线性函数的平均值在高中物理中的应用

合力随 时间 变化 的情 形如 图 4 中 直线 A B 所示, ∀ 阴 影# 的面积则表示了合力的冲量. 在时间 t 内合力的平均值
为
F=
F 0+ 2
Ft =
F-
m0g +
gkt 2
.
(1)
设洒水过程中损失的动量为 p , 由动 量定理得
Ft = ( mv t+ p ) - mv 0.
(2)
由( 1) 、( 2) 式, 可以解得
解析: 首先, 分析可知洒水车在水平方向的牵引力和滑 动摩擦力等作用下做加速度逐渐增大的加速运动.
显然, 由于所受合力 不为零, 动量 守恒 定律不 适用. 但 是笔者们可 以先用合力 的平均值 求出合 力的冲 量, 再 利用
动量定理即可求出动量的损失. 依题意, 可知其合力为
F 合= F- mg = F - ( m0 - k t) g .
不变, 即单 位时 间内流 出的 水的 质量相等. 因而, 洒水车的质量是
时间的一次函数, 可以 写作 m =
m0 - kt . 其 中 m 0 为初 始质 量, k
图4
为质量对时间的变化率, t 为洒水 的时间. 现设洒水 车的初 速度为 v 0, 初始质量为 m 0, 经过 t 的时间, 车速增加为 v t ; 再设它的牵 引力 F 恒 定不变, 与 路面 的摩 擦因 数为 . 试 求: 洒水车在时间 t 内损失的动量.
移变化的大致情形,∀ 阴影# 的 面积则 为合力 在相应 位移内 所做的功.
点拨: 由此例解析可见, 我们虽然 先后在 A C 和 A B 两 段位移上都 利用动能定 理解决问 题, 但由于 前者与后 者的
位移不同, 使得 同一 合力 的平 均值 显然 不 同; 从做 功 角度 看, 造成 BC > OC 的原因, 显然是在 A C 一 段位移上, 重力
y
1+ 2
y
2,
来分析和解决许多比
较复杂
乃至极
其困难
的物理
v=
gS m
x
Hale Waihona Puke m.点拨: 应该指出, 当线性变力 F = kx 与另一 恒力( 如此
例之重力) 共同作用于 一个物 体时, 其合力 也是线 性的, 从
而形成 F = kx + b 形式的 线性变力, 其平 均值的表达 式与
前者亦有所不同. 并且这 一点对 于以时 间为自变 量的一 次
=
F 0+ 2
Fx 作为恒力来替代线性变力,
使求线性变 力做功的
问题予以简化.
例 1. 如 图 1 所示 , 把 质
量为 m 、底面积为 S 的木块,
放入 密 度 为 的 水 内 的 O
点, 即 木 块下 底 面在 水下 h0 深度 处 时, 由 于 恰 好 受 力 平
衡而 静 止. 现 用 力 下 按 使 其
解析: 首先, 分析可知 物体在 竖直向 下的 重力、竖直 向
上的弹力等共同作 用下, 做先加 速、后 减速、最后 静止的 变
加速运动.
选竖直向 下为 x 轴正 方向, 以 O 点为坐标 原点. 由牛
顿第二定律, 可得
mg- kx = ma,
其中 F = - kx 为弹簧的弹力.
然后, 设物体自 A 点下 落至 C 点时
时, x 2 < 0, 舍去负解. 从而可得到
x 2= mg +
m 2g 2+ k
2k mgh .
显然, x 2>
2
mg k
.
我们再与
x1=
mg k
比较,
可知
x
2>
2x 1.
亦即线段 BC > OC, 点 C 不是 线 段 OB 的 中点; 若 h
比较大, 则 BC 段比 OC 段 要大得多. 图 3 表 示出合 力随位
了极其广泛的应用. 利用线性函数, 我们不但能正确地表达
诸如由时间决定的变力, 弹簧类物体的弹力, 线性变化的感
应电动势, 静止液体内部的压强, 共轴转动物体的各点的线
速度等等一般的物理规律, 更重要的是, 我们还可以利用线
性函数在 定 义区 间 x 1 ~ x 2( 或 t 1~ t2) 内的 平 均值 y =
加 速 度 为 零, 此 时 物 体 达 到 最 大 速 度
v m; 又设 OC= x 1 , 亦即 mg- kx 1= 0. 于
图3
是可得
x 1=
mg k
.
( 1)
显然, 重力、弹力的合力在位移 x 内的平均值为
为
F = mg - gS( h0+ x ) .
(1)
其中 x 为木块在 任意位置偏离 O 点的位移.
