人教版高中数学必修一集合与函数基础知识讲解
数学必修一集合与函数概念知识点梳理
数学必修一集合与函数概念知识点梳理数学必修一集合与函数是数学中的基础概念。
集合是数学中的一个概念，它可以有若干个元素，这些元素可以是任意东西，如数字、字母、图形等等。
而函数则是描述集合之间的关系，将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
首先，我们来了解集合的基本概念。
集合是由若干个不同的元素组成的整体，这些元素可以用大括号{}括起来表示。
在集合中，元素的顺序是没有关系的，而且集合中的元素是唯一的，每个元素只能出现一次。
例如，集合A={1,2,3,4}包含了四个元素1、2、3、4，而集合B={a,b,c}包含了三个元素a、b、c。
接下来，我们来了解集合的一些常见运算。
首先，两个集合的交集是指包含了两个集合公共元素的集合，可以用符号∩表示。
例如，集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A∩B={3,4}。
而集合的并集则是指包含了两个集合所有元素的集合，可以用符号∪表示。
例如，集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A∪B={1,2,3,4,5,6}。
此外，集合的差集是指从一个集合中除去另一个集合中的元素，可以用符号\表示。
例如，集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A\B={1,2}。
此外，还有几个特殊的集合。
空集是一个不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
全集则是指一些给定的范围内的所有元素的集合。
例如，当我们讨论自然数时，全集就是自然数的集合。
而子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合中的元素，可以用符号⊆表示。
例如，集合A={1,2,3,4}，集合B={2,4}，则B是A的子集，可以表示为B⊆A。
在集合的基础上，我们来了解函数的概念。
函数是集合之间的一种特殊关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
函数通常用f(x)的形式表示，其中f是函数的名称，x是输入的元素，f(x)是对应的输出元素。
例如，函数f(x)=2x表示将输入的元素乘以2后得到的输出元素。
人教版高中数学必修一集合与函数基础知识讲解,成才系列
⑹ 由 1~20 以内的所有质数组成的集合。
2
⒉描述法 ： 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。
。
方法 ：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，
在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
一般格式 ： x A p(x)
如： {x|x-3>2} ，{(x,y)|y=x 2+1} ， {x| 直角三角形 } ， , ； 说明 :描述法表示集合应注意集合的 代表元素 ，如{(x,y)|y= x 2+3x+2} 与 {y|y= x 2+3x+2} 是不同的两个集
集合与函数概念
（一）集合的有关概念 ⒈定义： 一般地，我们把研究对象统称为
§1．1 集合
元素 ，一些元素组成的总体叫 集合， 也简称 集 。
2. 表示方法 ：集合 通常用大括号 { } 或大写的拉丁字母 A,B,C , 表示，
而元素 用小写的拉丁字母 a,b,c , 表示。
3. 集合相等： 构成两个集合的元素完全一样。
C.3
D.4
２.方程组 x y 3 的解组成的集合是 ( )
x y1
A. ｛ 2,1｝ B. ｛ -1,2｝ C.（ 2,1） D.｛（ 2,1）｝ 3.把集合｛ -3≤ x≤ 3,x ∈N ｝用列举法表示，正确的是 ( )
A. ｛3,2,1｝ B. ｛ 3,2,1,0｝ C.｛ -2,-1,0,1,2 ｝ D.｛ -3,-2,-1,0,1,2,3 ｝
说明： 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，
一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
练习： 5 页 2 题
人教版高中数学必修一第一章知识点
第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O 一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0)ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。
人教版高中数学必修一《集合与函数概念》全章知识小结
一、集合1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合．(1)集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a∈A；若b不是集合A的元素，记作b∉A.(2)集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性．确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素．无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关．(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法．列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号{}内．描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．特别关注：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．(4)常用数集及其记法．非负整数集(或自然数集)，记作N；正整数集，记作N*或N＋；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.2．集合的包含关系．(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集(或B包含A)，记作A⊆B(或B⊇A)．集合相等：构成两个集合的元素完全一样．若A⊆B且B⊆A，则称A等于B，记作A ＝B；若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B.(2)简单性质：①A⊆A；②∅⊆A；③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；④若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集(其中2n－1个真子集)．3．全集与补集．(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U.(2)若S是一个集合，A⊆S，则∁S A＝{x|x∈S且x∉A}称S中子集A的补集．(3)简单性质：①∁S(∁S A)＝A；②∁S S＝∅；③∁S∅＝S.4．交集与并集．(1)一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集．交集A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(2)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．并集A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．特别关注：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．5．集合的简单性质．(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(2)A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；(3)(A∩B)⊆(A∪B)；(4)A⊆B⇔A∩B＝A；A⊆B⇔A∪B＝B；(5)∁S(A∩B)＝(∁S A)∪(∁S B)，∁S(A∪B)＝(∁S A)∩(∁S B)．