八年级数学下册第章三角形的证明角平分线第课时角平分线作业
2021八年级数学北师大版下第1章《三角形的证明》角平分线选择训练(二)含答案
北师大版八年级数学下册第1章《三角形的证明》角平分线专项训练（二）1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝2∠C，以顶点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F；再分别以E，F为圆心，以大于EF为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；作射线BP，交边AC于点G，若AG＝，则△GBC的面积为（）A．3B．6C．2D．2．如图，∠MON＝60°．①以点O为圆心，2cm长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、C；②在分别以A、C为圆心，2cm长为半径画弧，两弧交于点B；③连结AB、BC，则四边形OABC的面积为（）A．4cm2B．2cm2C．4cm2D．2cm23．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，边BC分别与DE、DF相交于点H，G，且DE⊥AB，DF⊥AC，连接AD、AG、AH，现在下列四个结论：①∠EDF＝60°，②AD平分∠GAH，③∠B＝∠ADF，④GD＝GH．则其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线BD与边AC相交于点D，DE⊥BC，垂足为E，若△CDE的周长为6，则△ABC的面积为（）A．36 B．18 C．12 D．95．已知如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若∠MON＝60°，OP＝4，则PQ的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．不能确定6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D．若∠A＝30°，AE＝6cm，则BC等于（）A．2cm B．3cm C．3cm D．4cm7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A＝30°，AE＝8cm，那么CE＝（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm8．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD 的长为（）A．6 B．5 C．4 D．39．如图，在Rt△ABC中，其中∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．已知DC＝5，AD＝2，则图中长度为的线段有（）A．1条B．2条C．3条D．4条10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AC＝10cm，则△DBE的周长为（）A．10 B．15 C．10D．2011．如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC 于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，若CD ＝BD ，点D 到边AB 的距离为6，则BC 的长是（ ）A ．6B ．12C ．18D ．2413．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，有下列结论：①CD ＝ED ；②AC +BE ＝AB ；③∠BDE ＝∠BAC ；④AD 平分∠CDE ；其中正确的是（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．414．已知△ABC ，求作一点P ，使点P 到∠CAB 的两边的距离相等，且P 到A 、B 两点的距离也相等．下列确定点P 位置的方法正确的是（ ）A ．P 为∠CAB 、∠CBA 两角平分线的交点B ．P 为AC 、AB 两边的垂直平分线的交点C ．P 为∠CAB 的平分线与AB 的垂直平分线的交点D ．P 为AC 、AB 两边上的高的交点15．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条公路．现要建造一个中转站P ，使P 到三条公路的距离都相等，则中转站P 可选择的点有（ ）A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝8cm，则△DEB的周长是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm17．如图所示，AO是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON＝8，则OM长为（）A．4 B．5 C．6 D．818．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，∠CBA的邻补角的平分线所在直线交AC的延长线于F，交斜边AB上的高CD的延长线于E，EG∥AC交AB的延长线于G，则下列结论：①CF ＝CE；②FB＝AB；③EF是CG的垂直平分线；④△CGE为等边三角形．其中正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4cm，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P 是BC边上一动点，则DP长的最小值为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm20．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OB，PD⊥OB，若PC＝8，则PD等于（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案1．解：作GH⊥BC于H，如图，由作法得BP平分∠ABC，∴GA＝GH＝，∵∠A＝90°，∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝60°，∠C＝30°，在Rt△ABG，∵∠ABG＝∠ABC＝30°，∴AB＝AG＝3，在Rt△ABC中，BC＝2AB＝6，＝×6×＝3．∴S△BCG故选：A．2．