高中数学 线性规划复习基础知识分析 新人教A版必修5
高中数学 3.3.2简单的线性规划问题课件 新人教A版必修5
(1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x，y)到达点 M(0，5)的
距离的平方，过 M(0，5)的距离的平方，过 M 作 AC 的垂线，易知 栏
目
垂足 N 在 AC 上，故
链
接
MN＝ 1|＋0－（5－＋21）| 2＝ 32＝322.
MN2＝3
2
22＝92，故
z
的最小值为29.
完整版ppt
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5
解析：作出不等式组表示的平面区域(即可行域)．
(1)将 w＝x＋2y 变形为 y＝－12x＋w2，得到斜率为－12，在 y 轴上
截距为w2的一簇随 w 变化的平行直线，作过原点的直线 y＝－12x，由
栏
图 1 可知，当平移此直线过点(0，2)时，直线在 y 轴上的截距w2最大，目链
接
目 链
接
点评：由题目可获得以下主要信息：在约束条件下，
①求 z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋(y－5)2 的最小值；②求 z＝2xy＋＋11
＝2·x－y－（－－121） 的取值范围．解答本题可先将目标函数变形找到它的
几何意义，再利用解析几何完知整识版求pp最t 值．
11
解析：作出可行域，如图 A(1，3)，B(3，1)，C(7，9)．
9
把 z＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在 y 轴上的
截距为 z，随 z 变化的一簇平行直线．
由图可以看出，当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截距 栏
z 最大，经过点 B 时，截距 z 最小．
目 链
解方程组x3－x＋4y5＋y－3＝25＝0，0，得 A 点坐标为(5，2)．
范围是( )
栏
高中数学新课标人教A版必修5课件线性规划
目录
01.
02.
03.
04.
05.
06.
线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性目标函数在满足一组线性约束条件下的最优解。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，即目标函数和约束条件中的变量和常数都是线 性的。
线性规划的目标是找到一组决策变量，使得目标函数达到最大值或最小值，同时满足所有的 约束条件。
线性规划在资源分 配中的应用
资源分配问题的定 义和分类
线性规划在资源分 配问题中的求解方 法
线性规划在资源分 配问题中的实际应 用案例
投资目标：最大化投资收 益
投资约束：资金有限、风 险控制等
投资策略：分散投资、风 险对冲等
投资效果评估：投资回报 率、风险调整后收益等
运输问题：在满足一定约束条件下，寻找最优的运输方案，以最小化运输成本或最大化运输 收益
确定约束条件的类 型，如等式约束、 不等式约束等
确定约束条件的 范围，如 x1+x2≤5等
确定约束条件的 数量，如 x1+x2+x3=5等
目标函数是线性规 划的核心，需要明 确表示出要优化的 目标
目标函数通常表示 为最大化或最小化 某个线性函数
目标函数中的变量 需要与约束条件中 的变量一致
目标函数中的系数 需要是常数，不能 含有变量
线性规划是研究线性约束条件下的优化问题的数学方法
线性规划的目标是找到一组决策变量，使得目标函数达到最大值或最小值
线性规划的几何意义在于，它可以将线性规划问题转化为几何问题，通过几何图形来 直观地表示和解决问题
线性规划的几何意义可以帮助我们更好地理解和解决线性规划问题，提高解决问题的 效率和准确性
人教A版高中数学必修五高考二轮复习新第课时线性规划
课题：线性规划教学目标：掌握一元二次不等式表示平面区域的方法：直线定界，代点定域；线性规划问题的图解法及其应用。
教学重点：图解法求解线性规划问题的步骤（一） 主要知识及方法： 1.二元一次不等式表示平面区域.()1一般地，二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的平面区域（半平面）不含边界线；不等式0Ax By C ++≥所表示的平面区域（半平面）包括边界线．()2判定不等式0>++C By Ax （或0<++C By Ax ）所表示的平面区域时，只要在直线0=++C By Ax 的一侧任意取一点),(00y x ，将它的的坐标代入不等式,如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域。
()3由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．另外：规律总结：0>++C By Ax ，(视“>”为“+”,“<”为“-”)，分别计算：A 的符号与“>”或“<”的积；B 的符号与“>”或“<”的积； “左下负,右上正”.2.线性规划问题的图解法：2用图解法解决线性规划问题的一般步骤① 设出所求的未知数；②列出约束条件（即不等式组）；③建立目标函数； ④ 作出可行域；⑤运用图解法求出最优解.3.解法归类：()1图解法；()2列表法；()3待定系数法；()4调整优值法；()5打网格线法.()6交点定界法.4.注意运用线性规划的思想解题.（二）典例分析：问题1．()1不等式240x y -->表示的平面区域在直线240x y --=的.A 左上方 .B 右上方.C 左下方 .D 右下方 ()2（05全国Ⅰ）在坐标平面上，不等式组131y x y x -⎧⎪⎨-+⎪⎩≥≤所表示的平面区域的面积为.A2.B 23.C 223.D 2()3画出不等式组5003x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤表示的平面区域，并回答下列问题：①指出,x y 的取值范围；②平面区域内有多少个整点？(尽可能多种解法)()4已知点()1,3A 、()1,4B --在直线310ax y ++=的异侧，则a 的取值范围是问题2．()1（05湖南）已知点(),P x y 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是 .A []2,1-- .B []2,1- .C []1,2- .D []1,2()2（07辽宁）已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是 .A 965⎛⎫ ⎪⎝⎭， .B [)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U ，， .C (][)36-∞+∞U ，， .D [36]，()3（06湖南）已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是()4（06重庆）已知变量,x y 满足约束条件：1≤x y +≤4,2-≤x y -≤2.若目标 函数z ax y =+ (其中0a >)仅在点()3,1处取得最大值，求a 的取值范围.问题3．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的利益，而且要考虑可能出现的亏损。
高中数学 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题常
线性规划的常见题型及其解法线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求线性目标函数的最值． 2．求非线性目标函数的最值． 3．求线性规划中的参数． 4．线性规划的实际应用．本节主要讲解线性规划的常见基础类题型．【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b，通过求直线的截距z b的最值，间接求出z 的最值．【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－23x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23．【答案】A【母题二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．点(x ，y )在不等式组表示的平面区域内，y 2x －1＝12·y －0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12表示点(x ，y )和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0连线的斜率；x 2＋y 2表示点(x ，y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y )和点(－3,2)的距离的平方．【解析】(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．∵z ＝y 2x －1＝y －0x －12×12∴z 的值即是可行域中的点与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－12×12＝29． (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29．∴2≤z ≤29．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是： 可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝－3－2＋－2＝8∴16≤z ≤64．1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义． 2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝y cx －d ，z ＝ay －bx，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．【提醒】 注意转化的等价性及几何意义．角度一：求线性目标函数的最值1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8．【答案】B2．(2015·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函数经过点(0,3)时，z 取得最大值18．【答案】C3．