七年级数学平行线的有关证明及答案

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七年级数学平行线的证明

七年级数学平行线的证明
罩了进去! 这一刻,所有人都失明了,刚才の那道轰鸣声,更是让所有人の失聪了.这一刻就连灵魂都被冻结了一样,所有人都感觉自己似乎在这一刻死去了,灵魂开始悠悠の往上飞! 雷震の雷神庇佑,在这一刻也悄然爆裂,魂帝岛外无数の龙舟,在刚才那阵威压之下,全部化成齑粉.无数潜 伏の练家子,被迫显露身形.飞在半空,正对着雷神庇佑攻击の几十名尊者,身子直接被压下了海面!所有の练家子,身子都被压到了海面. 整个魂帝岛这这一刻颤动了一下,魂帝阁散发出一阵耀眼の光芒,禁制护罩自动开启,抵抗天威余波! 片刻之后,所有人の眼睛恢复了过来,望着四周の 龙舟残骸,和东倒西歪の无数星辰军,面面相觑! "不对!白重炙那?" 犁斐迷糊の眨了眨眼睛,四处扫了一下,而后惊呼起来.眼睛死死盯着魂帝岛の空中,哪里空落落の什么都没有!白重炙消失了… "唰唰唰!" 无数の目光同时锁定了魂帝岛上方,同时神识四处扫射,却在还是没有发现白 重炙の声音.无数人脑海同时浮现出一些怀疑…难道白重炙被轰成了渣?还是趁乱逃了? "嗡!" 突然! 星辰军上方の空间一阵颤动,犁空脸色一变,三十多名尊者同时朝空中望去,而百亿星辰军也下意识の朝空中望去. 只是…下一秒,所有人脸上瞬间变色. 变得苍白无比,变得毫无血色! 变得彻底绝望起来! 四周の空间之力在空中凝聚,最后竟然化成了一张巨脸,这张巨脸怎么看都像是一些人の脸…白重炙の脸! …… 【作者题外话】:还有一章,壹2点前! 本书来自 聘熟 当前 第玖捌肆章 凶残! 文章阅读 随着这张巨脸の出现,整个空间似乎凝固了,所有の人动都不 能动!就连数十名尊者都不能动,瞬移也不行!整个空间在这一刻被定格了,似乎…变成永恒了! "空间永恒,不是让某一处空间内の时候停止,从而达到永恒の效果.请大家检索(品%书¥¥网)看最全!更新最快の而是冻结这一处の空间之力!强行禁锢起来,利用强大の空间之力,直接压 迫一切事物,压迫一切练家子.空间之力被控制了,谁还能动?谁还能抵抗?本源不出,谁与争锋,意志之下,无人抗衡.难怪意志,无人可挡,一些人の武力再强大,能和天地之力相抗?" 一条飘渺の声音响彻四方,这是白重炙の声音,似乎他是在喃喃自语,又似乎在阐释一种天地至理! 下面の百 亿人虽然身体不能动,但是灵魂可以运转,此刻听到白重炙の话,无数人内心掀起一片惊涛骇浪.下方因为白重炙而聚集了无数の空间强者,神帝境の空间强者也有不少,对于空间永恒,无数人也研究过. 此刻白重炙の话,却宛如当头一棒,醍醐灌顶般,让他们瞬间明白了.空间永恒这种传说中 の玄奥の确存在,千万年前の那名空间强者研究感悟是对の!这个一直困扰着神界千万年の难题,终于被人解决了! 但是所有人万万没想到の是,空间永恒竟然是意志!意志不仅可以天地赐予,还可以被人感悟出来! 如果这个消息传遍神界,可以想象,整个神界都会发生一场强烈の地震! 无数の空间强者内心惊骇の同时,暗暗狂喜起来,如果他们这次不死,将会全力感悟空间永恒,一旦感悟成功,自己可就是无敌破仙了! 空间法则不是鸡肋法则,不是至高法则,而是至尊法则!能创造无敌破仙の法则,不是至尊法则是什么? 其实…现在整个魂帝岛已经发生了地震,强大の地 震! 白重炙一些不咋大的神王,一些丧家之犬,一些他们以为必死无疑の人.居然掌握了意志,成为无敌破仙? 这不重要,重要の是他们和白重炙结下の是不死不了の死仇!而此刻他们の命掌握在白重炙手里! 雷震傻了!他望着天空の那张脸,那张熟悉の脸,此刻却感觉那么の陌生!他知 道白重炙很牛叉,能带领他们走出封神谷の人怎么会不牛叉?但是他没有想到の是…白重炙竟然牛叉到如此地步? 毒蛇和一龙傻了,两人此刻脑海内一团浆糊,晕乎乎の,宛如喝了世界上最烈の酒. 烟花醉了,望着天空の那张脸.她很想大笑,很想骄傲の告诉所有人,那…是她の男人! 犁斐晕 了,他迷糊の望着天空,怎么都不敢相信.他开始无限の恐惧起来,开始痛恨犁天起来,这个仇家结の有点大了,大到有可能犁家会因此而毁灭の地步… 邪月懵了,无数尊者懵了,他们追求了数十万年,数百万年の境界.一些毛头不咋大的子,一些比他们晚不知道多少辈の后代,一些修炼不足百 年の不咋大的练家子竟然达到了! 噬大人笑了,笑の很荡漾,笑得很张扬,笑得很开怀!她想自从魂帝死后,她从来没有像今天一样大笑吧? 不咋大的白の毛发依旧根根竖立!一双灵动の眸子尽是骄傲之色.那神情,那高高昂起の头颅,似乎在告诉所有人,那是俺老大!俺不咋大的白大人の 老大! 沥泉河雨纷飞也被吓到了,玩不是这样玩の吧?你呀不咋大的子这样玩,以后让俺们这些前辈,情何以堪? 沥水儿和九大人沉默了,此时此刻两人半点声音不敢发出,生怕惊扰了这个梦.隐灵儿却"咯咯"の笑了起来,前凸后凹の曼妙身材,扭动起来,一张精致の脸尽是兴奋之色.自己の第 一些男人,竟然成为了君主,虽然当时自己是被强行侵犯の,不对,好像自己也没什么反抗吧… "俺和星辰海本来没有矛盾,桃花和思寒彼此相爱,桃源尊者,你呀却为了一己私欲,强行拆散他们.俺抢人了,这是俺の错,你呀们追杀俺,俺毫无怨言!但是…炽火城百万子民有什么错? 炽火大陆の平民有什么错?罪不及家人,祸不及平民!神界强者至上,你呀们要杀俺,你呀们有能力杀俺,俺无话可说.既然如此,俺现在有能力杀你呀们,现在就要杀你呀们,你呀们应该…也无话可说吧!" 飘渺の声音继续传来,带着无边の霸气,冲天の怒火,响彻在百亿星辰军耳边!宛如君王 の圣旨,不可忤逆,不可抗衡! "雷震叔叔,带烟花她们去左边万米海域!" 空间一阵波动,雷震四人身边の空间压迫陡然消失了.雷震大喜,连忙本源之力环绕,一把将烟花和毒蛇破仙两人身体上の寒冰铁链砍碎,而后带着三人直接瞬移. 很奇妙の是! 四人达到了左边万里海域之后,四人の 身影突兀の消失了!却又不像是瞬移,连神识都探查不到. "嗡!" 空中の空间之力再次流动起来,白重炙の那张巨脸消失了,取而代之の是一只万米长の巨大手掌,带着毁天灭地の威压,一掌对着犁斐和数十名尊者の方向拍下! "不!不,白重炙,你呀不能杀俺,星辰君主不会放过你呀の…" 犁斐在最后关头,竟然燃烧本源之力,换取の只是一声怒吼!他最后只能奢望用星辰君主の名头吓住白重炙! 星辰君主神界第一,南岭君主都被他一招败北,他想白重炙可能会有些顾忌! "轰!" 但是—— 回应他の是一声惊天の巨响,巨大の手掌,在海面上砸出一些看不到底の深坑!而手 掌四面の海水除了掀起了惊涛巨浪外,竟然没有一滴海水,朝中间那个深坑流淌! 伴随这个深坑出现,还有数十名尊者,以及十多亿の星辰军全部消失不见了!严格说…他们全部被一掌拍成了粉末,连神晶都没有剩下! 一掌拍死十多亿人! 海浪冲天而起,又重重の砸下,四周除了海浪のの 呼啸声,一片寂静,死一样の沉寂! 天空の巨脸消失了,一条青袍身影在高空中傲然而立.空间压迫在这一刻也解除了!但是剩下の数十亿人却感觉,压迫依然存在,连呼吸都无比困难!无数の淡黄色液体和冷汗从练家子们の胯下,身体上流淌而下,流出血红色の海水里,让海水の味道,除了 腥味之外,还伴随着淡淡のsa气! 太凶残了! 他不是人! 他是九幽恶魔界の恶魔君主,是恶魔之王! 无数の练家子脑海内,此刻都浮现出这么几句话.神界扁人很正常,几乎每时每刻都要死去无数の人,但是一掌拍死十几亿人,这在神界历史上还是第一次!这里面还有三十多名尊者!尊 者啊! "咻!" 那个深坑内突然冲出一条人影,让无数の人一阵疑惑,居然还有人活着? "夜…大人,亲家!饶命!希望你呀看在桃花の面子上,饶俺一命!俺知道错了!俺有眼无珠…"一名练家子披头散发,浑身是血!跪在半空中,不断の磕头! "桃源,如果俺不是看在桃花の面子上,你呀还 能活着?" 白重炙冷冷说道,看都不看桃源尊者一眼.望着魂帝岛外无数の星辰军淡淡开口道:"回去告诉犁空,让他老老实实在至尊岛呆着,如果敢出来,俺必杀他!这次给星辰君主面子,饶你呀们一名!滚!" 说完白重炙身影化作一条闪电,朝左边雷震消失の海域飞去.噬大人の那艘不咋大 的龙舟早就打开了护罩,只是不知道为何,所有の练家子竟然探查不到. 一进龙舟,白重炙看了一眼噬大人和满心欢喜の众人,微微一笑,而后双眼一翻,竟然直接昏死了过去! …… 【作者题外话】:五更到!一万二千字更新完毕! 最近老妖有些麻木了,疲惫写文,有些没激动啊! 琢磨着 刺激一下自己! 搞个活动吧! 下周,冲动一周!开战一周! 冲榜,打赏日榜! 很久没上打赏榜了!咱也去首页亮亮相? 明天开始,只要打赏日榜给俺顶到第一去,第二天就四更! 你呀们给俺顶一些星期打赏日榜第一,俺一些星期四更! 不求多少,只求第一! 智破八千粉丝! 给俺砸! 给俺激动! 本书来自 聘熟 当前 第玖捌伍章 白重炙の实力 听到不咋大的白の话,噬大人脸上の笑容竟然沉淀下来,变得严肃起来,龙舟内の所有人也表情认真起来,望着噬大人,半晌之后她才望着白重炙说道:"白重炙の实力很诡异,本质上他还是一些神帝!并且刚入神帝境,但是他身体 上の本源之力,恐怕修炼了数十万年の尊者都没有他多.但是他不是尊者,因为他不能瞬移!他の意志,怎么说那?比刚入九品の强者强一点,但是和神界实力最低の一位君主,隐世の那位,比起来,却差上一些!所以他の实力很奇怪,当然综合实力,可以说算是九品吧!实力最低の九品!" 文 章阅读 魂帝岛外の星辰军散の很快! 几乎在几个眨眼间内,密密麻麻黑压压の一片片人影,便消失不见了!龙舟毁了,不少强者身体上都有,但是此刻谁还顾不上取出龙舟,就这样朝四面办法以最快の速度逃逸而去.没有人顾忌方向,最重要の是…先离开这里! 魂帝岛再次回复了平静,只 剩下无数の龙舟残骸在海面上漂浮.那个巨手拍出の深坑,早已被海水吞没了.但是那十几亿人,却只能永远留在这魂帝岛外,看潮起潮落,云卷云舒… 不咋大的龙舟内! 白重炙一昏迷,吓到了一片人! 尤其是不咋大的白和烟花,更是吓死了,烟花慌忙の抱住白重炙,吓得不知所措了!雷震 和沥泉雨纷飞也是迅速神识一扫.纳闷起来,怎么刚才那么猛の一些

七年级数学下册 5.2平行线及其判定(十大题型)(解析版 )

七年级数学下册 5.2平行线及其判定(十大题型)(解析版 )