解：由题意可知OB是∠MON的角平分线，∵∠MON＝60°，∴∠BON＝30°，作BD⊥ON于D，∵OC＝BC＝2，∴∠BOC＝∠OBC＝30°，∴∠BCN＝60°，∴BD＝BC＝，∴S＝OC×BD＝＝，△BOC＝2，∴四边形OABC的面积＝2S△BOC故选：B．3．解：①∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，∵∠BAC＝120°，∴∠EDF＝360°﹣∠AED﹣∠AFD﹣∠BAC＝60°，∴①的结论正确；②连接BD、CD，如图1，∵点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴HB＝HA，GA＝GC，DB＝DA＝DC，∴∠ABH＝∠BAH，∠ACG＝∠CAG，∠DBA＝∠DAB，∠DCA＝∠DAC，∠DCB＝∠DBC，∴∠DAH＝∠DBH＝∠DCG＝∠DAG∴AD平分∠HAG，∴②的结论正确；③∵点E，F分别是△ABC的边AB、AC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，∴HB＝HA，GA＝GC，∴∠HBA＝∠HAB，∠GAC＝∠C，∵∠BAC＝120°，∴∠B+∠C＝∠HAB+∠GAC＝60°，∴∠HAG＝60°，∵AD平分∠GAH，∴∠DAH＝∠DAG＝30°，∴∠BAH+∠DAF＝90°，∵∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠BAH＝∠ADF，∴∠B＝∠ADF，∴③的结论正确；④∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DHG＝∠BHE＝90°﹣∠B，∠DGH＝∠CGF＝90°﹣∠C，当AB≠AC时，用∠B≠∠C，∴∠DHG≠∠DGH，∴DH≠DG，∵∠HDG＝60°，∴△DHG不是等边三角形，∴GD≠GH，∴④的结论不正确．故选：C．4．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠EDC＝∠C＝45°，∴DE＝EC，∵BD平分∠BAC，∠A＝90°，DE⊥BC，∴AD＝DE，设DE＝AD＝CE＝x，由勾股定理得：DC＝x，∵△CDE的周长为6，∴DE+EC+DC＝6，即x+x+x＝6，解得：x＝6﹣3，即AB＝AC＝AD+DC＝6﹣3+（6﹣3）＝3，∴△ABC的面积为＝＝9，故选：D．5．解：作PQ′⊥OM于Q′，∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，∴∠POQ′＝30°，∴PQ′＝OP＝2，由垂线段最短可知，PQ的最小值是2，故选：A．6．解：在Rt△ADE中，∠A＝30°，∴DE＝AE＝3，∠ABC＝60°，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，∠ACB＝90°，∴CE＝DE＝3，∠EBC＝30°，在Rt△CBE中，BC＝＝3（cm），故选：C．7．解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥AC，∴ED＝EC，在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∴ED＝AE＝×8＝4，∴CE＝4cm．故选：C．8．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DC＝DE＝4，∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5．故选：B．9．解：∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BC，∴DE＝DA＝2，∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC＝5，BE＝CE，在Rt△ABD中，AB＝＝；在Rt△BDE中，BE＝＝；∴CE＝．故选：C．10．解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，∴△DBE的周长＝DE+DC+BD＝DC+DB+BE＝BC+BE，在Rt△ACD和Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴AB＝AC＝10cm．∴△DBE的周长＝AE+BE＝AB＝10cm．故选：C．11．解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE＝DF，在Rt△CDE和Rt△BDF中，，∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；∴CE＝AF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF，∴CE＝AB+AF＝AB+AE，故②正确；∵Rt△CDE≌Rt△BDF，∴∠DBF＝∠DCE，∵∠AOB＝∠COD，（设AC交BD于O），∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；∵△CDE≌△BDF，∴∠ABO＝∠DCO，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠DAE＝∠CBD，∵Rt△ADE≌Rt△ADF，∴∠DAE＝∠DAF，∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；综上所述，正确的结论有①②③④共4个．故选：D．12．解：过D作DE⊥AB于E，∵点D到边AB的距离为6，∴DE＝6，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE＝6，∵CD＝DB，∴DB＝12，∴BC＝6+12＝18，故选：C．13．解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE，故①正确；在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∠ADC＝∠ADE，∴AC+BE＝AE+BE＝AB，故②正确；AD平分∠CDE，故④正确；∵∠B+∠BAC＝90°，∠B+∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BAC，故③正确；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选：D．14．解：∵点P到∠CAB的两边的距离相等，∴点P在∠CAB的平分线上，∵点P到A、B两点的距离也相等，∴点P在A线段B的垂直平分线上，∴P为∠CAB的平分线与AB的垂直平分线的交点．故选：C．15．