第3章 特殊类型的线性规划
4.2线性规划ppt课件
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种 ，它通过将问题转化为线性方程 组，并寻找满足一定约束条件的 解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、 约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时 间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量 和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输 成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨 在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都 具有重要的意义，可以用于求解一些 特殊类型的问题，如运输问题、分配 问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对 偶变量的非负性、对偶问题的最优解 与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的 一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未 知数，约束条件是限制决策变量 取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一 组线性不等式和等式约束以及 一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可 以用来表示各种资源和限制条 件。
目标函数是决策变量的线性函 数，表示要优化的目标。
第三章 特殊类型的线性规划
步骤二 最优方案的判别
判别最优方案的方法之一
闭回路法
在原方案的分配表中，从一个空格开始作一条
闭回路，这个闭回路的边只能是水平或垂直的；
而它的转角，除了开始这个空格之外，其余的
都是填有数字的格（有交通量的格）。
交通发生点 交通吸引点
D1
D2
D3
D4
ai
O1
O2 O3 bj
4
10 9
4
3 9
3
4 8
2
7 4
5
5 5 15
1
6
2
6
产销平衡与出行费用表
步骤一 确定初始方案
交通发生点
交通吸引点
D1 4 10 9
D2 4 3 9 D2 D3
D3 3 4 8 D4
D4 2 7 4 ai
出行费用表
O1 O2 O3
交通发生点 交通吸引点
一般意义上的系数矩阵
系数矩阵的每一列元素中均只有 两个元素为1，其余元素均为零
本例中，工厂的产量与门市部的销量相等， 称为产销平衡的运输问题。
例3-2
某厂下属三个加工厂同生产一种产品，每天的 生产量分别是A1=8吨，A2=7吨，A3=10吨；该 工厂把这些产品分别运往四个地区的门市部销 售，各门市部的销售量分别为B1=3吨，B2=4 吨，B3=9吨，B4=9吨。
本例中所建立的数学模型
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n x m1 x m 2 x mn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
步骤一 确定初始方案
交通发生点 交通吸引点
交通工程专业《系统工程》教学改革的探讨
邱 攀
科教文 化 『 ｌ
胡圣能 张 志明
父迪工 交通工 专业《 程 系来自工程》 教学改革 的探讨 （ 北 水利 水 电学 院 ， 南 郑 州 ４ ０ １ ） 华 河 ５０ １
摘 要： 系统工程》 交通工程专业的一门专业基础课 ， 交通工程人才的培养中具有重要的地位 。针对该课程存在的问题进行 了分析 ， 《 是 在 以培 养学生的综合能力和解决实际问题 的能力为 目 ， 出了《 统工程》 的 提 系 课程教学的改革 思路。