二、函数1．函数的概念．设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．特别关注：(1)“y＝f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)”；(2)函数符号“y＝f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型．指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，等等)．②限制型．指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中的重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误．③实际型．解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考查自变量x的实际意义．(2)求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题：①配方法(将函数转化为二次函数)；②判别式法(将函数转化为二次方程)；③不等式法(运用不等式的各种性质)；④函数法(运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等)．3．两个函数的相等．函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．4．区间．(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．5．映射的概念．一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：A→B”．函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这样的对应就叫映射．特别关注：(1)这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．(2)“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个，二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．6．常用的函数表示法．(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系．(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．7．分段函数．若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．8．复合函数．若y＝f(u)，u＝g(x)，x∈(a，b)，u∈(m，n)，那么y＝f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域．三、函数性质1．奇偶性．(1)定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝f(x)，则称f(x)为偶函数．如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性．如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．特别关注：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．(2)利用定义判断函数奇偶性的步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称．②确定f(－x)与f(x)的关系．③作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．(3)简单性质．①图象的对称性质：一个函数是奇函数则它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数则它的图象关于y轴对称．②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．单调性．(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]，那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数)．特别关注：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质．②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]．(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．(3)设复合函数y＝f[g(x)]，其中u＝g(x)，A是y＝f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g：x→u＝g(x)的象集：①若u＝g(x)在A上是增(或减)函数，y＝f(u)在B上也是增(或减)函数，则函数y＝f[g(x)]在A上是增函数．②若u＝g(x)在A上是增(或减)函数，而y＝f(u)在B上是减(或增)函数，则函数y＝f[g(x)]在A上是减函数．(4)判断函数单调性的方法步骤．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形(通常是因式分解和配方)；④定号[即判断差f(x1)－f(x2)的正负]；⑤下结论[即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性]．(5)简单性质．①奇函数在其对称区间上的单调性相同．②偶函数在其对称区间上的单调性相反．③在公共定义域内：增函数f(x)＋增函数g(x)是增函数；减函数f(x)＋减函数g(x)是减函数；增函数f(x)－减函数g(x)是增函数；减函数f(x)－增函数g(x)是减函数．3．最值．(1)定义．最大值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)是最小值．特别关注：①函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)＝M.②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M[f(x)≥M]．(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法．①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值．②利用图象求函数的最大(小)值．③利用函数的单调性判断函数的最大(小)值：如果函数y＝f(x)，x∈[a，c]在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)．如果函数y＝f(x)，x∈[a，c]在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)在x＝b处有最小值f(b)．集合中元素个数的计算设card(X)表示有限集X所含元素的个数，则①card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，特别地，当A∩B＝∅时，card(A∪B)＝card(A)＋card(B)；②card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)．由公式：card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)，知36＝26＋15＋13－6－4－card(A∩C)，故card(A∩C)＝8.即同时参加数学和化学小组的有8人．答案：8►跟踪训练1．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为()A．mn个B．m＋n个C．n－m个D．