【专项复习】通用版2018_版高考物理总复习主题一机械运动与物理模型1.2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系

2.位移与时间的关系
面积即位移：x＝12（v0＋v）t⇨x＝__v_0_t_＋__12_a_t2____
速度公式：v＝v0＋at

思维拓展
由匀减速直线运动的位移公式 x＝v0t－12at2 可知，当时间 t 足 够长时，位移 x 可能为负值。位移为负值表示什么意思？ 答案 位移为负值，表明物体先向正方向做匀减速运动，当 速度减为零以后，又沿负方向做匀加速直线运动，故随 着时间的推移总位移可能沿正方向先增加再减小，然后沿负 方向增加，故位移为负值。表明物体返回到出发点后继续向 负方向运动。
解析 由题图可知甲物体从0时刻开始运动，而乙物体从t1时刻 开始运动，故A错误；由题图可知甲物体从坐标x1开始运动，而 乙物体从坐标为0的位置开始运动，故B错误；x－t图象的斜率 等于物体运动的速度，由题图可知乙运动的速度大于甲运动的 速度，故C正确；t2时刻两物体的位置坐标相同即两物体相遇， 故D错误。 答案 C
②把运动过程分为更多的小段，如图乙，各小矩形的_面__积__之__和__ 可以更精确地表示物体在整个过程的位移。
图2 ③把整个过程分得非常非常细，如图丙，小矩形合在一起成了 一个梯形，_梯__形__的__面__积___就代表物体在相应时间间隔内的位移。 (2)结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图象中的 _图__象__与__对__应__的__时__间__轴___所包围的面积。
[针对训练1] 某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为 x＝0.5t＋t2(m)，则当物体速度为3 m/s时，物体已运动的时间 为( )
A.1.25 s
B.2.5 s
C.3 s
D.6 s
解析 x＝v0t＋12at2，知 v0＝0.5 m/s，a＝2 m/s2， 据 v＝v0＋at＝3 m/s，得 t＝1.25 s，故选 A 项。 答案 A
思维拓展 如图1所示，质点在5 s内的位移是多大？
图1 答案 0～3 s位移x1＝v1t1＝9 m 3～5 s位移x2＝－v2t2＝－4 m 故0～5 s x＝x1＋x1＝5 m。
二、匀变速直线运动的位移 1.在v－t图象中的表示位移：
(1)微元法推导 ①把物体的运动分成几个小段，如图2甲，每段位移≈每段 起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形面积。所以，整个过 程的位移≈各个小矩形面积__之__和__。
误区警示 关于 x＝v0t＋12at2 的注意点 (1)利用公式 x＝v0t＋12at2 计算出的物理量是位移而不是路程。 (2)物体做匀减速运动时，若以初速度 v0 的方向为正方向，a 仅表示加速度的大小，这时的位移公式可表示为 x＝v0t－12at2。 (3)因为位移公式是一元二次函数，故 x－t 图象是一条抛物线 (一部分)。
1.8 m/s，末速度是5.0 m/s。 求：(1)滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？ (2)滑雪运动员通过斜坡中间时刻的瞬时速度是多少？
解析 (1)法一 利用速度公式和位移公式求解。 由 v＝v0＋at 和 x＝v0t＋12at2 可得 a＝0.128 m/s2 t＝25 s。 法二 利用平均速度公式求解。 由 x＝v0＋2 vt t＝25 s。
三、用图象表示位移(x－t图象) 1.x－t图象：__以__时__间__t__为横坐标，以_位__移__x__为纵坐标，描述
位移随时间变化情况的图象。 2.常见的x－t图象
(1)静止：一条平行于_时__间__轴___的直线。 (2)匀速直线运动：一条__倾__斜___的直线。
思维拓展 做直线运动的物体在某段时间内的位移—时间图象如图3所 示。试分析物体在t＝0到t＝6 s内的运动情况，并画出该物体 的速度—时间图象。
(2)由题意知 B 点对应 AC 段的中间时刻，可知 B 点的速度等 于 AC 段上的平均速度，即
vB＝－v AC＝x2ATC＝20×102－×2＋01.15×10－2 m/s＝1.75 m/s。
(3)由于连续相等时间内位移差恒定，所以 xCD－xBC＝xBC－xAB 所以 xCD＝2xBC－xAB ＝2×20×10－2 m－15×10－2 m ＝25×10－2 m＝0.25 m。 答案 (1)5 m/s2 (2)1.75 m/s (3)0.25 m
[精典示例] [例1] (2018·安庆高一检测)一物体做匀减速直线运动，初速度大
小为v0＝5 m/s，加速度大小为a＝0.5 m/s2，求： (1)物体在3 s内的位移大小； (2)物体在第3 s内的位移大小。 思路探究 (1)两问分别求的是哪段时间内的位移？ (2)选用什么公式来求解位移？
解析 (1)用位移公式求解，3 s 内物体的位移 x3＝v0t3＋12(－a)t23＝5×3 m－12×0.5×32 m ＝12.75 m。 (2)同理 2 s 内物体的位移 x2＝v0t2＋12(－a)t22＝5×2 m－12×0.5×22 m＝9 m 因此，第 3 s 内的位移 x＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m。 答案 (1)12.75 m (2)3.75 m
