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导数专项训练(2)

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高考数学压轴大题规范练(2)——函数与导数.docx

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作专题分层训练(三十三) 压轴大题规范练(2)——函数与导数1．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图象上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax (x >0)， F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2.∵a >0，由F ′(x )>0⇒x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上是增函数． 由F ′(x )<0⇒x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上是减函数． 综上，F (x )的单调递减区间为(0，a )， 单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，得k ＝F ′(x )＝x －a x 2≤12(0<x 0≤3)恒成立⇒a ≥－12x 20＋x 0(0<x 0≤3)恒成立．∵当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，即实数a 的最小值为12.2．(2015·重庆卷)设函数f (x )＝3x 2＋axe x (a ∈R )．(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围． 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝(6x ＋a )e x －(3x 2＋ax )e x (e x )2＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x， 因为f (x )在x ＝0处取得极值， 所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x ， 故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e ，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e (x －1)， 化简得3x －e y ＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋ae x ， 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366. 当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0， 故f (x )为减函数；当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0， 故f (x )为增函数；当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0， 故f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数， 知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3， 解得a ≥－92，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞.3．已知f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a ≠0，求函数f (x )的单调区间；(3)若不等式2x ln x ≤f ′(x )＋a 2＋1恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 3＋x 2－x ＋2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x －1，∴k ＝f ′(1)＝4，又f (1)＝3，∴切点坐标为(1,3)， ∴所求切线方程为y －3＝4(x －1)， 即4x －y －1＝0.(2)f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝(x ＋a )(3x －a )， 由f ′(x )＝0，得x ＝－a 或x ＝a3. ①当a >0时，由f ′(x )<0，得－a <x <a3. 由f ′(x )>0，得x <－a 或x >a3， 此时f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a 3，单调递增区间为(－∞，－a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞. ②当a <0时，由f ′(x )<0，得a3<x <－a . 由f ′(x )>0，得x <a3或x >－a ，此时f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，－a ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3和(－a ，＋∞)．综上，当a >0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a 3，单调递增区间为(－∞，－a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞. 当a <0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫a 3，－a ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3和()－a ，＋∞. (3)依题意x ∈(0，＋∞)，不等式2x ln x ≤f ′(x )＋a 2＋1恒成立，等价于2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1在(0，＋∞)上恒成立，可得a ≥ln x －32x －12x 在(0，＋∞)上恒成立， 设h (x )＝ln x －3x 2－12x ，则h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－(x －1)(3x ＋1)2x 2. 令h ′(x )＝0，得x ＝1，x ＝－13(舍)， 当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0. 当x 变化时，h ′(x )与h (x )变化情况如下表x (0,1) 1 (1，＋∞)h ′(x ) ＋ 0 － h (x )单调递增－2单调递减∴当x ＝1时，h (x )取得最大值，h (x )max ＝－2， ∴a ≥－2，即a 的取值范围是[－2，＋∞)． 4．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )>0.若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1>0，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1<0，f ′(x )>0.所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1.① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t －1. 当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时，g ′(t )>0.故g (t )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增． 又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0， 故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0.当m ∈[－1,1]，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立；当m >1时，由g (t )的单调性，g (m )>0，即e m －m >e －1，不符题意； 当m <－1时，g (－m )>0，即e －m ＋m >e －1，不符题意． 综上，m 的取值范围是[－1,1]．5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x . (1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数．解 (1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)， 则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0，即⎩⎨⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0.解得x 0＝12，a ＝－34.因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线． (2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0， 从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0， 故h (x )在(1，＋∞)上无零点． 当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋54≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0， 故x ＝1是h (x )的零点；若a <－54，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0， 故x ＝1不是h (x )的零点． 当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x >0.所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数．①若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)上无零点，故f (x )在(0,1)上单调．而f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)上有一个零点； 当a ≥0时，f (x )在(0,1)上没有零点．②若－3<a <0，则f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－a 3，1上单调递增，故在(0,1)中，当x ＝ －a3时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＝2a 3－a 3＋14.a ．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3>0，即－34<a <0，f (x )在(0,1)上无零点； b ．若f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0,1)上有唯一零点；c ．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3<0，即－3<a <－34，由于f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当－54<a <－34时，f (x )在(0,1)上有两个零点；当－3<a ≤－54时，f (x )在(0,1)上有一个零点．综上，当a >－34或a <－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h (x )有两个零点；当－54<a <－34时，h (x )有三个零点．。

导数专题训练

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导数专题训练一.解答题(共30小題)1.(2018* 德阳模拟)函数f (x) =ln (x+1).(1)当xW ( - 1, 0)时，求证：f (x) <x< - f ( - x)；(2)设函数g (x) =e x - f (x) - a (aGR),且g (x)有两个不同的零点x】，x2 (x)<x2),①数a的取值围；②求证：Xi+x2>0.2.(2018・达州模拟)函数f (x) =lnx - ax t g (x)二x■-(2a+l) x+ (a+1) lnx.(1)当a=l时，求函数f (x)的极大值；(2)当a$l时，求证：方程f (x) =g (x)有唯一实根.3.(2018* 市模拟)函数f (x) =x - (a - 2) x-alnx (a^R).(I )求函数产f (x)的单调区间；(II )当时，证明：对任意的x>0, f (x) +e x>x2+x+2.4.(2018* 一模)函数f (x)二e" - ax・(1)讨论f (x)的单调性；(2)当x>0时，f (x) >ax2+l,求a的取值围.5.(2018-模拟)设M是满足以下条件的函数构成的集合：①方程f (x) -x=0有实数根;②函数f (x)的导数f r (x)满足0<f‘(x) <1.2/14(1)假设函数f〔X)为集合M中的任意一个元素，证明：方程f (x) - x=o只有一个实根;(2)判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；(3)设函数f (x)为集合M中的元素，对于定义域中任意a, B，当丨a -2012 <1, B -2012 <1 时，证明:If ( a ) -f ( B ) I <2.6.(2018* 模拟)函数f (x) =ax+lnx (aGR).(I )假设a=2,求曲线y=f (x)在x=l处的切线方程；(][)求f (x)的单调区间；(III)设g (x) =x'-2x+2,假设对任意(0, +8),均存在x2C|0, 1],使得f (xj < g (x2),求a的取值围.7.(2018・模拟)函数f (x) =- lnx+2+ (a-l) x-2 (aWR).(1)求f (x)的单调区间；(2)假设a>0,求证：f (x) $ -.8.(2018-铁东区校级一模)设函数f (x) = (2-x) e\(1)求f(X)在x=0处的切线；(2)当x$0时，f (x) Wax+2,求a的取值围・9.(2018>江一模)函数f (x) =e x-2,其中e^2. 71828…是自然对数的底数.(I )证明：当x>0 时，f (x) >x - 1 >lnx；(II )设m为整数，函数g (x) =f (x) - lnx - m有两个零点，求m的最小值.10.(2018・模拟)函数f (x) =e x,直线1 的方程为y二kx+b, (k$R, bER).(1)假设直线1是曲线y=f (x)的切线，求证：f (x) $kx+b对任意xER成立;(2)假设f (x) Mkx+b对任意xe[o, +8)恒成立，数k, b应满足的条件.11・(2018>模拟)函数(其中a>0).(1)求函数f(X)的极值；(2)假设函数f (x)有两个零点x“ x2,求a的取值围，并证明(其中f r (x)是f (x)的导函数). 12.(2018* 株洲一模)函数f (x) =lnx+a (x - 1) " (a>0).(1)讨论f (x)的单调性；(2)假设f (x)在区间(0, 1)有唯一的零点x。

