试题
2019届南大奥宇培训学校高二年级第一次月考数学学科试卷温馨提示，本试卷分为Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷30分，Ⅱ卷70分。
请在规定的时间内将Ⅰ卷和Ⅱ卷的答案填写在答题卡上，写在试卷上的答案无效。
本场考试时间时间为100分钟，满分100分。
祝同学们考试顺利。
第I 卷选择题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.在等差数列{a n }中，若a 2=4，a 4=2，则a 6=（）A.-1B.0C.1D.62.已知数列{a n }，a 1=1，，则a 10的值为（）A.5B.C.D.3.在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=26，则该数列前11项和S 11=（）A.58B.88C.143D.1764.已知等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 5=（）A.1B.C.D.45.正项等比数列{a n }中，a 3=2，a 4•a 6=64，则的值是（）A.4B.8C.16D.646.已知数列{a n }满足a 2=2，2a n +1=a n ，则数列{a n }的前6项和S 6等于（）A.B.C. D.7.若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，=（）A.3B.7C.10D.158.已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则=（）A.-B.C.±D.9.已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则的值为（）A.2B.3C.-2D.-310.已知数列，满足，，，则数列的前10项的和为A.B.C.D.第II 卷非选择题二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.已知数列{a n }的前四项为，则数列{a n }的通项公式为______．12.在1和81之间插入3个实数，使它们与这两个数组成等差数列，则这个等差数列的公差是______．13.设{a n }是等差数列，若a 4+a 5+a 6=21，则S 9=______．14.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3=4，S 9-S 6=27，则S 10=______．15.设等比数列{a n }的首项a 1=1，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列，则数列{a n }的前10项和S 10=______．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）16.（本小题满分8分）（1）在等差数列{a n }中，已知d =2，n =15，a n =-10，求a 1及S n ；（2）在等比数列{a n }中，已知a 2+a 3=6，a 3+a 4=12，求q 及S 10．。
天津市南开区南大奥宇培训学校2020-2021学年高二上学期开学摸底考试数学试题
天津市南开区南大奥宇培训学校2020-2021学年高二上学期开学摸底考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|0}A x x =≥，2{}01B =，，，则（ ） A ．A B B ．B A C ．A B B ⋃= D ．A B =∅2．下列各组函数是同一函数的是（ ） A ．x y x=与1y =B ．2x y x=与y x =C ．321x x y x +=+与y x= D ．()21y x -1y x =-3．命题“2000x R x ∃∈≤，”的否定是（ ） A ．2000x R x ∃∈>， B ．2000x R x ∃∈≥， C ．2000x R x ∀∈≤， D ．2000x R x ∀∈>， 4．若a ∈R ，则“a=1”是“|a|=1”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（ ） A ．2πB ．8πC ．12πD ．16π6．已知()()1,1,,22A B -，O 是坐标原点，则AB OA +=（ ） A ．()1,3-B ．()3,1-C ．()1,1-D ．()2,2-7．已知向量,a b 满足2=a ，1=b ，2a b ⋅=，则向量,a b 的夹角为（ ） A ．34πB ．23π C ．4π D ．4π-8．已知函数()()2log ,03,0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，则()10f -的值是（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．2-9．已知函数()f x 是定义在R 上偶函数，且在()0∞-，内是减函数，若()20f =，则满足()20f x +<的实数x 的取值范围为（ ）A ．()40-，B ．()20-，C ．()()40∞∞--⋃+，， D ．()()202∞-⋃+，，二、填空题10．已知向量()3,1a =-，(),2b a x -=，且a b ⊥，则x =_________． 11．已知集合{}1,3,21A m =--，集合{}23,B m=，若B A ⊆，则实数m =_____________.12．若()()()1,2,4,8,5,A B C x --,且A B C 、、三点共线,则x ＝______ 13．函数y=lg （x 2﹣3x+2）的定义域为________．14．已知()3()21f x f x x +-=+，则()f x 的解析式是________． 15．设a 、b 为单位向量，且22a b -=，则2a b +=____________.三、解答题16．设{}|66A x Z x =∈-≤≤，{}1,2,3B =，{}3,4,5,6C =，求： （1）()A BC ；（2）()()AABC ．17．已知向量(),3a λ=，()2,4b =-. （1）若()2a b b +⊥，求λ；（2）若4λ=，求向量a 在b 方向上的投影cos a θ（其中θ是a 与b 的夹角） 18．已知1,2a b ==，a 与b 的夹角为θ. （1）若//a b ，求a b ⋅； （2）若a b -与a 垂直，求θ.19．已知函数()log (01)a f x x a a =>≠，． （1）若()122f =，求实数a 的值； （2）若120x x <<，且()()12f x f x =，求12x x 的值；（3）若函数()f x 在132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的最大值与最小值之和为2，求实数a 的值．参考答案1．B 【分析】根据子集的定义，集合交集和并集的概念判断． 【详解】显然0,1,2都属于集合A ，因此B A ，而,A B A A B B ==，C 、D 均错． 故选：B ． 【点睛】本题考查集合的关系，掌握子集的概念是解题关键．还考查了交集与并集运算，属于基础题． 2．C 【分析】根据两函数的定义域和对应法则，结合同一函数的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A 中，函数x y x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，函数1y =的定义域为R ，两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数；对于B 中，函数2x y x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，函数y x =的定义域为R ，两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数；对于C 中，函数3222(1)11x x x x y x x x ++===++与y x =的定义域都是R ，且对应法则相同，所以两函数是同一函数； 对于D 中，函数()211y x x =-=-与1y x =-，两函数的对应法则不同，所以两函数不是同一函数. 故选：C. 3．D 【分析】根据全称命题的否定书写规则得出结论 【详解】根据全称命题的否定书写规则，条件中∃改写为∀，结论取反 所以本题中选项D 正确，选项ABC 错误. 故选：D.4．A 【详解】试题分析：先判断“a=1”⇒“|a|=1”的真假，再判断“|a|=1”时，“a=1”的真假，进而结合充要条件的定义即可得到答案． 解：当“a=1”时，“|a|=1”成立 即“a=1”⇒“|a|=1”为真命题 但“|a|=1”时，“a=1”不一定成立 即“|a|=1”时，“a=1”为假命题 故“a=1”是“|a|=1”的充分不必要条件 故选A点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“a=1”⇒“|a|=1”与“|a|=1”时，“a=1”的真假，是解答本题的关键． 5．B 【分析】本题可根据圆柱的侧面积公式得出结果. 【详解】因为圆柱的底面半径和高都是2， 所以圆柱的侧面积2228S ππ=⨯⨯⨯=， 故选：B. 【点睛】本题考查圆柱的侧面积的计算，若圆柱的底面半径为r ，高为h ，则侧面积2S rh π=，考查计算能力，是简单题. 6．D 【分析】根据向量线性运算可得+=AB OA OB ，由坐标可得结果. 【详解】()2,2+=+==-AB OA OA AB OB故选：D 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题. 7．C 【分析】根据平面向量的夹角公式计算即可得到结果. 【详解】设向量,a b 的夹角为θ，则[]0,θπ∈，由2=a ，1=b ，2a b ⋅=得：2cos 2a b a b θ⋅===⨯⨯ ∴向量,a b 的夹角为4πθ=.故选：C. 【点睛】本题考查利用平面向量数量积和模长求解向量夹角的问题，属于基础题. 8．A 【分析】根据自变量满足的范围代入对应表达式求解即可. 【详解】()()()()()2107412log 21f f f f f -=-=-=-===.故选：A 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值.属于基础题型. 9．A 【分析】根据题意，分析可得()f x 在()0+∞，上为增函数，根据函数的单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式22x +<，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数()f x 是定义在R 上偶函数，且在(),0-∞内是减函数，则()f x 在()0,∞+上为增函数，又()20f =，所以()()()202222f x f x f x +<⇒+<⇒+<，解得：40x -<<，即x 的取值范围为()40-，； 故选：A ． 10．83-【分析】先计算出b ，再由0a b ⋅=得出x 的值. 【详解】(,2)(3,1)(3,1)b b a a x x =-+=+-=+3(3)1(1)0a b x ⋅=++⨯-=，解得83x =-故答案为：83-【点睛】本题主要考查了由向量垂直的坐标表示计算参数的值，属于基础题. 11．