思路探究 (1)小球做匀加速直线运动。AB、BC、CD是相邻相同时间内 的位移，可用逐差相等的推论。 (2)B点可看作某过程的中间时刻，可用平均速度的推论。
解析 小球释放后做匀加速直线运动，且每相邻的两个小球的 时间间隔相等，均为 0.1 s，可以认为 A、B、C、D 各点是一 个小球在不同时刻的位置。 (1)由推论 Δx＝aT2 可知，小球的加速度为 a＝ΔTx2 ＝xBC－T2xAB＝20×10－20－.1215×10－2 m/s2＝5 m/s2
运动情况
取值
匀加速直线运动 a与v0同向，a取正值(v0方向为正方向)
匀减速直线运动 a与v0反向，a取负值(v0方向为正方向) 位移为正值 说明位移的方向与规定的正方向相同
位移为负值 说明位移的方向与规定的正方向相反
3.公式的两种特殊形式 (1)当 a＝0 时，x＝v0t(匀速直线运动)。 (2)当 v0＝0 时，x＝12at2(由静止开始的匀加速直线运动)。
图4 A.t＝0时，A在B的前面 B.B在t2时刻追上A，并在此后跑在A的前面 C.B开始运动的速度比A小，t2时刻后才大于A的速度 D.A运动的速度始终比B大
[思路探究] (1)x－t图象的斜率是什么？ (2)x－t图象的横截距、纵截距意义是什么？ (3)x－t图象的交点表示什么？ 解析 t＝0时，A在原点正方向x1位置处，B在原点处，A在B的 前面，A正确；t2时刻两图线相交，表示该时刻B追上A，并在 此后跑在A的前面，B正确；B开始运动的速度比A小，t1时刻后 A静止，B仍然运动，C、D错误。 答案 AB
(2)法一 速度公式法 中间时刻 t′＝225 s v t ＝v0＋at′＝3.4 m/s
2 法二 平均速度公式法 v2t ＝v0＋2 v＝3.4 m/s 答案 (1)25 s (2)3.4 m/s
方法总结
(1)若题目中没有加速度 a，也不涉及加速度的问题，一般用
－v ＝xt ＝v0＋2 v计算较方便。
(2)若题目中无位移 x，也不需求位移，一般用速度公式 v ＝v0＋at。 (3)若题目中无末速度 v，也不需要求末速度。一般用位移 公式 x＝v0t＋12at2。
[针对训练3] (2018·济南一中期末)一辆汽车4 s内做匀加速直线运
动，初速度为2 m/s，末速度为10 m/s，在这段时间内，下列
图3
解析 由 x－t 图象可以看出，物体在 0～2 s 内的位移均匀增大， 且为正值，故物体沿规定的正方向运动，速度 v1＝ΔΔxt11＝120 m/s ＝5 m/s。在 2～4 s 内，物体的位移没有变化，则 v2＝ΔΔxt22＝0， 物体处于静止状态。在 4～6 s 内，物体的位移先为正值且逐渐 减小，后为负值且逐渐增大，速度 v3＝ΔΔxt33＝－61－0－410 m/s＝ －10 m/s，“－”号表示物体运动方向与规定的正方向相反。由 此可作出物体运动的 v－t 图象如图所示。
两个重要的推论
[要点归纳] 1.推论 1：做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度
等于这段时间中间时刻的瞬时速度，也等于这段时间初、末
速度和的一半，即－v ＝v2t ＝v0＋2 v。
(1)适用条件：匀变速直线运动。 (2)应用：计算瞬时速度。
[精典示例] [例3] 一滑雪运动员从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是
答案 C
2.推论2：匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的 位移差相等。做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相 等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则 Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。 对于不相邻的两段位移则有 xm－xn＝(m－n)aT2。
应用 （1）判断物体是否做匀变速直线运动 如果Δ x＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xN－xN－1＝aT2 成立， 则 a 为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。 注意：T 具有任意性。 （2）求加速度 利用 Δx＝aT2，可求得 a＝ΔTx2 。
说法正确的是( )
A.汽车的加速度为4 m/s2 B.汽车的加速度为3 m/s2
C.汽车的位移为24 m
D.汽车的平均速度为3 m/s
解析 汽车的加速度 a＝ΔΔvt ＝2 m/s2，故 A、B 错误；平均速
度－v ＝v0＋2 v＝6 m/s，故 D 错误；位移 x＝－v ·t＝24 m，故 C
正确。
大小
斜率的绝对值
速
斜率的正负，斜率为正，表示物体向正
度
方向
方向运动；斜率为负，表示物体向负方
向运动
运动开始位置 运动开始时刻
两图线交 点的含义
图线起点纵坐标 图线起点横坐标
表示两物体在同一位置(相遇)
[精典示例] [例2] (多选)如图4所示为在同一直线上运动的A、B两质点的x－
t图象，由图可知( )
答案 见解析
匀变速直线运动位移公式的理解与应用