一元一次不等式组
一元一次不等式组的知识点及其经典习题讲解
一元一次不等式组的知识点及其经典习题讲解知识点一：一元一次不等式组由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。
如：，。
要点诠释：在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：(1)不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；(2)在同一不等式组中的未知数必须是同一个，不能在这个不等式中是这个未知数，而在另一个不等式中是另一个未知数。
知识点二：一元一次不等式组的解集组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.(1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分。
(2)用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，一般可分为以下四种情况：知识点三：一元一次不等式组的解法求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
解一元一次不等式组的一般步骤为：(1)分别解不等式组中的每一个不等式；(2)将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分；(3)根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集(若没有公共部分，说明这个不等式组无解).要点诠释：用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
知识点四：利用不等式或不等式组解决实际问题列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式或不等式组；（5）解：解出所列的不等式或不等式组的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案。
要点诠释：在以上步骤中，审题是基础，是根据不等关系列出不等式的关键，而根据题意找出不等关系又是解题的难点，特别要注意结合实际意义对一元一次不等式或不等式组的解进行合理取舍，这是初学者易错的地方。
一元一次不等式组的概念及其解法
一元一次不等式组的概念及其解法在代数学中，不等式组是一种包含有两个或更多个不等式的数学表达式。
这些不等式之间可以通过逻辑连接诸如“且”或者“或者”等来关联起来，形成一个不等式组。
而一元一次不等式组则是其中一种特殊形式的不等式组，其中每个不等式均为一元一次不等式。
为了更清晰地理解一元一次不等式组的概念及其解法，让我们从简单的例子开始。
假设我们有一个一元一次不等式组：1. 2x + 3 > 72. x - 5 < 2在这个不等式组中，我们有两个一元一次不等式，分别为2x + 3 > 7和x - 5 < 2。
要解决这个不等式组，我们需要先单独解决每个不等式，然后将它们的解集合起来，以得出整个不等式组的解。
我们来解决第一个不等式2x + 3 > 7。
要解这个不等式，我们可以按照以下步骤进行：1. 将2x + 3 > 7化简为2x > 42. 再将2x > 4化简为x > 2第一个不等式2x + 3 > 7的解为x > 2。
接下来，我们来解决第二个不等式x - 5 < 2。
解决这个不等式的步骤如下：1. 将x - 5 < 2化简为x < 7第二个不等式x - 5 < 2的解为x < 7。
现在，我们得到了每个不等式的解，即第一个不等式的解为x > 2，第二个不等式的解为x < 7。
要得到整个不等式组的解，我们需要将这两个不等式的解进行合并。
由于这是一个“且”的关系，所以整个不等式组的解为同时满足这两个不等式的解，即2 < x < 7。
通过以上例子，我们可以看到解决一元一次不等式组的关键步骤。
首先是单独解决每个不等式，然后根据逻辑连接的关系合并这些解来得到整个不等式组的解。
在实际应用中，一元一次不等式组常常出现在数学建模和实际问题的求解中。
比如在工程、经济学、物理学等领域，人们经常需要通过建立不等式组来描述某一问题的限制条件，然后利用不等式组的解来得出问题的答案。
第10讲 一元一次不等式组
三、解答题 (共 54 分 ) 15 ． (1)(4 分 )(2015· 连云港)解不等式组：
2x＋ 1＞5， x＋1＞4(x－2).
2x＋ 1＞5， 解： x＋1＞4(x－2)，
解不等式①，得 x＞ 2. 解不等式②，得 x＜ 3.
① ②
∴不等式组的解集是 2＜x＜3.
2 x－ 1≥x＋ 1， (2)(4分 )解不等式组： 1 x－ 2> 2x－ 1. 3 2 x－ 1≥x＋ 1， 解： 1 x－ 2> 2x－ 1， 3x＋1＜0， D. 3－x＞0
3x＋ 4≥ 0， 3 ． 不 等 式 组 1 x－24≤ 1 2 积为 0 .