m－n个解析：因为A∩B＝(A∪B)－(∁U A)∪(∁U B)，所以A∩B共有m－n个元素，选D.答案：D2．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______人．解析：设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15－x )人，只喜爱乒乓球的有(10－x )人，由此可得(15－x )＋(10－x )＋x ＋8＝30，解得x ＝3，所以15－x ＝12.即所求人数为12人．答案：121．若a ∈A ，则a ∉∁U A ；若a ∈∁U A ，则a ∉A . 2．若a ∈A ∩B ，则a ∈A 且a ∈B .3．设a <b ，则x ∈{} |x a ≤x ≤b ⇔a ≤x ≤b.已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝( )A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}解析：∵A ∩B ＝{3}，()∁U B ∩A ＝{9}，且B ∪()∁U B ＝U ，∴A ＝{3,9}．选D. 本题也可以用Venn 图(如下图)帮助理解并解决问题．答案：D►跟踪训练3．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________.解析：∵3∈A ∩B ，∴3∈B .又a 2＋4>3，故由a ＋2＝3, 解得 a ＝1. 答案：1有关集合的新定义问题，高考中常见的有两类题型：一是定义集合的新概念，二是定义集合的新运算．一、定义集合的新概念对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是_____________(写出所有凸集相应图形的序号)．集合中的简单推理有关集合的新定义问题解析：由题中凸集的定义，观察所给图形知，①④不是凸集，而②③满足条件，是凸集．答案：②③二、定义集合的新运算在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：那么( )A．a B．bC．c D．d解析：由上表可知：(a c)＝c，故d○*(a c)＝d○*c＝a，选A.答案：A►跟踪训练4．设P是一个数集，且至少含有两个数．若对任意a，b∈P，都有a＋b、a－b，ab、ab∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域．有下列结论：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ，则M 必为数域； ④数域必为无限集．其中正确的结论的序号是__________(把你认为正确结论的序号都填上)．解析：设a ，b ∈数域P ，按照定义得a b ∈P ，b a ∈P ，从而a b ·ba ＝1∈P .又a ，b ∈P ，则a ＋b ∈P ，a －b ∈P ，b －a ∈P ，从而0＝(a －b )＋(b －a )∈P ，于是数域必含有0,1两个数；因此①正确；以此类推下去，可知数域必为无限集，④正确．②对除法如12∉Z 不满足，所以排除；③取M ＝Q ∪{}2，1，2∈M ，但对除法12∉M . 所以①④正确．答案： ①④设集合M 有N 个元素，那么集合M 的所有子集共有2n 个，集合M 的所有真子集共有2n －1个，集合M 的所有非空真子集共有2n －2个．若集合M ＝∅，显然M 的所有子集共有1个；若集合M 只有一个元素，即M ＝{a 1}，M 的所有子集分别是∅和M ＝{a 1}，所有子集共有2个；设集合M 含有n －1个元素， M 的所有子集共有M n －1个，当集合M 含有n 个元素时，不妨设M ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n －1，a n }，M 的所有子集共分为两类：一类是不含a n 的子集，即{a 1，a 2，a 3，…，a n －1}的子集，共有M n －1个，另一类是含a n 的子集，只需将a n 添加到{a 1，a 2，a 3，…，a n －1}的所有子集中去，便得到含a n 的所有子集，显然也有M n －1个，故M n ＝2 M n －1.由此可知， M 1＝2 M 0＝2, M 2＝2 M 1＝4, M 3＝2 M 2＝8，…，M n ＝2 M n －1＝2n .设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个解析：集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8个，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M 共有8－2＝6个．答案： A满足A ⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A 的个数是________个．解析：集合{3,4,5}的所有非空真子集共有23－1＝7个，满足要求的集合A 就是这7个真子集与集合{0,1,2}的并集，故满足要求的集合A 共有7个．答案：7►跟踪训练5．已知集合A ＝{1,2,3,4}，那么A 的真子集的个数是( ) A ．3个 B ．4个 C ．15个 D ．16个答案：C6．已知集合M ＝{0,1}，则满足M ∪N ＝{0,1,2}的集合N 的个数是( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．8个集合的子集个数答案：C对于函数的概念及其表示要注意：1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．2．定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．3．求抽象函数定义域的方法：(1)已知f (x )的定义域为[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，就是求不等式a ≤g (x )≤b 的解集；(2)已知f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，求f (x )的定义域，就是求当x ∈[a ，b ]时，g (x )的值域．4．求函数解析式的常用方法：(1)凑配法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)构造法．5．求函数值域的方法：(1)配方法；(2)分离常数法；(3)换元法．随着学习的深入，我们会有更多的求值域的方法．设x ≥0时，f (x )＝2，x ＜0时，f (x )＝1，又规定g (x )＝3f (x －1)－f (x －2)2(x ＞0)，试写出y ＝g (x )的表达式，画出其图象．分析：对于x ＞0的不同区间，讨论x －1与x －2的符号可求出g (x )的表达式． 解析：当0＜x ＜1时，x －1＜0，x －2＜0，∴g (x )＝3－12＝1；当1≤x ＜2时，x －1≥0，x －2＜0，∴g (x )＝6－12＝52；当x ≥2时，x －1＞0，x －2≥0.∴g (x )＝6－22＝2.故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(0＜x ＜1)，52(1≤x ＜2)，2(x ≥2).函数的概念、表示及其应用其图象如右图所示．点评：此题要注意分类讨论，做题时要分段求解析式．画图要注意端点的取舍．►跟踪训练7．求下列函数的定义域．(1)f (x )＝x ＋2x －1；解析：(1)∵x －1≠0，∴x ≠1，∴函数的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)．(2)f (x )＝4－xx －1；解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ≥0，x －1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，x ≠1.∴函数的定义域是(－∞，1)∪(1,4]．(3)f (x )＝x －1＋1－x ；解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，1－x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤1.