二模备考之数学思想

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【解答】 (1)①证明：由 Tn＝1－an 得： 解答】 ①证明： － Tn Tn＝1－ (n≥2)， － ≥ ， Tn－1 Tn－1－Tn 1 1 Tn·Tn－1＝Tn－1－Tn,1＝ ＝ ＝T － ， Tn·Tn－1 Tn－1 n 即 cn－cn－1＝1. 1 1 1－ 2， 又 T1＝1－a1＝a1，a1＝2，c1＝T ＝2， 1 所以数列{c 是以 为首项， 为公差的等差数列． 所以数列 n}是以 2 为首项，1 为公差的等差数列． ②cn＝c1＋n－1＝2＋n－1＝n＋1， － ＝ ＋ － ＝ ＋ ， 1 Tn n (n≥2)， Tn＝ ，an＝ ＝ ≥ ， n＋1 Tn－1 n＋1 ＋ ＋ n . 当 n＝1 时也符合，故 an＝ ＝ 时也符合， n＋1 ＋
二模备考之数学思想
2012.3.3
数学思想
隐性的
数学方法
显性的
解题方法的掌握
数学基础知识点的理解和掌握
1、【数形结合思想】： 、 数形结合思想】 看到“数”想到“形”，看到“形”想到“数” 看到“ 想到“ 看到“ 想到“ 的意识。 的意识。 数量关系 图形特征 抽象思维 理性思维 对应数学方法：数 对应数学方法： 形 直观思维 感性思维 形 数 数 形
3、函数与方程思想 、
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面： 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关 初等函数的性质，解有关求值、 证 不等式 不等式、 初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参 数的取值范围等问题；二是在问题的研究中， 数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式 或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质， 或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达 到化难为易，化繁为简的目的． 到化难为易，化繁为简的目的．函数与方程的思想是中学数学的基 本思想，综合知识多、题型多、应用技巧多． 本思想，综合知识多、题型多、应用技巧多．
• 2．分类讨论的常见类型： • （1）由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类 的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． • （2）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有定理、 公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致， 如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等． • （3）由数学运算引起的分类讨论：如除法运算中除数不为 零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算 中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角 函数的定义域等． • （4）由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、 位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位 置关系等． • （5）由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题， 如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所 得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证 明方法．
范围是 _____________ .
[总结与思考 总结与思考] 总结与思考 (1)、怎么想到利用图像解题的？应该关注哪些特征？ 、怎么想到利用图像解题的？应该关注哪些特征？ (2)、如何利用数形结合方法解题？基本步骤是什么？ 、如何利用数形结合方法解题？基本步骤是什么？
(3)、在解题过程中如何实现数——形——数的转化？ 、在解题过程中如何实现数 数的转化？ 形 数的转化
例题1： 例题 ：
| lg | x − 1 ||, f ( x) = 0, x ≠1 x =1
设定义域为R的函数 设定义域为 的函数
, 则关于 的方 则关于x的方
个根的充要条件是_________. 程 f 2 ( x) + bf ( x) + c = 0 有7个根的充要条件是 个根的充要条件是