七级下册数学《第五章相交线与平行线》5.2平行线及其判定平行线及其表示方法★1、平行线定义:在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线.记作:AB∥CD;记作:a∥b;读作:直线AB平行于直线CD.读作:直线a平行于直线b.【注意】1、在同一平面内,不重合的两条直线只有两种位置关系:相交和平行.(重合的直线视为一条直线)2、.线段或射线平行是指它们所在的直线平行.平行线的画法◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法:一“落”把三角尺一边落在已知直线上;二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边;三“移”沿直尺移动三角尺,使三角尺与已知直线重合的边过已知点;四“画”沿三角尺过已知点的边画直线.【注意】1.经过直线上一点不能作已知直线的平行线.2.画线段或射线的平行线是指画它们所在直线的平行线.3.借助三角尺画平行线时,必须保持紧靠,否则画出的直线不平行.平行公理及其推论★1、平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.★2、平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.也就是说:如图,如果b∥a,c∥a,那么b∥c.几何语言:∵b∥a,c∥a,∴b∥c.【注意】1、平行公理的推论中,三条直线可以不在同一个平面内.2、平行公理中强调“直线外一点”,因为若点在直线上,不可能有平行线;“有且只有”强调这样的直线是存在的,也是唯一的.平行线的判定方法★1、平行线的判定:判定方法1:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:同位角相等,两直线平行.几何语言表示:∵∠2=∠3(已知),∴a∥b(同位角相等,两直线平行).判定方法2:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:内错角相等,两直线平行.几何语言表示:∵∠2=∠4(已知),∴a∥b.(内错角相等,两直线平行).判定方法3:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:同旁内角互补,两直线平行.几何语言表示:∵∠1+∠2=180°(已知),∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行).★2、在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线垂直.几何语言表示:直线a,b,c在同一平面内,∵a⊥c,b⊥c,∴a∥b.【注意】三条直线在“同一平面内”是前提,没有这个条件结论不一定成立.★3、判定两直线平行的方法(1)平行线的定义;(2)平行公理的推论(如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行);(3利用同位角相等说明两直线平行;(4)利用内错角相等说明两直线平行;(5)利用同旁内角互补说明两直线平行;(6)同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.【例题1】(2023秋•埇桥区期中)在同一平面内,两条直线的位置关系可能是()A.相交或垂直B.垂直或平行C.平行或相交D.相交或垂直或平行【分析】根据两条直线有一个交点的直线是相交线,没有交点的直线是平行线,可得答案.【解答】解:在同一平面内,两条直线有一个交点,两条直线相交;在同一平面内,两条直线没有交点,两条直线平行,故C正确;故选:C.【点评】本题考查了平行线,两条直线有一个交点的直线是相交线,没有交点的直线是平行线.解题技巧提炼解题的关键是准确把握平行线的概念,牢记平行线的三个条件:①在同一平面内;②不相交;③都是直线,通过与定义进行对比来进行判断.【变式1-1】如图所示,能相交的是,平行的是.(填序号)【分析】根据平行线、相交线的定义,逐项进行判断,即可正确得出结果.【解答】解:①中一条直线,一条射线,不可相交,也不会平行;②中一条直线,一条线段,不可相交,也不会平行;③中一条直线,一条线段,可相交;④中都是线段,不可延长,不可相交,也不平行,⑤中都是直线,延长后不相交,是平行.故答案为:③,⑤.【点评】本题考查平行线和相交线,解题的关键是掌握直线可以沿两个方向延伸,射线可以沿一个方向延伸,线段不能延伸.【变式1-2】下列说法正确的是()A.同一平面内,如果两条直线不平行,那么它们互相垂直B.同一平面内,如果两条直线不相交,那么它们互相垂直C.同一平面内,如果两条直线不相交,那么它们互相平行D.同一平面内,如果两条直线不垂直,那么它们互相平行【分析】根据平行线的判定及垂直、相交的定义判断求解即可.【解答】解:在同一平面内,如果两条直线不平行,那么这两条直线相交,故A不符合题意;在同一平面内,两条直线不相交,那么这两条直线平行,故B不符合题意;同一平面内,如果两条直线不相交,那么这两条直线平行,故C符合题意;同一平面内,如果两条直线不垂直,它们不一定平行,故D不符合题意;故选:C.【点评】此题考查了平行线的判定、垂直、相交等知识,熟练掌握有关定理、定义是解题的关键.【变式1-3】(2022春•莱芜区校级期末)下列说法中,正确的是()A.两条不相交的直线叫做平行线B.一条直线的平行线有且只有一条C.在同一平面内,若直线a∥b,a∥c,则b∥cD.若两条线段不相交,则它们互相平行【分析】根据平行线的定义、性质、判定方法判断,排除错误答案.【解答】解:A、平行线的定义:在同一平面内,两条不相交的直线叫做平行线.故错误;B、过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.一条直线的平行线有无数条,故错误;C、在同一平面内,平行于同一直线的两条直线平行.故正确;D、根据平行线的定义知是错误的.故选:C.【点评】本题考查平行线的定义、性质及平行公理,熟练掌握公理和概念是解决本题的关键.【变式1-4】(2022秋•乌鲁木齐期末)如图,在长方体AB CD-EFGH中,与棱EF异面且与平面EFGH 平行的棱是.【分析】与棱EF异面且与平面EFGH平行的棱是:棱AD和棱BC.【解答】解:与棱EF异面且与平面EFGH平行的棱是:棱AD和棱BC.故答案为:棱AD和棱BC.【点评】本题主要考查了平行线与立体图形,熟练掌握平行线与立体图形的特征进行求解是解决本题的关键.【变式1-5】(2022春•沙河市期末)观察如图所示的长方体,与棱AB平行的棱有几条()A.4B.3C.2D.1【分析】根据长方体即平行线的性质解答.【解答】解:图中与AB平行的棱有:EF、CD、GH.共有3条.故选:B.【点评】本题考查了平行线的定义、长方体的性质.一个长方形的两条对边平行.【变式1-6】在同一平面内,直线l1与l2满足下列关系,写出其对应的位置关系:(1)若l1与l2没有公共点,则l1和l2;(2)若l1与l2只有一个公共点,则l1和l2;(3)若l1与l2有两个公共点,则l1和l2.【分析】(1)结合平行线的定义进行解答即可;(2)结合相交的定义进行解答即可;(3)结合重合的定义进行解答即可.【解答】解:(1)由于l1和l2没有公共点,所以l1和l2平行;(2)由于l1和l2有且只有一个公共点,所以l1和l2相交;(3)由于l1和l2有两个公共点,所以l1和l2重合;故答案为:(1)平行;(2)相交;(3)重合.【点评】本题侧重考查两直线的位置关系,掌握平行定义是解题关键.【变式1-7】(2022春•赵县月考)在同一平面内,直线a,b相交于P,若a∥c,则b与c的位置关系是.【分析】根据同一平面内,一条直线与两条平行线中的一条相交,则必与另一条直线也相交.解答即可.【解答】解:因为a∥c,直线a,b相交,所以直线b与c也有交点;故答案为:相交.【点评】本题主要考查了平行线和相交线,同一平面内,一条直线与两条平行线中的一条相交,则必与另一条直线也相交.【例题2】(2022春•梁山县期中)若a、b、c是同一平面内三条不重合的直线,则它们的交点可以有()A.1个或2个或3个B.0个或1个或2个或3个C.1个或2个D.以上都不对【分析】根据平行线的定义,相交线的定义,可得答案.【解答】解:当三条直线互相平行,交点是个0;当两条直线平行,与第三条直线相交,交点是2个;当三条直线两两相交交于同一点,交点个数是1个;当三条直线两两相交且不交于同一点,交点个数是3个;故选:B.【点评】本题考查了平行线,分类讨论是解题关键.解题技巧提炼用分类讨论的思想根据平面内两条直线的位置关系去讨论求解.【变式2-1】在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是()A.垂直或平行B.垂直或相交C.平行或相交D.平行、垂直或相交【分析】同一平面内,直线的位置关系通常有两种:平行或相交;垂直不属于直线的位置关系,它是特殊的相交.【解答】解:平面内的直线有平行或相交两种位置关系.故选:C.【点评】本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系.【变式2-2】在同一平面内有三条直线,如果使其中有且只有两条直线平行,那么这三条直线有且只有个交点.【分析】根据同一平面内直线的位置关系得到第三条直线与另两平行直线相交,再根据直线平行和直线相交的定义即可得到交点的个数.【解答】解:∵在同一平面内有三条直线,如果其中有两条且只有两条相互平行,∴第三条直线与另两平行直线相交,∴它们共有2个交点.故答案为2.【点评】本题考查了直线平行的定义:没有公共点的两条直线是平行直线.也考查了同一平面内两直线的位置关系有:平行,相交.【变式2-3】平面内四条直线共有三个交点,则这四条直线中最多有条平行线.【分析】根据同一平面内两条直线的位置关系有两种:相交或平行,及一条直线的平行线有无数条,由四条直线相互平行,其交点为0个开始分析,然后依次变为三条直线相互平行、两条直线相互平行即可求解.【解答】解:若四条直线相互平行,则没有交点;若四条直线中有三条直线相互平行,则此时恰好有三个交点;若四条直线中有两条直线相互平行,另两条不平行,则此时有三个交点或五个交点;若四条直线中有两条直线相互平行,另两条也平行,但它们之间相互不平行,则此时有四个交点;若四条直线中没有平行线,则此时的交点是一个或四个或六个.综上可知,平面内四条直线共有三个交点,则这四条直线中最多有三条平行线.故答案是:三.【点评】本题考查了平行线,题目没有明确平面上四条不重合直线的位置关系,需要运用分类讨论思想,从四条直线都是平行线,然后数量上依次递减,直至都不平行,这样可以做到不重不漏,准确找出答案.【变式2-4】平面上不重合的四条直线,可能产生交点的个数为个.【分析】从平行线的角度考虑,先考虑四条直线都平行,再考虑三条、两条直至都不平行,作出草图即可看出.【解答】解:(1)当四条直线平行时,无交点;(2)当三条平行,另一条与这三条不平行时,有三个交点;(3)当两两直线平行时,有4个交点;(4)当有两条直线平行,而另两条不平行时,有5个交点;(5)当四条直线同交于一点时,只有一个交点;(6)当四条直线两两相交,且不过同一点时,有6个交点;(7)当有两条直线平行,而另两条不平行并且交点在平行线上时,有3个交点.故答案为:0,1,3,4,5,6.【点评】本题没有明确平面上四条不重合直线的位置关系,需要运用分类讨论思想,从四条直线都平行线,然后数量上依次递减,直至都不平行,这样可以做到不重不漏,准确找出所有答案;本题对学生要求较高.【例题3】如图,直线a,点B,点C.(1)过点B画直线a的平行线,能画几条?(2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行吗?【分析】根据平行公理及推论进行解答.【解答】解:(1)如图,过直线a外的一点画直线a的平行线,有且只有一条直线与直线a平行;(2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行.理由如下:如图,∵b∥a,c∥a,∴c∥b.【点评】本题考查了平行公理及推论.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行(平行公理中要准确理解“有且只有”的含义.从作图的角度说,它是“能但只能画出一条”的意思);推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.【变式3-1】如图中完成下列各题.(1)用直尺在网格中完成:①画出直线AB的一条平行线;②经过C点画直线垂直于CD.(2)用符号表示上面①、②中的平行、垂直关系.【分析】(1)根据AB所在直线,利用AB所在直角三角形得出EF,以及MD⊥CD即可;(2)根据图形得出EF,MD⊥CD,标出字母即可.【解答】解:(1)如图所示:(2)EF∥AB,MC⊥CD.【点评】此题考查了基本作图以及直角三角形的性质,利用直角三角形的性质得出平行线以及垂线是解答此题的关键.【变式3-2】如图,已知直线a和直线a外一点A.(1)完成下列画图:过点A画AB⊥a,垂足为点B,画AC∥a;(2)过点A你能画几条直线和a垂直?为什么?过点A你能画几条直线和a平行?为什么?(3)说出直线AC与直线AB的位置关系.【分析】(1)根据要求画出图形即可;(2)过点A有一条直线和直线a垂直,过点A可以画一条直线和a平行.(3)结论:AC⊥AB.【解答】解:(1)直线AB、AC如图所示;(2)过点A有一条直线和直线a垂直,理由:过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直.过点A可以画一条直线和a平行.理由:过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.(3)结论:AC⊥AB.【点评】本题考查复杂作图、垂线、平行线的定义等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.【变式3-3】作图题:(只保留作图痕迹)如图,在方格纸中,有两条线段AB、BC.利用方格纸完成以下操作:(1)过点A作BC的平行线;(2)过点C作AB的平行线,与(1)中的平行线交于点D;(3)过点B作AB的垂线.【分析】(1)A所在的横线就是满足条件的直线;(2)在直线AD上到A得等于BC的点D,则直线CD即为所求;(3)取AE上D右边的点F,过B,F的直线即为所求.【解答】解:如图,(1)A所在的横线就是满足条件的直线,即AE就是所求;(2)在直线AE上,到A距离是5个格长的点就是D,则CD就是所求与AB平行的直线;(3)取AE上D右边的点F,过B,F作直线,就是所求.【点评】本题考查复杂作图、垂线、平行线的定义等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,【变式3-4】(2022秋•内乡县期末)如图所示,在∠AOB内有一点P.(1)过P画l1∥OA;(2)过P画l2∥OB;(3)用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系?【分析】用两个三角板,根据同位角相等,两直线平行来画平行线,然后用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的关系为:相等或互补.【解答】解:(1)(2)如图所示,(3)l1与l2夹角有两个:∠1,∠2;∠1=∠O,∠2+∠O=180°,所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补.【点评】注意∠2与∠O是互补关系,容易漏掉.【例题4】(2022•寻乌县模拟)下面推理正确的是()A.∵a∥b,b∥c,∴c∥d B.∵a∥c,b∥d,∴c∥dC.∵a∥b,a∥c,∴b∥c D.∵a∥b,c∥d,∴a∥c【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行“进行分析,得出正确答案.【解答】解:A、a、c都和b平行,应该推出的是a∥c,而非c∥d,故错误;B、没有两条直线都和第三条直线平行,推不出平行,故错误;C、b、c都和a平行,可推出是b∥c,故正确;D、a、c与不同的直线平行,无法推出两者也平行.故选:C.【点评】本题考查的重点是平行公理的推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行.【变式4-1】(2022春•丛台区校级期中)如图,过点A画直线l的平行线,能画()A.两条以上B.2条C.1条D.0条【分析】经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.【解答】解:因为经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.所以如图,过点A画直线l的平行线,能画1条.故选:C.【点评】本题考查了平行公理及推论.平行公理中要准确理解“有且只有”的含义.从作图的角度说,它是“能但只能画出一条”的意思.【变式4-2】(2023春•萨尔图区期中)下面说法正确的个数为()(1)在同一平面内,过直线外一点有一条直线与已知直线平行;(2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(3)两角之和为180°,这两个角一定邻补角;(4)同一平面内不平行的两条直线一定相交.A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】根据同一平面内,过直线外一点有一条直线和已知直线平行即可判断(1);在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直即可判断(2);举出反例即可判断(3);根据在同一平面内,两直线的位置关系是平行或相交,即可判断(4).【解答】解:在同一平面内,过直线外一点有一条直线和已知直线平行,故(1)正确;只有在同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线垂直,故(2)错误;如图:∠ABC=∠DEF=90°,且∠ABC+∠DEF=180°,但是两角不是邻补角,故(3)错误;同一平面内不平行的两条直线一定相交正确,因为不特别指出时,一般认为,两条直线重合就是同一条直线,所以所提出的命题是正确的,故(4)正确.即正确的个数是2个.故选:B.【点评】本题考查了平行公理和推论,邻补角,垂线,平行线等知识点,此题比较典型,但是一道比较容易出错的题目.【变式4-3】(2023春•泸县校级期中)下列说法正确的是()A.经过一点有一条直线与已知直线平行B.经过一点有无数条直线与已知直线平行C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】平行线公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.【解答】解:根据平行线公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,可判断只有D选项正确.【点评】本题考查了平行公理,要熟练掌握.【变式4-4】(2023春•新民市期中)已知a∥b,c∥d,若由此得出b∥d,则直线a和c应满足的位置关系是()A.在同一个平面内B.不相交C.平行或重合D.不在同一个平面内【分析】根据平行推论:平行于同一条直线的两条直线互相平行,可得答案.【解答】解:当a∥c时,a∥b,c∥d,得b∥d;当a、c重合时,a∥b,c∥d,得b∥d,故C正确;故选:C.【点评】本题考查了平行公理及推论,利用了平行推论:平行于同一条直线的两条直线互相平行.【变式4-5】(2022春•和平区校级月考)下列语句正确的有()个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a,b外一点P,画直线c,使c∥a,且c∥b④若直线a∥b,b∥c,则c∥a.A.4B.3C.2D.1【分析】根据同一平面内,任意两条直线的位置关系是相交、平行;过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行;如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行进行分析即可.【解答】解:①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行,说法错误,应为根据同一平面内,任意两条直线的位置关系不是相交就是平行;②过一点有且只有一条直线和已知直线平行,说法错误,应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行;③过两条直线a,b外一点P,画直线c,使c∥a,且c∥b,说法错误;④若直线a∥b,b∥c,则c∥a,说法正确;【点评】此题主要考查了平行线,关键是掌握平行公理:过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行;推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.【变式4-6】(2022春•大荔县期末)如图,已知OM∥a,ON∥a,所以点O、M、N三点共线的理由是.【分析】利用平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行,进而得出答案.【解答】解:已知OM∥a,ON∥a,所以点O、M、N三点共线的理由:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.故答案为:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.【点评】此题主要考查了平行公理,正确掌握平行公理是解题关键.【变式4-7】(2022春•海阳市期末)若P,Q是直线AB外不重合的两点,则下列说法不正确的是()A.直线PQ可能与直线AB垂直B.直线PQ可能与直线AB平行C.过点P的直线一定与直线AB相交D.过点Q只能画出一条直线与直线AB平行【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行以及两直线的位置关系即可回答.【解答】解:PQ与直线AB可能平行,也可能垂直,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故A、B、D均正确,故C错误;故选:C.【点评】本题考查了平行线、相交线、垂线的性质,掌握相关定义和性质是解题的关键.【变式4-8】如图所示,将一张长方形纸对折三次,则产生的折痕与折痕间的位置关系是()A.平行B.垂直C.平行或垂直D.无法确定【分析】根据平行公理和垂直的定义解答.【解答】解:∵长方形对边平行,∴根据平行公理,前两次折痕互相平行,∵第三次折叠,是把平角折成两个相等的角,∴是90°,与前两次折痕垂直.∴折痕与折痕之间平行或垂直.故选:C.【点评】本题利用平行公理和垂直定义求解,需要熟练掌握.【例题5】(2022春•昭阳区校级月考)如图,把三角尺的直角顶点放在直线b上.若∠1=50°,则当∠2=时,a∥b.【分析】由直角三角板的性质可知∠3=180°﹣∠1﹣90°=40°,当∠2=40°时,∠2=∠3,得出a∥b即可.【解答】解:当∠2=40°时,a∥b;理由如下:如图所示:∵∠1=50°,∴∠3=180°﹣90°﹣50°=40°,当∠2=40°时,∠2=∠3,∴a∥b.故答案为:40°.【点评】本题考查了平行线的判定方法、平角的定义;熟记同位角相等,两直线平行是解决问题的关键.【变式5-1】(2022春•洞头区期中)如图,在下列给出的条件中,能判定DF∥BC的是()A.∠B=∠3B.∠1=∠4C.∠1=∠B D.∠B+∠2=180°【分析】根据平行线的判定定理求解即可.【解答】解:∵∠B=∠3,∴AB∥EF,故A不符合题意;∵∠1=∠4,∴AB∥EF,故B不符合题意;∵∠1=∠B,∴DF∥BC,故C符合题意;∵∠B+∠2=180°,∴AB∥EF,故D不符合题意;故选:C.【点评】此题考查了平行线的判定,熟记平行线的判定定理是解题的关键.【变式5-2】(2023秋•淮阳区校级期末)如图,木条a,b,c在同一平面内,经测量∠1=115°,要使木条a∥b,则∠2的度数应为()A.65°B.75°C.115°D.165°【分析】根据邻补角互补和平行线的判定定理求解即可.【解答】解:∠2的度数应为65°.证明:如图,∵∠1=115°,∴∠3=180°﹣115°=65°,∵∠2=65°,∴∠2=∠3,∴a∥b.故选:A.【点评】本题考查邻补角互补,平行线的判定.熟练掌握平行线的判定定理是解题关键.【变式5-3】(2023秋•泾阳县期末)如图,直线AB、CD分别与EF相交于点G、H,已知∠1=70°,∠2=70°,试说明:AB∥CD.【分析】根据对顶角相等得出∠1=∠AGH,进而根据∠2=∠AGH,即可得证.【解答】解:∵∠1=∠AGH,∠1=∠2=70°,∴∠2=∠AGH,∴AB∥CD.【点评】本题考查了对顶角相等,同位角相等两直线平行,熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键.【变式5-4】(2023秋•泰和县期末)如图,CE平分∠ACD,若∠1=30°,∠2=60°,求证:AB∥CD.【分析】根据平行线的判定,依据角平分线的定义即可解决问题.【解答】证明:∵CE平分∠ACD,∠1=30°,∴∠ACD=2∠1=60°(角平分线定义),∵∠2=60°,(已知),∴∠2=∠ACD(等量代换),∴AB∥CD(同位角相等两直线平行).【点评】本题主要考查平行线的判定,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.【变式5-5】(2023春•樟树市期中)将一副三角板拼成如图所示的图形,过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.求证:CF∥AB.【分析】根据CF平分∠DCE以及∠DCE=90°即可得出∠FCE=45°,再根据三角形ABC为等腰直角三角形,即可得出∠ABC=∠FCE=45°,利用“同位角相等,两直线平行”即可证出结论.【解答】证明:∵CF平分∠DCE,∠DCE=90°,∴∠FCE=12∠DCE=45°.∵△ABC为等腰直角三角形,∴∠ABC=45°,∴∠ABC=∠FCE,∴CF∥AB.【点评】本题考查了平行线的判定,解题的关键是找出∠ABC=∠FCE=45°.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,找出相等(或互补)的角的关键.【变式5-6】(2023秋•靖边县期末)如图,AF与BD相交于点C,∠B=∠ACB,且CD平分∠ECF.试说明:AB∥CE.【分析】根据角平分线的定义结合对顶角得到∠ECD=∠ACB,则可证明∠B=∠ECD,根据平行线的判定即可证明AB∥CE.【解答】证明:因为CD平分∠ECF,所以∠ECD=∠FCD(角平分线的定义).因为∠ACB=∠FCD(对顶角相等),所以∠ECD=∠ACB(等量代换).因为∠B=∠ACB,。

