史宁中漫谈数学的基本思想
史宁中教授-抽象推理
数的符号表达：简洁、关键是把握问题的本质 （基本概念与运算法则：小学数学核心问题， 高等教育出版社，2013年）
读数的关键：十个符号 + 数位
如何读 2002 符号 0 很重要： 1 ～ 10 → 1 ～ 9 → 0 和 10 相反数： a + b = 0，b 为相反数，表示为 -a 数位与数不同 数位：个(ones)、十(tens)，“十”是十个“个” “万”是十个“千” 数：10 = 9 + 1
从现实世界到数学内部，数学具有一般性 通过推理：数学 → 数学 从假设前提出发，通过推理得到数学的结果 数学内部的发展，数学具有逻辑性 通过模型：数学 → 现实 解决现实世界中的与数量和图形有关的问题 从数学内部到现实世界，数学具有应用性
得到数学的基本特征：
一般性（抽象）、严谨性（逻辑）、应用的广泛性（模型）
演绎推理
演绎推理只能用来验证知识，不能用来发现知识。 论证问题的形式是： 已知 A 求证 B
其中 A 和 B 都是确定性命题，没有新的知识
发现知识需要下面两个能力： 从条件预测结果的能力，从结果探究成因的能力 因此，需要归纳推理：从经验过的东西推断未曾经验的东西
归纳推理
归纳推理需要前提：经验或者想象 经验：从个别到一般，从具体到符号 加法交换律 3 + 5 = 8，5 + 3 = 8 → 3 + 5 = 5 + 3 6 + 9 = 15，9 + 6 = 15 → 6 + 9 = 9 + 6 3 + (-2) = 1，(-2) + 3 = 1 → 3 + (-2) = (-2) + 3 → a + b = b + a 结论的正确与否需要演绎证明
史宁中(关于高中数学的一些想法)35页PPT
数学推理是有逻辑的推理：命题内涵之间具有传递性。 演绎推理：命题内涵由大到小，得到结果是必然的。验证结论。
A → P，x ∈ A，x → P。 凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。 归纳推理：命题内涵由小到大，得到结果是或然的。发现结论。
归纳推理就是“看出”结果，这是创新的根本。在我国，过去 的数学教育缺少这种能力的培养。因此，这种能力的培养将是我 国未来教育教学改革的难点和重点。
针对现代数学符号化、形式化、公理化的特点，应当采取有相应 的教学方法：
表达是符号的，教学应当是现实的； 证明是形式的，教学应当是直观的； 体系是公理的，教学应当是归纳的。
为了解释微积分、为了解释极限运算 需要实数的连续性：可以理解 1/n → 0，如何理解 x → 0 ? 需要无理数的运算：√2 +√3 = ? √2·√3 = √2·3 ?
极限运算：柯西(1821) 从柯西开始，现代数学走向了符号化、形式化、公理化
1872 年，康托用柯西基本序列的方法定义了实数 解决了实数的运算问题
□□□←□ □□□□ 哪边的小方块多？
所以 3 + 1 = 4。等号是指两边的量相等。
方程的意义：讲两个故事，两个故事量相等。
自然数（加法） → 整数（减法：加法的逆运算） → 有理数（除法：乘法的逆运算）；有理数 = 分数 → 无理数（不能写成分数的形式） → 实数 = 有理数 + 无理数（小数形式的表达）
史宁中(关于高中数学的一些想法)
怎样思想，就有怎样的生活
关于高中数学的一些想法
东北师范大学 史宁中
2019年10月
关于抽象
亚里士多德： 数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些 感性的东西（颜色、温度）。对于数学而言，线、角、 或者其他的量的定义，不是作为存在而是作为关系。
史宁中教授《把握数学的思想和本质》培训讲学
1. 热爱教育事业
被动 ---- 主动 人生价值的体现 兴趣之所在
2．树立明确的教育理念
以知识为本：关注知识的传授、学生是否接受。 ◆ 凯洛夫的“三中心”论：课堂、教科书、教师。
以人为本： ➢关注学生的全面成长、培养合格的人：素质教育。 ➢站在受教育者的立场思考：尊重的教育。
◆ 教育是生存的需要、接受教育是孩子的本能。 ◆ 依据教育规律、基因的充分表达需要后天刺激。 ◆ 好的教育要启发学生思考、启发式原则。
1 那种颜色的球多？ 2 估计比例大概是多少？ 3 如果带子有五个球，白球大概有几个？
这些也许就是“过程的教育”，让学生自己探索答案，而不 一定是通过讲道理分析出答案。通过“道理” 直接给出结果固然 是好的，但是通过有规律的计算寻求这个规律是得到一般结果的 有效手段，这是我们过去教学中忽视的地方。
