最新人教版七年级数学上册第一章《有理数的加减法》教材梳理

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七年级数学上册1.3《有理数的加减法》教案(新版)新人教版

有理数的加减法(一)
[本节课内容]
1．有理数的加法
2．有理数的加法的运算律
[本节课学习目标]
1、理解有理数的加法法则．
2、能够应用有理数的加法法则，将有理数的加法转化为非负数的加减运算．
3、掌握异号两数的加法运算的规律．
4、理解有理数的加法的运算律．
5、能够应用有理数的加法的运算律进行计算．
[知识讲解]
一、有理数加法：
正有理数及0的加法运算，小学已经学过，然而实际问题中做加法运算的数有可能超出
正数范围．例如，足球循环赛中，可以把进球数记为正数，失球数记为负数，它们的和叫做
净胜球数．如果，红队进4个球，失2个球；蓝队进1个球，失1个球．
于是红队的净胜球数为4＋(－2)，蓝队的净胜球数为1＋(－1)．
这里用到正数和负数的加法．
下面借助数轴来讨论有理数的加法．
看下面的问题：
一个物体作左右方向的运动；我们规定向左为负，向右为正，向右运动 5m记作 5m，向左运动 5m记作-5m；如果物体先向右移动 5m，再向右移动 3m，那么两次运动后总的结
果是什么？
两次运动后物体从起点向右移动了 8m，写成算式就是：5+3 = 8
如果物体先向左运动 5m，再向左运动 3m，那么两次运动后总的结果是什么？
两次运动后物体从起点向左运动了 8m，写成算式就是(-5)+(-3) = -8
1。

人教版七年级数学上册第一章有理数全章知识点总结归纳

人教版七年级数学上册第一章有理数全章知识点总结归纳人教版七年级数学上册第一章有理数全章知识点归纳一、知识要点1、正数和负数1) 大于的数为正数。

2) 在正数前面加上负号“-”的数为负数。

3) 数既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界。

4) 在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。

2、有理数1) 凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数。

注意：即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2.不是有理数；正有理数：正整数、正分数。

负有理数：负整数、负分数。

零。

3) 自然数：和正整数；a＞：a是正数；a＜：a是负数；a≥0：a是正数或是非负数；a≤0：a是负数或是非正数。

3、数轴1) 用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

它满足以下要求：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点；通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3…2) 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

3) 画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。

数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。

注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。

4) 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

4、相反数1) 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

注意：a的相反数是-a；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-(a+b)=-a-b；非零数的相反数的商为-1；相反数的绝对值相等。

2、设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示a和-a。

[最新]人教版数学七年级上-有理数的加减法(基础)知识讲解

197， 202， 197， 203， 200， 196，201， 198．计算出售的粮食总共多少千克 ?
100 分，
【答案】法一：以 200( 千克 ) 为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这 8 个数的差的累计是： (- 3) +( +2 ) +(- 3) +( +3 ) +0+(- 4 ) +( +1) +(- 2) ＝ - 6
(2) 原式 =（2-1-4 ） +（ 3 - 5 - 5 + 3 - 2 ） =-3+[ 6 - 5 + 3 +(- 5 - 4 )]=-3-1=-4
4 8 68 3
88 8 6 6
类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用
4．小虫从点 O 出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为： +5， -3， +10 ，- 8， -6， +12， -10.（单位： cm）
21
1
1
1
( 3) -1 +1 + +7 + -2 + -8
ห้องสมุดไป่ตู้32
4
3
2
(4) 3.587 ( 5)
1 5 ( 7)
2
1 3 ( 1.587)
4
（ 5） 2.25 3 1 2 3 1.875 84
（ 6）
1 3
3 5
5 4
5 6
2 4 6 18
【答案与解析】
（1） 26-18+5-16
=(+26)+(-18)+5+(-16) →统一成加法