1 【分析】根据题意，若B A ⊆，必有221m m =-，解之可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证． 【详解】解：由B A ⊆，21m ≠-， ∴221m m =-．解得1m =， 验证可得符合集合元素的互异性， 故答案为：1． 【点睛】本题考查元素的互异性以及集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题． 12．10 【分析】先由,,A B C 三点坐标，写出向量AB 与AC 的坐标，再由向量共线即可得出结果. 【详解】因为()()()1,2,4,8,5,A B C x --，所以()5,10AB =，()62AC x ，=+， 又A B C 、、三点共线，所以AB 与AC 共线，因此()52600x +-=，解得10x =. 故答案为10 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记共线向量定理和坐标运算即可，属于基础题型. 13．（﹣∞，1）∪（2，+∞） 【详解】试题分析：要使函数有意义，需满足2320,1x x x -+>∴<或2x >， 定义域为（﹣∞，1）∪（2，+∞） 考点：函数定义域 14．()14f x x =-+. 【分析】将等式()3()21f x f x x +-=+中的x 换为x -，建立二元一次方程组求解即可得出()f x 的解析式. 【详解】将等式()3()21f x f x x +-=+中的x 换为x -得到：()3()21f x f x x -+=-+故有()3()21()3()21f x f x x f x f x x +-=+⎧⎨-+=-+⎩解得：()14f x x =-+故答案为：()14f x x =-+ 【点睛】本题主要考查了求抽象函数的解析式，属于基础题.15【分析】本题首先可以根据a 、b 为单位向量得出1a b ==，然后根据22a b -=得出41a b ⋅=，最后通过计算22a b +的值即可得出结果. 【详解】因为a 、b 为单位向量，所以1a b ==，因为22a b -=，所以2222+44544a b a b a b a b -=-⋅=-⋅=，41a b ⋅=，则2222+44516a b a b a b +=+⋅=+=，26a b +=，【点睛】本题考查单位向量的相关性质以及向量的模的相关计算，若向量为单位向量，则向量的模长为1，考查计算能力，是简单题. 16．（1）(){}6543,2,1,0,1,2,3,4,5,6A B C =------，，，；（2）()(){}6,5,4,3,2,1,0A ABC =------．【分析】 先求出集合A ，（1）利用交并集的定义直接求解， （2）求出B C ⋃，再求出()AB C ，然后求与集合A 的交集【详解】解：由题意可知}{6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------．（1）因为{}1,2,3B =，{}3,4,5,6C =，所以{}3B C ⋂=，所以(){}6543,2,1,0,1,2,3,4,5,6AB C =------，，，．（2）因为{}1,2,3B =，{}3,4,5,6C =，所以{}1,2,3,4,5,6B C ⋃=，所以(){}6,5,4,3,2,1,0ABC =------．所以()(){}6,5,4,3,2,1,0AABC =------．17．（1）11λ=；（2. 【详解】试题分析：（1）利于垂直数量积为0求解即可； （2）利用向量数量积的几何一意义求解即可. 试题解析：（1）∵(),3a λ=，()2,4b =-，∴()222,10a b λ+=-， 又()2a b b +⊥，∴()20a b b +⋅=， ∴()()2224100λ-⨯-+⨯=，∴11λ=. （2）由4λ=，可知()4,3a =，()2,4b =-，∴4a b ⋅=，25b =，∴cos 25a b a bθ⋅===18．（1）（2）4π 【分析】（1）根据向量共线，对向量的夹角分类讨论，利用数量积公式即可完成求解；（2）根据向量垂直得到数量积为0，再根据已知条件并借助数量积公式即可计算出θ的值. 【详解】（1）∵//a b ，∴a 与b 的夹角为0θ=或π，当0θ=时，cos 1cos0a b a b θ⋅=⋅=当θπ=时，cos 1cos a b a b ππ⋅=⋅== 综上所述，2a b ⋅=±；（2）∵()a b a -⊥，∴()0a b a -⋅=，即20a a b -⋅=，∵221a a ==，cos 2a b a b θθ⋅=⋅=∴10θ=，∴cos θ=∵向量,a b 的夹角θ的范围是[]0,π，∴4πθ=【点睛】本题考查根据向量的平行、垂直求解向量的夹角以及向量数量积公式的运用，难度较易.注意共线向量的夹角为0或180︒.19．（1）4a =或14a =；（2）1；（3）a =a = 【分析】（1）代入直接求解即可；（2）计算可知()12log 0a x x =，由此得到121=x x ；（3）分析可知函数()f x 在132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的最大值为2，讨论即可得解． 【详解】解：（1）依题意，1log 22a =，即1log 22a =或1log 22a =-，解得4a =或14a =； （2）依题意，12log log a a x x =，又120x x <<，故12log log 0a a x x +=，即()12log 0a x x =，故121=x x ；（3）显然当1x =时，函数()log a f x x =取得最小值为0，则函数()f x 在132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的最大值为2，结合（2）可知，()()1232f f f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以()3log 32a f ==，解得a =a。
天津市南开区南大奥宇培训学校2018_2019学年高二数学上学期开学考试试题(含参考答案)
天津市南开区南大奥宇培训学校2018-2019学年高二数学上学期开学考试试题温馨提示，本试卷分为A 卷和B 卷，A 卷50分，B 卷50分。
本次考试为同场分卷考试，请在规定的时间内将A 卷和B 卷的答案填写在答题卡上，写在试卷上的答案无效。
本场考试时间时间为100分钟，满分100分。
祝同学们考试顺利。
A 卷一、选择题（本题共6小题，每题3分，共18分）1. (–2)2的平方根是（ ）．A ．2B ．–2C ．±2 D2. 如图，BD 是⊙O 的直径，点A 、C 在⊙O 上，AB ︵=BC ︵，∠AOB=60°，则∠BDC 的度数是（ ）．A ．60°B ．45°C ．35°D ．30° 3. 如图，已知AB ∥CD ，BC ∥DE ．若∠A=20°，∠C=120°，则∠AED 的度数是（ ）．A ．80°B ．70°C ．60°D ．85° 4. 化简22-a b ab –22--ab b ab a 等于（ ）． A ．b a B ．a b C ．–b a D ．–a b5. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，AD=DE=2，则四边形OCED 的面积（ ）．A ．．4 C ．．86. 若x=–2是关于x 的一元二次方程x 2+32ax –a 2=0的一个根，则a 的值为（ ）． A ．–1或4 B ．–1或–4 C ． 1或–4 D ．1或4二、填空题（本题共3小题，每题4分，共12分）7. 已知分式2121--()()x x +x 的值为0，那么x 的值是 ． 8. 分解因式：6x 2–3x –18= ．9. 设m ，n 是一元二次方程x 2+2x –7=0的两个根，则m 2+3m+n= ．三、解答题（本题共2小题，共20分）10. （本小题满分8分）关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k 2+1=0有两个不等实根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根x 1，x 2满足x 1+x 2=–x 1x 2，求k 的值．11. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+2过B (–2，6)，C (2，2)两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；（3）若直线y=–12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC （包括端点B ，C ）部分有两个交点，求b 的取值范围．B 卷一、选择题（本题共4小题，每题3分，共12分）1. tan690°的值为（ ）．A ． C ．2. 为了得到函数y=sin(2x+6π)的图象，可以将函数y=sin(2x+3π)的图象（ ）． A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 3. 已知函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )=x (1+x )；当x ＜0时，f (x )等于（ ）．A ．–x (1–x )B ．–x (1+x )C ．x (1–x )D ．x (1+x )4. 在△ABC 中，AB=AC=1，AM MB =，BN NC =，14CM AN ⋅=-，则∠ABC=（ ）． A ．125π B ．3π C ．4π D ．6π二、填空题（本题共2小题，每题4分，共8分）5. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 m 3．6. 已知函数f (x )=log a (2x –1)（a ＞0，且a ≠1）在区间(0，1)内恒有f (x )＞0，则函数y=log a (x 2–2x –3)的单调递增区间是 ．三、解答题（本题共3小题，共30分）7. （本小题满分6分）已知圆C ：x 2+y 2+2x –2y –2=0和直线l ：3x+4y+14=0．（1）求圆C 的圆心坐标及半径；（2）求圆C 上的点到直线l 距离的最大值．8. （本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ．已知c 2=a 2+b 2–4bc cos C ，且A –C=2π． （1）求cos C 的值；（2）求cos(B+3π)的值．9. （本小题满分12分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F分别为棱D1D 和B1C1的中点．（1）求证：BD1∥平面EAC；（2）求证：平面EAC⊥平面BB1D1D；（3）求直线BF与平面BB1D1D所成角的正弦值．高二年级开学初摸底考试数学学科试卷参考答案A卷一、选择题：（本题共6小题，每题3分，共18分）二、填空题：（本题共3小题，每题4分，共12分）7．–2； 8．3(2x+3)(x–2)； 9．5．三、解答题：（其他正确解法请比照给分）10. 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴b2–4ac=(2k+1)2–4(k2+1)＞0，……………2分解得：k＞34，即实数k的取值范围是(34，+∞)．……………3分（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=–(2k+1)，x1x2=k2+1，……………5分又∵方程两实根x1，x2满足x1+x2=–x1x2，∴–(2k+1)=–(k2+1)，……………6分解得：k1=0，k2=2，……………7分∵k＞34，∴k=2．