关键词： 系统工程 ； 课程 内容； 学方式 教 了后续 内容学习的难度。 ２２改 革 教学 方 法 ． １ ． 核 方式 比较单 一 ， ７考 不能 充 分 调 动学 生 现 在 学 生 的思 维模 式 与 以往 相 比 。发 生 了 们学 习的穆 极性 ，也不能很好反映学生们的知 巨大的变化 ，传统的教学方式影响了学生的学 ｛ 识综 合 掌 握水 平 。 习兴 趣 和学 习效 果 ， 对 系统 工 程 的学 科 特 点 ， 针 ２ 程 教学 的 改革 课 有 必 要 进 行 如 Ｆ的 改革 ： 系 统工 程 学 作 为一 门 多种 学 科 的综 合 性 学 ２２】传统的教学手段与现 代教育技术 相 －＿ 科， 以理论教学为主， 配合实践教学。教学 内容 结合。 课堂教学 中， 一方面以通俗易懂的方式切 的选取上 ，首先要考虑到学科体系 的完整 性 ， 入主题 ， 精讲具有代表性、 源于实际问题的典型 为学生打牢 论基础 ，其次也应具有很强的实 案例 ，通过简单理论过渡到典型案例最后再 深 践性， 突出学生实践能力的培养；教学过程 ｌ ， 化到复杂理论， ｝ 】 降低学生听讲的难度 ， 让学生逐 既要注重 系统工程的基本理论 和方法 ，提高学 步掌握系统工程处理问题的方式方法 ，逐步建 生运用 系统 工程方法构建 优化决策模 型 的能 立起学生应掌握 的系统工程学理论知识框架 。 十 分 重 要 意义 。 力 ，叉 要 培养 学 生 锯决 具 体优 化 问 题 的 实践 能 充 分发挥传统教学方式中教师与学生面对面直 ｌ 系统工程》 《 课程教学问题现状分析 力 ， 辅 以新 颖 、 效 的教 学手 段 提 高学 生 学 习 接交流的优势。 并 有 另一方 面， 利用现代多媒体技术 《 统工 程 》在 交 通 工程 专 业 人 才 培 养 过 的兴趣 ， 强师生问的交流互动。 系 增 通过该课 程的 提高教学内容的科学性、 先进性和趣味性 ， 根据 程 中所 具有 的特 殊地位决定 了其教学 的重要 教学力求使学生做到概念准确 、 原理清楚 、 方法 课 程内容的需要穿插 一 动画、 些 声音 、 视频 ， 使 性； 同时该课程作为一门新兴的应用学科 ， 具有 熟练 ， 能够熟练建立有关优化模型， 构造相应的 原来抽象 、 枯燥 滩 以理解 的理论及公式推导变 般方法论的性质，也决定 了该课程 的交叉性 解决算 法 ，并在计算 机上通过编 程求 出最优 得直观 、 形象 ． 从而激发学生 的学 习热情 ， 调动 和复杂性 。 笔者调查了全 国印 多所具有交通工 解 ，将 学 生 培 养 成具 有数 学 素质 和 刨新 能 力 的 其主观能 动性。 在教学实践中坚持交互式教学 ， 程专业 的大中专院校。发现在该门课程实际教 复 合 型人 才 。 才能发挥传统教学与现代多媒体技术结合起来 学过程 中， 存在不少问题 ， 主要表现在 ： ２Ｉ改 革课 程 内 容 ． 的优势 ，最大限度地使用信息和发挥学生 的能 １ ． 然大 部 分 学 院 对该 门 课 程学 习 十分 １虽 根 据 人 才培 养 模式 、专 业 教 学 ｔ２ 及 学 生 动 性 。 ｆ， －ｌ 重视 ， 但分配的课时 比较少 ； 同时各院校在教材 的实际情况，制定出切实可行的教学大 纲 ，努 ２２２教师的主导性与学生 的主体 性相结 ．． 的选 取 上 差别 也 很 大 。例 如 西南 交 通 大 学交 通 力做到教学内容的设置和阶梯难度符合学生 的 合 。授课过程 中， 采用互动式和启发式教学 ， 教 运输学院交通工程专业本科教学 以《 运筹学》 为 认知规律，实现课程结构体系化 ，教学 内容科 师 可 以有 意识 地选 择 一些 章 节 或 一些 比较 优 秀 教材 ， 分配 ４ ８学时 ； 华北水利水电学院交通工 学化 。如交通工程专业专科 的讲授 内容包括 ： 的论文， 让学生通过看书， 课堂讨论 ， 查阅资料 。 程专业 以《 系统工程》 为教材 ， 分配 ３ 学时 ； ２ 作 线性规划 ，特殊类型的线性规划 ，动 态规划 ， 将 自己的看法 与体会在课堂上进行交流。教师 为一门考试课 ，教师和学生们普遍感觉学时偏 图与网络理论 ， 存储论， 排队论 ， 预测方法及其 在交流过程 随时根据发现的问题 ． 卜， 正确加以 少。 应用， 决策分析 ， 对策论。 内容安排时， 主要 使学 引 导，并适时提出问题 ，启发学生的开拓性思 １ ． 