的所有整数解的
5－2x≥－1， 4．已知关于 x 的不等式组 无解， x－a>0
则 a 的取值范围是 a≥ 3.
解不等式①，得 2x≥－ 2，解得 x≥－ 1. 解不等式②，得 x＜ 4. 则不等式组的解集为－ 1≤ x＜ 4.
在数轴上表示如下图所示．
4 x＋ 1≤7x＋ 10， (4)(5 分 )(2015· 北京 ) 解不等式组： x－8 x－5< ， 3 并写出它的所有非负整数解．
∴不等式组的解集是 x＞ 5. ① ②
解不等式①，得 x≥ 3.解不等式②，得 x＞ 5.
2x＋ 1≥－ 1， (3)(5分 )解不等式组： 1＋ 2x >x－ 1， 3
等式组的解集在数轴上表示出来．
并把不
2x＋ 1≥－ 1， ① 解：1＋ 2x >x－ 1， ② 3
m＝ 2， ∴ n＝ 1.
∴ x2－ 4x＋ 2mn＝ x2－ 4x＋ 4＝ (x－ 2)2. 答案： (x－ 2)2
一元一次不等式和一元一次不等式组
一元一次不等式和一元一次不等式组知识梳理（一）基本概念1．不等式：2．不等式的解：3．不等式的解集：4．一元一次不等式：5．一元一次不等式组的解集：（二）不等式的基本性质基本性质1：基本性质2：基本性质3：（三）基本方法1．不等式解集的表示方法：（１） （２）2．不等式的解法：【与解方程类似，不同之处就在：左右两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变。
】3．不等式组解法：“分开解，集中判”解出各个不等式，再判断所有解集的公共部分即为不等式组的解集。
4．不等式组解集规律：“同大取大，同小取小，不大不小中间找，又大又小无解了。
” 请用数轴展现：设 a > b ：⎩⎨⎧bx a x ⎩⎨⎧b x a x ⎩⎨⎧b x a x ⎩⎨⎧bx a x（四）方法思想1．数形结合思想：不等式（组）解集的两种表示方法。
2．不等式与一次函数的关系，可以利用函数图像来分析解答。
如：一次函数y 1=k 1x+b 1，y 2=k 2x+b 2图像如右图所示，求不等式k 1x+b 1≤k 2x+b 2的解集。
专题一：不等式的有关概念与不等式的基本性质解不等式（组）（一）、不等式的基本性质练习1、已知a ＜b ，用“＜”或“＞”填空(1) a －3b －3；(2) 6a6b ；(3) －a －b ；(4) a －b 0；2aa+b2、若a <b ，则不等式○1a-5<b-5 ○2a+k <b+k ○32a <2b ○4ac <b 中成立的有（ ） Ａ、1个 Ｂ、2个 Ｃ、3个 Ｄ、4个3、不等式7+5x 〈24 的正整数解的个数是（ ）A.1个B.3个C.无数个D.4个4、已知32,5221+-=-=x y x y ，如果21y y <，则x 的取值范围是（ ）A ．2>xB ．2<xC ．2->xD ．2-<x5、当x 时，能使x+4＞0和2x+1>0同时成立6、关于x 的方程632=-x a 的解是正数，那么a 的取值范围：__________（二）、解不等式（组）1（1）4352+>-x x （2）11237x x --≤2、解下列不等式组（1）⎪⎩⎪⎨⎧->->13132x x （2）⎩⎨⎧>+≤0312x x（3）⎩⎨⎧-≤+>+145321x x x x （4）24321<--<-x专题三、不等式组的特解1、求不等式x x 228)2(5-≤+的非负整数解2、解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧---+≥+-xx x x 81311323 并写出该不等式组的整数解当堂练习1、求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤+421121 x x 的整数解2、求不等式()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+3212352x x x x 的正整数专题三 用不等式或不等式组解答实际问题一、课堂练习1、小明用30元钱买笔记本和练习本共30本，已知每个笔记本4元，每个练习本4角，那么他最多能买笔记本多少本？2、某校初一新生中有若干住宿生，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有21人无房住；若每间住7人，则有一间不空也不满，求住宿生人数．3、暑假，学校的老师将带领校、镇、市级“三好学生”去旅游.甲旅行社说：“其中一位带队老师买全票，全票价为240元，则其余老师和学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括带队老师和学生全部票价6折优惠”。
一元一次不等式(组)知识总结及经典例题分析
一元一次不等式(组)知识总结及经典例题分析一元一次不等式和不等式组【知识要点】一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
2.一元一次不等式的解集：使一元一次不等式成立的每一个未知数的值叫做一元一次不等式的解。
一元一次不等式的所有解组成的集合是一元一次不等式的解集。