(2013·高考陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2【解析】如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6．【答案】A角度二：求非线性目标的最值4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13．【解析】C5．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围 ．【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1的取值范围可转化为点(x ，y )与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A 点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z 的取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．【答案】(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)6．(2015·郑州质检)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]【解析】如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．【答案】B7．(2013·高考北京卷)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255． 【答案】2558．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1．点A (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3－4－9|5＝2，则|AB |的最小值为4．【答案】B角度三：求线性规划中的参数9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A ．73 B ．37 C ．43D ．34【解析】不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43．因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52．当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73．【解析】A10．(2014·高考北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12【解析】D 作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12．【答案】D11．(2014·高考安徽卷)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B ＞z C 或z A ＝z C ＞z B 或z B＝z C ＞z A ，解得a ＝－1或a ＝2．法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2．【答案】D12．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4.下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，，则交点为B (4－s,2s －4)，y ＋2x ＝4与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为C ′(0,4)，x ＋y ＝s 与y 轴的交点为C (0，s )．作出当s ＝3和s ＝5时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示．(1) (2)当3≤s ＜4时，可行域是四边形OABC 及其内部，此时，7≤z max ＜8； 当4≤s ≤5时，可行域是△OAC ′及其内部，此时，z max ＝8． 综上所述，可得目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是[7，8]． 【答案】D13．(2015·通化一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．【解析】∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋y ＋x ＋1，而y ＋1x ＋1表示过点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，易知a ＞0， ∴可作出可行域，由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14，即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－－3a －－＝13a ＋1＝14⇒a ＝1．【答案】1角度四：线性规划的实际应用14．A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．【解析】 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z＝300x ＋400y ．画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点A 处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700．故最大利润是1 700元．【答案】1 70015．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300．(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋－x －y ，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300． 作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)【解析】根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0．即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24． 【答案】B2．(2015·临沂检测)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．3【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C (0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即z min ＝－3．【答案】A3．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】如图作可行域，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2．【答案】D4．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5 【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5．【答案】D5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．0【解析】由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b －78(b －2)＜0，∴78＜b ＜2，∴b 应取的整数为1．【答案】B6．(2014·郑州模拟)已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)【解析】如图，根据题意得C (1＋3，2)．作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点B (1,3)和C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取范围的边界值，即－(1＋3)＋2<z <－1＋3，∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－3，2)．【答案】A7．(2014·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．1【解析】作出可行域如图所示，当点P 位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝1，的交点(1,1)时，(k OP )max ＝1．【答案】D8．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．14【解析】不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，所表示的可行域如图所示，设a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，则此两目标函数的范围分别为a ＝x ＋y ∈[0,1]，b ＝x －y ∈[－1,1]，又a ＋b ＝2x ∈[0,2]，a －b ＝2y ∈[0,2]，∴点坐标(x ＋y ，x －y )，即点(a ，b )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，－1≤b ≤1，0≤a ＋b ≤2，0≤a －b ≤2，作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S ＝12×2×1＝1．【答案】B9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab 的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)【解析】作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过点A (1,1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4，∵a ＞0，b ＞0，∴ab ∈(0，4]．【答案】B10．