2021届高考数学压轴题专题训练——导数及其应用(2)

2021届高考数学压轴题专题训练——导数及其应用(2)

2021届高考数学压轴题专题训练——导数及其应用（2）1.已知函数f （x ）=a x +x 2﹣x ln a （a ＞0，a ≠1）． （1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）求函数f （x ）单调增区间；（3）若存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．2.已知函数1()ln f x x x=-，()g x ax b =+． （1）若函数()()()h x f x g x =-在()0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若直线()g x ax b =+是函数1()ln f x x x=-图像的切线，求a b +的最小值； （3）当0b =时，若()f x 与()g x 的图像有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ，求证：2122x x e >3.某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2所示，其周长为4m ，这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况．如图，ABCD （AB ＞AD ）为长方形的材料，沿AC 折叠后AB '交DC 于点P ，设△ADP 的面积为2S ，折叠后重合部分△ACP 的面积为1S ．（△）设AB x =m ，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； （△）求面积2S 最大时，应怎样设计材料的长和宽？ （△）求面积()122S S +最大时，应怎样设计材料的长和宽？4.已知()()2ln xf x ex a =++.（1）当1a =时，求()f x 在()0,1处的切线方程；（2）若存在[)00,x ∈+∞，使得()()20002ln f x x a x <++成立，求实数a 的取值范围.5.已知函数()()()2ln 1f x ax x x a R =--∈恰有两个极值点12,x x ，且12x x <. （1）求实数a 的取值范围；（2）若不等式12ln ln 1x x λλ+>+恒成立，求实数λ的取值范围.6.已知函数f （x ）=（ln x ﹣k ﹣1）x （k △R ） （1）当x ＞1时，求f （x ）的单调区间和极值．（2）若对于任意x △[e ，e 2]，都有f （x ）＜4ln x 成立，求k 的取值范围． （3）若x 1≠x 2，且f （x 1）=f （x 2），证明：x 1x 2＜e 2k ．7.已知函数()21e 2xf x a x x =--（a ∈R ）. （△）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与y 轴垂直，求a 的值； （△）若函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围； （△）证明：当1x >时，1e ln xx x x>-.8.已知函数321233f xx x x b b R . (1)当0b 时，求f x 在1,4上的值域；(2)若函数f x 有三个不同的零点，求b 的取值范围.9.已知函数2ln 21)(2--=x ax x f . （1）当1=a 时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）讨论函数)(x f 的单调性.10.已知函数1()ln sin f x x x θ=+在[1,]+∞上为增函数，且(0,)θπ∈.（△）求函数()f x 在其定义域内的极值；（△）若在[1,]e 上至少存在一个0x ，使得0002()ekx f x x ->成立，求实数k 的取值范围.参考答案1.解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a 的取值范围为a ∈（0，]∪[e ，+∞）．（16分）2.（1）解：h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=，则， △h （x ）=f （x ）﹣g （x ）在（0，+∞）上单调递增， △对△x ＞0，都有，即对△x ＞0，都有，.…………2分 △，△， 故实数a 的取值范围是；.…………3分（2）解：设切点为，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得， ， 令，则，.…………6分当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，△，故的最小值为﹣1；.…………7分 （3）证明：由题意知，， 两式相加得 1ln x ax b x ---211()h x a x x'=+-211()0h x a x x '=+-≥211a x x≤+2110x x+>0a ≤(],0-∞0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()002000111ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭00220000011111ln y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭02000112ln 1y x x x x x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭010t x =>220011a t t x x =+=+002ln 1ln 21b x t t x =--=---2()ln 1a b t t t t ϕ+==-+--()()2111()21t t t t ttϕ+-'=-+-=()0,1t ∈()()0,t t ϕϕ'<()0,1()1,t ∈+∞()()0,t t ϕϕ'>()1,+∞()()11a b t ϕϕ+=≥=-a b +1111ln x ax x -=2221ln x ax x -=()12121212ln x x x x a x x x x +-=+两式相减得即 △，即，. 9分不妨令，记， 令，则，△在上单调递增，则， △，则，△， 又△，即，.…………10分 令，则时，，△在上单调递增． 又，△，即．.…………12分3.（△）由题意，,，.…………1分设，则，由△ADP△△CB'P ，故PA=PC=x ﹣y ，()21221112ln x x x a x x x x x --=-212112ln 1x x ax x x x +=-()21211212122112ln1ln x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪+ ⎪-=++- ⎪⎪⎝⎭1212212122112()ln ln x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++-= ⎪-⎝⎭120x x <<211x t x =>()21()ln (1)1t F t t t t -=->+()221()0(1)t F t t t -'=>+()21()ln 1t F t t t -=-+()1,+∞()21()ln (1)01t F t t F t -=->=+()21ln 1t t t ->+2211122()ln x x x x x x ->+1212212122112()ln ln 2x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++-=> ⎪-⎝⎭1212121212122()ln ln ln 2ln x x x x x x x x x x +-<==2ln 2>1>2()ln G x x x =-0x >212()0G x x x'=+>()G x ()0,+∞1ln 210.8512e =+-≈<ln 1G =>>>2122x x e >AB x =2-BC x =2,12x x x >-∴<<=DP y PC x y =-由PA 2=AD 2+DP 2，得即：..…………3分 （△）记△ADP 的面积为，则分当且仅当时，取得最大值．，宽为时，最大．….…………7分（△） 于是令分 关于的函数在上递增，在上递减，当时， 取得最大值．，宽为时， 最大．.…………12分4.（1）时，， ，，所以在处的切线方程为 （2）存在，，即：在时有解； 设， 令， 所以在上单调递增，所以 1°当时，，△在单调增， 所以，所以()()2222x y x y -=-+121,12y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭2S ()212=1-233S x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1,2x =2S (2m 2S ()()2121114+2=2123,1222S S x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--=-+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()31222142+220,2x S S x x x x-+⎛⎫'=--==∴= ⎪⎝⎭∴x 12+2S S ()2∴x =12+2S S (m 12+2S S 1a =()()2ln 1xf x ex =++()2121x f x e x '=++()01f =()10231f '=+=()f x ()0,131y x =+[)00,x ∈+∞()()20002ln f x x a x <++()02200ln 0x ex a x -+-<[)00,x ∈+∞()()22ln xu x e x a x =-+-()2122x u x e x x a'=--+()2122xm x ex x a =--+()()21420x m x e x a '=+->+()u x '[)0,+∞()()102u x u a''≥=-12a ≥()1020u a'=-≥()u x [)0,+∞()()max 01ln 0u x u a ==-<a e >2°当时，设， 令， 所以在单调递减，在单调递增 所以，所以所以设，，令，所以在上单调递增，所以所以在单调递增，△， 所以， 所以所以，当时，恒成立，不合题意 综上，实数的取值范围为.5.