∴x ＝1，∴函数的定义域是{1}．(4)f (x )＝x 2＋x ＋1＋1x 2－2x ＋1.解析：∵x 2＋x ＋1的判别式Δ＝12－4×1×1＝－3＜0， ∴x 2＋x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立， ∴函数的定义域由x 2－2x ＋1≠0确定， 由x 2－2x ＋1≠0，得x ≠1.∴函数的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)．点评：求函数的定义域要注意使函数解析式中每个式子都有意义，有时需解不等式组．1．判断函数单调性的步骤： (1)任取x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2； (2)作差f (x 1)－f (x 2)；(3)变形(通分、配方、因式分解)； (4)判断差的符号，下结论．2．求函数单调性要先确定函数的定义域．3．若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为减(增)函数．4．复合函数y ＝f [g (x )]的单调性遵循“同增异减”的原则．5．奇函数的性质： (1)图象关于原点对称；(2)在关于原点对称的区间上单调性相同； (3)若在x ＝0处有定义，则有f (0)＝0.6．偶函数的性质： (1)图象关于y 轴对称；(2)在关于原点对称的区间上单调性相反； (3)f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．7．若奇函数f (x )在[a ，b ]上有最大值M ，则在区间[－b ，－a ]上有最小值－M .已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x |x －2|，求f (x )在R 上的表达式．解析：(1)当x ＝0时，∵f (x )是奇函数， ∴f (－0)＝－f (0)，∴f (0)＝0. (2)当x ＜0时，－x ＞0.∴f (－x )＝－x |－x －2|＝－x |x ＋2|. 又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x |x ＋2|， ∴f (x )＝x |x ＋2|.综上可知，f (x )在R 上的表达式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x |x －2|(x ＞0)，0(x ＝0)，x |x ＋2|(x ＜0).点评：解决本题的关键在于通过区间的过渡，将(－∞，0)上的变量转换到(0，＋∞)上，从而利用函数的奇偶性和函数在(0，＋∞)上的解析式求出函数在(－∞，0)上的解析式，但不要忘记f (x )为奇函数且x ∈R 时，f (0)＝0.►跟踪训练8．设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3)．函数的单调性、奇偶性及其应用(1)证明：f (x )是偶函数；解析：(1)证明：∵f (－x )＝(－x )2－2|－x |－1＝x 2－2|x |－1＝f (x )，即f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数；解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2；当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2－2，x ≥0，(x ＋1)2－2，x ＜0. 根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如下图所示．函数f (x )的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f (x )在区间[－3，－1)，[0,1)上为减函数，在[－1,0)，[1,3]上为增函数(3)求函数的值域．解析：由图象可知，函数值域为[－2,2]．点评：利用函数的奇偶性，可以作出相应的图象．9．若f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (3)＝0，则xf (x )＜0的解集是( ) A ．{x |－3＜x ＜0或x ＞3} B ．{x |x ＜－3或0＜x ＜3} C ．{x |x ＜－3或x ＞3}D ．{x |－3＜x ＜0或0＜x ＜3}解析：因为f (x )在(0，＋∞)内是增函数，f (3)＝0，所以当0＜x ＜3时，f (x )＜0；当x ＞3时，f (x )＞0，又因f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，所以当－3＜x ＜0时，f (x )＞0；当x ＜3时，f (x )＜0，可见xf (x )＜0的解集是{x |－3＜x ＜0或0＜x ＜3}．答案：D分段函数是指在定义域的不同子集上解析式不同的函数．在求分段函数的有关问题时，分段函数的应用要根据自变量的所在范围，选择相应的解析式进行研究．分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各解析式的取值范围的并集． 分段函数的性质往往要结合函数图象进行判断研究．分段函数解析式的确定一定要分类讨论，根据不同情形分别确定．某旅行社组团去风景旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到每张降为450元为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数．(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解析：(1)设旅行团人数为x 人，由题知0<x ≤75，飞机票价格为y 元，则 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，900－(x －30)·10，30<x ≤75， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，1 200－10x ，30<x ≤75.(2)设旅行社获利为S 元， 则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，x (1 200－10x )－15 000，30<x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，－10(x －60)2＋21 000，30<x ≤75， 因此，当x ＝60时，旅行社可获得最大利润．►跟踪训练10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈[0，1]，3－x ，x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，若f [f (x )]＝1，求x 的取值范围．解析：f [f (x )]＝1等价于①f (x )∈[0,1]或②3－f (x )＝1. ①式又等价于x ∈[0,1] 或⎩⎪⎨⎪⎧3－x ∈[0，1]，x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)； ②式又等价于3－x ＝2.解得x 的取值范围是[0,1]∪[2,3]．11．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力，x 表示提出概念和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43(0<x ≤10)，59(10<x ≤16)，－3x ＋107(16<x ≤30).(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？解析：易知在前10分钟学生的接受能力一直增强，所以开讲后10分钟学生的接受能力最强，此时达到59；而从16分钟后开始，学生的接受能力一直从59下降，故能维持6分钟．(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？解析：因为开讲后5分钟学生的接受能力为－0.1×25＋13＋43＝53.5，开讲后20分钟学生的接受能力为－3×20＋107＝47，所以学生在开讲后5分钟接受能力强一些．