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选：D．16．解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE，∴AC＝AE，∴△DEB的周长＝BD+DE+BE，＝BD+CD+BE，＝BC+BE，＝AC+BE，＝AE+BE，＝AB，∵AB＝8cm，∴△DEB的周长是8cm．故选：B．17．解：∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AC，ON⊥AB，∴OM＝ON＝8，故选：D．18．解：∵BF平分∠GBC，∴∠GBF＝∠CBF，而∠GBF＝∠EBD，∴∠CBF＝∠EBD，∵∠BCA＝90°，CD为高，∴∠F＝∠BED，∴CF＝CE，所以①正确在△EGC中，EC＝EG，BE平分∠CEG，∴EB垂直平分GC，所以③正确；而选项②④由题干条件不能证明得出，所以①③正确；故选：B．19．解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，∵BD⊥CD，即∠BDC＝90°，又∠A＝90°，∴∠A＝∠BDC，又∠ADB＝∠C，∴∠ABD＝∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，∴AD＝DP，又AD＝4cm，∴DP＝4cm．故选：C．20．解：作PE⊥OA于E，∵∠AOP＝∠BOP＝15°，∴∠AOB＝30°，∵PC∥OB，∴∠ACP＝∠AOB＝30°，∴PE＝PC＝4，∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PD＝PE＝4，故选：A．。
八年级数学下册第1章直角三角形1.4角平分线的性质习题课件新版湘教版
(2)①BD与ED有什么关系?为什么? 提示:BD=2ED.∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°, 又∵∠B=30°,∴BD=2ED. ②请结合CD的长,以及CD与ED的关系确定BD的长. 提示:∵ED=CD=1,∴BD=2ED=2.
【总结提升】角平分线图形结构中的两种数量关系 如图,OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,DE交OC于点F, 可以得到以下结论: 1.角之间的相等关系: ∠AOC=∠BOC=∠PDF=∠PEF; ∠ODP=∠OEP=∠DFO=∠EFO=∠DFP=∠EFP;∠DPO=∠EPO =∠ODF=∠OEF. 2.线段的相等关系: OD=OE,DP=EP,DF=EF.
【证明】过点P作PE⊥OA于E,PF⊥OD于F,
∵S△PAB=S△PCD,
∴ A1 B·PE=1 CD·PF.
2
2
∵AB=CD,∴PE=PF.
∴点P在∠AOD的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这
个角的平分线上).
∴OP平分∠AOD.
6.如图,△ABC中,BP,CP分别是∠B,∠C的外角平分线. 求证:点P在∠A的平分线上.
( ×)
知识点 1 角平分线的性质 【例1】(2013·温州中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分 ∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E. (1)求证:△ACD≌△AED. (2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
【解题探究】(1)①CD与ED有什么关系?为什么? 提示:CD=ED.∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=ED. ②由CD与ED的关系能判定△ACD≌△AED吗?为什么? 提示:能.∵在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD,CD=ED,∴由“HL” 定理可得Rt△ACD≌Rt△AED.
2020-2021学年八年级数学北师大版下册 第一章《三角形的证明》之角平分线专项(一)
八年级数学北师大版下册第一章《三角形的证明》之角平分线专项（一）1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD ＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．无法确定2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，如果∠A＝30°，AB＝4cm，那么CE等于（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，∠CAB和∠ABC的平分线交于点O，OM⊥BC于点M，则OM的长为（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE ⊥AC，垂足为E，若DE＝2，则AB的长为（）A．6 B．+4 C．+2D．2+25．如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，BC＝10，则PE的最小值为（）A．8 B．5 C．4 D．26．如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（）A．64 B．48 C．32 D．427．对于下列说法：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等；④直角三角形只有一条高线．正确的有（）A．①②③④B．①③C．①②③D．①②④8．如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一个人从B处出发沿着BC 行走了800m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（）A．1000m B．800m C．200m D．1800m9．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC ＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（）A．8 B．7 C．6 D．510．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为（）A．7 B．9 C．11 D．1411．如图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD ⊥BC于D．