2019—2020学年(上)厦门市九年级质量检测模拟卷数学.doc
2019-2020学年度九年级数学上学期第二次质检试题(含解析) 新人教版
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度九年级数学上学期第二次质检试题（含解析）新人教版______年______月______日____________________部门一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可用多种不同的方法来选取正确答案.1．已知原点是抛物线y=（m+1）x2的最高点，则m的范围是( )A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞﹣22．抛物线y=﹣2（x+3）2﹣21的顶点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列事件中：①在足球赛中，中国队战胜日本队；②长为2，3，4的三条线段能围成一个直角三角形；③任意两个正数的乘积为正；④抛一枚硬币，硬币落地时正面朝上．其中属于不确定事件的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知二次函数y=（m﹣2）x2﹣4x+m2+2m﹣8的图象经过原点，则m的值为( )A．2 B．﹣4 C．2或﹣4 D．无法确定5．抛物线y=x2+mx+n可以由抛物线y=x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到，则mn值为( )A．6 B．12 C．54 D．666．已知二次函数y=x2+x+m，当x取任意实数时，都有y＞0，则m的取值范围是( )A．m≥B．m＞C．m≤D．m＜7．上数学课时，老师给出了一个一元二次方程x2+ax+b=0，并告诉学生，从数字1、3、5、中随机抽取一个作为a，从数字2、6中随机抽取一个作为b，组成不同的方程共m个，其中有实数解的方程共n 个，则=( )A．B．C．D．8．若实数a，b满足a+b2=2，则a2+6b2的最小值为( )A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．49．已知二次函数y=x2+bx﹣4图象上A、B两点关于原点对称，若经过A点的反比例函数的解析式是y=，则该二次函数的对称轴是直线( )A．x=1 B．x=2 C．x=﹣1 D．x=﹣210．如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为( )A．B．C．D．二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．三张完全相同的卡片上分别写有函数y=﹣2x﹣3，y=，y=x2+1，从中随机抽取一张，则所得函数的图象在第一象限内y随x 的增大而增大的概率是__________．12．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是__________．13．已知：如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．则S与x的函数关系式__________；自变量的取值范围__________．14．如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为__________．15．已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴分别交于A、B两点（如图所示），与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的坐标为__________．16．如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，且其过点（3，0），对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有__________：①abc＞0②方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根③a﹣b+c=0④当x＞0时，y随x的增大而增大⑤不等式ax2+bx+c＞0的解为x＞3⑥3a+2c＜0．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以.17．判断下列二次函数的图象与x轴有无交点，若有请求出交点坐标；若无请说明理由．（1）y=﹣6x（2）y=2x2﹣12x+18．18．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．小米先从盒子中随机取出一个小球，记下数字为x，且不放回盒子，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．（1）用列表法或画树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小米、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的概率．19．已知抛物线y1=ax2+bx+c的顶点坐标为（）且经过点A（1，0），直线y2=x+m恰好也经过点A（1）分别求抛物线和直线的解析式；（2）当x取何值时，函数值y2＞y1；（3）当0≤x≤2时，直接写出y2和y1的最小值分别为多少？20．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，4），（﹣1，0），（0，﹣2）（1）求这个二次函数的表达式；（2）求此二次函数的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标，并根据这些点画出函数大致图象；（3）若0＜y＜3，求x的取值范围．21．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）若降价的最小单位为1元，则当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？22．已知A=a+2，B=2a2﹣3a+10，C=a2+5a﹣3，（1）求证：无论a为何值，A﹣B＜0成立，并指出A，B的大小关系；（2）请分析A与C的大小关系．23．如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），C为抛物线与y 轴的交点且S△ABC=6（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；（3）①设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值；②若点M是抛物线上在A、C之间的一个动点，则三角形ACM的最大面积是多少？20xx-20xx学年浙江省××市××区高桥中学九年级（上）第二次质检数学试卷一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可用多种不同的方法来选取正确答案.1．已知原点是抛物线y=（m+1）x2的最高点，则m的范围是( )A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】由于原点是抛物线y=（m+1）x2的最高点，这要求抛物线必须开口向下，由此可以确定m的范围．【解答】解：∵原点是抛物线y=（m+1）x2的最高点，∴m+1＜0，即m＜﹣1．故选A．【点评】此题主要考查了二次函数的性质．2．抛物线y=﹣2（x+3）2﹣21的顶点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线的顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），可直接写出顶点坐标．【解答】解：∵抛物线y=﹣2（x+3）2﹣21的顶点是（﹣3，﹣21），∴顶点（﹣3，﹣21）在第三象限，故选C．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数顶点式y=a （x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．3．下列事件中：①在足球赛中，中国队战胜日本队；②长为2，3，4的三条线段能围成一个直角三角形；③任意两个正数的乘积为正；④抛一枚硬币，硬币落地时正面朝上．其中属于不确定事件的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】随机事件．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．【解答】解：①在足球赛中，中国队战胜日本队是随机事件，故①正确；②长为2，3，4的三条线段能围成一个直角三角形，是不可能事件，故②错误；③任意两个正数的乘积为正，是必然事件，故③错误；④抛一枚硬币，硬币落地时正面朝上，是随机事件，故④正确；故选：B．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．已知二次函数y=（m﹣2）x2﹣4x+m2+2m﹣8的图象经过原点，则m的值为( )A．2 B．﹣4 C．2或﹣4 D．无法确定【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】由题意二次函数的解析式为：y=（m﹣2）x2+m2﹣m﹣2知m﹣2≠0，∴m≠2，再根据二次函数y=（m﹣2）x2﹣4x+m2+2m﹣8的图象经过原点，把（0，0）代入二次函数，解出m的值．【解答】解：∵二次函数的解析式为：y=（m﹣2）x2﹣4x+m2+2m ﹣8，∴（m﹣2）≠0，∴m≠2，∵二次函数y=（m﹣2）x2﹣4x+m2+2m﹣8的图象经过原点，∴m2+2m﹣8=0，∴m=﹣4或2，∵m≠2，∴m=﹣4．故选B．【点评】此题考查二次函数的基本性质，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方．5．抛物线y=x2+mx+n可以由抛物线y=x2向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到，则mn值为( )A．6 B．12 C．54 D．66【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】首先在抛物线y=x2确定顶点，进而就可确定顶点平移以后点的坐标，根据待定系数法求函数解析式．【解答】解：抛物线y=x2顶点坐标（0，0）向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到（﹣3，2）代入y=（x﹣h）2+k得：y=（x+3）2+2=x2+6x+11，所以m=6，n=11．故mn=66；故选D．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解决本题的关键是得到所求抛物线上的顶点，利用平移的规律即可解答．6．已知二次函数y=x2+x+m，当x取任意实数时，都有y＞0，则m的取值范围是( )A．m≥B．m＞C．m≤D．m＜【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】由题意二次函数y=x2+x+m知，函数图象开口向上，当x 取任意实数时，都有y＞0，可以推出△＜0，从而解出m的范围．【解答】解：已知二次函数的解析式为：y=x2+x+m，∴函数的图象开口向上，又∵当x取任意实数时，都有y＞0，∴有△＜0，∴△=1﹣4m＜0，∴m＞，故选B．【点评】此题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，当函数图象与x轴无交点时，说明方程无根则△＜0，若有交点，说明有根则△≥0，这一类题目比较常见且难度适中．7．上数学课时，老师给出了一个一元二次方程x2+ax+b=0，并告诉学生，从数字1、3、5、中随机抽取一个作为a，从数字2、6中随机抽取一个作为b，组成不同的方程共m个，其中有实数解的方程共n 个，则=( )A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，则m=12，根据判别式的意义可判断a=3，b=2；a=5，b=2；a=5，b=6时，方程有实数解，则n=3，然后计算的值．【解答】解：画树状图：共有12种等可能的结果数，则m=12，其中a=3，b=2；a=5，b=2；a=5，b=6时，方程有实数解，则n=3，所以==．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了根的判别式．8．若实数a，b满足a+b2=2，则a2+6b2的最小值为( )A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4【考点】二次函数的最值．【分析】由a+b2=2得出b2=2﹣a，代入a2+6b2得出a2+6b2=a2+6（2﹣a）=a2﹣6a+12，再利用配方法化成a2+6b2=（a﹣3）2+3，即可求出其最小值．【解答】解：∵a+b2=2，∴b2=2﹣a，∴a2+6b2=a2+6（2﹣a）=a2﹣6a+12=（a﹣3）2+3，当a=3时，a2+6b2可取得最小值为3．故选B．【点评】本题考查了二次函数的最值，根据题意得出a2+6b2=（a ﹣3）2+3是关键．9．已知二次函数y=x2+bx﹣4图象上A、B两点关于原点对称，若经过A点的反比例函数的解析式是y=，则该二次函数的对称轴是直线( )A．x=1 B．x=2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【考点】二次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】设A点坐标为（a，），则可求得B点坐标，把两点坐标代入抛物线的解析式可得到关于a和b的方程组，可求得b的值，则可求得二次函数的对称轴．【解答】解：∵A在反比例函数图象上，∴可设A点坐标为（a，），∵A、B两点关于原点对称，∴B点坐标为（﹣a，﹣），又∵A、B两点在二次函数图象上，∴代入二次函数解析式可得．故选C．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，根据条件先求得b的值是解题的关键，注意关于原点对称的两点的坐标的关系的广泛应用．10．如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为( )A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】需要分类讨论：①当0≤x≤3，即点P在线段AB上时，根据余弦定理知cosA=，所以将相关线段的长度代入该等式，即可求得y与x的函数关系式，然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当3＜x≤6，即点P在线段BC上时，y与x的函数关系式是y=（6﹣x）2=（x﹣6）2（3＜x≤6），根据该函数关系式可以确定该函数的图象．【解答】解：∵正△ABC的边长为3cm，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3cm．①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP=xcm（0≤x≤3）；根据余弦定理知cosA=，即=，解得，y=x2﹣3x+9（0≤x≤3）；该函数图象是开口向上的抛物线；解法二：过C作CD⊥AB，则AD=1.5cm，CD=cm，点P在AB上时，AP=x cm，PD=|1.5﹣x|cm，∴y=PC2=（）2+（1.5﹣x）2=x2﹣3x+9（0≤x≤3）该函数图象是开口向上的抛物线；②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC=（6﹣x）cm（3＜x≤6）；则y=（6﹣x）2=（x﹣6）2（3＜x≤6），∴该函数的图象是在3＜x≤6上的抛物线；故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象．解答该题时，需要对点P的位置进行分类讨论，以防错选．二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．三张完全相同的卡片上分别写有函数y=﹣2x﹣3，y=，y=x2+1，从中随机抽取一张，则所得函数的图象在第一象限内y随x 的增大而增大的概率是．【考点】概率公式；一次函数的性质；反比例函数的性质；二次函数的性质．【分析】先求出函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的函数的个数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵函数y=﹣2x﹣3，y=，y=x2+1中，在第一象限内y随x的增大而增大的只有y=x2+1一个函数，∴所得函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的概率是；故答案为：．【点评】此题考查了概率公式，掌握一次函数、反比例函数和二次函数的性质是本题的关键，用到的知识点是概率=所求情况数与总情况数之比．12．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是y=﹣x2﹣1．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可．【解答】解：根据题意，﹣y=（﹣x）2+1，得到y=﹣x2﹣1．故旋转后的抛物线解析式是y=﹣x2﹣1．【点评】考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式．13．已知：如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．则S与x的函数关系式s=﹣3x2+24x；自变量的取值范围≤x＜8．【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积=长×宽，得出S与x的函数关系式．【解答】解：由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24﹣3x）米．这时面积S=x（24﹣3x）=﹣3x2+24x．∵0＜24﹣3x≤10得≤x＜8，故答案为：S=﹣3x2+24x，≤x＜8．【点评】本题考查了二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围不要丢掉．14．如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为x=﹣3．【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】探究型．【分析】先根据点P的纵坐标为1求出x的值，再把于x的方程ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式，此方程就化为求函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交点的横坐标，由求出的P点坐标即可得出结论．【解答】解：∵P的纵坐标为1，∴1=﹣，∴x=﹣3，∵ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式，∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，∴x=﹣3．故答案为：x=﹣3．【点评】本题考查的是二次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，能把方程的解化为两函数图象的交点问题是解答此题的关键．15．已知二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴分别交于A、B两点（如图所示），与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的坐标为（﹣1，2）．【考点】抛物线与x轴的交点；轴对称-最短路线问题．【分析】首先求得A、B以及C的坐标，和函数对称轴的解析式，然后利用待定系数法求得AC的解析式，AC与二次函数的对称轴的交点就是P．【解答】解：连接AC．在y=﹣x2﹣2x+3中，令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得：x=﹣3或1．则A的坐标是（﹣3，0），B的坐标是（1，0），则对称轴是x=﹣1．令x=0，解得y=3，则C的坐标是（0，3）．设经过A和C的直线的解析式是y=kx+b．根据题意得：，解得：，则AC的解析式是y=x+3，令x=﹣1，则y=2．则P的坐标是（﹣1，2 ）．故答案是（﹣1，2）．【点评】本题考查了二次函数的坐标轴的交点，以及对称的性质，确定P的位置是本题的关键．16．如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，且其过点（3，0），对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有①②③⑥：①abc＞0②方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根③a﹣b+c=0④当x＞0时，y随x的增大而增大⑤不等式ax2+bx+c＞0的解为x＞3⑥3a+2c＜0．【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）．【分析】根据抛物线的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴有两个交点，∴﹣=1，b=﹣2a，另一个交点为（﹣1，0）；∵抛物线开口向上，∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0，∴abc＞0，故①正确；由图象知抛物线与x轴有两个交点，故②正确；把x=﹣1代入y=ax2+bx+c=a﹣b+c=0，故③正确；由抛物线的对称性及单调性知：x＞1时，y随x的增大而增大故④错误；不等式ax2+bx+c＞0的解为x＞3或x＜﹣1，故⑤错误；⑥∵a＞0，c＜0，∴3a+2c＜0，故⑥正确．故答案为：①②③⑥．【点评】该题主要考查了二次函数的图象与系数的关系、抛物线的单调性、对称性及其应用问题；灵活运用有关知识来分析、解答是关键．三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难，你们把自己能写出的解答写出一部分也可以.17．判断下列二次函数的图象与x轴有无交点，若有请求出交点坐标；若无请说明理由．（1）y=﹣6x（2）y=2x2﹣12x+18．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）首先求得判别式△的值，据此即可判断与x轴的交点的个数，若△≥0，然后令y=0，解方程求得与x轴的交点的横坐标即可；（2）首先求得判别式△的值，据此即可判断与x轴的交点的个数，若△≥0，然后令y=0，解方程求得与x轴的交点的横坐标即可．【解答】解：（1）∵a=，b=﹣6，c=0，∴b2﹣4ac=36＞0，∴二次函数的图象与x轴有两个交点．令y=0，则x2﹣6x=0，解得：x=0或9．则与x轴的交点是（0，0）和（9，0）；（2）∵a=2，b=﹣12，c=18，∴b2﹣4ac=（﹣12）2﹣4×2×18=0，∴二次函数与x轴只有一个交点．令y=0，则2x2﹣12x+18=0，解得：x=3，则与x轴的交点是（3，0）．【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标；二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．18．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．小米先从盒子中随机取出一个小球，记下数字为x，且不放回盒子，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．（1）用列表法或画树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小米、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的概率．【考点】列表法与树状图法；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）中的树状图求得点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：则共有12种等可能的结果；（2）∵小米、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y=的图象上的有（1，4），（4，1），∴P（点（x，y）落在反比例函数y=的图象上）=．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．已知抛物线y1=ax2+bx+c的顶点坐标为（）且经过点A（1，0），直线y2=x+m恰好也经过点A（1）分别求抛物线和直线的解析式；（2）当x取何值时，函数值y2＞y1；（3）当0≤x≤2时，直接写出y2和y1的最小值分别为多少？【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标可设出其顶点式，再由抛物线过A（1，0），可得出抛物线的解析式，再把A点坐标代入直线y2=x+m求出m的值即可；（2）在同一坐标系内画出一次函数与二次函数的图象，利用函数图象即可得出结论；（3）根据（2）中函数图象可直接得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y1=ax2+bx+c的顶点坐标为（），∴y1=a（x﹣）2﹣，∵抛物线经过点A（1，0），∴a（1﹣）2﹣=1，解得a=1，∴y1=（x﹣）2﹣．