关于赋范线性空间中的三类泛函方程
无穷维赋范空间的对偶空间
无穷维赋范空间的对偶空间
在数学中，对偶空间（dual space）是线性代数和泛函分析的一个重要概念。
对于一个向量空间V，其对偶空间V*是V的所有线性函数的集合，其元素称为V的线性泛函。
对于无穷维赋范空间，其定义与有限维赋范空间类似，但需要考虑更多的细节。
在无穷维赋范空间中，对偶空间是其所有连续线性泛函的集合，这些线性泛函可以定义在原始空间上并满足一定的范数性质。
具体来说，对于一个无穷维赋范空间X，其元素可以表示为序列x₁, x₂, x₃,...的极限点。
对偶空间X*的元素是定义在X上的连续线性泛函f，这些泛函满足：
|f(x)| ≤C||x||
其中C是一个常数，||x||表示x的范数。
对偶空间X*也是一个赋范空间，其范数定义为：
||f|| = sup{ |f(x)| : ||x|| ≤1 }
对偶空间在数学和物理中有广泛的应用，例如在量子力学、偏微分方程等领域中经常出现。
泛函3-6,3-7,3-8,3-9,4-4
GrT =
{( x, Tx ) : x ∈ X }
T 称为映射（算子） 的图象。 称为映射（算子） 的图象。
是赋范空间， 4.9 定义 设 X , Y 是赋范空间，D ⊂ X ，
T : D → Y 称为闭算子，如果 T 的图象 称为闭算子，
GrT = {( x, Tx ) : x ∈ D}
是 X ×Y 中的闭集。 中的闭集。
3.3 定理 如果 A : X → Y 是紧线性算子， 是紧线性算子，
B ∈ B (Y , Z ), C ∈ B ( Z , X ), 则 BA, AC
均是紧线性算子。 均是紧线性算子。 系 如果X为无穷维赋范空间，紧线性算子 如果 为无穷维赋范空间， 为无穷维赋范空间 不可能有定义在Y上的有界 T : X → Y 不可能有定义在 上的有界 逆算子。 逆算子。
T : X → Y 是线性算子，如果 将X中每一 是线性算子，如果T将 中每一
有界集映成Y中的列紧集，则称 为紧线性 有界集映成 中的列紧集，则称T为紧线性 中的列紧集 算子或全连续算子。 算子或全连续算子。
在有限维赋范空间上， 在有限维赋范空间上，任何线性算子 都是有界的，把有界集映成有界集， 都是有界的，把有界集映成有界集，而在 有限维赋范空间中， 有限维赋范空间中，任何有界集都是列紧 集，因此定义在其上的线性算子都是紧线 性算子。 性算子。 在无穷维赋范空间X中，由于列紧集 在无穷维赋范空间 中 必是有界集，所以紧线性算子是有界的， 必是有界集，所以紧线性算子是有界的， 但有界线性算子不一定是紧算子。 但有界线性算子不一定是紧算子。
f ∈ X * ，使得 f ( x j ) = α j , 的数， 的数，则存在
1 ≤ j ≤ n.
8.5 系 设X是赋范空间且 x0 ∈ X ，则 是赋范空间且
泛函分析第四讲
Tx M x ,
则称 T是 DT Y 中的有界线性算子.
当 DT X时，称 T 是 X Y 中的有界线性算子.
第二章 泛函分析
第二节 赋范线性空间及Banach空间
二、有界线性算子和连续线性泛函
泛函分析
2.2 赋范线性空间及Banach空间
第二章 泛函分析
一、赋范线性空间
1. 赋范线性空间的定义
定义1 设 X 是复（或实）的线性空间，
如果对于 X 中的每个 x ，对应于一个实数 x ，
且满足 (1) x 0，x 0 x 0；
(2) x x ， R 或 C；
（非负性） （齐次性）
第二章 泛函分析
第二节 赋范线性空间及Banach空间
三、线性算子空间和共轭空间
定理5 ƁX Y 按通常的线性运算及算子范数
构成一个赋范线性空间. 证Ax sup Ax
x 1
x 1
x 1
A
（3）A B sup A Bx sup Ax Bx
x D, x 0
第二章 泛函分析
第二节 赋范线性空间及Banach空间
二、有界线性算子和连续线性泛函
定理3 设 X ,Y 是两个赋范线性空间， T : X Y 的线性算子，则T连续的充要条件是 T有界.