教 学 过 程 中 ，过 于 强 调 数 学 公 式 及 生 领会 方 法 的原 理 ， 化数 学 证 明 ， 点 放 在 方 维 ， 分挖 掘学 生 的学 习潜 力 。例 如 ， 讲授 对 ２在 淡 重 充 在 其 推导 ，使 得 数学 基 础 不够 扎 实 的学 生 们 往 往 法 的 教授 上 ， 主要 培 养学 生 建模 与 计 算 能 力 。 教 策论时， 采用提问的方式 ， 让学生结 合生活中的 望而却步 ， 学起来 比较吃力 ； 学生们对系统工程 学 中应 系 统 地讲 解 系统工 程 学 的理 论 知 直 些 博 弈 论 的例 子来 体 会 对 策论 的 思 想 ，这 样 只和 中 的决 策 方 法 和优 化 技术 感 到 困难 。 用 方法 ，使 学生 掌 握 系统 工 程 的基 本 优 化理 论 就可以增加学生思考的空问 ， 调动课堂气氛 。 通 １３存在着理 论和实际相脱节 的内容。由 和优化方法 ， ＿ 掌握课程主要分支的模型、 基本概 过 安 排 习题 课 和 开通 网上答 疑 系 统 ，由指 导 教 于教学 内容、 方法和手段 比较落后 ， 培养出的学 念 与理论 、 算 法及 其 应用 ， 学 生进 一步 从 师舆 Ｉ解决 同学们课堂课后遇到的问题 ，对所 主要 为 １ １ 生解决实际问题 的能力 比较差 ，难以适应交通 事 该 方 向 的 自学 与研 究 打 下基 础 ；特别 是 为 学 学 知 识 做 到及 时 理解 ， 时 消化 及 生 们 继 续深 造 交 通运 输 规划 与管 理 、管理 科 学 ２３加强 实 践教 学 环节 复合型人才的需要。 １ ． ４教学 内容不恰当。系统工程课程包括 与 工 程等 专业 的研 究 生学 习打 下 重要 基 础 。 系统 工程学是一门实践性很强的课程 ，实 根据 系 统 ：程 学 的 发展 趋 势 ，适 当增 加 计 验内容是教学内容的重要组成部分，具体安排 亡 若 干分支 ，由于学时所限 ， 不可能包括所有分 第一 ：上机实践 。 学完每一章 支，不同专业 、不同层次的学生应根据 自己的 算机编程解法的内容。由于系统工程 中运用 的 可分为两个途径 。 兴趣爱好选择教学内容， 目前， 在系统工程课程 优 化 方法 计 算 量 大 ，利 用辅 助 软 件进 行 计 算 显 ｔ后 ，以 大 作 业 的形 式 砸 置 相 关 的实 验 习题 ， 卜 Ｘ Ｓ＇Ｓ ＥＶ Ｅ ＬＮ ＬＮ 的教学中 ， 教学内容的选择存在一定的随意性 得 非 常必 要 。 『时 教 师在 教 学 过程 巾可 适 当 增 选 择 Ｅ ＣＥｌ、ＩＳ 、 ｉ Ｓ、 ／ ＤＯ、 Ｉ ＧＯ、 ｎ ］ 和盲 目性 。同时教学过程中缺少案例教学。 加 一些 优 秀 论 文 的讲 解和 分 析 ，这 些 论 文 材 牛 ＭＡＩＡ Ｂ等软件作为平台，让学生根据所学 斗 ＿ Ｎ Ｌ １ ． ５教学手段 比较单一 ，基本上以手算为 可以选取 ＜ 系统工程学报》 运筹学学报》 统计 的重要算法、 《 《 重要案例 ， 通过编程实现 ， 分析实 写出宴验分析报 告。 这一过程 旨在加深 主， 课堂教学效果不理想 ， 较少使用计算机有关 与决策》 交通运输系统： 程》 公路交通科技 》 验结 果， 《 【 《 软件， 降低 了学生们学习的热情和积极性 ， Ｆ 等这 些 优 秀 的 杂志 ，从而 让 学生 捕 捉 到 学利 发 学生别所学知识的掌握 及时相芰数学软 件的应 谍 作业比较枯燥繁琐 。很多学生仅仅局限于有关 展前沿的知识比如神经网络、 遗传算法 、 色系 灰 情况。 二 澡程设 。 第一 ： 系统工程课程结束后 ， 考 试 内 容 ， 会 照例 题 计算 外 ， 迁 移 能 力 和 统 、 糊 数学 等 。 学 生 了解 学 利 发 的 动 态 ， 教 师 结 合 宴际 和 数学 内容 ，设 计 多个 综 合 性 的 只 缺少 模 让 变通能力 。 开拓 学 生 的 视野 和 如识 面 例如 神 经 络 方 法 课题 ． 根揪课题的难易程度， 制定合理 的评分标 １ ． ６教与学信息反馈不及时 ，师生互动性 应 用 于交 通 ｆ 的预 测方 面 ，图 论和 网 络理 论 应 准 ��
高中数学简单线性规划教案
高中数学简单线性规划教案
目标：学生能够理解和应用简单线性规划概念，解决实际问题
一、引入
1. 引导学生回顾线性规划的基本概念：目标函数、约束条件等。
2. 引导学生思考以下问题：什么是线性规划？线性规划在生活中有哪些应用？
二、知识点讲解
1. 线性规划的定义：将问题转化为目标函数和约束条件的最优化问题。
2. 线性规划的基本步骤：确定目标函数、列出约束条件、求解最优解等。
3. 简单线性规划的例子：例如生产某种产品时的最优生产数量、销售某种商品时的最大利润等。
三、练习与应用
1. 让学生通过实际例子练习简单线性规划的求解过程。
2. 给学生一个生活中的实际问题，让他们尝试用线性规划方法解决。
四、总结与反思
1. 总结本节课所学的内容，强调线性规划的重要性和应用价值。
2. 让学生思考如何将线性规划应用到更复杂的实际问题中，并鼓励他们多做练习。
五、作业
1. 布置相关练习题和应用题作为作业，巩固本节课所学的知识。
2. 提醒学生在做作业时要注意思考问题的建模和求解方法。
六、拓展
1. 可以邀请专业人士或相关领域的学者给学生讲解线性规划在实际中的应用和发展趋势。
2. 可以组织学生参加线性规划竞赛或实践活动，增强他们的动手能力和实际应用能力。
高中线性规划
高中线性规划高中线性规划是高中数学课程中的一个重要内容，它是线性代数的一部份，主要涉及到线性方程组的解法和应用。
线性规划是一种优化问题，通过数学模型和计算方法，寻觅使目标函数达到最大或者最小的变量值。
在实际应用中，线性规划可以用于资源分配、生产计划、投资决策等方面。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括目标函数、约束条件和可行解。
目标函数是需要最大化或者最小化的线性函数，约束条件是限制变量取值范围的线性不等式或者等式，可行解是满足所有约束条件的变量取值组合。
二、线性规划的解法线性规划的解法主要有图形法、单纯形法和对偶理论等。
其中，图形法适合于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解。
单纯形法是一种迭代计算方法，通过不断调整基变量和非基变量的取值，逐步接近最优解。
对偶理论是线性规划的一个重要理论基础，通过对原始问题和对偶问题的转化和求解，可以得到最优解。
三、线性规划的应用案例1. 资源分配问题：某公司有限定的人力和物力资源，需要合理安排生产计划，以最大化利润。
通过线性规划，可以确定各项生产任务的分配比例，使得总利润最大化。
2. 投资决策问题：某投资者有一定的资金，希翼通过投资股票和债券来获取最大的回报。
通过线性规划，可以确定投资比例，使得预期收益最大化。
3. 运输问题：某物流公司需要将货物从多个仓库运送到多个客户处，希翼通过合理的运输方案，使得运输成本最小。
通过线性规划，可以确定货物的运输路径和运输量，使得总运输成本最小化。
四、线性规划的局限性线性规划在实际应用中存在一定的局限性。
首先，线性规划的模型假设目标函数和约束条件均为线性关系，但实际问题中往往存在非线性关系。
其次，线性规划的解法可能存在多个最优解或者无解的情况，需要结合实际情况进行判断。
此外，线性规划对数据的准确性要求较高，对于不确定性较大的问题，可能需要引入其他方法进行处理。
总结：高中线性规划是数学课程中的一部份，主要涉及到线性方程组的解法和应用。
线性规划基本模型
在每次迭代中，单纯形法会根据目标函数的 系数和约束条件，通过一系列的数学运算， 将问题转化为更简单的形式，直到找到最优 解或确定无解。
单纯形法具有简单易懂、易于实现 的特点，是解决线性规划问题最常 用的方法之一。
对偶问题
等式约束
等式约束优化是指在优化问题中包含等式约束的线性规划问题。等式约束通常 表示决策变量之间的关系，满足等式约束是找到最优解的必要条件。
求解算法
对于包含等式约束的线性规划问题，可以采用一些特殊的算法进行求解，如消 元法或拉格朗日乘子法。这些算法能够更高效地处理等式约束，并找到最优解。
05
线性规划的扩展模型
线性规划基本模型
• 线性规划概述 • 线性规划的基本概念 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的优化方法 • 线性规划的扩展模型 • 线性规划的实际应用案例