∵直线y2=x+m恰好也经过点A，∴1+m=0，解得m=﹣1，∴y2=x﹣1；（2）如图所示，当1＜x＜3时，y2＞y1；（3）由图可知，当0≤x≤2时y1的最小值为﹣，y2的最小值为﹣1．【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．20．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，4），（﹣1，0），（0，﹣2）（1）求这个二次函数的表达式；（2）求此二次函数的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标，并根据这些点画出函数大致图象；（3）若0＜y＜3，求x的取值范围．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）由题意抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过（﹣2，4），（﹣1，0），（0，﹣2）三点，把三点代入函数的解析式，根据待定系数法求出函数的解析式；（2）把求得的解析式化为顶点式，从而求出其对称轴和顶点坐标；分别令x=0，y=0，得到方程，解方程从而求出抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）把y=3代入解析式求得横坐标，从而求出x的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线经过（﹣2，4），（﹣1，0），（0，﹣2）三点，则，解得∴y=x2﹣x﹣2；（2）∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣∴对称轴为直线x=，顶点坐标为（，﹣）；∵x=0，y=﹣2，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2）∵y=0，∴x2﹣x﹣2=0，∴x1=2，x2=﹣1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（2，0）、（﹣1，0）．画出函数图象如图：（3）把y=3代入得，x2﹣x﹣2=3，解得x=∴＜x＜﹣1 或 2＜x＜．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式是常用的方法，需熟练掌握并灵活运用，（2）整理成顶点式形式求解更简便．21．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）若降价的最小单位为1元，则当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据题意，卖出了（60﹣x）（300+20x）元，原进价共40（300+20x）元，则y=（60﹣x）（300+20x）﹣40（300+20x）．（2）根据x=﹣时，y有最大值即可求得最大利润．【解答】解：（1）y=（60﹣x）（300+20x）﹣40（300+20x），即y=﹣20x2+100x+6000．因为降价要确保盈利，所以40＜60﹣x≤60（或40＜60﹣x＜60也可）．解得0≤x＜20（或0＜x＜20）；（2）当x=﹣=2.5时，y有最大值=6125，即当降价2.5元时，利润最大且为6125元．当x=2或3时，y的最大值为6120元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意正确列出代数式和函数表达式是解决问题的关键．22．已知A=a+2，B=2a2﹣3a+10，C=a2+5a﹣3，（1）求证：无论a为何值，A﹣B＜0成立，并指出A，B的大小关系；（2）请分析A与C的大小关系．【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．【分析】（1）计算A﹣B后结论，从而判断A与B的大小；（2）同理计算C﹣A，根据结果来比较A与C的大小．【解答】解：（1）A﹣B=﹣2a2+4a﹣8=﹣2（a﹣1）2﹣6＜0，∴A＜B；（2）C﹣A=a2+4a﹣5，当a＜﹣5或a＞1时，C＞A，当a=﹣5或a=1时，C=A，当﹣5＜a＜1时，C＜A．【点评】本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想．23．如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），C为抛物线与y 轴的交点且S△ABC=6（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；（3）①设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值；②若点M是抛物线上在A、C之间的一个动点，则三角形ACM的最大面积是多少？【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据根据三角形的面积公式，可得P点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；（3）①根据垂直于x的直线上两点间的距离是大的纵坐标减小的纵坐标，可得函数解析式，根据顶点坐标是函数的最值，可得答案，②根据面积的和差，可得三角形的面积，根据QM最大时，三角形的面积最大，可得答案．【解答】解：（1）由A、B关于x=﹣1对称，得B（1，0），将A、B点坐标代入函数解析式，得，解得抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；（2）S△BOC=•OB•OC=S△poc=•OC•|Px|=4S△BOC=6，|px|=4，解得x=4或x=﹣4，当x=4时，y=42+2×4﹣3=21，即P1（4，21）当x=﹣4时，y=（﹣4）2+2×（﹣4）﹣3=5，即P2（﹣4，5）综上所述：P1（4，21）P2（﹣4，5）．（3）①yAC=﹣x﹣3，设点Q（a，﹣a﹣3），则点D（a，a2+2a﹣3），∴QD=﹣a2﹣3a且﹣3≤a≤0，当a=时，QD的最大值为；②如图，S△ACM的最大值=S△AQM+SCQM=QM•AF+QM•OF=QM•OA=××3=．【点评】本题考查了二次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，函数值相等的两点关于对称轴对称；（2）利用三角形的面积得出P点的横坐标是解题关键；（3）利用垂直于x的直线上两点间的距离是大的纵坐标减小的纵坐标得出函数解析式是解题关键，②利用面积的和差是解题关键．。
人教版2019-2020学年福建省厦门市八年级(上)第一次月考数学试卷解析版
2019-2020学年福建省厦门市八年级（上）月考数学试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）能将三角形面积平分的是三角形的（）A．角平分线B．高C．中线D．外角平分线3．（4分）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．94．（4分）已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm5．（4分）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去6．（4分）如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°7．（4分）如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（）A．B．C．D．8．（4分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（）A．30°B．20°C．15°D．14°9．（4分）下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（）A．①②③④B．①③④C．①②④D．②③④10．（4分）如图所示，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（）A．25°B．27°C．30°D．45°二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分）11．（4分）如图，一面小红旗，其中∠A＝60°，∠B＝30°，则∠BCD＝．12．（4分）如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是．13．（4分）如图，AB、CD相交于点O，AD＝CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB，你补充的条件是．14．（4分）如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8cm，AB＝10cm，则△EBC的周长为．15．（4分）若一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形的对角线共有条．16．（4分）如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论是．（将你认为正确的结论的序号都填上）三、解答题（本大题有9小题，共86分）17．（8分）解方程组：18．（8分）解不等式组．19．（8分）在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹）20．（8分）如图，AD＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．21．（8分）如图，已知CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，CE与BF相交于点D，且AD平分∠BAC，求证：BD＝CD．22．（10分）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BF＝AC，FD＝CD．求证：AC⊥BE．23．（10分）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BD＝CD．求证：（1）BE＝CF；（2）∠ABD+∠ACD＝180°．24．（12分）如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF求证：BE+CF＞EF．25．（14分）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC ＝∠CFA＝∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF；EF|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使①中的两个结论仍然成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想并给出理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）1．解：根据轴对称图形定义可知：A、不是轴对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不符合题意．故选：A．2．解：根据等底等高可得，能将三角形面积平分的是三角形的中线．故选C．3．解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：180（n﹣2）＝1080，解得：n＝8．故选：C．4．解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，即9﹣4＝5，9+4＝13．∴第三边取值范围应该为：5＜第三边长度＜13，故只有B选项符合条件．故选：B．5．解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故选：C．6．解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，即∠ACA′+∠A′CB＝∠B′CB+∠A′CB，∴∠ACA′＝∠B′CB，又∠B′CB＝30°∴∠ACA′＝30°．故选：B．7．解：A、与三角形ABC有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；B、选项B与三角形ABC有两边及其夹边相等，二者全等；C、与三角形ABC有两边相等，但角不是夹角，二者不全等；D、与三角形ABC有两角相等，但边不对应相等，二者不全等．故选：B．8．解：如图，∠2＝30°，∠1＝∠3﹣∠2＝45°﹣30°＝15°．故选：C．9．解：由全等三角形的概念可知：全等的图形是完全重合的，所以①全等图形的形状相同、大小相等是正确的；重合则对应边、对应角是相等的，周长与面积也分别相等，所以①②③④都正确的故选：A．10．解：在△ADB和△CDB，∵BD＝BD，∠ADB＝∠CDB＝90°，AD＝CD∴△ADB≌△CDB，∴∠ABD＝∠CBD，又∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝54°，∴∠ABD＝∠CBD＝×∠ABC＝27°．在△ADB和△EDC中，∵AD＝CD，∠ADB＝∠EDC＝90°，BD＝ED，∴△ADB≌△CDE，∴∠E＝∠ABD．∴∠E＝∠ABD＝∠CBD＝27°．所以，本题应选择B．二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分）11．解：∠BCD是三角形ABC的外角，所以∠BCD＝∠A+∠B＝60°+30°＝90°．故填90°．12．解：这样做的道理是利用三角形的稳定性．13．解：添加条件可以是：∠A＝∠C或∠ADC＝∠ABC．∵添加∠A＝∠C根据AAS判定△AOD≌△COB，添加∠ADC＝∠ABC根据ASA判定△AOD≌△COB，故填空答案：∠A＝∠C或∠ADC＝∠ABC．14．解：∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC．△EBC的周长＝BC+BE+EC，＝BC+BE+AE，＝BC+AB，＝8+10，＝18（cm）．故答案为：18cm．15．解：多边形的边数＝360°÷36°＝10，对角线条数＝＝35条．故答案为：35．16．解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，∴△ABE≌△ACF，∴AC＝AB，BE＝CF，即结论②正确；∵AC＝AB，∠B＝∠C，∠CAN＝∠BAM，∴ACN≌△ABM，即结论③正确；∵∠BAE＝∠CAF，∵∠1＝∠BAE﹣∠BAC，∠2＝∠CAF﹣∠BAC，∴∠1＝∠2，即结论①正确；∴△AEM≌△AFN，∴AM＝AN，∴CM＝BN，∴△CDM≌△BDN，∴CD＝BD，∴题中正确的结论应该是①②③．故答案为：①②③．三、解答题（本大题有9小题，共86分）17．解：解法1：（1）+（2），得5x＝10，∴x＝2，（3分）把x＝2代入（1），得4﹣y＝3，∴y＝1，（2分）∴方程组的解是．（1分）解法2：由（1），得y＝2x﹣3，③（1分）把③代入（2），得3x+2x﹣3＝7，∴x＝2，（2分）把x＝2代入③，得y＝1，（2分）∴方程组的解是．（1分）18．解：，由①得：x＞1，由②得：x≥﹣2，不等式组的解集为：x＞1．19．解：如图，点P为所作．20．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAC＝∠2+∠BAC，即∠CAE＝∠BAD．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（AAS）．∴AB＝AC．21．证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°，∴∠BDE+∠B＝90°，∠FDC+∠90°，∵∠BDE＝∠CDF，∴∠B＝∠C，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△BAD与△CAD中，，∴△BAD≌△CAD（AAS），∴BD＝CD．22．证明：∵AD⊥BC，∴∠BDF＝∠ADC＝90°，在Rt△BDF和Rt△ADC中∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），∴∠FBD＝∠DAC，∵∠BDF＝90°，∴∠DBF+∠BFD＝90°，∵∠BFD＝∠AFE，∴∠DAC+∠AFE＝90°，∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，∴AC⊥BE．23．解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，在RT△BDE和RT△CDF中，，∴RT△BDE≌RT△CDF（HL），∴BE＝CF；（2）∵RT△BDE≌RT△CDF，∴∠ACD＝∠DBE，∵∠DBE+∠ABD＝180°，∴∠ABD+∠ACD＝180°．24．证明：延长FD至G，使得GD＝DF，连接BG，EG ∵在△DFC和△DGB中，，∴△DFC≌△DGB（SAS），∴BG＝CF，∵在△EDF和△EDG中∴△EDF≌△EDG（SAS），∴EF＝EG在△BEG中，两边之和大于第三边，∴BG+BE＞EG又∵EF＝EG，BG＝CF，∴BE+CF＞EF．25．解：（1）①如图1中，E点在F点的左侧，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB＝90°，∴∠BEC＝∠AFC＝90°，∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，当E在F的右侧时，同理可证EF＝AF﹣BE，∴EF＝|BE﹣AF|；②∠α+∠ACB＝180°时，①中两个结论仍然成立；证明：如图2中，∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠α+∠ACB＝180°，∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，当E在F的右侧时，同理可证EF＝AF﹣BE，∴EF＝|BE﹣AF|；故答案为∠α+∠ACB＝180°．（2）结论：EF＝BE+AF．理由：如图3中，∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠a＝∠BCA，又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB＝180°，∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF，∴∠EBC＝∠ACF，在△BEC和△CFA中，，∴△BEC≌△CFA（AAS），∴AF＝CE，BE＝CF，∵EF＝CE+CF，∴EF＝BE+AF．故答案为：＝，EF＝|BE﹣AF|；②∠α+∠ACB＝180°时．。
2019-2020学年福建省厦门市思明区双十中学九年级(上)第一次月考数学试卷试题及答案(Word解析版)
2019-2020学年福建省厦门市思明区双十中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每题4分，共40分）1．（4分）下列各点在函数21y x =-+图象上的是( ) A ．(0,0)B ．(1,1)C ．(0,1)-D ．(1,0)2．（4分）一元二次方程230x x -=的解是( ) A ．123x x ==B ．123x x ==-C ．10x =，23x =D ．10x =，23x =-3．（4分）已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为( ) A ．1B ．1-C ．2D ．2-4．（4分）用配方法解方程2240x x --=，配方正确的是( ) A ．2(1)3x -=B ．2(1)4x -=C ．2(1)5x -=D ．2(1)3x +=5．抛物线2y x =先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是( )A ．2(1)3y x =++B ．2(1)3y x =+-C ．2(1)3y x =--D ．2(1)3y x =-+6．（4分）下列一元二次方程中，没有实数根的是( ) A ．(2)(2)0x x -+= B ．220x -=C ．2(1)0x -=D ．2(1)20x ++=7．（4分）x =( )A ．23510x x ++=B ．23510x x -+=C ．23510x x --=D ．23510x x +-=8．（4分）汽车刹车后行驶的距离s （单位：)m 关于行驶的时间t （单位：)s 的函数解析式是2156s t t =-，汽车刹车后到停下来前进的距离是( ) A ．54B ．52C ．7516D ．7589．（4分）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别由这些数据，科学家推测出植物每天高度的增长量y 是温度x 的二次函数，那么下列结论： ①该植物在0C ︒时，每天高度的增长量最大；②该植物在6C ︒-时，每天高度的增长量能保持在25mm 左右； ③该植物与大多数植物不同，6C ︒以上的环境下高度几乎不增长． 上述结论中，所有正确结论的序号是( ) A ．①②③B ．①③C ．①②D ．②③10．（4分）已知一个二次函数图象经过11(3,)P y -，22(1,)P y -，33(1,)P y ，44(3,)P y 四点，若324y y y <<，则1y ，2y ，3y ，4y 的最值情况是( )A ．3y 最小，1y 最大B ．3y 最小，4y 最大C ．1y 最小，4y 最大D ．无法确定二、填空题（每题4分，共24分） 11．（4分）方程290x -=的解是 ．12．（4分）抛物线2(1)1y x =--的顶点坐标为 ．13．（4分）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为 ．14．（4分）在一幢高125m 的大楼上掉下一个苹果，苹果离地面的高度()h m 与时间()t s 大致有如下关系：21255h t =-． 秒钟后苹果落到地面．15．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点(1,0)-，则方程220ax ax c -+=的解为 ． 16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 在x 轴负半轴上，顶点B 在x 轴正半轴上．若抛物线2108(0)p ax ax a =-+>经过点C 、D ，则点B 的坐标为 ．三、解答题（9小题，共86分） 17．（12分）解方程： （1）230x x +-=；（2）2616x x -=；（3）2(3)3(3)x x x -=-．18．（8分）已知二次函数2(1)y x n =-+，当2x =时，2y =．求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象．19．（8分）关于x 的一元二次方程2(3)220x k x k -+++=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k 的取值范围．20．（8分）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？21．（8分）如图：在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，8AB BC cm ==，动点P 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿射线AB 运动，同时动点Q 从点C 出发，以2/cm s 的速度沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D ．设P 点运动时间为t 秒，PCQ ∆的面积为2Scm ．（1）直接写出AC 的长：AC = cm ；（2）求出S 关于t 的函数关系式，并求出当点P 运动几秒时，PCQ ABC S S ∆∆=．22．（8分）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体（看成一点）的路线是抛物线23315y x x =-++的一部分，如图所示． （1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高 3.4BC =米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．23．（10分）我市有一种可食用的野生菌，上市时，某经销公司按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格y （元)与存放天数x （天)之间的部分对应值如下表所示： 存放天数x （天) 2 4 6 8 10 市场价格（元)3234363840但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．（1）请你从所学过的一次函数和二次函数中确定哪种函数能表示y 与x 的变化规律，并直接写出y 与x 之间的函数关系式；若存放x 天后将这批野生茵一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P 元，试求出P 与x 之间的函数关系式；（2）该公司将这批野生菌存放多少天后出售可获得最大利润w 元并求出最大利润．24．（10分）已知关于x 的一元二次方程21(2)(2)04a b x a b +-++=有实数根．（1）若2a =，1b =，求方程的根．（2）若225m a b a =++，若0b <，求m 的取值范围．25．