最新人教版七年级数学上册第一章《有理数的加减法》

1.3 有理数的加减法1．有理数的加法法则(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0.(3)一个数同0相加，仍得这个数．谈重点有理数的加法运算 ①有理数的加法运算涉及两个问题：一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值．因此在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号，是同号还是异号？从而确定用哪一条法则；②在加法运算中，只要有0参加，值都不变．【例1－1】计算：(1)(－3)＋(－9)；(2)(－5)＋8；(3)(－3)＋3；(4)0＋(－5)．分析：(1)两个负数相加，应用法则1，符号取相同的符号“－”，绝对值相加：3＋9；(2)异号两数相加，应用法则2，正数8的绝对值大，所以和的符号取“＋”号，并用较大的绝对值8减去较小的绝对值5；(3)互为相反数的两个数相加，用法则2；(4)有0参加，值不变．解：(1)(－3)＋(－9)＝－(|－3|＋|－9|)＝－12；(2)(－5)＋8＝＋(|8|－|－5|)＝＋3＝3；(3)(－3)＋3＝0；(4)0＋(－5)＝－5.【例1－2】计算：(1)(－3)＋(－4.5)＋(－2.5)＋(－8)；(2)⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－312＋0＋⎝⎛⎭⎫－14. 分析：对于同号的三个加数以上的运算，法则1同样适用．解：(1)(－3)＋(－4.5)＋(－2.5)＋(－8)＝－(3＋4.5＋2.5＋8)＝－18.(2)⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－312＋0＋⎝⎛⎭⎫－14 ＝－⎝⎛⎭⎫12＋312＋14＝－414. 2．有理数的加法运算律(1)加法的交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．字母表示：a ＋b ＝b ＋a .(2)加法的结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．字母表示：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．解技巧加法运算律的运用规律对多个有理数的和尽量用加法的运算律进行，以达到简化运算的目的，通常有以下规律遵循：①互为相反数的两个数相加；②几个数相加得到整数的先相加；③分母相同的数相加；④符号相同的数相加；⑤整数与整数，小数与小数相加．另外，多个加数相加时，往往有多种组合方法，不一定死套法则，要仔细观察，根据题目的特点，只要能使运算简便易行即可．【例2】计算：(1)(＋26)＋(－14)＋(－16)＋(＋18)；(2)18.56＋(－5.16)＋(－1.44)＋(＋5.16)＋(－18.56)；(3)4.1＋⎝⎛⎭⎫＋12＋⎝⎛⎭⎫－14＋(－10.1)＋7； (4)17＋56＋⎝⎛⎭⎫－47＋⎝⎛⎭⎫－12. 分析：把相加得整数、同分母分数、互为相反数、同正或同负的数分别相结合，达到简化计算的目的．解：(1)(＋26)＋(－14)＋(－16)＋(＋18)＝[(＋26)＋(＋18)]＋[(－14)＋(－16)]＝(＋44)＋(－30)＝14；(2)18.56＋(－5.16)＋(－1.44)＋(＋5.16)＋(－18.56)＝[(＋18.56)＋(－18.56)]＋[(－5.16)＋(＋5.16)]＋(－1.44)＝－1.44；(3)4.1＋⎝⎛⎭⎫＋12＋⎝⎛⎭⎫－14＋(－10.1)＋7 ＝[4.1＋(－10.1)＋7]＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫＋12＋⎝⎛⎭⎫－14 ＝1＋14＝114； (4)17＋56＋⎝⎛⎭⎫－47＋⎝⎛⎭⎫－12 ＝⎣⎡⎦⎤17＋⎝⎛⎭⎫－47＋⎣⎡⎦⎤56＋⎝⎛⎭⎫－12 ＝⎝⎛⎭⎫－37＋13＝－921＋721＝－221. 3．有理数的减法法则(1)法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．有理数的减法法则用字母表示为：a －b ＝a ＋(－b )．有理数的减法，关键是把减法化成加法，再按照有理数加法的法则和运算律计算．(2)计算步骤：用法则进行减法运算时应注意：①把减号变为加号(改变运算符号)；②把减数变为它的相反数(改变性质符号)；③按照加法运算的法则进行运算．谈重点有理数减法的理解将减法转化为加法时，注意两变，即“一是变加法；二是把减数变为它的相反数”．如：可简记为“减正变加负，减负变加正”．【例3】计算：(1)2－(－4)；(2)(－5)－(－8)；(3)⎝⎛⎭⎫－213－516； (4)5.5－(＋3.9)；(5)(－12)－(－20)－(－52)；(6)[(－5)－(＋8)]－(－3)．分析：先把减法转化为加法，再用加法法则进行计算．解：(1)2－(－4)＝2＋(＋4)＝6；(2)(－5)－(－8)＝(－5)＋(＋8)＝3；(3)⎝⎛⎭⎫－213－516＝⎝⎛⎭⎫－213＋⎝⎛⎭⎫－516＝－712； (4)5.5－(＋3.9)＝5.5＋(－3.9)＝1.6；(5)(－12)－(－20)－(－52)＝(－12)＋(＋20)＋(＋52)＝60；(6)[(－5)－(＋8)]－(－3)＝[(－5)＋(－8)]＋(＋3)＝－13＋(＋3)＝－10.4.有理数的加减混合运算(1)有理数加减法统一成加法的意义①对于有理数的加、减混合运算中的减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法．如：(－11)－7＋(－9)－(－6)可以转化为：(－11)＋(－7)＋(－9)＋(＋6)，这样就将混合运算统一为加法运算，统一成加法后的式子是几个正数或负数的和的形式．