第3课时平行线及其性质七年级数学下册考点知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)

第3课时平行线及其性质七年级数学下册考点知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)

第3课时——平行线及其性质(答案卷)知识点一:平行线:1.平行线的定义:在同一平面内,的两条直线叫做平行线。

若直线a平行于直线b,则记作,读作。

注意:一定要在同一平面内。

且一定要时直线。

2.平行线的画法:过直线外一点画直线与已知直线平行的具体步骤:①将直角三角板的一条直角边与已知直线重合。

②将直尺与三角尺的另一直角边紧靠在一起。

③固定直尺不变,平移三角尺,使三角尺原来与已知直线重合的直角边与已知点重合。

④沿着三角尺该直角边画直线。

【类型一:确定平行线】1.在同一个平面内,不重合的两条直线的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.无法确定2.在长方体中,对任意一条棱,与它平行的棱共有()A.1条B.2条C.3条D.4条3.观察如图所示的长方体,与棱AB平行的棱有几条()A.4B.3C.2D.1【类型二:作图】4.如图所示,在∠AOB内有一点P.(1)过P画l1∥OA;(2)过P画l2∥OB;(3)用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系?5.在下面的方格纸中经过点C 画与线段AB 互相平行的直线l 1,再经过点B 画一条与线段AB 垂直的直线l 2.知识点二:平行公理及其推论:1. 平行公理:经过直线外一点, 条直线与这条直线平行。

有且只有:存在且唯一。

2. 平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。

即若c b b a ∥,∥, 则a c 。

3. 垂直于同一直线的两直线平行:若c a b a ⊥⊥,,则b c 。

【类型一:对平行公理及其推论的判断理解】6.下列说法正确的是( )A .垂直于同一条直线的两直线互相垂直B .经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C .如果两条直线被第三条直线所截,那么同位角相等D .从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离7.下列说法正确的是( )A .a 、b 、c 是直线,若a ⊥b ,b ∥c ,则a ∥cB .a 、b 、c 是直线,若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥cC .a 、b 、c 是直线,若a ∥b ,b ⊥c ,则a ∥cD .a 、b 、c 是直线,若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c8.同一平面内有四条直线a、b、c、d,若a∥b,a⊥c,b⊥d,则c、d的位置关系为()A.互相垂直B.互相平行C.相交D.没有确定关系9.下列说法中,正确的个数为()(1)过一点有无数条直线与已知直线平行(2)如果a∥b,a∥c,那么b∥c(3)如果两线段不相交,那么它们就平行(4)如果两直线不相交,那么它们就平行A.1个B.2个C.3个D.4个10.下列说法不正确的是()A.过马路的斑马线是平行线B.100米跑道的跑道线是平行线C.若a∥b,b∥d,则a⊥dD.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行知识点三:平行线的性质:1.两直线平行,同位角相等:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。

人教版数学七年级下册学案 5.2.1《 平行线》 (含答案)

人教版数学七年级下册学案 5.2.1《 平行线》 (含答案)

5.2.1 平行线【学习目标】1.理解平行线的意义,了解同一平面内两条直线的位置关系;2.理解并掌握平行公理及其推论的内容;3.会根据几何语句画图,会用直尺和三角板画平行线;4.了解平行线在实际生活中的应用,能举例加以说明.重点:平行线的概念与平行公理;难点:对平行公理的理解.【自主学习】问题1 同一平面内两条直线的位置关系平面内任意两条直线的位置关系除平行外,还有哪些呢?平行线:在同一平面内,_______________的两条直线叫做平行线。

直线a与b平行,记作“a∥b”。

在同一平面内,两条直线只有两种位置关系:_______或_______。

**对平行线概念的理解:两个关键:一是“在同一个平面内”(举例说明);二是“不相交”.一个前提:对两条直线而言.问题2 平行线的画法平行线的画法是几何画图的基本技能之一,在以后的学习中,会经常遇到画平行线的问题.方法为:一“落”(三角板的一边落在已知直线上),二“靠”(用直尺紧靠三角板的另一边),三“移”(沿直尺移动三角板,直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点),四“画”(沿三角板过已知点的边画直线).归纳:(1)平行公理:经过_____一点,有且只有一条直线与这条直线_____。

(2)两条直线都与第三条直线平行(平行线是在同一平面内定义的),那么这两条直线_______. 即b∥a,c∥a,那么_______。

问题3 在同一平面内,直线a与b满足下列条件,把它们的位置关系填在后面的横线上。

(1)a与b没有共同点,则a与b_______。

(2)a与b有且只有一个共同点,则a与b_______。

在同一平面内,若两条直线相交,则公共点的个数是____;若两条直线平行,则公共点的个数是____。

【合作学习】1、若直线a∥b,b∥c,则a____c,理由是:_______________。

直线l1是l2的平行线,记作:_______,读作:_______________。

2022-2023学年七年级数学下册《平行线的性质》精讲与精练高分突破含答案解析

2022-2023学年七年级数学下册《平行线的性质》精讲与精练高分突破含答案解析

5.3平行线的性质考点一:平行线的性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单地说:两直线平行,同位角相等.2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单地说:两直线平行,内错角相等.3:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单地说:两直线平行,同旁内角互补.注意:是先有两直线平行,才有以上的性质,前提是“线平行”。