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P x y ，若点Q 的坐标为(,||)x x y -，则称点Q 为点P 的“关联点”．（1）请直接写出点(2,2)的“关联点”的坐标；（2）如果点P 在函数1y x =-的图象上，其“关联点” Q 与点P 重合，求点P 的坐标； （3）如果点(,)M m n 的“关联点” N 在函数2y x =的图象上，当02m 时，求线段MN 的最大值．2019-2020学年福建省厦门市思明区双十中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共40分）1．（4分）下列各点在函数21y x =-+图象上的是( ) A ．(0,0) B ．(1,1)C ．(0,1)-D ．(1,0)【解答】解：21y x =-+，∴当0x =时，10y =≠，故点(0,0)不在函数图象上，当1x =时，21101y =-+=≠，故点(1,1)不在函数图象上，点(1,0)在函数图象上， 当0x =时，11y =≠-，故点(0,1)-不在函数图象上， 故选：D ．2．（4分）一元二次方程230x x -=的解是( ) A ．123x x == B ．123x x ==-C ．10x =，23x =D ．10x =，23x =-【解答】解：(3)0x x -=，0x ∴=或30x -=，解得：10x =，23x =， 故选：C ．3．（4分）已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为( ) A ．1B ．1-C ．2D ．2-【解答】解：因为3x =是原方程的根，所以将3x =代入原方程，即23360k --=成立，解得1k =． 故选：A ．4．（4分）用配方法解方程2240x x --=，配方正确的是( ) A ．2(1)3x -= B ．2(1)4x -= C ．2(1)5x -= D ．2(1)3x +=【解答】解：2240x x --=224x x ∴-= 22141x x ∴-+=+2(1)5x ∴-=故选：C ．5．（4分）抛物线2y x =先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是( ) A ．2(1)3y x =++B ．2(1)3y x =+-C ．2(1)3y x =--D ．2(1)3y x =-+【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线2y x =向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：2(1)y x =-；由“上加下减”的原则可知，抛物线2(1)y x =-向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：2(1)3y x =-+．故选：D ．6．（4分）下列一元二次方程中，没有实数根的是( ) A ．(2)(2)0x x -+= B ．220x -=C ．2(1)0x -=D ．2(1)20x ++=【解答】解：A 、(2)(2)0x x -+=中2x =或2x =-，错误； B 、220x -=中0x =，错误； C 、2(1)0x -=中0x =，错误；D 、2(1)20x ++=即2(1)2x +=-，方程无实数根，正确；故选：D ．7．（4分）x =( )A ．23510x x ++=B ．23510x x -+=C ．23510x x --=D ．23510x x +-=【解答】解：2.3510A x x ++=中，x =2.3510B x x -+=中，x =，不合题意；2.3510C x x --=中，x =，不合题意； 2.3510D x x +-=中，x =，符合题意； 故选：D ．8．（4分）汽车刹车后行驶的距离s （单位：)m 关于行驶的时间t （单位：)s 的函数解析式是2156s t t =-，汽车刹车后到停下来前进的距离是( ) A ．54B ．52C ．7516D ．758【解答】解：225751566()48s t t t =-=--+，∴当54t =时，S 取得最大值758， 即汽车刹车后到停下来前进的距离是758m ， 故选：D ．9．（4分）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一段时间后，记录下这种植物高度的增长情况（如下表）:由这些数据，科学家推测出植物每天高度的增长量y 是温度x 的二次函数，那么下列结论： ①该植物在0C ︒时，每天高度的增长量最大；②该植物在6C ︒-时，每天高度的增长量能保持在25mm 左右； ③该植物与大多数植物不同，6C ︒以上的环境下高度几乎不增长． 上述结论中，所有正确结论的序号是( ) A ．①②③B ．①③C ．①②D ．②③【解答】解：从表格可得出以下信息：抛物线开口向下，且对称轴为1x =-， ①函数最大值在1x =-时取得，故①错误； ②由函数对称性知：6x =-时，25y =，故②正确； ③6x =，1y =，故③正确； 故选：D ．10．（4分）已知一个二次函数图象经过11(3,)P y -，22(1,)P y -，33(1,)P y ，44(3,)P y 四点，若324y y y <<，则1y ，2y ，3y ，4y 的最值情况是( )A ．3y 最小，1y 最大B ．3y 最小，4y 最大C ．1y 最小，4y 最大D ．无法确定【解答】解：二次函数图象经过11(3,)P y -，22(1,)P y -，33(1,)P y ，44(3,)P y 四点，且324y y y <<， ∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，11(3,)P y ∴-离对称轴的距离最大，33(1,)P y 离对称轴距离最小，3y ∴最小，1y 最大，故选：A ．二、填空题（每题4分，共24分）11．（4分）方程290x -=的解是 3x =± ．【解答】解：290x -=即(3)(3)0x x +-=，所以3x =或3x =-． 故答案为：3x =±．12．（4分）抛物线2(1)1y x =--的顶点坐标为 (1,1)- ． 【解答】解：2(1)1y x =--，∴顶点坐标为(1,1)-．故答案为(1,1)-．13．（4分）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为 280(1)100x += ． 【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x ， 根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80(1)x +吨 2018年蔬菜产量为80(1)(1)x x ++吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨， 即：80(1)(1)100x x ++=或280(1)100x +=． 故答案为：280(1)100x +=．14．（4分）在一幢高125m 的大楼上掉下一个苹果，苹果离地面的高度()h m 与时间()t s 大致有如下关系：21255h t =-． 5 秒钟后苹果落到地面． 【解答】解：把0h =代入函数解析式21255h t =-得， 212550t -=，解得15t =，25t =-（不合题意，舍去）； 答：5秒钟后苹果落到地面． 故答案为：5．15．（4分）若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点(1,0)-，则方程220ax ax c -+=的解为 11x =-，23x = ．【解答】解：二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点(1,0)-， ∴当1x =-时，220ax ax c -+=成立， ∴方程220ax ax c -+=的一个解是11x =-．20a a c ∴++=， 3c a ∴=-，∴原方程可化为2(23)0a x x --=，0a ≠．2230x x ∴--=， 11x ∴=-，23x =．故答案是：11x =-，23x =．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 在x 轴负半轴上，顶点B 在x 轴正半轴上．若抛物线2108(0)p ax ax a =-+>经过点C 、D ，则点B 的坐标为 (4,0) ．【解答】解：抛物线22108(5)258p ax ax a x a =-+=--+，∴该抛物线的顶点的横坐标是5x =，当0x =时，8y =，∴点D 的坐标为：(0,8)，8OD ∴=，抛物线2108(0)p ax ax a =-+>经过点C 、D ，////CD AB x 轴，5210CD ∴=⨯=，10AD ∴=，90AOD ∠=︒，8OD =，10AD =，6AO ∴=====，10AB =，101064OB AO ∴=-=-=，∴点B 的坐标为(4,0)，故答案为：(4,0)三、解答题（9小题，共86分）17．（12分）解方程：（1）230x x +-=；（2）2616x x -=；（3）2(3)3(3)x x x -=-．【解答】解：（1）230x x +-=，1a ∴=，1b =，3c =-，∴△11213=+=，x ∴=； （2）2616x x -=，26925x x ∴-+=，2(3)25x ∴-=，8x ∴=或2x =-；（3）2(3)3(3)x x x -=-，(23)(3)0x x ∴--=，23x ∴=或3x =；18．（8分）已知二次函数2(1)y x n =-+，当2x =时，2y =．求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象．【解答】解：二次函数2(1)y x n =-+，当2x =时，2y =，22(21)n ∴=-+，解得1n =，∴该二次函数的解析式为2(1)1y x =-+．列表得：如图：19．（8分）关于x 的一元二次方程2(3)220x k x k -+++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求k 的取值范围．【解答】（1）证明：在方程2(3)220x k x k -+++=中，△222[(3)]41(22)21(1)0k k k k k =-+-⨯⨯+=-+=-，∴方程总有两个实数根．（2）解：2(3)22(2)(1)0x k x k x x k -+++=---=，12x ∴=，21x k =+．方程有一根小于1，11k ∴+<，解得：0k <，k ∴的取值范围为0k <．20．（8分）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？【解答】解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x 人，1(1)121x x x +++=，10x =或12x =-（舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了10个人；（2）121121101331+⨯=（人)．答：第三轮后将有1331人被传染．21．（8分）如图：在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，8AB BC cm ==，动点P 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿射线AB 运动，同时动点Q 从点C 出发，以2/cm s 的速度沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D ．设P 点运动时间为t 秒，PCQ ∆的面积为2Scm ．（1）直接写出AC 的长：AC = 82 cm ；（2）求出S 关于t 的函数关系式，并求出当点P 运动几秒时，PCQ ABC S S ∆∆=．【解答】解：（1）在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，8AB BC cm ==，2282AC AB BC cm ∴=+=．故答案为：82．（2）2AP CQ t ==，8AB =，|82|BP t ∴=-， 1|82|2S CQ BP t t ∴==-， 即2228(04)28(4)t t t S t t t ⎧-+<=⎨->⎩． 当04t <时，2128882t t -+=⨯⨯， 整理，得：24160t t -+=，△2(4)4116480=--⨯⨯=-<，∴该方程无解；当4t >时，2128882t t -=⨯⨯， 整理，得：24160t t --=，解得：1225t =-（不合题意，舍去），2225t =+．∴当点P 运动(225)+秒时，PCQ ABC S S ∆∆=．22．（8分）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体（看成一点）的路线是抛物线23315y x x =-++的一部分，如图所示． （1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高 3.4BC =米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．【解答】解：（1）将二次函数23315y x x =-++化成23519()524y x =--+，（3分）， 当52x =时，y 有最大值，194y =最大值，（5分） 因此，演员弹跳离地面的最大高度是4.75米．（6分）（2）能成功表演．理由是：当4x =时，234341 3.45y =-⨯+⨯+=．即点(4,3.4)B 在抛物线23315y x x =-++上， 因此，能表演成功．（12分）．23．（10分）我市有一种可食用的野生菌，上市时，某经销公司按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格y （元)与存放天数x （天)之间的部分对应值如下表所示：但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．（1）请你从所学过的一次函数和二次函数中确定哪种函数能表示y 与x 的变化规律，并直接写出y 与x 之间的函数关系式；若存放x 天后将这批野生茵一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P 元，试求出P 与x 之间的函数关系式；（2）该公司将这批野生菌存放多少天后出售可获得最大利润w 元并求出最大利润．【解答】解：（1）由题意得：30y x =+，2(10003)(30)(10003)391030000P y x x x x x =-=+-=-++；（2）22231010003039103000031010003036003(100)30000w P x x x x x x x =--⨯=-++--⨯=-+=--+0110x <，∴当100x =时，利润w 最大，最大利润为30000元，∴该公司将这批野生茵存放100天后出售可获得最大利润30000元；24．（10分）已知关于x 的一元二次方程21(2)(2)04a b x a b +-++=有实数根． （1）若2a =，1b =，求方程的根．（2）若225m a b a =++，若0b <，求m 的取值范围．【解答】解：（1）当2a =、1b =时，原方程为22441(21)0x x x -+=-=，解得：12x =． 答：若2a =，1b =，方程的根为12． （2）20ab ，0b <，0a ∴．方程21(2)(2)04a b x a b +-++=有实数根，∴△221(4(2)(2)(2)04a b a b a b =--⨯+⨯+=--， 2a b ∴=，222255105(1)5m a b a b b b ∴=++=+=+-， 0b <，5m ∴-．25．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P x y ，若点Q 的坐标为(,||)x x y -，则称点Q 为点P 的“关联点”．（1）请直接写出点(2,2)的“关联点”的坐标；（2）如果点P 在函数1y x =-的图象上，其“关联点” Q 与点P 重合，求点P 的坐标；（3）如果点(,)M m n 的“关联点” N 在函数2y x =的图象上，当02m 时，求线段MN 的最大值．【解答】解：（1）|22|0-=，∴点(2,2)的“关联点”的坐标为(2,0)．（2）点P 在函数1y x =-的图象上，(,1)P x x ∴-，则点Q 的坐标为(,1)x ，点Q 与点P 重合，11x ∴-=，解得：2x =，∴点P 的坐标为(2,1)．（3）点(,)M m n ，∴点(,||)N m m n -．点N 在函数2y x =的图象上，2||m n m ∴-=．()i 当m n 时，2m n m -=，2n m m ∴=-+，2(,)M m m m ∴-+，2(,)N m m ． 02m ，22|||||21|M N MN y y m m m m m ∴=-=-+-=-． ①当102m时，221122()48MN m m m =-+=--+， ∴当14m =时，MN 取最大值，最大值为18． ②当122m <时，221122()48MN m m m =-=-+， 当2m =时，MN 取最大值，最大值为6． ()ii 当m n <时，2n m m -=，2n m m ∴=+，2(,)M m m m ∴+，2(,)N m m ． 02m ，22||||M N MN y y m m m m ∴=-=+-=， 当2m =时，MN 取最大值2． 综上所述：当02m 时，线段MN 的最大值为6．。
福建省厦门市华侨中学2019-2020学年九年级(上)月考数学试卷(9月份)解析版
福建省厦门市华侨中学2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题1．（3分）如图，在平面内有一等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，点A在直线l上．过点C作CE⊥1于点E，过点B作BF⊥l于点F，测量得CE＝3，BF＝2，则AF的长为（）A．5B．4C．8D．72．（3分）如图，在矩形ABCD中，点O为对角线的交点，点E为CD上一点，沿BE折叠，点C 恰好与点O重合，点G为BD上的一动点，则EG+CG的最小值m与BC的数量关系是（）A．m＝BC B．m＝BC C．m＝BC D．2m＝BC3．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝4，∠AEO＝120°，则FC的长度为（）A．1B．2C．D．4．（3分）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（）A．12B．15C．20D．305．（3分）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FH＝BD；其中正确结论的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④6．（3分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°，连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°；…，按此规律所作的第六个菱形的边长为（）A．9B．9C．27D．277．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2＝2a2+2b2，其中正确结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P 处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA＝∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．49．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD 翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A．2B．C．D．10．（3分）如图，沿对角线AC折叠正方形ABCD，使得B、D重合，再折叠△ACD，点D恰好落在AC上的点E处，测得折痕AF的长为3，则C到AF的距离CG为（）A．B．C．D．﹣111．（3分）如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N．设△BPQ，△DKM，△CNH的面积依次为S1，S2，S3．若S1+S3＝20，则S2的值为（）A．6B．8C．10D．12二、填空题12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E、F分别在BC、CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，则AF的长为．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，点G在AD上，且GD＝AB＝1，AG＝2，点E是线段BC上的一个动点（点E不与点B，C合），连接GB，GE，将△GBE关于直线GE对称的三角形记作△GFE，当点E运动到使点F落在矩形任意一边所在的直线上时，则所有满足条件的线段BE的长是．14．（3分）若+b2+2b+1＝0，则|a2+﹣b|＝．15．（3分）如图，∠MAN ＝90°，点C 在边AM 上，AC ＝4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A ′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A ′B 所在直线于点F ，连接A ′E ．当△A ′EF 为直角三角形时，AB 的长为 ．16．（3分）如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF ∥AD ，与AC 、DC 分别交于点G ，F ，H 为CG 的中点，连接DE ，EH ，DH ，FH ．下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH +∠ADH ＝180°；③△EHF ≌△DHC ；④若＝，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有 ．17．（3分）如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，折痕DE 分别交AB ，AC 于点E ，G ，若AB ＝2，则AG 的长为 ．18．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△A ′B ′C ，M 、M ′分别是AB 、A ′B ′的中点，若AC ＝4，BC ＝2，则线段MM ′的长为 ．19．（3分）在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD ＝2AP，则AP的长为．20．（3分）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小是．21．（3分）已知直角三角形ABC，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，以AC为边向外作正方形ACEF，则这个正方形的中心O到点B的距离为．22．（3分）如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P 是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为．三、解答题23．（10分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，求△ABC的最大边c的值．（3）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，则a﹣b+c＝．24．（10分）在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M，FH的中点是P．（1）如图1，点A、C、E在同一条直线上，根据图形填空：①△BMF是三角形；②MP与FH的位置关系是，MP与FH的数量关系是；（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，解答下列问题：①证明：△BMF是等腰三角形；②（1）中得到的MP与FH的位置关系与数量关系的结论是否仍然成立？证明你的结论；（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，（2）中的三个结论还成立吗？（成立的不需要说明理由，不成立的需要说明理由）25．（10分）如图（1），已知正方形ABCD，E是线段BC上一点，N是线段BC延长线上一点，以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：DG＝BE；（2）连接FC，求∠FCN的度数；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝m，BC＝n（m、n为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G 恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？若∠FCN 的大小不变，请用含m、n的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请画图说明．26．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE．（1）如图1，求证：△BCE≌△DCE；（2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG＝FB．①求证：DE⊥FG；②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．