注：其标准形式： ax+b ＜0或ax+b ≤0， ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)．二、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x a<(x a >或)x a x a ≥≤或或的形式，其一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例如：131321≤---x x解不等式： 解：去分母，得 6)13(2)13≤---x x （（不要漏乘！x <a x >a x ≤a x ≥a五、不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型(b a <)①⎩⎨⎧>>b x a x 的解集是b x >，如下图： ②⎩⎨⎧<<b x a x 的解集是a x <，如下图：同大取大 同小取小③⎩⎨⎧<>b xa x 的解集是b x a <<，如下图：④⎩⎨⎧><bx a x 无解，如下图：大小交叉取中间 大小分离解为空六、解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．七、一元一次不等式的综合应用1.列不等式解决问题比列方程解决问题的应用更广泛、更实际。
有些问题用方程不能解决，而用不等式却能轻易解决。
一元一次不等式组及其应用
制造商在有限的生产资源下，通过一元一次不等式组可以制定最优 生产计划，以满足市场需求并最小化成本。
时间规划问题
项目进度安排
在项目管理中，一元一次不等式组可以帮助制定项目的时间表，确 保各项任务在规定时间内完成。
时间分配
对于个人或团队来说，可以利用一元一次不等式组来合理规划时间 ，确保各项工作或活动得到合理安排，提高时间利用效率。
没有交集，则不等式组无解。
01
一元一次不等式组的解法
图形解法
优点
图形解法能够直观地展示不等式 组的解集，特别适用于较为简单
的一元一次不等式组。
作图步骤
首先，分别画出各个一元一次不 等式的解集图形；然后，找出各 个解集的交集部分，即为不等式
组的解集。
适用范围
图形解法主要适用于一元一次不 等式组的解集在数轴上能够直观
目标设定
通过一元一次不等式组，企业可以设定不同的营销目标（ 如销售额、市场份额、品牌知名度等），并在预算约束下 求出最优解。
营销策略
根据不等式组的解，企业可以调整营销策略，实现预算内 最优的营销效果。
个人理财中的投资规划问题
投资选择
个人理财过程中，投资者需要在多种投资品种（如股票、债券、基金、房产等）中选择合 适的投资组合。
风险控制
通过一元一次不等式组，投资者可以设定不同的风险控制目标（如最大亏损限额、预期收 益水平等），从而在各种投资品种中寻求最优配置。
投资决策
基于不等式组的解，投资者可以制定个性化的投资规划，实现风险可控前提下的投资收益 最大化。
01
总结与展望
一元一次不等式组的重要性总结
基础数学知识
01
一元一次不等式组是初中数学的基础知识之一，对于后续学习
一元一次不等式组
一元一次不等式组1 一元一次不等式组的概念一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
如⎩⎨⎧<->-,20106,52x x ⎪⎩⎪⎨⎧<+>+>-9153611207x x x ，等都是一元一次不等式组。
①这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上。
②这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数。
2 解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫作这个一元一次不等式组的解集。
①找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分。
②有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况。
解不等式组就是求它的解集，解一元一次不等式组的方法步骤如下： 第一步：分别求出不等式组中各个不等式的解集；第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来；第三步：在数轴上找出各个不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是这个不等式组的解集。
3 一元一次不等式组的应用（1）列一元一次不等式组解应用题的步骤：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→检验→答。
①利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系。
②列不等式组解决实际问题时，求出不等式的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数。
（2）列一元一次方程（组）与列一元一次不等式（组）解应用题的 步骤例1 解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧->+-≥+1321112x x x 并把不等式组的解集在数轴上表示出来。
例2 解不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-->+814311532x x x x 并写出它的非负整数解。