（1）因为，依题意得为方程的两不等正实数根，12a <()1ln ln 2x a x ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭()11ln 22h x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()11211122x h x x x -'=-=++()102h x x '>⇒>()1002h x x '<⇒<<()h x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()1102h x h ⎛⎫≥=> ⎪⎝⎭11ln 22x x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭()()222ln ln xx u x e x a x e =-+->-2221122x x x e x x ⎛⎫⎛⎫+->-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22102xg x ex x x ⎛⎫=--+≥ ⎪⎝⎭()2221x g x e x '=--()2221xx ex ϕ=--()242420x x e ϕ'=-≥->()2221xx e x ϕ=--[)0,+∞()()010g x g ''≥=>()g x ()0,+∞()()00g x g >>()()00g x g >>()()()22ln 0xu x e x a x g x =-+->>12a <()()22ln f x x a x >++a 12a ≥()ln 2f x a x x '=-12,x x ln 20a x x -=△，， 令，， 当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，当时，，所以 △ 解得，故实数的取值范围是.（2）由（1）得，，，两式相加得，故 两式相减可得，故 所以等价于， 所以所以， 即， 所以， 0a ≠2ln x a x =()ln x g x x =()21ln x g x x -'=()0,x e ∈()0g x '>(),x e ∈+∞()0g x '<()g x ()0,e (),e +∞()10g =x e >()0g x >()20g e a <<()210g e a e<<=2a e >a ()2,e +∞11ln 2a x x =22ln 2a x x =()()1212ln ln 2a x x x x λ+=+()12122ln ln x x x x aλλ++=()()1212ln ln 2a x x x x -=-12122ln ln x x a x x -=⋅-12ln ln 1x x λλ+>+()1221x x a λλ+>+()()1221x x a λλ+>+()()121212221ln ln x x x x x x λλ-+>+-()()121212ln ln 1x x x x x x λλ+->+-112212ln 11x x x x x x λλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>+-因为，令，所以 即，令，则在上恒成立，， 令， △当时，所以在上单调递减，所以在上单调递增，所以符合题意△当时，所以在上单调递增故在上单调递减，所以不符合题意；△当时，所以在上单调递增，所以所以在上单调递减，故不符合题意综上所述，实数的取值范围是.6.解：（1）△f （x ）=（lnx ﹣k ﹣1）x （k△R ），△x ＞0， =lnx ﹣k ，△当k≤0时，△x ＞1，△f′（x ）=lnx ﹣k ＞0，函数f （x ）的单调增区间是（1，+∞），无单调减区间，无极值；△当k ＞0时，令lnx ﹣k=0，解得x=e k ，当1＜x ＜e k 时，f′（x ）＜0；当x ＞e k ，f′（x ）＞0，△函数f （x ）的单调减区间是（1，e k ），单调减区间是（e k ，+∞），在区间（1，+∞）上的极小值为f （e k ）=（k ﹣k ﹣1）e k =﹣e k ，无极大值．（2）△对于任意x△[e ，e 2]，都有f （x ）＜4lnx 成立，120x x <<()120,1x t x =∈()ln 11t t t λλ+>+-()()()ln 110t t t λλ+-+-<()()()()ln 11h t t t t λλ=+-+-()0h t <()0,1()ln h t t t λλ'=+-()ln I t t t λλ=+-()()()2210,1t I t t t t tλλ-'=-=∈1λ≥()0I t '<()h t '()0,1()()10h t h ''>=()h t ()0,1()()10h t h <=0λ≤()0I t '>()h t '()0,1()()10h t h ''<=()h t ()0,1()()10h t h >=01λ<<()01I t t λ'>⇔<<()h t '(),1λ()()10h t h ''<=()h t (),1λ()()10h t h >=λ[)1,+∞△f（x）﹣4lnx＜0，即问题转化为（x﹣4）lnx﹣（k+1）x＜0对于x△[e，e2]恒成立，即k+1＞对于x△[e，e2]恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x﹣4，x△[e，e2]，则，△t（x）在区间[e，e2]上单调递增，故t（x）min=t（e）=e﹣4+4=e＞0，故g′（x）＞0，△g（x）在区间[e，e2]上单调递增，函数g（x）max=g（e2）=2﹣，要使k+1＞对于x△[e，e2]恒成立，只要k+1＞g（x）max，△k+1＞2﹣，即实数k的取值范围是（1﹣，+∞）．证明：（3）△f（x1）=f（x2），由（1）知，函数f（x）在区间（0，e k）上单调递减，在区间（e k，+∞）上单调递增，且f（e k+1）=0，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜e k＜x2＜e k+1，要证x1x2＜e2k，只要证x2＜，即证＜，△f（x）在区间（e k，+∞）上单调递增，△f（x2）＜f（），又f（x1）=f（x2），即证f（x1）＜，构造函数h（x）=f（x）﹣f（）=（lnx﹣k﹣1）x﹣（ln﹣k﹣1），即h（x）=xlnx﹣（k+1）x+e2k（），x△（0，e k）h′（x）=lnx+1﹣（k+1）+e2k（+）=（lnx﹣k），△x△（0，e k），△lnx﹣k＜0，x2＜e2k，即h′（x）＞0，△函数h（x）在区间（0，e k）上单调递增，故h′（x）＜h（e k），△，故h（x）＜0，△f（x1）＜f（），即f（x2）=f（x1）＜f（），△x1x2＜e2k成立．7（△）由()21e 2x f x a x x =--得()e 1x f x a x '=--. 因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与y 轴垂直，所以()010f a '=-=，解得1a =.（△）由（△）知()e 1x f x a x '=--，若函数()f x 有两个极值点，则()e 10x f x a x '=--=，即1e x x a +=有两个不同的根，且1e xx a +-的值在根的左、右两侧符号相反. 令()1e x x h x +=，则()()()2e 1e e e x x x x x x h x -+'==-， 所以当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减；当0x <时，()0h x '>，()h x 单调递增. 又当x →-∞时，()h x →-∞；0x =时，()01h =；0x >时，()0h x >；x →+∞时，()0h x →，所以01a <<.即所求实数a 的取值范围是01a <<.（△）证明：令()1e ln x g x x x x=-+（1x >），则()10g =，()2e 1e ln 1x xg x x x x '=+--. 令()()h x g x '=，则()e e ln x xh x x x '=+23e e 2x x x x x -++， 因为1x >，所以e ln 0xx >，e 0x x >，()2e 10x x x ->，320x >， 所以()0h x '>，即()()h x g x '=在1x >时单调递增，又()1e 20g '=->，所以1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在1x >时单调递增. 所以1x >时，()0g x >，即1x >时，1e ln x x x x>-.20.(1)当0b 时，321233f x x x x ，2'4313f x x x x x .当1,3x时，'0f x ，故函数f x 在1,3上单调递减； 当3,4x时，'0f x ，故函数f x 在3,4上单调递增. 由30f ，4143f f . △f x 在1,4上的值域为40,3； (2)由(1)可知，2'4313f xx x x x ， 由'0f x 得13x ，由'0f x 得1x 或3x .所以f x 在1,3上单调递减，在,1，3,上单调递增； 所以max 413f xf b ，min 3f x f b ， 所以当403b且0b ，即403b 时，10,1x ，21,3x ，33,4x ，使得1230f x f x f x ， 由f x 的单调性知，当且仅当4,03b时，f x 有三个不同零点.8.（1）当时，函数，， △，， △曲线在点处的切线方程为. （2）. 当时，，的单调递减区间为；当时，在递减，在递增.10.（△）在上恒成立，即. △，△.故在上恒成立1=a 2ln 21)(2--=x x x f x x x f 1)('-=0)1('=f 23)1(-=f )(x f ))1(,1(f 23-=y )0(1)('2>-=x xax x f 0≤a 0)('<x f )(x f ),0(+∞0>a )(x f ),0(a a ),(+∞a a 211()0sin f x x x θ'=-+≥•[1,)-+∞2sin 10sin x x θθ•-≥•(0,)θπ∈sin 0θ>sin 10x θ•-≥[1,)-+∞只须，即，又只有，得. 由，解得. △当时，；当时，.故在处取得极小值1，无极大值.（△）构造，则转化为；若在上存在，使得，求实数的取值范围.当时，，在恒成立，所以在上不存在，使得成立. △当时，. 因为，所以，所以在恒成立.故在上单调递增，，只要， 解得. △综上，的取值范围是.sin 110θ•-≥sin 1θ≥0sin 1θ<≤sin 1θ=2πθ=22111()0x f x x x x-'=-+==1x =01x <<()0f x '<1x >()0f x '>()f x 1x =1212()ln ln e e F x kx x kx x x x x+=---=--[1,]e 0x 0()0F x >k 0k ≤[1,]x e ∈()0F x <[1,]e [1,]e 0x 0002()e kx f x x ->0k >2121()e F x k x x +'=+-2222121()kx e x kx e e e x x x++-+++-==[1,]x e ∈0e x ->()0F x '>[1,]x e ∈()F x [1,]e max 1()()3F x F e ke e ==--130ke e -->231e k e +>k 231(,)e e ++∞。