……………8分11. 解：（1）由题意42264222-+=⎧⎨++=⎩，，a ba b，……………2分解得121⎧=⎪⎨⎪=-⎩，，ab……………3分∴抛物线的解析式为y=12x2–x+2．……………4分（2）∵y=12x2–x+2=12(x–1) 2+32，∴顶点坐标(1，32)，……………5分由点B(–2，6)，C(2，2)易得直线BC为y=–x+4，……………6分如图，∴对称轴与BC 的交点H (1，3)，∴DH=32． ……7分 ∴S △BDC =S △BDH +S △DHC =12×32×3+12×32×1=3．……8分 （3）由212122⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，，y x b y x x 消去y 得到x 2–x+4–2b=0，……9分当b 2–4ac=0时，直线与抛物线相切，即1–4(4–2b )=0， ∴b=158， ……………10分 当直线y=–12x+b 经过点C 时，b=3， 当直线y=–12x+b 经过点B 时，b=5， ……………11分 ∵直线y=–12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC （包括端点B ，C ）部分有两个交点， ∴158＜b ≤3． ……………12分B 卷一、选择题：（本题共6小题，每题3分，共18分）二、填空题：（本题共3小题，每题4分，共12分）5．6+； 6．(–∞，–1)．三、解答题：（其他正确解法请比照给分）7. 解：（1）圆的方程化为(x+1)2+(y –1)2=4， ………………1分∴圆心C 的坐标为(–1，1)，半径r=2． ………………3分（2）圆心C 到直线l 的距离d=2243141431++⨯+⨯-=3， ………………5分∴圆C 上的点到直线l 距离的最大值为d+r=5． ………………6分8. 解：（1）∵c 2=a 2+b 2–4bc cos C ，由余弦定理可得a=2c ， ………………1分∴由正弦定理得sin A=2sin C ， ………………2分 又∵A –C=2π，∴sin A=sin(C+2π)=cos C ， ………………3分 ∴2sin C=cos C ，又∵sin 2C+cos 2C=1，解得cos C=552． ………………6分 （2）由（1）知sin C=55， ………………7分 ∴sin2C=2sin C cos C=54，cos2C=2cos 2C –1=53， ……………9分 ∴cos(B+3π)=cos(56π–2C ) =cos 56πcos2C+sin 56πsin2C =–23•53+21•54=10334-． ………………12分 9. 解：（1）连结BD 交AC 于O ，连结OE ．∵E 为棱D 1D 的中点，O 为BD 的中点，∴在△BDD 1中，OE ∥BD 1．∵BD 1Ë平面EAC ，OE Ì平面EAC ，∴BD 1∥平面EAC ．……………………4分（2）∵ BB 1⊥平面ABCD ，且AC Ì平面ABCD ，∴ BB 1⊥AC ．∵AC ⊥BD ，又BD ∩BB 1=B ，∴ AC ⊥平面B 1D 1DB ．∵AC Ì平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面BB 1D 1D ． ………………………8分（3）作FG ⊥B 1D 1，交B 1D 1于G ，连结BG ．∵平面A 1B 1C 1D 1⊥平面BB 1D 1D ，GF Ì平面A 1B 1C 1D 1， ∴GF ⊥平面B 1D 1DB ，∴∠FBG 即为直线BF 与平面BB 1D 1D 所成角． ……………10分 ∵F 为棱B 1C 1的中点，∴GF=42BB 1，BF=25BB 1．∴sin ∠FBG=1010．即直线BF 与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为1010． ………………12分。
天津市南开区2018-2019学年度第一学期期末考试试卷高二数学(解析版)
2018-2019学年天津市南开区高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：根据特称命题的否定为全称命题可知：命题“，”的否定是“，“，故选：C．根据特称命题的否定为全称命题，分别对量词和结论进行否定即可本题主要考查了全称命题与特称命题的否定的应用，属于基础试题2. 设a，，若，则下列不等式中正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：因为，当，时，，排除A；，排除B；，排除D故选：C．取，代入计算可排除A，B，D本题考查了不等式的基本性质，属基础题．3. 不等式的解集是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：不等式可化为，解得，不等式的解集是．故选：D．把不等式化为，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．4. 命题：：，则p是q的A. 充分不必要条件B. 必要不充分C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：要使成立，则且，解得或．是q的充分不必要条件．故选：A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．5. 200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过的汽车数量为A. 65辆B. 76辆C. 88 辆D. 95辆【答案】B【解析】解：根据频率分布直方图得，时速超过的频率是，所求的汽车数量为辆．故选：B．根据频率分布直方图求出时速超过的频率，再计算频数即可．本题考查了频率分布直方图与频率、频数的计算问题，是基础题目．6. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A.B.C.D.【答案】B【解析】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积，则对应概率，故选：B．根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．7. 已知等差数列中，，则该数列前9项和等于A. 4B. 8C. 36D. 72【答案】C【解析】解：由等差数列的性质可得：，则该数列前9项和．故选：C．利用等差数列的性质及其求和公式即可得出．本题考查了等差数列的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图如图所示，则该样本的中位数、众数、极差分别是A. 46，45，56B. 46，45，53C. 47，45，56D. 45，47，53【答案】A【解析】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值：．众数是45，极差为：．故选：A．直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．9. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：双曲线的焦点到渐近线的距离为，顶点到渐近线距离：，双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，可得：，可得，可得，，则C的渐近线方程为：故选：C．利用双曲线的焦点到渐近线的距离是顶点到渐近线距离的3倍，求出a，b的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．10. 设，，若，则的最小值为A. 4B. 8C. 1D.【答案】A【解析】解：，，，，当且仅当时取等号．故选：A．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．熟练掌握“乘1法”和基本不等式的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率是______．【答案】【解析】解：先后抛掷三枚均匀的硬币，全是反面的概率为，故至少出现一次正面的概率是，故答案为．先求出先后抛掷三枚均匀的硬币，全是反面的概率，再用1减去此概率，即得所求．本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，事件和它的对立事件概率之间的关系，属于基础题．12. 某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体600名学生中抽50名学生做生涯规划调查，现将600名学生从1到600进行编号，已知从～这12个数中取得数是31，则在第1小组～中随机抽到的数是______．【答案】7【解析】解：样本间隔为，从～这12个数中取得数是31，从～这12个数中取得数是第7个数，第1小组～中随机抽到的数是7，故答案为：7．根据系统抽样的定义进行求解即可．本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．13. 对于回归直线方程，当时，y的估计值为______．【答案】390【解析】解：回归方程．当时，y的估计值是故答案为：390根据所给的线性回归方程，把x的值代入线性回归方程，得到对应的y的值，这里所得的y的值是一个估计值．本题考查回归分析的初步应用，本题解题的关键是理解用线性回归方程得到的y的值是一个预报值而不是准确值．14. 在数列中，，，则______．【答案】【解析】解：根据题意，，，当时，有，当时，有，当时，有，当时，有，则数列是周期为4的数列，则；故答案为：．根据题意，将变形可得，求出该数列的前5项，分析可得数列是周期为4的数列，则，即可得答案．本题考查数列的递推公式，注意分析数列的变化规律，属于基础题．15. 如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若，且，则此抛物线的方程为______．【答案】．【解析】解：设，，作AM、BN垂直准线于点M、N，则，又，得，，有，设，则，而，，由直线AB：，代入抛物线的方程可得，，即有，，得．故答案为：．根据过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据，且，和抛物线的定义，可得，设，，，而，，且，，可求得p的值，即求得抛物线的方程．此题是个中档题考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在等差数列中，已知求数列的通项公式；设，求数列的前10项和．【答案】解：等差数列的公差设为d，，可得，解得，则；，则前10项和．【解析】设等差数列的公差为d，由等差数列通项公式解方程可得首项和公差，即可得到所求通项；求得，由等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点，点在双曲线上．Ⅰ求双曲线方程；Ⅱ求的值；Ⅲ求的面积．【答案】解：Ⅰ，可设双曲线方程为．过点，，即，双曲线方程为；Ⅱ证明：，，，，，点在双曲线上，，即，；Ⅲ的底，由知．的高，．【解析】Ⅰ双曲线方程为，点代入求出参数的值，从而求出双曲线方程；Ⅱ先求出的解析式，把点M的坐标代入双曲线，可得出；Ⅲ求出三角形的高，即的值，可得其面积．本题考查双曲线的标准方程和向量的数量积的坐标表示、双曲线的性质，属于中档题．18. 如图所示，四棱锥中，平面ABCD，，，．