若OD＝2，则△ABC的面积是（）A．20 B．12 C．10 D．812．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD：S△ACD为（）A．5：4 B．5：3 C．4：3 D．3：413．如图，∠MON＝60°，OA平分∠MON，P是射线OA上的一点，且OP＝4，若点Q是射线OM上的一个动点，则PQ的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．414．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD 的长为（）A．B．C．D．15．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（）A．3 B．C．2 D．616．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值（）A．等于3 B．大于3 C．小于3 D．无法确定17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝5，AB＝12，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．6018．如图，∠MON＝30°，OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于点Q．若OQ ＝4，则点P到OM的距离为（）A．2 B．C．3 D．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CE平分∠ACB交AB于点E．EF ⊥BC于点F，若EF＝4，则线段AE的长为（）A．2B．C．2+2 D．320．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP ＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．6参考答案1．解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．由作图可知：AE平分∠BAC，∵DC⊥AC，DP⊥AB，∴DP＝CD＝2，∴PD的最小值为2，故选：A．2．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∴∠A＝∠ABE，∵ED⊥AB，∴AD＝AB＝2，∴DE＝AD＝，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，∴CE＝DE＝，故选：A．3．解：过O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，∵AO平分∠CAB，OB平分∠ABC，∴OD＝OE＝OM，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，∴S△ABC＝AC•BC＝×AB•OE+AC•OD+BC•OM，∴＝+•OM+，∴OM＝2，故选：B．4．解：∵在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，∴DF＝DE＝2，∠AFD＝∠BFD＝90°，∠BAD＝∠CAD＝BAC＝30°，∴AD＝2DF＝4，∵∠B＝45°，∴∠FDB＝∠B＝45°，∴BF＝DF＝2，在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，∴AB＝AF+BF＝2+2，故选：D．5．解：过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD，∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，∴AE＝PE，ED＝PE，∴AE＝ED＝PE，∵AD＝8，∴PE＝4，即PE的最小值是4，故选：C．6．解：连接AM，过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∵MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，MD⊥BC，MD＝4，∴ME＝MD＝4，MF＝MD＝4，∵△ABC的周长是16，∴AB+BC+AC＝16，∴△ABC的面积S＝S△AMC+S△BCM+S△ABM＝＝×AC×4++＝2（AC+BC+AB）＝2×16＝32，7．解：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等，正确；②等腰三角形的底边上的高、中线以及顶角的角平分线互相重合，错误；③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，正确；④直角三角形有三条高线，错误；故选：B．8．解：∵AD恰为∠CAB的平分线，DC⊥AC，∴DC＝D点到AB的距离，∵BC＝1000m，BD＝800m，∴DC＝200m，∴D点到AB的最短距离＝200m，故选：C．9．解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，∴DF＝DE＝4．又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝8，∴28＝×8×4+×AC×4，∴AC＝6．故选：C．10．解：如图，∵CD：BD＝3：4．设CD＝3x，则BD＝4x，∴BC＝CD+BD＝7x，∵BC＝21，∴7x＝21，∴CD＝9，过点D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD＝9，∴点D到AB边的距离是9，故选：B．11．解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE＝OF＝OD＝2，∴△ABC的面积＝△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积＝×（AB+BC+AC）×OD＝×10×2＝10，故选：C．12．解：过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°（即AC⊥BC），∴DF＝CD，设DF＝CD＝R，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝5，∴S△ABD＝＝＝R，S△ACD＝＝＝R，∴S△ABD：S△ACD＝（R）：（R）＝5：3，故选：B．13．