一元二次方程应用题的题型讲义三(教师用)
初三数学一元二次方程应用题经典题型讲解
一、解应用题步骤：1．审题；2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；3．找等量关系列方程；4．解方程；5．判断解是否符合题意；6．写出正确的解．商品销售问题：（售价—进价=利润 一件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额）1、 某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价．2、百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？3、某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购用100元，按该书定价2.8元现售，并快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购数量比第一次多10本．当这批书售出54时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书，试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？，若赚钱，赚多少？4、商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元?数字问题：1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
2、有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字之和的 3倍刚好等于这个两位数。
九年级数学上一元二次方程的应用(教师版)知识点+练习详细解析
一元二次方程的应用--知识讲解要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问).要点二、一元二次方程应用题的主要类型 1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用 其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a ，十位上数为b ，百位上数为c ，则这个三位数可表示为： 100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-2，x+2.2.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(1)na xb += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.) (2)降低率问题：平均降低率公式为(1)n a x b -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)3.利息问题 (1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 本息和：本金和利息的和叫本息和. 期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率本金×(1+利率×期数)=本息和本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)4.利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数5.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.【典型例题】类型一、数字问题1．已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少． 【答案与解析】设其中一个数为x ，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32，整理得x 2-12x+32＝0 解得 x 1＝4，x 2＝8， 当x ＝4时12-x ＝8； 当x ＝8时12-x ＝4． 所以这两个数是4和8．举一反三：1、有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数. 【答案】设个位数字为x ，则十位数字为(2)x -.由题意，得： 10(2)+3(2)x x x x -=-整理，得：2317200xx -+=解方程，得：(35)(4)0x x --=∴ 15,3x =24x = 经检验，53x =不合题意,舍去（注意根的实际意义的检验） ∴当4x=时, 2x -=2∴10(2)102424x x -+=⨯+=答：这个两位数为24.2、有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字位置后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数． 【答案】设个位数字为x ，则十位数字为14-x ，两数字之积为x(14-x)， 两个数字颠倒后的数为10x+(14-x)．根据题意，得10x+(14-x)-x(14-x)＝38．整理，得x 2-5x-24＝0，∴ (x-8)(x+3)＝0，∴ x 1＝8，x 2＝-3．∵ 个位上的数字不可能是负数，∴ x ＝-3舍去． 当x ＝8时，14-x ＝6，∴ 原数为68． 答：这个两位数是68．类型二、平均变化率问题2． 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台? 【答案】设每轮中平均每一台电脑会感染x 台电脑，依题意：得：1+x+(1+x)x ＝81，(1+x)2＝81，x+1＝9或x+1＝-9． 解得：x ＝8或x ＝-10(舍去)，(1+x)3＝(1+8)3＝729＞700．答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑；3轮感染后被感染的电脑会超过700台．举一反三：1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数是( )A ．1331B ．1210C ．1100D ．1000 【答案】设每人每轮传染x 人，则(1+x)2＝121，x 1＝10，x 2＝-12舍去， 第三轮传染后患流感人数为121(1+10)＝1331人．2、某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同， 求平均每次降价率.【答案】设平均每次降价率为x ，则第一次降价为600x ，降价后价格为：600600600(1)x x -=-， 第二次降价为：600(1)x x -⋅，降价后价格为：600(1)x --600(1)x x -⋅2600(1)x =-.根据题意列方程，得：2600(1)384x -=216(1)25x -=415x -=±∴115x =， 295x =295x =不合题意，舍去（注意根的实际意义的检验） ∴0011205x == 答：平均每次下降率为0020.类型三、利润（销售）问题3．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a 元，则可卖出(350-10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品?每件商品售价多少元? 【答案】设每件商品的售价为a 元．根据题意，得(a-21)(350-10a)＝400．∴ a 2-56a+775＝0，∴ (a-25)(a-31)＝0，∴ a-25＝0或a-31＝0， ∴ a 1＝25，a 2＝31．当a ＝31时，加价31-21＝10，不合题意，舍去． ∴ 350-10a ＝350-10×25＝100．答：每件商品售价为25元，需要卖出100件商品． 举一反三：【变式】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元? (2)每天衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?【答案】(1)设每件衬衫应降价x 元．根据题意，得(40-x)(20+2x)＝1200，整理得：x 2-30x+200＝0． 解得x 1＝20，x 2＝10，因为要尽快减少库存，所以x 应取20． 答：每件衬衫应降价20元．(2)商场每天盈利(40-x)(20+2x)＝-2(x-15)2+1250，当x ＝15时，代数式-2(x-15)2的值最大，即-2(x-15)2+1250有最大值为1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多为1250元．类型四、形积问题4．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD ，求该矩形草坪BC 边的长．【答案】设草坪ABCD 的BC 边长x 米，则宽AB 为根据题意，得整理得：x 2-32x+240＝0，∴ (x-12)(x-20)＝0． 