Ⅰ设PD的中点为M，求证：平面PBC；Ⅱ求PA与平面PBC所成角的正弦值；Ⅲ求二面角的正弦值．【答案】Ⅰ证明：建立如图所示空间直角坐标系，设，又，则0，，，2，，0，，0，．，，设平面PBC的一个法向量为y，，则，令，得1，，而0，，，即，又平面PBC，故A平面PBC；Ⅱ解：0，，设PA与平面PBC所成角为，由直线与平面所成角的向量公式有；Ⅲ解：平面PBC的一个法向量为1，，由题意可知，平面PCD的一个法向量为，．可得二面角的正弦值为．【解析】Ⅰ建立空间直角坐标系，设，结合已知求出平面PBC的一个法向量，再求出，由即可证明平面PBC；Ⅱ求出，利用向量夹角公式，即可求得PA与平面PBC所成角的正弦值；Ⅲ由Ⅰ中求得的平面PBC的一个法向量，再由平面PDC的法向量为0，，利用向量夹角公式，即可求二面角的正弦值．本题考查线面平行，考查线面角，点到平面距离的计算，解题的关键是建立空间直角坐标系，确定平面的法向量，属于中档题．19. 已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且，，．Ⅰ求和的通项公式；Ⅱ求数列的前n项和．【答案】解：为公差为d的等差数列，是首项为2，公比为q的等比数列，，，，可得，，，解得，，即有；；，前n项和为．【解析】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d，q，进而得到所求通项；求得，由裂项相消求和即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．20. 椭圆C：经过点，且A到右焦点F的距离为A到直线的距离之比为离心率．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ经过点，且斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点P、均异于点，设直线AP与AQ的斜率分别为，，证明：．【答案】解：Ⅰ椭圆C：经过点，到右焦点F的距离为A到直线的距离之比为离心率，即．椭圆C的方程为：；Ⅱ证明：Ⅱ由题设可设直线PQ的方程为，，化简，得，代入，得，由已知，设，，，则，，分从而直线AP，AQ的斜率之和，【解析】Ⅰ可得，，即即可得椭圆C的方程Ⅱ设直线PQ的方程为，，代入椭圆C的方程，得，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线AP与AQ斜率之和为定值．本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆性质的合理运用属于中档题．。
天津市南开区南大奥宇培训学校2019届高三数学上学期第一次月考试题理
天津市南开区南大奥宇培训学校2019届高三数学上学期第一次月考试题 理温馨提示，本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷40分，第Ⅱ卷110分。
请在规定时间内将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案涂写在答题卡上，写在试卷上的答案无效。
本场考试用时120分钟，满分150分。
祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}{}]2,0[,2|,2|1||∈==<-=x y y B x x A x，则A ∩B （ ）A. ]2,0[B. )3,1(C. )3,1[D. )4,1(2．已知函数,,若f(2)·g(2)<0，则f(x)与()x f x a -=()log (0,1)a g x x a a =>≠g(x)在同一坐标系内的图象可能是（ ）A B C D3．在，，，四个函数中，121()f x x =22()f x x =3()2xf x =412()log f x x =121x x >>时，能使成立的函数是（ ） 12121[()()]()22x x f x f x f ++<A.B.121()f x x =22()f x x= C.D.3()2x f x =412()log f x x =4．给定下列命题：①“若m ≤1，则方程x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题； ②“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题；③“若xy ＝0，则x 、y 中至少有一个为0”的否命题； ④“若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”的逆命题.其中真命题的个数是( ). A ．1 B ．2 C ．3D ．45．设a ＝20.3，b ＝0.32，c ＝log x (x 2＋0.3)(x ＞1)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a6．关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ） x 9(4)340xxa ++⋅+=a A ．（-∞，-8]∪[0，+∞） B ．（-∞，-4） C ．[-8，4）D ．（-∞，-8]7．设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( ) A ．[－4，－2] B ．[－2,0] C ．[0,2]D ．[2,4]8．已知函数f （x ）=（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩关于x 的方程恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是|()|2f x x =-（ ） A ．（0，] B ．[，] C ． [，]{} D ．[，）{} 2323341323 341323 34第Ⅱ卷二、填空题 本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．函数y ＝ln(1＋)＋的定义域为________．1x1－x 210．若函数的值域是，则函数的值域是______. ()y f x =1[,3]21()()()F x f x f x =+11．已知f (x )＝，若f (x )dx ＝，则k 的值为________.{2x ＋1，x ∈[－2，2]1＋x 2，x ∈[2，4])∫3k40312．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．13．已知f (x )＝则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．{|lg x |，x ＞02|x |，x ≤0，)14．设f 1(x )＝cos x ，定义f n ＋1(x )为f n (x )的导数，即f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N *，若△ABC 的内角A 满足f 1(A)＋f 2(A)＋…＋f 2 019 (A)＝－1，则sin A 的值是________．三、解答题 本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （本小题满分13分）已知函数f (x )=ax 2+bx+4lnx 的极值点为1和2. (1)求实数a,b 的值.(2)求函数f (x )在区间(0,3]上的最大值.16．（本小题满分13分）已知函数f (x )＝{－x －1（x ＜－2）x ＋3（－2≤x ≤12）（x ∈R ）.5x ＋1（x ＞12）)(1)求函数f (x )的最小值；(2)已知m ∈R ，命题p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意m ∈R 恒成立；q ：函数y ＝(m 2－1)x 是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．17．（本小题满分13分）已知函数f (x )＝x 3－2ax 2－3x ，x ∈R . (1)当a ＝0时，求函数f (x )的单调区间；(2)当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥ax 恒成立，求a 的取值范围．18. （本小题满分13分）已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋(x ＞0)．e 2x(1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．19．（本小题满分14分）设函数（为常数，是自然对数的底数）.()22ln x e f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭k 2.71828e = (I)当时，求函数的单调区间；0k ≤()f x (II )若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.()f x ()0,2k20．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝Error!的图象过坐标原点O ，且在点(－1，f (－1))处的切线的斜率是－5.(1)求实数b 、c 的值；(2)求f (x )在区间[－1,2]上的最大值；(3)对任意给定的正实数a ，曲线y ＝f (x )上是否存在两点P 、Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．2019届南大奥宇第一次月考考试数学学科（理科）试卷参考答案一、选择题1．C 2．A 3．A 4．C 5．B 6． D 7．A 8．C 二、填空题9． (0，1] 10． 11． k ＝0或k ＝－1. 110()[2,]3F x t t =+∈12．{x |－7<x <3}． 13． 5 14． 1 三、解答题15．解析：(1)f’(x)=2ax+b+错误！未找到引用源。
天津市南开区南大奥宇培训学校2019届高三上学期第一次月考数学(文)试题