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的最大值S ＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4π．【答案】D11．(2015·东北三校联考)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3．【答案】B12．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7．法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．图(1) 图(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)，则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．【答案】B13．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12 B ．π4C ．1D ．π2【解析】因为ax ＋by ≤1恒成立，则当x ＝0时，by ≤1恒成立，可得y ≤1b(b ≠0)恒成立，所以0≤b ≤1；同理0≤a ≤1．所以由点P (a ，b )所确定的平面区域是一个边长为1的正方形，面积为1．【答案】C14．(2013·高考北京卷)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53【解析】当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m ＜0．如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m＜－12m －1，解得m ＜－23．【答案】C15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)【解析】平面区域D 如图所示．要使指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，所以1＜a ≤3． 【解析】A16．(2014·高考福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49【解析】由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1．显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6．∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37．【解析】C17．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k x －－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】已知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示． 当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1)．当直线y ＝k (x －1)－1与y ＝x 平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k ＞1时，也可形成三角形，综上可知k ＜－1或k ＞1．【答案】D18．(2016·武邑中学期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解析】区域如图所示，目标函数z ＝2x ＋y 在点A (3,2)处取得最大值，最大值为8．【答案】C19．(2016·衡水中学期末)当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1【解析】画出可行域如图所示，目标函数z ＝x －3y 变形为y ＝x 3－z3，当直线过点C 时，z 取到最大值，又C (m ，m )，所以8＝m －3m ，解得m ＝－4． 【答案】A20．(2016·湖州质检)已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan∠AOB 的最大值等于( )A ．94 B ．47 C ．34D ．12【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，观察图形可知当A 为(1,2)，B 为(2,1)时，tan ∠AOB 取得最大值，此时由于tan α＝k BO ＝12，tan β＝k AO ＝2，故tan ∠AOB ＝tan (β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝2－121＋2×12＝34． 【解析】C 二、填空题21．(2014·高考安徽卷)不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4．【答案】422．(2014·高考浙江卷)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．【解析】作出可行域，如图，作直线x ＋y ＝0，向右上平移，过点B 时，x ＋y 取得最小值，过点A 时取得最大值．由B (1,0)，A (2,1)得(x ＋y )min ＝1，(x ＋y )max ＝3．所以1≤x ＋y ≤3． 【答案】[1,3]23．(2015·重庆一诊)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为____．【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z ＝3x －y ，∴y ＝3x －z ，当该直线经过点A (2,2)时，z 取得最大值，即z max ＝3×2－2＝4．【答案】424．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．【解析】目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝322，所以w min ＝92．【答案】9225．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM |的最小值，∴|OM |min ＝|－2|12＋12＝2．【答案】 226．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．【解析】设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，利润z ＝5x ＋3y ，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x＝3，y＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．【答案】2727．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：________亩．【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z万元，则目标函数为z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y．线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤50，1.2x＋0.9y≤54，x≥0，y≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤50，4x＋3y≤180，x≥0，y≥0.画出可行域，如图所示．作出直线l0：x＋0．9y＝0，向上平移至过点A时，z取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝50，4x＋3y＝180，解得A(30,20)．【答案】3028．(2015·日照调研)若A为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，y≥0，y－x≤2表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．【解析】平面区域A 如图所示，所求面积为S ＝12×2×2－12×22×22＝2－14＝74．【答案】7429．(2014·高考浙江卷)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则a >0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32．所以a 的取值范围是1≤a ≤32．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3230．(2015·石家庄二检)已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．【解析】由目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°，于是有－k ＝tan 120°＝－3，所以k ＝3．【答案】 331．设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围 ．【解析】变换目标函数为y ＝－1m x ＋z m ，由于m >1，所以－1<－1m<0，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线y ＝－1m x ＋zm在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A 处取得最大值，由y ＝mx ，x ＋y ＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋m ，m 1＋m ，所以目标函数的最大值z max＝11＋m ＋m 21＋m<2，所以m 2－2m －1<0，解得1－2<m <1＋2，故m 的取值范围是(1,1＋2)．【答案】(1,1＋2)32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．【解析】不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，目标函数可变形为y ＝x －z ，当z 最小时，直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大．