解得：x 1＝12，x 2＝20又由题意知：BC ≤16．∴ x ＝20(不合题意，舍去)． ∴ 该矩形草坪BC 边的长为12米．类型五、行程问题5. 一辆汽车以20m /s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m 后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间？（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ （3）刹车后汽车滑行到15ms ）？ 【答案】（1）已知刹车后滑行路程为25m ，如果知道滑行的平均速度，则根据路程、速度、时间三者的关系，可求出滑行时间．为使问题简化，不妨设车速从20m/s 到0m/s 是随时间均匀变化的．这段时间内的平均车速等于最大速度与最小速度的平均值，即20010(/)2m s +=，于是刹车到停车的时间为“行驶路程÷平均车速”， 即2510 2.5()s ÷=．（2）从刹车到停车平均每秒车速减少值为“（初速度-末速度）÷车速变化时间”， 即22008(/)2.5m s -=． （3）设刹车后汽车行驶到15m 用了x s ，由（2）可知，这时车速为(208)/x m s -．这段路程内的平均车速为20(208)(/)2x m s +-，即(204)/x m s -．由速度×时间=路程，得(204)15x x -=．解方程，得5102x ±=． 根据问题可知，2040x ->，即x ＜5，又x ＜2.5；所以5100.92x -=≈． 刹车后汽车行驶到15m 时约用了 0.9 s ．【巩固练习一】一、选择题1．在一幅长80cm 、宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是( )．A ．x 2+130x-1400＝0 B ．x 2-65x-350＝0 C ．x 2-130x-1400＝0 D ．x 2+65x-350＝0 2．为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10cm 22，若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ） A ．9% B ．10% C ．11% D ．12%3．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是( )．A ．50(1+x)2＝182B ．50+50(1+x)+50(1+x)2＝182 C ．50(1+2x)＝182 D ．50+50(1+x)+50(1+2x)＝1824．一个矩形的长是宽的3倍，若宽增加3cm ，它就变成正方形.则矩形面积是( )．A ．24cm 3B ．29cmC ．227cm 4 D ．227cm5．为执行“两免一补”政策，某地区2010年投入教育经费2500万元，预计2012年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x ，则下列方程正确的是( )．A ．2500(1+x)2＝3600B ．2500x 2＝3600C ．2500(1+x%)＝3600D ．2500(1+x)+2500(1+x)2＝36006．一个跳水运动员从距离水面10米高的跳台向上跳起0.5米，开始做翻滚动作，它在空中每完成一个动作需要时间0.2秒，并至少在离水面3.5米处停止翻滚动作准备入水，最后入水速度为14米/秒，该运动员在空中至多做翻滚动作( )． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个二、填空题7．某商场销售额3月份为16万元，5月份25万元，该商场这两个月销售额的平均增长率是________．8．若两数的和是2，两数的平方和是74，则这两数为________．9．大连某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为300m2的一块长方形绿地，并且长比宽多10m，设长方形绿地的宽为xm，则可列方程为________．10．菱形ABCD的一条对角线长6，AB的长是方程x2-7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为________．11．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人？12.小明家为响应节能减排号召，计划用两年时间，将家庭每年人均碳排放量由目前的3125kg降至2000kg(全球人均目标碳排放量)，则小明家未来两年人均碳排放量平均每年需降低的百分率是________．三、解答题13．用长12m的一根铁丝围成长方形．(1)如果长方形的面积为5m2，那么此时长方形的长是多少?宽是多少?如果面积是8m2呢?(2)能否围成面积是10m2的长方形?为什么?(3)能围成的长方形的最大面积是多少?14. 从一块长80cm，宽60cm的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度．15．常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北玉桃源县盘塘镇创元工业园，在这一走廊内的工业企业2008年完成工业总产值440亿元，如果要在2010年达到743.6亿元，那么2008年到2010年的工业总产值年平均增长率是多少?《常德工业走廊建设发展规划纲要(草案)》确定2012年走廊内工业总产值要达到1200亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成?【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】可列方程(80+2x)(50+2x)＝5400，化简即可．2.【答案】B；【解析】10(1+x)2＝12.1，解得x＝0.1．3.【答案】B；【解析】四、五、六月份产量之和为182． 4.【答案】C ；【解析】设矩形的宽为xcm ，则矩形的长为3xcm ，依题意得x+3＝3x ． 5.【答案】A ；【解析】由平均增长率公式为2(1)a x b += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量)可列方程.6.【答案】D ；【解析】÷7＝1.5秒，速度每秒变化01472+=米/秒．设运动员从最高处到离水面3.5米时用时x 秒， 那么这段距离的平均速度为x 2＝1.5，x ≈÷0.2＝6，最多做6个翻滚动作．二、填空题 7．【答案】25%；【解析】设商场这两个月销售额的平均增长率是x ，则16(1+x)2＝25解得x 1＝0.25＝25%，x 2＝-2.25(不合题意，舍去)．8．【答案】-5和7；【解析】设两数中一个数为x ，则另一个数为2-x ．根据题意得x 2+(2-x)2＝74，解得x 1＝-5，x 2＝7．当x ＝-5时，另一个数为7；当x ＝7时，另一个数为-5，所以这两个数为-5和7．9．【答案】 x(x+10)＝300；【解析】因为宽为xm ，则长为(x+10)m ，可列方程x(x+10)＝300． 10.【答案】16；【解析】x 2-7x+12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4，AB 不可能等于3，因为有一条对角线长为6，所以AB ＝4，菱形周长为16．11．【答案】10；【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x 个人．列方程，得1(1)121x x x +++=． 解方程，得110x =，212x =-经检验，x 2不合题意，舍去．所以平均一个人传染了10个人 12．【答案】20% ； 【解析】设降低的百分率为x ，则3125(1-x)2＝2000，195x =(舍去)，2120%5x ==．三、解答题13.【答案与解析】(1)设长方形的宽为x m ，则长为122(6)m 2xx -=-， 根据题意，得x(6-x)＝5，即x 2-6x+5＝0，x 1＝1，x 2＝5(舍去)．∴ 当长方形的宽为1m ，长为6m-1m ＝5m 时，面积为5m 2．同样，当面积为8m 2时，有x(6-x)＝8，即x 2-6x+8＝0，x 1＝2，x 2＝4(舍去)．∴当长方形的宽为2m，长为6-2＝4m时，面积为8m2．(2)当面积为l0m2时，x(6-x)＝10，即x2-6x+10＝0，此时b2-4ac＝36-40＝-4＜0，故此方程无实数根，所以这样的长方形不存在．(3)设围成的长方形的面积为k，则有x(6-x)＝k，即x2-6x+k＝0，要使该方程有解，必须有(-6)2-4k≥0，即k≤9．∴最大的k只能是9，即最大的面积为9m2，此时x＝3m，6-x＝3(m)．这时所围成的图形是正方形．14. 【答案与解析】设这个宽度为xcm，根据题意有：(80-2x)(60-2x)＝80×60÷2．解这个方程得x1＝10，x2＝60．因为截去的小长方形的宽60-2x必须大于0，即 60-2x＞0，亦即x＜30，所以x＝10．答：宽度为10cm时，截去的小长方形面积是原来铁片面积的一半．15.【答案与解析】设2008年到2010年的年平均增长率为x．