2014届高考数学理科试题大冲关：5.2平面向量基本定理及坐标表示
(江西专用)2014年高考数学一轮复习 5.2 平面向量的基本定理与坐标运算课件 文 新人教A版
【正解】(1)当∠A=90°时,∵
A·B AC=0,
∴2×1+3k=0,∴k=- 2.
3
(2)当∠B=90°时,BC=AC-AB=(-1,k-3),
∵AB
·BC=0,
∴2×(-1)+3(k-3)=0,∴k= 11.
3
(3)当∠C=90°时,∵AC·BC =0,
∴-1+k(k-3)=0,
∴k= 3 . 13
∴
m 2m
4n 3,得
n2
m
5 9
,
n
8 9
.
(2)∵a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
又∵(a+kc)∥(2b-a),
∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,
∴k=- 16 .
13
(3)设向量d的坐标为(x,y),则d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).
(B)(0,-2). (D)(0,2).
【解析】由已知得a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4),设a=λm+μn=
λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ),
λ μ 2,
则由
λ
2
μ
4
⇒
λ 0,
μ
2,
所以a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下
的坐标为(0,2).
(2)设OA=xi+yj,则向量OA的坐标(x,y)就是终点A的坐标,即若
OA
=(x,y),则点A的坐标为(x,y),反之亦成立(O是坐标原点).
二、平面向量坐标运算
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）设所求的椭圆方程为：由题意：所求椭圆方程为：．（2）若过点的斜率不存在，则．若过点的直线斜率为，即：时，直线的方程为由因为和椭圆交于不同两点所以，所以①设由已知，则②③将③代入②得：整理得：所以代入①式得，解得．所以或．综上可得，实数的取值范围为：．2.（2013•湖北）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选A．3.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量．【答案】【解析】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为，则设 .又向量所以，∴，∴，∴．由题意得∴当时，同时，时，取最小值为.【考点】平面向量的坐标运算，三角函数的性质.4.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，则的取值范围是．【答案】【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示，则因为，所以所以，, 所以， 故答案应填.【考点】1、平面向量基本定理；2、向量的坐标表示；3、向量的数量积；4、一元二次函数的最值.5. 如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB 、AC 于M 、N 两点．若＝x ，＝y ，求的值．【答案】4 【解析】设＝a ，＝b ，则＝x a ，＝y b ，＝＝ (＋)＝ (a ＋b )．∴＝－＝ (a ＋b )－x a ＝a ＋b ，＝－＝y b －x a ＝－x a ＋y b . ∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ.∴a ＋b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b .∵a 与b 不共线，∴消去λ，得＝4.6. 已知点O (0,0)，A 0(0,1)，A n (6,7)，点A 1，A 2，…，A n －1(n ∈N ，n ≥2)是线段A 0A n 的n 等分点，则| ＋＋…＋OA n －1＋|等于( ) A ．5n B ．10n C ．5(n ＋1) D ．10(n ＋1)【答案】C【解析】取n ＝2，，则＋＋＝(0,1)＋(3,4)＋(6,7)＝(9,12)，所以| ＋＋|＝＝15，把n ＝2代入选项中，只有5(n ＋1)＝15，故排除A 、B 、D ，选C.7. 已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(,-1),则|2a-b|的最大值为( ) A ．4 B ．4 C ．16D ．8【答案】B【解析】∵2a-b=(2cosθ-,2sinθ+1), ∴|2a-b|===故最大值为4.8. 已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a ∥b,那么2a-b=( )A．(4,0)B．(0,4)C．(4,-8)D．(-4,8)【答案】C【解析】由a∥b,得4=-2m,∴m=-2,∴b=(-2,4),∴2a-b=2(1,-2)-(-2,4)=(4,-8).9.