当z 的最小值为－1，即直线为y ＝x ＋1时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标为(2,3)，此时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2，即直线为y ＝x ＋2时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标是(3,5)，此时m ＝3＋5＝8．故m 的取值范围是[5,8]．目标函数z ＝x －y 的最大值在点B (m －1,1)处取得，即z max ＝m －1－1＝m －2，故目标函数的最大值的取值范围是[3,6]．【答案】[3,6]33．(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．【解析】线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条 ，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)都在直线x ＋y ＝4上，故T 中的点共确定6条不同的直线． 【答案】634．(2011·湖北改编)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．【解析】∵a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，∴a ·b ＝2(x ＋z )＋3(y －z )＝0，即2x ＋3y －z ＝0．又|x |＋|y |≤1表示的区域为图中阴影部分，∴当2x ＋3y －z ＝0过点B (0，－1)时，z min ＝－3，当2x ＋3y －z ＝0过点A (0,1)时，z min ＝3． ∴z ∈[－3,3]． 【答案】[－3,3]35．(2016·衡水中学模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．【解析】作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意． 若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m 的动直线y ＝－1m x ＋zm，若m ＜0，则－1m＞0，由数形结合知，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m ＞0，则－1m＜0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m＝－1，则m ＝1．综上可知，m ＝1． 【答案】1。
高中数学新人教A版必修5教案3.3.2简单线性规划问题
简单线性规划问题冷静讲课本节课先由师生共同剖析平时生活中的实质问题来引出简单线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集能够表示为直角坐标平面上的地区引出问题：在直角坐标系内，怎样用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的地区求解问题？再从一个详细的二元一次不等式（组）下手，来研究一元二次不等式表示的地区及确立的方法，作出其平面区域，并经过直线方程的知识得出最值. 经过详细例题的剖析和求解，在这些例题中设置思虑项，让学生研究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的地区的观点，有益于二元一次不等式（组）与平面地区的知识的稳固.“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新纲领》对数学知识应用的重视. 线性规划是利用数学为工具，来研究必定的人、财、物、时、空等资源在必定条件下，怎样精打细算巧安排，用最少的资源，获得最大的经济效益. 它是数学规划中理论较完好、方法较成熟、应用较宽泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等很多方面的实质问题. 中学所学的线性规划不过规划论中的极小一部分，但这部分内容表现了数学的工具性、应用性，同时也浸透了化归、数形联合的数学思想，为学生此后解决实质问题供给了一种重要的解题方法——数学建模法. 经过这部分内容的学习，可使学生进一步认识数学在解决实质问题中的应用，培育学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力 .依照课程标准及教材剖析，二元一次不等式表示平面地区以及线性规划的有关观点比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透辟理解，再加上学生对代数问题等价转变为几何问题以及数学建模方法解决实质问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为认识层次.本节内容浸透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教课的好教材，也是培育学生察看、作图等能力的好教材.本节内容与实质问题联系密切，有益于培育学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实质问题的能力 .教课要点要点是二元一次不等式（组）表示平面的地区.教课难点难点是把实质问题转变为线性规划问题，并给出解答. 解决难点的要点是依据实质问题中的已知条件，找出拘束条件和目标函数，利用图解法求得最优解. 为突出要点，本节教课应指导学生牢牢抓住化归、数形联合的数学思想方法将实质问题数学化、代数问题几何化.三维目标一、知识与技术1.掌握线性规划的意义以及拘束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本观点;2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实质问题.二、过程与方法1.培育学生察看、联想以及作图的能力，浸透会合、化归、数形联合的数学思想，提升学生“建模”和解决实质问题的能力;2. 联合教课内容，培育学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.三、感情态度与价值观1.经过本节教课侧重培育学生掌握“数形联合”的数学思想，只管重视于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培育学生察看、联想、猜想、概括等数学能力;2. 联合教课内容，培育学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.教课过程第 1课时导入新课师前方我们学习了二元一次不等式x+ y+ ＞ 0 在平面直角坐标系中的平面地区确实定方法，A B C请同学们回想一下 .（生回答）推动新课［合作研究］师在现实生产、生活中，常常会碰到资源利用、人力分配、生产安排等问题.比如，某工厂用 A、 B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用 4 个A产品耗时 1小时，每生产一件乙产品使用4个 B 产品耗时 2 小时，该厂每日最多可从配件厂获取16个A配件和 12 个B配件，按每日工作8 小时计算，该厂全部可能的日生产安排是什么？设甲、乙两种产品分别生产x、 y 件，应怎样列式？x 2 y 8,4x16,生由已知条件可得二元一次不等式组： 4 y12,x0,y0.生 （板演）师 比较课本 98 页图 3.39 ，图中暗影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表全部可能的日生产安排，即当点P （ x,y ）在上述平面地区中时，所安排的生产任务x 、 y 才存心义 .进一步，若生产一件甲产品赢利2 万元，生产一件乙产品赢利3万元，采纳哪一种生产安排收益最大？设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件时，工厂获取收益为z ，则怎样表示它们的关系？生 则 z=2x+3y.师 这样，上述问题就转变为：当x 、 y 知足上述不等式组并且为非负整数时， z 的最大值是多少？［教师精讲］师 把 z=2x+3y 变形为 y2x 1z ,这是斜率为2，在 y轴上的截距为1z 的直线 . 当 z 变3333化时能够获取什么样的图形？在上图中表示出来 .生 当 z 变化时能够获取一组相互平行的直线. （板演）师 因为这些直线的 斜率是确立的，所以只需给定一个点〔比如（ 1， 2）〕，就能确立一条直线y2 x1z ，这说明，截距 z3 能够由平面内的一个点的坐标独一确立 . 能够看到直线3 3y 2x1 z与表示不等式组的地区的交点坐标知足不等式组，并且当截距z最大时，z 取333最大值，所以，问题转变为当直线y2x 1z 与不等式组确立的地区有公共点时，能够在3 3地区内找一个点P ，使直线经过 P 时截距z 最大.3由图能够看出，当直线y2x 1 z 经过直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点 M （ 4， 2）时，截33距 z最大，最大值为14. 此时2x+3y=14. 所以，每日生产甲产品 4 件，乙产品 2 件时，工厂可33获取最大收益 14万元.［知识拓展］再看下边的问题：分别作出x=1 ， x-4y+3=0 ， 3x+5y-25=0 三条直线，先找出不等式组所表示的平面地区（即三直线所围成的关闭地区）, 再作直线 l 0:2x+y=0.而后，作一组与直线l 0 平行的直线： l:2x+y=t,t∈R （或平行挪动直线l 0 ），从而察看 t 值的变化： t=2x+y ∈［ 3,12 ］ .x 4 y3,若设 t=2x+y ，式中变量x、 y 知足以下条件3x5y25, 求t的最大值和最小值.x 1.剖析：从变量x 、 y 所知足的条件来看，变量x 、 y 所知足的每个不等式都表示一个平面地区，不ABC.等式组则表示这些平面地区的公共地区作一组与直线l 0平行的直线： l:2x+y=t,t∈R（或平行挪动直线l 0），从而察看t值的变化：t=2x+y ∈［ 3,12 ］ .(1)从图上可看出，点（0， 0）不在以上公共地区内，当x=0， y=0 时， t=2x+y=0. 点（ 0， 0）在直线l 0： 2x+y=0 上 . 作一组与直线l 0平行的直线（或平行挪动直线l 0)l:2x+y=t,t∈R.