27．（10分）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“准菱形”，利用该定义完成以下各题：（1）理解如图1，在四边形ABCD中，若（填一种情况），则四边形ABCD是“准菱形”；（2）应用证明：对角线相等且互相平分的“准菱形”是正方形；（请画出图形，写出已知，求证并证明）（3）拓展如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BP方向平移得到△DEF，连接AD，BF，若平移后的四边形ABFD是“准菱形”，求线段BE的长．28．（12分）正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF ⊥CD于点F．如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF．（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E．①求证：DF＝EF；②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E．请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）29．（10分）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF ＝BE+DF，试说明理由．（1）思路梳理∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．根据，易证△AFG≌，得EF＝BE+DF．（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF＝BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．30．（12分）如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，OA＝10，cos∠COA＝．一个动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA方向运动，过点P作PQ ⊥OA，交折线段OC﹣CB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线OA上，当P 点到达A点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）C点的坐标为，当t＝时N点与A点重合；（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与菱形OABC的重合部分面积为S，直接写出S与t 之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，在运动过程中，过点O和点B的直线将正方形PQMN分成了两部分，请问是否存在某一时刻，使得被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的？若存在，请求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、单选题1．（1）证明：如图1，过点C作CD⊥BF，交FB的延长线于点D，∵CE⊥MN，CD⊥BF，∴∠CEA＝∠D＝90°，∵CE⊥MN，CD⊥BF，BF⊥MN，∴四边形CEFD为矩形，∴∠ECD＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACB﹣∠ECB＝∠ECD﹣∠ECB，即∠ACE＝∠BCD，又∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝BC，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（AAS），∴AE＝BD，CE＝CD，又∵四边形CEFD为矩形，∴四边形CEFD为正方形，∴CE＝EF＝DF＝CD，∴AF+BF＝AE+EF+BF＝BD+EF+BF＝DF+EF＝2CE，∵CE＝3，BF＝2，∴AF＝6﹣2＝4．故选：B．2．解：如图，由题意∠BOE＝∠BCE＝90°，OB＝BC＝OC，∴△OBC是等边三角形，延长EO交AB于K，连接CK交BD于G，连接GE．由题意E、K关于BD对称，∴GE+GC＝GK+GC，∴当K、G、C共线时，GE+GC的值最小，最小值为KC的长，设BC＝a，CK＝m，在Rt△BOK中，∵∠KBO＝30°，OB＝a，∴BK＝OB÷cos30°＝a，在Rt△CBK中，∵BC2+BK2＝CK2，∴a2+（a）2＝m2，∴3m2＝7a2，∴m＝a．故选：C．3．解：∵EF⊥BD，∠AEO＝120°，∴∠EDO＝30°，∠DEO＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠OBF＝∠OCF＝30°，∠BFO＝60°，∴∠FOC＝60°﹣30°＝30°，∴OF＝CF，又∵Rt△BOF中，BO＝BD＝AC＝2，∴OF＝tan30°×BO＝2，∴CF＝2，故选：B．4．解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，因为S1+S2+S3＝60，所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，即3S2＝60，解得S2＝20．故选：C．5．解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AE＝AC，∵∠BAC＝30°，∴∠FAE＝∠ACB＝90°，AB＝2BC，∵F为AB的中点，∴AB＝2AF，∴BC＝AF，∴△ABC≌△EFA，∴FE＝AB，∴∠AEF＝∠BAC＝30°，∴EF⊥AC，故①正确，∵EF⊥AC，∠ACB＝90°，∴HF∥BC，∵F是AB的中点，∴HF＝BC，∵BC＝AB，AB＝BD，∴HF＝BD，故④说法正确；∵AD＝BD，BF＝AF，∴∠DFB＝90°，∠BDF＝30°，∵∠FAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，∴∠DFB＝∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF＝30°，∴∠BDF＝∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS），∴AE＝DF，∵FE＝AB，∴四边形ADFE为平行四边形，∵AE≠EF，∴四边形ADFE不是菱形；故②说法不正确；∴AG＝AF，∴AG＝AB，∵AD＝AB，则AD＝4AG，故③说法正确，故选：C．6．解：连接BD交AC于O，连接CD1交AC1于E，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴ACD⊥BD，∠BAO＝∠DAB＝30°，OA＝AC，∴OA＝AB•cos30°＝1×＝，∴AC＝2OA＝，同理AE＝AC•cos30°＝•＝，AC1＝3＝（）2，…，第n个菱形的边长为（）n﹣1，∴第六个菱形的边长为（）5＝9；故选：B．7．解：如图，设BE，DG交于O．∵四边形ABCD和CEFG都为正方形，∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCE+∠DCE＝∠ECG+∠DCE＝90°+∠DCE，即∠BCE＝∠DCG．在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE＝DG，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠4＝∠3+∠1＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠BOG＝90°，∴BE⊥DG；故①②正确；连接BD，EG，如图所示，∴DO2+BO2＝BD2＝BC2+CD2＝2a2，EO2+OG2＝EG2＝CG2+CE2＝2b2，则DE2+BG2＝DO2+BO2+EO2+OG2＝2a2+2b2，故③正确．故选：D．8．解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP＝EB，∴∠EBP＝∠EPB，∵点E为AB中点，∴AE＝EB，∴AE＝EP，∴∠PAB＝∠APE，∵∠PAB+∠PBA+∠APB＝180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE＝2（∠PAB+∠PBA）＝180°，∴∠PAB+∠PBA＝90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB＝90°，∴∠APQ+∠BPC＝90°，由折叠得：BC＝PC，∴∠BPC＝∠PBC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝90°，∴∠ABP＝∠APQ，故②正确；③∵AF∥EC，∴∠FPC＝∠PCE＝∠BCE，∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE＝30°时，才有∠FPC＝∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF＝EC，AD＝BC＝PC，∠ADF＝∠EPC＝90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL），∵∠ADF＝∠APB＝90°，∠FAD＝∠ABP，当BP＝AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个，故选：B．9．解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，∴BC＝＝5，∵CD＝DB，∴AD＝DC＝DB＝，∵•BC•AH＝•AB•AC，∴AH＝，∵AE＝AB，∴点A在BE的垂直平分线上．∵DE＝DB＝DC，∴点D在BE的垂直平分线上，△BCE是直角三角形，∴AD垂直平分线段BE，∵•AD•BO＝•BD•AH，∴OB＝，∴BE＝2OB＝，在Rt△BCE中，EC＝＝＝，故选：D．10．解：设正方形ABCD的边长＝a，则AC＝a，∵折叠△ACD，点D恰好落在AC上的点E处，∴AE＝AD＝a，∠AEF＝∠D＝90°，∴CE＝a﹣a，∵∠ECF＝45°，∴EF＝CE＝a﹣a，∵AF2＝AE2+EF2，∴32＝a2+（a﹣a）2，∴a＝，∴AC＝，EF＝（﹣1）×，∵∠EAF＝∠CAG∠AEF＝∠G＝90°，∴△AEF∽△AGC，∴＝，∴CG＝．故选：A．11．解：∵矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，∴AB＝BD＝CD，AE∥BF∥DG∥CH，∴四边形BEFD，四边形DFGC是平行四边形，∠BQP＝∠DMK＝∠CHN，∴BE∥DF∥CG∴∠BPQ＝∠DKM＝∠CNH，∵△ABQ∽△ADM，△ABQ∽△ACH，∴＝＝，＝＝，∴△BPQ∽△DKM∽△CNH，∴＝，∴＝，＝，∴S2＝4S1，S3＝9S1，∵S1+S3＝20，∴S1＝2，∴S2＝8．故选：B．二、填空题12．解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND＝DF，设DF＝DN＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC＝4，∴NF＝x，AN＝4﹣x，∵AB＝2，∴AM＝BM＝1，∵AE＝，AB＝2，∴BE＝1，∴ME＝＝，∵∠EAF＝45°，∴∠MAE+∠NAF＝45°，∵∠MAE+∠AEM＝45°，∴∠MEA＝∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴，∴，解得：x＝，∴AF＝＝．故答案为：．13．解：①当点F落在DC的延长线上时，设BE＝EF＝x，在Rt△ECF中，∵EC2+CF2＝EF2，∴（3﹣x）2＝12＝x2，解得x＝．②当点F落在BC的延长线上时，易知BE＝AG＝2，③当点F落在AD的延长线上时，易知BE＝BG＝综上所述，满足条件的BE的值为或2或．14．解：∵+b2+2b+1＝0，∴a2﹣3a+1＝0，b2+2b+1＝0，∴a2+1＝3a，（b+1）2＝0，∴a+＝3，b＝﹣1，∴|a2+﹣b|＝|（a+）2﹣2﹣b|＝|9﹣2+1|＝8．故答案为：8．15．解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A'EF＝90°时，如图1，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A'C＝AC＝4，∠ACB＝∠A'CB，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A'EF，∴AC∥A'E，∴∠ACB＝∠A'EC，∴∠A'CB＝∠A'EC，∴A'C＝A'E＝4，Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A'E＝8，由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，∴AB＝＝4；②当∠A'FE＝90°时，如图2，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，∴∠ABF＝90°，∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；综上所述，AB的长为4或4；故答案为：4或4；16．解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，∴EF＝AD＝CD，∠ACD＝45°，∠GFC＝90°，∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF＝FC，∵EG＝EF﹣GF，DF＝CD﹣FC，∴EG＝DF，故①正确；②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH＝CH，∠GFH＝∠GFC＝45°＝∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），∴∠HEF＝∠HDC，∴∠AEH+∠ADH＝∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC＝∠AEF+∠ADF＝180°，故②正确；③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH＝CH，∠GFH＝∠GFC＝45°＝∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；④∵＝，∴AE＝2BE，∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH＝GH，∠FHG＝90°，∵∠EGH ＝∠FHG +∠HFG ＝90°+∠HFG ＝∠HFD ，在△EGH 和△DFH 中，，∴△EGH ≌△DFH （SAS ），∴∠EHG ＝∠DHF ，EH ＝DH ，∠DHE ＝∠EHG +∠DHG ＝∠DHF +∠DHG ＝∠FHG ＝90°， ∴△EHD 为等腰直角三角形，过H 点作HM 垂直于CD 于M 点，如图所示：设HM ＝x ，则DM ＝5x ，DH ＝x ，CD ＝6x ，则S △DHC ＝×HM ×CD ＝3x 2，S △EDH ＝×DH 2＝13x 2，∴3S △EDH ＝13S △DHC ，故④正确；故答案为：①②③④．17．解：设AE ＝EF ＝x ，则BE ＝x ，∴x +x ＝2，∴x ＝2﹣2，∴AE ＝2﹣2， ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADB ＝∠CAD ＝45°，由翻折可知：∠ADG ＝22.5°，∴∠AED ＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠AGE ＝∠GAD +∠ADG ＝67.5°，∴AG ＝AE ＝2﹣2，故答案为．18．解：如图，连接MC ，M 'C ，∵AC ＝4，BC ＝2，∴AB ＝＝＝2，∵M是AB的中点，∴CM＝AB＝，∵Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到Rt△A′B′C，∴∠A′CM′＝∠ACM，∵∠ACM+∠MCB＝90°，∴∠MCB+∠BCM′＝90°，又∵CM＝C′M′，∴△CMM′是等腰直角三角形，∴MM′＝CM＝，故答案为：．19．解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，∴AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OA＝OC＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝6，∠ABC＝∠DAB＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝6，∴OA＝OB＝OC＝OD＝3，有6种情况：①点P在AD上时，∵AD＝6，PD＝2AP，∴AP＝2；②点P在AC上时，设AP＝x，则DP＝2x，在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2＝DO2+OP2，（2x）2＝（3）2+（3﹣x）2，解得：x＝﹣（负数舍去），即AP＝﹣；③点P在AB上时，设AP＝y，则DP＝2y，在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2＝DP2，y2+62＝（2y）2，解得：y＝2（负数舍去），即AP＝2；④当P在BC上，设BP＝x，∵DP＝2AP，∴2＝，即x2+6x+24＝0，△＝62﹣4×1×24＜0，此方程无解，即当点P在BC上时，不能使DP＝2AP；⑤P在DC上，∵∠ADC＝90°，∴AP＞DP，不能DP＝2AP，即当P在DC上时，不能具备DP＝2AP；⑥P在BD上时，过P作PN⊥AD于N，过P作PM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ANP＝∠AMP＝90°，∴四边形ANPM是矩形，∴AM＝PN，AN＝PM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，∵∠PMB＝90°，∴∠MBP＝∠MPB＝45°，∴BM＝PM＝AN，同理DN＝PN＝AM，设PM＝BM＝AN＝x，则PN＝DN＝AM＝6﹣x，都不能DP＝2AP，∵DP＝2AP，∴由勾股定理得：2＝，即x2﹣4x+12＝0，△＝（﹣4）2﹣4×1×12＜0，此方程无解，即当P在BD上时，不能DP＝2AP，故答案为：2或2或﹣．20．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝60°，分两种情况：①如图，当正△AEF在正方形ABCD内部时，在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE＝∠DAF＝（90°﹣60°）＝15°②如图，当正△AEF在正方形ABCD外部时，在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE＝∠DAF＝（360°﹣90°+60°）＝165°故答案为：15°或165°．21．解：如图，延长BA到D，使AD＝BC，连接OD，OA，OC，∵四边形ACEF是正方形，∴∠AOC＝90°，∵∠ABC＝90°，∵∠ABC+∠AOC＝180°，∴∠BCO+∠BAO＝180°，∠BCO＝∠DAO，又∵CO＝AO，在△BCO与△DAO中，，∴△BCO≌△DAO（SAS），∴OB＝OD，∠BOC＝∠DOA，∴∠BOD＝∠COA＝90°，∴△BOD是等腰直角三角形，∴BD＝OB，∵BD＝AB+AD＝AB+BC＝8，∴OB＝4，故答案为4．22．解：如图，设KH的中点为S，连接PE，PF，SE，SF，PS，∵E为MN的中点，S为KH的中点，∴A，E，S共线，F为QR的中点，S为KH的中点，∴B、F、S共线，由△AME∽△PQF，得∠SAP＝∠FPB，∴ES∥PF，△PNE∽△BRF，得∠EPA＝∠FBP，∴PE∥FS，则四边形PESF为平行四边形，则G为PS的中点，∴G的轨迹为△CSD的中位线，∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝6﹣1﹣1＝4，∴点G移动的路径长．故答案为：2．三、解答题23．解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝0∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）＝0∴（x+y）2+（y+1）2＝0∴x+y＝0 y+1＝0解得x＝1，y＝﹣1∴x﹣y＝2；（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）＝0∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0∴a﹣3＝0，b﹣4＝0解得a＝3，b＝4∵三角形两边之和＞第三边∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7，又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6；（3）∵a﹣b＝4，即a＝b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13＝0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）＝（b+2）2+（c﹣3）2＝0，∴b+2＝0，且c﹣3＝0，即b＝﹣2，c＝3，a＝2，则a﹣b+c＝2﹣（﹣2）+3＝7．故答案为：7．24．解：（1）△FMH是等腰直角三角形．∵四边形BCGF和CDHN都是正方形，点N与点G重合，点M与点C重合，∴FB＝BM＝MD＝DH，∠FBM＝∠MDH＝90°，在△FBM和△MDH中，，∴△FBM≌△MDH（SAS），∴FM＝MH，∵∠FMB＝∠DMH＝45°，∴∠FMH＝90°，∴FM⊥HM，∴△FMH是等腰直角三角形；②∵△FMH是等腰直角三角形，P是斜边FH的中线，∴MP⊥FH，MP＝FH，（2）①△BMF是等腰三角形，∵点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点，AE的中点是M，∴BM是△ACE的中位线，∴BM＝CE＝CD，∵FB＝BC＝CD＝DH，∴FB＝BM，∴△BMF是等腰三角形．②仍然成立；连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点Q．∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，∴MD∥BC，且MD＝BC＝BF；MB∥CD，且MB＝CD＝DH，∴四边形BCDM是平行四边形，∴∠CBM＝∠CDM，又∵∠FBC＝∠HDC，∴∠FBM＝∠MDH，在△FBM和△MDH中，，∴△FBM≌△MDH（SAS），∴FM＝MH，且∠MFB＝∠HMD，∵BC∥MD，∴∠AQM＝∠FMD，∴∠FMH＝∠FMD﹣∠HMD＝∠AQM﹣∠MFB＝∠FBC＝90°，∴△FMH是等腰直角三角形；∵△FMH是等腰直角三角形，P是斜边FH的中线，∴MP⊥FH，MP＝FH，（3）三个结论还成立；连接MB、MD，如图3，设FM与AC交于点Q．∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，∴MD∥BC，且MD＝BC＝BF；MB∥CD，且MB＝CD＝DH，∴四边形BCDM是平行四边形，∴∠CBM＝∠CDM，又∵∠FBC＝∠HDC，∴∠FBM＝∠MDH，在△FBM和△MDH中，，∴△FBM≌△MDH（SAS），∴FM＝MH，且∠MFB＝∠HMD，∵BC∥MD，∴∠AQM＝∠FMD，∴∠FMH＝∠FMD﹣∠HMD＝∠APM﹣∠MFB＝∠FBP＝90°，∴△FMH是等腰直角三角形．∵是斜边FH的中线，∴MP⊥FH，MP＝FH；25．解：（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG．∴DG＝BE；（2）如图，作FH⊥MN于H，∵∠AEF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB＝90°，∴∠FEH＝∠BAE，又∵AE＝EF，∠EHF＝∠EBA＝90°，∴△EFH≌△ABE，∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH，∴∠FCN＝∠CFH＝（180°﹣∠FHC），∵∠FHC＝90°，∴∠FCN＝45°．（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，理由如下：如图，作FH⊥BN于H，由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90°，结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG，又∵G在射线CD上，∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90°，∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE，∴EH＝AD＝BC＝n，∴CH＝BE，∴＝＝；在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝，∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN＝．26．