山西省某知名中学高二数学4月月考试题 理_2_2
山西省大同市同煤集团第四中学高二数学理月考试题含解析
山西省大同市同煤集团第四中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 椭圆的焦点坐标为 ( )（A）（B）（C）（D）参考答案：A略2. 一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是（）A.六棱锥B.五棱锥C. 四棱锥D. 三棱锥参考答案：A3. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，28，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14参考答案：C 【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分类讨论；算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=16，b=28，不满足a＞b，则b变为28﹣16=12，由b＜a，则a变为16﹣12=4，由a＜b，则，b=12﹣4=8，由a＜b，则，b=8﹣4=4，由a=b=4，则输出的a=4．故选：C．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．4. 在以下条件中：；；；；中，能使成立的充分条件的个数是（）A、4B、3C、2 D、1参考答案：B5. 如图，直线y=m与抛物线y2=4x交于点A，与圆（x﹣1）2+y2=4的实线部分交于点B，F为抛物线的焦点，则三角形ABF的周长的取值范围是( )A．（2，4）B．（4，6）C．[2，4] D．[4，6]参考答案：B考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由抛物线定义可得|AF|=x A+1，由已知条件推导出△FAB的周长=3+x B，由此能求出三角形ABF的周长的取值范围．解答：解：抛物线的准线l：x=﹣1，焦点F（1，0），由抛物线定义可得|AF|=x A+1，∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+1+（x B﹣x A）+2=3+x B，由抛物线y2=4x及圆（x﹣1）2+y2=4，得交点的横坐标为1，∴x B∈（1，3）∴3+x B∈（4，6）∴三角形ABF的周长的取值范围是（4，6）．故选：B．点评：本题考查三角形的周长的取值范围的求法，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的简单性质．6. 极坐标方程表示的图形是（）A两个圆 B 两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线参考答案：C略7. 设是奇函数，则（）A．，且f（x）为增函数B．a=﹣1，且f（x）为增函数C．，且f（x）为减函数D．a=﹣1，且f（x）为减函数参考答案：A【考点】3L：函数奇偶性的性质；3E：函数单调性的判断与证明．【分析】由于f（x）为R上的奇函数，故f（0）=0，从而可求得a，再结合其单调性即可得到答案．【解答】解：∵f（x）=a﹣是R上的奇函数，∴f（0）=a﹣=0，∴a=；又y=2x+1为R上的增函数，∴y=为R上的减函数，y=﹣为R上的增函数，∴f（x）=﹣为R上的增函数．故选A．8. 2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件是（）A．﹣＜x＜3 B．﹣＜x＜0 C．﹣3＜x＜D．﹣1＜x＜6参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．【分析】通过解二次不等式求出2x2﹣5x﹣3＜0的充要条件，通过对四个选项的范围与充要条件的范围间的包含关系的判断，得到2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件．【解答】解：2x2﹣5x﹣3＜0的充要条件为对于A是2x2﹣5x﹣3＜0的充要条件对于B，是2x2﹣5x﹣3＜0的充分不必要条件对于C，2x2﹣5x﹣3＜0的不充分不必要条件对于D，是2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件故选D【点评】解决一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，再进行判断，判断时常有的方法有：定义法、集合法．9. 如果圆至少覆盖函数的一个最大点和一个最小点，则正整数的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：B 提示：因为为奇函数，图象关于原点对称，所以圆只要覆盖的一个最值点即可，令，解得距原点最近的一个最大点，由题意得正整数的最小值为210. 下列命题中正确的是 ( )A、空间三点可以确定一个平面B、三角形一定是平面图形C、若点A,B,C,D既在平面α内，又在平面β内，则平面α与平面β重合D、四条边都相等的四边形是平面图形参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知a＞0，函数，则f'（1）的最小值是．参考答案：12【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】求出f（x）的导数，可得f'（1）=3a+，再由基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：a＞0，函数，导数f′（x）=3ax2+，x＞0，a＞0，则f'（1）=3a+≥2=12，当且仅当3a=，即a=2时，取得最小值12．故答案为：12．【点评】本题考查导数的运用：求导函数值，考查基本不等式的运用：求最值，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．12. 已知，，则当取得最小值时，．参考答案：1813. 若tan+ =4则sin2= ．参考答案：略14. 某农场计划种植甲、乙两个品种的水果，总面积不超过300亩，总成本不超过9万元．甲、乙两种水果的成本分别是每亩600元和每亩200元．假设种植这两个品种的水果，能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元．问该农场如何分配甲、乙两种水果的种植面积，可使参考答案：设甲、乙两种水果的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，则………………1分………①…………4分目标函数为，……………5分不等式组①等价于可行域如图所示，……………………………7分目标函数可化为由此可知当目标函数对应的直线经过点M 时，目标函数取最大值．………………………9分解方程组 得的坐标为．…………………………………………………………………………10分所以．………………………………………………………11分答：分别种植甲乙两种水果75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元． ………………………………………………………………………………12分15. 如果今天是星期一，从明天开始，天后地第一天是星期 。
山西高二高中数学月考试卷带答案解析
山西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位.(1)求复数和；(2)若在第四象限，求的取值范围.2.已知的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512.(1)求展开式的所有有理项（指数为整数）；(2)求展开式中项的系数．3.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品，设甲、乙两组的研发相互独立.（1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利万元的分布列.4.（本题13分）在数列，，且成等差数列，成等比数列（1）求及由此猜测的通项公式并证明你的结论；（2）证明：。