可知，当l 在 l 0的右上方时，直线l 上的点（ x,y) 知足 2x+y ＞ 0, 即 t ＞ 0.并且，直线l 往右平移时，t 随之增大（指引学生一同察看此规律）.在经过不等式组所表示的公共地区内的点且平行于l的直线中，以经过点B（5，2）的直线l 2所对应的t最大，以经过点A （1，1）的直线l 1所对应的t最小.所以t max=2×5+2=12,t min=2×1+3=3.(2)(3)［合作研究］师诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、 y 的拘束条件，因为这组拘束条件都是对于x、y 的一次不等式，所以又可称其为线性拘束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所波及的变量x、 y 的分析式，我们把它称为目标函数. 因为 t=2x+y 又是对于x 、 y 的一次分析式，所以又可叫做线性目标函数.此外注意：线性拘束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性拘束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. 例如：我们方才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性拘束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题 .那么，知足线性拘束条件的解（x,y)叫做可行解，由全部可行解构成的会合叫做可行域. 在上述问题中，可行域就是暗影部分表示的三角形地区. 此中可行解（ 5， 2）和（ 1， 1）分别使目标函数获得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.讲堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.第一，要依据线性拘束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共地区）.2.设 t=0 ，画出直线 l 0.3.察看、剖析，平移直线l 0，从而找到最优解 .4.最后求得目标函数的最大值及最小值.部署作业1.某工厂用两种不一样原料均可生产同一产品，若采纳甲种原料，每吨成本 1 000 元，运费 500元，可得产品 90 千克；若采纳乙种原料，每吨成本为1500 元，运费400 元，可得产品100 千克，假如每个月原料的总成本不超出 6 000 元，运费不超出 2 000 元，那么此工厂每个月最多可生产多少千克产品？剖析：将已知数据列成下表：甲原料（吨）乙原料（吨）花费限额成本 1 000 1 500 6 000运费500400 2 000产品90100解：设此工厂每个月甲、乙两种原料各x 吨、 y 吨，生产 z 千克产品，则x0,y0,1000 x1500 y6000,500x400 y2000,z=90x+100y.作出以上不等式组所表示的平面地区，即可行域，如右图：2x3y12,x12 ,得7由4y20.205xy.7令 90x+100y=t ，作直线 :90x+100y=0 ，即 9x+10y=0 的平行线 90x+100y=t ，当 90x+100y=t 过点 M（12,20）时，直线 90x+100y=t 中的截距最大 .7 7由此得出 t 的值也最大， z max =90×12+100×20=440.77答：工厂每个月生产 440 千克产品 .2. 某工厂家具车间造、B 型两类桌子，每张桌子需木匠和漆工两道工序达成. 已知木匠做一张A、B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时，漆工油漆一张、型桌子分别需要 3 小时和 1 小时；又A A B知木匠、漆工每日工作分别不得超出8 小时和9 小时，而工厂造一张、B 型桌子分别获收益 2A千元和 3 千元，试问工厂每日应生产A、 B型桌子各多少张，才能获取收益最大？解：设每日生产 A 型桌子x张， B 型桌子y张，x 2 y8,则 3x y9,x0, y0.目标函数为 z=2x+3y.作出可行域：把直线 l ： 2x+3y=0 向右上方平移至l ′的地点时，直线经过可行域上的点 M ，且与原点距离最大，此时 z=2x+3y 获得最大值 .x 2 y 8,解方程y得 M 的坐标为（ 2， 3） .3x 9,答：每日应生产 A 型桌子 2 张， B 型桌子 3 张才能获取最大收益 .3. 课本 106页习题 3.3A 组 2.第 2课时导入新课师 前方我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念.师 同学们回想一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.生（ 1）第一，要依据线性拘束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共地区）;（2）设 t=0 ，画出直线 l 0 ;(3) 察看、剖析，平移直线l 0，从而找到最优解 ;(4) 最后求得目标函数的最大值及最小值. 推动新课2x y 300, x 2 y 250, 师 【例 1】 已知 x 、 y 知足不等式组0, 试求 z=300x+900y 的最大值时的整点的坐xy 0,标及相应的 z 的最大值 .师 剖析：先画出平面地区，而后在平面地区内找寻使 z=300x+900y 取最大值时的整点 .解：以下图平面地区A O BC ，点 A （ 0， 125 ），点B （ 150 ，0），点C 的坐标由方程组2x y 300 x 350 ,3 x2 y 250y 200 ,3得 C （350 ,200），3 3令 t=300x+900y ， 即y1 x t , ,3 900欲求 z=300x+900y 的最大值，即转变为求截距 t900 的最大值，从而可求 t 的最大值，因直线1 xt与直线 y1x 平行，故作 y 1 A （ 0， 125）时，对y9003 x 的平行线，当过点33应的直线的截距最大，所以此时整点A 使 z 取最大值， z ma x =300×0+900×125=112 500.师 【例 2】 求 z=600x+300y 的最大值，使式中的x 、 y 知足拘束条件 3x+y ≤300，x+2y ≤250，x ≥0,y ≥0 的整数值 .师 剖析：画出拘束条件表示的平面地区即可行域再解 .解：可行域以下图.四边形 A O BC ，易求点 A （0， 126 ）， B （ 100 ， 0） , 由方程组3x y 300 x 69 3,5 x 2 y252y911.5得点 C 的坐标为（693, 911).5 5因题设条件要求整点（x,y) 使 z=600x+300y 取最大值，将点（69 ， 91 ），（ 70 ， 90 ）代入z=600x+300y ，可知当 x=70, y=90 时， z 取最大值为 z m x =600×70+300×900=69 000.ax 2y 2,师 【例 3】 已知 x 、 y 知足不等式 2xy 1, 求 z=3x+y 的最小值 .x0, y0,师剖析：可先找出可行域，平行挪动直线l 0:3x+y=0找出可行解，从而求出目标函数的最小值.解：不等式x+2y≥ 2 表示直线x+2y=2 上及其右上方的点的会合；不等式 2x+y≥1表示直线2x+y=1 上及其右上方的点的会合.可行域如右图所示.作直线 l 0:3x+y=0 ，作一组与直线l 0平行的直线l:3x+y=t(t∈R).∵x、 y 是上边不等式组表示的地区内的点的坐标.由图可知：当直线 l:3x+y=t经过P（0，1）时，t取到最小值1，即 z min =1.师评论：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性拘束条件下的最优解，不论此类题目是以什么实质问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）找寻线性拘束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面地区作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.师讲堂练习：请同学们经过达成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.y x,（1）求 z=2x+y 的最大值，使式中的x 、 y 知足拘束条件x y1,y 1.5x 3 y15,（2）求 z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x、 y 知足拘束条件y x 1,x5y 3.［教师精讲］y x,师（ 1）求 z=2x+y 的最大值，使式中的x、 y 知足拘束条件x y1,y 1.解：不等式组表示的平面地区如右图所示：当 x=0,y=0 时， z=2x+y=0 ，点（ 0， 0）在直线 l 0:2x+y=0 上 .作一组与直线 l 0 平行的直线 l:2x+y=t,t∈R.可知在经过不等式组所表示的公共地区内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （ 2， -1 ）的直线所对应的 t 最大 .所以 z max =2×2-1=3.5x3 y 15, （2）求 z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、 y 知足拘束条件yx1,x 5y3.解：不等式组所表示的平面地区如右图所示.从图示可知直线 3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共地区内的点时，以经过点（-2 ， -1 ）的直线所对应的 t 最小，以经过点（9 , 17）的直线所对应的 t 最大 .8 8所以 z min =3×(-2)+ ５×(-1)=-11,zmax=3×9+5×17=14.88［知识拓展］某工厂生产甲、乙两种产品 . 已知生产甲种产品 1 t ，需耗 A 种矿石 10 t 、 B 种矿石 5 t 、煤 4 t ；生产乙种产品需耗 A 种矿石 4 t 、 B 种矿石 4 t 、煤 9 t. 每 1 t 甲种产品的收益是600 元，每 1 t乙种产品的收益是1 000 元 . 工厂在生产这两种产品的计划中要求耗费A 种矿石不超出 360 t 、 B种矿石不超出 200 t 、煤不超出 300 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精准到0.1 t），能使收益总数达到最大？