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是其对角线，∴∠DCE＝∠BCE，CD＝CB在△BCE与△DCE中，∴△BCE≌△DCE（SAS）．（2）①证明：∵由（1）可知△BCE≌△DCE，∴∠FDE＝∠FBC又∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴∠DFG＝∠BGF，∠CFB＝∠GBF，又∵FG＝FB，∴∠FGB＝∠FBG，∴∠DFG＝∠CFB，又∵∠FCB＝90°，∴∠CFB+∠CBF＝90°，∴∠EDF+∠DFG＝90°，∴DE⊥FG②解：如下图所示，∵△BFG为等边三角形，∴∠BFG＝60°，∵由（1）知∠DFG＝∠CFB＝60°，在Rt△FCB中，∠FCB＝90°，∴FC＝CB•cot60°＝，DF＝2﹣，又∵DE⊥FG，∴∠FDE＝∠FED＝30°，OD＝OE，在Rt△DFO中，OD＝DF•cos30°＝﹣1，∴DE＝2（﹣1）27．解：（1）由“准菱形”的定义得出，AB＝BC，故答案为：AB＝BC；（2）已知：如图，四边形ABCD是“准菱形”，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD，OA ＝OC，OB＝OD，求证：四边形ABCD是正方形；证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，∵四边形ABCD是“准菱形”，∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形；（3）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，∴AC＝，由平移得，BE＝AD，DE＝AB＝2，EF＝BC＝1，DF＝AC＝，由“准菱形”的定义分四种情况：①当AD＝AB时，BE＝AD＝AB＝2；②当AD＝DF时，BE＝AD＝DF＝，③如图1，当BF＝DF＝时，延长FE交AB于点H，∴FH⊥AB，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝45°，∴∠BEH＝∠ABE＝45°，∴BE＝BH，设EH＝BH＝x，∴FH＝x+1，BE＝x，在Rt△BFH中，BH2+FH2＝BF2，∴x2+（x+1）2＝5，∴x＝1或x＝﹣2（舍），∴BE＝x＝；④如图1，当BF＝AB＝2时，与③的方法一样得：BH2+FH2＝BF2，设EH＝BH＝x，∴x2+（x+1）2＝4，∴x＝或x＝（舍），∴BE＝x＝，综上所述，BE＝2或或或．28．解：（1）如图2，延长FP交AB于点Q，①∵AC是正方形ABCD对角线，∴∠QAP＝∠APQ＝45°，∴AQ＝PQ，∵AB＝QF，∴BQ＝PF，∵PE⊥PB，∴∠QPB+∠FPE＝90°，∵∠QBP+∠QPB＝90°，∴∠QBP＝∠FPE，∵∠BQP＝∠PFE＝90°，∴△BQP≌△PFE，∴QP＝EF，∵AQ＝DF，∴DF＝EF；②如图2，过点P作PG⊥AD．∵PF⊥CD，∠PCF＝∠PAG＝45°，∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，∵四边形DFPG为矩形，∴PA＝PG，PC＝CF，∵PG＝DF，DF＝EF，∴PA＝EF，∴PC＝CF＝（CE+EF）＝CE+EF＝CE+PA，即PC、PA、CE满足关系为：PC＝CE+PA；（2）结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA﹣PC＝CE．如图3：①∵PB⊥PE，BC⊥CE，∴B、P、C、E四点共圆，∴∠PEC＝∠PBC，在△PBC和△PDC中有：BC＝DC（已知），∠PCB＝∠PCD＝45°（已证），PC边公共边，∴△PBC≌△PDC（SAS），∴∠PBC＝∠PDC，∴∠PEC＝∠PDC，∵PF⊥DE，∴DF＝EF；②同理：PA＝PG＝DF＝EF，PC＝CF，∴PA＝EF＝（CE+CF）＝CE+CF＝CE+PC即PC、PA、CE满足关系为：PA﹣PC＝CE．29．解：（1）∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，即：EF＝BE+DF．（2）∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF；∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∴∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵∠ADC+∠B＝180°，∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG，即：EF＝BE+DF．（3）猜想：DE2＝BD2+EC2，证明：连接DE′，根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，∴△AEC≌△ABE′，∴BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BD2＝E′D2，又∵∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠EAC＝45°，∴∠E′AB+∠BAD＝45°，即∠E′AD＝45°，在△AE′D和△AED中，∴△AE′D≌△AED（SAS），∴DE＝DE′，∴DE2＝BD2+EC2．30．解：（1）∵菱形OABC中，OA＝10，∴OC＝10，∵cos∠COA＝，∴点C的坐标为：（6，8），∵动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OA方向运动，∵OA＝10，∴t＝时，N点与A点重合；（2）①，②，③，④8＜t≤10，S＝104﹣8t；＝80，直线OB过原点（0，0），B点（16，8），故直线OB解析式为，（3）S菱形直线OB与PQ、MN分别交于E、F点，如图：①当0＜t≤6，，，，，若，则，，若，则，，②当6＜t≤8，，，，，若则，t＝0（舍），若，则，t3＝8；③8＜t≤10，不存在符合条件的t值．。
2019-2020学年九年级(华师大版)数学上册期末综合练习卷(含答案) (1)
九年级上册期末综合练习卷一．选择题1．下列各式①；②；③；④；⑤；其中一定是最简二次根式的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则cos B的值是（）A．B．C．D．3．四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图3所示，若AD⊥CD，AB∥CD，AB＝5，A点坐标为（﹣2，7），则点B坐标为（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，12）C．（3，7）D．（﹣7，7）4．小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地，如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为（）A．1B．C．D．5．已知方程x2﹣4x+2＝0的两根是x1，x2，则代数式的值是（）A．2011B．2012C．2013D．20146．如图，在△ABC中，点D在边AB上，则下列条件中不能判断△ABC∽△ACD的是（）A．∠ABC＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．D．AC2＝AD•AE 7．若分式的值是正整数，则m可取的整数有（）A．4个B．5个C．6个D．10个8．一枚均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个点．甲乙两人各掷一次，如果朝上一面的两个点数之和为奇数，则甲胜；若为偶数，则乙胜，下列说法正确的是（）A．甲获胜的可能性大B．乙获胜的可能性大C．甲乙获胜的可能性一样大D．乙一定获胜9．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210B．x（x﹣1）＝210C．2x（x﹣1）＝210D．x（x﹣1）＝210二．填空题10．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为．11．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是．12．把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的表达式是．13．如图，ED为△ABC的中位线，点G是AD和CE的交点，过点G作GF∥BC交AC于点F，如果GF＝4，那么线段BC的长是．14．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE 折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对称轴上，则AE的长为．三．解答题（共8小题，满分75分）15．计算下列各题（1）（2）（3）（4）16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，求AB的长．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．18．在歌唱比赛中，一位歌手分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份）一次，根据指针指向的歌曲名演唱两首曲目．（1）转动转盘①时，该转盘指针指向歌曲“3”的概率是；（2）若允许该歌手替换他最不擅长的歌曲“3”，即指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，求他演唱歌曲“1”和“4”的概率．19．如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C 港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B的距离；（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在BC、AC上，且∠ADE ＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若AB＝2，BD＝1，求CE的长．参考答案一．选择题1．C．2．B．3．C．4．B．5．D．6．C．7．A．8．C．9．B．二．填空题10．解：∵＝＝，∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，∵a+b﹣2c＝6，∴6x+5x﹣8x＝6，解得：x＝2，故a＝12．故答案为：12．11．解：如图，tanα＝＝故答案为：．12．解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数的表达式是y＝（x﹣1+3）2+2﹣2，即y＝（x+2）2，故答案为y＝（x+2）2．13．解：∵ED为△ABC的中位线，∴AD、CE为△ABC的中线，∴点G为△ABC的重心，∴AG＝2GD，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ADC，∴＝＝，∴CD＝GF＝×4＝6，∴BC＝2CD＝12．故答案为12．14．解：分两种情况：①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD的对称轴，∴AM＝BN＝AD＝1，∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，∴A′E＝AE，A′B＝AB＝1，∴A′N＝＝0，即A′与N重合，∴A′M＝1，∴A′E2＝EM2+A′M2，∴A′E2＝（1﹣A′E）2+12，解得：A′E＝1，∴AE＝1；②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，则直线PQ是矩形ABCD的对称轴，∴PQ⊥AB，AP＝PB，AD∥PQ∥BC，∴A′B＝2PB，∴∠P A′B＝30°，∴∠A′BC＝30°，∴∠EBA′＝30°，∴AE＝A′E＝A′B×tan30°＝1×＝；综上所述：AE的长为1或；故答案为：1或．三．解答题15．解：（1）原式＝﹣1+4﹣2＝+1；（2）原式＝2﹣3﹣（3﹣2）+3＝2﹣；（3）原式＝10+3+2＝15；（4）原式＝3+4+4﹣4+2＝9．16．解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD+BD＝3+，答：AB的长是3+．17．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a＜2；（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥﹣，∵a为整数，∴a的值为﹣1，0，1．18．解：（1）∵转动转盘①一共有3种可能，∴转盘指针指向歌曲“3”的概率是：；故答案为：；（2）分别转动两个转盘一次，列表：（画树状图也可以）45 6BA11，41，51，622，42，52，633，43，53，6共有9种，它们出现的可能性相同．由于指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，所以所有的结果中，该歌手演唱歌曲“1”和“4”（记为事件A）的结果有2种，所以P（A ）＝．（说明：通过枚举、画树状图或列表得出全部正确情况得（4分）；没有说明等可能性扣（1分）．）19．解：（1）过点B作BD⊥AE于D在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，设CD＝x，则BD ＝，BC＝2x在Rt△ABD中，∠BAD＝45°则AD＝BD＝，AB＝BD＝由AC+CD＝AD得20+x＝x解得：x＝10+10故AB＝30+10答：港口A到海岛B的距离为海里．（2）甲船看见灯塔所用时间：小时乙船看见灯塔所用时间：小时所以乙船先看见灯塔．20．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，又因为∠DEC＝∠ADE+∠CAD＝45°+∠CAD（三角形的外角等于不相邻的两个内角之和），同理∠ADB＝∠C+∠CAD＝45°+∠CAD，∴∠DEC＝∠ADB，又∠ABD＝∠DCE＝45°，∴△ABD∽△DCE；（2）∵AB＝2，∴BC＝2，∵△ABD∽△DCE，∴＝，即＝，＝，CE＝﹣．。
2019-2020学年人教版九年级数学上册24.1.4： 圆周角同步练习(含答案)
九年级数学上册24.1.4 圆周角基础闯关全练1．下列各图中，∠BAC为圆周角的是( )A. B.C. D.2．如图24-1-4-1，点O为所在圆的圆心，∠BOC= 112º，点D在BA的延长线上，AD =AC，则∠D=_________.3．（2018广西柳州中考）如图24 -1-4-2，A，B ，C，D是⊙O上的四个点，∠A= 60°，∠B=24°，则∠C的度数为( )A．84°B．60°C．36°D．24°4．（2019黑龙江哈尔滨香坊期中）如图24 -1-4-3，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC=120°，则∠BDC的度数是( )A.20°B.25°C.30°D.40°5．（2019江苏扬州高邮期中）如图24-1-4-4，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD= 50°，则∠BCD的度数为( )A．40°B．50°C．35°D．55°6．如图24-1-4-5，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD= 28°，则∠ABD=________°7．（2018湖南邵阳中考）如图24 -1-4 -6所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是( )A.80°B.120°C.100°D.90°8．如图24-1-4-7，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是________.能力提升全练1．如图24-1-4-8，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为( )A.45°B.30°C.75°D.60°2．（2019四川广元苍溪期中）如图24-1-4-9，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC ∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②BC平分ABD；③BD=2OF；④△CEF≌△BED，其中一定成立的是( )A.②④B．①③④C．①②③D．①②③④3．（2019江苏盐城盐都期中）已知⊙O上有两定点A、B，点P是⊙O上一动点（不与A、B 两点重合），若∠OAB=30°，则∠APB的度数是____________________.4．（2018山东德州乐陵期中）如图24-1-4-10，⊙O的半径为1，A、P、B、C足⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，则四边形APBC的最大面积是_________.三年模拟全练一、选择题1．（2019浙江温州苍南期中，5，★☆☆）如图24-1-4-11所示，点A，B，C，D在⊙O上，CD是直径，∠ABD= 75°，则∠AOC的度数为( )A.15°B.25°C.30°D.35°2．（2019河南洛阳期中，8，★☆☆）如图24-1-4-12，一个三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是46°，则∠ACD的度数为( )A．46°B．23 °C．44°D．67°二、填空题3．（2018浙江湖州吴兴期中，12，★★☆）一个圆形人工湖如图24-1-4 - 13所示，弦AB是湖上的一座桥，已知AB的长为80 m，∠C=45°，则这个人工湖的直径为_________.五年中考全练一、选择题1．（2018浙江衢州中考，5，★☆☆）如图24-1-4-14，点A，B，C在⊙O 上，∠ACB= 35°，则∠AOB的度数是( )A．75°B．70°C．65°D．35°2．（2018江苏盐城中考，7，★☆☆）如图24-1-4-15，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC= 35°，则∠CAB的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．65°二、填空题3．（2018青海中考，9，★★☆）如图24-1-4-16，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC= 110°，则∠ABC=________．4．（2018四川甘孜州中考，25，★★☆）如图24-1-4-17，半圆的半径OC=2，线段BC与CD 是半圆的两条弦，BC=CD，延长CD交直径BA的延长线于点E，若AE=2，则弦BD的长为_________.核心素养全练1．图24 -1-4 -18是一个暗礁区（弓形）的示意图，两灯塔A，B 之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船(S)不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须( )A．大于60°B．小于60°C．大于30°D．小于30°2．如图24-1-4-19，AB是半圆O的直径，将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是( )A.B ．8C． D ．九年级数学上册24.1.4 圆周角基础闯关全练1.A 依据圆周角的概念来判断，点A 必须在圆上，边AB ，AC 必须分别与圆还有另一个交点，故选A ．2．答案 28°解析 ∵∠BOC= 112°，∴∠BAC=∠BOC=56°，∵AD=AC ，∴ ∠ACD=∠D ，∵∠BAC=∠ACD+∠D ，∴∠D=∠BAC=28°.3.D ∵∠B 与∠C 都是所对的圆周角，∠B=24°，∴∠C=∠B=24°，故选D ．736515221214.C ∵BO ⊥AC ， ∠AOC= 120°，∴∠BOC=∠AOC= 60°，则∠BDC=∠BOC=30°．故选C ．5.A 如同，连接，AC ，∵AB 为直径，∴∠ACB= 90°，∵∠ABD=50º，∴∠ACD=∠ABD= 50°，∴∠BCD= ∠ACB-∠ACD= 90°-50°= 40°．故选A ．6．答案 62解析 ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB= 90°.∵∠BCD=28°，∴ ∠ACD=90°-28°=62°， ∴∠ABD=∠ ACD=62°.7．B ∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BCD= 120°，∴ ∠A=180°-∠BCD=60°，由圆周角定理，得∠BOD=2∠A=120°，故选B ．8．答案 AB//CD解析 ∵四边形ABCD 为圆内接四边形，∴∠A+ ∠C= 180°，∵∠C=∠D ，∴∠A+∠D=180°，∴AB//CD.能力提升全练1.D 作半径OC ⊥AB 于D ，连接OA 、OB ，∵将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，∴OD= CD ，∴OD= OC=OA ，∴∠OAD= 30°，又OA=OB ，∴∠OBA=30°，∴∠AOB= 120°，∴∠APB=21∠AOB=60°．故选D ． 212121212．C ∵AB 是直径，∴∠ADB= 90°，∴AD ⊥BD ，故①正确；∵OC//BD ，BD ⊥AD ，∴OC ⊥AD ，∴．∴∠ABC=∠CBD 、故②正确；∵AF= DF ，AO= OB ，∴OF 为△ABD 的中位线，∴BD=2OF ，故③正确；△CEF 和△BED 中，没有边相等，故④不一定成立．故选C ．3．答案 60°或120°解析 如图，连接OB ．当P 在优弧上时，∵OA= OB ，∠OAB= 30°，∴∠ OAB=∠ OBA=30°，∴∠AOB= 120°，∴∠P= ∠AOB= 60°，当点P 在劣弧上时（如图中点P ′所示），∠AP'B=180°-∠APB= 120°．故填60°或120°．4．答案解析 如图，过C 作直径CP ’，连接P'A 、P'B.∵∠ABC=∠APC=60°， ∠BAC=∠ CPB= 60°，∴△ABC 为等边三角形．∵CP ’为直径，∴∠CAP'=∠CBP'= 90°，P'A=P ’ B ，而∠AP'C= ∠APC=60°，∠BP'C=∠BPC= 60°，∴P'A=P'B= CP'=1，AC=BC=，∴四边形AP'BC 的面积为2××1×=．当点P 运动到点P ’的位置时，四边形APBC 的面积最大，最大面积为． 21321321333三年模拟全练一、选择题1.C ∵∠ABD=75º，∴∠AOD=2∠ABD=150°，∴∠AOC= 180°-150°=30°，故选C ．2．D 如图，连接OD ，∵三角尺ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，∴点A ，B ，C ，D 四点共圆，∴点D 对应的刻度是46°，∴∠BOD=46°，∴∠BCD=∠BOD=23°，∴ ∠ACD=90°- ∠BCD= 67°．故选D ．二、填空题3．答案 m解析 连接AO 并延长交⊙O 于D ，连接BD.∵AD 是直径，∴∠ABD=90°．∵∠D 和∠C 都是劣弧所对的圆周角，∠C=45°，∴∠D=∠C=45°，∴BD=AB.∵AB=80 m ，∴，即这个人工湖的直径为m.五年中考全练一、选择题1．B ∵∠ACB 和∠AOB 分别是所对的圆周角和圆心角，∠ACB= 35°，∴∠AOB=2∠ACB=70°．故选B ．2．C 由圆周角定理的推论得∠ABC= ∠ADC= 35°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB= 90°-∠ABC=55°．故选C ． 21280280二、填空题3．答案 125°解析 如图，在优弧上取点D ，连接AD 、CD ，∵∠AOC=110°，∴ ∠ADC=∠AOC= 55°，∴ ∠ABC=180°-∠ADC= 125°．4．答案解析 如图，连接OD ，AD ，∵BC=DC ，BO=DO ，∴∠BDC=∠DBC ，∠BDO= ∠DBO.∴ ∠CDO=∠CBO ．又∵OC=OB=OD ，∴∠BCO=∠DCO ，即CO 平分∠BCD.又∵BC =DC ，∴BD⊥CO.又∵AB 是直径，∴AD ⊥BD ，∴AD ∥CO ．又∵AE=AO=2，∴AD=CO=1，∴Rt △ABD 中，BD=核心素养全练1．D 设圆心为O ，AS 与圆的另一交点为C ，连接OA ，OB ，AB ，BC ，∵AB= OA =OB ，∴△AOB 为等边三角形，∴∠AOB= 60°，∴∠ACB=∠AOB=30°，又∠ACB 为△SCB 的外角， ∴∠ACB>∠ASB ，即∠ASB<30°．故选D ．2．A 如图，连接CA 、CD ，∵所对的圆周角是∠CBD ，所对的圆周角是∠CBA ，又∠CBD=∠CBA ，∴AC= CD ，∴△CAD 是等腰三角形．过C 作CE ⊥AB 于E ．∵AD=4，则AE=DE=2，∴BE= BD+DE=7．取AB 的中点O ．连接OC ，则OB=OC=OA=4.5，∴ OE=2.5.在Rt △OCE 中，CE=。
2018—2019学年(上)厦门市九年级质量检测数学试卷