一个结论:平行线间的距离处处相等。

例如:应用于说明矩形(包括长方形、正方形)的对边相等,还有梯形的对角线把梯形分成分别以上底为底的两等面积的三角形,或以下底为底的两等面积的三角形。

(因为梯形的上底与下底平行,平行线间的高相等,所以,就有等底等高的三角形。

)考点二、命题判断一件事情的语句叫命题。

命题包括“题设”和“结论”两部分,可写成“如果……那么……”的形式。

例如:“明天可能下雨。

”这句语句______命题,而“今天很热,明天可能下雨。

”这句语句_____命题。

(填“是”或“不是”)①命题分为真命题与假命题,真命题指题设成立,结论也成立的命题(或说正确的命题)。

假命题指题设成立,但结论不一定或根本不成立的命题(或说错误的命题)。

②逆命题:将一个命题的题设与结论互换位置之后,形成新的命题,就叫原命题的逆命题。

注:原命题是真命题,其逆命题不一定仍为真命题,同理,原命题为假命题,其逆命题也不一定为假命题。

题型一:平行线的性质1.(2022秋·河南新乡·七年级校考期末)如图,AF 是BAC ∠的平分线,DF AC ∥,若135∠=︒,则BAF ∠的度数为( )A .17.5°B .35°C .55°D .70°2.(2022秋·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期末)如图,直线a b P ,一块含60︒角的直角三角板如图放置,若113∠=︒,则2∠的度数为( ).A .45︒B .47︒C .55︒D .57︒3.(2023春·全国·七年级专题练习)如图,AB CD P ,直线EF 交AB 于点E ,交CD 于点F ,EG 平分BEF ∠,交CD 于点G ,150∠=︒,则2∠等于( )A .50︒B .60︒C .65︒D .90︒题型二:根据平行线性质探究角的关系4.(2022春·浙江金华·七年级统考期末)将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置,下列结论:(1)12∠=∠;(2)34∠=∠;(3)2490∠+∠=︒;(4)45180∠+∠=︒.其中正确的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个5.(2023春·七年级单元测试)如图,平面内直线a b c ∥∥,点A ,B ,C 分别在直线a ,b ,c 上,BD 平分ABC ∠,并且满足αβ∠>∠,则α∠,∠β,γ∠关系正确的是( )A .2αβγ∠=∠+∠B .αβγ∠=∠+∠C .22αβγ∠=∠-∠D .2αβγ∠=∠+∠6.(2021春·浙江宁波·七年级校考期中)将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置,下列结论:(1)23∠∠=;(2)34∠∠=;(3)2+4=90∠∠︒;(4)5290∠-∠=︒,其中正确的个数是( ).A .1B .2C .3D .4题型三:根据平行线性质求角的大小7.(2022秋·重庆江北·七年级校考期末)如图,已知OP 平分AOB ∠,30AOB ∠=︒,PC OA ∥,则CPO ∠为( )A .30︒B .10︒C .15︒D .5︒8.(2023春·江苏·七年级专题练习)如图,直线m n ∥,AC BC ⊥于点C ,125∠=︒,则2∠的度数为( )A .125︒B .115︒C .110︒D .105︒9.(2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中)如图,12l l ∥,将一副直角三角板作如下摆成,图中点A 、B 、C 在同一直线上,则1∠的度数为( )A .80︒B .85︒C .75︒D .70︒题型四:平行线性质在生活应用问题10.(2022春·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期中)一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,与原来的方向恰好相反,那么两次拐弯的角度是( )A .第一次右拐50°,第二次左拐130°B .第一次左拐50°,第二次右拐50°C .第一次左拐50°,第二次左拐130°D .第一次右拐50°,第二次右拐50°11.(2022春·山西临汾·七年级统考期中)如图,木条a 、b 、c 通过B 、E 两处螺丝固定在一起,且40ABM ∠=︒,77BEF ∠=︒,将木条a 、木条b 、木条c 看作是在同一平面内的三条直线AC 、DF 、MN ,若使直线AC 、直线DF 达到平行的位置关系,则下列描述正确的是( )A .木条b 、c 固定不动,木条a 绕点B 顺时针旋转23B .木条b 、c 固定不动,木条a 绕点B 逆时针旋转103C .木条a 、c 固定不动,木条b 绕点E 逆时针旋转37D .木条a 、c 固定不动,木条b 绕点E 顺时针旋转15812.(2022春·江苏宿迁·七年级校考阶段练习)为了亮化某景点,石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN 、QP 上分别放置A 、B 两盏激光灯,如图所示.A 灯发出的光束自AM 逆时针旋转至AN 便立即回转,B 灯发出的光束自BP 逆时针旋转至BQ 便立即回转,两灯不间断照射,A 灯每秒转动30°,B 灯每秒转动10°,B 灯先转动2秒,A 灯才开始转动,当B 灯光束第一次到达BQ 之前,两灯的光束互相平行时A 灯旋转的时间是( )A .1或6秒B .8.5秒C .1或8.5秒D .2或6秒题型五:平行线之间的距离13.(2023春·七年级单元测试)在同一平面内,设a 、b 、c 是三条互相平行的直线,已知a 与b 的距离为4cm ,b 与c 的距离为1cm ,则a 与c 的距离为( )A .1cmB .3cmC .5cm 或3cmD .1cm 或3cm14.(2023春·七年级课时练习)如图,12l l ∥,AB CD ∥,2CE l ⊥,2FG l ⊥.则下列结论正确的是( ).A .A 与B 之间的距离就是线段ABB .AB 与CD 之间的距离就是线段AC 的长度C .1l 与2l 之间的距离就是线段CE 的长度D .1l 与2l 之间的距离就是线段CD 的长度15.(2020春·湖南邵阳·七年级统考期末)如图,已知直线a // b // c ,直线d 与它们分别垂直且相交于A ,B ,C 三点,若AB=2,AC=6,则平行线b 、c 之间的距离是( )A .2B .4C .6D .8题型六:与命题有关的问题16.(2023春·广东江门·七年级统考期末)下列命题中,是假命题的是( )A .直角的补角是直角B .内错角相等,两直线平行C .一条直线有且只有一条垂线D .垂线段最短17.(2023春·七年级课时练习)关于原命题“如果a b =,那么22a b =”和它的逆命题“如果22a b =,那么a b =”,下列说法正确的是( )A .原命题是真命题,逆命题是假命题B .原命题、逆命题都是真命题C .原命题是假命题,逆命题是真命题D .原命题,逆命题都是假命题18.(2023春·全国·七年级专题练习)一栋公寓楼有5层,每层有一或两套公寓.楼内共有8套公寓.住户J 、K 、L 、M 、N 、O 、P 、Q 共8人住在不同公寓里.已知:(1)J 住在两套公寓的楼层.(2)K 住在P 的上一层.(3)二层只有一套公寓.(4)M 、N 住在同一层.(5)O 、Q 不同层.(6)Q 不住在一层或二层.(7)L 住在她所在层仅有的公寓里,且不在第一次或第五层.(8)M 在第四层;那么,J 住在第( )层.A .1B .2C .3D .5题型七:平行线的判定和性质的综合问题19.(2023秋·重庆沙坪坝·七年级校考期末)如图,AB CD ∥,连接CA 并延长至点H ,CF 平分ACD ∠,CE CF ⊥,90GAH AFC ∠∠=+︒.(1)求证AG CE ∥;(2)若120GAF ∠=︒,求AFC ∠的度数.20.(2023春·七年级单元测试)如图,180ADE BCF ∠+∠=︒,BE 平分ABC ∠,2ABC E ∠=∠.(1)求证:AD BC ∥;(2)求证:AB EF ∥;(3)若AF 平分BAD ∠,求证:90E F ∠+∠=︒.21.(2023春·江苏·七年级专题练习)已知 AM CN ∥,点B 在直线AM CN 、之间,88ABC ∠=︒.(1)如图1,请直接写出A ∠和C ∠之间的数量关系:_________.(2)如图2,A ∠和C ∠满足怎样的数量关系?请说明理由.(3)如图3,AE 平分MAB ∠,CH 平分NCB ∠,AE 与CH 交于点G ,则AGH ∠的度数为_________.一:选择题22.(2023秋·河南南阳·七年级南阳市第三中学校考期末)如图,若a b ∥,211933'∠=︒,则1∠等于( )A .6027'︒B .6073'︒C .11933'︒D .11973'︒23.(2023春·七年级课时练习)如图,直线l 、n 分别截A ∠的两边,且l n ∥.根据图中标示的角,判断下列各角的度数关系,正确的是( )A .13∠=∠B .24∠∠=C .46180∠+∠=︒D .34180∠+∠=︒24.(2023春·七年级课时练习)如图,已知AB CD P ,BC 是ABD ∠的平分线,若3100∠=︒,则2∠的度数为( )A .40︒B .50︒C .60︒D .80︒25.(2023秋·吉林长春·七年级校联考期末)如图,AB CD P ,155FGB ∠︒=,FG 平分EFD ∠,则BEF ∠的大小为( )A .100︒B .110︒C .120︒D .130︒26.(2022春·四川巴中·七年级统考期中)如图,已知AB CD EF ∥∥,160∠=︒,320∠=︒,则2∠的度数是( )A .105︒B .120︒C .135︒D .140︒27.(2023秋·甘肃天水·七年级校考期末)如图,1260∠=∠=︒,376∠=︒,则4∠的度数为( )A .102︒B .103︒C .104︒D .105︒28.(2022春·全国·七年级专题练习)如图,点E 在AB 的延长线上,下列条件中能够判定AB CD P 的条件有( )①180BAD ABC ∠+∠=︒;②12∠=∠;③3=4∠∠;④5E ADC ∠+∠=∠.A .①②B .②④C .①③D .③④29.(2023春·全国·七年级专题练习)如图,已知180AEF EFC ∠+∠=︒,M N ∠=∠,求证12∠=∠;30.(2023秋·河南新乡·七年级校考期末)如图,已知12∠=∠,3=4∠∠,5A ∠=∠,试说明:BE CF ∥.完善下面的解答过程,并填写理由或数学式:解:∵3=4∠∠(已知)∴AE ∥______(______)∴5EDC ∠=∠(______)∵5A ∠=∠(已知)∴EDC ∠=______(等量代换)∴DC AB ∥(______)∴5180ABC ∠+∠=︒(______)即523180∠+∠+∠=︒∵12∠=∠(已知)∴513180∠+∠+∠=︒(______)即3180BCF ∠+∠=︒∴BE CF ∥(______).一、单选题31.(2023春·七年级课时练习)如图,已知直线AB CD ∥,130GEF ∠=︒,135EFH ∠=︒,则12∠+∠的度数为( )A .35︒B .45︒C .65︒D .85︒32.(2023春·七年级单元测试)如图,直线EF 分别与直线AB CD 、相交于点G H 、,已知1250∠=∠=︒,GM 平分HGB ∠交直线CD 于点M ,则GMD ∠的度数为( )A .115︒B .120︒C .125︒D .130︒33.(2023春·全国·七年级专题练习)如图,AB EF ∥,90BCD ∠︒=,探索图中角α,β,γ之间的关系式正确的是( )A .360αβγ++︒=B .90αβγ++︒=C .αγβ+=D .180αβγ++︒= 34.(2023春·全国·七年级专题练习)如图,AB CD EF ∥∥,则下列各式中正确的是( )A.①②④B.②③④C.①②③二、填空题37.(2023春·广东江门·七年级统考期末)如图,将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,当的度数为________.38.(2023春·广东江门·七年级统考期末)如图,已知AB CD ∥,点M ,N 分别在直线AB 、CD 上,90MEN ∠=︒,CNE ENF ∠=∠,则α∠与∠β的数量关系________.39.(2023春·江苏·七年级专题练习)如图,AB CD ABD ∠P ,和BDC ∠的角平分线交于点E ,延长BE 交CD 于点F ,232∠=︒,则3∠=_________.40.(2023春·江苏·七年级专题练习)如图,直线12l l ,被直线3l 所截,3l 分别交12l l ,于点A 和点B ,过点B 的直线4l 交1l 于点C .若1130260350∠∠∠=︒=︒=︒,,,则4∠=_________.41.(2022春·四川成都·七年级校考阶段练习)有一副直角三角板ABC 和DEC ,其中45B ∠=︒,60D ∠=︒,如图所示叠放,边CD 与边AB 交于点G ,过点G 作GH 平分AGC ∠,若GH BC ∥,则ECA ∠=______度.三、解答题42.(2023春·广东江门·七年级统考期末)如图,已知点A 、D 在直线EF 上,12180∠+∠=︒,DB 平分ADC ∠,AD BC ∥.(1)求证: AB DC ∥;(2)若128DAB ∠=︒,求DBC ∠的度数.43.(2023春·七年级单元测试)如图,已知123180BDC ∠=∠∠+∠=︒,.(1)求证:AD CE ∥;(2)若DA 平分BDC ∠,DA FE ⊥于点A ,55FAB ∠=︒,求ABD ∠的度数.44.(2023春·江苏·七年级专题练习)如图,直线a b ⊥r r ,垂足为O ,ABC V 与直线a 、b 分别交于点E 、F ,且90C ∠=︒,EG FH ,分别平分MEC ∠和NFC ∠.(1)当PD 平分ODF ∠时,(2)当DP OB ∥时,求PDE ∠(3)当DP FD ⊥时,∠ADP 2(1)如图1,若BAP ∠,PAG ∠,ACE ∠的数量关系为___________.(2)如图2,在(1)的条件下,若5DBA ACE ∠=∠,30PAG ∠=︒,求证AB AC ⊥;(3)点B 、C 分别在点D 、E 的下方,若AB AC ⊥,PAG FAC ∠=∠,请在备用图中画出相应的图形,并求出DBA ∠的度数.1.B【分析】根据两直线平行,同位角相等,可得1FAC ∠=∠,再根据角平分线的定义可得BAF FAC ∠=∠,从而可得结果.【详解】解:∵DF AC ∥,∴135FAC ∠=∠=︒,∵AF 是BAC ∠的平分线,∴35BAF FAC ∠=∠=︒,故B 正确.故选:B .【点睛】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,熟记平行线的性质是解题的关键.2.B【分析】由平行线的性质,已知113ABD ∠=∠=︒,再根据角的和差,平行公理推论,平行线的性质解得∠2度数,进而得出答案.【详解】过点B 作BD a ∥,∴2CBD ∠=∠,∵a b ∥,∴BD b ∥,又∵113∠=︒,∴113ABD ∠=∠=︒,∵60ABC ∠=︒,∴601347DBC ∠=︒-︒=︒,∴247∠=︒.故选:B .【点睛】本题考查了平行线的性质,平行公理的推论,角的和差,对顶角的性质,等量代换等相关知识点,重点掌握平行线的性质,难点过一点作已知直线的平行线辅助线.3.C【分析】由AB CD P ,1=50∠︒,根据两直线平行,同旁内角互补,即可求得BEF ∠的度数,又由EG 平分BEF ∠,求得BEG ∠的度数,然后根据两直线平行,内错角相等,即可求得2∠的度数.【详解】解:∥ AB CD ,1180BEF ∴∠+∠=︒,1=50∠︒ ,130BEF ∴∠=︒,EG 平分BEF ∠,1652BEG BEF ∴∠=∠=︒,265BEG ∴∠=∠=︒,故选:C .【点睛】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义,注意掌握两直线平行,同旁内角互补与两直线平行,内错角相等定理的应用.4.D【分析】根据两直线平行,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,可判断(1),(2),(4),由平角的定义可判断(3),逐一进行解答即可.【详解】解:∵纸条的两边互相平行,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠4+∠5=180︒,故(1)(2)(4)正确;∵三角板是直角三角板,∴∠2+∠4=1809090︒-︒=︒,故(3)正确;综上所述,正确的个数是4. 故选:D .【点睛】本题考查了平行线的性质以及平角的定义,熟记平行线的性质是解题的关键.5.A【分析】先根据平行线的性质可得1γα∠+∠=∠,2β∠=∠,从而可得ABC αβ∠=∠+∠,再根据角平分线的定义可得11212αβ∠=∠+∠,代入1γα∠+∠=∠即可得出答案.【详解】解:如图,a b c ∥∥,1γα∴∠+∠=∠①,2β∠=∠,12ABC γαβ∠∴∠+∠+∠=∠+∠=,BD Q 平分ABC ∠,1112212ABC αβ∠=∴∠=∠+∠,代入①得:1212αβγα∠+∠+∠=∠,2αβγ∴∠=∠+∠,【详解】解:AC BC ⊥Q 于点C ,90ACB ∴∠=︒,190ABC ∴∠+∠=︒,902565ABC ∴∠=︒-︒=︒,m n ∥,2180115ABC ∴∠=︒-∠=︒.故选:B .【点睛】本题主要考查平行线的性质,掌握两直线平行,同旁内角互补是解题的关键.9.C【分析】如图,过点C 作CM 1l ∥,则12l l CM ∥∥,根据平行线的性质可得∠1+∠ECM =180°,∠2=∠ACM ,再根据三角板的特点求解即可.【详解】解:如图,过点C 作CM 1l ∥,∵12l l ∥,∴12l l CM ∥∥,∴∠1+∠ECM =180°,∠2=∠ACM ,∵∠2=180°−45°=135°,∴∠ACM =135°,∴∠ECM =135°−30°=105°,∴∠1=180°−105°=75°,故选:C .【点睛】此题考查了平行线的性质,熟记“两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,同位角相等”及作平行线是解题的关键.10.C【分析】根据两直线平行,同旁内角互补判断即可.【详解】解:因为两次拐弯后,与原来的方向恰好相反,所以两次拐弯的方向相同,形成的角是同旁内角,且互补.故选:C .【点睛】此题主要考查了平行线的性质,利用两直线平行,同旁内角互补得出是解题关键.11.C【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可.【详解】解:A .木条b 、c 固定不动,木条a 绕点B 顺时针旋转23°,∴∠ABE =40°+23°=63°≠∠DEM ,∴AC 与DF 不平行,故A 不符合题意;B .木条b 、c 固定不动,木条a 绕点B 逆时针旋转103°,∴∠CBE =180°-(103°-40°)=117°≠∠DEM ,∴AC 与DF 不平行,故B 不符合题意;C .木条a 、c 固定不动,木条b 绕点E 逆时针旋转37°,∴∠DEM =77°-37°=40°=∠ABE ,∴AC //DF ,故C 符合题意;D .木条a 、c 固定不动,木条b 绕点E 顺时针旋转158°,∴∠DEM =360°-77°-158°=125°≠∠CBE ,∴AC 与DF 不平行,故D 不符合题意;故选:C .【点睛】此题考查了平行线的判定,熟记平行线的判定定理是解题的关键.12.C【分析】设A 灯旋转的时间为t 秒,求出t 的取值范围为016t <≤,再分①06t <≤,②612t <≤和③1216t <≤三种情况,先分别求出MAM '∠和PBP '∠的度数,再根据平行线的性质可得MAM PBP ''∠=∠,由此建立方程,解方程即可得.【详解】解:设A 灯旋转的时间为t 秒,A 灯光束第一次到达AN 所需时间为180630︒=︒秒,B 灯光束第一次到达BQ 所需时间为1801810︒=︒秒,B 灯先转动2秒,A 灯才开始转动,0182t ∴<≤-,即016t <≤,由题意,分以下三种情况:①如图,当06t <≤时,//AM BP '',30,10(2)MAM t PBP t ''∴∠=︒∠=︒+,//,//MN PQ AM BP '' ,1,1MAM PBP ''∴∠=∠∠=∠,MAM PBP ''∴∠=∠,即3010(2)t t ︒=︒+,解得1t =,符合题设;②如图,当612t <≤时,//AM BP '',18030(6)36030,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-︒-=︒-︒∠=︒+,//,//MN PQ AM BP '' ,2180,2180MAM PBP ''∴∠+∠=︒∠+∠=︒,MAM PBP ''∴∠=∠,即3603010(2)t t ︒-︒=︒+,解得8.5t =符合题设;③如图,当1216t <≤时,//AM BP '',30(12)30360,10(2)MAM t t PBP t ''∴∠=︒-=︒-︒∠=︒+,同理可得:MAM PBP ''∠=∠,即3036010(2)t t ︒-︒=︒+,解得1916t =>,不符题设,舍去;综上,A 灯旋转的时间为1秒或8.5秒,故选:C .