01
线性规划概述
定义与特点
定义
线性规划是一种数学优化方法，通过 在一定的约束条件下最大化或最小化 一个线性目标函数，来找到一组变量 的最优解。
现状
目前，线性规划已经发展成为一 个成熟的学科分支，有许多成熟 的算法和软件工具可用于解决各 种实际问题。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组
01
线性规划问题通常由一组线性方程组成，这些方程描述了决策
变量之间的关系。
线性方程的解
02
线性方程组可能有多个解，但在线性规划中，我们通常只关心
满足特定约束条件的解。
资源利用
线性规划可以确定最佳的资源利用方案，包括原材料、设备、劳动力等，以最小化生产成本或最大化 利润。
《线性代数》课程教学大纲
《线性代数》课程教学大纲Linear Algebra—、课程基本信息二、教学目标本课程以应用型人才的培养计划为LI标，以提高学生的数学素质、掌握线性代数的基本思想方法、基本讣算方法与培养学生的数学应用创新能力为教学LI标。
同时为学习后继课程和自我更新奠定必要的数学基础。
（一）知识LI标线性代数将使学生获得行列式、n维向量、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量、二次型等相关的基本知识，同时接受基本运算技能的训练，为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
（二）能力LI标线性代数培养学生抽象思维能力和逻辑推理的理性思维能力，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，进而培养学生的创新意识和能力。
（三）素质□标随着社会的发展，线性代数的内容更为丰富、方法更为综合、应用更为广泛。
线性代数不仅是一种工具，而且是一种思维模式；它不仅是一种知识, 而且是一种素养；它不仅是一种科学，而且是一种文化。
本课程将培养学生的思维能力、数学素养及数学文化，在应用型高素质人才培养中起到不可替代的作用。
培养学生科学思维的能力。
为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
三、基本要求本课程是理工等学科各专业的一门重要基础理论课程。
要求学生掌握行列式、n 维向量、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量、二次型等基本知识和基本计算方法, 并能利用所学知识解决一些实际问题。
（-）了解克莱姆法则及应用；向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法; 初等矩阵的性质和矩阵等价的概念；线性方程组的基本概念；二次型秩的概念、二次型的标准型的概念及惯性定理。
（二）理解矩阵的等价、相似与合同，矩阵的初等变换和秩；向量的线性相关性, 极大无关组与向量组的秩；齐次线性方程组的基础解系，线性方程组的通解：矩阵的特征值与特征向量，矩阵的相似对角化；二次型与标准形。
（三）掌握矩阵与行列式的运算；向量组线性相关性的判定，向量组的极大无关组和秩的计算；线性方程组的解法；矩阵的特征值与特征向量的计算，矩阵的相似对角化的判定；化二次型为标准形的方法。
【最优化】线性规划基本概述
【最优化】线性规划基本概述什么是线性规划：线性规划就是特殊的有约束优化问题，⽬的是通过⼀组线性等式或者不等式下得可⾏集合点，来寻找⼀个⽬标函数的极值；通常来说，极值可以是极⼤极⼩，但是⼀般采⽤极⼩，看到相关的案例，求极⼤值直接前⾯加负号变为极⼩值即可；线性规划的基本问题形式：线性规划问题可以采⽤最基本的数学符号进⾏描述：minimize c T xsubject to Ax=bx>=0;对于上述可以这样理解，对于某个参数向量x，所满⾜的可⾏域条件为Ax=b，也成为约束⽅程，可⾏域内点集由该⽅程组确定，其中值得注意的是可⾏域条件不⼀定为等式，只需要线性即可；c T