2018—2019学年(上)厦门市九年级质量检测数学（试卷满分：150分考试时间：120分钟）准考证号姓名座位号注意事项：1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用2B 铅笔作图．一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1.计算－5＋6，结果正确的是A .1B .－1C .11D .－11 2.如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，则下列结论正确的是 A . AB ＝AC ＋BC B .AB ＝AC ·BC C .AB 2＝AC 2＋BC 2 D .AC 2＝AB 2＋BC 2 3.抛物线y ＝2（x －1）2－6的对称轴是A .x ＝－6B .x ＝－1C .x ＝12 D .x ＝14.要使分式1x －1有意义，x 的取值范围是A .x ≠0B .x ≠1C .x ＞－1D .x ＞1 5.下列事件是随机事件的是A .画一个三角形，其内角和是360°B .投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7 C.射击运动员射击一次，命中靶心D .在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球6.图2，图3分别是某厂六台机床十月份第一天和第二天生 产零件数的统计图.与第一天相比，第二天六台机床生 产零件数的平均数与方差的变化情况是 A .平均数变大，方差不变 B .平均数变小，方差不变 C .平均数不变，方差变小 D .平均数不变，方差变大7.地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s 与时间t 的函数关系如图4中的部分抛 物线所示（其中P 是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是A .小球滑行6秒停止B .小球滑行12秒停止C .小球滑行6秒回到起点D .小球滑行12秒回到起点8.在平面直角坐标系xOy 中，已知A （2，0），B （1，－1），将线段OA 绕点O 逆时针旋转， 设旋转角为α（0°＜α＜135°）.记点A 的对应点为A 1，若点A 1与点B 的距离为6，则 α为A .30°B .45°C .60°D .90°9.点C ，D 在线段AB 上，若点C 是线段AD 的中点，2BD ＞AD ，则下列结论正确的是 A .CD ＜AD －BD B .AB ＞2BD C .BD ＞AD D .BC ＞AD 10.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图象经过（0，1），（4，0）.当该二次函数的自 变量分别取x 1，x 2（0＜x 1＜x 2＜4）时，对应的函数值为y 1，y 2，且y 1＝y 2.设该函数图象 的对称轴是x ＝m ，则m 的取值范围是A .0＜m ＜1B .1＜m ≤2C .2＜m ＜4D .0＜m ＜4 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11.投掷一枚质地均匀的正六面体骰子，投掷一次，朝上一面的点数为 奇数的概率是 .12.已知x ＝2是方程x 2＋ax －2＝0的根，则a ＝ . 13.如图5，已知AB 是⊙O 的直径，AB ＝2，C ，D 是圆周上的点， 且∠CDB ＝30°，则BC 的长为 .14.我们把三边长的比为3∶4∶5的三角形称为完全三角形.记命题A ：“完全三角形是直角三角形”.若命题B 是命题A 的逆命题，请写出命题B ：；并写出一个例子（该例子能判断命题B 是错误的）： . 15.已知AB 是⊙O 的弦，P 为AB 的中点，连接OA ，OP ，将△OP A 绕点O 逆时针旋转到△OQB . 设⊙O 的半径为1，∠AOQ ＝135°，则AQ 的长为 .16.若抛物线y ＝x 2＋bx （b ＞2）上存在关于直线y ＝x 成轴对称的两个点，则b 的取值范围 是 . 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17.（本题满分8分） 解方程x 2－3x ＋1＝0.18.（本题满分8分）化简并求值：（1－2x ＋1）÷x 2－12x ＋2，其中x ＝2－1.19.（本题满分8分）已知二次函数y ＝（x －1）2＋n ，当x ＝2时y ＝2.求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象.20.（本题满分8分）如图6，已知四边形ABCD 为矩形.（1）请用直尺和圆规在边AD 上作点E ，使得EB ＝EC ； （保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB ＝4，AD ＝6，求EB 的长.21.（本题满分8分）如图7，在△ABC 中，∠C ＝60°，AB ＝4.以AB 为直径画⊙O ，交边AC 于点D ，︵AD 的长为4π3.求证：BC 是⊙O 的切线.22.（本题满分10分） 已知动点P 在边长为1的正方形ABCD 的内部，点P 到边AD ，AB 的距离分别为m ，n . （1）以A 为原点，以边AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图8所示.当点P在对角线AC 上，且m ＝14时，求点P 的坐标；（2）如图9，当m ，n 满足什么条件时，点P 在△DAB 的内部？请说明理由.23.（本题满分10分）小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运 输过程中，有部分鱼未能存活.小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一.由于市场调 节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录.（1）请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；（直接写出答案） （2）按此市场调节的规律，① 若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由； ② 考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼（只能卖活鱼），且售价保持不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由.24.（本题满分12分）已知P 是⊙O 上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点 A ，B （不与P ，Q 重合），连接AP ，BP . 若∠APQ ＝∠BPQ ， （1）如图10，当∠APQ ＝45°，AP ＝1，BP ＝22时，求⊙O 的半径；（2）如图11，连接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上（不与P ，M 重合），连接ON ，OP ，若∠NOP ＋2∠OPN ＝90°，探究直线AB 与ON 的位置关系，并证明.25.（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，2），B （p ，q ）在直线l 上，抛物线m 经过点 B ，C （p ＋4，q ），且它的顶点N 在直线l 上. （1）若B （－2，1），① 请在图12的平面直角坐标系中画出直线l 与抛物线m 的示意图；② 设抛物线m 上的点Q 的横坐标为e （－2≤e ≤0），过点Q 作x 轴的垂线，与直线l 交于点H .若QH ＝d ，当d 随 e 的增大而增大时，求e 的取值范围；（2）抛物线m 与y 轴交于点F ，当抛物线m 与x 轴有唯一 交点时，判断△NOF 的形状并说明理由.N BO AP QM B O A P Q 表一表二 图10 图112018—2019学年(上)厦门市九年级质量检测数学参考答案说明：解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应评分.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）11.12. 12. －1. 13.1. 14.直角三角形是完全三角形；如：等腰直角三角形，或三边分别为5,12,13的三角形，或三边比为5∶12∶13的三角形等. 15.102. 16.b ＞3.三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17.（本题满分8分）解：a ＝1，b ＝－3，c ＝1. △＝b 2－4ac＝5＞0. ……………………………4分 方程有两个不相等的实数根x ＝－b ±b 2－4ac 2a＝3±52. ……………………………6分 即x 1＝3+52，x 2＝3−52． ……………………………8分18.（本题满分8分）解：（1－2x ＋1）÷x 2－12x +2＝（x +1－2x ＋1）·2x+2x 2－1 ……………………………2分＝x －1x ＋1·2(x +1)(x+1)(x －1)……………………………5分＝2x ＋1……………………………6分 当x ＝2－1时，原式＝22＝ 2 …………………………8分19.（本题满分8分）解：因为当x ＝2时，y ＝2. 所以 (2−1)2 ＋n ＝2. 解得n ＝1.所以二次函数的解析式为：y ＝(x −1)2 ＋1…………………4分列表得：如图：…………………8分20.（本题满分8分）（1）（本小题满分3分）解：如图，点E 即为所求.…………………3分 （2）（本小题满分5分）解法一：解：连接EB ，EC ， 由（1）得，EB ＝EC . ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠A ＝∠D ＝90°，AB ＝DC .∴ △ABE ≌△DCE . …………………6分∴ AE ＝ED ＝12AD ＝3. …………………7分EDCBAl在Rt △ABE 中，EB ＝AB 2＋AE 2. ∴ EB ＝5. …………………8分解法二：如图，设线段BC 的中垂线l 交BC 于点F ， ∴ ∠BFE ＝90°，BF ＝12BC .∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠A ＝∠ABF ＝90°，AD ＝BC .在四边形ABFE 中，∠A ＝∠ABF ＝∠BFE ＝90°， ∴ 四边形ABFE 是矩形. …………………6分 ∴ EF ＝AB ＝4. …………………7分 在Rt △BFE 中，EB ＝EF 2＋BF 2.∴ EB ＝5. …………………8分21.（本题满分8分）证明：如图，连接OD ， ∵ AB 是直径且AB ＝4， ∴ r ＝2.设∠AOD ＝n °， ∵ ︵AD 的长为4π3，∴ nπr 180＝4π3.解得n ＝120 .即∠AOD ＝120° . ……………………………3分 在⊙O 中，DO ＝AO ， ∴ ∠A ＝∠ADO .∴ ∠A ＝12（180°－∠AOD ）＝ 30°. ……………………………5分∵ ∠C ＝60°，∴ ∠ABC ＝180°－∠A －∠C ＝90°. …………………………6分 即AB ⊥BC . ……………………………7分 又∵ AB 为直径，∴ BC 是⊙O 的切线. ……………………………8分 22.（本题满分10分）解（1）（本小题满分5分） 解法一：如图，过点P 作PF ⊥y 轴于F ，FEDCBAl∵ 点P 到边AD 的距离为m ． ∴ PF ＝m ＝14．∴ 点P 的横坐标为14． …………………1分由题得，C （1，1），可得直线AC 的解析式为：y ＝x ． …………………3分 当x ＝14时，y ＝14 ． …………………4分所以P （14，14）． …………………5分解法二：如图，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，作PF ⊥y 轴于F ， ∵ 点P 到边AD ，AB 的距离分别为m ，n ， ∴ PE ＝n ，PF ＝m . ∴ P （m ，n ）． …………………1分 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AC 平分∠DAB ． …………………2分 ∵ 点P 在对角线AC 上，∴ m ＝n ＝14． …………………4分∴ P （14，14）． …………………5分（2）（本小题满分5分）解法一：如图，以A 为原点，以边AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系. 则由（1）得P （m ，n ）．若点P 在△DAB 的内部，点P 需满足的条件是：①在x 轴上方，且在直线BD 的下方； ②在y 轴右侧，且在直线BD 的左侧.由①，设直线BD 的解析式为：y ＝kx ＋b ， 把点B （1，0），D （0，1）分别代入，可得直线BD 的解析式为：y ＝－x+1． ……………6分 当x ＝m 时，y ＝－m+1．由点P 在直线BD 的下方，可得n ＜－m+1． ……………7分 由点P 在x 轴上方，可得n ＞0 ……………8分 即0＜n ＜－m+1．EF同理，由②可得0＜m ＜－n+1． ……………9分所以m ，n 需满足的条件是：0＜n ＜－m+1且0＜m ＜－n+1． ……………10分解法二：如图，过点P 作PE ⊥AB 轴于E ，作PF ⊥AD 轴于F ， ∵ 点P 到边AD ，AB 的距离分别为m ，n ， ∴ PE ＝n ，PF ＝m .在正方形ABCD 中，∠ADB ＝12∠ADC ＝45°，∠A ＝90°.∴ ∠A ＝∠PEA ＝∠PF A ＝90°. ∴ 四边形PEAF 为矩形.∴ PE ＝F A ＝n . ……………6分 若点P 在△DAB 的内部，则延长FP 交对角线BD 于点M .在Rt △DFM 中，∠DMF ＝90°－∠FDM ＝45°. ∴ ∠DMF ＝∠FDM . ∴ DF ＝FM . ∵ PF ＜FM ，∴ PF ＜DF ……………7分 ∴ PE+ PF ＝F A+ PF ＜F A+ DF .即m+ n ＜1. ……………8分 又∵ m ＞0， n ＞0，∴ m ，n 需满足的条件是m+n ＜1且m ＞0且n ＞0. ……………10分23.（本题满分10分） 解：（1）（本小题满分2分）估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量为1760公斤．……………2分 （2）①（本小题满分3分）根据表二的销售记录可知，活鱼的售价每增加1元，其日销售量就减少40公斤，所以按此变化规律可以估计当活鱼的售价定为52.5元/公斤时，日销售量为300公斤.……………………5分②（本小题满分5分）解法一：由（2）①，若活鱼售价在50元/公斤的基础上，售价增加x 元/公斤，则可估计日销售量在400公斤的基础上减少40x 公斤，设批发店每日卖鱼的最大利润为w ，由题得w ＝(50＋x －2000×441760) (400－40x ) ……………………7分＝－40x 2＋400x＝－40(x －5)2＋1000.· PEFM由“在8天内卖完这批活鱼”，可得8 (400－40x )≤1760，解得x ≤4.5. 根据实际意义，有400－40x ≥0；解得x ≤10. 所以x ≤4.5. ……………………9分因为－40＜0，所以当x ＜5时，w 随x 的增大而增大，所以售价定为54.5元/公斤，每日卖鱼可能达到的最大利润为990元.……………………10分解法二：设这8天活鱼的售价为x 元/公斤，日销售量为y 公斤，根据活鱼的售价与日销售量之间的变化规律，不妨设y ＝kx ＋b .由表二可知，当x ＝50时，y ＝400；当x ＝51时，y ＝360，所以⎩⎨⎧50k ＋b ＝40051k ＋b ＝360，解得⎩⎨⎧k ＝－40b ＝2400，可得y ＝－40x ＋2400.设批发店每日卖鱼的最大利润为w ，由题得w ＝(x －2000×441760) (－40x ＋2400) ……………………7分＝－40x 2＋4400x －120000 ＝－40(x －55)2＋1000.由“在8天内卖完这批活鱼”，可得8 (－40x ＋2400)≤1760，解得x ≤54.5. 根据实际意义，有－40x ＋2400≥0；解得x ≤60. 所以x ≤54.5. ……………………9分因为－40＜0，所以当x ＜55时，w 随x 的增大而增大，所以售价定为54.5元/公斤，每日卖鱼可能达到的最大利润为990元.……………………10分24.（本题满分12分）（1）（本小题满分6分） 解：连接AB . 在⊙O 中， ∵ ∠APQ ＝∠BPQ ＝45°，∴ ∠APB ＝∠APQ ＋∠BPQ ＝90°.…………1分 ∴ AB 是⊙O 的直径. ………………3分 ∴ 在Rt △APB 中，AB ＝AP 2＋BP 2 ∴ AB ＝3. ………………5分 ∴ ⊙O 的半径是32. ………………6分（2）（本小题满分6分） 解：AB ∥ON .证明：连接OA ，OB ，OQ ， 在⊙O 中，∵ ︵AQ ＝︵AQ ，︵BQ ＝︵BQ ，∴ ∠AOQ ＝2∠APQ ，∠BOQ ＝2∠BPQ . 又∵ ∠APQ ＝∠BPQ ，∴ ∠AOQ ＝∠BOQ . ……………7分 在△AOB 中，OA ＝OB ，∠AOQ ＝∠BOQ ，∴ OC ⊥AB ，即∠OCA ＝90°. ………………………8分 连接OQ ，交AB 于点C ， 在⊙O 中，OP ＝OQ .∴ ∠OPN ＝∠OQP .延长PO 交⊙O 于点R ，则有2∠OPN ＝∠QOR . ∵ ∠NOP ＋2∠OPN ＝90°，又∵ ∠NOP ＋∠NOQ ＋∠QOR ＝180°，∴ ∠NOQ ＝90°. ………………………11分 ∴ ∠NOQ ＋∠OCA ＝180°.∴ AB ∥ON . ………………………12分25.（本题满分14分）（1）①（本小题满分3分）解：如图即为所求…………………………3分②（本小题满分4分）Q解：由①可求得，直线l ：y ＝12x ＋2，抛物线m ：y ＝－14x 2＋2.……………5分因为点Q 在抛物线m 上，过点Q 且与x 轴垂直的直线与l 交于点H ，所以可设点Q 的坐标为（e ，－14e 2＋2），点H 的坐标为（e ，1e ＋2），其中（－2≤e ≤0）.当－2≤e ≤0时，点Q 总在点H 的正上方，可得 d ＝－14e 2＋2－(12e ＋2) ……………6分＝－14e 2－12e＝－14(e ＋1)2＋14.因为－14＜0，所以当d 随e 的增大而增大时，e 的取值范围是－2≤e ≤－1.……………7分 （2）（本小题满分7分）解法一：因为B （p ，q ），C （p ＋4，q ）在抛物线m 上， 所以抛物线m 的对称轴为x ＝p ＋2． 又因为抛物线m 与x 轴只有一个交点， 可设顶点N （p ＋2，0）．设抛物线的解析式为y ＝a (x －p －2)2． 当x ＝0时，y F ＝a (p+2)2． 可得F （0，a (p+2)2）． …………………9分 把B （p ，q ）代入y ＝a (x －p －2)2，可得q ＝a (p －p －2)2． 化简可得q ＝4a ①． 设直线l 的解析式为y ＝kx ＋2， 分别把B （p ，q ），N （p ＋2，0）代入y ＝kx ＋2，可得 q ＝kp ＋2 ②，及0＝k （p ＋2）＋2 ③ ．由①，②，③可得a ＝12+p．所以F （0，p ＋2）． 又因为N （p ＋2，0）， …………………13分 所以ON=OF ，且∠NOF ＝90°．所以△NOF 为等腰直角三角形．…………………14分解法二：因为直线过点A （0，2）， 不妨设直线l ：y ＝kx ＋2， 因为B （p ，q ），C （p ＋4，q ）在抛物线m 上，所以抛物线m 的对称轴为x =p ＋2．又因为抛物线的顶点N 在直线l ：y ＝kx ＋2上， 可得N （p ＋2，k （p ＋2）＋2）．所以抛物线m ：y ＝a (x －p －2)2＋k （p ＋2）＋2. 当x ＝0时，y ＝a （p ＋2）2＋k （p ＋2）＋2．即点F 的坐标是（0，a （p ＋2）2＋k （p ＋2）＋2）． …………………9分 因为直线l ，抛物线m 经过点B （p ，q ），可得⎩⎨⎧kp ＋2＝q 4a ＋k （p ＋2）＋2＝q， 可得k ＝－2a .因为抛物线m 与x 轴有唯一交点，可知关于x 的方程kx ＋2＝a (x －p －2)2＋k （p ＋2）＋2中，△＝0． 结合k ＝－2a ，可得k (p ＋2)＝－2. 可得N （p ＋2，0），F （0， p ＋2）． …………………13分 所以ON=OF ，且∠NOF ＝90°．所以△NOF 是等腰直角三角形. …………………14分。
2019-2020年中考数学模拟试卷(四)(I)
2019-2020年中考数学模拟试卷（四）(I)一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母在答题卡中相应的方框内涂黑．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正五边形B．正方形C．平行四边形D．正三角形2．下列各式中，计算结果为a6的是（）A．a3+a3B．a7﹣a C．a2•a3 D．a12÷a63．用配方法解方程：x2﹣4x+1=0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2=3 B．（x+2）2﹣3=0 C．（x﹣2）2=0 D．x（x﹣4）=﹣14．已知一组数据x1，x2，x3的平均数和方差分别为5和2，则数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数和方差分别是（）A．5和2 B．6和2 C．5和3 D．6和35．若二次函数y=ax2﹣2x+a2﹣4（a为常数）的图象经过原点，则该图象的对称轴是直线（）A．x=1或x=﹣1 B．x=1 C．x=或x=﹣D．x=6．如图，从位于六和塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°．若此观测点离地面的高度CD为30米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，则A，B之间的距离为（）米．A．30+10 B．40 C．45 D．30+157．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，梯形各边长为：AB=6，BC=9，CD=4，DA=3，分别以AB、CD为直径作圆，则这两圆的位置关系是（）A．内切 B．相交 C．外离 D．外切8．把5个大小、质地相同的球，分别标号为1，1，2，3，4，放入袋中，随机取出一个小球后不放回，再随机地取出一个小球，则第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的概率是（）A． B． C． D．9．如图，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上的动点（不与点A、O重合），连结PB，作PE⊥PB交CD于点E．以下结论：①△PBC≌△PDC；②∠PDE=∠PED；③PC﹣PA=CE．其中正确的有（）个．A．0 B．1 C．2 D．310．将直线l1：y=x和直线l2：y=2x+1及x轴围成的三角形面积记为S1，直线l2：y=2x+1和直线l3：y=3x+2及x轴围成的三角形面积记为S2，…，以此类推，直线l n：y=nx+n﹣1和直线l n+1：y=（n+1）x+n及x轴围成的三角形面积记为S n，记W=S1+S2+…+S n，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（）A． B． C． D．二．认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．11．计算×+=．12．已知一个圆柱的侧面展开图是如图所示的矩形，长为6π，宽为4π，那么这个圆柱底面圆的半径为．13．不等式组的整数解是．14．如图，在边长为4的正三角形ABC中，BD=1，∠BAD=∠CDE，则AE的长为．15．已知一个直角三角形的一边长等于另一边长的2倍，那么这个直角三角形中较小锐角的正切值为．16．如图，点P是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，PA⊥x轴于A，PD⊥y轴于点D，分别交反比例函数y=（x＞0，0＜k＜6）的图象于点B，C．下列结论：①当k=3时，BC是△PAD的中位线；②0＜k＜6中的任何一个k值，都使得△PDA∽△PCB；③当四边形ABCD的面积等于2时，k＜3；④当点P的坐标为（3，2）时，存在这样的k，使得将△PCB沿CB对折后，P点恰好落在OA上．其中正确结论的编号是．三．全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（1）求多项式ax2﹣a与多项式x2﹣2x+1的公因式；（2）已知关于x的分式方程=3的解是正数，求m的取值范围．18．xx年5月某日，浙江省11个城市的空气质量指数（AQI）如图所示：（1）这11个城市当天的空气质量指数的众数是；中位数是；（2）当0≤AQI≤50时，空气质量为优．若在这11个城市中随机抽取一个，求抽到的城市这一天空气质量为优的概率；（3）求杭州、宁波、嘉兴、温州、湖州五个城市当天的空气质量指数的平均数．19．如图，已知圆上两点A、B．（1）用直尺和圆规作以AB为底边的圆内接等腰三角形（不写画法，保留痕迹）；（2）若已知圆的半径R=5，AB=8，求所作等腰三角形底边上的高．20．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，过A点作BC的平行线，截取AE=BD，连结EB，连结EC交AD于点F．（1）证明：当点F是AD的中点时，点D是BC的中点；（2）证明：当点D是AB的中垂线与BC的交点时，四边形AEBD是菱形．21．如图，已知Rt△ABC的两条直角边，AC=6，BC=8，点D是BC边上的点，过D作DE⊥AB 于E，点F是AC边上的动点，连结DF，EF，以DF、EF为邻边构造▱DFEG：（1）证明：△DBE∽△ABC；（2）设CD长为a（0＜a＜8），用含a的代数式表示DE；（3）若CD=4时，□DFEG的顶点G恰好落在BC所在直线上，求出此时AF的长．22．（1）已知二次函数y=x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点：①b、c的关系式为；②设直线y=9与该抛物线的交点为A、B，则|AB|=；③若该抛物线上有两个点C（m，n）、D（m+4，n），求|CD|及n的值．