则440(1+x)2＝743.6，化简得：(1+x)2＝1.69，解之：x1＝0.3＝30%，x2＝-2.3(舍去)，×(1+0.3)2＝1256.684(亿元)＞1200亿元．答：2008年到2010年的工业总产值年平均增长率为30%，若继续保持上面的增长率，在2012年将达到1200亿元的目标．【巩固练习二】一、选择题1.元旦期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则这个小组共有( ) A．11人 B．12人 C．13人 D．14人2．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是( )A．168(1+a%)2＝128 B．168(1-a%)2＝128 C．168(1-2a%)2＝128 D．168(1-a2%)＝1283．从一块长30cm，宽12cm的长方形薄铁片的四个角上，截去四个相同的小正方形，余下部分的面积为296cm2，则截去小正方形的边长为 ( )A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm4．甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（）千米/时.A．2,6 B．12,16 C．16,20 D．20,245．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％(即每100千克花生可加工成花生油50千克)．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为 ( )A．20％B．30% C．50% D．120%6．从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．则每次倒出溶液的升数为（）A．5 B．6 C．8 D．10二、填空题7．某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为________万元．8．有一间长20 m，宽15 m的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为________．9．一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西、南北方向分别挖3条和4条水渠．如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为8700m2，那么水渠应挖的宽度是米.10．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数是．11．某省十分重视治理水土流失问题，2011年治理水土流失的面积为400 km2，为了逐年加大治理力度，计划今、明两年治理水土流失的面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2013年年底，使这三年治理水土流失的面积达1324 km2，则该省今、明两年治理水土流失的面积平均每年增长的百分数是．12．如图所示，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C 同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．问：(1)P、Q两点从出发开始到秒时，四边形PBCQ的面积是33cm2；(2)P、Q两点从出发开始到秒时，点P与点O间的距离是10cm.三、解答题13．如图所示，有长为40m的篱笆，一面利用墙(墙长15m)，围成长方形花圃．设花圃的长BC为xm，花圃的面积能围成182m2吗?此时BC多长?14.学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示，广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都为小正方形的边长，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖．(1)要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米?(2)如果铺白色地面砖的费用为每平方米30元，铺绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺广场地面的总费用最少?最少费用是多少?15．如图所示，AO＝OB＝50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由A点以2cm/s的速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3 cm/s的速度沿OC方向爬行，是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与O 点组成的三角形的面积为450cm2?【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B ；【解析】设这个小组共x 人，则x(x-1)＝132，x 1＝-11舍去，x 2＝12． 2．【答案】B ；【解析】168元降价a%后的价格为168(1-a%)元，再降价a%后为168(1-a%)(1-a%)元．根据题意可列方程168(1-a%)2＝128．3．【答案】D ；【解析】设截去小正方形的边长为x ，则30×12-4x 2＝296，∴ x 2＝16，x 1＝-4(舍去)，x 2＝4． 4.【答案】C ；【解析】设甲的速度为x 千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.根据题意，得解之,得x 1=16，x 2=－2.经检验：x 1=16，x 2=－2都是原方程的根，但x 2=－2不合题意，舍去. ∴当x=16时，x+4=20.5．【答案】A ；【解析】设新品种花生亩产量的增长率为x ．1216(),=0.2=205x x =-舍去％. 6．【答案】D ；【解析】第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了．若设每次倒出x 升，则第一次倒出纯酒精x 升，第二次倒出纯酒精（2020x-·x ）升．根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数．20－x －2020x-·x ＝5． 二、填空题 7．【答案】220. 【解析】方法一，设增长的百分率为x ，则2010年盈利额为200(1+x)万元，2011年的盈利额为200(1+x)2万元，依题意得200(1+x)2＝242．解得x 1＝10%，x 2＝-2.1(舍去)，∴ 200(1+x)＝200(1+10%)＝220．方法二，设2010年的盈利额为x 万元，则2010年增长的百分率为200100%200x -⨯， 2011年增长的百分率为242100%x x -⨯，由增长率相同可列方程200242200x xx--=， 解得x 1＝220，x 2＝-220(舍去)8．【答案】2.5m.【解析】设留空的宽度为x m ，则1(152)(202)20152x x --=⨯⨯，解得x 1＝15(舍去)，252x =．9．【答案】1m.【解析】如图2所示设水渠的宽度为xm ，即可耕土地的长 为(120-4x)m ，宽为(78-3x)m ． (120-4x)(78-3x)＝8700，即x 2-56x+55＝0， 解得x 1＝1，x 2＝55．当x ＝55时，3×55＝165＞78，(不合题意，舍去)． ∴ x ＝1．答：水渠应挖1m 宽． 10．【答案】35或53．【解析】设原两位数的十位数字为x ，则个位数字是(8-x)，由题意得 [10x+(8-x)]·[10(8-x)+x]＝1855．化简得x 2-8x+15＝0， 解之得：x 1＝3，x 2＝5．经检验，x 1＝3，x 2＝5都符合题意． 答：原两位数是35或53． 11．【答案】10%．【解析】设该省今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为x ，依题意得：400+400(1+x)+400(1+x)2＝1324．即100x 2+300x-31＝0．解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝-3.1(不合题意，舍去)．答：今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为10%． 12.【答案】（1）5秒；（2）85秒或245秒. 【解析】(1)设P 、Q 两点从出发开始到x 秒时，四边形PBCQ 的面积是33cm 2，则AP ＝3x ，PB ＝16-3x ，CQ ＝2x ，由梯形的面积公式得1[2(163)]6332x x +-⨯=， 解得x ＝5．答：P 、Q 两点从出发开始到5秒时，四边形PBCO 的面积为33cm 2． (2)设P 、Q 两点从出发开始到y 秒时，点P 、点Q 间的距离为10cm ．