例3 若不等式组⎩⎨⎧->-≥+2210x x a x 有解，求a 的取值范围。
例4 某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买B A ,两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：吨。
初中数学重点梳理：一元一次不等式(组)
一元一次不等式（组）知识定位不等式是一个比较重要的知识点，难度不是很大，在理解的基础上，使用适当的技巧即可解决。
知识梳理一、不等式与不等式的性质1、不等式：表示不等关系的式子。
（表示不等关系的常用符号：≠，＜，＞）。
2、不等式的性质：（l ）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a ＞ b ， c 为实数⇒a ＋c ＞b ＋c（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如a ＞b ， c ＞0⇒ac ＞bc 。
（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc.注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。
3、任意两个实数a ，b 的大小关系（三种）：（1）a – b ＞0⇔ a ＞b（2）a – b=0⇔a=b（3）a–b ＜0⇔a ＜b4、（1）a ＞b ＞0⇔b a >（2）a ＞b ＞0⇔22b a <二、不等式（组）的解、解集、解不等式1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解。
不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。
不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。
2．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）三、不等式（组）的类型及解法1、一元一次不等式：（l ）概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。
（2）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变。
2、一元一次不等式组：（l ）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
（2）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。
注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。
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第6讲 一元一次不等式组
知识点
1．一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元
一次不等式组；
注意：ab ＞0 ⇔0b a
>⇔⎩⎨⎧>>0b 0a 或⎩
⎨⎧
<<0b 0a ；
ab ＜0 ⇔0b a <⇔⎩⎨⎧<>0b 0a 或⎩
⎨⎧
><0b 0a ；
ab=0 ⇔ a=0或b=0； ⎩⎨
⎧≤≥m
a m
a ⇔ a=m . 2．一元一次不等式组的解集与解法：所有这些一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；解一元一次不等式时，应分别求出这个不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定这个不等式组的解集. 3．一元一次不等式组的解集的四种类型：
x
x a
空集4．几个重要的判断：
是正数、y x 0xy 0y x ⇔⎭⎬⎫>>+, 是负数、y x 0xy 0y x ⇔⎭
⎬⎫
><+, 异号且正数绝对值大，、y x 0xy 0y x ⇔⎭⎬⎫<>+.y x 0xy 0y x 异号且负数绝对值大、⇔⎭
⎬⎫<<+
专题讲解
典型例题1：
A 、关于Ｘ的不等式２ｘ－ａ≤－１的解集如图，求ａ的取值范围。
B 、若不等式组 x −a >2,b −2x >0的解集是－1<x <1,则(a +b )2009=
典型例题2：若方程组 4x −3y =k 2x +3y =5
的解中x >y ,求k 的取值范围。
典型例题3：已知关于x 的方程x-2x−m 3
=2x 3的解是非负数，m 是正整数，求m 的值。
典型例题4：解不等式组并在数轴上表示出来
典型例题5：王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。
已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？
典型例题6：青海新闻网讯：西宁市为加大向国家环境保护模范城市大步迈进的步伐，积极推进城市绿地，主题公园、休闲场地建设，园林局利用甲种花卉和乙种花卉搭配成A、B两种园艺造型摆放在夏都大道两侧，搭配数量如下表所示，
（1）已知搭配一个A种园艺造型和一个B种园艺造型共需500元，若园林局搭配A种园艺造型32个，B种园艺造型18个共投入11800元，则A,B两种园艺造型的单价分别是多少元？