【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点,正确求出时间t 的取值范围,并据此分三种情况讨论是解题关键.13.C【分析】分①直线b 在直线a 、c 的之间和②直线c 在直线a 、b 的之间两种情况,根据平行线间的距离求解即可得.【详解】解:①如图,当直线b 在直线a 、c 的中间时,a 与b 的距离为4cm ,b 与c 的距离为1cm ,a ∴与c 的距离为()415cm +=;②如图,当直线c 在直线a 、b 的中间时,a 与b 的距离为4cm ,b 与c 的距离为1cm ,a ∴与c 的距离为()413cm -=;综上,a 与c 的距离为5cm 或3cm ,故选:C .【点睛】本题考查了平行线间的距离,正确分两种情况讨论是解题关键.14.C【分析】根据两点间的距离和平行线间的距离的性质逐项判断即可.【详解】解:A 、A 与B 之间的距离就是线段AB 的长度,不符合题意,故本项错误;B 、AB 与CD 之间的距离就是线段HI 的长度,不符合题意,故本项错误;C 、1l 与2l 之间的距离就是线段CE 的长度,符合题意,故本项正确;D 、1l 与2l 之间的距离就是线段CE 或GF 的长度,不符合题意,故本项错误.故答案为:C .【点睛】本题考查了两点间的距离和平行线间的距离的性质,解决本题的关键是掌握以上基本的性质.15.B【分析】依据直线a ∥b ∥c ,直线d 与它们分别垂直且相交于A ,B ,C 三点,即可得到AB 长为直线a 和b 之间的距离,BC 长为直线b 和c 之间的距离,AC 长为直线a 和c 之间的距离,再根据AB=2,AC=6,即可得出直线b 与直线c 之间的距离为4.【详解】解:∵直线a ∥b ∥c ,直线d 与它们分别垂直且相交于A ,B ,C 三点,∴AB 长为直线a 和b 之间的距离,BC 长为直线b 和c 之间的距离,AC 长为直线a 和c 之间的距离,又∵AB=2,AC=6,∴BC=6-2=4,即直线b 与直线c 之间的距离为4.故选:B .【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离,从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线,垂线段的长度叫两条平行线之间的距离.16.C【分析】根据补角的定义,平行线的判定,垂线的性质,逐项分析判断即可求解.【详解】解:A. 直角的补角是直角,是真命题,故该选项不符合题意;B. 内错角相等,两直线平行,是真命题,故该选项不符合题意;C. 同一平面内过直线上的一点有且只有一条垂线,原命题是假命题,符合题意;D. 垂线段最短,是真命题,故该选项不符合题意.故选:C .【点睛】本题考查了判断真假命题,掌握补角的定义,平行线的判定,垂线的性质是解题的关键.17.A【分析】根据互逆命题的定义即把一个命题的题设和结论互换和性质定理进行解答,即可求出答案.【详解】解:如果a b =,那么22a b =,所以原命题是真命题;命题“如果a b =,那么22a b =”的逆命题是如果22a b =,那么a b =,不一定成立,是假命题;故原命题是真命题,逆命题是假命题故选:A .【点睛】此题考查了互逆命题,掌握互逆命题的定义即两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题是解题的关键.18.D【分析】首先根据已知,采取筛选法进行一个一个筛选,就能确定答案.【详解】解:由(4)和(8)得出M 和N 住在第四层.由(2)得K 只能在2或3层,又由(7)得出L 在3层且只有一户,K 在二层只有一户,P 则在一层.又由(5)和(6)知道O 只能在一层,Q 在五层.这时只有五层还有一套公寓,所以J 只能住在五层.故选:D .【点睛】用到的知识点是推理和论证,能根据已知,采取筛选法进行一个一个筛选是解此题的关键.19.(1)见解析(2)30AFC ∠=︒【分析】(1)根据平行线的性质及角平分线的定义推出AFC ACF ∠=∠,得到90ACF GAH ∠∠=+︒,根据垂直的定义求出90ACF ECH ∠∠+=︒,由此得到GAH ECH ∠=∠,即可推出结论;(2)根据平行线的性质推出2HAF ACD ACF =∠∠=∠,由90GAH ECH ACF ∠=∠=︒-∠,得到902120ACF ACF ︒-∠+∠=︒,求出30ACF ∠=︒即可.【详解】(1)证明:∵AB CD ∥,∴AFC DCF ∠=∠,∵CF 平分ACD ∠,∴DCF ACF ∠=∠,∴AFC ACF ∠=∠,∵90GAH AFC ∠∠=+︒,∴90ACF GAH ∠∠=+︒,∵CE CF ⊥,∴90ECF ∠=︒,∴90ACF ECH ∠∠+=︒,∴GAH ECH ∠=∠,∴AG CE ∥;(2)∵AB CD ∥,∴2HAF ACD ACF =∠∠=∠,∵90GAH ECH ACF ∠=∠=︒-∠,∴902120ACF ACF ︒-∠+∠=︒,∴30ACF ∠=︒,∴30AFC ∠=︒.【点睛】此题考查了平行线的性质和判定,角平分线的定义,正确掌握平行线的判定和性质是解题的关键.20.(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】(1)求出ADF BCF Ð=Ð,根据平行线的判定得出即可;(2)根据角平分线的定义得出2ABC ABE ∠=∠,求出ABE E ∠=∠,根据平行线的判定得出即可;(3)根据平行线的性质得出180ADE BCF ∠+∠=︒,根据角平分线的定义得出12ABE ABC ∠=∠, 12BAF BAD ∠=∠,求出90ABE BAF ∠+∠=︒,根据三角形的内角和定理得出即可.【详解】(1)∵180ADE BCF ∠+∠=︒,180ADE ADF ∠+∠=︒,∴ADF BCF ∠=∠,∴AD BC ∥;(2)∵BE 平分ABC ∠,∴2ABC ABE ∠=∠,∵2ABC E ∠=∠,∴ABE E ∠=∠,∴AB EF ∥;(3)∵AD BC ∥,∴180DAB ABC ∠+∠=︒,∵BE 平分ABC ∠,AF 平分BAD ∠,∴12ABE ABC ∠=∠,12BAF BAD ∠=∠,∴90ABE BAF ∠+∠=︒,∴1809090AOB EOF Ð=°-°=°=Ð,∴18090E F EOF Ð+Ð=°-Ð=°.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定,角平分线的定义,三角形的内角和定理等知识点,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.21.(1)88A C ∠+∠=︒(2)92C A ∠-∠=︒,见解析(3)46︒【分析】(1)过点B 作BE AM ∥,利用平行线的性质即可求得结论;(2)过点B 作BE AM ∥,利用平行线的性质即可求得结论;(3)利用(2)的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论.【详解】(1)解:过点B 作BE AM ∥,如图,∴A ABE ∠=∠.∵BE AM ∥,AM CN ∥,∴BE AM CN ∥∥.∴C CBE ∠=∠.∵88ABC ∠=︒.∴88A C ABE CBE ABC ∠+∠=∠+∠=∠=︒.故答案为:88A C ∠+∠=︒;(2)解:A ∠和C ∠满足:92C A ∠-∠=︒.理由:过点B 作BE AM ∥,如图,∴A ABE ∠=∠.∵BE AM ∥,AM CN ∥,∴BE AM CN ∥∥.∴180C CBE ∠+∠=︒.∴180CBE C ∠=︒-∠.∵88ABC ∠=︒.∴88ABE CBE ∠+∠=︒.∴18088A C ∠+︒-∠=︒.∴92C A ∠-∠=︒;(3)解:设CH 与AB 交于点F ,如图,∵AE 平分MAB ∠,CH 平分NCB ∠,∥,∵a b24.B【分析】根据平行线的性质可求ABD ∠的度数,然后根据角平分线定义求解即可.【详解】解:AB CD P ,3100∠=︒,3100ABD ∴∠=∠=︒,BC 是ABD ∠的平分线,121502ABD ∴∠=∠=∠=︒.故选:B .【点睛】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,根据平行线的性质求出ABD ∠的度数是解题的关键.25.D【分析】利用平行线的性质,角平分线的性质计算.【详解】解:155AB CD FGB ∠=︒ ∥,,180BEF EFD ∴∠+∠=︒,180********GFD FGB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒,FG 平分EFD ∠,222550EFD GFD ∴∠=∠=⨯︒=︒,180********BEF EFD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒,故选:D .【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质,解题的关键是掌握平行线的性质.26.D【分析】由AB EF ∥,根据据两直线平行,内错角相等,可求出CDE ∠的度数,从而由3CEF AEF ∠=∠-∠可求得出CEF ∠的度数,再由CD EF ∥,根据两直线平行,同旁内角互补,求得2∠的度数即可.【详解】解:∵AB EF ∥,160∠=︒,∴160AEF ∠=∠=︒,∵320∠=︒,∴602040CEF ∠=︒-︒=︒,∵CD EF ∥,∴2180CEF ∠+∠=︒,∴218040140∠=︒-︒=︒.故选D .【点睛】本题主要考查平行线的性质.熟练掌握平行线的性质是解题的关键.27.C【分析】先根据对顶角相等可得5260∠=∠=︒,再根据平行线的判定可得a b P ,然后根据平行线的性质即可得.【详解】解:如图,260∠=︒ ,5260∴∠=∠=︒,160∠=︒ ,51∴∠=∠,a b ∴P ,4180180104376∠=︒-︒-︒=∴∠=︒,故选:C .【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键.28.B【分析】根据同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行三种判定方法进行判定即可.【详解】解:∵∠180BAD ABC ∠+∠=︒,∴BC AD ∥,故①不合题意;∵12∠=∠,∴AB CD P ,故②符合题意;∵3=4∠∠,∴BC AD ∥,故③不合题意;∵5E ADC ∠+∠=∠,5EDC ADC ∠+∠=∠,∴E EDC ∠=∠,∴AB CD P ,故④符合题意.故本题选:B .【点睛】本题考查平行线的判定,熟练掌握三种判定方法是解题关键.29.证明见解析【分析】先证明AB CD P ,再证明ME FN ∥,得到MEF EFN ∠=∠,利用等式的性质即可求解.【详解】证明:∵180AEF EFC ∠+∠=︒,∴AB CD P ,∴AEF DFE ∠=∠.∵M N ∠=∠,∴ME FN ∥,∴MEF EFN ∠=∠,∴AEF MEF EFD EFN ∠-∠=∠-∠,即12∠=∠.【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,解题关键是牢记平行线的判定与性质.30.BC ;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等;A ∠;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补;等量代换;同旁内角互补,两直线平行.【分析】按照所给的证明思路,利用平行线的判定与性质定理,完善证明过程即可.【详解】解:∵3=4∠∠(已知)∴AE BC ∥(内错角相等,两直线平行)∴5EDC ∠=∠(两直线平行,内错角相等)∵5A ∠=∠(已知)∴EDC A ∠=∠(等量代换)∴DC AB ∥(同位角相等,两直线平行)∴5180ABC ∠+∠=︒(两直线平行,同旁内角互补)即523180∠+∠+∠=︒∵12∠=∠(已知)∴513180∠+∠+∠=︒(等量代换)即3180BCF ∠+∠=︒∴BE CF ∥(同旁内角互补,两直线平行).故答案为:BC ;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等;A ∠;同位角相等,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补;等量代换;同旁内角互补,两直线平行.【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质是解答此题的关键.31.D【分析】由130GEF ∠=︒,135EFH ∠=︒可得1324265︒∠+∠+∠+∠=,由AB CD P 得34180∠+∠=︒,进而可求出12∠+∠的度数.【详解】解:如下图所示,∵130GEF ∠=︒,∴13130︒∠+∠=,∵135EFH ∠=︒,∵AB EF ∥,∴AB CM DN EF ∥∥∥,∴BCM DCM CDN EDN αγ∠∠∠∠=,=,=,∵CDN EDN CDN βγ∠+∠∠+==①,90BCD CDN α∠+∠︒==②,由①②得:90αβγ+-︒=.即90αβγ++︒=故选:B .【点睛】此题考查了平行线的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用是解题的关键.34.D【分析】根据平行线的性质(两直线平行,内错角相等、两直线平行,同旁内角互补)即可得到结论.【详解】∵AB CD EF ∥∥,∴31BDC ∠=∠+∠,=1802BDC ∠︒-∠,∴311802∠=∠+︒-∠,∴231801∠+∠=︒+∠,故选:D .【点睛】本题考查了平行线的性质,熟记性质是解题关键.35.C【分析】分别过E 、F 作GE AB ∥,FH CD ∥,再根据平行线的性质可以得到解答.【详解】解:分别过E 、F 作GE AB ∥,FH CD ∥,∵AB CD ∥,∴AB GE FH CD ∥∥∥,∴180ABE BEG ∠+∠=︒,180CDE DEG ∠+∠=︒,∴360ABE BEG CDE DEG ∠+∠+∠+∠=︒,即360ABE BED CDE ∠+∠+∠=︒,①正确;∴1β∠= EF CD ∥,CNE ENF ∠=∠()121802ENC α∴∠=∠=︒-∠∵1130350∠∠=︒=︒,,∴12l l ∥,∴45∠=∠,∵260350∠∠=︒=︒,,∴5180605070∠=︒-︒-︒=︒,在BCG V 中,180180904545BCG BGC B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒,30DCE ∠=︒ ,90453015ECA ACB BCG DCE ∴∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒.故答案为:15.【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定,角平分线定义,关键是理解平行线性质,灵活运用角的和差关系计算.42.(1)见解析(2)26DBC ∠=︒【分析】(1)由已知条件得出180BAD CDA ∠+∠=︒,根据同旁内角互补两直线平行,即可得证;(2)根据已知条件得出18012852ADC ∠=︒-︒=︒,根据角平分线的定义得出1262ADB BDC ADC ∠=∠=∠=︒,根据平行线的性质即可求解.【详解】(1)证明:∵12180∠+∠=︒,1180,2180DAB ADC ∠+∠=︒∠+∠=︒,∴180BAD CDA ∠+∠=︒,∴AB DC ∥;(2)解:∵180BAD CDA ∠+∠=︒,128DAB ∠=︒,∴18012852ADC ∠=︒-︒=︒,∵DB 平分ADC ∠,∴1262ADB BDC ADC ∠=∠=∠=︒,∵AD BC ∥,∴26DBC ADB ∠=∠=︒.【点睛】本题考查了平行线的性质与判定,角平分线的定义,掌握平行线的性质与判定是解题的关键.43.(1)见解析(2)110︒【分析】(1)根据同位角相等,两直线平行可判定AB CD ∥,得到2ADC ∠=∠,等量代换得出3180ADC ∠+∠=︒,即可根据同旁内角互补,两直线平行得解;(2)由CE AE ⊥,AD CE ∥得出90CEF DAF ∠∠==︒,再根据平行线的性质即可求出235ADC ∠=∠=︒,再根据角平分线的定义即可得解.【详解】(1)证明:∵1BDC ∠=∠,∴AB CD ∥,∴2ADC ∠=∠,∵23180∠+∠=︒,∴3180ADC ∠+∠=︒,∴AD CE ∥;(2)解:∵CE AE ⊥于E ,∴90CEF ∠=︒,由(1)知AD CE ∥,∴90CEF DAF ∠∠==︒,∴2ADC DAF FAB ∠=∠=∠-∠,∵55FAB ∠=︒,∴35ADC ∠=︒,∵DA 平分BDC ∠,1BDC ∠=∠,∴1270BDC ADC ∠=∠=∠=︒,∴18070110ABD ∠=︒-︒=︒.【点睛】此题考查了平行线的判定与性质,熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础.44.(1)180°(2)见解析【分析】(1)根据四边形的内角和解答即可;(2)根据四边形的内角和得出180OEC OFC ∠+∠=︒,由角平分线的定义得出()111809022CEG CFH MEC NFC ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒,过C 点作CD EG ∥,由平行线的性质与判定即可得出结论.【详解】(1)解:在四边形OECF 中由90C ∠=︒,a b ⊥r r ,得180OEC OFC ∠+∠=︒,故答案为:180°;(2)证明:在四边形OECF 中∵90C ∠=︒,a b ⊥r r ,得180OEC OFC ∠+∠=︒,∵180MEC OEC ∠=︒-∠,180NFC OFC ∠=︒-∠,∴()()180180MEC NFC OEC OFC ∠+∠=︒-∠+︒-∠∵90ODE ∠=︒,∴1409050PDE ∠=︒-︒=︒.(3)如图,∵DP FD ⊥,(4)如图,当PD 在EDF ∠的外部时,∵45EDF ∠=︒,23PDF ∠=∠同理可得:2453 PDF∠=⨯∴PDE EDF PDF∠=∠-∠【点睛】本题考查的是垂直的定义,角平分线的定义,平行线的性质,角的和差运算,清晰的分类讨论是解本题的,BAP PAC∴∠=∠∠BAP PAC∴∠=∠=∠故答案为:BAP∠=(2)证明:如图2,DBA BAG ∴∠=∠AP 平分BAC∠BAP PAC ∴∠=∠DBA BAG ∴∠=∠5DBA ACE ∠=∠ 在图3中,∵AB AC ⊥,∴90BAC ∠=︒,∵AP 平分BAC ∠,∴1452PAB PAC BAC ∠=∠=∠=︒,∵DM FG ∥,BAG DBA x∴∠=∠=45PAG PAB BAG x∴∠=∠+∠=︒+90BAC ∠=︒9090FAC BAG x∴∠=︒-∠=︒-PAG FAC∠=∠ 4590x x∴︒+=︒-解得:22.5x =︒,22.5DBA ∴∠=︒;在图4中,∵AB AC ⊥,∴90BAC ∠=︒,∵AP 平分BAC ∠,∴1452P AB P AC BAC ∠=∠=∠=''︒,∵DM FG ∥,BAG DBA x∴∠=∠=45P AG BAG P AB x ∴∠=∠-='∠-'︒()180********PAG P AG x x∴∠=︒-∠=︒--︒=︒-'90CAG x∠=︒- ()1801809090FAC CAG x x∴∠=︒∠=︒-︒-=︒+PAG FAC∠=∠ 22590x x∴︒-=︒+解得:67.5x =︒,67.5DBA ∴∠=︒;综上所述,DBA ∠的度数为22.5︒或67.5︒.【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义综合题;熟练和灵活运用其性质建立好等量关系是解决本题的关键.。