过点Q 作QH ⊥AB ，交AB 于H ，如答图3所示，则AP ＝3y ，CQ ＝2y ，PH ＝16-3y-2y ，根据勾股定理．得(16-3y-2y)2＝102-62，化简方程得(16-5y)2＝64，解得185y =，2245y =． 答：P 、Q 两点从出发开始到85秒或245秒时，点P 、点Q 间的距离是10cm ．三、解答题13. 【答案与解析】设BC 长为xm(0＜x ≤15)时，花圃的面积为182m 2， 则 401822xx-=． 即x 2-40x+364＝0，b 2-4ac ＝1600-4×364＝144＞0．∴ 能围成面积为182m 2的花圃．解得x 1＝14，x 2＝26(不合题意，舍去)．答：花圃的面积能围成182m 2，此时BC 长14m ．14. 【答案与解析】(1)设矩形广场四角的小正方形的边长为x 米，根据题意得：4x 2+(100-2x)(80-2x)＝5200，整理，得：x 2-45x+350＝0，解得：x 1＝35，x 2＝10，经检验，x 1＝35，x 2＝10均适合题意．所以，要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或10米．(2)设铺矩形广场地面的总费用为y 元，广场四角的小正方形的边长为x 米，则y ＝30×[4x 2+(100-2x)(80-2x)]+20×[2x(100-2x)+2x(80-2x)]即y ＝80x 2-3600x+240000＝80(x 222)+240000＝80(x-22.5)2+199500．由80(x-225)2≥0，∴ 当x ＝22.5时y 的值最小，最小值为199500．所以，当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时，所铺广场地面的总费用最少， 最少费用为199500元．15. 【答案与解析】(1)当蚂蚁在AO 段时，设离开A 点t s 后两只蚂蚁与O 点组成的三角形的面积是450cm 2．根据题意，得(502)34502t t-=．整理得：2251500t t -+=， 解得t 1＝10，t 2＝15． (2)当蚂蚁爬完AO 这段距离用了50252s =后，开始由O 向B 爬行，设从O 点开始x s 后组成的 三角形的面积是450 cm 2，根据题意，得：23(25)4502x x +=， 整理得x 2+25x-150＝0，解得x 1＝5，x 2＝-30(舍去)． 当x ＝5时，x+25＝30．这时蚂蚁已由A 点爬了30s ．答：分别在10s ，15s ，30s 时，两只蚂蚁与O 点组成的三角形的面积是450cm 2．。
方程应用(复习讲义)(一元一次方程、二元一次方程、一元一次不等式、分式方程、一元二次方程应用)原卷版
题型三--方程应用（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01一次方（组）程应用1．列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．2．一次方程（组）常见的应用题型×100％；售价=标价×折扣；销售（1）销售打折问题：利润 售价-成本价；利润率=利润成本额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．1.（2022·山东泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A 种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．2．（2022·湖南常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？3.（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3a% 4．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a．求a的值．4.（2020•安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．（1）设2019年4a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；时间销售总额（元）线上销售额（元）线下销售额（元）2019年4月份a x a﹣x2020年4月份 1.1a 1.43x 1.04（a﹣x）（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．5.（2020•江西）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．6.（2020•重庆）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加209a%．求a的值．考点02不等式的应用3、列不等式（组）解决实际问题列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．考情总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．1.（2022·四川泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B 种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．(1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？(2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？2．（2021·四川成都市·中考真题）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？3．（2021·四川眉山市·中考真题）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若千个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．（1）足球和篮球的单价各是多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？4.（2021·浙江温州市·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？5.（2021·四川资阳市·中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的12，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．6.（2021·江苏连云港市·中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的1 3，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．考点03分式方程的应用4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．1.（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．2.（2020•泰州）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．3.（2020•常德）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？4.（2020•广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35．（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．5.（2021·山东聊城市·中考真题）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．（1）A，B两种花卉每盆各多少元？（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的1 3，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？6.（2021·湖南中考真题）“七一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．（1）求A，B奖品的单价；（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折．．销售，学校调整了购买方案：不超过．．．720元，A，B两种奖品共100件．求购买A，．．．预算资金且购买A奖品的资金不少于B两种奖品的数量，有哪几种方案？7.（2020•牡丹江）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？8.（2020•黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？