（2）若二次函数y=x2﹣2bx+c的图象与x轴有两个交点E（5，0）、F（k，0），且线段EF（含端点）上有若干个横坐标为整数的点，这些整数之和为18：①b、c的关系式为；②k的取值范围是；当k为整数时，b=．23．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的斜边OA在x轴上，点B在第一象限内，AO=4，∠BOA=30°．点C（t，0）是x轴正半轴上一动点（t＞0且t≠4）：（1）点B的坐标为；过点O、B、A的抛物线解析式为；（2）作△OBC的外接圆⊙P，当圆心P在（1）中抛物线上时，求点C和圆心P的坐标；（3）设△OBC的外接圆⊙P与y轴的另一交点为D，请将OD用含t的代数式表示出来，并求CD的最小值．xx年浙江省杭州市桐庐县三校共同体中考数学模拟试卷（四）参考答案与试题解析一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母在答题卡中相应的方框内涂黑．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正五边形B．正方形C．平行四边形D．正三角形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．下列各式中，计算结果为a6的是（）A．a3+a3B．a7﹣a C．a2•a3 D．a12÷a6【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．【专题】计算题．【分析】A、原式合并得到结果，即可做出判断；B、原式不能合并，错误；C、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式=2a3，错误；B、原式不能合并，错误；C、原式=a5，错误；D、原式=a6，正确．故选D．【点评】此题考查了同底数幂的乘除法，以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．用配方法解方程：x2﹣4x+1=0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2=3 B．（x+2）2﹣3=0 C．（x﹣2）2=0 D．x（x﹣4）=﹣1【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【解答】解：x2﹣4x+1=0，移项，得x2﹣4x=﹣1，配方，得x2﹣4x+4=﹣1+4，（x﹣2）2=3．故选：A．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方（当二次项系数为1时）．4．已知一组数据x1，x2，x3的平均数和方差分别为5和2，则数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数和方差分别是（）A．5和2 B．6和2 C．5和3 D．6和3【考点】方差；算术平均数．【专题】计算题．【分析】由于数据x1+1，x2+1，x3+1的每个数比原数据大1，则新数据的平均数比原数据的平均数大1；由于新数据的波动性没有变，所以新数据的方差与原数据的方差相同．【解答】解：∵数据x1，x2，x3的平均数为5，∴数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数为6，∵数据x1，x2，x3的方差为2，∴数据x1+1，x2+1，x3+1的方差为2．故选B．【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数．5．若二次函数y=ax2﹣2x+a2﹣4（a为常数）的图象经过原点，则该图象的对称轴是直线（）A．x=1或x=﹣1 B．x=1 C．x=或x=﹣D．x=【考点】二次函数的性质．【分析】根据图象可以知道图象经过点（0，0），因而把这个点代入记得到一个关于a的方程，就可以求出a的值，从而根据对称轴方程求得对称轴即可．【解答】解：把原点（0，0）代入抛物线解析式，得a2﹣4=0，解得a=±2，∴二次函数y=2x2﹣2x或二次函数y=﹣2x2﹣2x，∴对称轴为：x=﹣=±，故选C．【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．6．如图，从位于六和塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°．若此观测点离地面的高度CD为30米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，则A，B之间的距离为（）米．A．30+10 B．40 C．45 D．30+15【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】在Rt△ACD和Rt△CDB中分别求出AD，BD的长度，然后根据AB=AD+BD即可求出AB的值．【解答】解：由题意得，∠ECA=45°，∠FCB=60°，∵EF∥AB，∴∠CAD=∠ECA=45°，∠CBD=∠FCB=60°，∵∠ACD=∠CAD=45°，在Rt△CDB中，tan∠CBD=，∴BD==10米，∵AD=CD=30米，∴AB=AD+BD=30+10米，故选A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识解直角的三角形．7．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，梯形各边长为：AB=6，BC=9，CD=4，DA=3，分别以AB、CD为直径作圆，则这两圆的位置关系是（）A．内切 B．相交 C．外离 D．外切【考点】圆与圆的位置关系．【分析】求得梯形的中位线为两圆的圆心距，AB和CD的一半为两圆的半径，利用半径之和和两圆的圆心距的大小关系求解．【解答】解：∵AD=3，BC=9，∴两圆的圆心距为=6，∵AB=6，CD=4，∴两圆的半径分别为3和2，∵2+3＜6，∴两圆外离，故选C．【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是分别求得两圆的圆心距和两圆的半径，难度不大．8．把5个大小、质地相同的球，分别标号为1，1，2，3，4，放入袋中，随机取出一个小球后不放回，再随机地取出一个小球，则第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的概率是（）A． B． C． D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的有9种情况，∴第二次取出小球标号大于第一次取出小球标号的概率为：．故选D．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验；注意概率=所求情况数与总情况数之比．9．如图，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上的动点（不与点A、O重合），连结PB，作PE⊥PB交CD于点E．以下结论：①△PBC≌△PDC；②∠PDE=∠PED；③PC﹣PA=CE．其中正确的有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】由正方形的性质得出BC=DC，∠BCP=∠DCP，由SAS即可证明△PBC≌△PDC，得出①正确；由三角形全等得出∠PBC=∠PDE，PB=PD，再证出∠PBC=∠PED，得出∠PDE=∠PED，②正确；证出PD=PE，得出DF=EF，作PH⊥AD于H，PF⊥CD于F，由等腰直角三角形得出PA=EF，PC=CF，即可得出③正确．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCP=∠DCP，在△PBC和△PDC中，，∴△PBC≌△PDC（SAS）∴①正确；∴∠PBC=∠PDE，PB=PD，∵PB⊥PE，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠PEC=360°﹣∠BPE﹣∠BCE=180°∵∠PEC+∠PED=180°，∴∠PBC=∠PED，∴∠PDE=∠PED，∴②正确；∴PD=PE，∵PF⊥CD，∴DF=EF；作PH⊥AD于点H，PF⊥CD于F，如图所示：则PA=PH=DF=EF，PC=CF，∴PC﹣PA=（CF﹣EF），即PC﹣PA=CE，∴③正确；正确的个数有3个；故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数；本题有一定难度，特别是③中，需要作辅助线运用三角函数才能得出结果．10．将直线l1：y=x和直线l2：y=2x+1及x轴围成的三角形面积记为S1，直线l2：y=2x+1和直线l3：y=3x+2及x轴围成的三角形面积记为S2，…，以此类推，直线l n：y=nx+n﹣1和直线l n+1：y=（n+1）x+n及x轴围成的三角形面积记为S n，记W=S1+S2+…+S n，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（）A． B． C． D．【考点】两条直线相交或平行问题．【专题】规律型．【分析】根据题意列出方程组，解出x，y的值，可知无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点，再求出y=nx+n﹣1与x轴的交点和y=（n+1）x+n与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出S n，根据公式可求出S1、s2、s3、…，然后可求得w的表达式，从而可猜想出W最接近的常数的值．【解答】解：将y=nx+n﹣1和y=（n+1）x+n联立得：解得：∴无论k取何值，直线l n和直线l n+1均交于定点（﹣1，﹣1）k≠1时l1与l2的图象的示意图，png_iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAIgAAACOCAYAAADq40BPAAAAAXNSR0IArs4c6QAAAARnQU1BAACxjwv 8YQUAAAAJcEhZcwAADsMAAA7DAcdvqGQAABBCSURBVHhe7Z1PiFxFHsdnBOPFfxglZhEF9SB6UONhsxAVREIw6 Rkjih5EPIiKMf7Zne54cGMWxU1Q0IPrdGcOccGDYMCLYDLtwYOHkLB4UbKZGSGsB0UvBg8KyUxtfavq169edf1ev+7M 9NSrVx9s0+91T09Pv0//6le/qldvQkTEysqKubd2qN8h/2tOTYiJiWmxKJbNIxl4F2v/TsZDXILgttqSLPe/Hn7HytJxMTHVHIuU 60lEgvR/k7OvsX5sNQWaPzwjmp3jvd8RqyZRCOI/OB5hVoVlJRmamPklsyv3u9bq964P9clBCh46evSo+PLLL81WMXiZFZl5 7ELzondZZHIU/LpKEZUgPPpbn8Ns/vHHH+Kqq64S1113nbhw4YLe6bBjxw7x8ccfmy0hFudnxXSzY7bipvKC2Ad+ZSU7wK 0GehkTOk+Q4Fs/JbezZkFz8OBBcdttt4mbbrpJtNttszfjt9/Oicsuu0z8+uuvZo8Qs62GmJ1fMFs2cTUvIJ4I4onpx2QiOdXKvulILC EISfXTTz+Ja6+9Vuzdu1c8++yz4vrrr8+JAD755BPx4IMPmi0t2s7JXaZ7q4VYFgtietIRsqi5qxDRNjE4PmgKJqb2mR1CdDqz+r 7hySefFK+99pp444031O25554Te/bsMY9q8Jz33nvPbOnXhHTdjpYNdDttcQbNGBOlbAaJE5pYcSWp5t8e38+rWgVA3aLdXd T35UE4eeo/MmL8STYhv/UE+eWXX1REOX36tHoecpKrr75anD37P7UNEIXsSJH9Up3ntPdNsYLg9csSiibRCNL7QM0d/KO KWRMN1Rw0m1oU4s9/2Srm5ubUfRIEvPPOOyopBV999ZW444471H0O+0AigjSb+ShFQLZbb71VfPPNN2aPQyhGOETbx CgWtSDtzr7ctxoHfsuWLWYrLwgOJJJWHMhXX31VvP7662p/Bp+IoqlZsBJlm48++kjcf//9ZstGyqvK9lrk0Ki+IJ5vXtaOL6ico NccWKB7S+zfv78nCKDH8I0/ceKEuq/JH0D7V1NlFVGk3Z43ezV4PSTA9mvZuQaV7ftZf2GiFITAwZrvWt1R5rmuIODbb79 VB7UM6PYiL6Fbu3vGPKJ5//33xcMPP2y2NLYg84f/JloeiUOg8oKs9H3LdJVTJagUtgskAnYTQ6A+8vzzz6v79OO9lxnwegrz HHSbN27cqITj2Jcr2xvK/I4xEFEOokXRian8JntDNpGXyifI1q1bxeeff262ymEfU4oQeN2nn35a3feBKKeE1huS9W9WbOJOUk viCoIC2uWXX57LU0aBCnFLS3xh5L/zH+aKeaGRBJG4OQi6v9PT02ZrdF555RXVEyoC+QvVZ0IkCSJxI8iuXbtUt/RiOHv2r BoERBSxsZPTC7J5afTK9prWdFhd3iSIxBYElVXfgR0W5B22dD5oVJjGiIhmo8HWU8ZNEkRiC/LZZ5+Je++9V923v+3DgB4 Lcg/0YIqSTrtsb/8mCJIiSEDYgjzzzDOqi3sxoOaB2gdHTzzGv5mpJEhQkCAos6M4RoN1o3Dy5EmxadOmEXtAWopmY0oJM moEW02SIBLqxaAUjnGYUcEBxXgLDQL64A66vbc1pQUJgSSIBHIcOHBAzQ2ZmZkxe4cHg4AYv1leHv3g9sr2hYW+8ZEE kVATg+jx9ddfm73Dc+edd6oZaDGRBJFAjpdeekn1PLiJy4NA7+euu+4yW/GQBJFAkO3bt/fGTNg8wdlP2zQZ6NixY2qb+/ki1 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pkSgnhSFIBi5pQOMyIGZ7Pbj+oP6h7mvPxT6cPAvBMGNnk83kqNKNy2BuS//Nnt7v/kMim62IN1uN44mhtYdQ9KFAbnFR X4qgK9poA8ng/ITPlyHhO8tDnzbzhPsJsauOldeEHvdMTQvo1xkMC+IP7Ej3AQvBEZ+L+YHIcSVV16pBIkuScW8D+QbmA SEPxKX+RiW/giSsXD8w1wdBqPIweanQ2J3c93pEUTlBcEi+5hB9uKLL3onA4Glbjs/uGcdYNwlQXBfNSuG2VZDSpFVbVfE GVXJtacehEL+7Sz3BjX1mJUespicnOwb5HSXBHWptCCIGuixLCwsqNyDwqP6sMwnRuV5bvQXz/NFECVHY8b65LUkusLr L/WHAtVEVpa+UJVnNZ5lRAG9P6kElRPETjIxa/2xxx5TeQd6Kr1H1B19ANutphruX+o96h7Y5T5BqMzvSoVXyAQZ7oNeL zCW9ddO/8qOZal0BMGZcW+//bZKUtGeuuCb054/LnZN7JSNg0smiitI0Yw1HboblnDrTMHbWJaPzXdauegxLJUVBINyaF4e emiHdzIQpgVgmoCaHiDDLFf5RDimGgmgJombNW/LE2QEoTcl/8Xf0mw0WNnLUBlB3AN89OhRcffdd6sLI/smAzWbetQX ggz6gOwIsmzmm/hyFq7pCZV2a59URAp/ic6ZUPjqAYFKdMcqG0GQd+Aackf+3b+0JWXwdOvvdeTzEEQQVB11PPFHkBX xfdaDwXYgfV3fu6C/n/6G1rSeNjGK2JUUBINzqHnQRQZ74FuBpsVqc1HHoO3eh+l8qm4Oonow1rwTmsUWdNOi5O5H7buI N1xJQbBiECYHuZOBKN+w6c41RcuTpOnPTEcSVxCAXENNUJJi4HY8d5IWDobbG4qTSgqCbisGk2x0UUsfVAql+iBbzQy 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8SRJIE4UmCSDhB7DGiupIEkUAOvZh/wiUJIklNDE8SRJIE4UmCSJIgHEL8H6zbXb40OWClAAAAAElFTkSuQmCC6I+B5 LyY572R∴S n=S△ABC===，当n=1时，结论同样成立．∴w=s1+s2+s3+…+s n=+…+）=（1﹣+﹣+…+）=（1﹣）=当n越来越大时，越来越接近与1．∴越来越接近于∴w越来越接近于．【点评】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0．二．认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．11．计算×+=4．【考点】实数的运算．【分析】利用二次根式的性质以及三次根式的性质化简求出即可．【解答】解：×+=﹣2=6﹣2=4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了二次根式的性质和三次根式的性质等知识，正确化简各数是解题关键．12．已知一个圆柱的侧面展开图是如图所示的矩形，长为6π，宽为4π，那么这个圆柱底面圆的半径为2或3．【考点】几何体的展开图．【分析】分底面周长为4π和6π两种情况讨论，求得底面半径．【解答】解：①底面周长为4π时，圆柱底面圆的半径为4π÷π÷2=2；②底面周长为6π时，圆柱底面圆的半径为6π÷π÷2=1．故答案为：2或3．【点评】考查了圆柱的侧面展开图，注意分长为底面周长和宽为底面周长两种情况讨论求解．13．不等式组的整数解是﹣1、0、1．【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可．【解答】解：，解①得：x＞﹣，解②得：x＜．则不等式组的解集是：﹣，则不等式组的整数解是：﹣1、0、1．故答案是：﹣1、0、1．【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．14．如图，在边长为4的正三角形ABC中，BD=1，∠BAD=∠CDE，则AE的长为．【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】计算题．【分析】先根据等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=4，则CD=BC﹣BD=3，再根据有两组角对应相等的两三角形相似可判断△ABD∽△DCE，利用相似比计算出CE=，然后利用AE=AC﹣CE进行计算即可．【解答】解：∵△ABC为边长为4的等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=4，∴CD=BC﹣BD=4﹣1=3，∵∠BAD=∠CDE，∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE，∴=，即=，∴CE=，∴AE=AC﹣CE=4﹣=．故答案为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时，通过相似比计算相应边的长．15．已知一个直角三角形的一边长等于另一边长的2倍，那么这个直角三角形中较小锐角的正切值为．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】根据题意，分两种情况：（1）当直角三角形的斜边等于一条直角边的长度的2倍时；（2）当直角三角形的一条直角边的长度等于另一条直角边的长度的2倍时；然后根据一个角的正切值的求法，求出这个直角三角形中较小锐角的正切值为多少即可．【解答】解：（1）当直角三角形的斜边等于一条直角边的长度的2倍时，设直角三角形的斜边等于2，则一条直角边的长度等于1，∴另一条直角边的长度是：，∴这个直角三角形中较小锐角的正切值为：1÷．（2）当直角三角形的一条直角边的长度等于另一条直角边的长度的2倍时，设一条直角边的长度等于1，则一条直角边的长度等于2，∴这个直角三角形中较小锐角的正切值为：1÷2=．故答案为：．【点评】（1）此题主要考查了锐角三角函数的定义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（2）此题还考查了勾股定理的应用，以及分类讨论思想的应用，要熟练掌握．16．如图，点P是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，PA⊥x轴于A，PD⊥y轴于点D，分别交反比例函数y=（x＞0，0＜k＜6）的图象于点B，C．下列结论：①当k=3时，BC是△PAD的中位线；②0＜k＜6中的任何一个k值，都使得△PDA∽△PCB；③当四边形ABCD的面积等于2时，k＜3；④当点P的坐标为（3，2）时，存在这样的k，使得将△PCB沿CB对折后，P点恰好落在OA上．其中正确结论的编号是①②③④．【考点】反比例函数综合题．【分析】①设点P的坐标为（m，），然后再求得点C和点B的坐标，从而得出DC=CP，PB=BA；②按照①的方法先求得点C和点B的坐标，从而得出；③先求得△PDA的面积，然后再求得△PCB的面积，根据相似三角形的面积等于相似比的平方，求得△PDA与△PCB的相似比，从而可求得k值；④先求得AD的解析式，然后可求得EP的解析式，从而可求得点E的坐标，然后再求得AB、BE的长度，最后在直角三角形ABE中由勾股定理可求得k的值．【解答】解：①设点p的坐标为（m，），则PD=m，PA=，将x=m代入y=得：y=，∴AB=PA，将y=代入y=得：x=，∴DC=PD，∴当k=3时，BC是△PAD的中位线，故①正确；②设点p的坐标为（m，），PD=m，PA=，将x=m代入y=得：y=，∴PB=﹣=，将y=代入y=得：x=，∴PC=m﹣=，∴=，=，∴，∴△PDA∽△PCB，故②正确；③∵点P的坐标为（3，2），∴△PDA的面积=3，∵四边形ABCD的面积等于2，∴△PBC的面积=1，∴S△PBC：S△PDA=1：3，∴△PBC与△PDA的相似比为：3，∴，解得：k=6﹣2，∵6﹣3＜3，∴k＜3，故③正确；④如下图所示：∵点P的坐标为（3，2），∴D（0，2）、A（3，0），∴直线AD的解析式为y=+2，∵直线PE⊥AD，∴设直线PE的解析式为y=x+b，将P（3，2）代入得：b=﹣，∴直线PE的解析式为y=x﹣，令y=0得：x=，∴AE=．将x=3代入y=得：y=，∴AB=，PB=2﹣，由轴对称的性质可知：BE=PB=2﹣，在直角△ABE中，由勾股定理得：AE2+AB2=BE2即：，解得：k=，故④正确．故答案为：①②③④．【点评】本题主要考查的是反比例函数，一次函数、勾股定理以及轴对称图形的性质的综合应用，难度较大，熟练掌握相关知识是解题的关键．三．全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（1）求多项式ax2﹣a与多项式x2﹣2x+1的公因式；（2）已知关于x的分式方程=3的解是正数，求m的取值范围．【考点】分式方程的解；公因式．【专题】计算题．【分析】（1）两多项式分解因式后，找出公因式即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出解，根据解为正数求出m 的范围即可．【解答】解：（1）先分解因式：ax2﹣a=a（x+1）（x﹣1），x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴公因式是x﹣1；（2）去分母得：2x+m=3x﹣3，解得：x=m+3，根据题意得：m+3＞0，∴m＞﹣3，∵x=m+3=1是增根，∴m=﹣2时无解，∴m＞﹣3且m≠﹣2．【点评】此题考查了分式方程的解，以及公因式，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．18．xx年5月某日，浙江省11个城市的空气质量指数（AQI）如图所示：（1）这11个城市当天的空气质量指数的众数是60；中位数是55；（2）当0≤AQI≤50时，空气质量为优．若在这11个城市中随机抽取一个，求抽到的城市这一天空气质量为优的概率；（3）求杭州、宁波、嘉兴、温州、湖州五个城市当天的空气质量指数的平均数．【考点】众数；条形统计图；算术平均数；中位数；概率公式．【分析】（1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案；（2）从条形统计图中找出这11个城市当天的空气质量为优的城市个数，再除以城市总数即可；（3）根据平均数的计算方法进行计算即可．【解答】解：（1）将11个数据按从小到大的顺序排列为：37，42，43，49，52，55，60，60，63，75，80，60出现了两次，次数最多，所以众数是60，第6个数是55，所以中位数是55．故答案为60，55；（2）∵当0≤AQI≤50时，空气质量为优，由图可知，这11个城市中当天的空气质量为优的有4个，∴若在这11个城市中随机抽取一个，抽到的城市这一天空气质量为优的概率为；（3）杭州、宁波、嘉兴、温州、湖州五个城市当天的空气质量指数的平均数为：（75+63+60+80+52）÷5=66．【点评】此题主要考查了条形统计图，众数、中位数、平均数的定义以及概率公式，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．概率=所求情况数与总情况数之比．19．如图，已知圆上两点A、B．（1）用直尺和圆规作以AB为底边的圆内接等腰三角形（不写画法，保留痕迹）；（2）若已知圆的半径R=5，AB=8，求所作等腰三角形底边上的高．