解：作PQ′⊥OM于Q′，∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，∴∠POQ′＝30°，∴PQ′＝OP＝2，由垂线段最短可知，PQ的最小值是2，故选：B．14．解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝＝5，∴BC边上的高＝3×4÷5＝，∵AD平分∠BAC，∴点D到AB、AC上的距离相等，设为h，则S△ABC＝×3h+×4h＝×5×，解得h＝，S＝×3×＝BD•，△ABD解得BD＝．故选：A．15．解：∵∠B＝90°，∴DB⊥AB，又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE＝BD＝3，故选：A．16．解：过P点作PH⊥OB于H，如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB于H，∴PH＝PD＝3，∵点E是射线OB上的一个动点，∴点E与H点重合时，PE有最小值，最小值为3．故选：A．17．解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，∵DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝5，∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×12×5＝30，故选：B．18．解：过P作PF⊥OM，PE⊥ON，∵OP平分∠MON，∴OE＝OF，∠1＝∠2，∵PQ∥OM，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3＝∠MON＝15°，∴OQ＝PQ，∠4＝30°，∴PQ＝2PE＝4∵OQ＝4，∴PE＝PM＝2．故选：A．19．解：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∵∠ACB＝90°，EF⊥BC，∴∠ACB＝∠EFB＝90°，∴∠ECF＝∠CEF，∴CF＝EF＝4，∵∠B＝30°，∴BE＝2EF＝8，BF＝EF＝4，∴BC＝CF+BF＝4+4，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝＝＝，∴AE＝AB﹣BE＝，故选：B．20．解：作DE⊥OB于E，如图，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，∴DE＝DP＝4，∴S△ODQ＝×3×4＝6．故选：D．。
四会市第三中学八年级数学下册第1章直角三角形角平分线的判定练习新版湘教版8
1.4.2角平分线的判定一、选择题(本大题共8小题)1. 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（）A．6 B．5 C．4 D．32.如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是（）A．DE=DF B．AE=AFC．△ADE≌△ADF D．AD=DE+DF3. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．44. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A．B．2 C．3 D．+25. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D 到AB边的距离为( )A．18 B．16 C．14 D． 126. 如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．一处B．二处C．三处D．四处7. 在△ABC中，∠B=∠ACB，CD是∠ACB的角平分线，已知∠ADC=105°，则∠A的度数为( ) A．40° B．36° C．70° D．60°8. 如图，∠AOB和一条定长线段A，在∠AOB内找一点P，使P 到OA、OB的距离都等于A，做法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=A，H为垂足．（2）过N作NM∥OB．（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于P．（4）点P即为所求．其中（3）的依据是（）A．平行线之间的距离处处相等B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等D．到线段的两个端点距离相等的点在线段垂直平分线上二、填空题(本大题共6小题)9. 已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分线交于O点，则∠BOC=。
八年级数学下册 第一章 三角形的证明1.4 角平分线第2课时 三角形的内角平分线习题课件北师大版
在等腰直角三角形BDE中，
BD 2DE2 4 2 cm.
C
E
D
B
AC BC CD BD (4 4 2) cm.
课程讲授
2 角平分线的性质和判定的实际应用
例 如图,在△ABC中,AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC
的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(2)求证:AB=AC+CD. A
的距离_相__等___. 即PD=_P_E__=__P_F__.
A
D
NP
F M
B
C
E
课程讲授
1 三角形的三条内角平分线相交于一点
练一练：如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分 线相交于点O，下面结论中正确的是（ B ）
A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 C.∠1<∠2 D.不能确定
课程讲授
2 角平分线的性质和判定的实际应用
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）.
E
∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
C
D
B
课程讲授
2 角平分线的性质和判定的实际应用
练一练：如图，铁路OA和铁路
OB交于O处，河道AB与铁路分别
交于A处和B处，试在河岸上建一 M
一点到角两边的距离相等.
A
已知：如图，在△ABC中，角平分线 BM与角平分线CN相交于点P，过点P 分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分
别为D，E，F. 求证：∠Ａ的平分线经过点P，且 B
PD=PE=PF.