(3)一个数学难题需要55的接受能力以及13分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解析：因为易求得从第6分钟开始学生的接受能力开始达到55，一直维持到第523分钟时开始从55下降，所以能保持接受能力为55的时间为523－6＝343<13，因为讲这个数学难题需要55的接受能力和13分钟，因此老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．抽象函数是指没有给出具体的函数解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以常见函数为背景，通过代数表述给出函数性质．处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段．也是解决这类问题的主要方法．已知定义域为R ＋的函数f (x )，同时满足下列条件：①f (2)＝ 1，f (6)＝15；②f (x ·y )＝f (x )＋f (y )． 求f (3)、f (9)的值．解析：取x ＝ 2，y ＝ 3，得f (6)＝f (2)＋f (3)，研究抽象函数的性质∵f (2)＝ 1，f (6)＝15，∴f (3)＝－45.又取x ＝ y ＝ 3，得f (9)＝f (3)＋f (3)＝－85.点评：通过观察已知与未知的联系，巧妙地取x ＝2，y ＝3，这样便把已知条件f (2)＝ 1，f (6)＝15与欲求的f (3)沟通了起来．这是解此类问题的常用技巧．►跟踪训练12．已知定义域为R 的函数f (x )满足f [f (x )－x 2＋x ]＝f (x )－x 2＋x . (1)若f (2)＝3，求f (1)；又若f (0)＝a ，求f (a )；解析：因为对任意x ∈R ，有f [f (x )－x 2＋x ]＝f (x )－x 2＋x ， 所以f [f (2)－22＋2]＝f (2)－22＋2.又由f (2)＝3得f (3－22＋2)＝3－22＋2， 即f (1)＝ 1.若f (0)＝a ，则f (a －02＋0)＝a －02＋0， 即f (a )＝ a .(2)设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析表达式．解析：因为对任意x ∈R ，有f [f (x )－x 2＋x ]＝f (x )－x 2＋x ，又因为有且只有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，所以，对任意x ∈R ，有f (x )－x 2＋x ＝x 0， 在上式中令x ＝x 0，有f (x 0)－x 20＋x 0＝x 0，又因为f (x 0)＝x 0，所以x 0－x 20＝ 0，故x 0＝ 0或x 0＝1. 若x 0＝ 0，则f (x )－x 2＋x ＝ 0，即f (x )＝x 2－x .但方程x 2－x ＝ x 有两个不同实根，与题设矛盾，故x 0≠0. 若x 0＝ 1，则有f (x )－x 2＋x ＝ 1，即f (x )＝x 2－x ＋1. 易验证该函数满足题设条件．综上可知，所求函数为f (x )＝x 2－x ＋1(x ∈R)．二次函数的一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中有三个参数a ，b ，c . 解题时常常需要通过三个独立条件“确定”这三个参数.二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ()a ≠0的图象为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等. 结合这些图象特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观．二次函数的图象关于直线x ＝－b2a对称， 设二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－ba 也反映了二次函数的一种对称性．将二次函数的一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)进行配方可得二次函数的顶点式：y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a ，由此可知函数的对称轴、最值及判别式．二次函数的图象与性质二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ()a ≠0在区间⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 和区间⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上分别单调，所以二次函数f ()x 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得．某公司有价值a 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值．假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：①y 与a －x 和x 的乘积成正比；②x ＝a2时y ＝a 2；③0≤x2(a －x )≤t ，其中t 为常数，且t ∈[0,1]．(1)设y ＝f (x )，求出f (x )的表达式，并求出y ＝f (x )的定义域；(2)求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的x 的值．解析：(1)设y ＝k (a －x )x ，由x ＝a2时y ＝a 2，可得k ＝4，∴y ＝4(a －x )x .∴定义域为⎣⎡⎦⎤0，2at 1＋2t ，t 为常数，t ∈[0,1]．(2)y ＝4(a －x )x ＝－4⎝⎛⎭⎫x －a22＋a 2， 当2at 1＋2t ≥a 2时，即12≤t ≤1，x ＝a 2时，y max ＝a 2；当2at 1＋2t <a 2时，即0≤t ≤12时，y ＝4(a －x )x 在⎣⎡⎦⎤0，2at 1＋2t 上为增函数．∴当x ＝2at 1＋2t 时，y max ＝8a 2t(1＋2t )2.∴当12≤t ≤1时，投入x ＝a 2时，附加值y 最大为a 2万元；当0≤t <12时，投入x ＝2at 1＋2t 时，附加值y 最大为8a 2t (1＋2t )2万元．►跟踪训练13．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称，则( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1 D ．m ＝1解析：函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的对称轴为x ＝－m 2，于是－m2＝1⇒m ＝－2.答案：A14．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：当a ＞0时，b 、c 同号，C 、D 两图中c ＜0，故b ＜0，－b2a＞0，选项D 符合．当a <0时，同理可排除A 、B.答案：D点评：根据二次函数图象开口向上或向下，分a >0或a <0两种情况分类考虑．另外还要注意c 值是抛物线与y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等．15．函数y ＝ax 2－2(a －1)x ＋2 (a ≠0)在区间(－∞， 4]上递增，那么实数a 的取值范围是( )A ．a ≥－13B ．－13≤a <0C ．a ≤－13D ．a <0答案：B16．函数f (x )＝(a －1)x 2＋2ax ＋3为偶函数，那么f (x )在(－5, －2)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增 D ．先增后减答案：A17．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形．要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为________．解析：设正方形周长为x ，则圆的周长为1－x ，半径r ＝1－x2π.∴S 正＝⎝⎛⎭⎫x 42＝x 216，S 圆＝π·(1－x )24π2.∴S 正＋S 圆＝(π＋4)x 2－8x ＋416π(0＜x ＜1)．∴当x ＝4π＋4时有最小值．4答案：π＋4。