2018-2019天津市南大奥宇学校第一次质量调查（文数）2018-10请同学们认真审题，詋同学们考试顺利！一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|2x-3＞0}，则A∩B=（）A. （-3，-）B. （-3，）C. （1，）D. （，3）2.已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为（）A. m≤3B. 2≤m≤3C. m≥2D. m≥33.设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件4.下列有关命题的说法错误的是（）A. 若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题B. “x=1”是“x≥1”的充分不必要条件C. “sin x=”的必要不充分条件是“x=”D. 若命题p：∃x0∈R，x02≥0，则命题￢p：∀x∈R，x2＜05.函数f（x）=cos2x+6cos（-x）的最大值为（）A. 4B. 5C. 6D. 76.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（）A. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度7.函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A. 关于点（，0）对称B. 关于点（-，0）对称C. 关于直线x=-对称D. 关于直线x=对称8.函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若命题“∃t∈R，t2-2t-a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是______．10.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，sin B=，a=8，则c= ______ ．11.已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为______ ．12.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，b=4a，a+c=5，则△ABC的面积为______．13.已知函数f（x）=-sin2x，则当f（x）取最小值时cos2x的值为______ ．14.将函数f（x）=cos（2x+）-1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有性质______．（填入所有正确性质的序号）①最大值为，图象关于直线x=-对称；②图象关于y轴对称；③最小正周期为π；④图象关于点（，0）对称；⑤在（0，）上单调递减．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=，b=3，sin B+sin A=2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．16.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料，已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元，分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．17.已知函数f（x）=2tan（+）cos2（+）-sin（x+π）．（Ⅰ）求f（x）的定义域和最小正周期；（Ⅱ）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=2，C=60°．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a和b；（Ⅱ）若sin C+sin（B-A）=2sin2A，求A；（Ⅲ）若ab=，求△ABC的周长．19.已知函数y=4cos2x-4sin x cosx-1（x∈R）．（1）求出函数的最小正周期；（2）求出函数的最大值及其相对应的x值；（3）求出函数的单调增区间；（4）求出函数的对称轴．20.已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}的前n项和为B n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和C n；（3）证明：．2018-2019南大奥宇学校第一次质量调查（文数）答案和解析1.D2.A3.A4.C5.B6.B7.C8.A9.（-∞，-1] 10.711.12.13.14.②③④15.解：（Ⅰ）在锐角△ABC中，由正弦定理得，∴sin B==．∵sin B+sin A=2，∴4sin A=2．∴sin A=．又0，∴A=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知sin B==．又0＜B＜，∴cos B==．∴sin2B=2sin B cosB=2×=，cos2B=cos2B-sin2B==-．∴sin（2B+）=sin2B cos+cos2B sin=-=-．【解析】（I）利用正弦定理得出sinA，sinB的关系，代入条件式解出sinA，根据A的范围得出A的值；（II）根据sinA计算sinB，cosB，再利用倍角公式计算sin2B，cos2B，最后使用两角和的正弦公式计算．本题考查了正弦定理，三角函数的恒等变换，掌握三角变换公式是基础．16.【答案】解：（1）由已知x，y满足不等式，则不等式对应的平面区域为，（2）设年利润为z万元，则目标函数为z=2x+3y，即y=-x+，平移直线y=-x+，由图象得当直线经过点M时，直线的截距最大，此时z最大，由得，即M（20，24），此时z=40+72=112，即分别生产甲肥料20车皮，乙肥料24车皮，能够产生最大的利润，最大利润为112万元．【解析】（1）设出变量，建立不等式关系，即可作出可行域．（2）设出目标函数，利用平移直线法进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，根据条件建立约束条件，作出可行域，利用平移法是解决本题的关键．17.【答案】解：（Ⅰ）由题意，+≠，解得：x≠，k∈Z∴f（x）的定义域为{x∈R|x≠，k∈Z}．函数f（x）=2tan（+）cos2（+）-sin（x+π）．化解可得：f（x）=2sin（+）cos（+）+sin x．=sin（x+）+sin x．=sin x+cos x=2sin（x+）∴f（x）的最小正周期T=．（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位，得到2sin（x+）；即g（x）=2sin（x+）∵x∈[0，π]时，x+∈[，]．∴当x+=时，函数g（x）=2sin（x+）取得最大值为2．∴当x+=时，函数g（x）=2sin（x+）取得最小值为-1．故得函数g（x）在区间[0，π]上的最大值是2，最小值是-1．【解析】（Ⅰ）由题意，+≠，解x可得f（x）的定义域．利用二倍角和诱导公式及辅助角公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x），x∈[0，π]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可求出g（x）的最大值和最小值．本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．18.【答案】解：（I）由余弦定理可得：c2=a2+b2-2ab cos C，∴4=a2+b2-2ab cos60°，化为a2+b2-ab=4．∵△ABC的面积等于，∴=，化为ab=4，联立，解得a=b=2．（II）∵sin C+sin（B-A）=2sin2A，∴sin（A+B）+sin（B-A）=2sin2A，∴2sin B cos A=4sin A cosA，∴cos A=0或sin B=2sin A．当cos A=0，A=90°，当sin B=2sin A，由正弦定理可得：b=2a，代入a2+b2-ab=4，解得，则sin A==，解得A=30°，或A=150°，∵a＜c，∴A＜C，∴A=30°．综上可得：A=90°或A=30°．（III）由a2+b2-ab=4．可得：（a+b）2-3ab=4，由ab=，解得a+b=3，∴△ABC的周长=a+b+c=3+2=5．【解析】（I）由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcosC，化为a2+b2-ab=4．由于△ABC的面积等于，可得=，即ab=4，联立即可解得．（II）由sinC+sin（B-A）=2sin2A，可得sin（A+B）+sin（B-A）=2sin2A，化为cosA=0或cosB=2sinA．当cosA=0，A=90°，当cosB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，代入a2+b2-ab=4，解得a，再利用正弦定理可得sinA==，解得A，由a＜c，A只能是锐角．（III）由a2+b2-ab=4．与ab=，解得a+b=3，即可得出．本题综合考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、诱导公式、等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．19.【答案】解：y=4cos2x-4sin x cosx-1=4×-2sin2x=2cos2x-2sin2x+2=（1）函数的最小正周期T==π；（2）当时，函数取最大值为：6，此时（k∈Z），解得（k∈Z）；（3）由（k∈Z）得，（k∈Z），∴函数的单调增区间是（k∈Z）；（4）由（k∈Z）得，（k∈Z），∴函数的对称轴方程是（k∈Z）．【解析】利用二倍角的正弦、余弦公式，以及两角差的正弦公式，化简函数解析式化为y=，（1）根据最小正周期公式T=求解；（2）根据解析式知：当时，函数取最大值，求出原函数的最大值和对应的x的值；（3）根据解析式知：原函数的单调增区间为正弦函数单调减区间，即（k∈Z），求解即可；（4）根据正弦函数得对称轴得（k∈Z），求解即可．本题考查正弦函数的性质和三角恒等变换，涉及的公式有：二倍角的正弦、余弦公式，以及两角和与差的正弦公式，其中灵活利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的三角函数是解本题的关键，注意化简解析式是一定要把ω化为正的．20.【答案】解：（1）当n≥2时，，，两式相减：a n=A n-A n-1=2n-1；当n=1时，a1=A1=1，也适合a n=2n-1，故数列{a n}的通项公式为a n=2n-1．（2）由题意知：，C n=c1+c2+…+c n，，，两式相减可得：，即，，．（3），显然，即b n＞2，B n=b1+b2+…+b n＞2n；另一方面，，即，，…，，，即：2n＜B n＜2n+2．【解析】（1）当n≥2时，利用a n=A n-A n-1可得a n=2n-1，再验证n=1的情况，即可求得数列{a n}的通项公式；（2）由题意知：，利用错位相减法即可求得数列{c n}的前n项和C n；（3）利用基本不等式可得＞，可得B n=b1+b2+…+b n＞2n；再由b n=，累加可，于是可证明：．本题考查数列递推式的应用，突出考查错位相减法求和与累加法求和的综合运用，考查推理与运算能力，属于难题．。
南开区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考测试数学