x为⽬标等式，两个都为向量，所以值为⼀个单值，旨在找到⼀个极⼩值，使得满⾜minimize的要求；因此，对于任何的问题，都可以转为标准的问题形式进⾏求解；其中，⽐较有意思的是约束条件实际定义了求解的维数，也就是如何直观的通过对x的选择，使得c T x最⼤；如果从空间思想来考虑，就可以分为简单⼆维和三位情况下的最优化；如果是简单的⼆维情况：c T x相当于ax1+bx2，相当于⼆维平⾯上的⼀条直线，其中要求的是如何选定x1,x2的值，使得k=ax1+bx2存在最⼤最⼩值（因为向量c相当于已经确定了斜率）；⽽约束条件也为围成的⼀系列可⾏域，在⼆维平⾯内选择点，使得k=ax1+bx2最⼤，也就是和x2轴交点值最⼤；如下图所⽰，书上也给了⼀个很好的例⼦：⽽对于多维情况，则需要涉及凸多⾯体问题：c T x中的c的个数已经限定了多维空间下n的⽬标函数；约束条件Ax=b，其中A为m*n维数向量，定义了m个超平⾯所围成的⼀个凸多⾯体，并且假设该多⾯体⾮空有界；书上讨论了很多种情况，例如多⾯体超平⾯的维数问题；但是这⾥还是说⼀下常规的转换求法；根据c T x得到⼀个超平⾯c T x=0；找到⼀个⽀撑超平⾯c T x=β，使得整个胞体M在半平⾯，且M和超平⾯交集为M'；所以⽆论任何属于负半区的点y，都会有c T y<β；⽽任何属于M’的点y，都有c T y=β；所以可得到⽀撑超平⾯的点是极值点，同样如果⽀撑超平⾯为单点情况下，仍然适⽤；线性规划问题的标准型：对于标准型，和之前谈到的基本形式类似，实对所有⾼维线性规划下的问题做⼀个基本的形式定义；minimize c T xsubject to Ax=bx>=0值得注意的是Ax=b的条件，所有⼤于等于的线性条件都应该转为等于进⾏讨论，个⼈认为是使得所构成的解集范围是多胞体⽽⾮多个超平⾯围成的范围；⽽对于⾮标准形式，往往有Ax>=b或者Ax<=b，所以通过变换来变成⼀般的标准形式；其中注意下不同的说辞，Ax>=b,Ax<=b，⽆⾮就是加减y⽽已，保持y>=0即可，两种情况称之为剩余变量y和松弛变量y，名字记不记住感觉⽆伤⼤雅；基本解：当给出线性规划的基本形式之后，就可以对基本解进⾏构造；总的来说，解和传统的线性齐次、⾮齐次⽅程组不同，主要关注两个类型：1.基本解；2.可⾏解；两者其实有交集，交集的形式为基本可⾏解；基本解求法：可⾏解求法：可⾏解本质就是满⾜标准形式的解，也就是满⾜Ax=b,且x>=0的解，两个条件缺⼀不可；⽽基本可⾏解就是既为基本解满⾜x>=0的解；对于书上，有给出的相关例题，说明怎么求解可⾏解和基本解：基本解的性质：最优可⾏解：能够使得⽬标函数c T x取最⼩值的解；最优基本可⾏解：该最有可⾏解为基本解；其中对于线性规划来说，有挺重要的⼀条性质：1.如果存在可⾏解，则⼀定存在基本可⾏解；2.如果存在最优可⾏解，则必定存在最优基本可⾏解；基本可⾏解的实际意义：如果对于⼀个凸集，求⽬标函数极值，则必定取值点必定是凸集上的极点，对应的就是可⾏基本解；所以最后只需要寻找可⾏基本解中哪⼀个可以使得⽬标函数c T x最⼤(最⼩)，就可以得到最优基本可⾏解；【注意】关于为什么要找极点：根据前⾯⼆维推⼴⾄多维的推导，都是根据⽀撑超平⾯来进⾏极值寻找，所以找极值点也就相当于找使得距离原点超平⾯最远的⽀撑超平⾯；所以有定理：如若存在⼀个可⾏解组成的凸集，集合中的所有n维向量x满⾜Ax=b，x>=0，其中A维m*n维向量，则x是凸集中的极值点当且仅当x是Ax=b，x>=0的基本可⾏解；证明过程如下所⽰：。
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一般意义的线性规划问题
max z = c1 x1 + c 2 x 2 + L + c n x n
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2 LLLLLLLLLLLL a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm x1 , x 2 ,L, x n ≥ 0
5 5 5 15
1
6
2
6
求解该问题分三个步骤
确定初始方案 检验该方案是否为最优方案否 是Fra bibliotek调整方案
计算停止
步骤一 确定初始方案
确定初始方案的方法之一
西北角法
西北角法的基本思想是优先产销平衡表 的左上角（西北角）的供应关系。