考点04二次方程的应用5、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．6．增长率等量关系（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则()1n a m b +=；当m 为平均下降率时，则有()1n a m b -=．7．利润等量关系（1）利润=售价－成本．（2）利润率=利润成本×100％．8．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，则阴影部分的面积为()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的面积为()()a x b x --．（3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空白部分的面积之和可转化为()()a x b x --．1.（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？2.（2022·湖北宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？3.（2021·四川遂宁市·中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T 恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T 恤的销售单价提高x 元．（1）服装店希望一个月内销售该种T 恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T 恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？4.（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3a% 4．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a．求a的值．5.（2021·重庆中考真题）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2925 a%．求a的值．。
部编数学九年级上册专题一元二次方程的概念(考点题型)【一题三变系列】考点题型精讲(解析版)含答案
专题01 一元二次方程的概念【思维导图】◎题型1：一元二次方程的定义【技巧】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
例．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2214x x +=B ．20ax bx c ++=C ．()1(3)4x x -+=D ．2470x xy -+=【答案】C【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．【详解】解：A 、该方程属于分式方程，故本选项错误；B 、该方程中，当a ＝0时，它不是关于x 的一元二次方程，故本选项错误；C 、()1(3)4x x -+=化简得：2270x x +-=符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D 、该方程中含有2个未知数，它不是关于x 的一元二次方程，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx +c ＝0（且a ≠0）．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．变式1．（2020·四川·攀枝花第二初级中学九年级期中）若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．2m =±B ．m ＝2C ．2m ¹-D ．2m ¹±【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义可得2,20m m ì=ïíï+¹î①②从而可得答案．【详解】解：∵方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，∴2,20m m ì=ïíï+¹î①②由①得：2,m =±由②得：2,m ¹-解得：2,m =故选B【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．掌握定义是解本题的关键．变式2．（2022·江苏·九年级专题练习）方程22(1)10m x --=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≠±1B ．m ≥-1且m ≠1C ．m ≥-1D ．m ＞-1且m ≠1【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得．【详解】解：∵方程22(1)10m x --=是关于x 的一元二次方程，∴210m -¹，解得1m ¹±，10m +³，解得：1m ³-，∴1m >-且1m ¹，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．变式3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．211x x +=B ．20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x ++=D ．22(3)4x x -+=【答案】C【解析】【分析】直接利用一元二次方程的定义逐项分析即可求解．【详解】解：A. 211x x+=，是分式方程，不是一元二次方程，不合题意；B. 20ax bx c ++=，当a≠0时，是一元二次方程，当a =0，b ≠0时，是一元一次方程，不合题意；C. (1)(2)1x x ++=，原方程整理得2310x x ++=，是一元二次方程，符合题意；D. 22(3)4x x -+=，原方程整理得6130x -+=，不是一元二次方程，不合题意．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．◎题型2：一元二次方程的一般形式【技巧】一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c ＝0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．例．（2021·广西南宁·九年级期中）把一元二次方程(x -3)2 ＝5化为一般形式后，二次项系数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A【解析】【分析】利用完全平方公式将一元二次方程化简为ax 2+bx +c =0，再找出二次项的系数即可．【详解】解：∵（x -3）2=5化为一般形式为x 2-6x +4=0，∴二次项系数为1，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程（x -3）2=5化为一般形式．变式1．（2021·河南周口·九年级期中）把方程22(3)x x =-化成一般式20x mx n ++=，则正确的是（ ）A ．2m =，6n =B ．2m =，6n =-C ．2m =-，6n =D ．2m =-，6n =-【答案】C【解析】【分析】将方程进行去括号、移项整理成一般式，同类项对应的系数相等即可得出答案．【详解】将22(3)x x =-去括号得226=-x x ；移项得2260=－＋x x ∴2m =-，6n =故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程的一般式，难点是一元二次方程的一般式的概念．变式2．（2022·江苏·九年级）下列说法正确的是（ ）A．方程8x2﹣7＝0的一次项系数为﹣7B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0C．只有当k＝0时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程D．当m取所有实数时，关于x的方程(m2+1)x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义及一般形式可进行求解．【详解】解：A、方程8x2﹣7＝0的一次项系数为0，故选项错误；B、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），故选项错误；C、当k﹣1≠0，即k≠1时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程，故选项错误；D、当m取所有实数时，关于x的方程（m2+1）x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程是正确的．