已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1)且a∥b,则tan(α-)等于()A．3B．-3C．D．-【答案】B【解析】选B.∵a=(cosα,-2), b=(sinα,1)且a∥b,∴=(经分析知cosα≠0),∴tanα=-.∴tan(α-)===-3,故选B.【方法技巧】解决向量与三角函数的综合题的方法向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目,解答此类题目的关键是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再根据三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决.10.已知向量a＝(3,1)，b＝，若a＋λb与a垂直，则λ等于________．【答案】4【解析】根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a＋λb＝，所以(a＋λb)⊥a⇒3(3－λ)＋1＋λ＝0⇒λ＝4.11.设向量，，若满足，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以, ,解得：，故选D.【考点】向量共线的条件.12.在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】过点作，交于，是边上任意一点，设在的左侧，如图，则是在上的投影，即，即在上的投影，，令，，，，故需要，，即，为的中点，又是边上的高，是等腰三角形，故有,选C.【考点】共线向量，向量的数量积.13.已知向量，若,则的最小值为．【答案】4【解析】,所以.【考点】1、向量的平行关系；2、向量的模；3、重要不等式14.已知向量，向量，且，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】，，即得．【考点】向量的坐标运算.15.已知点，，则与共线的单位向量为（）A．或B．C．或D．【答案】C【解析】因为点，，所以，，与共线的单位向量为.【考点】向量共线.16.已知向量，，若，则实数等于．【答案】.【解析】，两边平方得，则有，化简得，即，解得.【考点】平面向量的模、平面向量的坐标运算17.在中,已知,且,则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，，，故选A。
2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 平面向量基本定理及其坐标运算
B．(－3，－5) D．(2,4)
→ → → → → → → 解析：由题意得BD ＝AD －AB ＝BC －AB ＝(AC －AB )－ → → → AB＝AC－2AB＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
答案：B
考点三
平面向量共线的坐标运算
[例3]
已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在实数k，使得
解析：由已知，得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝ (1,8)． (1)3a＋b－3c＝3· (5，－5)＋(－6，－3)－3· (1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，
－6m＋n＝5， ∴ －3m＋8n＝－5， m＝－1， 解得 n＝－1.
(2)∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 又∵(a＋kc)∥(2b－a)， ∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0. 16 ∴k＝－13.
(3)设向量d坐标为(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，a＋b ＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 x－42＋y－12＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
→ → → 异于B，C的任一点，M为AH的中点，若AM ＝λAB ＋μAC ，则λ ＋μ＝__________.
→ → 解析：由B，H，C三点共线，可令 AH ＝x AB ＋(1－ 1→ 1 → 1 → → x) AC ，又M是AH的中点，所以 AM ＝ 2 AH ＝ 2 x AB ＋ 2 (1－ 1 1 1 → → → → x)AC，又AM＝λAB＋μAC，所以λ＋μ＝2x＋2(1－x)＝2.
●两个防范 (1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它 们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大 小的信息． (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能 x1 y1 表示成 ＝ ，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－ x2 y2 x2y1＝0.