还缺少什么？ 根据情况“预测结果”的能力； 根据结果“探究成因”的能力。
需要一种“从特殊到一般的推理”， 这种推理就是归纳推理，培根在《新工具》提出。 归纳推理就是从个别现象出发、抽象出共性、总结出一般 的结论。
从思维训练的角度考虑，过去的教育缺少归纳能力的培养， 对培养创新性人才是不利的,但这种培养是困难的,这种培养是 基于经验的。
“双基” → “四基”
基础知识、基本技能 + 基本思想、基本经验。
“两能” → “四能” 发现问题、提出问题 + 分析问题、解决问题。
讲课的例子
一、有鹅4只，是鸭子的1/3，问有几只鸭子？ 教学目的：4 ÷ 1/3 = 4 × 3 = 12。 除法是乘法的逆运算： ？ × 1/3 = 4 → ？ = 4 ÷ 1/3 3只鸭子 ：1只鹅 (破解1/3的含义) 6只鸭子 ：2只鹅 (推广1/3的含义) …… ？只鸭子 ：4只鹅 (最后到结论)
读书笔记 读《数学基本思想18讲》有感
读书笔记读《数学基本思想18讲》有感在传统“双基”的基础上，《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了“四基”。
在基础知识，基本技能的基础上，增加了基本思想和基本活动经验，之前一直困惑，基本思想是什么？那么抽象的东西小学生能理解吗？暑假研读了东北师范大学资深教授史宁中教授的《数学基本思想18讲》，虽然没有读完，但收获颇丰。
全书分为抽象、推理、模型三个部分，共计18讲。
本书所讨论的内容，恰恰为当前数学课程标准所设定的数学核心素养的本质。
聚焦数学学科核心素养，聆听名家娓娓道来数学教学的最终目标是什么?是要让学生学会：1.用数学的眼光观察现实世界——抽象；2.用数学的思维思考现实世界——推理；3.用数学的语言表达现实世界——模型。
数学基本思想就归结为三个核心要素：抽象，推理，模型，这三者之间的关系是“你中有我，我中有你”。
数学的抽象包括前九讲，我选看了自然数的产生、四则运算的产生与演变两讲，史教授把知识的产生、发展、知识之间的联系解释的淋漓尽致，数学的每一个知识点的产生都是有据可依，每一个公式的推导都是严谨缜密，这更说明了数学是一门非常严谨的学科，容不得半点虚假和马虎。
我们应追根溯源，发扬数学文化，在自己的数学课堂上做一个讲道理、讲科学的老师。
数学的推理共6讲，包含的内容有：数学推理的基础、演绎推理的典范、演绎推理的表达、归纳推理的思维模式等，我着重研读了数学推理的基础和演绎推理的表达，数学推理是从一个数学命题判断到另一个数学命题判断的思维过程，教师在教学过程中要向学生渗透推理意识，培养学生利用所学知识进行正确的推理。
做到有理有据，才能揭示推理的重要性。
“要想给孩子一桶水，老师就要有一缸水”，做为教师我们要不断学习，不断充电，终身学习，提高自己的文化素养和学科素养，想方设法的将自己所学知识渗透到课堂教学，数学源于生活服务于生活，做为数学教师更要多阅读与数学相关的书籍，拓宽自己的视野，吃透数学基本思想，更好的引领学生向更深、更远的方向发展。
史宁中关于数学单元整体教学
史宁中关于数学单元整体教学导言数学是一门抽象而又具有挑战性的学科，对于学生来说，往往是极具难度的。
史宁中关于数学单元整体教学的理念和方法，可以让学生从容应对数学知识的学习，培养出良好的数学思维和解决问题能力。
本文将就史宁中关于数学单元整体教学进行探讨和研究。
一、背景介绍史宁中是一位享誉国内外的数学教育学者，他提出的数学单元整体教学理念对于推动数学教育的改革和提高教学质量有着重要的意义。
史宁中认为，数学教学应该以整体为主导，促进学生对数学知识的整体理解和运用，培养学生的数学思维和解决问题能力，并将之贯穿于整个教学过程中。
二、理念内涵1. 整体性思维：史宁中强调数学单元整体教学的理念，要求教师不断引导学生进行整体性思维，帮助学生理解数学知识的全貌和内涵。
整体性思维是史宁中数学教育理念的核心，它要求学生在学习数学知识时，不仅要关注知识点的细节，更要关注知识点之间的内在联系和整体结构。
2. 综合运用：史宁中倡导数学单元整体教学时，注重培养学生对数学知识的综合应用能力。
他认为数学不是孤立的知识点堆砌，而是具有内在联系的整体体系。
教师应该引导学生从整体角度理解数学知识，在解决问题和应用中，培养学生的创造性思维和综合运用能力。
3. 培养数学思维：史宁中数学单元整体教学强调培养学生的数学思维和解决问题能力。
他认为，学生在学习数学过程中，应该注重培养自己的逻辑思维、抽象思维、推理能力和创新思维等数学思维能力，使其能够应对各种复杂的数学问题。