导数专题训练(含答案)

导数专题训练(含答案)

导数专题训练及答案专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法:(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[例1]已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．解题步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[例2]设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．专题三 导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．解题方法：(1)运用导数求可导函数y ＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f(x)的导数f ′(x)；②求方程f ′(x)＝0的根；③检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[例3] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．专题四 导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．解题方法：一般地，如果证明f(x)＞g(x)，x ∈(a ，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F ′(x)＞0，则函数F(x)在(a ，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[例4] 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.[变式训练] 已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.专题五 定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．解题方法：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．[例5] 已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．[变式训练] (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫20f (x )d x ＝ ____；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a ＞0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝____．专题六 化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．解题方法：与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．[例6] 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[变式训练] 如果函数f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案例1 解：(1)因为P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y －13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝x 21＝4，得x 0＝±2.所以切点为(2，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43， 所以切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.变式训练 解：(1)因为f (2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．例2 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．变式训练 解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx (k ≠0)， 令f ′(x )＝0得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (2)由(1)知，若k >0时，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．若k <0时，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在(－1，1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．例3 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .又x ＝－1，x ＝23分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x . x ＝－2时，f (x )＝2，即(－2，2)在曲线上． 又切线斜率为k ＝f ′(x )＝－3x 2－x ＋2， f ′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 在变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.变式训练 解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.例4 (1)解：f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.变式训练 (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.例5 解：作出y ＝x 2－2x 的图象如图所示．(1)当a ＜0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，所以(a ＋1)(a －2)2＝0， 因为a ＜0，所以a ＝－1. (2)当a ＞0时， ①若0＜a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43， 所以a 3－3a 2＋4＝0， 即(a ＋1)(a －2)2＝0. 因为a ＞0，所以a ＝2. ②当a ＞2时，不合题意． 综上a ＝－1或a ＝2.变式训练 解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′ 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(x )， 所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝－3，所以∫20f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫14x 4＋13x 3f ′（1）|20＝－4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝a 可得A (－a ，a )，B (a ，a )，S ＝ (a －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －13x 3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －13a a ＝4a 323＝823， 解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2例6 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知： ↗↘↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0， 知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立， 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.变式训练 解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x .由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞； 由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32。

导数大题专项训练

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导数大题专项训练一．基本公式： 1.常见函数的导数：（1）0)(='C (C 为常数) （2） )(n x '=)(1+-∈N n nx n （3）（u x ）'=)0,0(1Q u u x ux u ∈≠>-且 （4）（x a ）'=a a x ln（5）（x a log ）'=ax x e a ln 1log 1= （a>0,a ≠1,x>0)（6）(sinx)'=cosx (7)(cosx)'=-sinx特别地 (x e )'=x e (lnx)'=x12.导数的四则运算：（1）[]()()''()'()f x g x f x g x ±=± （2）[]()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+ （3）[]()'()'cf x cf x =（4）'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭3.复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．二．例题精讲：1.已知函数b ax x x f ++=23）（的图象在点P(1,0)处的切线与直线3x+y=0平行。

（1）求常数a 、b 的值；（2）求函数f(x)在区间[0,4]上的最小值和最大值。

2.已知定义在R 上的函数()322f x x bx cx =-++(),b c R ∈，函数()()23x x f x F -=是奇函数，函数()x f 在1-=x 处取极值。