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义：5.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算
第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算【2014年高考会这样考】1．考查应用向量的坐标运算求向量的模．2．考查应用平面向量基本定理进行向量的线性运算． 3．考查应用向量的垂直与共线条件，求解参数．对应学生72考点梳理1．平面向量基本定理前提：e 1，e 2是同一个平面内的两个不共线向量．条件：对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2满足a ＝λ1e 1＋λ2e 2.结论：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示(1)向量的夹角①定义：已知两个非零向量a 和b ，如右图，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做a 与b 的夹角． ②当θ＝0°时，a 与b 共线同向． 当θ＝180°时，a 与b 共线反向． 当θ＝90°时，a 与b 互相垂直． (2)平面向量的正交分解向量正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量． (3)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .这样，a 可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a＝(x ，y )．其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标． (4)规定①相等的向量坐标相等，坐标相等的向量是相等的向量；②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系． 3．平面向量运算的坐标表示(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 【助学·微博】 两点提醒(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0. 三个结论(1)若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.(2)已知OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.(3)平面向量的基底中一定不含零向量．考点自测1．(2012·广东)若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝( )． A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(－6，－10)解析 由于BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，那么BC →＝BA →＋AC →＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)． 答案 A2．(2013·湘潭调研)已知向量a ＝(4，x )，b ＝(－4,4)，若a ∥b ，则x 的值为( )． A ．0 B ．4 C ．－4 D ．±4解析 若a ∥b ，则有4×4＋4x ＝0，解得x ＝－4. 答案 C3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)解析 设D (x ，y )，AD→＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)， 又BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝72.故选A.答案 A4．(2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )． A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10解析 由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝0，－4－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，故a ＋b ＝(3，－1)，|a＋b |＝10，选B. 答案 B5．(2011·北京)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.解析 a －2b ＝(3，3)，因为a －2b 与c 共线，所以k 3＝33，k ＝1.答案 1对应学生73考向一 平面向量基本定理及其应用【例1】►如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN→＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →. [审题视点] 直接用c ，d 表示AB →，AD →有难度，可换一个角度，由AB →，AD →表示AN→，AM →，进而求AB →，AD →. 解 法一 设AB→＝a ，AD →＝b ，则a ＝AN→＋NB →＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ，① b ＝AM→＋MD →＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a .② 将②代入①得a ＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a∴a ＝43d －23c ＝23(2d －c )，代入② 得b ＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×23(2d －c )＝23(2c －d )．∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )． 法二 设AB→＝a ，AD →＝b .因M ，N 分别为CD ，BC 的中点，所以BN →＝12b ，DM →＝12a ， 因而⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ＋12a ，d ＝a ＋12b⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d )，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的． 【训练1】如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________． 解析如图，以OA→，OB →为一组基底，将OC →在OA →，OB →方向上分解，得Rt △OCA ′，其中OC ＝23，∠OCA ′为直角，∠COA ＝30°，则OA ′＝4OA ，OB ′＝2OB ，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.答案 6 考向二 平面向量的坐标运算【例2】►已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →.求M ，N 的坐标和MN→. [审题视点] 求CA→，CB →的坐标，根据已知条件列方程组求M ，N 的坐标．解 ∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA→＝(1,8)，CB →＝(6,3)． ∴CM→＝3CA →＝3(1,8)＝(3,24)，CN →＝2CB →＝2(6,3)＝(12,6)． 设M (x ，y )，则CM→＝(x ＋3，y ＋4)．∴⎩⎨⎧ x ＋3＝3，y ＋4＝24，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝20.∴M (0,20)． 同理可得N (9,2)，∴MN→＝(9－0,2－20)＝(9，－18)． 解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)的思想．【训练2】 (1)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( )． A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2)(2)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )．A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4)解析 (1)12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，故12a －32b ＝(－1,2)．