师 剖析：将已知数据列成下表：耗费量 产品 甲产品（ 1乙产品 (1资源限额（ t ）资源t ） t)A 种矿石（ t ） 10 4 300B 种矿石 (t)5 4 200 煤 (t) 收益（元）4 9 3606001 000解：设生产甲、乙两种产品分别为 x t 、 y t ，收益总数为 z 元，10 x 4 y 300, 5x 4 y 200,那么4 x 9 y 360,x 0, y 0;目标函数为 z=600x+1 000y.作出以上不等式组所表示的平面地区，即可行域.作直线 l:600x+1 000y=0,即直线 :3x+5y=0,把直线 l 向右上方平移至l 1 的地点时，直线经过可行域上的点 M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y 取最大值 .5x 4 y 200,解方程组9 y 360,4x得 M 的坐标为 x=360≈12.4,y=1000≈34.4.2929答：应生产甲产品约 12.4 t ，乙产品 34.4 t ，能使收益总数达到最大.讲堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）第一，要依据线性拘束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共地区）.（2）设 t=0 ，画出直线 l 0 .（3）察看、剖析，平移直线l 0，从而找到最优解 .（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.以实质问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）找寻线性拘束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面地区作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.自然也要注意问题的实质意义部署作业课本第 105 页习题 3.3A 组 3、 4.第 3课时导入新课师前方我们已经学习了用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤以及以实质问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤 . 这节课我们持续来看它们的实质应用问题.推动新课师【例 5】营养学家指出，成人优秀的平时饮食应当起码供给0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质， 0.06 kg 的脂肪 .1 kg 食品A含有 0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质， 0.14 kg脂肪，花销28 元；而1kg 食品B含有 0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花销 21 元 . 为了知足营养学家指出的平时饮食要求，同时使花销最低，需要同时食用食品A和食物 B 各多少克？师剖析：将已知数据列成下表：食品 /kg碳水化合物 /k g蛋白质 /kg脂肪 /kg A0.1050.070.14B0.1050.140.07若设每日食用 x kg食品 A，y kg食品 B，总成本为z，怎样列式？生由题设条件列出拘束条件其目标函数z=28x+21y.二元一次不等式组①等价于0.105x 0.105y 0.075, 0.07x 0.14y 0.06,0.14x 0.07y 0.06,①x0,y0,7 x7 y5,7 x14y6,14 x7 y②6,x0,y 0.师作出二元一次不等式组②所表示的平面地区，即可行域. 请同学们在底稿纸上达成，再与课本上的比较 .生考虑z=28x+21y, 将它变形为y 4 xz, 这是斜率为－4、随 z 变化的一族平行直线. zz3283是直线在 y 轴上的截距，当获得最小值时，z 的值最小 . 自然直线与可行域订交，即2828在知足拘束条件时目标函数z=28x+21y获得最小值 .由图可见，当直线z=28x+21y 经过可行域上的点M时，截距z28 最小，即z 最小 .7x7 y5,1 ,4) ，所以，当x1, y4时， z=28x+21y 取最小值，最解方程组7y 得点 M(14x67777小值为 16.由此可知每日食用食品 A 约143克，食品 B约571克，能够知足平时饮食要求，又使花销最低，最低成本为 16元 .师【例 6】在上一节课本的例题（课本95 页例 3）中，若依占有关部门的规定，初中每人每年每年收取的学费总数最多？学段班级学生数装备教师数硬件建设/万元教师年薪/万元初中45226/班2/人高中40354/班2/人师由前方内容知若设开设初中班x 个，高中班y 个，收取的学费总数为z 万元 ,此时，目标函数z=0.16 ×45x+0.27 ×40y, 可行域以以下图把 z=7.2x+10.8y 变形为y2x5z，获取斜率为 - －2，在 y 轴上截距为5z，随 z 变化的354354一组平行直线 .由图能够看出，当直线z=7.2x+10.8y经过可行域上的点M时，截距5z最大，即 z 最大 . 54x y30,得点 M（ 20,10 ），所以，当 x=20,y=10时， z=7.2x+10.8y取最大值，最解方程组2 y40x大值为 252.由此可知开设20 个初中班和10 个高中班时，每年收取的学费总数最多，为252万元 .师【例 7】在上一节例 4 中（课本96 页例 4），若生产 1 车皮甲种肥料，产生的收益为10 000元，若生产 1车皮乙种肥料，产生的收益为 5 000 元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的收益？生若设生产 x 车皮甲种肥料，y 车皮乙种肥料，能够产生的收益z 万元 . 目标函数z=x+0.5y,可行域以以下图：把 z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,获取斜率为-2，在y轴上截距为2z, 随 z 变化的一组平行直线 . 由图能够看出，当直线y=-2x+2z 经过可行域上的点 M 时，截距 2z 最大，即 z 最大 .18x 15y 66,M(2,2), 所以当 x=2,y=2 时， z=x+0.5y取最大值，最大值为解方程组y 10得点 4x 3.因而可知，生产甲、乙两种肥料各 2 车皮，能够产生最大的收益，最大收益为3万元 .［教师精讲］师 以实质问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（ 1）找寻线性拘束条件，线性目标函数；（ 2）由二元一次不等式表示的平面地区做出可行域；（ 3）在可行域内求目标函数的最优解.自然也要注意问题的实质意义.讲堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（ 1）第一，要依据线性拘束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共地区）；（ 2）设 t=0 ，画出直线 l 0 ；（3 ）察看、剖析，平移直线l 0，从而找到最优解；（4 ）最后求得目标函数的最大值及最小值.以实质问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（ 1）找寻线性拘束条件，线性目标函数；（ 2）由二元一次不等式表示的平面地区做出可行域；（ 3）在可行域内求目标函数的最优解.自然也要注意问题的实质意义.部署作业课本第 105 页习题 3.3 B组 1、 2、 3板书设计第 1课时简单线性规划问题图 1讲堂小结线性规划问题的有关观点图 2第 2课时简单线性规划问题例 1讲堂小结例 3例 2第 3课时简单线性规划问题例 5讲堂小结例 7例 6习题详解（课本第104 页练习）1.(1)目标函数为z=2x+y ，可行域以下图，作出直线y=-2x+z,可知z要取最大值，即直线经过点 C时，x y 1,解方程组得 C（2，-1），y1,所以 z max=2x+y=3.（ 2）目标函数为z=3x+5y, 可行域以下图，作出直线z=3x+5y, 可知直线经过点B时，z获得最大值 ; 直线经过点 A 时，z获得最小值.解方程组y x 1,y x1,和x 5y 35x 3 y15.可得点 A（-2，-1）和点 B（1.5,2.5）.所以 z max=17，z min =-11.2. 设每个月生产甲产品 x 件，生产乙产品y 件，每个月收入为z，目标函数为z=3x+2y ，需要知足的条件是x 2 y 400,2x y 500,x0,y 0,作直线 z=3x+2y ，当直线经过点 A 时，z获得最大值.解方程组x 2 y 400,2x y 500,可得点 A（200，100）,z的最大值为800.( 课本第 106 页习题 3.3)A组1.绘图求解二元一次不等式：（1）x+y≤2;(2)2x-y＞2;(3)y ≤ -2;(4) x ≥3.2.3. 解：设每周播放连续剧甲 x 次，播放乙连续剧y 次，目标函数z=60x+20y, 所以题目中包括的80x 40 y 320,x y 6, 80x 40y 320,限制条件为0,解方程组得（ 2， 4）. 所以 z 的最大值为 200xx y6y 0,（万） .4. 解：设每周生产空调器 x 台、彩电 y 台，则生产冰箱 12-x-y 台，产值为 z ，目标函数为z=4x+3y+2(120-x-y)=2x+y+240,所以题目中包括的限制条件为1 x 1 y1(120 xy) 40,3xy 120,2 3 4x y100,120 x y 20,即0,x 0,xy 0.y0,3x y 120,10 台，可行域如图，解方程组y得 M 点坐标为 （ 10， 90 ）. 所以每周应生产空调器x 100,彩电 90 台，冰箱20 台，才能使产值最高，最高产值是1050 千元.B 组1.2.3. 解：设甲粮库要向 A 镇运送大米x 吨、向 B 镇运送大米y 吨，总运费为 z ，则乙粮库要向 A 镇运送大米（ 70-x ）吨、向 B 镇运送大米（ 110-y ）吨，目标函数（总运费）为z=12×20×x+25×10×y+15×12×(70 - x)+20 ×8×(110 -y)=60x+90y+30 200.所以题目中包括的限制条件为x y 100,(70 x) (110 y) 80,0 x 70, y 0.所以当 x=70,y=30 时，总运费最省 ,z min=37 100 （元），所以当 x=0,y=100 时，总运费最不合理,z max=39 200 （元） .使国家造成不应有的损失2 100 元.答：甲粮库要向 A 镇运送大米70 吨，向 B 镇运送大米30 吨，乙粮库要向A 镇运送大米0 吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37 100元 . 