导数专项训练及答案

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导数专项训练例题讲解【1】导数的几何意义及切线方程1. 已知函数f(x) a在x 1处的导数为2,则实数a的值是x2. 曲线y=3x-x3上过点A( 2,-2)的切线方程为 _______________________ .1 23•曲线y 1和y x2在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是_.x4. 若直线y= kx-3与曲线y=2lnx相切，则实数k= ________ .5. 已知直线y x 2与曲线y In x a相切，则a的值为__________________ .6. 等比数列｛a n｝中，3 1^2012 9,函数f (x) x(x a0(x a2)L (x a2012) 2,则曲线y f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为 ____________________ .7. 若点P是曲线y=x2-Inx上的任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为 ____________ .8. 若点P、Q分别在函数y=e x和函数y=lnx的图象上，则P、Q两点间的距离的最小值是______ .9. 已知存在实数a,满足对任意的实数b,直线y x b都不是曲线y x3 3ax的切线，则实数a的取值范围是__________ .10. 若关于x的方程e x 3x kx有四个实数根，则实数k的取值范围是_____________________ .11. 函数f(x)=ax2+1(a>0), g(x)=x3+bx.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1, c)处具有公共切线，则c的值是____________ .【2】常见函数的导数及复合函数的导数x x1. f(x)=2 e2 e2 ,则f'2) = ____________.ln x2. 设曲线y = ——1在点(1,0)处的切线与直线x- ay+ 1 = 0垂直，则a =____________ .x I3 3 33 .函数f(x) (x 1)(x 2)L (x 100)在x 1处的导数值为__________________ .4. 已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是5. 若函数f (x) x n 1 n N*的图像与直线x 1交于点P，且在点P处的切线与x轴交点的横坐标为X n，则log2013 N log2013 X2 log2°13 X3 L log2013 X2012 的值为-------------6. 设f1(x)=cos x,定义f n 1(x)为f n(x)的导数，即f n 1(x) f'n(x), n N*,若ABC 的内角A 满足f/A) f2( A) L f2013( A) 0,则sin A 的值是____________ .【3】导数与函数的单调性1 21•函数y lx2 In X的单调递减区间为_____________ .f x f(X1 )2. 已知函数f (x) In x(a R)，若任意为、x［2,3］且X2 X i , t = 2—,则实数tX2 X i的取值范围_____________ .3. 已知函数f(x)=x3-6x2+9x+a在x R上有三个零点，则实数a的取值范是 _______ .4. 设f'(x)和g'(x)分别是f(x )和g(x)的导函数，若f'(x)g'(x) 0在区间I上恒成立，则称f(x)1 和g(x)在区间I上单调性相反若函数f(x)= -X3 2ax与g(x)=x2+2bx在开区间(a, b)上单调性3相反(a>0)，贝U b-a的最大值为_________ .【4】导数与函数的极值、最值3 2 21. 已知函数f (x) x 3mx nx m在x 1时有极值0,则m n ____________________ .2. 已知函数f (x) 2f (1)ln x x ,贝U f (x)的极大值为________________ .3. 已知函数f(x)=x4+ax3+2^+b,其中a, b R .若函数f(x)仅在x=0处有极值,则a的取值范围是_______________ .4. 设曲线y (ax 1)e x在点Axoy 处的切线为h ,曲线y 1 x e x在点B(X o』2)处的切3线为12.若存在x o 0,-，使得l1 I2,则实数a的取值范围为__________________ .5. 已知函数f(x)=e X-1, g(x)= -x2+4x-3若有f(a)=g(b),则b的取值范围为________ .13 2 26. f '(x)是函数f(x) ~x mx (m 1)x n的导函数，若函数y f［ f '(x)］在区间［m ,3m+1］上单调递减，则实数m的取值范围是 ___________ .【解答题】1. 某企业拟建造如上图所示的容器(不计厚度，长度单位：米),其中容器的中间为圆柱形，左80右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为乩立方米，且I 2r.假设该容器的建造3费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c c 3 .设该容器的建造费用为y千元.(1) 写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2) 求该容器的建造费用最小时的r22. 已知函数 f (x )= ax — ( a + 2) x + Inx.(1 )当a = 1时，求曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；(2)当a >0时，若f (x)在区间［1 , e )上的最小值为一2,求a 的取值范围.3. 已知函数 f(x) (x a)Inx ,( a 0).(1)当a 0时，若直线y 2x m 与函数y f (x)的图象相切，求m 的值；⑵若f (x)在1,2上是单调减函数，求a 的最小值； ⑶ 当x 1,2e 时，f (x)e 恒成立，求实数a 的取值范围.(e 为自然对数的底).2a4. 已知函数f (x) In x ——，a R .x(1) 若函数f (x)在［2，)上是增函数，求实数 a 的取值范围；(2) 若函数f(x)在［1，e ］上的最小值为3，求实数a 的值.5. 设函数 f (x) e x 1 x ax 211.4(2) 右当x 0时f (x)0，求a 的取值范围导数专项练习答案【1】 导数的几何意义及切线方程1. 2;2. y=-2 或 9x+y-16=03.3 . 44. 2,e ； 5 6.y 小2012 一 3 x 2 ;7. .2;8.2;1 9. a -1031 1. e - ; 2. e123. 3 99!4. 2x-y-1=0 ；5. -1【3】导数与函数的单调性1 111. (0, 1)；2.帀；3. (-4, 0)；4. 23 ； 0,3 e6. 1;(1 )若a 0,求f (x)的单调区间;【2】常见函数的导数及复合函数的导数【4】导数与函数的极值、最值1. 11 ；2. 2ln2-2 ；3. 838,3 ;4. 1 a32 ；5. 1,3 ;6. m 0[5]解答题1.答案解:(1)由题意可知r 2l 4 3 r 80 l 2r , 即1 80 4 r 2r,则0 r 23 3 3r2 3容器的建造费用为y 2 rl 3 4 r2 c 6 r 80 4 r 4 2 r c,3r2 3160r2 4 r2c,定义域为16 r 8 rc ,令y2 ,得c —,2x0 r 2 0,得r9 20①当3 c 2时，,；2 2,当0 r 2时，y0,函数单调递减，•••当r 2时y有最小值;②当c 9时，.:2：2,当0 r .. ■' 2；时,y 0;当r9综上所述,当3 c 时,建造费用最小时r2 2;当c 时,建造费用最小时r22.答案IA 题輛乐① 当”二1 时、$ xx | = 5 +—P... 1 分.t:.f i ■ - o,111 = —2, ....................................................................................................所以■切线方良是尸-2・ ............................................. .#!⑵函数f x 2ax当a 0时，f 2ax0, 2 x In x的定义域是0,+ ，1 2ax2 a 2 1 八a 2 —---------------------- x 0……5分x x22ax a 2 1 2x 1 ax 1--------------------- = --------------------- 0,x x........................................................... 6分0,当X丄幻"目卩皿三1时「厂门低［1・d上单调己孑a所以F⑴在［山“_!_的#d'1M^/(5=-2j .................................... 吒分1 1沽―一“时，兀T)在［九一」二的畫加值是/( -)<J (1)-4*下合杀意！10^a a时，了检)衽E小丁二嗨產族・a所应了⑴在一存贞］上的最小借杲f⑷疋/⑴=-氛不咅邈直 ....... ... 11分放口的取值为厲杪冷--------------------------- ------ - -- - 12分希為导較的几何談厶刊臣#财函忌壶值，3•解答解：〔L )当斗口时j f C x ) =K1IIX ■・・・f C x 3 =lrut+l・・■直线尸％+IT>与函数尸£ J J的图象栢切"■■■lnx+l=2> -\x=e '-'t C宅)-*i j・"■切.点为〔宅"电)丿・'-n>-—e iC 2) f? O)二lz+1—旦Vf Cx)在口上囚上是单调减函敷・「・严(s)=lnK+l--^0在［1 , 2］上恒成盒K-"-5clm<+x在［1 r21 上恒成立夺耳〔我〉=slns+K r贝U# ( X ) =llWc+2 y- 0■花 5)二显坤坛在［1 >迂］上单调递増.■- i> C 2 J =ZlnZ+2/-曲最小值为ZLLnS+Z ；t □ > | f C x ) | 丘■等价于-« C x™* J I EUE W e-"・_，一^M~a< eI JTK lnx/-R~- E—底直氐H+-C-lm(lnx设h〔乂)=x+—-— > t ( x i ―-—J则t【筈)nri日艾€ 3■羔h〔工)min』True lrix商h， Cx) JgJ—e j・.・k t ^) =□2Hili. K令玉〔兀7 =Kln^s_e J苑U [1 厦Ze] J则$ I K)-I IL^X+I TLK> 0「■h〔丑7 [ 1 J2e 1 J" 调iM増丄「・h ( K? min=h〔已〉=2e iv•--■t.f( X J =14-—> 0 J -■- t ( KT 3 ^[1 , Ze]上单调谨増”-*-t C K ) iYiax=t 〔Ze ) =Ze-ln2e上j 2e_----------- - ——宅五€2~ .In2e试題解析t躺(1> ••丁加“X+兰…丄-牛.㈤往|2円。

高二数学导数练习题及答案

高二数学导数练习题及答案

高二数学导数练习题及答案导数是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际问题中具有广泛的应用。

为了帮助高二学生巩固导数的知识和提高解题能力，本文为大家准备了一些高二数学导数练习题及答案。

希望通过这些练习题的训练，同学们能够更好地理解导数的概念和运用。

练习题一：1. 求函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 在点 x = 2 处的导数。

2. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x，求函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数。

3. 求函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数。

答案一：1. 函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 的导数为：f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。

2. 函数 f(x) = x^2 + 3x 的导函数为：f'(x) = 2x + 3。

3. 函数 f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3) 在点 x = -1 处的导数为：f'(-1) = 0。

练习题二：1. 求函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点及极值。

2. 已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x+ 2 的拐点。

3. 求函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点。

答案二：1. 函数 f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 1 的极值点为 x = 1/2，极值为 f(1/2) = 47/16。