(2)由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 答案 (1)D (2)B考向三 平面向量共线的坐标运算【例3】►平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[审题视点] (1)向量相等对应坐标相等，列方程解之；(2)由两向量平行的条件列方程解之．解 (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)， 所以⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， ∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴2×(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.(1)一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．【训练3】 (1)在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________． (2)已知向量a ＝(m ，－1)，b ＝(－1，－2)，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.解析 (1)由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设D (x ，y )，则有AB→＝DC →， 即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)，即D 点的坐标为(0，－2)．(2)由题意知a ＋b ＝(m －1，－3)，c ＝(－1,2)，由(a ＋b )∥c ，得(－3)×(－1)－(m －1)×2＝0，所以m ＝52. 答案 (1)(0，－2) (2)52对应学生74方法优化7——“多想少算”解决平面向量运算问题【命题研究】 通过近三年高考试题分析，可以看出高考对本部分内容的考查主要是向量的运算，意在考查考生计算能力和利用化归思想解决问题的能力．以选择、填空题的形式出现，一般难度不大，属容易题．【真题探究】► (2012·安徽)在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )． A ．(－72，－2) B ．(－72，2) C ．(－46，－2) D ．(－46，2)[教你审题] 思路1 利用向量的夹角公式和模长公式结合待定系数法求解． 思路2 利用旋转角求解．思路3 排除法、验证法相结合求解．[一般解法] 法一 设点Q 的坐标为(x ，y )，由题意知：|OQ →|＝|OP →|＝36＋64＝10.又∵|OQ →|＝x 2＋y 2＝10， ∴x 2＋y 2＝100.①∵向量OQ →与OP →的夹角为34π，且点Q 在第三象限， ∴cos 34π＝OP →·OQ →|OP →|·|OQ→|＝(x ，y )·(6，8)10×10＝6x ＋8y 100＝－22.∴6x ＋8y ＝－50 2.②由①②得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－72或⎩⎨⎧x ＝－72，y ＝－ 2.又∵点Q 在第三象限，∴点Q 的坐标为(－72，－2)． 法二设∠xOP ＝θ，则由题意知：∠xOQ ＝34π＋θ(如图所示)，设点Q 的坐标为(x ，y )．∵点P 的坐标为(6,8)， ∴OP→＝(6,8)，且|OP →|＝10， ∴cos θ＝610＝35，sin θ＝810＝45.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋34π＝cos θ·cos 34π－sin θsin 34π＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－45×22＝－7102，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋34π＝sin θcos 34π＋cos θsin 34π＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋35×22＝－210. 又∵|OQ→|＝|OP →|＝10， ∴x ＝10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋34π＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－7102＝－72，y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋34π＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＝－ 2.∴点Q 的坐标为(－72，－2)． [答案] A[优美解法] 画出草图，可知点Q 落在第三象限，则可排除B 、D ，代入A ，cos ∠QOP ＝6×(－72)＋8×(－2)62＋82＝－502100＝－22，所以∠QOP ＝3π4.代入C ，cos ∠QOP ＝6×(－46)＋8×(－2)62＋82＝－246－16100≠－22，故选A.[答案] A[反思] 本题学生容易列二元二次方程求解，陷入繁杂的运算，优美解法中体现了“多想少算”的命题原则，因此在解题前一定要注意审题．【试一试】 (2011·上海)设A 1，A 2，A 3，A 4，A 5是空间中给定的5个不同点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＋MA 5＝0成立的点M 的个数为( )． A ．0 B ．1 C ．5 D ．10解析 法一 (特值法)：不妨取A 1、A 2、A 3、A 4分别是正方形的顶点，A 5为正方形对角线的交点．仅当M 为A 5时满足MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＋MA 5→＝0.故选B.法二 设M (x ，y )，A i (x i ，y i )(i ＝1,2,3,4,5)，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5－5x ＝0，y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5－5y ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)，y ＝15(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5).故点M 的个数为1.选B. 答案 B对应学生267A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( )．A ．(6,3)B ．(7,3)C ．(2,1)D ．(7,2)解析 a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)． 答案 B2．已知平面内任一点O 满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则“x ＋y ＝1”是“点P在直线AB 上”的( )．A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 根据平面向量基本定理知：OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )且x ＋y ＝1等价于P 在直线AB 上． 答案 C3．(2013·金华模拟)设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )．A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D. 答案 D4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝ ( )． A.14B.12C ．1D ．2解析 依题意得a ＋λb ＝(1＋λ，2)， 由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·杭州模拟)若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0， 即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 126．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a＝________.解析 设C (x ，y )，则AC→＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上， ∴3＝12a ·3，∴a ＝2. 