【精华】人教版高中数学必修一--第一章-集合与函数概念--
【精华】人教版高中数学必修一第一章集合与函数概念一、集合的概念集合是数学中最基本的概念之一，它是某些指定对象的总体。
这些对象被称为集合的元素。
集合可以是有序的，也可以是无序的。
例如，自然数集合{1, 2, 3, }是无序的，而有序对集合{(1, 2), (2, 3), }是有序的。
集合的表示方法有两种：列举法和描述法。
列举法是将集合中的所有元素一一列出，用花括号{}括起来。
例如，集合{1, 2, 3}表示包含元素1、2、3的集合。
描述法是使用文字描述集合中元素的特征，例如，自然数集合可以表示为{所有大于0的整数}。
集合的基本运算包括交集、并集、差集、补集等。
交集是指两个集合共同拥有的元素组成的集合；并集是指两个集合所有元素组成的集合；差集是指一个集合中有而另一个集合中没有的元素组成的集合；补集是指一个集合中所有不属于另一个集合的元素组成的集合。
二、函数的概念函数是数学中另一个基本的概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。
在函数中，一个变量被称为自变量，另一个变量被称为因变量。
函数的表示方法有三种：解析法、表格法和图像法。
解析法是使用数学公式来表示函数的方法，例如，y = x^2 表示一个二次函数。
表格法是使用表格来表示函数的方法，表格中的每一行都代表一个函数值。
图像法是使用图形来表示函数的方法，图形中的每个点都代表一个函数值。
函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性等。
单调性是指函数在某个区间内是递增或递减的；奇偶性是指函数在自变量取相反数时，函数值也取相反数；周期性是指函数在一定区间内重复出现。
三、集合与函数的关系集合与函数有着密切的关系。
集合可以用来表示函数的定义域和值域，而函数可以用来描述集合中元素之间的关系。
例如，一个函数可以将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素，从而建立两个集合之间的对应关系。
在解决数学问题时，集合与函数的概念常常被结合起来使用。
例如，在求解函数的值域时，需要先确定函数的定义域，然后根据函数的性质来求解值域。
人教版高中数学必修一--第一章-集合与函数概念--知识点总结
人教版高中数学必修一--第一章-集合与函数概念--知识点总结本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March人教版高中数学必修一第一章函数与集合概念知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … }如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
（Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
（Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}（3）图示法（文氏图）：4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R5、“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a∉A6、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1.“包含”关系———子集对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
高中数学必修一必修二知识点总结
高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N*或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B =A(B)或B A真子集A ≠⊂B（或B ≠⊃A ）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C ≠⊂B A集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B (2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n −个真子集，有21n −个非空子集，它有22n −非空真子集.（8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈ （1）AA A = （2）A ∅=∅ （3）AB A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ AB B ⊇BA补集U A{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ 2()U AA U =逻辑语言1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.pqp q ∧p q ∨p ⌝真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。
高中数学必修一集合与函数概念知识点梳理
高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集， N *或N +表示正整数集， Z 表示整数集， Q 表示有理数集， R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈， 或者a M ∉， 两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来， 写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}， 其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素， 则它有2n个子集， 它有21n-个真子集， 它有21n-个非空子集， 它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法0)〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集， 如果按照某种对应法则f ， 对于集合A 中任何一个数x ， 在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应， 那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数， 记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同， 且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数， 且a b <， 满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间， 记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间， 记做(,)a b ；满足a x b ≤<， 或a xb <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间， 分别记做[,)a b ， (,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ， 前者a 可以大于或等于b ， 而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时， 一般遵循以下原则：①()f x 是整式时， 定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时， 定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时， 定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零， 