步骤一 确定初始方案
在逐步确定初始运输方案时，一般每步要经过两个过程，先是 根据运输费用确定供应关系，然后根据供需要求进行运量分配。 为了方便，将产销平衡与运输费用表拆成运输费用与运量分配 表。
B1 A1 A2 A3 2 1 4 B2 2 16 7 B3 3 2 10 B4 16 3 8
先建立数学模型
假设从工厂到门市部的运输量为 则有
min C = ∑∑ cij xij
i =1 j=1 m n
x ij
Cij为工厂到门市部单位物资的运价 ai为第 个工厂的产量 为第i个工厂的产量 为第j个门市部的销售量 bj为第 个门市部的销售量
O2 O3
交通吸引点 交通发生点
运 量 分 配 表
D1 １
O1 O2 O3 bj
5 5 5
1
6
2
6
15
从运量分配表的最左上角（西北角）的格子开始。让发生点O 从运量分配表的最左上角（西北角）的格子开始。让发生点 1的物资尽可能多地运 往吸引点D1。由于吸引点D1需要的物资总量只有1，而发生地O1要求运出的物资总 往吸引点 由于吸引点 需要的物资总量只有 ，而发生地 量为5，所以O 要运出的物资总量中1个单位运至 个单位运至D 量为 ，所以 1要运出的物资总量中 个单位运至 1，即x11=1，将此运量１填入运 ，将此运量１ 量分配表的（ 格子。这时吸引点D 物资需求量已经满足， 量分配表的（O1,D1）格子。这时吸引点 1物资需求量已经满足，不再需要其他任 运来物资，由平衡条件得x 何发生地运来物资，由平衡条件得 21=0，x31=0。 ， 。
步骤一 确定初始方案
交通吸引点 交通发生点
D1 4 10 9
D2 4 3 9 D2 D3
D3 3 4 8 D4
D4 2 7 4 ai
出行费用表
O1 O2 O3
交通吸引点 交通发生点
运 量 分 配 表
D1
O1 O2 O3 bj
１
４
5
２
1 6
２
2
１ ５
6
5 5 15
从运量分配表当前的最左上角（西北角）的格子（ 开始。 从运量分配表当前的最左上角（西北角）的格子（ O３,D４）开始。让发生点O３的 需要的物资总量为５ 物资尽可能多地运往吸引点D４。由于当前吸引点D４需要的物资总量为５，而发生 当前能运出的物资总量为５ 所以O 运出的物资总量中５个单位运至D 地O３当前能运出的物资总量为５，所以 ３运出的物资总量中５个单位运至 ４， 格子。 即x３４=５，将此运量５填入运量分配表的（O３,D４）格子。 ５ 将此运量５填入运量分配表的（
步骤一 确定初始方案
交通吸引点 交通发生点
D1 4 10 9
D2 4 3 9 D2 D3
D3 3 4 8 D4
D4 2 7 4 ai
出行费用表
O1 O2 O3
交通吸引点 交通发生点
运 量 分 配 表
D1
O1 O2 O3 bj
１
４
5
２
1 6
２
2
１
6
5 5 15
表当前的最左上角（西北角）的格子（ 开始。 从运量分配表当前的最左上角（西北角）的格子（ O２,D４）开始。让发生点O２的 需要的物资总量为６ 物资尽可能多地运往吸引点D４。由于吸引点D４需要的物资总量为６，而发生地O２ 当前能运出的物资总量为１ 所以O 运出的物资总量中１个单位运至D 当前能运出的物资总量为１，所以 ２运出的物资总量中１个单位运至 ４，即x２４ =１，将此运量１填入运量分配表的（O２,D４）格子。这时发生地D２物资需求量已 格子。 １ 将此运量１填入运量分配表的（ 经满足， 运来物资。 经满足，不能再向其他任何吸引点运来物资。
产销平衡的运输问题一定有最优解
为了简化计算过程，利用运输问题系数矩阵的特点， 在单纯形法的基础上，创造了一种专门求解运输问 题的方法，称为表上作业法。 表上作业法的求解过程也包含如下三个关键步骤： 初始基可行解（也称初始运输方案）的确定； （1）初始基可行解（也称初始运输方案）的确定； 基可行解检验数的计算与最优判别； （2）基可行解检验数的计算与最优判别； 非最优基可行解的改进（迭代）。 （3）非最优基可行解的改进（迭代）。
步骤一 确定初始方案
交通吸引点 交通发生点
D1 4 10 9
D2 4 3 9 D2 D3
D3 3 4 8 D4
D4 2 7 4 ai
出行费用表
O1 O2 O3
交通吸引点 交通发生点
运 量 分 配 表
D1