答案 2三、解答题(共25分)7．(12分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎨⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )． ∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向． 法二 由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行 ∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13， 此时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向． 8．(13分)已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP→＝OA →＋tAB →，求：(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 (1)OP→＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23； 若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13； 若P 在第二象限，则⎩⎨⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.∴－23＜t ＜－13.(2)因为OA→＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∵⎩⎨⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，无解． 所以四边形OABP 不能成为平行四边形．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )．A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )， 整理得b 2＋a 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0°<C <180°，∴C ＝60°. 答案 B2．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )．A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. ∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)． 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2012·扬州质检)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为________．解析 AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1. ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4ab ＝8.当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号． ∴1a ＋2b 的最小值是8. 答案 84.(2013·青岛期末)设i ，j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．解析 由题意得点A 的坐标为(－2,1)，点B 的坐标为(4,3)，|OA →|＝5，|OB →|＝5.sin ∠AOB ＝sin(∠AOy ＋∠BOy )＝sin ∠AOy cos ∠BOy ＋cos ∠AOy sin ∠BOy ＝255×35＋55×45＝255.故S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12×5×5×255＝5. 答案 5三、解答题(共25分)5．(12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )，(1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标； (2)若a ∥AB→，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．解 (1)∵AB→＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0. ∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB→|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.② 由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1. 当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)， 当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)． (2)由(1)可知t ＝cos θ－12， ∴y ＝cos 2θ－cos θ＋(cos θ－1)24＝54cos 2θ－32cos θ＋14 ＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15.6．(13分)已知向量v ＝(x ，y )与向量d ＝(y,2y －x )的对应关系用d ＝f (v )表示． (1)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )与f (b )的坐标； (2)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 为常数)的向量c 的坐标；(3)证明：对任意的向量a ，b 及常数m ，n 恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )． (1)解 f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)， f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)解 设c ＝(x ，y )，则由f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )， 得⎩⎨⎧ y ＝p ，2y －x ＝q ，所以⎩⎨⎧x ＝2p －q ，y ＝p ， 所以c ＝(2p －q ，p )．(3)证明 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则m a＋n b＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，所以f(m a＋n b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)又mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，所以mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．故f(m a＋n b)＝mf(a)＋nf(b).。
平面向量基本定理及坐标表示
B.(2, 1) 2
D.(1,3)
解析 ∵A(0,2),B(-1,-2),C(3,1), ∴BC=(3,1)-(-1,-2)=(4,3). 设D（x，y),∵AD =(x,y-2)B,C =2AD , ∴(4,3)=(2x,2y-4).∴x=2,y=7 .
2
2.已知a=(4,2),b=(x,3),且a∥b，则x等于（B ）
2
8-2x= (16+x)
题型分类 深度剖析
题型一 平面对量基本定理 【例1】如图所示，在平行四边形ABCD中，
M，N分别为DC，BC旳中点，已知AM =c， AN =d，试用c，d表达AB ，AD .
思维启迪 直接用c、d表达AB、AD有难度，可换一 种角度，由 AB、AD表达 AM、AN ，进而解方程组可 求 AB、 A.D
(x-4)2+(y-1)2=1,
2分 4分 6分
8分
解得
x 4
5 5
或x 4
5 5
.
y
1
25 5
y
1
2
5
5
10分
d ( 20 5 , 5 2 5 )或d ( 20 5 , 5 2 5 ). 12分
5
5
5
5
探究提向升量平行旳坐标公式实质是把向量问题转 化为实数旳运算问题.经过坐标公式建立参数旳方 程，经过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程 思想在向量中旳应用.