证明 必要性 若T连续但无界
xn X，xn 0n 1,2, 使 Txn n xn
令
yn
定理2 设 X ,Y 是两个赋范线性空间，T是定义在 X 的子空间D上而值域含在 Y 中的线性算子，则 T 是有界的充要条件是 T将D中任一有界集映成 Y 中有界集.
证明 必要性
第十章 Banach空间中的基本定理.
f
px ,x
X
,
记这些延拓的全体为Γ .那么我们有
Γ
g|g是Dg
上的线性泛函,
g|Z f
gx
px ,x
Dg
Z
.
3 在Γ上赋序:
g1 g2 Dg1 Dg2 ,
则是一个半序集. 由佐恩引理知, Γ有最大元~f . ~f即为所求.
泛函f ,均有f x0 0,则必有x0 0.
Class Over!
若f是X的子空间Z上的实线性泛函,且被px控制,即满足 f x px,x Z,则存在X上的实|Z f
~f x
px , x
X
.
定理证明的基本思路
1 扩大f的定义域; 在扩大的定义域上作 f的线性延拓; 恰当选择被控制的那一 个延拓.
~ f|Z
f ,并且
~f
X
f
?
Z
Hanhn-Banach泛函延拓定理
次线性泛函
设p : X R满足如下条件
1 px px, x X ,是数; 2 px y px py.
则称p是X上的一个次线性泛函.
定理1 设X是实线性空间,px是X上的次线性泛函.
且
f y f y f y y py y
py x1 y-x1 py x1 py-x1 .
由此可得 py-x1 f y py x1 f y.
这表明sup
yZ
第十章 Banach空间中的 基本定理
第一节 泛函延拓定理
1 问题
设X是赋范线性空间,Z是X的子空间,f是Z上的连续线性
线性赋范空间泛函有界性
目录1引言 (1)2线性赋范空间 (1)2.1预备知识 (2)2.2线性赋范空间的一些性质 (3)3线性有界泛函 (4)3.1线性有界泛函有关概念 (4)3.2线性有界泛函与线性连续泛函 (6)3.3共轭空间 (8)4线性有界算子 (11)4.1线性有界算子有关概念 (11)4.2线性有界算子与线性连续算子 (13)4.3线性有界算子空间 (14)参考文献 (15)致谢 (16)线性赋范空间泛函有界性研究数学系本1104班薛菊峰指导教师：何瑞强摘要：本文主要研究线性赋范空间泛函有界性。
从三个方面进行探讨：首先，阐述线性赋范空间泛函有界性、泛函连续性以及相关的概念；然后，研究线性赋范空间泛函有界性与连续性的关系，根据两者的等价性给出相关泛函理论的推导及应用；最后，将线性有界泛函理论推广到线性有界算子空间。
关键词：线性赋范空间，线性有界泛函，线性连续泛函，线性有界算子。
The Study of the Functional Boundedness in Linear Normed SpaceXue JuFengClass 1104, Mathematics DepartmentTutor: He RuiQiangAbstract: This paper mainly studies the functional boundedness in linear normed space. Carries on the discussion from three aspects: First of all, this paper expounds the linear normed space functional boundedness, functional continuity and related concepts; Then, researching the relationship of the linear normed space functional boundedness and continuity, giving derivation and application of