南开区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若函数)1(+=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象的对称轴方程是（ ）] A ．1=x B ．1-=x C ．2=x D ．2-=x2．=（ ）A ．﹣iB ．iC ．1+iD ．1﹣i3． 已知集合2{320,}A x x x x R =-+=∈，{05,}B x x x N =<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为A 、B 、2C 、3D 、44． 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ）A ．232B ．252C ．472D ．4845． 设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ） A ．{}|303x x x -<<>或 B ． {}|3003x x x -<<<<或 C ．{}|33x x x <->或 D ． {}|303x x x <-<<或6． 设集合M={x|x ＞1}，P={x|x 2﹣6x+9=0}，则下列关系中正确的是（ ） A ．M=P B ．P ⊊M C ．M ⊊P D ．M ∪P=R7． 已知圆C ：x 2+y 2=4，若点P （x 0，y 0）在圆C 外，则直线l ：x 0x+y 0y=4与圆C 的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不能确定 8． 将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为（ ） A ．1372 B ．2024 C ．3136 D ．44959． 函数y=f ′（x ）是函数y=f （x ）的导函数，且函数y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线为l ：y=g （x ）=f ′（x 0）（x ﹣x 0）+f （x 0），F （x ）=f （x ）﹣g （x ），如果函数y=f （x ）在区间[a ，b]上的图象如图所示，且a ＜x 0＜b ，那么（ ）A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）极值点D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）极值点10．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．11．已知实数x，y满足有不等式组，且z=2x+y的最大值是最小值的2倍，则实数a的值是（）A．2 B．C．D．12．如图是一个多面体的三视图，则其全面积为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知x 是400和1600的等差中项，则x= ．14．如图，函数f （x ）的图象为折线 AC B ，则不等式f （x ）≥log 2（x+1）的解集是 ．15．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函数y=ax 2﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数的概率是 ．16．已知f （x+1）=f （x ﹣1），f （x ）=f （2﹣x ），方程f （x ）=0在[0，1]内只有一个根x=，则f （x ）=0在区间[0，2016]内根的个数 ．17．对于集合M ，定义函数对于两个集合A ，B ，定义集合A △B={x|f A （x ）f B （x ）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为 ．18．若数列{}n a 满足212332n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则数列{}n a 的通项公式为 .三、解答题19．若函数f （x ）=sin ωxcos ωx+sin 2ωx ﹣（ω＞0）的图象与直线y=m （m 为常数）相切，并且切点的横坐标依次构成公差为π的等差数列． （Ⅰ）求ω及m 的值；（Ⅱ）求函数y=f （x ）在x ∈[0，2π]上所有零点的和．20．已知矩阵M 所对应的线性变换把点A （x ，y ）变成点A ′（13，5），试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．21．（本题满分14分）已知函数x a x x f ln )(2-=.（1）若)(x f 在]5,3[上是单调递减函数，求实数a 的取值范围；（2）记x b x a x f x g )1(2ln )2()()(--++=，并设)(,2121x x x x <是函数)(x g 的两个极值点，若27≥b ， 求)()(21x g x g -的最小值.22．设函数，若对于任意x ∈[﹣1，2]都有f （x ）＜m 成立，求实数m 的取值范围．23．已知函数f（x）=4x﹣a•2x+1+a+1，a∈R．（1）当a=1时，解方程f（x）﹣1=0；（2）当0＜x＜1时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围；（3）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．24．如图，四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形，点E是A′A的中点，AA′⊥平面ABCD．（1）求证：A′C∥平面BDE；（2）求体积V A′﹣ABCD与V E﹣ABD的比值．南开区高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】A 【解析】试题分析：∵函数)1(+=x f y 向右平移个单位得出)(x f y =的图象，又)1(+=x f y 是偶函数，对称轴方程为0=x ，∴)(x f y =的对称轴方程为1=x .故选A ． 考点：函数的对称性. 2． 【答案】 B【解析】解： ===i ．故选：B ．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．3． 【答案】D【解析】{|(1)(2)0,}{1,2}A x x x x =--=∈=R ， {}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x ． ∵⊆⊆A C B ，∴C 可以为{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,3,4． 4． 【答案】 C【解析】【专题】排列组合．【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，由此可得结论．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472故选C ．【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．5． 【答案】B 【解析】试题分析：因为()f x 为奇函数且()30f -=，所以()30f =，又因为()f x 在区间()0,+∞上为增函数且()30f =，所以当()0,3x ∈时，()0f x <，当()3,x ∈+∞时，()0f x >，再根据奇函数图象关于原点对称可知：当()3,0x ∈-时，()0f x >，当(),3x ∈-∞-时，()0f x <，所以满足()0x f x ⋅<的x 的取值范围是：()3,0x ∈-或()0,3x ∈。
2018-2019学年天津市高二上学期开学数学试卷Word版含解析
2018-2019学年天津市高二上学期开学数学试卷一、选择题.1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6 B．8 C．10 D．122．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，如图是测试成绩频率分布直方图．成绩小于17秒的学生人数为（）A．45 B．35 C．17 D．53．△ABC中，a．b．c分别为∠A．∠B．∠C的对边，如果a．b．c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）A．B．C．D．4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为（）A．2 B．3 C．D．5．如果P={x|x2﹣5x+4≤0}，Q={|0＜x＜10}，那么（）A．P∩Q=∅B．P∩Q=P C．P∪Q=P D．P∪Q=R6．在等差数列{an }中，a2+3a8+a14=100，则2a11﹣a14=（）A．20 B．18 C．16 D．87．二进制数101110转化为八进制数是（）A．45 B．56 C．67 D．768．取一段长为5米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1米的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数f（x2﹣1）的定义域为．10．已知a＞0，b＞0， +=1，求a+b的最小值．11．在等比数列{an }中，已知a1+a2=10，a9+a10=90，则 a5+a6= ．12．盒子中装有大小相同的2个红球和3个白球，从中摸出一个球然后放回袋中再摸出一个球，则两次摸出的球颜色相同的概率是．13．f（n）=21+24+27+…+23n+10（n∈N*），则f（n）的项数为．14．已知a＞0，b＞0，a+b+ab=8，则a+b的最小值是．三、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）15．设△ABC的三个内角A、B、C对边分别是a、b、c，已知，b2+c2﹣a2+bc=0（1）求△ABC外接圆半径；（2）若△ABC的面积为，求b+c的值．16．某班级参加学校三个社团的人员分布如表：已知从这些同学中任取一人，得到是参加围棋社团的同学的概率为．（1）求从中任抽一人，抽出的是参加戏剧社团或足球社团的同学的概率；（2）若从中任抽一人，抽出的是参加围棋社团或足球社团的同学的概率为，求m和n的值．17．已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．（1）若f（x）＜0的解集为（﹣1，2），求m的值；（2）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；（3）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围．18．随机抽取某高中甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示．（1）甲班和乙班同学身高数据的中位数各是多少？计算甲班的样本方差；（2）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于175cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．19．已知等差数列{an }的前n项和为Sn（（n∈N*），S3=18，a4=2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =，求Tn=b1+b2+…+bn；（3）若数列{cn }满足cn=Tn，求cn的最小值及此时n的值．2018-2019学年天津市高二上学期开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题.1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】分层抽样方法．【分析】根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．【解答】解：∵高一年级有30名，在高一年级的学生中抽取了6名，故每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名，∴要抽取40×=8，故选：B．2．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，如图是测试成绩频率分布直方图．成绩小于17秒的学生人数为（）A．45 B．35 C．17 D．5【考点】频率分布直方图．【分析】频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率．