知能迁移3 已知点O（0，0），A（1，2），B（4， 5）且 OP OA t AB, （1）求点P在第二象限时，实数t旳取值范围； （2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出 相应旳实数t;若不能，请阐明理由. 解 ∵O（0，0），A（1，2），B（4，5）， ∴ OA =（1，2），AB =（4-1，5-2）=（3，3）. （1）设P（x，y），则OP =（x，y），若点P在第 二象限， 则 x＜0 且(x,y)=(1,2)+t(3,3), y＞0
贵州省2014届高三复习理科数学(人教A)三管齐下：26平面向量的基本定理及坐标表示 含解析
26平面向量的基本定理及坐标表示导学目标：1.了解平面向量的基本定理及其意义。
2。
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3。
会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
4。
理解用坐标表示的平面向量共线的条件．自主梳理1．平面向量基本定理定理:如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，__________一对实数λ1，λ2，使a＝______________。
我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________．2．夹角（1）已知两个非零向量a和b,作OA→＝a，错误!＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的________．（2）向量夹角θ的范围是________，a与b同向时，夹角θ＝____;a与b反向时，夹角θ＝____.（3)如果向量a与b的夹角是________，我们说a与b垂直，记作________．3．把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．4．在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底,对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使a＝x i＋y j,我们把有序数对______叫做向量a的________，记作a ＝________,其中x叫a在________上的坐标,y叫a在________上的坐标．5．平面向量的坐标运算（1）已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝（x 2，y 2）和实数λ，那么a ＋b ＝________________________，a －b ＝________________________,λa ＝________________.（2）已知A （11x y ，），B （22x y ，），则错误!＝错误!－错误!＝（x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1,y 2－y 1）,即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________的坐标减去__________的坐标．6．若a ＝(x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2) (b ≠0），则a ∥b 的充要条件是________________________．7．（1）P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2)，则P 1P 2的中点P 的坐标为________________________________．(2）P 1（x 1，y 1），P 2(x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）,则△P 1P 2P 3的重心P 的坐标为_______________．自我检测1．(2010·福建）若向量a ＝(x,3）（x ∈R )，则“x ＝4”是“|a ｜＝5"的 （ )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．设a ＝错误!，b ＝错误!,且a∥b ，则锐角α为 （ )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3.（2011·马鞍山模拟）已知向量a =（6,—4)，b （0，2），错误!＝c ＝a ＋λb ，若C 点在函数y ＝sin 错误!x 的图象上，则实数λ等于( )A 。
2014高考数学一轮总复习 4.2 平面向量的基本定理及其坐标表示教案 理 新人教A版
4.2 平面向量的基本定理及其坐标表示 典例精析题型一 平面向量基本定理的应用【例1】如图▱ABCD 中,M,N 分别是DC ，BC 中点.已知AM =a,AN =b,试用a ，b 表示AB ，AD 与AC 【解析】易知AM ＝AD ＋DM ＝AD ＋12AB ， AN ＝AB ＋BN ＝AB ＋12AD ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.21,21b a AD AB AB AD所以AB ＝23(2b －a)， AD ＝23(2a －b). 所以AC ＝AB ＋AD ＝23(a ＋b). 【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知D 为△ABC 的边BC 上的中点，△ABC 所在平面内有一点P ，满足PA ＋BP＋CP ＝0，则||||AD PD 等于( )A.13B.12C.1D.2【解析】由于D 为BC 边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知PB ＋PC ＝2PD ，因此结合PA ＋BP ＋CP ＝0即得PA ＝2PD ，因此易得P ，A ，D 三点共线且D 是PA 的中点，所以||||AD PD ＝1，即选C.题型二 向量的坐标运算【例2】 已知a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b.(1)若u ＝3v ，求x ；(2)若u ∥v ，求x.【解析】因为a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，所以u ＝(1，1)＋2(x ，1)＝(1，1)＋(2x ，2)＝(2x ＋1，3)，v ＝2(1，1)－(x ，1)＝(2－x ，1).(1)u ＝3v ⇔(2x ＋1，3)＝3(2－x ，1)⇔(2x ＋1，3)＝(6－3x ，3)，所以2x ＋1＝6－3x ，解得x ＝1.(2)u ∥v ⇔(2x ＋1，3)＝λ(2－x ，1)⇔⎩⎨⎧=-=+λλ3),2(12x x⇔(2x ＋1)－3(2－x)＝0⇔x ＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.【变式训练2】已知向量an ＝(cos nπ7，sin nπ7)(n ∈N*)，|b|＝1.则函数y ＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2的最大值为 .