【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质；垂径定理．【分析】（1）作AB的垂直平分线与圆相交于一点，分别与A、B连接即可得到以AB为底边的圆内接等腰三角形；（2）连结OA，先根据垂径定理得到AD的长，再根据勾股定理，以及线段的和差关系即可求解．【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求．（2）连结OA，∵圆的半径R=5，AB=8，∴OA=OC=5，AD=4，在△AOD中，OD==3，∴CD=OC+OD=5+3=8．故所作等腰三角形底边上的高是8．【点评】本题考查了复杂作图，主要利用了线段垂直平分线的作法，等腰三角形的性质，以及垂径定理．20．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，过A点作BC的平行线，截取AE=BD，连结EB，连结EC交AD于点F．（1）证明：当点F是AD的中点时，点D是BC的中点；（2）证明：当点D是AB的中垂线与BC的交点时，四边形AEBD是菱形．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）证得△EAF≌△CDF后即可得到DC=AE，然后根据AE=BD得到BD=DC；（2）首先利用一组对边相等且平行的四边形为平行四边形证得平行四边形，然后根据中垂线的性质得到BD=AD，从而利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．【解答】证明：（1）∵AE∥BC，∴∠EAF=∠CDF，又∵F是AD的中点，∴AF=DF，∴∴△EAF≌△CDF，∴DC=AE，∵AE=BD，∴BD=DC；（2）∵AE=BD且AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形，又∵点D是AB的中垂线与BC的交点，则有BD=AD，∴平行四边形AEBD一组邻边相等，∴四边形AEBD是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定及全等三角形的判定与性质，解题的关键是了解菱形的几种判定方法，难度不大．21．如图，已知Rt△ABC的两条直角边，AC=6，BC=8，点D是BC边上的点，过D作DE⊥AB 于E，点F是AC边上的动点，连结DF，EF，以DF、EF为邻边构造▱DFEG：（1）证明：△DBE∽△ABC；（2）设CD长为a（0＜a＜8），用含a的代数式表示DE；（3）若CD=4时，□DFEG的顶点G恰好落在BC所在直线上，求出此时AF的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）由DE⊥AB，得到∠BED=90°，于是得到∠BED=∠C=90°，由于∠B=∠B，即可证得△DBE∽△ABC；（2）解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理求得AB==10，由△DBE∽△ABC，得到，解方程，即可得到结果；（3）如图，顶点G落在BC所在直线上，由四边形DFEG是平行四边形，得到GD∥EF，证得△ABC∽△AFE，得到，代入数值即可得到结果．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠BED=∠C=90°，∵∠B=∠B，∴△DBE∽△ABC；（2）解：在直角三角形ABC中，∵AC=6，BC=8，∴AB==10，由（1）知，△DBE∽△ABC，∴，即，∴DE=（3）如图，顶点G落在BC所在直线上，∵四边形DFEG是平行四边形，∴GD∥EF，∴△ABC∽△AFE，∴，∵CD=a=4，∴DE==，∵BC=8，∴BD=4，∴BE==，∴AE=10﹣=，∴AF==．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握定理是解题的关键．22．（1）已知二次函数y=x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点：①b、c的关系式为b2=c；②设直线y=9与该抛物线的交点为A、B，则|AB|=6；③若该抛物线上有两个点C（m，n）、D（m+4，n），求|CD|及n的值．（2）若二次函数y=x2﹣2bx+c的图象与x轴有两个交点E（5，0）、F（k，0），且线段EF（含端点）上有若干个横坐标为整数的点，这些整数之和为18：①b、c的关系式为c=10b﹣25；②k的取值范围是7≤k＜8；当k为整数时，b=6．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）①根据二次函数的图象与x轴只有一个交点，则（2b）2﹣4c=0，由此可得到b、c 应满足关系；②把y=9代入y=x2﹣2bx+bc，得到方程x2﹣2bx+bc﹣9=0，根据根与系数的关系和①的结论即可求得；③把A（m，n）、B（m+4，n）分别代入抛物线的解析式，再根据①的结论即可求出n的值；（2）①因为y=x2﹣2bx+c图象与x轴交于E（5，0），即可得到25﹣10b+c=0，所以c=10b ﹣25；②根据①的距离进而得到k=2b﹣5，再根据E、F之间的整数和为18，即可求出k的取值范围和b的值．【解答】解：（1）①∵二次函数y=x2﹣2bx+c的图象与x轴只有一个交点，∴（2b）2﹣4c=0，∴b2=c；故答案为b2=c；②把y=9代入y=x2﹣2bx+c得，9=x2﹣2bx+c，∴x2﹣2bx+c﹣9=0，∵x1+x2=2b，x1x2=c﹣9，。
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九年级模拟 4一．选择题（共 10 小题）1．计算 4+（﹣ 2） 2×5＝（ ）A ．﹣ 16B ．16C ． 20D ． 24 2．一元二次方程 x 2﹣ 8x+20 ＝ 0 的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．有两个不相等的实数根 3．如图，∠ A 、∠ 1、∠ 2 的大小关系是（ ）A ．∠ A ＞∠ 1＞∠ 2B ．∠ 2＞∠ 1＞∠ AC ．∠ A ＞∠ 2＞∠ 1D ．∠ 2＞∠ A ＞∠ 1 4．如图， AB 是半圆 O 的直径， C 是 OB 的中点， 过点 C 作 CD ⊥AB ，交半圆于点 D ，则 与的长度的比为（）A ．1： 2B ．1： 3C ． 1： 4D ． 1： 5 5．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中， 小闽同学统计了某一结果朝上的频率，绘出的统计图如图所示，则符合图中情况的可能是（ ）A ．朝上的点数是 6 的概率B ．朝上的点数是偶数的概率C ．朝上的点数是小于 4 的概率D ．朝上的点数是 3 的倍数的概率 6．一件工艺品进价为 100 元，标价 130 元售出，每天平均可售出 100 件．根据销售统计， 一件工艺品每降价 1 元出售，则每天可多售出 5 件，某店为减少库存量，同时使每天平 均获得的利润为 3000 元，每件需降价的钱数为（ ） A ．12 元 B ．10 元 C ． 8 元 D ． 5 元7．已知点 A （ 1，y 1），B （2，y 2）在抛物线 y ＝﹣（ x+1）2+2 上，则下列结论正确的是 （ ）A ．2＞ y 1＞ y 2B ．2＞ y 2＞ y 1C ． y 1＞ y 2＞2D ． y 2＞ y 1＞2 8．如图， AB 是⊙ O 的直径，＝ ＝，∠ COD ＝ 38°，则∠ AEO 的度数是（）A ．52°B ．57°C ． 66°D ． 78° 9．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把 π的值计算到任 意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术” ，将 π的值精确到小数点后第七位，这一结果领 先世界一千多年， “割圆术”的第一步是计算半径为 1的圆内接正六边形的面积 S 6，则S 6 的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．10．在平面直角坐标系中，对图形 F 给出如下定义：若图形 F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上， 在所有满足条件的角中， 其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形 ABCD 的坐标角度是 90°．现将二次函数 y ＝ ax 2（1≤ a ≤ 3）的图 象在直线 y ＝1 下方的部分沿直线 y ＝ 1 向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围 是（ ）A ．30°≤ α≤60°B ． 60°≤ α≤ 90°C ． 90°≤ α≤ 120°D ． 120°≤ α≤ 150°二．填空题（共 6 小题）11．袋子中装有红、黄、绿三种颜色的小球各一个，从中任意摸出一个放回搅匀，再摸出一个球，则两次摸出的球都是黄色的概率是 ． 12．如果关于 x 的一元二次方程 2的一个根为 1，则另一根为 x ﹣ 5x+m ＝ 0 22（填写“真命题”或“假命题” 13．命题“如果 a ＝ b ，那么 a ＝ b ”是 14．如图，△ ABC 中， AB ＝ 2 ， AC ＝ 4， BC ＝ 6，动点 D 从点 B 运动到点 于直线 CD 的对称点 G 的运动路径长为 ．．）A ，则点B 关15．如图， 已知等边△ ABC 内接于 ⊙ O ，点 P 为 上任意一点 （点 P 不与点 A 、点 B 重合），连结 PB 、PO ，取 BC 的中点 D ，取 OP 的中点 E ，连结 DE ，若∠ OED ＝ α，则∠ PBC 的 度数为．（用含 α的代数式表示）16．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值 y 满足：当﹣ 1≤ x ≤ 1 时，﹣ 1≤y ≤1，则称这个函数为“闭函数” ．例如： y ＝ x ， y ＝﹣ x 均是“闭函数” ．已知 y ＝ ax 2+bx+c （ a ≠ 0） 是“闭函数”，且抛物线经过点 A （ 1，﹣ 1）和点 B （﹣ 1，1），则 a 的取值范围是 ．三．解答题（共 9 小题）217．用适当的方法解一元二次方程：x +4x+3 ＝ 0．18．化简求值：当 x ＝3， y ＝ 4 时，求代数式 + 的值．22，3），并且其顶点在直线y＝ 3x﹣ 2 上，求19．已知二次函数 y＝ 2x +ax+b 的图象经过点（a， b 的值，并画出该二次函数的大致图象．20．如图，△ ABC 中，∠ ACB＞∠ ABC．（ 1）用直尺和圆规在∠ ACB 的内部作射线 CM ，使∠ ACM ＝∠ ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）；（ 2）若（ 1）中的射线CM 交 AB 于点 D ， AB＝ 9， AC＝ 6，求 AD 的长．21．已知：如图， D 是△ ABC 外接圆⊙ O 上一点，且满足DB＝ DC，连接 AD ，求证： AD 是△ ABC 的外角∠ EAC 的平分线．22．甲公司准备向乙公司购买某种主机及相应的易损配置零件，乙公司提出了一种优惠销售方式，即如果购买主机产品同时购买易损配置零件，每个价格300 元，否则后期单一购买易损配置零件则每个价格为 500 元，甲公司为了解主机产品的使用过程中易损配置零件的损耗情况，市场部对 50 部主机产品使用过程中的易损配置零件的损耗情况作了调查并只做了如下的柱状图表：记 x 表示一个主机使用过程中的易损配置零件数，y 表示正常使用一台主机时购买易损配置零件数的费用，n 表示购买主机时购买的易损配置零件数．（ 1）若 n＝ 5，写出 y 与 x 的函数关系式；（ 2）假设这 50 部主机在购买时每个主机都购买了 6 个配置零件，或7 个配置零件，分别写出这50 部主机在购买配置零件上所需费用的平均数，并以此分析甲公司在购买一台主机时应购买几个配置零件合算？23．如图，上午7：00，一列火车在 A 城的正北200km 处以 100km/h 的速度匀速驶向终点站A 城，同时，一辆小汽车在 A 城的正东 100km 处以 100km/h 的速度匀速向正西的目的地B 行驶，两车同时到达各自目的地，设两车出发t 小时，它们间的距离为s 千米．（ 1 ）求 s 关于 t 的函数表达式，并写出t 的取值范围；（ 2 ）设两车出发 t1，t 2小时，对应的两车间的距离分别为s1，s2，若 t 1＞ t2≥ 1，比较 s1，s2的大小；（ 3 ）当 s＝ s3时，只有唯一一个 t 与其对应，求所有满足条件的s3对应的 t 的范围．24．⊙ O 内接△ ABC，∠ ABC＝ 60°，弦 BD、AC 交于点 E，∠ OBC＝∠ ABD， F 在 BE 上，FE＝ ED ，直线 OF 分别交 AB 、BC 于 M、 N．（1）求证： AE⊥ BE；（2）求证：△ BMN 是等边三角形；（ 3）若 CN＝ 2AM ，OB＝ 2，求AE的长．225．已知函数 y＝ ax +ax﹣ 1（ a 为常数）．（ 1）无论 a 取何值，函数图象都过定点．2的图象始终在 x 轴下方，求 a 的取值范围；（ 2）若对于任意实数 x，函数 y＝ ax +ax﹣ 12（ 3）若 a≠ 0，设函数 y＝ ax +ax﹣ 1（a 为常数）图象的顶点为 M，且与经过点 F（﹣，﹣ 1﹣ a）的直线 l 相交于 A，B 两点，过点 A 作直线 y＝﹣ 1﹣﹣ a 的垂线，垂足为 D．求证： B、M、 D 三点共线．九年级模拟4参考答案与试题解析一．选择题（共 10 小题）2× 51．【解答】 解： 4+ （﹣ 2）＝ 4+4 ×5 ＝ 4+20 ＝ 24， 故选： D ．8）2﹣ 4× 20×1＝﹣ 16＜ 0， 2．【解答】 解：∵△＝（﹣∴方程没有实数根． 故选： A ．3．【解答】 解：∵∠ 1 是三角形的一个外角，∴∠ 1＞∠ A ， 又∵∠ 2 是三角形的一个外角，∴∠ 2＞∠ 1， ∴∠ 2＞∠ 1＞∠ A ． 故选： B ．4．【解答】 解：连接 OD ，∵ AB 是半圆 O 的直径， C 是 OB 的中点， ∴ OD ＝2OC ，∵ CD ⊥ AB ，∴∠ DOB ＝ 60°， ∴∠ AOD ＝ 120°，∴ 与的长度的比为，故选： A ．5．【解答】 解：从统计图中可得该事件发生的可能性约在 35%左右， A 的概率为 16.67% ，B 的概率为 50%， C 的概率为 50%， D 的概率为 33.33% ， 故选： D ． 6．【解答】 解：设每件工艺品降价 x 元，则每天的销售量为（ 100+5x ）件，根据题意得：（ 130﹣ 100﹣x ）（ 100+5x ）＝ 3000，整理得： x 2﹣ 10x ＝0，解得： x 1＝ 0， x 2＝ 10． ∵要减少库存量，∴ x ＝ 10．故选： B ．2 27．【解答】 解：当 x ＝1 时， y 1＝﹣（ x+1 ） +2＝﹣（ 1+1 ） +2 ＝﹣ 2；当 x ＝ 2 时， y 1＝﹣（ x+1） 2+2＝﹣（ 2+1） 2+2＝﹣ 7；所以 2＞ y 1＞ y 2．故选： A ． 8．【解答】 解：∵ ＝ ＝ ，∠ COD ＝38°，∴∠ BOC ＝∠ EOD ＝∠ COD ＝38°，∴∠ AOE ＝ 180°﹣∠ EOD ﹣∠ COD ﹣∠ BOC ＝ 66°． 又∵ OA ＝OE ， ∴∠ AEO ＝∠ OAE ，∴∠ AEO ＝×（ 180°﹣ 66°）＝ 57°．故选： B．9．【解答】解：如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF 中，△AOB 是边长为 1 的正三角形，所以正六边形 ABCDEF 的面积为S6＝ 6×× 1× 1× sin60°＝．故选： C．10．【解答】解：当 a＝ 1 时，如图 1 中，∵角的两边分别过点A（﹣ 1， 1）， B（1， 1），作 BE⊥x 轴于 E，∴BE＝ OE，∴∠ BOE＝ 45°，根据对称性可知∠ AOB＝ 90°∴此时坐标角度 m＝ 90°；当 a＝3 时，如图 2 中，角的两边分别过点A（﹣，1），B（，1），作BE⊥x轴于E，∵tan∠ BOE ＝，∴∠ BOE＝ 60°，根据对称性可知∠AOB＝ 60°∴此时坐标角度α＝ 60°，∴60°≤ α≤90°；故选： B．二．填空题（共 6 小题） 11．【解答】 解：列表得：绿（红，绿） （黄，绿） 黄 （红，黄） （黄，黄） 红（红，红）（黄，红）红黄（绿，绿）（绿，黄）（绿，红）绿故一共有 9 种情况，两次摸出的球都是黄色的有一种，则两次摸出的球都是黄色的概率是 ．212．【解答】 解：设方程 x ﹣ 5x+m ＝ 0 的解为 x 1、 x 2，则有： x 1+x 2＝ 5， ∵ x 1＝ 1， ∴ x 2＝ 4．故答案为： 4．13．【解答】 解：因为 22＝（﹣ 2） 2，22所以如果 a ＝ b ，那么 a ＝b ”是假命题．14．【解答】 解：作 AH ⊥BC 于 H ．设 CH ＝ x ．∵ AH 2＝ AB 2﹣ BH 2＝AC 2﹣CH 2，∴（ 2 ） 2﹣（ 6﹣ x ） 2＝ 42﹣ x 2， ∴ x ＝ 2，∴ cos ∠ ACB ＝＝ ，∴∠ ACB ＝ 60°， ∴点 G 的运动轨迹是以 C 为圆心， BC 为半径圆心角为60°，的弧，∴点 G 的运动路径长为＝ 2π，故答案为 2π．15．【解答】 解：如图：连接 OD 、 OB ，∵等边△ ABC 内接于 ⊙ O ，∴ OD ⊥BC ，OD ＝ OB ，∠ OBD ＝ 30°．∵ E 点是 OP 的中点， ∴ OE OP ，∵ OB ＝ OP ， ∴ OD ＝OE ，∴∠ OED ＝∠ ODE ＝ α， ∴∠ EOD ＝ 180°﹣ 2α．因为四边形 DOEB 内角和为 360°，∴∠ BED ＝ 360°﹣ 90°﹣ 60°﹣（ 180﹣ 2α）﹣ α＝ 30°+α，∠ EOB ＝ 180°﹣ 30°﹣（ 30+2α）＝ 120﹣ 2α． ∵ OB ＝ OP ， ∴∠ P ＝∠ OBP ＝（180°﹣∠ POB ）＝（ 180﹣ 120+2 α）＝ 30° +α．∴∠ PBC ＝∠ OBP+∠ OBC ＝30° +α+30°＝ 60°+α．故答案为 60° +α．216．【解答】 解：∵抛物线 y ＝ax +bx+c （ a ≠0）经过点 A （ 1，﹣ 1）和点 B （﹣ 1， 1），∴ a+b+c ＝﹣ 1 ① a ﹣b+c ＝ 1 ②① +② 得： a+c ＝ 0 即 a 与 c 互为相反数，① ﹣ ② 得： b ＝﹣ 1；所以抛物线表达式为 y ＝ ax 2﹣ x ﹣ a （ a ≠ 0）， ∴对称轴为 x ＝，当 a ＜0 时，抛物线开口向下，且x ＝＜ 0，∵抛物线 y ＝ ax 2﹣ x ﹣ a （ a ≠0）经过点 A （ 1，﹣ 1）和点 B （﹣ 1， 1），画图可知，当≤﹣ 1 时符合题意，此时﹣≤ a ＜ 0，当﹣ 1＜＜ 0 时，图象不符合﹣ 1≤ y ≤ 1 的要求，舍去同理，当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，且x ＝＞ 0，画图可知，当≥ 1 时符合题意，此时 0＜ a ≤ ，当 0＜＜ 1 时，图象不符合﹣ 1≤ y ≤ 1 的要求，舍去，综上所述： a 的取值范围是﹣≤a ＜ 0 或 0＜ a ≤ ，故答案为：﹣≤ a ＜ 0 或 0＜ a ≤ ．三．解答题（共 9 小题）17．【解答】 解：（ x+3）（ x+1 ）＝ 0，x+3 ＝ 0 或 x+1 ＝ 0， 所以 x 1＝﹣ 3， x 2＝﹣ 1．18．【解答】 解：原式＝ +＝+3+ +＝ 2 +4 ，当 x ＝ 3， y ＝ 4 时，原式＝ 2 +4＝ 2 +8．19．【解答】 解：∵二次函数 22， 3）， y ＝ 2x +ax+b 的图象经过点（ ∴ 8+2a+b ＝ 3，得出 b ＝﹣ 2a ﹣ 5．又∵抛物线的顶点坐标是（﹣， ），其顶点在直线 y ＝ 3x ﹣ 2，∴﹣﹣ 2＝，整理得 a 2﹣6a ﹣ 8b ﹣16＝ 0，∵ b ＝﹣ 2a ﹣ 5，2∴a+10a+24 ＝ 0，解得 a ＝﹣ 4 或 a ＝﹣ 6，∵ b ＝3 或 7． 22∴二次函数表达式为y ＝ 2x ﹣ 4x+3 或 y ＝ 2x ﹣ 6x+7．20．【解答】 解：（ 1）如图所示，射线 CM 即为所求；（ 2）∵∠ ACD ＝∠ ABC ，∠ CAD ＝∠ BAC ， ∴△ ACD ∽△ ABC ，∴＝ ，即 ＝ ，∴ AD ＝ 4．21．【解答】 证明：∵ DB ＝ DC ， ∴∠ DBC ＝∠ DCB ，∵∠ DAE 是圆内接四边形 ABCD 的外角， ∴∠ DAE ＝∠ DCB ， ∴∠ DAE ＝∠ DBC ， ∵∠ DBC ＝∠ DAC ， ∴∠ DAE ＝∠ DAC ，∴ AD 是△ ABC 的外角∠ EAC 的平分线 22．【解答】 解：（ 1）当 n ＝ 5 时， y ＝＝（ 2）假设这 50 台机器在购机的同时每台都购买 6 个配置零件，所须费用平均数为：（ 22× 6× 300+12 × 2300+10× 2800+6× 3300）＝ 2300（元）假设这 50 台机器在购机的同时每台都购买 7 个配置零件，所须费用平均数为（ 34×7× 300+10× 2600+6× 3100）＝ 2320（元）∵ 2300＜ 2320∴购买 1 台机器的同时应购买6 个配置零件．23【． 解答】解：（ 1）① 当 0≤ t ≤1 时，s ＝＝ 100．② 1＜ t ≤ 2 时， s ＝＝ 100，综上所述， s ＝ 100（0≤ t ≤ 2）．（ 2）当 t 1＞t 2≥1 时， s 1＝ 100 ， s 2＝ 100 ，∴ s 12﹣ s 22＝ 10000[2t 12﹣6t 1+5﹣（ 2t 22﹣ 6t 2+5） ]＝ 20000（ t 1﹣ t 2）（ t 1+t 2 ﹣3）∵ t 1﹣ t 2＞ 0，当 3＜ t 1+t 2＜ 4 时， s 12﹣ s 22＞ 0，则 s 1＞ s 2；当 t 1+t 2＝ 3 时， s 12﹣s 22＝0，则 s 1＝ s 2；当 2＜ t 1+t 2＜ 3 时， s 12﹣ s 22＜ 0，则 s 1＜ s 2；（ 3）当 s ＝ s 3 时，只有唯一 一个 t 与其对应，因为 s ＞ 0，则 s 2＝ s 32时也只有唯一的 t 与它对应，结合 s 2＝ 20000t 2﹣ 60000t+50000 （ 0≤ t ≤ 2）的图象可知： 0≤ t ＜1 或 t ＝．24．【解答】（ 1）证明：如图 1，延长 BO 与⊙ O 相交于点 K ，连接 CK ．∵BK 为⊙O 直径，∴∠ BCK＝ 90°，∵∠ OBC＝∠ ABD，∠ A＝∠ K，∠ OBC+∠ K ＝90°∴∠ A+∠ ABD ＝90°，∴∠ AEB＝90°，∴AC⊥ BE；（ 2）证明：如图2，连接 CF，延长 CF 与⊙ O 相交于点H，交 AB 于 F ，连接 BH、OH ．由（ 1）与已知可得AC 垂直平分 DF ，∴CD ＝ CF，∴∠ DCA＝∠ ACF 且∠ D＝∠ CFD ，∵＝，∴∠ DCA＝∠ DBA．∵＝，∴∠ ACH＝∠ ABH，∴∠ ABH＝∠ ABD＝∠ OBC，又∵∠ BFH ＝∠ CFD ，∴∠ BGF＝∠ CEF ＝90°＝∠ BGH ，∴∠ BHG＝∠ HFB ，∴BH＝ BF，∵∠ ABC＝∠ ABO+∠ OBC＝∠ ABO+∠ABH ＝∠ OBH ＝ 60°， OH＝OB，∴△ OBH 为等边三角形，∴OB＝ BH＝BF ；∴∠ BFO＝∠ BOF，∵∠ BFO+∠ BFM ＝ 180°，∠ BOF+∠ BON＝180°∴∠ BFM ＝∠ BON，在△ BMF 和△ BON 中，，∴△ BMF ≌△ BON（ AAS），∴MF ＝ON， BM ＝ BN，∵∠ MBN ＝ 60°，∴△ MBN 是等边三角形，（2）∵△ MBN 是等边三角形，∴∠ BMN ＝∠ BNM ＝ 60°，∴∠ AMN ＝∠ CNM ＝120°，∠ MAO+∠ AOM ＝60°∵∠ AOC＝ 2∠ABC＝ 120°，∴∠ AOM +∠CON ＝ 60°，∴∠ AOM ＝∠ OCN ，又∵ AO＝CO，在△ AMO 和△ ONC 中，，∴△ AMO ≌△ ONC （ SSA），∴AM ＝ON，MO ＝NC，设AM ＝ON＝MF＝ 2a，∵ NC＝ 2MA，∴MO ＝ NC＝ 4a，∴OF＝ 2a， MN ＝ 6a＝ BM ＝ BN，BC ＝10a， AB＝ AM+BM＝8a，在 Rt△MGF 和 Rt△ BGC 中，∠ GMF ＝∠ ABC＝ 60°，∴ MG ＝MF ＝ a， GF ＝ MF sin60°＝a， BG＝ 5a，在Rt△BFG 中， BF 2＝ BG2+GF2＝ BO2，∴（ 2）2＝（5a）2+（a）2，∴a＝ 1，∴AB＝ 8，GF ＝，∵ sin∠ FBG ＝＝＝，在 Rt△ABE 中， sin∠ FBG ＝，∴ AE＝ AB?sin∠ FBG ＝ 8×＝．2 225．【解答】解：（ 1） y＝ ax +ax﹣1＝ a（ x +x）﹣ 1，2当 x +x＝0 时， x＝ 0 或﹣ 1，故图形过顶点（0，﹣ 1）和（﹣ 1，﹣ 1），故：答案为：（ 0，﹣ 1）和（﹣ 1，﹣ 1）；（ 2）当 a＝ 0 时， y＝﹣ 1，函数在x 轴下方；当 a≠0 时，函数在x 轴下方，则a＜ 0，且△＜ 0，2即△＝ a +4a＜ 0，解得：﹣ 4＜ a＜ 0，综上， a 的取值范围为：﹣4＜ a≤ 0；（ 3）点 M 的坐标为：（﹣，﹣ 1﹣a），设点 A、 B 的坐标为：（ x1， y1）、（ x2， y2），设过点 F 的直线 m 表达式为： y＝ kx+b，将点 F 的坐标代入上式并解得：b＝ k+ ﹣ 1﹣a，将直线 m 的表达式与二次函数表达式联立并整理得：2ax +（ a﹣k） x﹣（ b+1）＝ 0，x1+x2＝＝﹣ 1， x1x2＝＝﹣﹣+ ，则点 D（ x1，﹣ 1﹣﹣ a），点 B（ x2，kx2+b），如果 B、 M、 D 三点共线，则直线DM 和直线 BM 对应一次函数表达式中的k 值相等，k MB＝＝，同理可得： k MD＝，假设 k MB＝ k MD，则＝＝，整理得：k（x1+x2） +kx1x2++k＝ 0，即：﹣k+﹣﹣﹣+ k++＝0，即： 0＝ 0，故 B、 M、 D 三点共线．。