三、教学方法在史宁中数学单元整体教学中，教师可以采用一系列方法来帮助学生理解和掌握数学知识，培养其数学思维和解决问题能力。
1. 案例教学法：通过案例教学法，教师可以引导学生从真实的问题出发，运用所学的数学知识进行分析和解决，培养学生的数学应用能力和创新能力。
2. 互动讨论：教师可以采用互动讨论的方式，引导学生就数学问题展开思考和交流，促进学生之间的合作和交流，激发学生的学习兴趣，提升课堂教学效果。
小学数学中的基本思想史宁中
报告目录
一、数学的根本思想 二、小学数学中的抽象 三、小学数学中的推理 四、小学数学中的模型
一、数学的根本思想
1、课程目标：由双基到四基、从两能到四能 实现教育理念的转变
过去的教育理念：以知识为本 教学大纲
关心问题是： 应当教那些内容；应当教到什么程度
考核内容是： 规定的内容是否教了；学生的掌握是否到达要求 教学目标是： 根底知识〔概念记忆与命题理解〕扎实〔记忆〕 根本技能〔证明技能与运算技能〕熟练〔训练〕 教学形式是： 课堂、教材、教师〔凯洛夫的三中心论〕
比方几何概念 对应：称这样的图形为直线段、角 述说：角是由两条端点重合的射线所形成的图形
数的符号表达：简洁、关键是把握问题的本质 〔根本概念与运算法那么：小学数学教学中的核心问
题 高等教育出版社，2021年〕
读数的关键：十个符号 + 数位 如何读 2002
符号 0 很重要： 1 ～ 10 → 1 ～ 9 → 0 和 10 相反数： a + b = 0，b 为相反数，表示为 -a
直接推理：对命题的直接判断 一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程
逻辑推理：命题的内涵之间存在一条主线、具有传递性。 A → P，x ∈ A， x → P。 x → P，x ∈ A， A → P。
前者：凡人都有死。苏格拉底是人。/ 苏格拉底有死。 后者：苏格拉底是人，苏格拉底有死。
柏拉图是人，柏拉图有死。/ 凡人都有死。 非逻辑推理：命题的内涵之间不存在一条主线、无传递性。
得到数学的根本特征： 一般性〔抽象〕、严谨性〔逻辑〕、应用的广泛性〔模型〕
二、小学数学中的抽象
数学思想：抽象、推理、模型〔不是知识，不靠讲解靠感悟〕
漫谈数学基本思想史宁中
→ 实现了数学的符号化、形式化、公理化。
形式化与直观的矛盾 \数学是创造\
\直观认为\ 集合测度至少要满足下面四个条件：令Ω是由实数 集合构成的类，m是类中的集合测度，那么
1 零测度。空集的测度为零，即m(O)=0。 2 单调性。对于Ω中的两个集合A和B，如果B⊆A，那么 m(B)≦m(A)。 3 可列可加性。对于Ω中的两个集合A和B，如果A∩B=O，那么 m(A∪B)=m(A)+m(B)，对可数个不交集合成立。 4 平移不变性。对于给定的实数c，令B(c,A)表示集合A对于c的平 移变换，则这两个集合的测度相等，即 B≡B(c,A)={b=c宁中
东北师范大学，长春，130024
一、数学思想与数学文化 文化是生活的形态表现，文明是生活的物质表现。 数学文化是数学的形态表现：形式、历史、思想。 思想是本质的，无思想则无文化。 《数学课标》：双基→四基、两能→四能
基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验
分析问题、解决问题 + 发现问题、提出问题
1872年，康托基本序列：满足柯西准则的有理数列。 \解决实数的运算\ 假定有理数列 an → √a, bn → √b 。
根据极限的性质有
an2 → a, bn2 → b，an2·bn2 → a·b 则有理数列{an2·bn2 } ≡ {(an·bn)2 }确定实数a·b
所以有理数列{an·bn}确定实数 √a·b，即
大学的数学教学也要关注培养学生的
思维方法：创新的根本。
思维方法的教育：数学思想 + 思维经验。 数学思想方法是什么？通常认为的数学思想方法： 等量替换、数形结合、分类、递归、转换； 配方法、换元法、加强不等式。
二、数学的基本思想
小学数学中的基本思想(史宁中)ppt.29页PPT
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 பைடு நூலகம்融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
Thank you
小学数学中的基本思想(史宁 中)ppt.