②在一个代数和里，通常有的加号可以省略，每个数的括号也可以省略，如：(－11)＋(－7)＋(－9)＋(＋6)，省略“＋”和括号后成为：－11－7－9＋6.③和式的读法：一是按这个式子的意义读作：－11，－7，－9,6四个数的和，二是按运算意义，可以读作：“负11减7减9加6”．(2)有理数加减混合运算的步骤第一步：运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法；第二步：省略加号和括号；第三步：运用加法法则、加法交换律、加法结合律简化运算．析规律混合运算中的计算规律在运算过程中，遵循以下原则：①互为相反数的两数相结合；②同分母的分数或比较容易通分的分数相结合；③带分数一般化成假分数或分成整数和分数两部分，再分别相加．【例4】计算：(1)(＋11)－12－(－7)＋⎝⎛⎭⎫－16－(－2)＋⎝⎛⎭⎫－13； (2)⎝⎛⎭⎫－478－⎝⎛⎭⎫－512＋⎝⎛⎭⎫－414－⎝⎛⎭⎫＋318； (3)13－12－34＋23； (4)－5.13＋4.62＋(－8.47)－(－2.3)．有理数的加减混合运算要灵活运用运算律，在交换加数的位置时，要带着它前面的符号一同变换．分析：先统一成加法，再省略加号，(1)让整数和分数分别相加；(2)、(3)让同分母分数相结合；(4)正数、负数分别相加．解：(1)(＋11)－12－(－7)＋⎝⎛⎭⎫－16－(－2)＋⎝⎛⎭⎫－13 ＝11＋⎝⎛⎭⎫－12＋(＋7)＋⎝⎛⎭⎫－16＋(＋2)＋⎝⎛⎭⎫－13 ＝11－12＋7－16＋2－13＝(11＋7＋2)＋⎝⎛⎭⎫－12－16－13 ＝20－1＝19；(2)⎝⎛⎭⎫－478－⎝⎛⎭⎫－512＋⎝⎛⎭⎫－414－⎝⎛⎭⎫＋318 ＝－478＋512－414－318＝⎝⎛⎭⎫－478－318＋⎝⎛⎭⎫512－414 ＝－8＋114＝－634； (3)13－12－34＋23＝13＋⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－34＋23＝⎝⎛⎭⎫13＋23＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－34＝1＋⎝⎛⎭⎫－54 ＝－14； (4)－5.13＋4.62＋(－8.47)－(－2.3)＝－5.13＋4.62－8.47＋2.3＝(－5.13－8.47)＋(4.62＋2.3)＝－13.6＋6.92＝－6.68.一般正数和负数分别相加．5．用字母表示加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．若a ＞0，b ＞0，则a ＋b ＝|a |＋|b |；若a ＜0，b ＜0，则a ＋b ＝－(|a |＋|b |)．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．若a ＞0，b ＜0，且|a |＞|b |，则a ＋b ＝|a |－|b |；若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a ＋b ＝－(|b |－|a |)．互为相反数的两个数相加得0.若a ＞0，b ＜0，且|a |＝|b |，则a ＋b ＝0.任何数同0相加，结果不变．若a ＝0，则a ＋b ＝b .破疑点加法法则的理解两个数相加的和，与加数之间的大小关系不确定，不要再习惯性地认为和一定大于加数，要分情况对待．【例5－1】下列结论不正确的是( )．A ．若a ＞0，b ＞0，则a ＋b ＞0B ．若a ＜0，b ＜0，则a ＋b ＜0C ．若a ＞0，b ＜0，且|a |＞|b |，则a ＋b ＞0D ．若a ＜0，b ＞0，且|a |＞|b |，则a ＋b ＞0解析：根据加法法则，先取号，所以：A.a ，b 同正，相加取正号，正确；B.a ，b 同负，和取负号，正确；C.a 正，b 负，但a 的绝对值大于b 的绝对值，所以和取a 的符号，即正号，因而正确；D.a 负，b 正，但a 的绝对值大于b 的绝对值，所以和取负号，错误．答案：D【例5－2】判断正误．(1)若a ＋b ＜0，则a ，b 两数可能有一个正数．( )(2)若x ＋y ＝0，则|x |＝|y |.( )(3)两个数的和一定大于其中一个加数．( )(4)如果两个数的和为正数，那么两个数一正一负，且正数绝对值大．( )解析：(1)正确，当a ，b 异号且正数的绝对值较小时，a ＋b ＜0；(2)x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数，|x |＝|y |，正确．(3)不正确，引入负数后，两负数相加，越加越小．如：(－5)＋(－3)＝－8，但－8＜－5，－8＜－3.(4)不正确，反例：1＋2＝3，但两个数都为正数．答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×6.有理数的加减混合运算技巧归纳(1)同分母的优先结合当分母相同或一个分母是另一个分母的倍数时，优先考虑让它们结合，以简化运算，提高解题速度和准确性．(2)同号的优先结合在加法运算中，同号两数相加比较容易算，一般不会产生符号上的错误，所以在混合运算中，往往让同号的两数结合相加，避免符号出现错误．(3)凑整法让和为整数的加数相结合，包括互为相反数的两个加数，各个组合都得到整数，大大加快了运算速度并提高了准确度．(4)同形的优先结合几个数相加，可将整数部分、分数部分分别相加，这样避免了将带分数化成假分数的麻烦，减小了运算量．(5)裂项相消法有些运算难度较大，不能直接运用加减法则和运算律，需要对算式进行适当变形后，才能计算，这部分题目不是很多，有的方法可以记住，以提高运算解题能力．有些带有绝对值号的计算题，去掉绝对值符号后，也会出现一定规律排列，可以用结合律，让互为相反数的两个数相结合，从而简化计算．【例6－1】计算⎝⎛⎭⎫＋216－⎝⎛⎭⎫＋229＋⎝⎛⎭⎫－516－⎝⎛⎭⎫＋479. 分析：同分母分数相结合，减少通分过程．