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1n 1n＋1 1 1 因为 ＞ ＞0，2 ＞2 ＞0，所以 f(n)＞f(n＋1)， ， ， ＞ ＋ ， n＋1 n＋2 ＋ ＋ 单调递减． 所以当 n∈N*时，f(n)单调递减． ∈ 单调递减 n－2 n－1 － － 设 g(n)＝ ＝ ，则 g(n＋1)＝ ＋ ＝ ， n(n＋1) )(n＋ ) ( ＋ ) (n＋1)( ＋2) ＋ )( 4－n － . g(n＋1)－g(n)＝ ＋ － ＝ n(n＋1)( ＋2) )(n＋ ) ( ＋ )( 单调递增； 所以当 1≤n＜4 时，g(n)单调递增；g(4)＝g(5)； ≤ ＜ 单调递增 ＝ ； 单调递减． 当 n≥5 时，g(n)单调递减． ≥ 单调递减 设 L(n)＝f(n)＋g(n)， ＝ ＋ ， 则 L(1)＜L(2)＜L(3)，L(3)＞L(4)＞L(5)＞L(6)＞…. ＜ ＜ ， ＞ ＞ ＞ ＞ 11 最大， 所以 L(3)最大，且 L(3)＝96. 最大 ＝ 11 ，＋∞. 所以实数 k 的取值范围为 96，＋∞
函数与方程的思想主要体现在以下几个方面： 函数与方程的思想主要体现在以下几个方面： 1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中 ．函数的思想，是用运动和变化的观点， 的数量关系，建立函数关系或构造函数， 的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质 去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决． 去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决． 2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建 ．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系， 立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组， 立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运 用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决． 用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程思想是 动中求静，研究运动中的等量关系． 动中求静，研究运动中的等量关系．
或其子集上的特殊函数， 【点评】 数列是定义在 N*或其子集上的特殊函数，数列的 点评】 的函数， 通项公式和其前 n 项和都可以构造为关于 n 的函数，从而用函 数思想或函数方法研究、解决问题． 数思想或函数方法研究、解决问题．本题中将所得函数分成两 个部分研究， 均递减， 递减， 个部分研究，当 n≥5 时，f(n)、g(n)均递减，则 L(n)递减，前几 ≥ 、 均递减 递减 项只需要一一代入即可明确大小关系． 项只需要一一代入即可明确大小关系．
设数列{a 的前 T 数列{b 例 1 设数列 n}的前 n 项积为 Tn， n＝1－an； － 数列 n} 的前 n 项和为 Sn，Sn＝1－bn. － 1 (1)设 cn＝T . 设 n 证明数列{c 为等差数列 为等差数列； ①证明数列 n}为等差数列； 求数列{a 的通项公式 的通项公式； ②求数列 n}的通项公式； (2)若 Tn(nbn＋n－2)≤kn 对 n∈N*恒成立，求实数 k 若 － ≤ ∈ 恒成立， 的取值范围． 的取值范围．
例题1： 例题 ：
函数f ( x) = (k − 1) x 2 − 2kx + 4, 在x ∈ [−1,2]上单调递增，求k的取值范围。
例2. 首项为1，公比为q（q>0）的等比数列 Sn ， ，2，… 前n项和为 S n ,设Tn = n＝ S n +1 求nlim Tn 。 →∞
【分类讨论思想】：将一类事物按一定的标 分类讨论思想】 准进行划分的意识,即 分而击之” 准进行划分的意识 即”分而击之”。 对应的数学方法： 对应的数学方法： 确定分类的标准，正确进行分类； 确定分类的标准，正确进行分类； 逐类进行讨论，获得阶段性结论； 逐类进行讨论，获得阶段性结论； 归纳小结，综合结论 （ 归纳小结，综合结论.（在进行分类的时候要 注意“不重不漏” 注意“不重不漏”）
例题3： 例题 ：
1 方程x 2 + 2 x − 1 = 0的解可视为函数y = x + 2的图像与函数y = 的 x 图像交点的横坐标.若方程x 4 + ax − 4 = 0的各个实根x1 , x 2 ,⋯, x k (k ≤ 4) 所对应的点( xi , 4 )(i = 1,2,⋯, k )均在直线y = x的同侧，则实数a的取值 xi
作出f(x)的图像 解:作出 作出 的图像
令 f (x) = t
y
t + bt + c = 0有两
2
个不同实根且一
O 1
2

x
正根，一根为0.
∴ b < 0, c = 0.
例题2： 例题 ：
当x ∈ (1,2)时，不等式 ( x − 1) 2 < log a x恒成立，则实数 a的取值范围是 ______ .
2、“数学中的分类讨论”思想 、 数学中的分类讨论”
• 分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问 题分解（或分割）成若干个基础性问题， 通过基础性问题的解答来实现解决原问题 的思想策略．对问题实行分类与整合，分 类标准等于增加一个已知条件，实现了有 效增设，将大问题（或综合性问题）分解 为小问题（或基础性问题），优化解题思 路，降低问题难度 .