【解析】设b ＝(cos θ，sin θ)，所以y ＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝(a1)2＋b2＋2(cos π7，sin π7)(cos θ，sin θ)＋…＋(a141)2＋b2＋2(cos 141π7，sin 141π7)(cos θ，sin θ)＝282＋2cos(π7－θ)，所以y 的最大值为284. 题型三 平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sin B ，sin A)，p ＝(b －2，a －2).(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积. 【解析】(1)证明：因为m ∥n ，所以asin A ＝bsin B.由正弦定理，得a2＝b2，即a ＝b.所以△ABC 为等腰三角形.(2)因为m ⊥p ，所以m ·p ＝0，即a(b －2)＋b(a －2)＝0，所以a ＋b ＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ，所以(ab)2－3ab －4＝0.所以ab ＝4或ab ＝－1(舍去).所以S △ABC ＝12absin C ＝12×4×32＝ 3. 【点拨】设m ＝(x1，y1)，n ＝(x2，y2)，则①m ∥n ⇔x1y2＝x2y1；②m ⊥n ⇔x1x2＋y1y2＝0.【变式训练3】已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(2cosC －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1).若m ⊥n ，且a ＋b ＝10，则△ABC 周长的最小值为( )A.10－5 3B.10＋5 3C.10－2 3D.10＋2 3【解析】由m ⊥n 得2cos2C －3cos C －2＝0，解得cos C ＝－12或cos C ＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcos C ＝a2＋b2＋ab ＝(a ＋b)2－ab ＝100－ab ，由10＝a ＋b≥2ab ⇒ab≤25，所以c2≥75，即c≥53，所以a ＋b ＋c≥10＋53，当且仅当a ＝b ＝5时，等号成立.故选B.总结提高1.向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来.向量方法是几何方法与代数方法的结合体，很多几何问题可转化为熟知的向量运算.2.向量的运算中要特别注意方程思想的运用.3.向量的运算分为向量形式与坐标形式.向量形式即平行四边形法则与三角形法则，坐标形式即代入向量的直角坐标.。
【金版教程】2014届高考数学总复习 第4章 第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示课件 理 新人教A版
经典演练提能
1. [2012·广东高考]若向量B→A＝(2,3)，C→A＝(4,7)，则B→C
＝( )
A. (－2，－4)
B. (2,4)
C. (6,10)
D. (－6，－10)
答案：A
解析：B→C＝B→A＋A→C＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．
2. 如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且 A→B＝a，A→D＝b，则B→E＝( )
的坐标都变了，但向量的坐标不变．
2项必须防范
1.
若a，b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或
180°，忽视其中一种情形会出错．
2. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示
为xx12＝yy12，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
3条必会结论
核心要点研究
例1 [2013·南京模拟]在平行四边形ABCD中，E和F分
别是边CD和BC的→ AE
＋μ
→ AF
，其中λ，μ∈
R，则λ＋μ＝________.
[解析] A→C＝A→B＋A→D， A→E＝12A→B＋A→D， A→F＝A→B＋12A→D，
于是得λ12＋λ＋12μμ＝ ＝11， ，
(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， ∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－1163. (3)设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)， 由题意得4x－x－442＋－2y－y－112＝＝50，， 得xy＝＝3－，1， 或xy＝＝53，. ∴d＝(3，－1)或(5,3)．
A. b－12a C. a＋12b
B. b＋12a D. a－12b
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2014届高考数学理科试题大冲关：平面向量基本定理及坐标表示
一、选择题
1．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a·b 的值为
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ＝a ，AD ＝b ，则BE ＝
( )
A ．b －12
a B ．
b ＋12a C ．a ＋12b D ． a －12
b 3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，
c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c 则
λ＝( )
A.14
B.12 C ．1
D ．2 4．已知向量a ＝(1,1－cos θ)，b ＝(1＋cos θ，12
)，且a ∥b ， 则锐角θ等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
5．已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点
共线的充要条件为( )
A ．λ＋μ＝2
B ．λ－μ＝1
C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ， c ，m ＝(3b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，m ∥n ，则cos A 的值等于( ) A.
36 B.34 C.33 D.3
2二、填空题
7．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b
的值等于________． 8．在△ABC 中，CA ＝a ，CB ＝b ，M 是CB 的中点，N 是AB 的中点，且CN 、AM 交
于点P ，则AP ＝_______(用a ，b 表示)．
9．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.