D
N
PMFE来自C课程讲授1 三角形的三条内角平分线相交于一点
北师大版八年级数学下册 第一章《三角形的证明》角平分线 解答题专项(三)
北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》角平分线解答题专项（三）1．如图，△ABC中，∠C＝60°，AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA、AD、BE交于点P．求证：（1）∠APB＝120°；（2）点P在∠C的平分线上；（3）AB＝AE+BD．2．如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC．（1）在图1中，作DE⊥AB，DF⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴＝，而S△ABD＝×，S△ACD＝×则S△ABD：S△ACD＝：（2）在图2中，作AP⊥BC而×，×，则S△ABD：S△ACD＝：；（3）由（1）、（2）可得“角平分线”第二性质：＝：．3．已知如图，CD是RT△ABC斜边上的高，∠A的平分线交CD于H，交∠BCD的平分线于G，求证：HF∥BC．4．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，点E在边BC上．AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．（1）求证：BE＝CE．（2）若AB＝3，BE＝2，则CD的长为．5．如图，△ABC的角平分线BD＝1，∠ABC＝120°，∠A、∠C所对的边记为a、c．（1）当c＝2时，求a的值；（2）求△ABC的面积（用含a，c的式子表示即可）；（3）求证：a，c之和等于a，c之积．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．（1）求证：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝2，求AB的长．7．如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：CE＝DE．8．（1）如图，已知C为线段AB上的一点，AC＝60cm，M、N分别为AB、BC的中点．①若BC＝20cm，则MN＝cm；②若BC＝acm，则MN＝cm．（2）如图，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC＝60°，OM平分∠AOB，射线ON 在∠BOC内，且∠MON＝30°，则ON平分∠BOC吗？并说明理由．9．如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．10．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD 与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．求证：FE＝FD．11．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．12．如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．13．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．14．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．参考答案1．证明：（1）∵∠C＝60°，AD、BE是△ABC的角平分线，∴∠ABP＝∠ABC，∠BAP＝∠BAC，∴∠BAP+∠MBP＝（∠ABC+∠BAC）＝（180°﹣∠C）＝60°，∴∠APB＝120°；（2）如图1，过P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，∵AD，BE分别平分∠CAB，∠CBA，∴PF＝PG，PF＝PH，∴PH＝PG，∴点P在∠C的平分线上；（3）如图2，在AB上取点M使AM＝AE，连接PM∵AD是∠BAC的平分线，∴∠PAM＝∠PAE，在△AMP与△AEP中，，∴△AMP≌△AEP，∴∠APM＝∠APE＝180°﹣∠APB＝60°，∴∠BPM＝180°﹣（∠APM+∠APE）＝60°，∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠BPM＝∠BPD，∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠MBP＝∠DBP，在△BPM与△BPD中，，∴△BPM≌△BPD，∴BM＝BD，∴AB＝AM+BM＝AE+BD．2．解：（1）在图1中，作DE⊥AB，DF⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，∵S△ABD＝AB×DE，S△ACD＝AC×DF，∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC．故答案案为：DE＝DF，AB、DE，AC、DF，AB：AC；（2）在图2中，作AP⊥BC，∵BD×AP，CD×AP，∴S△ABD：S△ACD＝BD：CD；故答案为：BD、AP，CD、AP，BD、CD；（3）∵（1）中，S△ABD：S△ACD＝AB：AC，在（2）中，S△ABD：S△ACD＝BD：CD，∴AB：AC＝BD：CD．故答案为：AB、AC、BD、CD．3．证明：连接FE，∵CD是Rt△ABC斜边上的高，∴∠A＝∠DCB，又∵AE平分∠A，CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠DAE，又∵∠AHD＝∠CHE，∠ADH＝90°，∴∠CGH＝90°，∴∠GAC+∠ACG＝90°，∠GAF+∠AFG＝90°，∵∠GAC＝∠GAF，∴∠ACG＝∠AFG，∴AC＝AF，∴CG＝FG，同法可证，CH＝CE，∴CH＝HF＝EF＝CE，∴四边形HCEF是菱形，∴HF∥BC．4．解：已知：射线OC是∠AOB的角平分线，PE⊥OB于E，PD⊥OA于D，求证：PE＝PD，证明：∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠AOP＝∠BOP，∵PE⊥OB于EPD⊥OA于D，∴∠PEO＝∠PDO＝90°，在△POD与△POE中，，∴△POD≌△POE（AAS），∴PD＝PE；（1）过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴EF＝EG＝EH，在△BEF与△CEH中，∴△BEF≌△CEH（AAS），∴BE＝CE；（2）∵∠HEC＝∠BEF，∠HED＝∠DEG，∠GEA＝∠AEF 又∵∠HEC+∠BEF+∠HED+∠DEG+∠GEA+∠AEF＝180°∴∠BEF+∠HED+∠AEF＝90°又∵∠EDH+∠DEH＝90°，∴∠EDH＝∠AEB，∵∠B＝∠C，∴△ABE∽△ECD∴，即：AB•CD＝BE•EC∴3CD＝2×2，CD＝故答案为：5．解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC＝120°，∴∠ABD＝∠CBD＝60°，过D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，∴DE＝DF，∵BD＝1，∴BE＝BF＝，DE＝DF＝，过A作AG⊥BC于G，∴AG＝AB＝，∵S△ABC＝BC•AG＝×a＝×2×+a，∴a＝2；（2）△ABC的面积＝BC•AG＝×c×a＝ac；（3）∵S△BAC＝S△ABD+S△BCD，∴BC•AG＝AB•DE+BC•DF，∴•a•c＝×（c+a），∴ac＝a+c，∴a，c之和等于a，c之积．