二、选择题1.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．都是奇数B．都是偶数C．中至少有两个偶数D．至少有两个偶数或都是奇数2.在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量去描述1次试验的成功次数，则（）A．B．C．D．4.用数学归纳法证明：时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（）A．B．C．D．5.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（）A．2011B．2012C．2013D．20146.5名学生进行知识竞赛.笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”.根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是（）A．54B．72C．78D．967.若的展开式中含有常数项，则的最小值等于（）A．B．C．D．8.在二项式的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（）A．B．C．D．9.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则（）A．B．C．D．10.现定义，其中为虚数单位，为自然对数的底数，，且实数指数幂的运算性质对都适用，若，，那么复数等于（）A．B．C．D．三、填空题1.随机变量等可能取值为，如果，那么___．2.如图：三个元件正常工作的概率分别为，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是____________．3.数学老师从一张测试卷的12道选择题、4道填空题、6道解答题中任取3道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的不同取法有__________种.4.已知下列等式：观察上式的规律,写出第个等式_______5.已知表中的对数值有且只有两个是错误的：请你指出这两个错误 __________．（答案写成如的形式）山西高二高中数学月考试卷答案及解析一、解答题1.已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位.(1)求复数和；(2)若在第四象限，求的取值范围.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）或【解析】【试题分析】（1）依据题设建立方程求出，再求其模；（2）先求出，再建立不等式求解：（Ⅰ）设，则（Ⅱ）或点睛：本题旨在考查复数的有关概念及加减乘除等基本运算等有关知识的综合运用。
山西省忻州市岢岚县中学2020-2021学年高二下学期4月月考数学(理)试题
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条 形 码
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一、选择题填涂区（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。把答案填涂在答题卡上。）
,设
12、定义在 上的偶函数
二、填空题填涂区（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填写在答 题卡相应题号后的横线上。）
()
.若
且
,则称
为原位大三和弦;若
▄ 13
B.
A.
▄
且
,则称
为原位小三和弦,用这 个键可以构成的原位大三
和弦与原位小三和弦的个数之和为( )
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14
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15
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16
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16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
22、已知函数
.
18、某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对
宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍
(1)若函数
的一个极值点是
,求函数
的单调区间;
的所有费用 (万元)和宿舍与工厂的距离
意 2、考生务必用 2B 铅笔填涂。
3、考生务必在答题卡指定位置作答，并保持卷面整洁。
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事 4、如需要条形码，则考生务必要在指定位置正确贴好条形码。 项 5、教师务必使用红笔阅卷。
考生禁止填涂缺考
形都绕底边旋转,四个顶点能重合在一起,构成一个四棱锥,则围成的四棱锥的体积的最大值为 则图中数
山西大学附中2021年高二数学4月月考试题及答案(理科数学)
山西大学附中2020—2021学年第二学期高二（4月）考试数学试题（理科）考试时间：120分钟一.选择题（每小题5分,满分60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是题目要求的） 1. 下列式子不．正确的是（ ） A. ()23cos 6cos sin x x x x x x x '+=+-B.23112ln x x x x '+=-（） C. ()sin 22cos 2x x '=D. 2sin cos sin x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2．函数22f x x x =-()()的单调递减区间是（ ）A ．()23-,∞B ．()23--2,C ．()23,2 D ．2+(,)∞3．设函数f x ()的导函数为'f x ()，且1'y x f x =-()()的图象如图所示，则f x () ( )A ．有极大值2f ()和极小值1f ()B ．有极大值2f -()和极小值1f ()C ．有极大值2f ()和极小值2f -()D ．有极大值2f -()和极小值2f () 4. “1a >”是“函数()cos f x ax x =+在(),-∞+∞上单调递增”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.若函数2()ln f x x x a x =++在区间()1+∞，上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3a ≥-B. 3a <-C. 3a ≤-D. 3a >-6.已知3a <且3e 3e a a =，4b <且44b be e =，5c <且5e 5e c c =，则（ ） A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．a b c <<7．已知直线240x y --=与抛物线2y x =相交于,A B 两点，O 是坐标原点，P 为抛物线的弧AOB 上任意点，则当ABP ∆的面积最大时，P 点坐标为（ ）A ．(0)0，B ．(11)，C ．