故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及一般形式，熟练掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题的关键．变式3．（2022·全国·九年级）将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）A．2，4，7B．2，4，﹣7C．2，﹣4，7D．2，﹣4，﹣7【答案】C【解析】【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项，进行分析即可．【详解】解：2x2+7＝4x可化为2x2﹣4x+7＝0，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，﹣4，7，故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是要掌握二次项系数，一次项系数和常数项的定义，先把一元二次方程化成一般形式．◎题型3：一元二次方程的解【技巧】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.例．（2022·湖北宜昌·九年级期末）若关于x 的一元二次方程22(3)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．12【答案】C【解析】【分析】将0x =代入22(3)10a x x a -++-=中，求出a 的值，再根据30a -¹，即可确定a 的值．【详解】将0x =代入22(3)10a x x a -++-=中210a -=解得1a =±∵这是关于x 的一元二次方程∴30a -¹解得3a ¹故1a =±故答案为：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程解得定义、一元二次方程的定义是解题的关键．变式1．（2022·河南驻马店·九年级期末）已知x ＝1是一元二次方程（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0的一个根，则m 的值为（ ）A ．﹣1或2B ．﹣1C ．﹣2或1D ．1【答案】B【解析】【分析】把1x =代入一元二次方程22240m x x m -+-=（）中即可得到关于m 的方程，解此方程即可求出m 的值．由20,m -¹即2,m ¹得到11,m =-从而得到答案．【详解】解：1x =Q 是一元二次方程22240m x x m -+-=（）的一个根，()2240m m \-+-=121,2,m m \=-=20,m -¹Q 2,m \¹1 1.m \=-故选：B ．【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义及一元二次方程的解法．掌握能使方程成立的未知数的值，就是方程的解是解题的关键．变式2．（2022·四川乐山·九年级期末）m 是方程220x x +-=的根，则代数式2222022m m +-的值是( )A ．-2018B ．2018C ．-2026D ．2026【答案】A【解析】【分析】把x m =代入220x x +-=得到22m m +=，进而得到2224m m +=，代入2222022m m +-进行计算即可求解．【详解】解：∵m 是方程220x x +-=的根，∴220m m +-=∴22m m +=，∴2224m m +=，∴2222022m m +-42022=-2018=-．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．本题采用了“整体代入”数学思想解题．变式3．（2022·广西贵港·中考真题）若2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（ ）A ．0，2-B ．0，0C ．2-，2-D ．2-，0【答案】B【解析】【分析】直接把2x =-代入方程，可求出m 的值，再解方程，即可求出另一个根．【详解】解：根据题意，∵2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，把2x =-代入220x x m ++=，则2(2)2(2)0m -+´-+=，解得：0m =；∴220x x +=，∴(2)0x x +=，∴12x =-，0x =，∴方程的另一个根是0x =；故选：B【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．。
初一数学一元二次方程全章精品讲义
当 <0,方程无实数解。
典例分析：
题型1：根据判别式判断根的情况
例1：方程 的根的情况（）
A、该方程有两个相等的实数根B、该方程有两个不相等的实数根
C、该方程没有实数根D、无法确定
例2：不解方程判断下列方程根的情况
（1） （2） （3）
（4） （5）
题型2：利用跟的判别式求方程中某个字母的值或取值范围
d=====(￣▽￣*)b_____________________________________
例2：已知 是完全平方式，则 的值为______。
例3：若 是完全平方公式，则 的值为_______。
例4：根据完全平方式填空
（1） （2）
（3） (4)
题型2：用配方法解一元二次方程
例1：用配方法解下列方程：
例3：已知一元二次方程 的两个根分别为 ，则二次三项式 可分解为_________________。
例4：在实数范围为定义一种运算“*”，其规则为 ，根据这个规矩，方程 的解为______________。
例5：若关于 的方程 与 有相同的实数根，则 的值为_______。
例6：已知 为非负数，方程
（2）如果方程有两个相等的实数根，是判断△ABC的形状，并说明理由。
（3）如果△ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根。
例3：已知 的两边AB、AD的长是关于x的方程 的两个实数根。
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长？
（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长为多少？
6、求证：关于 的一元二次方程 恒有两个实数根．
7、已知关于 的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求 的值及该方程的另一个根
九年级数学讲义一元二次方程解应用题
九年级数学讲义一元二次方程解应用题一、基础知识：解答方程类应用题的一般步骤：（1）审题，给出合理的未知数（一般为x）（2）再次详细审题，理清关系，获得关于x的方程（本节为一元二次方程）（3）解答列出的方程，结合实际情况进行取舍、说明根的实际含义（4）回答题中问题二、例题解析与跟进训练：例1 某商店进了一批服装，进货单价为50元，如果按每件60元出售，可销售800件，如果每件提价1元出售，其销售量就减少20件．现在要获利12000元，且销售成本不超过24000元，问这种服装销售单价应定多少为宜？这时应进多少件服装？例2 如图，AB⊥BC，AB=10cm，点M以1cm/s的速度从点A开始沿AB边向点B运动，点N同时以2cm/s的速度从点B开始沿BC边向点C运动，则当点M运动多少时间时，△BMN•的面积等于24cm2？当堂练习1．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互增了182件．如果全组共有x名同学，则根据题意列出的方程是（）．A、x（x+1）=182B、x（x+1）=182×12C、x（x-1）=182D、x（x-1）=182×22．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为A、200(1+x)2=1000B、200+200×2x=1000C、200+200×3x=1000D、200[1+(1+x)+(1+x)2]=10003．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是。