上, 恰好在弹簧的正上 方高度 为 h 的
A 点, 有一质量为 m 的物体由静 止自
由下落. 当物体落至弹簧上端的 O 点
时, 弹簧开 始 被压 缩, 而 当 它 到 达 B
点时, 物体的速度为零. 试求:
( 1) 物体位移 多大 时达 到最大 速
度, 最大速度为多少.
图2
( 2) 弹簧的最大压缩量.
竖直 向 下 移 动 x m 至 O 点,
图1
然后释 放. 求木 块 由 O 点 返
回到 O 点时的瞬时速度.
解析: 选竖直 向下为 x 轴的坐标正 方向, 以 O 点为坐
标原点. 考虑到浮力 遵守阿基米德定律, 可得 N = gSh, 其
中 h 为木块没入 水中的 深度. 从而, 可 得木 块所 受的 合力
mgh+
( mgx 2 -
kx 2 2
2
)
=
0.
显然, 上式是关于 x2 的一元二次方程. 从而又可解得
x 2= mg
m2g2+ k
2k mgh .
! 57 !
V ol. 31 N o. 4 ( 2010)
物理教师 PH YSICS T EACHER
第 31 卷第 4 期 2010 年
由于 m2 g 2+ 2k mgh > m 2 g2 , 因而当 根式 前为∀ - # 号
依题意, 当木块在 O 点时,
F 0= mg- gSh0 = 0.
(2)
再把( 2) 式代入( 1) 式 , 又得 F= - gSx .
由此可见, 木块在此线性变力作用下做简谐运 动. 不难求出合力 F 在 0- xm 区间上的平均值为
F= -
g
Sx 2
m
.
(3)
设由 O 点返回到 O 点时的瞬时速度为 v , 根 据动能定
感应 强 度 为 B 的 匀 强 磁
场. 在磁 场 的 左 侧另 有 一
个位于纸面 内的等 腰梯形
图5
线 框 A BCD , 已 知 A B 边
的长度 d , 底角 !, 且总电 阻为 R . 现 使线 框自 左至 右以 速
度 v 匀速进入磁场 , 自 A B 边进 入直 到 CD 边与 磁场左 边
最后由欧姆定律求出 通过线框某一横截面的电荷量
q=
E R
t=
Bvdt +
Bv R
2
t
2
cot
!.
点拨: 解决此题的关键在于, 先求出线框 匀速进入磁场
时切割磁感线的有效长 度 L , 再 由感应 电动势 的瞬时 表达
式求出其在时间 0 t 内的 平均值; 然后, 作为 恒定 的感应 电
动势结合欧姆定律等处理 .
理可得
F(-
xm) =
mv 2
2
.
(4)
F=
mg-
kx 2
.
( 2)
从而由动能定理, 我们不难得到
mgh+ Fx 1=
mv 2
2
.
( 3)
由( 1) ~ ( 3) 式, 即可解得
v m=
2g( h +
x 1) -
kx 1 m
2
.
最后, 依题意知物体自 A 点 下落到 B 点 时速 度为零,
再设弹簧的最大压缩量即 OB= x 2, 我们由动能定理又 得
参考文献: 1 复旦大学、上海师范大 学物理 系编. 物理学. 上海: 上 海科学 技
术出版社, 1997. 2 人民教育出版社编. 全日制普通高中( 必修 加选修) 教师教 学用
书. 北京: 人民教育出版社, 2003. ( 收稿日期: 2009- 07- 15)
做了比在 BC 段更多的正功. 还应明确, 若使 上式中 h = 0, 可知物体由 O 到 B 恰好完成简谐运动的半个全振动, 此时
C 点才是 OB 线段的中点, 同时也是振动的平衡位置. 2 关于线性变力冲量的问题
这里所谓线性变力, 是另一 种方向沿 同一 直线而 大小 随时间均匀变化的力, 其表 达式为 F = kt + b 或 F = kt. 反
函数也是如此.
问题, 从而删繁 就简, 化 难为 易, 收 到良 好 的教 学效 果. 下 面, 笔者试从 3 个方面展开讨论.
例 2. 如 图 2 所示 , 一根 轻质弹 簧 竖 直 站 立、下 端 固 定 在 水 平 支 持 面
1 关于线性变力的做功问题
这里所谓线性变力, 是一种 方向沿同 一直 线而大 小随
位移均匀变 化的力, 亦 即大小 与位移 成正比 而方向相 反的
变力, 其表 达式为 F = - kx + b 或 F = - kx . 反 映在 数学
中, 这种变力是位移的一次函数. 对解决这种变力做功的问
题, 使许多初学者感到 困惑不 解或十 分棘手. 但是, 从 另一
个角度着眼, 若利用这种函数在 0~ x 位移内的平均值即 F