最不合理的调运方案是甲粮库要向 A 镇运送大米 0 吨、向B镇运送大米 100 吨，乙粮库要向 A 镇运送大米70 吨、向B镇运送大米10 吨，此时总运费为39 200元，使国家造成损失 2 100元 .备课资料备用习题1. 某糖果厂生产、两种糖果，A 种糖果每箱获收益40 元，B种糖果每箱获收益 50 元，其生产A B过程分为混淆、烹饪、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需均匀时间：（单位：分钟）混淆烹饪包装A153B241每种糖果的生产过程中，混淆的设施至多能用12 小时，烹饪的设施至多只好用30 小时，包装的设施只好用15 小时，试求每种糖果各生产多少箱可获取最大收益？剖析：找拘束条件，成立目标函数.解：设生产 A 种糖果x 箱，B种糖果y 箱，可获取收益z 元，则此问题的数学模式在拘束条件x 2 y 720,5x 4y 1800,3x y 900,下，求目标函数z=40x+50y的最大值，作出可行域，其界限O A： y=0，AB：x0,y 03x+y-900=0 ，BC： 5x+4y- 1 800=0，C D： x+2y-720=0 ， DO： x=0.由 z=40x+50y, 得y 4 x z，它表示斜率为4，截距为z50 的平行直线系，z550550越大，从而可知过 C 点时截距最大，z 获得了最大值 .越大， zx 2 y720解方程组C(120,300).5x 4 y1800∴z max=40×120+50×300=19 800, 即生产A种糖果 120 箱，生产B种糖果 300 箱，可得最大收益19 800 元.评论：因为生产 A 种糖果120箱，生产B种糖果300箱，就使得两种糖果合计使用的混淆时间为120＋2×300＝ 720 （分），烹饪时间5×12 0＋4×300＝ 1 800 （分），包装时间3×120＋ 300 ＝660（分），这说明该计划已完好利用了混淆设施与烹饪设施的可用时间，但对包装设施却有240分钟的包装时间未加利用，这类“剩余”问题构成了该问题的“废弛”部分，有待于改良研究.2.甲、乙、丙三种食品的维生素A、 B含量及成本以下表：甲乙丙维生素（单位 /千600700400 A克）维生素（单位 /千800400500 B克）成本（元 / 千克）1194某食品营养研究所想用x 千克甲种食品，y 千克乙种食品，z 千克丙种食品配成100 千克的混淆食品，并使混淆食品起码含56 000 单位维生素A和 63 000单位维生素B.（1）用x、y表示混合食品成本 C；（2）确立x、y、z的值，使成本最低.剖析 : 找到线性拘束条件及目标函数，用平行线挪动法求最优解.解: （ 1）依题意 x 、 y、 z 知足 x+y+z=100z=100-x-y.∴ 成本=11x+9y+4z=7x+5y+400 （元） .C（2）依题意600x700y400z56000, 800x400y500z63000,∵z=100 -x-y,2x3y160,∴ 3x y130,x0, y0.作出不等式组所对应的可行域，如右图所示.联立3xy130交点(50,20). 2x 3 y160A作直线 7x+5y+400= C，则易知该直线截距越小，C越小，所以该直线过A(50,20)时，直线在y 轴截距最小，从而C最小，此时7×50＋5×20＋ 400 ＝C＝850 元 .∴x=50 千克， z=30 千克时成本最低 .。
人教A版高中数学必修五讲义及题型归纳：线性规划的概念
线性规划模块一：线性规划的概念1．二元一次不等式表示的区域对于直线，当时，表示直线的右方区域；表示直线的左方区域；当时，表示直线的左方区域；表示直线的右方区域；当时，表示直线的上方区域；表示直线的下方区域；当时，表示直线的下方区域；表示直线的上方区域．可以用推理的方式辅助记忆：当时，随着的增大，会变大，因此直线的右方区域满足，左方区域满足；当时，随着的增大，会变小，因此直线的左方区域满足，右方区域满足．2．可行域⑴ 不等式组是一组对变量、的约束条件，由于这组约束条件都是关于、的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示． ⑵ 满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域． 考点1：求可行域例1.（1）若点(2,1)A -，点(2,1)B -在直线10x ay +-=的两侧，则a 的取值范围是( )0Ax By C ++=0A >0Ax By C ++>0Ax By C ++=0Ax By C ++<0Ax By C ++=0A <0Ax By C ++>0Ax By C ++=0Ax By C ++<0Ax By C ++=0B >0Ax By C ++>0Ax By C ++=0Ax By C ++<0Ax By C ++=0B <0Ax By C ++>0Ax By C ++=0Ax By C ++<0Ax By C ++=0A >x Ax By C ++0Ax By C ++=0Ax By C ++>0Ax By C ++<0A <x Ax By C ++0Ax By C ++=0Ax By C ++>0Ax By C ++<x y x y ()x y ，A ．(1,3)B ．(-∞，1)(3⋃，)∞C ．(3,1)--D ．(-∞，3)(1--⋃，)+∞【解答】解：Q 点(2,1)A -，点(2,1)B -在直线10x ay +-=的两侧， (21)(21)0a a ∴-+---<，即(3)(1)0a a --<，得(3)(1)0a a -->，得3a >或1a <，即实数a 的取值范围是(-∞，1)(3⋃，)∞，故选：B ．（2）不等式组24020x y x y -+⎧⎨-+<⎩…表示的平面区域是( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：240x y -+…表示在直线240x y -+=的下方及直线上， 20x y -+<，表示在直线20x y -+=的上方，则对应的区域为B ，故选：B ．（3）不等式||||x y …所表示的平面区域是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：不等式组等价为x y x y ⎧⎨-⎩……或x y x y ⎧⎨-⎩……， 则对应的平面区域为D ，故选：D ．（4）已知实数x ，y 满足不等式组22020x y x y y -+⎧⎪+⎨⎪⎩………，则该不等式组表示的区域面积为 ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则(0,1)A ，(1,0)B -，(2,0)C ，则三角形ABC 的面积13232S =⨯⨯=， 故答案为：3（5）不等式组210y x y kx y -+⎧⎪-⎨⎪⎩………所表示的平面区域的面积等于14，则k = ． 【解答】解：Q 不等式组210y x y kx y -+⎧⎪-⎨⎪⎩………所表示的平面区域三角形，如图：平面为三角形所以过点(2,0)，1y kx =-Q ，与x 轴的交点为1(k，0)， 1y kx =-与2y x =-+的交点为3(1k +，21)1k k -+， 三角形的面积为：11211(2)214k k k --⨯=+， 解得：1k =． 故答案为：1．。
高二数学人教A版必修5教学教案3-3-2简单的线性规划问题(8)
一、内容及其解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中《简单的线性规划问题》的第一课时. 主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。
简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.二、教学目标（1）知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；理解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力。
（3）情态、态度与价值观：让学生体会数学源于生活，服务于生活；体会数学活动充满着探索与创造，培养学生动手操作、勇于探索的精神。
三、教学重、难点1、教学重点 :求线性规划问题的最优解2、教学难点 :学生对为什么要将求目标函数的最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题以及如何想到这样转化存在疑惑，在教学中应紧扣实际，突出知识的形成发展过程。
四、学生学情分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。
高中数学人教A版必修5简单线性规划课件
x-4y≤-3
满足下列条件 3x+5y≤25 ，
B
x≥1
o
x-4y=-3
Ａ
3x+5y=25
x
求ｚ的最大值和最小值。
x=1
解决方案二
问题：
不化为斜截式能求 最值吗？
设z=2x+y，式中变量满足
下列条件：
y
x=1
3xx45yy235 x 1
求z的最大值与最小值。
C 3x+5y-25=0
B
A x-4y+3=0
高中数学人教A版必修5简单线性规划 课件
高中数学人教A版必修5简单线性规划 课件
2.(2004高考全国卷4理科数学试题（必修+选修Ⅱ
甘肃青海宁夏贵州新疆等地区）第16题)
解下列线性规划问题：求z=2x+y的最大值， 使式中x、y满足下列条件：
x y 1,
y
x,
y 0,
答案:当x=1，y=0时，z=2x+y有最大值2。
C
B
o
x=1
析: 作直线l0 ：y=-2ｘ, 则直线 l：
y=- 2ｘ+z是一簇与 l0平行的直线,故直线 l 可通过平移直线l0而得，当直线往右上方平
移时z 逐渐增大：
x-4y=-3
Ａ
3x+5y=25
当l 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3 当l 过点A(5,2)时，ｚ最大,即
x
zmax＝2×5+2＝12 。
y x=1
6
5• C•
4
注意：直线取最大截距时， l1
等价于
1z
取得最大值，则2z取得
最小值