O1 O2 O3 bj
１
４ ２
5
２
2 6
5 5
1
6
15
表当前的最左上角（西北角）的格子（ 开始。 从运量分配表当前的最左上角（西北角）的格子（ O２,D３）开始。让发生点O２的物 需要的物资总量只有２ 资尽可能多地运往吸引点D３。由于吸引点D３需要的物资总量只有２，而发生地O２当 前能运出的物资总量为３ 所以O 运出的物资总量中２个单位运至D 前能运出的物资总量为３，所以 ２运出的物资总量中２个单位运至 ３，即x２３=２， ２ 将此运量２填入运量分配表的（ 格子。 物资需求量已经满足， 将此运量２填入运量分配表的（O２,D３）格子。这时吸引点D３物资需求量已经满足， 运来物资，由平衡条件得x 不再需要其他任何发生地运来物资，由平衡条件得 ３３=0。 。
本例中所建立的数学模型
x11 x12 L x1n x 21 x 22 L x 2 n L x m1 x m 2 L x mn 1 1 1 L1 1 1 L 1 O 1 1 O 1 1 O 1 1 1 1 L 1 1 O 1
步骤一 确定初始方案
交通吸引点 交通发生点
D1 4 10 9
D2 4 3 9 D2 D3
D3 3 4 8 D4
D4 2 7 4 ai
出行费用表
O1 O2 O3
交通吸引点 交通发生点
运 量 分 配 表
D1
O1 O2 O3 bj
１
４
5 5 5
２
1 6 2 6
15
表当前的最左上角（西北角）的格子（ 开始。 从运量分配表当前的最左上角（西北角）的格子（ O２,D２）开始。让发生点O２的物 需要的物资总量只有２ 资尽可能多地运往吸引点D２。由于当前吸引点D２需要的物资总量只有２，而发生地 O２要求运出的物资总量为 ，所以 ２要运出的物资总量中２个单位运至 ２，即x２２ 要求运出的物资总量为5，所以O 要运出的物资总量中２个单位运至D =２，将此运量２填入运量分配表的（O２,D２）格子。这时吸引点D２物资需求量已 格子。 ２ 将此运量２填入运量分配表的（ 经满足， 运来物资， 经满足，不再需要其他任何发生地运来物资，由平衡条件得x３２=0。 。
max z
=
∑c
j =1
n
j
xj
n ∑ a ij x j = bi j =1 xj ≥ 0
(i = 1,2, L , n) ( j = 1,2,L , n)
第一节
运输问题
先看一个具体的例子——例3-1 例 先看一个具体的例子
某厂下属三个加工厂同生产一种产品，每天的生产量分别是 A1=8吨，A2=7吨，A3=10吨；该工厂把这些产品分别运往四 个地区的门市部销售，各门市部的销售量分别为B1=3吨， B2=4吨，B3=9吨，B4=9吨 。已知从各加工厂到各门市部的 每吨运费如下表所示。问该工厂如何制定调运产品的方案， 在满足各门市部销售量的情况下，使总的费用为最少？
例3-3
假设某地区有三个交通发生点和四个交通吸引点，交 通发生点的出行产生量ai、交通吸引点的出行吸引量bj 以及各交通发生点与吸引点之间的运输费用如下表所 示。问如何组织交通，才能使总的运输费用最少？
交通吸引点 交通发生点
D1 4 10 9
D2 4 3 9
D3 3 4 8
D4 2 7 4
ai
O1 O2 O3 bj
步骤一 确定初始方案
交通吸引点 交通发生点
D1 4 10 9
D2 4 3 9 D2 D3
D3 3 4 8 D4
D4 2 7 4 ai
O1
出行费用表
O2 O3
交通吸引点 交通发生点
运 量 分 配 表
D1
O1 O2 O3 bj
１
４
5 5 5
1
6
2
6
15
表当前的最左上角（西北角）的格子（ 开始。 从运量分配表当前的最左上角（西北角）的格子（ O1,D２ ）开始。让发生点O1的物 需要的物资总量为６ 资尽可能多地运往吸引点D２。由于吸引点D２需要的物资总量为６，而发生地O1当 前能运出的物资总量为４ 所以O 能运出的物资总量中４个单位运至D 前能运出的物资总量为４，所以 1能运出的物资总量中４个单位运至 ２，即x1２ ２ =4，将此运量４填入运量分配表的（O1,D２）格子。这时发生地O1物资运出量已经 格子。 ，将此运量４填入运量分配表的（ 满足， 运送物资，由平衡条件得x ３ ， ４ 。 满足，不能再向其他任何吸引点运送物资，由平衡条件得 1３=0，x1４=0。