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
史宁中数学思想总结
史宁中数学思想总结史宁中是中国著名数学家，他的研究领域涉及数论、代数学等多个领域，对中国数学发展做出了重要贡献。
以下是对史宁中数学思想的总结，分为三个部分：基础数学思想、创新思想以及应用思想。
一、基础数学思想：1. 严谨性与清晰性：史宁中注重数学论证的严谨性和清晰性，他的数学工作始终建立在稳定的数学基础之上，追求证明的确切性。
2. 抽象思维：史宁中善于将具体问题抽象化，从而更深入地理解数学问题的本质。
他通过对抽象结构的研究，揭示了数学的普遍规律。
3. 深入研究基本概念：史宁中深入研究数学中的基本概念，并从中发现数学的新颖之处。
他对数论、代数学的基本概念进行了极其细致的研究，为后续的发展奠定了坚实的基础。
二、创新思想：1. 新的研究方法：史宁中提出了一系列新的研究方法，包括代数方法、解析方法等，充分利用各种数学工具解决复杂的数学问题。
他的创新思维为中国数学研究提供了新的思路和方法。
2. 纵深思考：史宁中善于从不同的角度思考问题，不仅关注问题的本质，还注意到问题的延伸和拓展。
他的研究往往能够从一个基本问题出发，推导出一系列相关问题，并给出相应的解决方案。
3. 推广与应用：史宁中的数学思想不仅仅停留在理论层面，他注重将数学应用于实际问题的解决中。
他的研究成果在密码学、通信等领域得到了广泛应用，为现实世界带来了实际的效益。
三、应用思想：1. 与其他学科的交叉应用：史宁中认为数学与其他学科有着密切的联系，他积极寻求与其他学科的交叉应用，为数学问题提供了新的视角和解决方法。
他的数学思想不仅仅对于数学自身的发展有着深远的影响，也为其他学科的研究提供了重要的参考。
2. 探索未知领域：史宁中善于发现并挖掘未知领域的数学问题，他对数学的未知领域充满了好奇心和探索欲望。
他勇于面对未知，寻找规律和解决方法，并在这个过程中推动了数学的发展。
3. 培养新一代数学家：史宁中不仅本身是杰出的数学家，还致力于培养新一代的数学人才。
关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七
关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七高中数学教育是培养学生数学素养和培养科学思维的重要阶段。
而数学核心素养的培养则是高中数学教育中的关键任务之一。
我们有幸采访到享有盛名的教育家史宁中教授，就高中数学教育中的数学核心素养展开了深入探讨。
史教授在接受采访时首先指出，数学核心素养是指学生在数学领域中应具备的一系列基本能力和知识结构。
这些能力包括数学思维、问题解决能力、数学建模能力、数学推理能力、数学沟通能力以及数学应用能力等。
这些核心素养不仅是培养学生的数学兴趣和探究精神的基础，更是未来学生在数学领域发展的关键。
在培养数学核心素养方面，史教授提到了一些重要的教育策略。
首先，他强调了学生的主体性和自主性在数学学习中的重要性。
教师应引导学生主动探究，培养他们的独立思考和自主学习能力。
同时，教师还要充分关注学生思维的发展和变化，根据学生的实际情况和需求提供个性化的教学服务。
其次，史教授强调了数学学习的整体性和综合性。
他认为数学知识是相互联结的，学生需要在解决数学问题中综合运用各个知识点。
因此，教师在教学中应通过举一反三的方法，让学生建立完整的知识结构，培养他们的数学思维能力和问题解决能力。
另外，史教授还提到了数学教学和现实生活的关联。
他认为数学是一门与现实生活紧密相关的学科，学生需要通过数学解决实际问题的能力。
因此，教师在教学中要注重数学与现实生活的结合，通过真实场景和实际问题的引导让学生体会到数学在实际中的应用。
对于如何培养学生的数学沟通能力和数学应用能力，史教授也给出了建议。
他指出，数学沟通能力是指学生能够用准确、清晰的语言表达数学想法和数学推理的能力。
而数学应用能力则是学生将数学知识应用于实际问题的能力。
为了培养学生的数学沟通能力，教师应提供充分的表达和交流机会，鼓励学生用自己的语言讲述数学问题的解决思路和过程；为了培养学生的数学应用能力，教师应设计一些真实性强、复杂度适中的数学问题，让学生能够将数学知识应用于解决实际问题，并提供引导和反馈。