解：原式＝⎝⎛⎭⎫216－516＋⎝⎛⎭⎫－229－479＝－3－7＝－10. 【例6－2】计算(－2.39)－1.57＋⎝⎛⎭⎫－517＋(－7.61)－3267＋1.57. 分析：相加得整数的数相结合．解：原式＝(－2.39－7.61)＋(－1.57＋1.57)＋⎝⎛⎭⎫－517－3267＝－10＋0＋(－38)＝－48. 【例6－3】计算112－134－114＋412. 分析：整数部分相结合，分数部分相结合，注意负的带分数的真分数部分也是负数．解：原式＝(1－1－1＋4)＋⎝⎛⎭⎫12－34－14＋12＝3＋0＝3.【例6－4】计算11×2＋12×3＋13×4＋…＋12 011×2 012＋12 012×2 013. 解：原式＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋12 011－12 012＋12 012－12 013＝1－12 013＝2 0122 013. 解技巧求和时的运算规律本例求和的方法，妙在把一项转化成两项之差，而相邻项中部分内容可以正负消，其和得以简洁呈现．7．有理数加法的应用学习有理数的加减法后，可以和前面学过的数轴、相反数、绝对值综合出题，把有理数的知识融合得更紧密，理解得更深刻．(1)有理数加法与相反数这类问题的解决思想是：利用概念把问题转化成加法算式．(2)有理数加法与绝对值在有些计算中，含有绝对值符号，这就要用绝对值的概念，先去掉绝对值符号，再按有理数混合运算法则进行计算．(3)有理数加法与有理数的大小比较学习加法后，在比较大小的数中，出现了和的形式或差的形式(差可以化成和)．特别是以字母表示的数．这就需要用加法法则来判断数的正负性，或判断在数轴上的位置关系，从而确定两个数的大小关系．(4)有理数加法在实际问题中的应用在实际问题中，要应用有理数的加法法则求解问题，注意运算技巧的使用．破疑点有关绝对值的计算对于绝对值内算式结果正负性，可以用加减法法则，如：⎪⎪⎪⎪－738＋412要去掉绝对值符号，因为⎪⎪⎪⎪－738＞⎪⎪⎪⎪412，所以⎝⎛⎭⎫－738＋412＜0，所以⎪⎪⎪⎪－738＋412＝－⎝⎛⎭⎫－738＋412＝738－412. 【例7－1】若|x －3|与|y ＋3|互为相反数，求x ＋y 的值．分析：由题意|x －3|＋|y ＋3|＝0，转化成了非负数问题．解：根据题意得|x －3|＋|y ＋3|＝0，则x －3＝0，y ＋3＝0，x ＝3，y ＝－3，所以x ＋y ＝3＋(－3)＝0.【例7－2】若b ＞0，a ＜0，c ＜0，且|c |＞|b |＞|a |，试比较a ，b ，c ，a ＋b ，a ＋c 的大小．分析：先确定正负，比较出异号数之间的大小，再比较绝对值，从而比较出同号数之间的大小．解：由b ＞0，a ＜0，c ＜0，知a ＋c ＜0，又|b |＞|a |，所以a ＋b ＞0，在a ，c ，a ＋c 三个负数中，|a ＋c |＝|a |＋|c |，又因为|c |＞|a |，所以|a ＋c |＞|c |＞|a |，所以a ＋c ＜c ＜a .而在b ，a ＋b 两个正数中，a ，b 异号，且|a |＜|b |，所以|a ＋b |＝|b |－|a |，所以|a ＋b |＜|b |，a ＋b ＜b ，于是：a ＋c ＜c ＜a ＜a ＋b ＜b .【例7－3】某检修小组乘汽车沿公路(假设公路是笔直的)检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自A 地出发到收工时所走路线(单位：千米)为：＋10，－3，＋4，＋2，－8，＋13，－2，＋12，＋8，＋5.(1)收工时距离A 点多远？(2)若每千米耗油0.2升，问这天耗油多少升？分析：(1)中到A 地的距离不是行程，所以是求所有数的和，再根据数的正负确定方向，根据绝对值确定距离；(2)中求耗油量，应该是总里程所耗油量，所以是求所有数绝对值的和．解：(1)＋10＋(－3)＋(＋4)＋(＋2)＋(－8)＋(＋13)＋(－2)＋(＋12)＋(＋8)＋(＋5)＝10－3＋4＋2－8＋13－2＋12＋8＋5＝41.所以收工时在A 地前方距离A 地41千米．(2)|＋10|＋|－3|＋|＋4|＋|＋2|＋|－8|＋|＋13|＋|－2|＋|＋12|＋|＋8|＋|＋5|＝10＋3＋4＋2＋8＋13＋2＋12＋8＋5＝67.67×0.2＝13.4(升)．所以从A 地出发到收工时共耗油13.4升．8.有理数减法的应用(1)求数轴上两点的距离求数轴上两点的距离，就是用表示两点的数相减后，求差的绝对值．如图，A，B两点的距离：AB＝|b－a|.(2)有理数减法的实际应用求一个数比另一个数多多少、大多少、高多少等，要用减法，和小学里所学数的运算没有多少区别，只是参与计算的数可能是正数也可能是负数或0，当减去一个负数时，要添加括号．解技巧比较两数大小的方法比较两数大小，可以用作差法，即当a－b＞0时，a＞b；当a－b＜0时，当a＜b；当a－b＝0时，a＝b.【例8－1】(1)求数轴上表示＋3与－8的两点的距离．(2)求数轴上到表示－3的点的距离为8的点所表示的数．分析：(1)数轴上两点的距离就是表示这两点的数的差的绝对值；(2)注意到－3的距离是8的点有两个，在表示－3的点的左右两边各1个．解：(1)这两点的距离为|(＋3)－(－8)|＝|3＋8|＝11.(2)设到－3的距离为8的点表示的数为x，则根据题意，得|x－(－3)|＝8，|x＋3|＝8，x ＋3＝8或x＋3＝－8，x＝5或x＝－11.【例8－2】以地面为基准，A处高为＋2.5米，B处高为－17.8米，C处高为－32.4米，问：(1)A点比B点高多少米？(2)B点与C点哪个地方高？高多少米？(3)A点与C点哪个地方低？低多少米？解：(1)＋2.5－(－17.8)＝2.5＋17.8＝20.3(米)，所以A点比B点高20.3米．(2)－17.8－(－32.4)＝－17.8＋32.4＝14.6(米)，所以B点比C点高，高了14.6米．(3)2.5－(－32.4)＝2.5＋32.4＝34.9(米)，所以C点低，低了34.9米．。