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线性规划基础知识：一． 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，则点P 坐标适合方程，即Ax 0+By 0+C=02. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax 0+By 0+C>0;当B<0时，Ax 0+By 0+C<03. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax 0+By 0+C<0;当B<0时，Ax 0+By 0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)>02.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C ≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C ≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
方法二：利用规律：1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）;2.Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。
四、线性规划的有关概念：①线性约束条件： ②线性目标函数：③线性规划问题： ④可行解、可行域和最优解：典型例题一--------画区域1. 用不等式表示以)4,1(A ，)0,3(-B ，)2,2(--C 为顶点的三角形内部的平面区域． 分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。
解：直线AB 的斜率为：1)3(104=---=AB k ，其方程为3+=x y ．可求得直线BC 的方程为62--=x y ．直线AC 的方程为22+=x y ． ABC ∆的内部在不等式03>+-y x 所表示平面区域内，同时在不等式062>++y x 所表示的平面区域内，同时又在不等式022<+-y x 所表示的平面区域内（如图）．所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+->++>+-022,062,03y x y x y x 表示． 说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线． 2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ．解：原不等式等价于⎩⎨⎧≤->.3,32y x y 而求正整数解则意味着x ，y 还有限制条件，即求⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x ．依照二元一次不等式表示的平面区域， 知332≤<-y x 表示的区域如下图： 对于332≤<-y x 的正整数解，容易求 得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(．3设0≥x ，0≥y ，0≥z ；z y x p 23++-=，z y x q 42+-=，1=++z y x ，用图表示出点),(q p 的范围．分析：题目中的p ，q 与x ，y ，z 是线性关系． 可借助于x ，y ，z 的范围确定),(q p 的范围．解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=+--=--,1,42,23z y x q z y x p z y x 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=+-=-+=),345(271),3514(271),68(271q p z p q y p q x由0≥x ，0≥y ，0≥z 得⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤--,0543,01453,086q p q p q p 画出不等式组所示平面区域如图所示．说明：题目的条件隐蔽，应考虑到已有的x ，y ，z 的取值范围．借助于三元一次方程组分别求出x ，y ，z ，从而求出p ，q 所满足的不等式组找出),(q p 的范围．4、已知x,y,a,b 满足条件：0,0,0,0≥≥≥≥b a y x ,2x+y+a=6,x+2y+b=6 （1）试画出（y x ,）的存在的范围； （2）求y x 32+的最大值。
典型例题二------画区域，求面积例3 求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-+≥111x y x y 所表示的平面区域的面积．分析：关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论．解：不等式11-+≥x y 可化为)1(-≥≥x x y 或)1(2-<--≥x x y ； 不等式1+-≤x y 可化为)0(1≥+-≤x x y 或)0(1<+≤x x y ． 在平面直角坐标系内作出四条射线：)1(-≥=x x y AB ：，)1(2-<--=x x y AC ： )0(1≥+-=x x y DE ：，)0(1<+=x x y DF ：则不等式组所表示的平面区域如图，由于AB 与AC 、DE 与DF 互相垂直，所以平面区域是一个矩形． 根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为22和223．所以其面积为23．典型例题三------求最值一、与直线的截距有关的最值问题 z Ax By C =++1.如图1所示，已知A B C 中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -， 点(,)P x y 在A B C 内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题： ①z x y =+在 点A 处有最大值 6 ，在边界BC 处有最小值 1 ； ②z x y =-在 点C处有最大值1 ，在 点B 处有最小值3-2若x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨≤+-≥+-.010401023y x y x ，求y x z 2+=的最大值和最小值． 分析：画出可行域，平移直线找最优解．解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线z y x l =+2:，即z x y 2121+-=，它表示斜率为21-，纵截距为2z 的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l 过点A 时，z 取得最大值，当l 过点B 时，z 取得最小值． ∴ 18822max =⨯+=z ∴ 2222min =⨯+-=z注：z Ax By =+可化为A z y x B B=-+表示与直线A y x B=-平行的一组平行线，其中z B为截距，特别注意：斜率范围及截距符号。
即注意平移直线的倾斜度和平移方向。
变式：设x,y 满足约束条件分别求：(1)z=6x+10y ，(2)z=2x-y,(3)z=2x-y ，的最大值，最小值。
二、与直线的斜率有关的最值问题00y y z x x -=-表示定点P （x 0,y 0)与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率.例2 设实数x y ，满足20240230x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤，≥，≤，，则y z x=的最大值是__________． 解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC ，00y y z xx -==-表示两点(00)()O P x y ，，，确定的直线的斜率，要求z 的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．可以看出直线OP 的斜率最大，故P 为240x y +-=与230y -=即A 点．∴312P ⎛⎫⎪⎝⎭，．故答案为32．3.如图1所示，已知A B C 中的三顶点(2,4),(1,2),(1,0)A B C -， 点(,)P x y 在A B C 内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：x4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若目标函数是1y z x-=或231y z x +=+，你知道其几何意义吗？你能否借助其几何意义求得m in z 和m ax z ？三、与距离有关的最值问题222200()()z z z x x y y x y Ax By C ==-+-=++++或的结构表示定点Q（x 0,y 0)到可行域内的动点N(x,y)的距离的平方或距离。
1.已知05≥-+y x ，010≤-+y x ．求22y x +的最大、最小值． 分析：令22y x z +=，目标函数是非线性的．而()22222yx y x z +=+=可看做区域内的点到原点距离的平方．问题转化为点到直线的距离问题．解：由⎩⎨⎧≤-+≥-+,010,05y x y x 得可行域(如图所示)为()22222yx y x z +=+=，而)0,0(到05=-+y x ，010=-+y x 的距离分别为25和210． 所以z 的最大、最小值分别是50和225．2.已知2040250x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩，，，≥≥≤求221025z x y y =+-+的最小值解析：作出可行域如图3，并求出顶点的坐标A （1，3）、B （3，1）、C （7，9）．而22(5)z x y =+-表示可行域内任一点（x ，y ）到定点M （0，5）的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足Ｎ在线段A C 上，故z 的最小值是292M N=．练习：1..给出平面区域如右图所示，若使目标函数z=ax+y (a > 0 )取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（B ） A.41 B.53 C.4 D.352、在坐标平面上，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤020,3y x y x x 所表示的平面区域的面积为3.三角形三边所在直线分别为x-y+5=0，x+y=0，x-3=0，求表示三角形内部区域的不等式组.4.．已知2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--<⎩，求|24|z x y =+-的最大值为 。