4．美丽的丹东吸引了许多外商投资，某外商向丹东连续投资3年，2017年初投资2亿元，2019年初投资3亿元．设每年投资的平均增长率为x，则列出关于x的方程为．5．某商人将每件进价为80元的商品按100元出售，每天可售出30件．•现在他为了尽快减少库存，决定采取适当降价措施来扩大销售量，增加日盈利．经市场调查发现，如果该商品每降价2元，那么平均每天可多售出10件．要想在销售这种商品上平均每天盈利800元，问每件商品应降价多少元？6．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手．这次会议到会的人数是多少？7．某商场购进了一批单价为100元的名牌衬衫，当销售价为150元时，平均每天可售出20件，为，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果衬衫单了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存．．．．．．价每降价1元，商场平均每天可多售出4件，另外，这批衬衫平均每天要扣除其它成本50元，若商场平均每天盈利2 750元，衬衫单价应定为多少元？8．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN 最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．9．根据遵义市统计局发布的2017年遵义市国民经济和社会发展统计公报相关数据，我市2017年社会消费品总额按城乡划分绘制统计图①，2016年与2017年社会消费品销售额按行业划分绘制条形统计图②，根据图中信息回答下列问题：（1）图①中“乡村消费品销售额”的圆心角是度，乡村消费品销售额为亿元；（2）2016年到2017年间，批发业、零售业、餐饮住宿业中销售额增长的百分数最大的行业是；（3）预计2019年我市的社会消品总销售额到达504亿元，求我市2017﹣2019年社会消费品销售总额的年平均增长率．10．一批彩电，经过两次降价后价格由原来的每台2 250元降为1 440元．问平均每次降价的百分率是多少？11．小王开了一家便利店．今年1月份开始盈利，2月份盈利5000元，4月份的盈利达到7200元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？【解答】解：（1）设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200．解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（不符合题意舍去）答：每月盈利的平均增长率为20%；（2）7200（1+20%）＝8640，答：按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到8640元．12．某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．(1)当销售单价定为每千克55元，计算月销售量和月销售利润；(2)商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少?13.某农机厂四月份生产某型号农机500台，第二季度（包括四、五、六三个月）共生产该型号农机1820台．求该农机厂五、六月份平均增长率．【解答】解：设五、六月份平均增长率为x，由题意可得：500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820解得x＝0.2或﹣3.2（不合题意，舍去）∴x＝20%∴五、六月份平均增长率为20%．。
一元二次方程应用题分类讲练优质课件幻灯片课件
x 1 1 97 1 1 97 .
答
:
两条直角边
分别
2 为
1
97
2 cm和
1
97 cm.
常见的图形有下列几种：
练习：
3. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最 大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长 方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S米2， （1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为 45米2的花圃，AB的长是多少米？
答 : 这个两位数为25,或36.
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数字与方程
3.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个 两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数, 两个两位数的积为736.求原来的两位数.
解 :设这个两位数的个位数字为x,根据题意,得
105 x x10 x 5 x 736.
练习:
2.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量
为720吨,平均每月增长率是x,列方程( B )
A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
3.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明
两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在
1 23 2
0(不合题意, 舍去).
答 : 这 次 到 会 的 人 数 为12人 .
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美满生活与方程
2.小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行,到期后取出 50元用来购买学习用品 剩下的450元连同应得的税后利息又全部按 一年定期存入银行如果存款的年利率保持不变,且到期后可得税后 本息约461元,那么这种存款的年利率大约是多少? (精确到0.01%) .
一元二次方程应用题讲解
一元二次方程应用题讲解前言一元二次方程是数学中的基础知识，也是应用广泛的数学概念之一。
本文将通过一系列应用题的讲解，帮助读者更好地理解和应用一元二次方程。
案例一：小明买苹果小明去超市买苹果，苹果的单价为x元，他买了a个苹果，总共花了b元。
请问每个苹果的单价是多少？解题思路：设苹果单价为x元，则小明买了a个苹果，总共花了b元，可得一元二次方程：`ax=b`。
我们需要解出x的值。
解题步骤：1.根据题意，建立方程：`ax=b`。
2.将方程转化为一般形式：`a x-b=0`。
3.由于方程是一元二次方程，可以通过求根公式求解，即：`x=(-b±√(b^2-4a c))/(2a)`。
这里的a=1，b=-b，c=0，代入求解。
4.化简得：`x=-(-b)/(2*1)`，进一步化简：`x=b/2`。
5.得出结论：每个苹果的单价为b/2元。
案例二：小明和小红的年龄小明比小红大3岁，小红的年龄是x岁，现在小红的年龄是小明的两倍。
请问小明和小红的年龄分别是多少？解题思路：设小红的年龄为x岁，则小明的年龄为x+3岁。
根据题意，小红的年龄是小明的两倍，即2(x+3)=x。
我们需要解出x的值，并计算出小明和小红的年龄。
解题步骤：1.根据题意，建立方程：2(x+3)=x。
2.展开方程得：2x+6=x。
3.移项化简得：x=-6。
4.则小明的年龄为：x+3=-6+3=-3岁；小红的年龄为：x=-6岁。
5.得出结论：小明的年龄为-3岁，小红的年龄为-6岁。
案例三：汽车行驶问题一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了t小时后，它与另一辆以每小时40公里的速度行驶的汽车相距d公里。
请问t的取值范围是多少？解题思路：设车辆行驶的时间为t小时，根据题意，我们需要根据已知条件建立一元二次方程。
解题步骤：1.根据题意，建立方程：60t-40t=d。
2.化简方程得：20t=d。
3.由于题目没有提供具体数值，我们无法得出准确的解。
在实际情况中，t的取值可以是大于等于0的任意实数。
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一元二次方程的应用
一、解应用题步骤即：
1．审题；
2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；
3．找等量关系列方程；
4．解方程；
5．判断解是否符合题意；
6．写出正确的解．
二、常见类型
1、传播问题
有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人
可传染人数共传染人数
第0轮1（传染源） 1
第1轮x x+1
第2轮x(x+1) 1+x+ x(x+1)
列方程1+x+ x(x+1)=121
解方程，得
X1=10，X2=-12
X2=-12不符合题意，
所以原方程的解是x=10
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人。
类似问题还有树枝开叉等。
2、循环问题
又可分为单循环问题，双循环问题和复杂循环问题
a．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？
b.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？
c.一个正八边形，它有多少条对角线？
3、平均率问题
最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系：
M=a(1±x)n n为增长或降低次数M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率平均率和时间相关，必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。
（a）平均增长率问题
某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？
解：设每年经营总收入的年增长率为a.