七年级数学上册《有理数加减法》教学内容总结及例题分析

七年级数学上册《有理数加减法》教学内容总结及例题分析一、教学内容：有理数的加减1. 理解有理数的加减法法则以及减法与加法的转换关系2. 会用有理数的加减法解决生活中的实际问题3. 有理数的加减混合运算二、知识要点：1. 有理数加法的意义（1）在小学我们学过，把两个数合并成一个数的运算叫加法，数的范围扩大到有理数后，有理数的加法所表示的意义仍然是这种运算．（2）两个有理数相加有以下几种情况：①两个正数相加；②两个负数相加；③异号两数相加；④正数或负数或零与零相加．（3）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．一个数同0相加，仍得这个数．注意：①有理数的加法和小学学过的加法有很大的区别，小学学习的加法都是非负数，不考虑符号，而有理数的加法涉及运算结果的符号；②有理数的加法在进行运算时，首先要判断两个加数的符号，是同号还是异号？是否有零？接下来确定用法则中的哪一条；③法则中，都是先强调符号，后计算绝对值，在应用法则的过程中一定要“先算符号”，“再算绝对值”．2. 有理数加法的运算律（1）加法交换律：a＋b＝b＋a；（2）加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．根据有理数加法的运算律，进行有理数的运算时，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数加起来，利用有理数的加法运算律，可使运算简便．3. 有理数减法的意义（1）有理数的减法的意义与小学学过的减法的意义相同．已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法．减法是加法的逆运算．（2）有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．4. 有理数的加减混合运算对于加减混合运算，可以根据有理数的减法法则，将加减混合运算转化为有理数的加法运算。