建立相应的关系式，即可求得．【解答】解：从频率分布直方图上可以看出x=1﹣（0.06+0.04）=0.9，y=50×（0.36+0.34）=35，故选：B3．△ABC中，a．b．c分别为∠A．∠B．∠C的对边，如果a．b．c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）A．B．C．D．【考点】等差数列的通项公式；三角形的面积公式．【分析】由题意可得2b=a+c．平方后整理得a2+c2=4b2﹣2ac．利用三角形面积可求得ac的值，代入余弦定理可求得b的值．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．平方得a2+c2=4b2﹣2ac．①又△ABC的面积为，且∠B=30°，=acsinB=ac•sin30°=ac=，解得ac=6，由S△代入①式可得a2+c2=4b2﹣12，由余弦定理cosB====．解得b2=4+2，又∵b为边长，∴b=1+．故选：B4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为（）A．2 B．3 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】画出可行域，利用目标函数对应的直线在y轴上的截距求最大值．【解答】解：约束条件满足的可行域如图：当直线y=经过图中A时z最大，由得到A（，），所以z的最大值为：；故选：C．5．如果P={x|x2﹣5x+4≤0}，Q={|0＜x＜10}，那么（）A．P∩Q=∅B．P∩Q=P C．P∪Q=P D．P∪Q=R【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合P，进而逐一分析四个答案的真假，可得答案．【解答】解：P={x|x2﹣5x+4≤0}=[1，4]}，Q={|0＜x＜10}=（0，10），∴P∩Q=P，故选：B．6．在等差数列{an }中，a2+3a8+a14=100，则2a11﹣a14=（）A．20 B．18 C．16 D．8【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an }的公差为d，∵a2+3a8+a14=100，∴5a1+35d=100，即a1+7d=20．则2a11﹣a14=2（a1+10d）﹣（a1+13d）=a1+7d=20．故选：A．7．二进制数101110转化为八进制数是（）A．45 B．56 C．67 D．76【考点】进位制；排序问题与算法的多样性．【分析】由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数×该数位的权重，即可得到十进制数，再利用“除k取余法”是将十进制数除以8，然后将商继续除以8，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．【解答】解：101110（2）=0×20+1×21+1×22+1×23+1×25=4646÷8=5 (6)5÷8=0 (5)故46（10）=56（8）故选B．8．取一段长为5米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1米的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为5m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间3m处的两个界点，再求出其比值．【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在距离两段超过1m的绳子上剪断，即在中间的3米的绳子上剪断，才使得剪得两段的长都不小于1m，所以由几何概型的公式得到事件A发生的概率 P（A）=．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数f（x2﹣1）的定义域为．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意可得﹣2≤x2﹣1≤2，解得x的范围，即可求得函数f（x2﹣1）的定义域．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则对于函数f（x2﹣1），应有﹣2≤x2﹣1≤2，即﹣1≤x2 ≤3，即 x2 ≤3，解得﹣≤x≤，故函数f（x2﹣1）的定义域为，故答案为．10．已知a＞0，b＞0， +=1，求a+b的最小值 3 ．【考点】基本不等式．【分析】将a+b变形为=（+）（a+1+b）﹣1，展开，利用基本不等式解之．【解答】解：已知a＞0，b＞0， +=1，则a+b=（+）（a+1+b）﹣1=2+﹣1≥1+2=3，当且仅当a+1=b时等号成立；故答案为：311．在等比数列{an }中，已知a1+a2=10，a9+a10=90，则 a5+a6= 30 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：∵a1+a2=10，a9+a10=90，∴q8（a1+a2）=10q8=90，解得q4=3．则 a5+a6=q4（a1+a2）=3×10=30，故答案为：30．12．盒子中装有大小相同的2个红球和3个白球，从中摸出一个球然后放回袋中再摸出一个球，则两次摸出的球颜色相同的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，用组合数表示出试验发生所包含的所有事件数，满足条件的事件分为两种情况①先摸出红球，再摸出红球，②先摸出白球，再摸出白球，根据古典概型公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生所包含的所有事件数是C51C51=25，满足条件的事件分为两种情况①先摸出红球，P红=C21，再摸出红球，P红红=C21C21=4；②先摸出白球，P白=C31，再摸出白球，P白白=C31C31=9，∴P==．故答案为：13．f（n）=21+24+27+…+23n+10（n∈N*），则f（n）的项数为n+4 ．【考点】数列的求和．【分析】通过观察指数可知有指数构成的数列的通项公式为3n﹣2，而3n+10为数列的第n+4项，进而可得结论．【解答】解：由题意知，观察指数1，4，7，…，3n+10，∴该数列的通项公式为an=3n﹣2，又∵3n+10为数列的第n+4项，∴f（n）是首项为2、公比为8的等比数列的前n+4项和，故答案为：n+4．14．已知a＞0，b＞0，a+b+ab=8，则a+b的最小值是 4 ．【考点】基本不等式．【分析】由于正数a，b满足a+b=8﹣ab≥8﹣（）2，可得关于 a+b的不等式，解此不等式，从而得到答案．【解答】解：∵正数a，b满足a+b=8﹣ab≥8﹣（）2，∴a+b≥8﹣，当且仅当a=b 时，等号成立．解之，得a+b≥4，故a+b的最小值为 4．故答案为：4三、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）15．设△ABC的三个内角A、B、C对边分别是a、b、c，已知，b2+c2﹣a2+bc=0（1）求△ABC外接圆半径；（2）若△ABC的面积为，求b+c的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入求出cosA的值，根据A为三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，确定出sinA的值，再利用正弦定理即可求出外接圆半径；（2）根据a，sinA，以及已知的三角形面积，利用面积公式求出bc的值，再利用余弦定理即可求出b+c的值．【解答】解：（1）∵b2+c2﹣a2+bc=0，∴cosA===﹣，∵A为三角形内角，∴A=，即sinA=，根据正弦定理得： =2R，即R=；（2）∵a=，A=，∴由面积公式得：S=bcsinA=bcsin=，即bc=6，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccos=7，整理得：b2+c2=13，则（b+c）2=b2+c2+2bc=25，∴b+c=5．16．某班级参加学校三个社团的人员分布如表：已知从这些同学中任取一人，得到是参加围棋社团的同学的概率为．（1）求从中任抽一人，抽出的是参加戏剧社团或足球社团的同学的概率；（2）若从中任抽一人，抽出的是参加围棋社团或足球社团的同学的概率为，求m和n的值．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据对立事件得到满足条件的概率即可；（2）结合题意得到关于m，n的方程组，解出即可．【解答】解：（1）事件“参加围棋社团的同学”和“参加戏剧社团或足球社团的同学”是对立事件，故抽出的是参加戏剧社团或足球社团的同学的概率是1﹣=；（2）由题意得：，解得：．17．已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．（1）若f（x）＜0的解集为（﹣1，2），求m的值；（2）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；（3）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；一元二次不等式的解法．【分析】（1）由f（x）＜0的解集为（﹣1，2），得到﹣1，2是方程mx2﹣mx﹣1=0的两个根，且m＞0，即可求出m的值．（2）若f（x）＜0恒成立，则m=0或，分别求出m的范围后，综合讨论结果，可得答案．（3）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，则m（x﹣）2+m﹣6＜0，x∈[1，3]恒成立，结合二次函数的图象和性质分类讨论，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）f（x）＜0的解集为（﹣1，2），∴﹣1，2是方程mx2﹣mx﹣1=0的两个根，且m＞0，∴﹣1×2=，解得m=（2）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立，当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，则解得﹣4＜m＜0综上所述m的取值范围为（﹣4，0]（3）要x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，即m（x﹣）2+m﹣6＜0，x∈[1，3]恒成立．令g（x）=m（x﹣）2+m﹣6，x∈[1，3]，当m＞0时，g（x）是增函数，所以g（x）=g（3）=7m﹣6＜0，max解得m＜．所以0＜m＜当m=0时，﹣6＜0恒成立．当m＜0时，g（x）是减函数．所以g（x）=g（1）=m﹣6＜0，max解得m＜6．所以m＜0．综上所述，m＜18．随机抽取某高中甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示．（1）甲班和乙班同学身高数据的中位数各是多少？计算甲班的样本方差；（2）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于175cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．【考点】茎叶图；极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由中位数和平均数、方差的计算公式，进行计算即可；（2）利用列举法计算所求的概率值．