当对数或指数函数的底数中含变量时， 底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中， ()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时， 则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题， 一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ， 其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数， 求其定义域， 根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数， 其定义域除使函数有意义外， 还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上， 如果在函数的值域中存在一个最小（大）数， 这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域， 其实质是相同的， 只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数， 我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和， 然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=， 则在()0a y ≠时， 由于,x y 为实数， 故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥， 从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的， 三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法， 常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合， 如果按照某种对应法则f ， 对于集合A 中任何一个元素， 在集合B 中都有唯一的元素和它对应， 那么这样的对应（包括集合A ， B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射， 记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射， 且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应， 那么我们把元素b 叫做元素a 的象， 元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)>f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减．函数．．．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x=，令()u g x=，若()y f u=为增，()u g x=为增，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为减，()u g x=为减，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为增，()u g x=为减，则[()]y f g x=为减；若()y f u=为减，()u g x=为增，则[()]y f g x=为减．（2）打“√”函数()(0)af x x ax=+>的图象与性质()f x分别在(,]a-∞-、[,)a+∞上为增函数，分别在[,0)a-、(0,]a上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x=的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I∈，都有()f x M≤；（2）存在x I∈，使得()f x M=．那么，我们称M是函数()f x的最大值，记作max()f x M=．②一般地，设函数()y f x=的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的x I∈，都有()f x m≥；（2）存在x I∈，使得()f x m=．那么，我们称m是函x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2oy=f(X)yxo x x2f(x )f(x )211yxo数()f x 的最小值， 记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ， 都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ， 都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数， 且在0x =处有定义， 则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同， 偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内， 两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）， 两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数， 一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质， 为研究数量关系问题提供了“形”的直观性， 它是探求解题途径， 获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．（2）识图对于给定函数的图象， 要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性， 注意图象与函数解析式中参数的关系．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
集合与函数概念§1．1集合（一）集合的有关概念⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
5.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；6.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。
“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。
.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解；⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4∉A，等等。
练：A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32∉A.（二）例题讲解：例1．用“∈”或“∉”符号填空：2⑴8 N ； ⑵0 N ； ⑶-3 Z ；；⑸设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。
练：5页１题例2．已知集合P 的元素为21,,3m m m --, 若2∈P 且-1∉P ，求实数m 的值。
练：⑴考察下列对象是否能形成一个集合？①身材高大的人 ②所有的一元二次方程③直角坐标平面上纵横坐标相等的点 ④细长的矩形的全体⑤比2大的几个数 ⑥2的近似值的全体⑦所有的小正数 ⑧所有的数学难题⑵给出下面四个关系:3∈R,0.7∉Q,0∈{0},0∈N,其中正确的个数是:( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个⑶下面有四个命题:①若-a ∉Ν,则a ∈Ν ②若a ∈Ν,b ∈Ν,则a +b 的最小值是2③集合N 中最小元素是1 ④ x 2+4=4x 的解集可表示为{2,2} ⑶其中正确命题的个数是(⑷由实数-a , a , a ,a 2, -5a 5为元素组成的集合中,最多有几个元素?分别为什么?⑸求集合{2a ,a 2+a }中元素应满足的条件?⑹若t1t 1+-∈{t},求t 的值.一、集合的表示方法⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。