the relevant functional theory according to the equivalence of them; Finally, the bounded linear functional theory are generalized to space of bounded linear operator .Keywords: linear normed space, bounded linear functional, linear continuous functionals , bounded linear operator.1引言有学者在这方面已经做了一定的研究如：李宗铎在《线性赋范空间中几个概念的探讨》证明了当给线性赋范空间装备以相应的拓扑，与线性拓扑空间体系下所定义的线性赋范空间，有界集、线性算子的有界性等概念是等效的，同时严格证明了有界线性算子范数两种规定的一致性；王艳博、张云峰在《关于泛函分析中定理的推广》对于赋范空间X 和Y ，从X 到Y 的全体线性有界算子()Y X B ,关于算子范数亦成为赋范空间，且知当Y 是完备空间时，()Y X B ,也是完备的。
泛函分析第2章度量空间与赋范线性空间
泛函分析第2章度量空间与赋范线性空间泛函分析是数学中的一个重要分支，研究函数空间上的函数和运算的性质。
在泛函分析中，度量空间和赋范线性空间是两个基本的概念。
本文将介绍这两个概念以及它们的性质。
度量空间是一个集合X，其中定义了一个度量函数d：X×X→R，满足以下条件：1.非负性：对于任意的x，y∈X，有d(x,y)≥0，且当且仅当x=y时，d(x,y)=0；2.对称性：对于任意的x，y∈X，有d(x,y)=d(y,x)；3.三角不等式：对于任意的x，y，z∈X，有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)。
度量函数d可以看作是度量空间X中点之间的距离，由其性质可以推导出许多重要结论。
例如，由三角不等式的性质可以得出X中点列的收敛性质，即对于度量空间X中的点列{x_n}，如果存在x∈X，使得对于任意的ε>0，存在正整数N，当n≥N时，有d(x_n,x)<ε，那么称{x_n}收敛于x。
赋范线性空间是一个向量空间V，其中定义了一个范数函数∥·∥：V→R，满足以下条件：1.非负性：对于任意的x∈V，有∥x∥≥0，且当且仅当x=0时，∥x∥=0；2. 齐次性：对于任意的x∈V和实数a，有∥ax∥=，a，∥x∥；3.三角不等式：对于任意的x，y∈V，有∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。
范数函数∥·∥可以看作是赋范线性空间V中向量的长度或大小，具有度量空间的部分性质，如非负性和齐次性。
范数函数还满足一条重要的性质，即∥x+y∥≥，∥x∥-∥y∥，这被称为三角不等式强化定理。
度量空间和赋范线性空间都具有一些不同的性质和概念。
例如，度量空间中存在序列的收敛性质，而赋范线性空间中存在序列的收敛性质以及序列的Cauchy性质。
同时，度量空间和赋范线性空间都可以构建拓扑结构，使其成为一个拓扑空间。
在拓扑空间中，点列的收敛性质和序列的Cauchy性质是等价的。
此外，度量空间和赋范线性空间都是完备的，即满足序列的Cauchy 性质的序列都收敛于空间中的一些点。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
泛函分析线性赋范空间论文
泛函分析线性赋范空间论文摘要：本论文主要围绕泛函分析线性赋范空间的基本理论进行研究，介绍了线性赋范空间的定义、性质、范畴和代数结构等方面。
对于赋范空间中的基本概念如范数、内积、对偶空间、共轭性等，进行详细阐述，并以此为基础，引入了Banach空间、Hilbert空间、算子空间等重要概念和定理。