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史宁中漫谈数学的基本思想
史宁中，国务院学科评议组成员，第五届国家级教学名师，中国教育学会副会长，教育部第五届科技委数理学部委员，原东北师范大学校长
数学思想是数学文化的核心，因为数学文化是数学的形态表现，可以包括：数学形式、数学历史、数学思想。
其中思想是本质的，没有思想就没有文化。
一、数学思想是什么
数学思想需要满足两个条件：一是数学产生、发展过程中所必须依赖的那些思想，二是学习过数学的人所具有的思维特征。
可以归纳为三种基本思想：抽象、推理和模型。
通过抽象，把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象；通过推理，得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展；通过模型，创造出具有表现力的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁。
二、什么是抽象
数学抽象包括：数量与数量关系的抽象，图形与图形关系的抽象。
通过抽象得到数学的基本概念：研究对象的定义，刻画对象之间关系的术语和运算方法。
这是从感性具体上升到理性具体的思维过程，只是第一次抽象。
在此基础可以凭借想象和类比进行第二次抽象，其特点是符号化，得到那些并非直接来源于现实的数学概念和运算方法。
数量与数量关系的抽象。
数学把数量抽象成数；数量关系的本质是多与少，抽象到数学内部就是数的大小。
由大小关系派生出自然数的加法。
数的四则运算，都是基于加法的。
数学还有一种运算，就是极限运算，这涉及到数学的第二次抽象，微积分的运算基础是极限。
为了合理解释极限，1821年柯西给出了-语言，开始了现代数学的特征：研究对象的符号化，证明过程的形式化，逻辑推理的公理化。
数学的第二次抽象就是为这些特征服务的。
图形与图形关系的抽象。
欧几里得最初抽象出点、线、面这些几何学的研究对象是有物理属性的，随着几何学研究的深入，特别是非欧几何学的出现，人们需要重新审视传统的欧几里得几何学。
1898年希尔伯特给出了符号化的定义，基于五组公理，实现了几何研究的公理体系。
这些公理体系的建立，完成了数学的第二次抽象。
至少在形式上，数学的研究脱离了现实，正如希尔伯特所说：无论称它们为点、线、面，还是称它们为桌子、椅子、啤酒瓶，最终得到的结论都是一样的。
三、什么是推理
数学主要依赖的是逻辑推理，通过推理形成各种命题、定理和运算法则。
虽然数学逐渐形成各个分支，甚至形成各种流派，但因为研究的出发点是一致的，推理规则是一致的，因此，至少到现在的结果表明，数学的整体一致性是不可动摇的。
数学似乎蕴含着类似真理那样的合理性。
推理是指从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程，命题是可供判断的语句；有逻辑的推理是指命题内涵之间具有某种传递性。
有两种形式的逻辑推理，一是归纳推理，一是演绎推理。
归纳推理是命题内涵由小到大的推理，是一种从特殊到一般的推理，通过归纳推理得到的结论是或然的。
借助归纳推理，从经验过的东西出发推断未曾经验过的东西。
演绎推理是命题内涵由大到小的推理，是一种从一般到特殊的推理，通过演绎推理得到的结论是必然的。
借助演绎推理可以验证结论的正确性，但不能使命题的内涵得到扩张。
数学结论之所以具有类似真理那样的合理性，正是因为推理过程遵循了这两种形式的推理。
四、什么是模型
数学模型与数学应用有所区别：数学应用可以泛指应用数学解决实际问题的所有事情，数学模型更侧重于用数学的概念、原理和思维方法描述现实世界中的那些规律性的东西。
数学模型使数学走出数学的世界，构建了数学与现实世界的桥梁。
通俗说，数学模型是用数学的语言讲述现实世界的故事。
数学模型的出发点不仅是数学，还包括现实世界中的那些将要讲述的东西；研究手法需要从数学和现实这两个出发点开始；价值取向也往往不是数学
本身，而是对描述学科所起的作用。
但是，数学家们在构建数学模型和实际应用的过程中，必然会从数学的角度汲取"创造数学的"的灵感，促进数学自身的发展，就像冯?诺伊曼所说过的那样。