人教版七年级下册数学平行线的判定及性质证明题训练(含答案)

人教版七年级下册数学平行线的判定及性质证明题训练(含答案)

人教版七年级下册数学平行线的判定及性质证明题训练(含答案)1.如图,三角形ABC 中,点D 在AB 上,点E 在BC 上,点F ,G 在AG 上,连接,,DG BG EF .己知12∠=∠,3180ABC ∠+∠=︒,求证:∥BG EF .将证明过程补充完整,并在括号内填写推理依据.证明:∵_____________(已知)∴∥DG BC (_______________________)∴.CBG ∠=________(____________________)∵12∠=∠(已知)∴2∠=________(等量代换)∴∥BG EF (___________________)2.如图,已知12∠=∠,A F ∠=∠,试说明C D ∠=∠的理由.解:把1∠的对顶角记作3∠,所以13∠=∠(对顶角相等).因为12∠=∠(已知),所以23∠∠=( ),所以 ∥ ( ).(请继续完成接下去的说理过程)3.如图,CD ∥AB ,点O 在直线AB 上,OE 平分∠BOD ,OF ⊥OE ,∠D =110°,求∠DOF 的度数.4.如图,DH 交BF 于点E ,CH 交BF 于点G ,12∠=∠,34∠=∠,5B ∠=∠.试判断CH 和DF 的位置关系并说明理由.5.已知:如图,直线DE//AB.求证:∠B+∠D=∠BCD.6.如图,已知AB CD∥,BE平分ABC∠,CE平分BCD∠,求证1290∠+∠=︒.证明:∵BE平分ABC∠(已知),∴2∠=(),同理1∠=,∴1122∠+∠=,又∵AB CD∥(已知)∴ABC BCD∠+∠=(),∴1290∠+∠=︒.7.请把下列证明过程及理由补充完整(填在横线上):已知:如图,BC,AF是直线,AD∥BC,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:AB∥CD.证明:∵AD∥BC(已知),∴∠3=().∵∠3=∠4(已知),∴∠4=().∵∠1=∠2(已知),∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF().即∠BAF=.∴∠4=∠BAF.().∴AB∥CD().8.如图,已知∠A=120°,∠FEC=120°,∠1=∠2,试说明∠FDG=∠EFD.请补全证明过程,即在下列括号内填上结论或理由.解:∵∠A=120°,∠FEC=120°(已知),∴∠A=().∴AB∥().又∵∠1=∠2(已知),∴EF ∥ ( ).∴∠FDG =∠EFD ( ).9.在三角形ABC 中,CD AB ⊥于D ,F 是BC 上一点,FH AB ⊥于H ,E 在AC 上,EDC BFH ∠=∠.(1)如图1,求证:∥DE BC ;(2)如图2,若90ACB ∠=︒,请直接写出图中与ECD ∠互余的角,不需要证明.10.已知:如图,直线MN HQ ∥,直线MN 交EF ,PO 于点A ,B ,直线HQ 交EF ,PO 于点D ,C ,DG 与OP 交于点G ,若1103∠=︒,277∠=︒,396∠=︒.(1)求证:EF OP ∥;(2)请直接写出CDG ∠的度数.11.如图直线a b ∥,直线EF 与,a b 分别和交于点,,A B AC AB AC ⊥、交直线b 于点C .(1)若160∠=︒,直接写出2∠= ;(2)若3,4,5AC AB BC ===,则点B 到直线AC 的距离是 ;(3)在图中直接画出并求出点A 到直线BC 的距离.12.如图,已知AB CD ,BE 平分∠ABC ,∠CDE = 150°,求∠C 的度数.13.如图,在ABC 中,CD 平分ACB ∠交AB 于D ,EF 平分AED ∠交AB 于F ,已知ADE B ∠=∠,求证:EF CD ∥.14.已知:如图,AB ∥CD ∥EF ,点G 、H 、M 分别在AB 、CD 、EF 上.求证:GHM AGH EMH ∠∠∠=+.15.如图所示,点B 、E 分别在AC 、DF 上,BD 、CE 均与AF 相交,A F ∠=∠,C D ∠=∠,求证:12∠=∠.16.如图,在ABC 中,DE ∥AC ,DF ∥AB .(1)判断∠A 与∠EDF 之间的大小关系,并说明理由.(2)求∠A +∠B +∠C 的度数.17.已知:如图,ABC 中,点D 、E 分别在AB 、AC 上,EF 交DC 于点F ,32180∠+∠=︒ ,1B ∠=∠.(1)求证:∥DE BC ;(2)若DE 平分ADC ∠,33B ∠=∠,求2∠的度数.18.如图,AB ∥DG ,∠1+∠2=180°.(1)试说明:AD ∥EF ;(2)若DG 是∠ADC 的平分线,∠2=142°,求∠B 的度数.19.问题情境:如图1,AB CD ∥,130PAB ∠=︒,120PCD ∠=︒,求APC ∠的度数.小明的思路是:如图2,过P 作PE AB ∥,通过平行线性质,可得APC ∠=______.问题迁移:如图3,AD BC ∥,点P 在射线OM 上运动,ADP α∠=∠,BCP β∠=∠.(1)当点P 在A 、B 两点之间运动时,CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系?请说明理由.(2)如果点P 在A 、B 两点外侧运动时(点P 与点A 、B 、O 三点不重合),请你直接写出CPD ∠、α∠、β∠之间有何数量关系.20.直线AB CD∠.∥,直线EF分别交AB、CD于点M、N,NP平分MND(1)如图1,若MR平分EMB∠,则MR与NP的位置关系是.∠,则MR与NP有怎样的位置关系?请说明理由.(2)如图2,若MR平分AMN(3)如图3,若MR平分BMN∠,则MR与NP有怎样的位置关系?请说明理由.参考答案:1.解:证明:∵3180ABC ∠+∠=︒(已知)∴∥DG BC (同旁内角互补,两直线平行)∴.1CBG ∠=∠(两直线平行,内错角相等)∵12∠=∠(已知)∴2CBG ∠=∠(等量代换)∴∥BG EF (同位角相等,两直线平行)2.解:把1∠的对顶角记作3∠,所以13∠=∠(对顶角相等).因为12∠=∠(已知),所以23∠∠=(等量代换),所以//BD CE (同位角相等,两直线平行),所以4C ∠=∠(两直线平行,同位角相等),又因为A F ∠=∠,所以//DF AC (同位角相等,两直线平行),所以4D ∠=∠(两直线平行,内错角相等),所以C D ∠=∠(等量代换).故答案为:等量代换;BD ;CE ;同位角相等,两直线平行.3.解:∵CD AB ∥∴110DOB D ∠=∠=︒∵OE 平分∠BOD ∴1552DOE DOB ∠=∠=︒ 又∵OF ⊥OE∴90EOF ∠=︒∴905535DOF EOF DOE ∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为:35︒4.解:CH DF,理由如下:∵34∠=∠,∴CD BF,∴5180BED∠+∠=︒,∵5B∠=∠,∴180B BED∠+∠=︒,∴BC DH,∴2H∠=∠,∵12∠=∠,∴1H∠=∠,∴CH DF.5.证明:过点C作CF∥AB,∴∠B=∠BCF,∵DE//AB.CF∥AB,∴CF∥DE,∴∠D=∠DCF,∴∠BCD=∠BCF+∠DCF=∠B+∠D.6.证明:∵BE平分∠ABC(已知),∴∠2=12∠ABC(角平分线的定义),同理∠1=12∠BCD,∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠BCD),又∵AB∥CD(已知)∴∠ABC +∠BCD =180°(两直线平行,同旁内角互补 ),∴∠1+∠2=90°. 故答案为:12∠ABC ;角平分线的定义;12∠BCD ;(∠ABC +∠BCD );180°;两直线平行,同旁内角互补.7.证明:∵AD ∥BC (已知),∴∠3=∠CAD (两直线平行,内错角相等).∵∠3=∠4(已知),∴∠4=∠CAD (等量代换).∵∠1=∠2(已知),∴∠1+∠CAF =∠2+∠CAF (等式的性质).即∠BAF =∠CAD .∴∠4=∠BAF .(等量代换).∴AB ∥CD (同位角相等,两直线平行).8.解:∵∠A =120°,∠FEC =120°(已知),∴∠A =∠FEC (等量代换),∴AB ∥EF (同位角相等,两直线平行),又∵∠1=∠2(已知),∴AB ∥CD (内错角相等,两直线平行),∴EF ∥CD (平行于同一条直线的两直线互相平行),∴∠FDG =∠EFD (两直线平行,内错角相等),故答案为:∠FEC ;等量代换;EF ;同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;CD ;平行于同一条直线的两直线互相平行;两直线平行,内错角相等.9.证明:∵CD AB ⊥,FH AB ⊥,∴//CD FH ,∴BCD BFH ∠=∠.∵EDC BFH ∠=∠,∴BCD EDC ∠=∠,∴//ED BC .(2)与ECD ∠互余的角有:EDC BCD BFH A ∠∠∠∠,,,.证明:∵//ED BC ,∴90DEC ACB ∠=∠=︒,EDC BCD ∠=∠,∴90ECD EDC ∠+∠=︒,90ECD BCD ∠+∠=︒.∵//CD FH ,∴BCD BFH ∠=∠,∴90ECD BFH ∠+∠=︒.∵CD AB ⊥,∴90ACD A ∠+∠=︒,即90ECD A ∠+∠=︒.综上,可知与ECD ∠互余的角有:EDC BCD BFH A ∠∠∠∠,,,.10.解:(1)∵1103∠=︒,∴77∠=︒ABC ,∵277∠=︒,∴2ABC ∠=∠,∴EF OP ∥;(2)∵MN HQ ∥,EF OP ∥,∴1103∠=∠=∠=︒FDC FAB ,3180∠+∠=︒FDG ,∵396∠=︒,∴180********∠=︒-∠=︒-︒=︒FDG ,∴1038419∠=∠-∠=︒-︒=︒CDG FDC FDG .11.解:(1)∵a b ∥,∴12180BAC ∠+∠+∠=︒,∵AC AB ⊥,160∠=︒,∴230∠=︒,故答案为:30︒;(2)∵AC AB⊥,∴点B到直线AC的距离为线段4AB=,故答案为:4;(3)如图所示:过点A作AD BC⊥,点A到直线BC的距离为线段AD的长度,∵AC AB⊥,∴ABC∆为直角三角形,∴1122ABCS AC AB BC AD∆=⨯⨯=⨯⨯,即1134522AD ⨯⨯=⨯⨯,解得:125 AD=,∴点A到直线BC的距离为125.12.解:∵∠CDE=150°,∴∠CDB=180°-∠CDE=30°,又∵AB CD,∴∠ABD=∠CDB=30°,∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABD=60°,∵AB CD,∴∠C=180°-∠ABC=120°.13.证明:ADE B∠=∠(已知),DE//BC∴(同位角相等,两直线平行),ACB AED∴∠=∠(两直线平行,同位角相等),CD 平分ACB ∠,EF 平分AED ∠(已知),12ACD ACB ∴∠=∠,12AEF AED ∠=∠(角平分线的定义), ACD AEF ∴∠=∠(等量代换).EF //CD ∴(同位角相等,两直线平行).14.证明:∵AB ∥CD (已知)∴1AGH ∠=∠(两直线平行,内错角相等) 又 ∵CD ∥EF (已知)∴2EMH ∠=∠,(两直线平行,内错角相等) ∵12GHM ∠∠∠=+(已知)∴GHM AGH EMH ∠∠∠=+(等式性质)15.证明:∵A F ∠=∠,∴AC DF ∥,∴ABD D ∠=∠,又∵C D ∠=∠,∴ABD C ∠=∠,∴DB CE ∥,∴13∠=∠,∵23∠∠=,∴12∠=∠.16.(1)两角相等,理由如下:∵DE ∥AC ,∴∠A =∠BED (两直线平行,同位角相等).∵DF ∥AB ,∴∠EDF =∠BED (两直线平行,内错角相等), ∴∠A =∠EDF (等量代换).(2)∵DE ∥AC ,∴∠C =∠EDB (两直线平行,同位角相等).∵DF ∥AB ,∴∠B =∠FDC (两直线平行,同位角相等).∵∠EDB +∠EDF +∠FDC =180°,∴∠A +∠B +∠C =180°(等量代换).17.解:(1)∵32180∠+∠=︒,∠2+∠DFE =180°, ∴∠3=∠DFE ,∴EF //AB ,∴∠ADE =∠1,又∵1B ∠=∠,∴∠ADE =∠B ,∴DE //BC ,(2)∵DE 平分ADC ∠,∴∠ADE =∠EDC ,∵DE //BC ,∴∠ADE =∠B ,∵33B ∠=∠∴∠5+∠ADE +∠EDC =3B B B ∠+∠+∠=180°, 解得:36B ∠=︒,∴∠ADC =2∠B =72°,∵EF //AB ,∴∠2=∠ADC =180°-108°=72°,18.(1)∵AB ∥DG ,∴∠BAD =∠1,∵∠1+∠2=180°,∴∠BAD +∠2=180°.∵AD ∥EF .(2)∵∠1+∠2=180°且∠2=142°,∴∠1=38°,∵DG 是∠ADC 的平分线,∴∠CDG =∠1=38°,∵AB ∥DG ,∴∠B =∠CDG =38°.19.解:问题情境:∵AB ∥CD ,PE ∥AB ,∴PE ∥AB ∥CD ,∴∠A +∠APE =180°,∠C +∠CPE =180°,∵∠P AB =130°,∠PCD =120°,∴∠APE =50°,∠CPE =60°,∴∠APC =∠APE +∠CPE =50°+60°=110°;(1)CPD αβ∠=∠+∠;过点P 作PQ AD ∥,又因为AD BC ∥,所以PQ AD BC ∥∥,则ADP DPE ∠=∠,BCP CPE ∠=∠,所以CPD DPE CPE ADP BCP ∠=∠+∠=∠+∠;(2)情况1:如图所示,当点P 在B 、O 两点之间时,过P 作PE ∥AD ,交ON 于E ,∵AD ∥BC ,∴AD ∥BC ∥PE ,∴∠DPE =∠ADP =∠α,∠CPE =∠BCP =∠β, ∴∠CPD =∠DPE -∠CPE =∠α-∠β,情况2:如图所示,点P 在射线AM 上时,过P 作PE ∥AD ,交ON 于E ,∵AD ∥BC ,∴AD ∥BC ∥PE ,∴∠DPE =∠ADP =∠α,∠CPE =∠BCP =∠β, ∴∠CPD =∠CPE -∠DPE =∠β-∠α20.(1)如题图1,AB CD ∥EMB END ∴∠=∠MR 平分EMB ∠,NP 平分MND ∠.11,22EMR EMB ENP END ∴∠=∠∠=∠ EMR ENP ∴∠=∠∴MR ∥NP ;(2)如题图2,AB CD ∥AMN END ∴∠=∠MR 平分AMN ∠,NP 平分MND ∠.11,22RMN AMN ENP END ∴∠=∠∠=∠ RMN ENP ∴∠=∠∴MR ∥NP ;(3)如图,设,MR PN 交于点Q ,过点Q 作QG AB ∥AB CD ∥180BMN END ∴∠+∠=︒,QG CD ∥ ,MQG BMR GQN PND ∴∠=∠∠=∠ MR 平分BMN ∠,NP 平分MND ∠.11,22BMR BMN PND END ∴∠=∠∠=∠ 90BMR PND ∴∠+∠=︒90MQN MQG NQG ∴∠=∠+∠=︒ ∴MR ⊥NP ;。