论文最后还介绍了一些经典的应用和发展趋势。
通过本论文的研究，可以更好地理解和应用泛函分析线性赋范空间的基本理论。
关键词：泛函分析；线性赋范空间；范数；内积；对偶空间；共轭性；Banach空间；Hilbert空间；算子空间一、引言泛函分析是数学中的一个重要分支，它主要研究无限维向量空间及其上的函数或算子。
线性赋范空间是泛函分析中一个重要的概念，它是带有范数（norm）的线性空间，具有加法、数乘和范数这三个运算，是泛函分析的基础。
本论文旨在对于泛函分析线性赋范空间的基本理论进行系统的阐述和探讨。
二、线性赋范空间的定义与性质线性赋范空间是一个带有范数的线性空间，它的定义包括线性空间的定义和范数的定义。
线性赋范空间具有很多性质，如唯一的零元素、范数的非负性、齐次性、三角不等式等，这些性质为后续的研究提供了基础。
三、范数、内积、对偶空间和共轭性范数、内积、对偶空间和共轭性是赋范空间中的基本概念，范数是一种测量距离的方式，内积是一种度量夹角的方法，对偶空间是指所有从X到标量域的线性连续映射组成的空间，而共轭性则是指内积或对偶空间的一些特殊性质。
四、Banach空间、Hilbert空间、算子空间等Banach空间是指完备的赋范空间，Hilbert空间是一种特殊的Banach空间，具有良好的几何性质和完备性质，是应用广泛的空间之一。
在算子理论中，算子空间则是指线性映射所组成的空间，它也具有重要的应用和意义。
五、经典应用和发展趋势泛函分析线性赋范空间在数学和物理等领域都有着广泛的应用，如偏微分方程、量子力学、信号处理、数据挖掘等。
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题 ． ７ ３年法 国数 学 家蒙 日（ ｎ ｅ 应 用 函数 方 程研 究 曲面 理论 时 ， 出 了 函数方 程 的较 一 般 的 叙 述． １７ Ｍｏ ｇ ） 给
从 １２ ８ １年 起 ， 学 家柯 西 （ ａ ｃ ｙ 对 一 系列 的一 维 空 间 中 函数 方程 作 了深 入 的研 究 ， 创 造 了一 种 求 数 Ｃ ｕｈ ） 并 解 函数方 程 的方 法 —— 柯 西 （ ａ ｃ ｙ 法． Ｃ ｕｈ ） 阿 贝尔 （ ｅ） 维 尔 斯特 拉 斯 （ ｉ ｓｒｓ） 罗 巴切 夫 斯基 （ ｏ ａｈ ｖ ｋ ） 哈代 （ ｒ ｙ 等数 学 家将 Ａｂ １， Ｗｅ ｒｔａｓ ， ｅ Ｌ ｂ ｃ ｅｓ ｙ ， Ｈａｄ ）
众所 周 知 ， 分方 程 、 分方 程 、 函微 分 方程 【 均 属 于 函数方 程 之 列． 微 积 泛 ６ 由此 可 见 ， 一 般 的 函数 （ 对 泛 函 ） 程 研究 其 意义 深 远 ． 近年 来 ， 于 一般 赋 范线 性 空 间 中泛 函方 程 的研 究 工作 却 不多 见 ． 文 将把 方 然 关 本
Ｖ
ｏ 知 至少 有 一个 。 ｆ（ ｏ≠ ｏ 从 而 ｇ（ 一 ， 使 ｘ） ， ）
三 ｏ 这 与 ｇ（ 不 恒 为 。的条 件 矛 盾 ， ｇ（ ） ， ） 故 ≠
∈
０ 同理 可证 厂（） ０ 由 厂（ ） 一ｈ ） （ ） ｈ ４ Ｏ ． ≠ ． ｇ（） （ ＋ 一ｈ 知 （ ） ： ．
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第 １ ８卷 第 ５期
２０ ０ ２年 １ ０月
工 科 数 学
Ｊ ＯＵ ＲＮＡＩ ＯＦ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＯＲ ＴＥＣＨＮＯＬ ＣＳ Ｆ ＯＧＹ
Ｖ ｏ ． ８， Ｏ ５ １１ Ｎ ．
０ｃ． ２ ２ ｔ ００
关 于 赋 范 线 性 空 间 中 的三 类 泛 函方 程
的解 法也 知 之甚 少 ．