2. 函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 的拐点为 x = 2。

3. 函数 f(x) = x^3 - 3x 在其定义域内的极值点为 x = 1。

练习题三：1. 求函数 f(x) = e^x 的导数。

2. 已知函数 f(x) = ln(x)，求函数 f(x) = ln(x) 的导函数。

高二导数选择题专项训练100题有答案

高二导数选择题专项训练100题有答案

导数专项训练100题 姓名：一、选择题：1.函数221y x =+在闭区间[1,1]x+∆内的平均变化率为（ ） A.12x +∆ B.2x +∆ C.32x +∆ D.42x +∆2. 若函数2y x=，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（ ）A.1B.1-C.2D.2-3. 函数31y x x=-的导数'y =（ ）A.2213x x -B.1332x -C.2213x x +D.221x x + 4. 已知函数()ln f x x =，则'()ef e 的值等于（ ）A.1B.eC.1eD.2e 5. 已知函数2()22f x x x =-+在区间[1,1],[1,1](01)x x x -∆+∆<∆<的平均变化率分别为12,k k ，则下列关系成立的是（ ） A.120k k +=B.120k k +<C.120k k +<D.120k k ->6.()f x 在(,)a b 内可导，则'()0f x <是()f x 在(,)a b 内单调递减的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7.函数214yx x=+的单调增区间为（ ） A.(0,)+∞ B.1(,)2+∞C.(,1)-∞-D.1(,)2-∞-8.在下列结论中，正确的结论共有（ ）(1) 单调增函数的导数也是单调增函数； （3）单调减函数的导数也是单调减函数； (2) 单调函数的导数也是单调函数； （4）导函数是单调的，则原函数也是单调的。

A.0个 B.2个 C.3个 D.4个 9. 若在区间(,)a b 内有'()0f x >，且()0f a ≥，则在(,)a b 内有（ ）A.()0f x >B.()0f x <C.()0f x =D.不能确定10. 三次函数3()1yf x ax ==-在(,)-∞+∞内是减函数，则（ ）A.1a =B.2a =C.13a = D.0a <11.已知函数(),()f x g x 都是(,)a b 上的可导函数，在[,]a b 上连续且'()'(),()()f x g x f a g a >=，则当(,)x a b ∈时有（ ）A.()()f x g x >B.()()f x g x <C.()()f x g x =D.大小关系不能确定12.3()3f x x x =-为递增函数的区间是（ ） A.(,1)-∞- B.(1,)+∞ C.(1,1)-D.(,1)(1,)-∞-+∞13.设32()(0)f x ax bx cx d a =+++>，则()f x 为增函数的充要条件是（ ）A.240b ac ->B.0,0b c >>C.0,0b c =>D.230b ac -<14.下列说法正确的是（ ） A. 当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极大值 B. 当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极小值 C. 当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极值 D. 当0()f x 为()f x 的极值时，0'()0f x =.15.已知函数()1sin ,(0,2)f x x xx π=+-∈，则函数()f x （ ） A. 在(0,2)π上是增函数, B. 在(0,2)π上是减函数C. 在(0,2)π上是增函数，在(,2)ππ上是减函数D. 在(0,2)π上是减函数，在(,2)ππ上是增函数 16.若函数()f x 可导，则“'()0f x =有实根”是“()f x 有极值”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件17.已知函数()y f x =是定义在区间[,]a b 上的连续函数，在开区间(,)a b 内可导，且'()0f x >，则在(,)a b 上下列各结论中正确的是（ ） A.()f a 是极小值，()f b 是极大值 B. ()f a 是极大值，()f b 是极小值 C. ()f x 有极值，但不是(),()f a f b D. ()f x 没有极值18.函数3()33f x x bx b=-+在(0,1)内有极小值，则（ ）A.0b <B.1b <C.0b >D.12b <19.三次函数当1x=时有极大值4，当3x =时有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ） A.3269y x x x =++ B.3269y x x x =-+ C.3269y x x x =-- D.3269y x x x =+-20.函数3()3(||1)f x x x x =-<，那么（ ）A. 有最大值，无最小值B. 有最大值，也有最小值C. 无最大值，也无最小值D. 既有最大值，又有最小值 21.若(3)2,'(3)2f f ==-，则323()lim3x x f x x →--的值为（ ）A.4-B.8C.0D.322.若函数()f x 为可导函数，且满足0(1)(1)lim12x f f x x→--=，则过曲线()f x y =上的点(1,(1))f 处的切线的斜率为（ ）A.2B.1-C.1D.2-23.若曲线4()2f x x x =-+在点P 处的切线与直线310x y +-=垂直，则点P 的坐标为（ ） A.(1,0) B.(1,2) C.(1,4)- D.(1,0)- 24.已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为（ ）A.2()(1)3(1)f x x x =-+-B.()2(1)f x x =-C.2()2(1)f x x =-D.()1f x x =- 25.曲线cos y x =和tan y x =交点处两曲线的切线的交角为（ ）A.3π B.4π C.4π D.2π26.