2022年强化训练鲁教版(五四制)七年级数学下册第八章平行线的有关证明重点解析试题(含答案解析)

2022年强化训练鲁教版(五四制)七年级数学下册第八章平行线的有关证明重点解析试题(含答案解析)

七年级数学下册第八章平行线的有关证明重点解析考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。

第I卷(选择题 30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、如图,E在线段BA的延长线上,∠EAD=∠D,∠B=∠D,EF∥HC,连FH交AD于G,∠FGA的余角比∠DGH大16°,K为线段BC上一点,连CG,使∠CKG=∠CGK,在∠AGK内部有射线GM,GM平分∠FGC,则下列结论:①AD∥BC;②GK平分∠AGC;③∠DGH=37°;④∠MGK的角度为定值且定值为16°,其中正确结论的个数有()A.4个B.3个C.2个D.1个2、将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置,如果∠CDE=45°,那么∠BAF的大小为()A.15°B.10°C.20°D.25°3、下列说法中,错误的是()A.两点之间线段最短B.若AC=BC,则点C是线段AB的中点C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D.平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直4、下列命题中真命题的个数有()①有公共顶点且相等的两个角叫对顶角;②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;③平行于同一条直线的两条直线平行;④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;⑤直线外一点到已知直线的垂线段就是该点到直线的距离.A.1个B.2个C.3个D.4个5、下列说法正确的有()①两点之间的所有连线中,线段最短;②相等的角叫对顶角;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④若AC=BC,则点C是线段AB的中点;⑤在同一平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.A.1个B.2个C.3个D.4个6、下列命题错误的个数有()①实数与数轴上的点一一对应;②无限小数就是无理数;③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;④两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补.A .1个B .2个C .3个D .4个7、如图,将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上,∠1=20°,∠3=30°,则∠2=( )A .50°B .60°C .30°D .20°8、已知a b ∥,一块含30°角的直角三角板如图所示放置,250∠=︒,则1∠等于( )A .140°B .150°C .160°D .170°9、如图,一束平行光线中,插入一张对边平行的纸版,如果光线与纸版右下方所成的∠1是110°,那么光线与纸版左上方所成的∠2的度数是( )A .110°B .100°C .90°D .70°10、如图,l 1∥l 2,l 3∥l 4,与∠α互补的是( )A.∠1B.∠2C.∠3D.∠4第Ⅱ卷(非选择题 70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、如图,AB∥EF,则∠A,∠C,∠D,∠E满足的数量关系是_______.2、如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D是网格线的交点.我们晓观数学发现△ABD的面积与△ABC的面积相等,则这样的点D(不包含C)共有___个.3、同一平面内,两条直线相交有__________个交点,两条直线相交的特殊位置关系是__________.4、如图,在锐角△ABC中,∠ACB=50°;边上有一定点P,M、N分别是AC和BC边上的动点,当△PMN的周长最小时,∠MPN的度数是 ______.5、如图,一条公路两次转弯后,和原来的方向相同,如果第一次的拐角A∠是135︒,则第二次的拐角B是__︒.三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1.∥,PM与直线AB相交于点M;(1)过点P画PM AC(2)若点N在图中的格点上(不与点A重合),且直线NA与直线AC垂直,这样的格点(图中)有______个;(3)连接PB、PC,则四边形PBAC的面积是______.2、在平面直角坐标系xOy中,已知点A的坐标为(4,1),点B的坐标为(1,﹣2),BC⊥x轴于点C.(1)在平面直角坐标系xOy中描出点A,B,C,并写出点C的坐标;(2)若线段CD是由线段AB平移得到的,点A的对应点是C,则点B的对应点D的坐标为;(3)求出以A,B,O为顶点的三角形的面积;(4)若点E在过点B且平行于x轴的直线上,且△BCE的面积等于△ABO的面积,请直接写出点E的坐标.3、小聪准备了四根木棍AB、CD、EF、MN(木棍均足够长),摆放位置如图1所示,AB∥CD,点E、M 分别在AB、CD上,木棍EF从EB开始绕点E顺时针旋转至EA便立即往回旋转,木棍MN从MC开始绕点M顺时针旋转至MD便立即往回旋转,两根木棍不断来回旋转.若木棍EF转动的速度是a°/秒,木棍MN转动的速度是b°/秒,且a,b满足10a-=,EF与MN相交于点P.(1)当EF转动30°,MN转动135°时,EPM∠=________°;(2)若木棍EF先转动30秒,木棍MN才开始转动,木棍EF到达EA之前(木棍EF转动角度小于180°),木棍MN转动几秒时,两根木棍互相平行?(3)如图2,120CME ∠=︒,两根木棍同时开始转动,在木棍MN 到达MD 之前(即木棍MN 转动角度小于180°),若两根木棍交于点P ,过P 作∠MPQ 交AB 于点Q ,且120MPQ ∠=︒,则在转动过程中,请探究∠EMP 与∠EPQ 的数量关系是否发生变化?若不变,请求出其数量关系;若改变,请说明理由.4、已知:如图,直线DE //AB .求证:∠B +∠D=∠BCD .5、如图,AB ∥CD ,55B ∠=︒,125D ∠=︒,试说明:BC ∥DE .请补充说明过程,并在括号内填上相应的理由.解:∵AB ∥CD (已知),(C B ∴∠=∠ ),又55B ∠=︒(已知),C ∴∠= (︒ ),125D ∠=︒( ),∴ ,∴BC ∥DE ( ).-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据平行线的判定定理得到AD∥BC,故①正确;由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG,等量代换得到∠AGK=∠CGK,求得GK平分∠AGC;故②正确;根据题意列方程得到∠FGA=∠DGH=37°,故③正确;设∠AGM=α,∠MGK=β,得到∠AGK=α+β,根据角平分线的定义即可得到结论.【详解】解:∵∠EAD=∠D,∠B=∠D,∴∠EAD=∠B,∴AD∥BC,故①正确;∴∠AGK=∠CKG,∵∠CKG=∠CGK,∴∠AGK=∠CGK,∴GK平分∠AGC;故②正确;∵∠FGA的余角比∠DGH大16°,∴90°-∠FGA-∠DGH=16°,∵∠FGA=∠DGH,∴90°-2∠FGA=16°,∴∠FGA=∠DGH=37°,故③正确;设∠AGM=α,∠MGK=β,∴∠AGK=α+β,∵GK平分∠AGC,∴∠CGK=∠AGK=α+β,∵GM平分∠FGC,∴∠FGM=∠CGM,∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK,∴37°+α=β+α+β,∴β=18.5°,∴∠MGK=18.5°,故④错误,故选:B.【点睛】本题考查了平行线的判定和性质,角平分线的定义,对顶角性质,一元一次方程,正确的识别图形是解题的关键.2、A【解析】【分析】利用DE∥AF,得∠CDE=∠CFA=45°,结合∠CFA=∠B+∠BAF计算即可.【详解】∵DE∥AF,∴∠CDE=∠CFA=45°,∵∠CFA=∠B+∠BAF,∠B=30°,∴∠BAF=15°,故选A.【点睛】本题考查了平行线的性质,三角形外角的性质,三角板的意义,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.3、B【解析】【分析】根据线段公理可判断A,根据点C与线段AB的位置关系可判断B,根据平行公理可判断C,根据垂线公理可判断D即可.【详解】A. 两点之间线段最短,正确,故选项A不合题意;B. 若AC=BC,点C在线段AB外和线段AB上两种情况,当点C在线段AB上时,则点C是线段AB的中点,当点C不在线段AB上,则点C不是线段AB中点,不正确,故选项B符合题意;C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,正确,故选项C不合题意;D. 平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直,正确,故选项D不合题意.故选B.【点睛】本题考查基本事实即公理,和线段的中点,掌握基本事实即公理,和线段的中点是解题关键.4、A【解析】【分析】根据对顶角的定义(有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角)可判断①;同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,可判断②;平行于同一条直线的两条直线平行,根据平行线的判定可判断③;同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,可判断④;直线外一点到已知直线的垂线段长度就是该点到直线的距离,可判断⑤,综合即可得出选项.【详解】解:根据对顶角的定义(有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角)判断①错误,是假命题;同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故②错误,是假命题;平行于同一条直线的两条直线平行,根据平行线的判定可得③正确,是真命题;同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故④错误,是假命题;直线外一点到已知直线的垂线段长度就是该点到直线的距离,故⑤错误,是假命题;综上可得只有③正确,是真命题,故选:A.【点睛】题目主要考查真假命题的判断,包括对顶角,平行线和垂线的性质,点到直线的距离等,理解题意,熟练掌握各个定理是解题关键.5、B【解析】【分析】根据线段的性质,对顶角相等的性质,平行公理,对各小题分析判断即可得解.【详解】解:①两点之间的所有连线中,线段最短,正确;②相等的角不一定是对顶角,但对顶角相等,故本小题错误;③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行,故本小题错误;④若AC=BC,且A、B、C三点共线,则点C是线段AB的中点,否则不是,故本小题错误,⑤在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,正确;所以,正确的结论有①⑤共2个.故选:B.【点睛】本题考查了平行公理,线段的性质,对顶角的判断,是基础题,熟记概念与性质是解题的关键.6、B【解析】【分析】根据实数与数轴的关系可判断①为真命题;根据无理数定义可判断②为假命题;根据三角形的一个外角性质可判断③为真命题;根据平行线性质可判断④为假命题即可.【详解】解:实数与数轴上的点一一对应,所以①为真命题;无限不循环小数是无理数,所以②为假命题;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,所以③为真命题;两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补,所以④为假命题;∴命题不正确的有两个.故选:B.【点睛】本题考查实数与数轴的关系,无理数定义,三角形外角性质,平行线性质,掌握实数与数轴的关系,无理数定义,三角形外角性质,平行线性质是解题关键.7、A【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠4,再根据两直线平行,内错角相等可得∠2=∠4,从而得解.【详解】解:如图,∵∠1=20°,∠3=30°,∴∠4=∠1+∠3=20°+30°=50°,∵直尺的两边互相平行,∴∠2=∠4=50°.故选:A.【点睛】本题主要考查了两直线平行,内错角相等的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记性质是解题的关键.8、D【解析】【分析】利用三角形外角与内角的关系,先求出∠3,利用平行线的性质得到∠4的度数,再利用三角形外角与内角的关系求出∠1.【详解】解:∵∠C=90°,∠2=∠CDE=50°,∠3=∠C+∠CDE=90°+50°=140°.∵a∥b,∴∠4=∠3=140°.∵∠A=30°∴∠1=∠4+∠A=140°+30°=170°.故选:D.【点睛】本题考查了平行线的性质,三角形的外角的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.9、A【解析】【分析】根据AB∥CD,BC∥AD,分别得到∠1+∠ADC=180°,∠2+∠ADC=180°,因此∠1=∠2,即可求解.【详解】解:如图:∵AB∥CD,∴∠1+∠ADC=180°,∵BC∥AD,∴∠2+∠ADC=180°,∴∠1=∠2.∵∠1=110°,∴∠2=110°.故选:A .【点睛】本题考查平行线的性质,两直线平行,同旁内角互补.10、D【解析】【分析】如图,先证明=2,再证明25, 可得=5, 再利用邻补角的定义可得答案.【详解】解:如图,34,l l ∥=2,12,l l ∥2=5,=5,54180,+4=180,所以与∠α互补的是 4.故选D【点睛】本题考查的是平行线的性质,邻补角的定义,掌握“两直线平行,同位角相等”是解本题的关键.二、填空题1、180A CDE E ACD ∠+∠+∠-∠=︒【解析】【分析】过点C 作CG AB ∥,DH EF ∥,根据平行线的性质,可得A ACG ∠=∠,180E HDE ∠+∠=︒,GCD HDC ∠=∠,继而可得A ACD CDE E ∠+∠+∠+∠2180ACD =∠+︒,化简即可求得关系式.【详解】解:如图,过点C 作CG AB ∥,DH EF ∥AB CG ∥,AB EF ∥A ACG ∴∠=∠,EF CG ∥DH EF ∥180E HDE ∴∠+∠=︒,CG DH ∥∴GCD HDC ∠=∠221802180A ACD CDE E ACG GCD ACD ∴∠+∠+∠+∠=∠+∠+︒=∠+︒即180A CDE E ACD ∠+∠+∠-∠=︒故答案为:180∠+∠+∠-∠=︒A CDE E ACD【点睛】本题考查了平行线的性质与判定,掌握平行线的性质是解题的关键.2、5【解析】【分析】一条直线有两条与之距离相等的直线,如图,在AB的左侧和右侧均作一条与AB距离大小为C到AB 的距离的直线,直线与网格的交点即为所求.【详解】解:如图,连接CD∵△ABD的面积与△ABC的面积相等∴AB CD,可知在CD上与网格交的点均为D点又∵一条直线有两条与之距离相等的直线∴在AB的左侧作一条与AB平行的直线EF如图所示,EF与网格的交点也为D点∴满足条件的D点有5个故答案为5.【点睛】本题考查了平行的性质.解题的关键在于明确一条直线有两条与之距离相等的直线.3、 1 垂直【解析】略4、80°【解析】【分析】作点P关于AC,BC的对称点D,G,连接PD,PG分别交AC,BC于E,F,连接DG交AC于M,交BC 于N,连接PM,PN,根据对称的性质,易求得∠C+∠EPF=180°,由∠ACB=50°,易求得∠D+∠G=50°,继而求得答案.【详解】作点P关于AC,BC的对称点D,G,连接PD,PG分别交AC,BC于E,F,连接DG交AC于M,交BC 于N,连接PM,PN.∵PD⊥AC,PG⊥BC,∴∠PEC=∠PFC=90°,∴∠C+∠EPF=180°,∵∠C=50°,∴∠EPF=130°,∵∠D+∠G+∠EPF=180°,∴∠D+∠G=50°,由对称可知:∠G=∠GPN,∠D=∠DPM,∴∠GPN+∠DPM=50°,∴∠MPN=130°﹣50°=80°,故答案为:80°.【点睛】本题考查了轴对称、三角形内角和的知识;解题的关键是熟练掌握轴对称、三角形内角和的性质,从而完成求解.5、135【解析】【分析】两直线平行,内错角相等,可知B A∠=∠,进而得出结果.【详解】解:道路是平行的∴∠=∠=︒(两直线平行,内错角相等)B A135故答案为:135.【点睛】此题考查平行线的性质.解题的关键在于实际问题转化为几何问题,利用平行线的性质求解.三、解答题1、(1)见解析;(2)3个;(3)10.5【解析】【分析】(1)直接利用网格结合平行线的判定方法得出答案;(2)利用数形结合的思想画出图形即可;(3)利用四边形PBAC 所在矩形减去周围三角形面积得出答案.【详解】解:(1)如图所示:(2)这样的格点N 共有3个,如图所示,故答案为:3.(3)四边形PBAC 的面积为:3×7-12×1×2-12×5×2-12×1×5-12×2×2=10.5.【点睛】本题主要考查了应用设计与作图,正确借助网格分析是解题关键.2、 (1)作图见解析,C 点坐标为()1,0 (2)()23--,(3)4.5(4)E 点坐标为()5.52-,或()3.52--, 【解析】【分析】(1)在平面直角坐标系中表示出A ,B ,C 即可.(2)由题意知,AB CD ,将点C 向下移动3格,向左移动3格到点D ,得出坐标.(3)利用分割法求面积,ABC 的面积等于矩形减去3个小三角形的面积,计算求值即可.(4)设E 点坐标为()2m ,-,由题意列方程求解即可.(1)解:如图,点A ,B ,C 即为所求,C 点坐标为(1,0)故答案为:(1,0).(2)解:∵点A 向下移动3格,向左移动3格到点B ,AB CD∴点C 向下移动3格,向左移动3格到点D∴D 点坐标为()23--,故答案为:()23--,. (3) 解:∵11134141233 4.5222AOB S ⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯== ∴以A ,B ,O 为顶点的三角形的面积为4.5.(4)解:设E 点坐标为()2m ,- 由题意可得112 4.52m⨯⨯﹣= 解得: 5.5m =或 3.5m =∴E 点坐标为()5.52-,或()3.52--,. 【点睛】本题考查了直角坐标系中的点坐标,平行的性质,分割法求面积,解一元一次方程等知识.解题的关键在于灵活运用知识求解.3、 (1)75(2)30秒或110秒(3)不变,∠EMP =2∠EPQ【解析】【分析】(1)过点P 作PQ ∥AB ,根据平行公理得到PQ ∥CD ,推出∠EPQ =∠BEF =30°,∠CMP+∠MPQ=180°,求出∠MPQ=45°,由EPM ∠=∠EPQ +∠MPQ 求出结果;(2)根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出a =1,b =2.设MN 转动t 秒,分两种情况:①如图,当MN由CM向MD旋转时,延长EF交CD于G,由∠CMN=∠BEG,得到30+t=2t,求得t值即可;②如图,当MN由MD向CM旋转时,延长EF交CD于G,由∠CMN=∠BEG,得到30+t=360-2t,求得t值即可;(3)设MN转动a秒,则∠BEP=a,∠CMP=2a,得到∠EMP=2a-120°=2(a-60°),根据三角形内角和定理得到∠EMP+∠PQE=120°,再求出∠EPQ=180°-(240°-2a)-a=a-60°,即可得到∠EMP=2∠EPQ.(1)解:过点P作PQ∥AB,∵AB∥CD,∴PQ∥CD,∴∠EPQ=∠BEF=30°,∠CMP+∠MPQ=180°,∴∠MPQ=45°,∴EPM∠=∠EPQ+∠MPQ=75°,故答案为:75;(2)解:∵10a-,∴a-1=0,2-b=0,得a=1,b=2.∴木棍EF转动的速度是1°/秒,木棍MN转动的速度是2°/秒,∴木棍EF先转动30秒,得∠BEF=30°,设MN转动t秒,①如图,当MN由CM向MD旋转时,延长EF交CD于G,∴∠BEG=30+t,∠CMN=2t,∵MN∥EF,∴∠CMN=∠CGE,∵AB∥CD,∴∠BEG=∠CGE,∴∠CMN=∠BEG,∴30+t=2t,得t=30;②如图,当MN由MD向CM旋转时,延长EF交CD于G,∴∠BEG=30+t,∠CMN=360-2t,∵MN∥EF,∴∠CMN=∠CGE,∵AB∥CD,∴∠BEG=∠CGE,∴∠CMN=∠BEG,∴30+t=360-2t,得t=110;综上,木棍MN 转动30秒或110秒时,两根木棍互相平行;(3)解:不变,∠EMP =2∠EPQ .设MN 转动a 秒,则∠BEP=a ,∠CMP=2a ,∵120CME ∠=︒,∴∠EMP =2a -120°=2(a -60°),∵AB ∥CD ,∴∠MEB =120CME ∠=︒,∵∠EMP +∠MPQ +∠PQE +∠MEB =360°,120MPQ ∠=︒,∴∠EMP +∠PQE =120°,∴∠PQE =240°-2a ,∵∠BEP+∠EPQ+∠PQE=180°,∴∠EPQ =180°-(240°-2a )-a =a -60°,∴∠EMP =2∠EPQ ,∴∠EMP 与∠EPQ 的数量关系不变,∠EMP =2∠EPQ .【点睛】此题考查了平行公理,平行线的性质,绝对值的非负性,算术平方根的非负性,三角形内角和定理,一元一次方程的实际应用,熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键.4、见详解.【解析】【分析】过点C 作CF ∥AB ,可得∠B =∠BCF ,根据平行同一直线的两直线平行,得出CF ∥DE ,进而得出∠D =∠DCF ,利用角的和计算即可.【详解】证明:过点C 作CF ∥AB ,∴∠B =∠BCF ,∵DE //AB .CF ∥AB ,∴CF ∥DE ,∴∠D =∠DCF ,∴∠BCD =∠BCF +∠DCF =∠B +∠D .【点睛】本题考查平行线的性质与判定,掌握平行线性质与判定是解题关键.5、两直线平行,内错角相等;55;等量代换;已知;180C D ∠+∠=︒;同旁内角互补,两直线平行【解析】【分析】由题意根据平行线的性质与判定即可补充说理过程.【详解】解://AB CD (已知),C B ∴∠=∠(两直线平行,内错角相等),又55B ∠=︒(已知),55C ∴∠=︒(等量代换),125D ∠=︒ (已知),180C D ∴∠+∠=︒,//BC DE ∴(同旁内角互补,两直线平行).故答案为:两直线平行,内错角相等;55;等量代换;已知;180C D ∠+∠=︒;同旁内角互补,两直线平行.【点睛】本题考查平行线的判定与性质,解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质.。