然后可以运用加法的交换律和结合律简化运算。

三、重点难点：重点：①有理数的加法法则和减法法则；②有理数加法的运算律．难点：①异号两个有理数的加法法则；②将有理数的减法运算转化为加法运算的过程．（这一过程中要同时改变两个符号：一个是运算符号由“－”变为“＋”；另一个是减数的性质符号，变为原来的相反数）典型例题例1、计算（1）（－2）＋（－5）（2）（－6）＋4（3）（－3）＋0（4）－3－（－5）解：（1）（－2）＋（－5）（同号两数相加）＝－（2＋5）（取___的符号，并把绝对值相加）＝－7（2）（－6）＋4（异号两数相加）＝－（6－4）（取__加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值）＝－2（3）（－3）＋0（一个数同零相加）＝－3（仍得_____）（4）－3－（－5）（减去一个数）＝－3＋5（等于加上这个数的___）＝2评析：进行有理数的加减运算时，注意先确定结果的符号，再计算绝对值．例2、计算（－20）＋（＋3）－（－5）＋（－7）．分析：这个式子中有加法，也有减法．可以根据有理数减法法则，把它改写成（－20）＋（＋3）＋（＋5）＋（－7），使问题转化为几个有理数的加法解：（－20）＋（＋3）－（－5）＋（－7）＝（－20）＋（＋3）＋（＋5）＋（－7）例3、有10名学生参加数学竞赛，以80分为标准，超过80分记为正，不足80分记为负，评分记录如下：＋10，＋15，－10，－9，－8，－1，＋2，－3，－2，＋1，问这10名同学的总分比标准超过或不足多少分？总分为多少？分析：此题用具有相反意义的量来表示各个同学的得分在标准之上还是在标准之下，我们也可以把这些数值相加来表示总分是超出还是不足解：（＋10）＋（＋15）＋（－10）＋（－9）＋（－8）＋（－1）＋（＋2）＋（－3）＋（－2）＋（＋1）＝[（＋10）＋（－10）]＋[（－1）＋（＋1）]＋[（＋2）＋（－2）]＋（＋15）＋[（－3）＋（－9）＋（－8）]＝0＋0＋0＋15＋（－20）＝－580×10－5＝795（分）答：这10名同学的总分比标准不足5分，总分为795分．评析：这10个数中有3对相反数，在运算时我们应先把它们相加，这样可以大大降低运算难度．另外，把实际问题转化为数学问题来解决是学习数学的目的．例4、已知︱a＋5︱＝1，︱b－2︱＝3，求a－b的值．分析：要求a－b的值，首先必须确定a、b的值．因为绝对值等于一个正数的数有两个，一个正、一个负，并且这两个数互为相反数，即︱x︱＝m（m＞0），则x＝m，或x＝－m．也就是说求出的a、b的值分别有两个．解：因为︱a＋5︱＝1，︱b－2︱＝3所以a＋5＝1或a＋5＝－1，b－2＝3或b－2＝－3所以a＝－4或a＝－6，b＝5或b＝－1当a＝－4，b＝5时，a－b＝－4－5＝－9当a＝－4，b＝－1时，a－b＝－4－（－1）＝－3当a＝－6，b＝5时，a－b＝－6－5＝－11当a＝－6，b＝－1时，a－b＝－6－（－1）＝－5评析：（1）已知一个数的绝对值，求这个数的时候，要格外注意解有正负两个值，不要漏掉负值．（2）当确定出a、b的值后，求a－b时，应考虑到可能出现的情况，使解题思维严密。