如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；⑵一般不必考虑元素之间的顺序；⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。
当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。
⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{}1,2,3,4,5,......例1．用列举法表示下列集合：(1) 小于5的正奇数组成的集合；(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；(3) 从51到100的所有整数的集合；(4) 小于10的所有自然数组成的集合；(5) 方程2x x =的所有实数根组成的集合；⑹ 由1~20以内的所有质数组成的集合。
⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。
方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
一般格式：{}()x A p x ∈如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2+1}，{x|直角三角形}，…；说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z 。
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。
写法{实数集}，{R}也是错误的。
用符号描述法表示集合时应注意：１、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？２、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。
例2．用描述法表示下列集合：(1) 由适合x 2-x-2>0的所有解组成的集合;(2) 到定点距离等于定长的点的集合;(3) 方程220x -=的所有实数根组成的集合(4) 由大于10小于20的所有整数组成的集合。
说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
练习：5页2题1．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数2．集合A ＝{x|43x -∈Z ，x ∈N}，则它的元素是 。
3.已知集合A ＝{x|-3<x<3，x ∈Z}，B ＝{(x,y)|y ＝x 2+1，x ∈A}，则集合B 用列举法表示是４.判断下列两组集合是否相等？（1）A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}与B={正整数}二、集合的分类观察下列三个集合的元素个数1. {4.8, 7.3, 3.1, -9};2. {x ∈R ∣0<x<3};3. {x ∈R ∣x 2+1=0}由此可以得到集合的分类:::()empty set ⎧⎪⎨⎪∅-⎩有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含有任何元素的集合三、文氏图集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示：A 3,9,274典型例题【题型一】 元素与集合的关系１、设集合A ＝｛１，a ,b ｝,B=｛a ,a ２,ab ｝,且A=B ，求实数a ，b.２、已知集合A ＝｛a+2，（a+1)２，a ２+3a +3｝若1∈A,求实数a 的值。
【题型二】 元素的特征１、⑴已知集合M=｛x ∈N ∣x +16∈Z ｝,求M⑵已知集合C=｛x +16∈Z ∣x ∈N ｝,求C点拔：要注意M 与C 的区别，集合M 中的元素是自然数 x ，满足x +16是整数，集合C 是的元素是整数x +16，满足条件是x ∈N练习：１.给出下列四个关系式：①3∈R ；②π∉Q ；③0∈N ；④0∉φ其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4２.方程组 的解组成的集合是( ) A.｛2,1｝ B.｛-1,2｝ C.（2,1） D.｛（2,1）｝3.把集合｛-3≤x ≤3,x ∈N ｝用列举法表示，正确的是( )A.｛3,2,1｝B.｛3,2,1,0｝C.｛-2,-1,0,1,2｝D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝4.下列说法正确的是( )A.｛0｝是空集B. ｛x ∈Q ∣x 6∈Z ｝是有限集C.｛x ∈Q ∣x 2+x+2=0｝是空集D.｛2,1｝与｛1,2｝是不同的集合二填空题：５、以实数为元素构成的集合的元素最多有 个；６、以实数a ２，2-a .,4为元素组成一个集合A ，A 中含有２个元素，则的a 值为 .７、集合M=｛y ∈Z ∣y=x +38,x ∈Z ｝,用列举法表示是M ＝ 。
８、已知集合A ＝｛2a,a 2-a ｝，则a 的取值范围是 。
三、解答题：９、设A ＝｛x ∣x 2+(b+2)x+b+1=0,b ∈R ｝求A 的所有元素之和。
10.已知集合A ＝｛a,2b-1,a+2b ｝B=｛x ∣x 3-11x 2+30x=0｝,若A=B ，求a,b 的值。
集合间的基本关系比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：（1）{1,2,3}A =，{1,2,3,4,5}B =；（2）{}C =北京一中高一一班全体女生，{}D =北京一中高一一班全体学生；（3）{|}E x x =是两条边相等的三角形，{}F x x =是等腰三角形观察可得：⎩⎨⎧=-=+13y x y x 表示任意一个集合A 表示{3，9，27}⒈子集：对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这 两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：()A B B A ⊆⊇或 读作：A 包含于B ，或B 包含A当集合A 不包含于集合B 时，记作A ⊈B(或B ⊉A) 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：⒉集合相等定义：如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A B B A ⊆⊆且，则A B =。
如：A={x|x=2m+1，m ∈Z}，B={x|x=2n-1，n ∈Z}，此时有A=B 。
⒊真子集定义：若集合A B ⊆，但存在元素,x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集。
记作：A B （或B A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。
记作：φ用适当的符号填空： φ {}0； 0 φ ； φ {φ}； {}0 {φ}5.几个重要的结论：⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A 都有φ⊆A 。
⑵空集是任何非空集合的真子集；⑶任何一个集合是它本身的子集；⑷对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆。
练习：填空：⑴2 N ； {2} N ； φ A;⑵已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{1,2}，C ＝{x|x<8,x ∈N}，则A B ； A C ； {2} C ； 2 C说明：⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系； ⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。