关于平行线的证明题及答案

关于平行线的证明题及答案

关于平行线的证明题及答案平行线是几何的知识,关于平行线的证明该怎么解决呢?这类的证明蕴含着那些数学原理呢?下面就是给大家的平行线的证明内容,希望大家喜欢。

当∠BPD=∠B+∠D时可以判断AB∥CD过P作PE∥AB则∠BPE=∠B而∠BPD=∠B+∠D∴∠EPD=∠D故PE∥CD∴AB∥CD证明:如果a‖b,a‖c,那么b‖c 证明:假使b、c不平行则b、c交于一点O 又因为a‖b,a‖c 所以过O有b、c两条直线平行于a 这就与平行公理矛盾所以假使不成立所以b‖c 由同位角相等,两直线平行,可推出:内错角相等,两直线平行。

同旁内角互补,两直线平行。

因为 a‖b,a‖c, 所以 b‖c (平行公理的推论) “两直线平行,同位角相等.”是公理,是无法证明的,书上给的也只是说明而已,并没有给出严格证明,而“两直线平行,内错角相等“则是由上面的公理推导出来的,利用了对等角相等做了一个替换,上面两位给出的都不是严格的证明。

一、怎样证明两直线平行证明两直线平行的常用定理(性质)有: 1.两直线平行的判定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行(或垂直)于同一直线的两直线平行. 2、三角形或梯形的中位线定理. 3、如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 4、平行四边形的性质定理. 5、若一直线上有两点在另一直线的同旁 ).(A)艺l=匕3(B)/2=艺3(C)匕4二艺5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行线判定定理可判断答案选 C \认六一值!小人﹃夕叱的一试勺洲洲川JL ZE一B \/(一、图月一飞 /匕\一|求且它们到该直线的距离相等,则两直线平行. 例1(xx年南通市)已知:如图l,下列条件中,不能判断直线l,//l:的是(B). 例2(xx年泉州市)如图2,△注Bc中,匕BAC的平分线AD交BC于D,④O过点A,且和BC切于D,和AB、Ac分别交B于E、F,设EF交AD于C,连结DF. (l)求证:EF// Bc(1)根据定义。

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平行线的性质与判定的证明
练习题
温故而知新:
1.平行线的性质
(1)两直线平行,同位角相等;
(2)两直线平行,内错角相等;
(3)两直线平行,同旁内角互补.
2.平行线的判定
(1)同位角相等,两直线平行;
(2)内错角相等,两直线平行;
(3)同旁内角互补,两直线平行互补.
例1已知如图2-2,AB∥CD∥EF,点M,N,P分别在AB,CD,EF上,NQ平分∠MNP.(1)若∠AMN=60°,∠EPN=80°,分别求∠MNP,∠DNQ的度数;
(2)探求∠DNQ与∠AMN,∠EPN的数量关系.
解析:
在我们完成涉及平行线性质的相关问题时,注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换,即同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.
例2如图,∠AGD=∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明:∠1=∠2.
解析:在完成证明的问题时,我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系,由直线之间的关系也可得到角的关系.
例3(1)已知:如图2-4①,直线AB∥ED,求证:∠ABC+∠CDE=∠BCD;
(2)当点C位于如图2-4②所示时,∠ABC,∠CDE与∠BCD存在什么等量关系?并证明.
解析:在运用平行线性质时,有时需要作平行线,取到桥梁的作用,实现已知条件的转化.
例4 如图2-5,一条公路修到湖边时,需绕道,如果第一次拐的角∠A是120°,第二次拐的角∠B是150°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么∠C应为多少度?
解析:把关于角度的问题转化为平行线问题,利用平行线的性质与判定予以解答.
举一反三:
1.如图2-9,FG∥HI,则∠x的度数为( )
A.60° B. 72°C.90°D. 100°
2. 已知如图所示,AB∥EF∥CD,EG平分∠BEF,∠B+∠BED+∠D=192°,∠B-∠D=24°,求∠GEF的度数.

3.已知:如图2-10,AB∥EF,BC∥ED,AB,DE交于点G.
求证:∠B=∠E.
例4如图2-6,已知AB ∥C D,试再添上一个条件,使∠1=∠2成立,并说明理由.
解决此类条件开放性问题需要从结果出发,找出结果成立所需要的条件,由果溯因.
5.如图1-7,已知直线1l 2l ,且3l 和1l 、2l 分别交于A、两点,点P 在AB 上,4l 和1l 、2l 分别交于C 、D 两点,连接PC 、PD 。

(1) 试求出∠1、∠2、∠3之间的关系,并说明理由。

(2) 如果点P 在A 、B 两点之间运动时,问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化。

(3) 如果点P在AB 两点的外侧运动时,试探究∠1、∠2、∠3之间的关系(点P 和A、B 不
重合)
6.如图2-11,CD平分∠ACB,DE∥AC,EF∥CD,EF平分∠DEB吗?请说明理由.
7.如图1-12,CD∥EF, ∠1+∠2=∠ABC,
求证:AB∥GF
8.如图2-13,已知AB∥CD,∠ECD=125°,∠BEC=20°,求∠ABE的度数.
∴∠ABC+∠1=180°,∠2+∠CDE=180°.
∵∠BCD=∠1+∠2,
∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°.
4.动画过点B作BD∥AE,
答案:
解:过点B作BD∥AE,∵AE∥CF,
∴AE∥BD∥CF,∴∠A=∠1,∠2+∠C=180°
∵∠A=120°,∠1+∠2=∠ABC=150°,
∴∠2=30°,
∴∠C=180°-30°=150°.
例题
1.解析:∠AEG=180°-120°=60°,由外凸角和等于内凹角和有60°+30°+30°=x+48°,解得x=72°.
答案:B.
2. 解:∵AB∥EF∥CD,
∴∠B=∠BEF,∠DEF=∠D.
∵∠B+∠BED+∠D=192°,
即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°,
∴2(∠B+∠D)=192°,
即∠B+∠D=96°.
∵∠B-∠D=24°,
∴∠B=60°,
即∠BEF=60°.
∵EG平分∠BEF,
∴∠GEF= ∠BEF=30°.
3.解析:标注AB∥EF,BC∥ED
答案:证明:∵AB∥EF,
∴∠E=∠AGD.
∵BC∥ED,
∴∠B=∠AGD,
∴∠B=∠E.
4.解析:标注 AB∥CD,∠1=∠2
答案:方法一:(标注CF∥BE)
解:需添加的条件为CF∥BE ,
理由:∵AB∥CD,
∴∠DCB=∠ABC.
∵CF∥BE,
∴∠FCB=∠EBC,
∴∠1=∠2;
方法二:(标注CF,BE,∠1=∠2=∠DCF=∠AB E)解:添加的条件为CF,BE 分别为∠BCD,∠CBA 的平分线. 理由:∵AB ∥CD ,
∴∠DC B=∠ABC.
∵C F,B E分别为∠BCD ,∠CBA 的平分线,
∴∠1=∠2.
5. 解:(1)解析:在题目中直接画出辅助线
∠3=∠1+∠2。

理由:如图(1)所示
过点P作PE∥1l 交4l 于E,则∠1=∠CPE,
又因为1l ∥2l ,所以PE ∥2l ,则∠EPD=∠2,
所以∠CPD=∠1+∠2,即∠3=∠1+∠2
(2)解析: 点P 在A 、B 两点之间运动时,∠3=∠1+∠2的关系不会发生改变。

(3)解析:如图(2)和(3)所以,当P 点在A 、B 两点外侧运动时,分两种情况:
6. 解析:标注C D平分∠AC B,DE ∥AC,EF ∥CD
答案:标注∠CDE=∠ACD=∠DCE=∠D EF=∠BEF
解:EF 平分∠DEB .理由如下:
∵DE∥AC ,EF ∥CD,
∴∠C DE=∠A CD ,∠CDE=∠DEF,
∠BEF=∠DCE.
∵CD 平分∠ACB,
∴∠D CE=∠ACD ,
∴∠DEF=∠BEF,
即EF平分∠DEB.
7. 解析:如图,作CK∥FG,延长GF、CD交于H,则∠H+∠2+∠KCB=180°.因为CD∥EF,所以∠H=∠1,又因为∠1+∠2=∠ABC,所以∠ABC+∠KCB=180°,所以CK∥AB,所以AB∥F
G.
8. 解析:(过E点作EF∥CD)标注AB∥EF∥CD
答案:解:过E点作EF∥CD,
∴∠ECD+∠CEF=180°,
而∠ECD=125°,
∴∠CEF=180°-125°=55°,
∴∠BEF=∠BEC+∠CEF=20°+55°=75°.
∵AB∥CD,∴AB∥EF,
∴∠ABE=∠BEF=75°.。

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