2017年春季学期新版新人教版七年级数学下学期5.3.1、平行线的性质同步练习23

一道平行线中考题的思考
问题的提出：
如图是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，则∠1+∠2＝度.
解题思路的要领分析：
要两个角的度数和，关键是把生活中的实物图抽象成平面几何图形。

然后利用我们所学的平行线的有关性质，就可以把问题化解了。

解题的关键突破：
尽管同学们，能把实物图转化成几何平面图，但是，仅靠现有的条件还是不能解决问题的，这就需要同学们，结合图形，认真思考，巧妙添加辅助线。

不同思考，将会带来不同的辅助线。

下面的解题过程展示，将让同学们体会辅助线的精彩与美丽。

同时，也希望同学们能从中汲取点有益的思路。

解题过程的展示：
解法1：
如图1所示，
过点B作BD∥AE，
所以，∠1=∠ABD，（两直线平行，内错角相等）
因为，AE∥CF，
所以，BD∥CF，
所以，∠2=∠DBC，（两直线平行，内错角相等）
因为，∠ABD+∠DBC=90°，
所以，∠1+∠2=90°。

解法2：
如图2所示，
延长AB，交直线CF于点D，
因为，AE∥CF，
所以，∠1=∠ADC，（两直线平行，内错角相等）
因为，∠ABC=90°，∠ABD=180°，
所以，∠DBC=90°，
在三角形BDC中，
∠DBC+∠ADC+∠2=180°，（三角形的内角和是180°）
所以，∠ADC+∠2=90°，
所以，∠1+∠2=90°。

解法3：
如图3所示，
延长FC，交直线AD于点D，
因为，AE∥CF，
所以，∠ADC+∠EAD=180°，（两直线平行，同旁内角互补）因为，AD∥CB，
所以，∠ADC=∠2，（两直线平行，同位角相等）
所以，∠2+∠EAD=180°，
因为，∠EAD=∠1+∠BAD，
所以，∠2+∠1+∠BAD=180°，
因为，∠BAD=90°，
所以，∠1+∠2=90°。

解法4：
如图4所示，
延长CB，交直线AE于点D，
因为，AE∥CF，
所以，∠2=∠ADC，（两直线平行，内错角相等）
因为，∠ABC=90°，∠CBD=180°，
所以，∠ABD=90°，
在三角形BDA中，
∠ABD+∠ADB+∠1=180°，（三角形的内角和是180°）
所以，∠ADC+∠1=90°，
所以，∠1+∠2=90°。

解法5：
如图5所示，
延长FC，交直线AD于点D，延长EA到点G，
因为，AE∥CF，
所以，∠GAD=∠ADC，（两直线平行，内错角相等）
因为，AD∥CB，
所以，∠ADC=∠2，（两直线平行，同位角相等）
因为，∠GAD+∠1+∠BAD=180°，
因为，∠BAD=90°，
所以，∠1+∠GAD=90°。

所以，∠1+∠2=90°。

当然，此题还有其它的解法，感兴趣的同学，可以继续思考。

在这里，就不再作过多的探讨了。