（2）如果搭配A,B两种园艺造型共50个，某校学生课外小组承接了搭配方案的设计，其中甲种花卉不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，问符合题意的搭配方案有几种？
请你设计出来。
巩固练习： 一、选择题：
1、若不等式组 3x +a <0,2x +7>4x −1
的解集是x <0,则a 的取值范围为 （ ）
A ．a >0 B.a=0 C. a >4 D.a=4
2、不等式＜的正整数解有( )
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 3、
把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（ ）
A
．
B ．
C ．
D ．
4、不等式组
的解集在数轴上可表示为（）
A B C D
5．已知，且-1<x-y<0，则k 的取值范围是（ ）
A ．-1<k<-
B ．0<k<
C ．0<k<1
D ．<k<1 二、填空题：
1、不等式组 x +9<5x +1,x >m +1的解集是x >2,则m 的取值范围是。
2、不等式1≤3x-7<5的整数解是______．
3、如果a<2，那么不等式组的解集为________；当______时，不等式组的解集
是空集．
4、若不等式组的解集是-1<x<1，则（a+b ）=______．
5、已知关于x 的不等式组的整数解共有5个，则a 的取值范围是______．
6、（2008，苏州）2008年6月1日起，某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋，
24221x y k
x y k +=⎧⎨+=+⎩12121
2
2x a x >⎧⎨>⎩2x a
x <⎧⎨>⎩2
20x a b x ->⎧⎨->⎩
321x a x -≥⎧⎨->-⎩
每只售价分别为1元，2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3kg，5kg 和8kg．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20kg散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市_______元．
三、解答题：
1、如果关于x的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，求m的范围。
2、若|2a+3|＞2a+3,求a的范围。
3、若（a+1）x＞a+1的解是x＜1,求a的范围。
四、解不等式组
1、 5x >2x −6,x +25≥x−14
2、解不等式组
并写出该不等式组的最大整数解.
五．解应用题：
1、“六一”儿童节那天，小强去商店买东西，看见每盒饼干的标价是整数，于是小强拿出10元钱递给商店的阿姨，下面是他俩的对话： 小强：“阿姨，我有10元钱，想买一盒饼干和一袋牛奶。
” 阿姨：“小朋友，本来你用10元钱买一盒饼干是有剩的，但要再买一袋牛奶钱就不够了。
不过今天是儿童节，饼干打九折，两样东西请你拿好，找你8毛。
” 如果每盒饼干和每袋牛奶的标价分别设为元，元，请你根据以上信息： （1）找出与之间的关系式；
（2）请利用不等关系，求出每盒饼干和每袋牛奶的标价．
2、某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C 含量及购买这两种原
x y x y
单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，
（1）设需用x千克甲种原料，写出x应满足的不等式组。
（2）按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内？
第6讲一元一次不等式组 当堂过手训练
一、选择题：
1、已知不等式（a+1）x >2的解集是x <-1,则，
A ．a >3B.a=3 C. a ≤－3 D.a=－3
2、若不等式组
有实数解，则实数
的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3．若，化简│m+2│-│1-m │+│m │得（ ）
A ．m-3
B ．m+3
C ．3m+1
D ．m+1
二、填空题：
1、已知关于x 的方程3k －5x ＝－9的解是非负数，则k 的取值范围是：
2、若关于x 的方程组⎩⎨⎧-=++=+1341
23p y x p y x 的解满足x >y ，则P 的取值范围是_________.
三、解不等式组 3x +2≥0,
x −12<2x +13
四、计算题：
1523
3m m +>⎧<⎪⎨-⎪⎩
若x+8<4x−1,
x>a的解集为x>3,求a的取值范围
五、解应用题：
某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元；
（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；
（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上那种购买方案？。