特别 值 得 注 意 的是 与 函数方 程 密 切 相关 的 函数迭 代 有 着 深 刻 的理 论 背 景 和 实 用 价值 ， 由于 近 年来
关 于 浑沌 理 论 和微 分 动力 系 统 的研 究 与发 展 十分 迅 速 ， 引起 了数 学界 的 高 度重 视 ．
从 （Ｉ） 知 式
厂（ ｇ（ 一＾（ 一厂（ ｇ（ ． ） ） ） ） ）
Ｘ
∈
ｎ
［
两 边 同除 以 厂 ｇ（ ） 得 知Ｖ （） ， ∈Ｘ， 厂 ）ｆ（ ） （ ／ （ ） 有 （ Ｉ Ｏ 一ｇ ） ｇ Ｏ 一 （ ／ （ ） 恒 成 立． ） 厂 ｇ（ ） 于是 令
１ 方 程 （Ｉ） （ 的 关 系 与 Ⅱ）
定 理 １ 若
（）Ｘ 为 上 的线性 空 间 （ 文 中 均 表示 实 数域 、 ｉ 本 ０为 Ｘ 中零元 素 ） ，
（ ） ｈ Ｘ一 是 实 值 泛 函 ， ｉ ｉ ：
（ｉ ｉ）ｆ： ｉ Ｘ一 ， Ｘ一 是 不恒 为零 的实 值泛 函 ， ｇ：
函数 方程 理 论成 功 地 解决 了一 系列 有关 力 学 、 透理 论 、 性理 论 和地 层 动力 理 论 的 问题 ． 渗 弹
在 函数 （ 函 ） 程 的研究 领域 中 ， 过 众 多 的数 学 家 付 出 了艰 辛 的 劳 动 ， 得 了 大量 的结 果 ， 之 泛 方 经 获 其
应 用 日益广 泛 深远 ， 令 人遗 憾 的 是 至今 还没 有 建立 起 完 整系 统 的 函数 （ 函 ） 但 泛 方程 的理论 ， 至较 一般 甚
在概 率论 中反 复应 用 的 （ 例如 在 普 阿松 过 程 、 指数 分 布 、 射击 弹 落点 分 布 等 ）８ 维 空 间 中 的 函数 方 程推 Ｉ一 ］ 广 到 赋范 线 性 空 间 中的泛 函方程 （Ｉ） （ ， 与 Ⅱ） 同时 把 鼹 中可 用来 描 述 欧 几里 得 平 面 中 的仿 射 变换 的单 参 数解 函数 方程 ｌ 提 炼 抽象 ， 广 到 了本 文方 程 （ ． 究 其 三 者性 质及 其 关系 ， 给 出其 应 用 ． － ， ７ 。 推 Ⅲ）研 并
姚 云 飞
（ 阳师范学 院 数学 系 ， 徽 阜 阳 ２６３ ） ０－ 安 ３ ０ ２
［ 摘
要 ］ 在 赋 范 线 性 空 间 中 考 察 下 列 几 类 泛 函 方 程
（Ｉ）厂（ ｇ ） （ ） （ 一＾ ＋ ） （ ， Ⅱ）厂（ ） ＋ 一／（ ＿（ ， ） ） 厂 的 性 质 与 解 以及 彼 此 之 间 的 关 系 ，
［ 关键 词］泛 函方 程 ； 范线性空 间 ； 赋 凸泛 函 ； 轭空间 ； 共 连续泛 函
［ 图 分 类 号 ］ Ｏ１ ７ ９ 中 ７． １ ［ 献标 识码］Ａ 文 ［ 章 编 号 ］ １ ０ — １０ ２０ ） ５０ ４ —５ 文 ０ ７４ ２ （０ ２ ０ —ｅ ） 拉 格 朗 Ｅ （ ａ ｒｎ ｅ 等 著 名 数学 大 师 就 已经 利 用 函数 （ 函 ） 程 解 决 问 Ｅ ｌ ， ｒ ｔ Ｌ ｇａ ｇ ） 泛 方
则 泛 函 方 程 （Ｉ） 可 以 化 为 （ 的 形 式 ． 总 Ⅱ）
［ 稿 日期 ］ ２ ０ — ２１ 收 ０ １１ —０
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５ Ｏ
工 科
数 学
第 １ ８卷
Ｘ
ｆ ｉ 用 及 让 法 让 明 ｇ（ ≠ ０ １ ＿ ） ．炭设 ｇ（ 一 ０， ｈ（ ） ｈ（ ＋ ６ 一 ． ｘ） ） ０ 由 于 ／（ ） 恒 为 ） 则 一 １ ，（ ｇ（ 三 ． ） 不
函数 方程 广 泛应 用 于 各种 不 同 的领 域 ， 得 了惊 人 的 结 果． ０世 纪初 期 ， 兰学 派 对 函 数方 程 进 行 了某 取 ２ 波 些 开 创 性 的研 究 工作 ． ０世 纪 ４ ２ ０年代 后 ， 苏 联 数 学 家 盖 尔谢 凡诺 夫 发 展 了 函数方 程 的理 论 ， 前 并应 用