列方程，600÷40%×(1+a)2=2160
解方程，a1=0.2 a2=-2.2，(不符合题意，舍去)
∴每年经营总收入的年增长率为0.2
则2001年预计经营总收入为：
600÷40%×(1+0.2)=600÷40%×1.2=1800
答：2001年预计经营总收入为1800万元.
（b ）平均下降率问题
从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数？
剖析：第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了．若设每次倒出x 升，则第一次倒出纯酒精x 升，第二次倒出纯酒精（20
20x -·x ）升．根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数．
20－x －20
20x -·x ＝5． 4、商品销售问题
常用关系式：售价—进价=利润 一件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额） （a ）给出关系式
1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X 销售量P ，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？
(b)一个“+” 一个“—”
3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
5、面积问题
例3:如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽?
剖析：设路宽为x 米，那么两条纵路所占的面积为2·x ·20＝40x （米2
），一条横路所占的面积为32x (米2)．
纵路与横路所占的面积都包括两个小正方形ABCD 、EFGH 的面积，所以三条路所占耕地面积应当是
(40x ＋32x －2x 2)米2，根据题意可列出方程
32×20－（40x ＋32x －2x 2）＝570．
解：设道路宽为x 米，根据题意，得
32×20－（40x ＋32x －2x 2）＝570．
整理，得x 2－36x ＋35＝0．
解这个方程，得x 1＝1，x 2＝35．
x 2＝35不合题意，所以只能取x 1＝1．
答：道路宽为1米．
说明：本题的分析中，若把所求三条路平移到矩形耕地边上(如图12—2)，就更易发现等量关系列出方程．
如前所设，知矩形MNPQ 的长MN ＝(32－2x )米，宽NP ＝(20－x )米，则矩形MNPQ 的面积为：(32－
2x )(20－x )．而由题意可知矩形MNPQ 的面积为570平方米．进而列出方程(32－2x )(20－x )＝570，思路清晰，简单明了．
6、银行问题
王明同学将100元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的50元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金利息共63元，求第一次存款时的年利率．
解：设第一次存款时的年利率为x ，
根据题意，得［100（1＋x ）－50］（1＋
2
1x ）＝63． 整理，得50x 2＋125x －13＝0． 解得x 1＝
10
1，x 2＝－513． ∵x 2＝－5
13不合题意， ∴x ＝101＝10％． 答：第一次存款时的年利率为10％．
说明：要理解“本金”“利息”“利率”“本息和”等有关的概念，再找清问题之间的相等关系．
7、图表信息问题
14．某开发区为改善居民的住房条件，每年都新建一批住房，人均住房面积逐年增加（人均住房面积＝该区人口总数
该区住房总面积，单位：平方米/人）．该开发区1997年至1999年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果分别如图12—4，请根据两图中所提供的信息解答下面的问题：
（1）该区1998年和1999年两年中，哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少万平方米? 答：_______年比上一年增加的住房面积多，多增加__________万平方米．
（2）由于经济的发展，预计到2001年底，该区人口总数将比1999年年底增加2万，为使到2001年年底该区人均住房面积达到11平方米/人，试求2000年和2001年两年该区住房总面积的年平均增长
率应达到百分之几？14．(1)1999，7．4
(2)10％
11、动态几何：
如图，在△ABC中，∠B=90o。
点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。
如果P、Q分别从A，B同时出发，经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2 ？
解：设经过x秒，得：
BP=6-x，BQ=2x
∵S△PBQ=BP×BQ÷2
∴（6-x）×2x÷2=8
解得：x1=2，x2=41.
1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
2.如图，在宽为20m ，长为30m ，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余分作为耕地为551㎡。
则道路的宽为?
3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
4．如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。
①鸡场的面积能达到150m2吗？②鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
（3）若墙长为a m,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度a m对题目的解起着怎样的作用?。