【解答】解：（1）根据中位数的定义知，甲的中位数是： =169（厘米），乙的中位数是： =171.5（厘米）；根据平均数的公式，计算甲班的平均数为=×=170甲班的样本方差s2=×[2+2+…+2]=57.2．（2）设“身高为176cm的同学被抽中”为事件A．从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173cm的同学有：，，，，，，，，，，共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：，，，．所以P（A）==．19．已知等差数列{an }的前n项和为Sn（（n∈N*），S3=18，a4=2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =，求Tn=b1+b2+…+bn；（3）若数列{cn }满足cn=Tn，求cn的最小值及此时n的值．【考点】等差数列的前n 项和；数列的函数特性；数列的求和．【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得关于首项和公差的方程组，解得代入通项公式可得；（2）由（1）可得b n =（），由裂项相消法求和可得；（3）由（2）可得=n+1+﹣2，由基本不等式可得．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3=3a 1+=18，a 4=a 1+3d=2，解得a 1=8，d=﹣2，∴a n =8﹣2（n ﹣1）=﹣2n+10；（2）由（1）可得= ==（），∴T n =b 1+b 2+…+b n =（1﹣+…+）=（3）由（2）可得===n+1+﹣2≥2﹣2=8，当且仅当n+1=，即n=4时取等号，此时c n 取最小值8。
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天津市南开区南大奥宇培训学校2018-2019学年上学期开学考试高二数学试题温馨提示，本试卷分为A 卷和B 卷，A 卷50分，B 卷50分。
本次考试为同场分卷考试，请在规定的时间内将A 卷和B 卷的答案填写在答题卡上，写在试卷上的答案无效。
本场考试时间时间为100分钟，满分100分。
祝同学们考试顺利。
A 卷一、选择题（本题共6小题，每题3分，共18分）1. (–2)2的平方根是（ ）．A ．2B ．–2C ．±2 D2. 如图，BD 是⊙O 的直径，点A 、C 在⊙O 上，AB ︵=BC ︵，∠AOB=60°，则∠BDC 的度数是（ ）．A ．60°B ．45°C ．35°D ．30° 3. 如图，已知AB ∥CD ，BC ∥DE ．若∠A=20°，∠C=120°，则∠AED 的度数是（ ）．A ．80°B ．70°C ．60°D ．85° 4. 化简22-a b ab –22--ab b ab a 等于（ ）． A ．b a B ．a b C ．–b a D ．–a b5. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，AD=，DE=2，则四边形OCED 的面积（ ）．A ．B ．4C ．．86. 若x=–2是关于x 的一元二次方程x 2+32ax –a 2=0的一个根，则a 的值为（ ）． A ．–1或4 B ．–1或–4 C ． 1或–4 D ．1或4二、填空题（本题共3小题，每题4分，共12分）7. 已知分式2121--()()x x +x 的值为0，那么x 的值是 ． 8. 分解因式：6x 2–3x –18= ．9. 设m ，n 是一元二次方程x 2+2x –7=0的两个根，则m 2+3m+n= ．三、解答题（本题共2小题，共20分）10. （本小题满分8分）关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k 2+1=0有两个不等实根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根x 1，x 2满足x 1+x 2=–x 1x 2，求k 的值．11. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+2过B (–2，6)，C (2，2)两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；（3）若直线y=–12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC （包括端点B ，C ）部分有两个交点，求b 的取值范围．B 卷一、选择题（本题共4小题，每题3分，共12分）1. tan690°的值为（ ）．A ．3B ．3C ．2. 为了得到函数y=sin(2x+6π)的图象，可以将函数y=sin(2x+3π)的图象（ ）． A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 3. 已知函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )=x (1+x )；当x ＜0时，f (x )等于（ ）．A ．–x (1–x )B ．–x (1+x )C ．x (1–x )D ．x (1+x )4. 在△ABC 中，AB=AC=1，AM MB =，BN NC =，14CM AN ⋅=-，则∠ABC=（ ）． A ．125π B ．3π C ．4π D ．6π二、填空题（本题共2小题，每题4分，共8分）5. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 m 3．6. 已知函数f (x )=log a (2x –1)（a ＞0，且a ≠1）在区间(0，1)内恒有f (x )＞0，则函数y=log a (x 2–2x –3)的单调递增区间是 ．三、解答题（本题共3小题，共30分）7. （本小题满分6分）已知圆C ：x 2+y 2+2x –2y –2=0和直线l ：3x+4y+14=0．（1）求圆C 的圆心坐标及半径；（2）求圆C 上的点到直线l 距离的最大值．8. （本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ．已知c 2=a 2+b 2–4bc cos C ，且A –C=2π． （1）求cos C 的值；（2）求cos(B+3π)的值．9. （本小题满分12分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F分别为棱D1D 和B1C1的中点．（1）求证：BD1∥平面EAC；（2）求证：平面EAC⊥平面BB1D1D；（3）求直线BF与平面BB1D1D所成角的正弦值．天津市南开区南大奥宇培训学校2018-2019学年上学期开学考试高二数学试题参考答案A卷一、选择题：（本题共6小题，每题3分，共18分）二、填空题：（本题共3小题，每题4分，共12分）7．–2； 8．3(2x+3)(x–2)； 9．5．三、解答题：（其他正确解法请比照给分）10. 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴b2–4ac=(2k+1)2–4(k2+1)＞0，……………2分解得：k＞34，即实数k的取值范围是(34，+∞)．……………3分（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=–(2k+1)，x1x2=k2+1，……………5分又∵方程两实根x1，x2满足x1+x2=–x1x2，∴–(2k+1)=–(k2+1)，……………6分解得：k1=0，k2=2，……………7分∵k＞34，∴k=2．……………8分11. 解：（1）由题意42264222-+=⎧⎨++=⎩，，a ba b，……………2分解得121⎧=⎪⎨⎪=-⎩，，ab……………3分∴抛物线的解析式为y=12x2–x+2．……………4分（2）∵y=12x2–x+2=12(x–1) 2+32，∴顶点坐标(1，32)，……………5分由点B (–2，6)，C (2，2)易得直线BC 为y=–x+4， ……………6分如图，∴对称轴与BC 的交点H (1，3)，∴DH=32． ……7分 ∴S △BDC =S △BDH +S △DHC =12×32×3+12×32×1=3．……8分 （3）由212122⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，，y x b y x x 消去y 得到x 2–x+4–2b=0，……9分当b 2–4ac=0时，直线与抛物线相切，即1–4(4–2b )=0， ∴b=158， ……………10分 当直线y=–12x+b 经过点C 时，b=3， 当直线y=–12x+b 经过点B 时，b=5， ……………11分 ∵直线y=–12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC （包括端点B ，C ）部分有两个交点， ∴158＜b ≤3． ……………12分B 卷一、选择题：（本题共6小题，每题3分，共18分）二、填空题：（本题共3小题，每题4分，共12分）5．6+； 6．(–∞，–1)．三、解答题：（其他正确解法请比照给分）7. 解：（1）圆的方程化为(x+1)2+(y –1)2=4， ………………1分∴圆心C 的坐标为(–1，1)，半径r=2． ………………3分（2）圆心C 到直线l 的距离d=2243141431++⨯+⨯-=3， ………………5分∴圆C 上的点到直线l 距离的最大值为d+r=5． ………………6分8. 解：（1）∵c 2=a 2+b 2–4bc cos C ，由余弦定理可得a=2c ， ………………1分∴由正弦定理得sin A=2sin C ， ………………2分 又∵A –C=2π，∴sin A=sin(C+2π)=cos C ， ………………3分 ∴2sin C=cos C ，又∵sin 2C+cos 2C=1，解得cos C=552． ………………6分 （2）由（1）知sin C=55， ………………7分 ∴sin2C=2sin C cos C=54，cos2C=2cos 2C –1=53， ……………9分 ∴cos(B+3π)=cos(56π–2C ) =cos 56πcos2C+sin 56πsin2C =–23•53+21•54=10334-． ………………12分 9. 解：（1）连结BD 交AC 于O ，连结OE ．∵E 为棱D 1D 的中点，O 为BD 的中点，∴在△BDD 1中，OE ∥BD 1．∵BD 1Ë平面EAC ，OE Ì平面EAC ，∴BD 1∥平面EAC ．……………………4分（2）∵ BB 1⊥平面ABCD ，且AC Ì平面ABCD ，∴ BB 1⊥AC ．∵AC ⊥BD ，又BD ∩BB 1=B ，∴ AC ⊥平面B 1D 1DB ．∵AC Ì平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面BB 1D 1D ． ………………………8分（3）作FG ⊥B 1D 1，交B 1D 1于G ，连结BG ．∵平面A 1B 1C 1D 1⊥平面BB 1D 1D ，GF Ì平面A 1B 1C 1D 1， ∴GF ⊥平面B 1D 1DB ，∴∠FBG 即为直线BF 与平面BB 1D 1D 所成角． ……………10分 ∵F 为棱B 1C 1的中点，∴GF=42BB 1，BF=25BB 1．∴sin ∠FBG=1010．即直线BF 与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为1010． ………………12分。