三、解答题
10．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，λ∈R ，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，求λ.
11．已知P 为△ABC 内一点，且3AP ＋4BP ＋5CP ＝0.延长AP 交BC 于点D ，若AB ＝a ，AC ＝b ，用a 、b 表示向量AP 、AD .
12．已知O 为坐标原点， A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB .
(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线；
(3)若t 1＝a 2
，求当OM ⊥AB 且△ABM 的面积为12时a 的值．
详解答案
一、选择题
1．解析：依题意得a ＋b ＝(3，k ＋2)．由a ＋b 与a 共线，得1×(k ＋2)－3×k ＝0，由此解得k ＝1，a·b ＝2＋2k ＝4.
答案：D
2．解析：BE ＝BA ＋AD ＋DE ＝－a ＋b ＋12a ＝b －12
a .
答案：A
3．解析：可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12
答案：B
4．解析：∵a ∥b ，∴(1－cos θ)(1＋cos θ)＝12
. 即sin 2θ＝12
，又∵θ为锐角， ∴sin θ＝
22
，θ＝45°. 答案：B 5．解析：∵AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，
且A 、B 、C 三点共线．
∴存在实数m ，使AB ＝m AC ，即
λa ＋b ＝m (a ＋μb )
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝m 1＝mμ，∴λμ＝1. 答案：D
6．解析：m ∥n ⇒(3b －c )cos A －a cos C ＝0，再由正弦定理得3sin B cos A ＝sin C cos A ＋cos C sin A ⇒
3sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，即cos A ＝
33
. 答案：C
二、填空题 7．解析：AB ＝(a －2，－2)，AC ＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即
ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12
. 答案：12
8．解析：如图所示，AP ＝AC ＋CP ＝－CA ＋23
CN ＝－CA ＋23×12 (CA ＋CB )＝－CA ＋13CA ＋13CB ＝－23CA ＋13CB ＝－23
a ＋13
b . 答案：－23a ＋13
b 9．解析：由已知a ＋b ＝(1，m －1)，
c ＝(－1,2)，
由(a ＋b )∥c 得1×2－(m －1)×(－1)＝m ＋1＝0，
所以m ＝－1.
答案：－1
三、解答题
10．解：λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)，
又向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，
所以－7(λ＋2)－(－4)(2λ＋3)＝0，解得λ＝2.
11．解：∵BP ＝AP －AB
＝AP －a ，CP ＝AP －AC ＝AP －b ，
又3AP ＋4BP ＋5CP ＝0，
∴3AP ＋4(AP －a )＋5(AP －b )＝0，
化简，得AP ＝13a ＋512
b . 设AD ＝t AP (t ∈R)，则AD ＝13ta ＋512
tb .① 又设BD ＝k BC (k ∈R)，由BC ＝AC －AB ＝b －a ，得
BD ＝k (b －a )．而AD ＝AB ＋BD ＝a ＋BD ，
∴AD ＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋kb .②
由①②，得13t ＝1－k ，512t ＝k 解得t ＝43
. 代入①，有AD ＝49a ＋59
b . 12．解：(1) OM ＝t 1OA ＋t 2AB ＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2)．
当点M 在第二或第三象限时，有4t 2＜0,2t 1＋4t 2≠0
故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.
(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM ＝(4t 2,4t 2＋2)．
∵AB ＝OB －OA ＝(4,4)，
AM ＝OM －OA ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB ，
∴不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点共线．
(3)当t 1＝a 2
时，OM ＝(4t 2,4t 2＋2a 2)．
又∵AB ＝(4,4)，OM ⊥AB ， ∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0，∴t 2＝－14
a 2. ∴OM ＝(－a 2，a 2)．
又∵|AB |＝42，
点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离
d ＝|－a 2－a 2＋2|2
＝2|a 2－1|. ∵S △ABM ＝12， ∴12|AB |·d ＝12
×42×2|a 2－1|＝12，解得a ＝±2，故所求a 的值为±2.。