【最新】人教版七年级数学上册第一章《有理数的加减法(第1课时)》教案

新人教版七年级数学上册第一章《有理数的加减法(第1课时)》教案一、内容和内容解析1．内容有理数的加法法则．2．内容解析有理数的运算是运算的基础，而有理数的加法是学习有理数运算的第一步，是进一步学习有理数减法、乘法的基础，其中蕴涵的内容和思想方法在后续学习中有示范作用．有理数加法法则是一种规定．为了让学生理解规定的合理性，教材利用了学生的生活经验，并借助数轴进行说明．虽然加法法则分为三种情况，但探究法则的方法是一致的，即需要将“原点”与“最初运动的起点”对应，将第一次运动的终点作为第二次运动的起点，并将“第二次运动的终点与原点的相对位置”与“两数的和”对应．其中将向左规定为负，向右规定为正，与用正数、负数表示具有相反意义的量的经验一致．在本学段，理解规定的合理性的基础上，能利用加法法则正确地进行运算是重点．基于以上分析，确定本节课的教学重点：有理数加法的意义，根据有理数的加法法则进行有理数的加法运算．二、教材解析教科书从小学学过的加法运算出发，提出引入负数后的加法问题，再通过实例明确有理数加法的意义，引入有理数加法的法则．在引入加法时，教科书不仅用引言中的实例说明学习正数与负数的加法的意义，而且特别强调了在小学学过的加法运算基础上，引入负数后会出现的加法新情况．这是为了强调在已有学习基础上开展新的学习，同时也是为了渗透引入新数后，如何研究新数与原有数之间的运算．教科书借助数轴，用日常生活经验构建了两个“思考”、两个“探究”，对有理数加法中涉及的所有情况进行详细讨论，以帮助学生理解有理数加法法则的合理性，然后再归纳出法则．本节中，“思考”“探究”的问题是循序渐进的．在约定向左、右运动分别对应负、正后，先让学生解决熟悉的“两次都向右运动”的问题，这是基础．由此表明了两层含义：一是什么时候使用加法，也就是加法的意义(不必单独从理论上去讲加法的意义)；二是怎样进行两个正数的加法运算．接着求两次向左的结果，也就是进行两个负数的加法运算，并用数轴表示两个负数相加．然后再概括出同号相加的法则，完成有理数加法中较简单情况的讨论．接着，通过两个“探究”提出讨论异号相加情况的任务．学生可以模仿同号相加的讨论，从算式和数轴两个角度进行探究，得出结论．最后，教科书通过物体在两个时间段后的运动结果，引出与0相加的情况．在完成了上述所有情况的讨论后，教科书通过“思考”栏目提出归纳加法法则的任务，引导学生从所给两个加数的符号与绝对值考虑，得出确定和的符号与绝对值的方法．需要注意的是，从实例中引出运算法则，其目的是为了说明运算法则的合理性，便于学生在心理上接受．运算法则本身是一种规定．对于学生来说，最终是要记住规定，运用规定，培养根据规则行事的习惯．但了解规定的合理性，对理解这个规定，进而在理解的基础上记忆，是有益的．另外，在这个过程中，实际上渗透了归纳、类比等合情推理的方法，以及抽象概括能力的培养．三、教学目标和目标解析1．教学目标(1)理解有理数加法法则；(2)能利用加法法则正确地完成简单的有理数加法运算．2．目标解析(1)在问题情境中，学生能将不同现象对应于两个有理数相加的不同情况，如“先向右运动，再先左运动”对应于“正数＋负数”，进而解释有理数加法法则；(2)学生会根据有理数的加法法则计算两个有理数的和．四、教学问题诊断分析有理数加法是小学学过的加法运算的拓展，学生已经具有了正数、负数、数轴和绝对值等知识．加法法则实际上给出了确定两个有理数的和的“符号”与“绝对值”的规则，它是通过分析两个有理数相加时可能出现的各种不同情况，再归纳出同号相加、异号相加、一个有理数与0相加三种情况而得到的．由于学生的思维发展水平和知识准备的限制，在分情况讨论、归纳不同情况等方面都需要教师的引导甚至是直接讲解．同号两数的加法法则比较易于理解，而异号两数相加时情况比较复杂，学习难度较大，需要教师加强引导．另外，根据法则作加法，需要注意“按部就班”地计算，这是培养良好运算习惯的过程．本节课的教学难点：分情况讨论有理数的加法法则的思路；异号两数相加的法则．五、教学过程设计1．创设情境，引出课题问题1前面我们学习了有理数，有理数有几种分类方法呢？学生回答：有理数可以分为正有理数、0和负有理数；有理数还可以分为整数和分数．【设计意图】复习从不同角度对有理数进行分类，为分情况讨论有理数加法法则埋下伏笔．导入：在小学，我们学过正数及0的加法运算．引入负数后，也要研究有理数的加法运算．日常生活中也会遇到有理数相加的问题，例如在本章引言中，我们曾看到一张“收支情况表”，把收入记作正数，支出记作负数，在求“结余”时，需要计算8.5＋(－4.5)，4＋(－5.2)等．【设计意图】从数学和生活实际两个方面说明学习有理数加法的必要性．问题2小学学过正数与正数相加、正数与0相加．引入负数后，会出现哪些新的情况？学生思考、交流、补充，由老师总结：还会出现负数＋负数，负数＋正数，正数＋负数，负数＋0，0＋负数．【设计意图】让学生感受引入负数后，相应地就要研究新的运算，并根据已有经验，列出有理数加法的所有可能情况．在这个过程中，可以渗透分类讨论、归纳等思想，还可以培养学生思维的逻辑性、条理性．2．观察探究，总结法则教师：我们借助大家熟悉的生活经验来讨论有理数的加法．看下面的问题：一个物体作左右方向的运动，我们规定向右为正，向左为负．向右运动5 m记作5 m，向左运动5 m记作－5 m．问题3如果物体先向右运动5 m，再向右运动3 m，那么两次运动的最后结果是什么？可以用怎样的算式表示？教师引导学生画出数轴，借助数轴表示运动过程和结果，再列出算式表示．在解决问题的过程中，教师要强调，用数轴表示运动情况时要注意如下几点：(1)原点O是第一次运动的起点；(2)第二次运动的起点是第一次运动的终点；(3)由第二次运动的终点与原点的相对位置得出两次运动的结果．【设计意图】借助学生熟悉的日常生活问题解释有理数加法，让学生感受加法法则的合理性．追问1：上面我们实际上得到的是“正数＋正数”的情况．你能模仿上述过程，解决下面的问题吗？如果物体先向左运动5 m，再向左运动3 m，那么两次运动后总的结果是什么？用怎样的算式表示？先让学生独立解决，然后全班交流．要求学生讲清楚：在数轴上，以谁为起点，两次运动的相互关系，如何表示结果．【设计意图】“负数＋负数”的情况与“正数＋正数”完全类似，由学生模仿解决，既巩固刚学习的方法，又加深他们对法则的理解．追问2：你能从“符号”和“绝对值”两个方面，用一句话概括出上述两种情况吗？学生尝试总结，教师给予帮助(如提示：等号左边两数的符号与等号右边的数的符号有什么关系？)，得出同号两数相加的法则．【设计意图】给学生独立思考、自主探究的机会，并在研究思路上加以引导．另外，渗透了从特殊到一般的思想方法．问题4前面得到了同号两数相加的法则，下面可以研究什么问题？(待学生回答“异号两数相加的法则”后)类比前面的研究过程，我们来探究下列问题：(1)如果物体先向左运动3 m，再向右运动5 m，那么两次运动的最后结果怎样？如何用算式表示？(2)如果物体先向右运动了3 m，再向左运动了5 m，那么两次运动的最后结果怎样？如何用算式表示？学生独立思考后，再相互交流．教师应再次提醒学生注意用数轴表示运动情况时要注意的三点，引导学生发现：对于(1)，两次运动的最后结果是落在原点的右侧距离原点2 m处，对应的算式是5＋(－3)＝2；对于(2)，两次运动的最后结果是落在原点的左侧距离原点2 m 处，对应的算式是3＋(－5)＝－2．追问：类比前面的做法，你能从“符号”和“绝对值”两个方面，概括一下上述两种情况吗？学生尝试总结，教师给予帮助(如提示：结果的符号与等号左边哪个数的符号相同？结果的绝对值是怎样利用两个加数而得到的？)，得出异号两数相加的法则．【设计意图】让学生思考“已经解决什么问题，还有哪些问题没有解决”，可以培养思维的条理性．再次引导学生结合数轴表示异号两数相加的结果，提供自主探究的机会，但在探究过程中要加强指导，以帮助学生克服难点．问题5 如果物体先向左运动5 m，再向右运动5 m，那么两次运动的最后结果怎样？如何用算式表示？如何用一句话表示？由学生独立完成．请一位学生(可以是学习程度中等偏下的)回答结果．【设计意图】有了前面的准备，这个问题学生应该都能解决了．问题6如果物体第1秒向右(或左)运动5 m，第2秒原地不动，很显然，两秒后物体从起点向右(或左)运动了5 m．你能用算式表示吗？由学生独立完成．请一位学生(可以是学习程度中等偏下的)回答结果．【设计意图】利用物体在一个时间段不运动，引出与0相加的情况．问题7 你能归纳一下前面所有的结论，自己尝试给出有理数加法法则吗？学生归纳、交流，教师在适当的时候给予帮助．由教师进行总结，要指出有理数加法法则包括三种不同情况：同号两数相加、异号两数相加、一个数与0相加；异号两数相加中，又以互为相反数的两个数相加为特例．要边总结边板书．教师提醒学生，做有理数加法时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．【设计意图】锻炼学生的思维严谨性，培养归纳和概括的能力、语言表达能力．估计学生独立完成有困难，所以在学生总结的基础上由教师给出完整的加法法则．3．举例示范，巩固新知计算：(1)(－3)＋(－9)；(2)(－4.7)＋3.9；(3)0＋(－7)；(4)(－9)＋(＋9)．教师提醒学生计算时要先观察两个加数的符号与绝对值，首先确定和的符号，再确定绝对值．让学生独立完成后，展示结果并讲解理由．【设计意图】四个小题对应于四种不同情况，学生在叙述理由时要做到“步步说理”，即①确定类型；②确定符号；③确定绝对值，从而突破难点．4．加强练习，熟练计算练习教科书第18页练习1，2，3．学生口答，教师评判．【设计意图】第1题让学生体会在实际生活中何时使用加法，并会用加法解决问题，从而进一步感受学习有理数加法的必要性．第2，3题所给加数较为简单．5．课堂小结，自我完善师生共同回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：(1)有理数的加法法则是什么？你是怎么理解这一法则的？(2)我们通过生活实例，借助数轴讨论了有理数加法法则，其中使用了哪些思考方法？(3)进行有理数的加法运算时需要注意哪几个步骤？【设计意图】(1)让学生梳理本节课的知识框架，并说出自己的理解；(2)使学生关注分类讨论、从特殊到一般等研究问题的方法；(3)观察算式，确定符号，计算绝对值．布置作业：教科书习题1.3第1，8，9题．六、目标检测设计计算：(1)(＋4)＋(＋3)；(2)(－8)＋(－11)； (3)52＋⎪⎭⎫ ⎝⎛37－； (4)⎪⎭⎫ ⎝⎛65－＋316； (5)0＋(－325)； (6)⎪⎭⎫ ⎝⎛012 2011 2－＋012 2011 2．【设计意图】检测学生是否基本掌握有理数的加法法则，并准确进行计算．。