如果过曲线313yx =上点P 的切线l 的方程为12316x y -=，那么点P 的坐标为（ ） A.8(2,)3 B.4(1,)3- C.28(1,)3-- D.20(3,)327.如果一直线过原点且与曲线11y x =+相切与点P ，那么切点P 的坐标为（ ）A.1(,2)2-B.12(,)23-C.(2,1)--D.1(2,)328.若在曲线sin (0)y x x π=<<上取一点M ，使过M点的切线与直线y x =平行，则点M 的坐标为（ ）A.(3πB.(,3π±C.1(,)62πD.(6π 29.若函数()f x 既是周期函数又是偶函数，则其导函数'()f x 为（ ）A. 既是周期函数，又是偶函数B. 既是周期函数，又是奇函数C. 不是周期函数，但是偶函数D. 不是周期函数，但是奇函数30.已知抛物线2y ax bx c =++过点(1,1)，且在点(2,1)-处的切线方程为3y x =-，则a 、b 、c 的值分别是（ ） A.3,11,9- B.11,3,9- C.9,11,3- D.9,3,11-31.如果一个球的半径r 以0.2/cm s 的速度增加，那么当球的半径20r cm =时，它的体积增加的速度为（ ）3/cm s A.310π B.320π C.330π D.360π32.若函数()f x 在0x 处可导，则000()()lim h f x f x h h→--为（ ）A.(0)fB.'(0)fC.0'()f xD.0'()f x -33.若函数()f x 在0x 处可导，那么000()()lim x x f x f x x x →--为（ ）A.可能不存在B.0'()f x -C.0'()f xD.0()f x34.若函数()f x 在x a =处可导，且'()f a m =，则(2)(2)limx a f x a f a x x a →----为（ ） A.m B.2mC.3mD.m -35. 若f (x )=sin α－cos x ,则f ‘(α)等于（ ） A 、sin αB 、cos αC 、sin α+cos αD 、2sin α36.f (x )=ax 3+3x 2+2,若f ‘(－1)=4,则a 的值等于（ ）A 、319 B 、316 C 、313 D 、310 37．f (x )与g(x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x ),g(x )满足f ′(x )=g ′(x ),则f (x )与g (x )满足（ ）A 、f (x )=g (x )B 、f (x )－g (x )为常数函数C 、f (x )=g (x )=0D 、f (x )+g (x )为常数函数38. 曲线()nyx n N =∈在点P 2n）处切线斜率为20，那么n 为 （ ）A ． 7B ．6C ．5D ．439.函数()f x = （ ）A ．0)x > B ．0)x > C 0)x > D ．0)x >40.函数f(x)=(x+1)(x 2-x+1)的导数是 （ ）A ． x 2-x+1B ．(x+1) (2x-1)C ．3x 2D ．3x 2+141.函数yx =的导数为 （ ）A ．'y x x = B ．'y x =C.'y x = D ．'y x = 42.函数y= （ ）A ．'2cos sin x x x y x += B.'2cos sin x x x y x -=． C.'2sin cos x x x y x -= D ．'2sin cos x x x y x +=43.函数21(31)y x =-的导数是 （ ） A ．'36(31)y x =- B ．'26(31)y x =- C.'36(31)y x =-- D ．'26(31)y x =--44.函数3sin (3)4y x π=+的导数 （ ）A.23sin (3)cos(3)44x x ππ++B.29sin (3)cos(3)44x x ππ++C.29sin (3)4x π+D.29sin (3)cos(3)44x x ππ-++ 45.下列导数数运算正确的是 （ ）A ．'211()1x x x +=+ B ．'21(log )ln 2x x = C.'3(3)3log x xe = D ．2'(cos )2sin x x x x =-46.函数2ln(32)y x x =--的导数 （ ）A ．23x + B ．2132x x -- C ．22223x x x ++- D ．22223x x x -+-47.函数22(0,1)x xy aa a -=>≠，那么'y 为 （ ）A ． 22ln xxa a - B ．222ln xxa a - C.222(1)ln xxx a a -- D ．22(1)ln xxx a a --48.若000(2)()13limx f x x f x x∆→+∆-=∆，则'0()f x = （ ）A ．23B ．32C ．3D ．249. 已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0∈（a，b）则hhxfhxfn)()(lim--+→的值为（）A、f’(x0)B、2 f’(x0)C、-2 f’(x0)D、050.f(x)=ax3+3x2+2，若f’(-1)=4，则a的值为（）A．19/3 B.16/3 C.13/3 D.10/351.设y=8x2-lnx，则此函数在区间(0,1/4)和(1/2,1)内分别为（）A．单调递增，单调递减 B、单调递增，单调递增 C、单调递减，单调递增 D、单调递减，单调递减52.设y=tanx，则y’=( )A.sec2xB.secx·tanxC.1/(1+x2)D.-1/(1+x2)53.曲线y=x3+x-2 在点P0处的切线平行于直线y=4x-1，则点P0点的坐标是（）54．(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(1,4)54.给出下列命题：（1）若函数f(x)=|x|，则f’(0)=0；（2）若函数f(x)=2x2+1，图像上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)，则xy∆∆=4+2Δx；（3）加速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数；（4）y=2cosx+lgx，则y’=-2cosx·sinx+x1.其中正确的命题有（）A. 0个B.1个C.2个 D。