6．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝4，∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝8．7．解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°．∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠CAB．同理可得∠EBA＝∠ABD．∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°；（2）如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS）．∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°，∴∠DEB＝∠FEB．在△DEB和△FEB中∴△DEB≌△FEB（ASA）．∴ED＝EF．∴ED＝CE．8．解：（1）①∵BC＝20，N为BC中点，∴BN＝BC＝10．又∵M为AB中点，∴MB＝AB＝40．∴MN＝MB﹣BN＝40﹣10＝30．故答案为30；②当BC＝a时，AB＝60+a，BN＝a，MB＝AB＝30+a，∴MN＝MB﹣BN＝30．故答案为30；（2）平分理由：∵OM分别平分∠AOB，∴∠BOM＝∠AOB＝（∠AOC+∠BOC）＝30°+∠BOC．又∵∠BOM＝∠MON+∠BON＝30°+∠BON，∴∠BON＝∠BOC．∴ON平分∠BOC．故答案为30，30．9．证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD，（SAS），∴BD＝CD．10．证明：连接BF，∵F是△ABC的角平分线交点，∴BF也是角平分线，∵FM⊥AB，FN⊥BC，∴MF＝FN，∠DNF＝∠EMF＝90°，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∴∠CDA＝75°，∵∠NFC＝45°，∠MFN＝120°，∴∠MFE＝15°，∴∠MEF＝75°＝∠NDF，在△DNF和△EMF中，，∴△DNF≌△EMF（AAS），∴FE＝FD．11．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，设BE＝x，则CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．12．解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N 则∠CMD＝∠BND＝90°，∵AD是∠EAF的平分线，∴DM＝DN，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠MCD＝180°，∴∠MCD＝∠NBD，在△CDM和△BDN中，∠CMD＝∠BND＝90°，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN，∴△CDM≌△BDN，∴CD＝DB．13．证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∴∠DOC＝90°，∴∠DOC＝∠BOC，又∵CO＝CO，∠DCO＝∠BCO，∴△DCO≌△BCO（ASA）∴CB＝CD，∴OB＝OD，∴CE是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，∴EC平分∠BED，∴点O到EB与ED的距离相等．14．解：（1）过A作AE⊥BC于E，∵点D是BC边上的中点，∴BD＝DC，∴S ABD：S△ACD＝（×BD×AE）：（×CD×AE）＝1：1，故答案为：1：1；（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的角平分线，∴DE＝DF，∵AB＝m，AC＝n，∴S ABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝m：n；（3）∵AD＝DE，∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，∵S△BDE＝6，∴S△ABD＝6，∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，∴S△ACD＝3，∴S△ABC＝3+6＝9，故答案为：9．15．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．在Rt△CDF与Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ACD与Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．。
角平分线的性质专项练习(含解析)
角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。
北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明4 第1课时 角平分线的性质
应用格式：
C
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
P
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. O
E
B
典例精析
例2 如图，在△ABC中，∠BAC= 60°，点 D 在 BC 上
，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且
DE = DF，求 DE 的长.
A
E F
B
D
C
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F
改变点 C 的位置，线段 CD 和 CE 还相等吗?
对此你能得出什么结论？动手证一证.
结论：角的平分线上的点到角
的两边的距离相等.
O
A D
C
CB E
结论证明
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD = PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
(1) 角的平分线；
(2) 点在该平分线上；
(3) 垂直距离.
O
定理的作用：证明线段相等.
应用格式：
DA PC
EB
∵ OP 是∠AOB 的平分线，推理的理由有三个，必须写
PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE
完全，不能少了任何一个.
(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
典例精析
例1 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，
PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4 cm，
则 PE = ___4___cm.
B D
M P
A
EC
温馨提示：存在两条垂线段——直接应用
2 角平分线的判定