(完整版)最新人教版七年级数学上册目录及知识点汇总

人教版新课标七年级上册数学教材目录第一章有理数1.1 正数和负数1.2 有理数1.3 有理数的加减法1.4 有理数的乘除法1.5 有理数的乘方第二章整式的加减2.1 整式2.2 整式的加减第三章一元一次方程3.1 从算式到方程3.2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母3.4 实际问题与一元一次方程第四章几何图形初步4.1 几何图形4.2 直线、射线、线段4.3 角4.4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒第一章有理数1.1 正数与负数①正数：大于0的数叫正数。

（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）②负数：在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。

与正数具有相反意义。

③0既不是正数也不是负数。

0是正数和负数的分界，是唯一的中性数。

注意：搞清相反意义的量：南北；东西；上下；左右；上升下降；高低；增长减少等1.2 有理数1、有理数（1）整数:正整数、0、负整数统称整数；（2）分数;正分数和负分数统称分数；（3）有理数：整数和分数统称有理数。

2、数轴（1）定义：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴；（2）数轴三要素：原点、正方向、单位长度；（3）原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；（4）数轴上的点和有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点，不都是表示有理数。

3、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（例：2的相反数是-2；0的相反数是0）4、绝对值：（1）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

从几何意义上讲，数的绝对值是两点间的距离。

（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

两个负数，绝对值大的反而小。

1.3 有理数的加减法①有理数加法法则：1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

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庖丁巧解牛
知识·巧学·升华
一、有理数的减法
1.有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
即a－b=a+（－b）.
要点提示运用此法则时我们通常强调注意“两变”：一是减法变为加法；二是减数变为其相反数.
2.两数相减的结果有三种情况
（1）较大的数减去较小的数得正数；
（2）较小的数减去较大的数差为负数；
（3）相等两数的差为0.
反过来：差为正数时是较大的数减去较小的数，差为负数时是较小的数减去较大的数，差为0时两数相等.人们常常用这种作差来比较有理数的大小.
深化升华（1）有理数减法法则也适用于一个数减去多个数，例如：－2－（－1）－3=－2+1+（－3）=－4.（2）理解法则，体会“化归”的应用.这里是用相反数的概念将有理数的减法化归为有理数加法.
二、有理数的加减混合运算
1.对于有理数的加减混合运算可以根据有理数的减法法则，把减法转化成加法，统一成加法运算的和式.在一个和式中，通常把各个加数的括号及前面的“+”省略不写.
误区警示统一成加法后，才能省略加号或括号.
2.和式的读法
例如：－3+2.5－0.5－6.
（1）按这个式子表示的意义，读作“负3，正2.5，负0.5，负6的和.”
（2）按运算的意义，读作“负3加2.5减0.5减6.”
3.有理数加减混合运算的方法、步骤
（1）写成省略加号、括号的形式.运用减法法则将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，然后省略加号和括号；
（2）运用加法法则、加法交换律、加法结合律，使得运算简便.其原则是：正数和负数分别相结合；同分母分数或比较容易通分的分数相结合；互为相反数的两数相结合；其和为整数的两数相结合；带分数一般化成假分数或整数与分数两部分，再分别相加.
方法点拨（1）省略加数的括号和“+”后，在进行运算时，要理解这种形式的意义仍是加法，应按加法法则进行.（2）运用运算律时，要连同它前面的符号一起交换或结合.
问题·思路·探究
问题奇数与偶数的性质：
偶数±偶数＝偶数；奇数±奇数＝偶数；
奇数±偶数＝奇数；奇数×奇数＝奇数；
奇数×偶数＝偶数；偶数×偶数＝偶数.
以上这些内容虽很简单，但在解决一些与奇偶数有关的问题时却有着举足轻重的作用.看下面的问题.你是否能够读懂？
设有n 盏亮着的拉线开关，规定每次必须拉动n －1个拉线开关，试问：能否把所有的灯都关闭？证明你的结论或给出一种关灯的办法.
思路:从简单情况想起：当n ＝1时，显然不行；当n ＝2时，1号灯不动，2号关上，2号灯不动，1号关上，可行.当n ＝3时，每盏灯拉动奇数次时才能关上，3个奇数的和仍为奇数，而n －1＝2，按规定总拉动开关的次数是偶数，因此不能把灯全部关闭，由此猜测当n 为偶数时可以，当n 为奇数时不行.
探究：（1）当n 为奇数时，每盏灯拉动奇数次才能关闭，因此要把全部灯关闭，总拉动开关次数应是奇数个奇数的和，是奇数.但n －1是偶数，按规定只能拉动任意的偶数次开关，故无论如何不能把全部亮着的灯都关上.
（2）当n 为偶数时，把n 盏灯编序为1，2，3，…，n.仅需如下操作：
第一次：1号灯不动，拉动其余n －1个开关；
第二次：2号灯不动，拉动其余n －1个开关；
……
第n 次：n 号灯不动，拉动其余n －1个开关.
这样每盏灯拉动n －1次，即奇数次，因此可以用这种办法把全部亮着的灯关闭.
典题·热题·新题
例1 计算：（1）－5－7；（2）（－5）－（－5）.
思路解析：利用有理数减法法则，将减法转化为加法，用加法运算法则进行计算. 解：（1）（－5）－7＝（－5）＋（－7）＝－12；
（2）（－5）－（－5）＝－5＋5＝0.
深化升华若（－5）＋（－5）＝－（5＋5）＝－10，此题是加法，不必再进行转化，直接利用加法运算法则中的“同号相加，取相同的符号，把绝对值相加.”
例2 2005安徽中考冬季的某日,上海最低气温是3℃,北京最低气温是-5℃,这一天上海的最低气温比北京的最低气温高＿＿＿＿℃.
思路解析：这一天上海的最低气温比北京的最低气温高3℃-（-5℃）=8℃.
答案：8
例3 计算：（＋241）－（－10）－（－28
1）＋（－10）. 思路解析：可分别利用前面讲过的两种方法计算.注意计算过程中的减法转化为加法时的符号变化.
解法一：（＋2
41）－（－10）－（－28
1）＋（－10）＝241＋10＋28
1＋（－10）＝（241＋28
1）＋［10＋（－10）］＝483＋0
＝48
3. 解法二：（＋2
41）－（－10）－（－28
1）＋（－10）＝241＋10＋28
1－10 ＝（241＋28
1）＋（10－10）＝483. 深化升华在进行加减混合运算时，适当运用加法的运算律来简化运算.运用加法交换律时，各项应带着符号交换.
例4 2005广东深圳中考在0，-1，1，2这四个数中，最小的数是（）
A.-1
B.0
C.1
D.2
思路解析：负数小于正数和0，所以选A.
答案：A
图1-3-2-1
例5 2005河南中考如图1-3-2-1所示，两温度计读数分别为我国某地今年2月份某天的最低气温与最高气温，那么这天的最高气温比最低气温高（）
A.5 ℃
B.7 ℃
C.12 ℃
D.-12 ℃
思路解析：最高气温比最低气温高7-（-5）=12（℃）.
答案：C。