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高二A 部导数专项训练（2）
班级 姓名 学号 等第
1、已知1()cos f x x x =，则()()2f f ππ'+= .
2、已知曲线x x y 1-
=在点B A ,处的切线斜率都等于5，则AB 的长为 .
3、设x x x f sin 2)(-=，若0)(0='x f ，且),0(0π∈x ，则=0x .
4、曲线12++=x xe y x 在点)1,0(处的切线方程为 .
5、函数12ln y x x =
+的单调减区间为 .
6、一物体的运动方程是()221s t =+，则该物体在 1.2t =时的瞬时加速度为 .
7、曲线x x y +=
331在点4(1,)3
处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 .
8、设点A 为奇函数a a x x x f ()(3++=为常数）图像上一点，在点A 处的切线平行于直 线x y 4=，则点A 点的坐标为 .
9、已知32()f x ax bx c =++，其导函数()f x '的图象如右图，则函数()f x 的极小值是 .
10、函数231x x y ++=
的极大值是 .
11、方程3269100x x x -+-=的实根个数是 .
12、已知函数)1('2)(2xf x x f +=，则=)0('f .
13、设m R ∈，已知函数22()2(12)32f x x m x m x m =--+-+-，若曲线()y f x =在 0x =处的切线恒过定点P ，则点P 的坐标为 .
14、经过点)0,2(且与曲线x y 1=
相切的直线方程为 .
15、已知函数322()2f x x ax a x =+-+．
（1）若1a =，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；
（2）若0a ≠，求函数()f x 的单调区间.
16、已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -
（1）求实数,a b 的值；
（2）若函数()f x 有极大值28，求函数()f x 在区间[]3,3-上的最大值．
17、已知,a b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．
（1）求实数a 和b 的值；
（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求函数()g x 的极值点．
18、已知函数23()1(0),()f x ax a g x x bx =+>=+．
（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求实数,a b 的
值；
（2）当3,9a b ==-时，若函数()()y f x g x =+在区间[],2k 上的最大值为28，求实数 k 的取值范围．。

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