11()42， D ．(2 8. 若函数21()ln 2f x x x bx =+-存在单调递减区间,则实数b 的取值范围为( ) A. [2,)+∞B. (2,)+∞C. (,2)-∞D. (,2]-∞9．定义在()π02,上的函数f x ()，其导函数为'f x ()，且恒有f x ()'tan f x x ()＜成立，则（ ）A ．()()ππ633f f＞ B ．()()ππ633f f＜C ．()()ππ633f f ＞ D ．()()ππ633f f ＜10．已知函数()23ln 6f x x kx x =-+，若()0f x >的解集为(),m n ，且(),m n 中只有两个整数，则（ ） A ．k 无最值 B ．k 的最小值为123ln 24+ C ．k 的最大值为123ln 24+ D ．k 的最小值为6ln 33+ 11．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F (如图)，过2F 的直线交E 于P ，Q 两点，且1PF x⊥轴，2213PF F Q =，则E 的离心率为（ ）A ．33B ．12 C ．22 D ．3212．已知函数ln ,0()(2),2x x ef x f e x e x e⎧<≤=⎨-<<⎩，若方程()()F x f x ax =-有4个零点，则a 的可能的值为（ ） A ．14B ．1C ．12D ．1e二.填空题（每题5分,满分20分,把答案填在题中横线上） 13.函数2()x f x x e =在x ＝1处的切线斜率是_ ________.14.已知()()()212ln 212f f x x x f x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，则()1f =____________.15．已知函数()25,042ln ,0x x x f x x ax x ⎧++≤⎪=⎨⎪->⎩，若210,0x x ∀≤∃>，使()()120f x f x +=成立，则a 的取值范围为_________.16．如果两个函数存在零点，分别为α，β，若满足n αβ-<，则称两个函数互为“n 度零点函数”．若2()log (3)f x x =-与2()x g x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为___________．三.解答题17.（本小题满分10分）已知函数32()2f x x ax bx =+++在1x =-处取得极值7． （1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最值. 18．（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>经过点()06,P y ，F 为抛物线的焦点，且||10PF =．（1）求0y 的值；（2）点Q 为抛物线C 上一动点，点M 为线段 FQ 的中点，试求点M 的轨迹方程．19. （本小题满分12分） 已知函数()sin ln 1.f x x x =+-（1）求()f x 在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）求证：()f x 在()0,π上存在唯一的极大值.20．（本小题满分12分） 已知函数()1ln 1=+++f x a x bx x. （1）当0a =时，函数()f x 的极小值为5，求正数b 的值；（2）若1b =，()()3F x f x x=-，且当a ≥-时，不等式()1F x ≥在区间[]1,2上有解，求实数a 的取值范围.21．（本小题满分12分）已知斜率为1的直线l 与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点为31,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，椭圆C 的上顶点为(B . （1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线:(l y kx m m '=+≠与椭圆C 交于,M N 两点，若直线BM 与BN 的斜率之和为2，证明：l '过定点.22．（本小题满分12分） 已知函数121()(1)e (0)2x f x x a x ax x -=---+>. （1）讨论()f x 的单调性.（2）当2a ≤时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围.山西大学附中2020—2021学年第二学期高二（4月）考试数学试题（理科答案）考试时间：120分钟一.选择题（每小题5分,满分60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是题目要求的） 1. 下列式子不．正确的是（D ） A. ()23cos 6cos sin x x x x x x x '+=+-B. 23112ln x x x x'+=-（） C. ()sin 22cos 2x x '=D. 2sin cos sin x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭2．函数22f x x x =-()()的单调递减区间是（C ）A ．()23-,∞B ．()23--2,C ．()23,2 D ．2+(,)∞3．设函数f x ()的导函数为'f x ()，且1'y x f x =-()()的图象如图所示，则f x () （ D ）A ．有极大值2f ()和极小值1f ()B ．有极大值2f -()和极小值1f ()C ．有极大值2f ()和极小值2f -()D ．有极大值2f -()和极小值2f () 4. “1a >”是“函数()cos f x ax x =+在(),-∞+∞上单调递增”的（A ）． A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.若函数2()ln f x x x a x =++在区间(1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ A ） A. 3a ≥- B. 3a <- C. 3a ≤- D. 3a >-6.已知3a <且3e 3e a a =，4b <且44b be e =，5c <且5e 5e c c =，则（ A ） A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．a b c <<7．已知直线240x y --=与抛物线2y x =相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，P 为抛物线的弧AOB 上任意点，则当ABP ∆的面积最大时，P 点坐标为（B ）A ．(0)0，B ．(11)，C ．11()42， D ．(22)， 8. 若函数21()ln 2f x x x bx =+-存在单调递减区间,则实数b 的取值范围为(B ) A. [2,)+∞B. (2,)+∞C. (,2)-∞D. (,2]-∞9．定义在()π02,上的函数f x ()，其导函数为'f x ()，且恒有f x ()'tan f x x ()＜成立，则 （D ）A ．()()ππ633f f ＞B ．()()ππ633f f＜ C ．()()ππ633f f ＞ D ．()()ππ633f f＜ 10．已知函数()23ln 6f x x kx x =-+，若()0f x >的解集为(),m n ，且(),m n 中只有两个整数，则（ D ）A ．k 无最值B ．k 的最小值为123ln 24+ C ．k 的最大值为123ln 24+ D ．k 的最小值为6ln 33+ 11．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F (如图)，过2F 的直线交E 于P ，Q两点，且1PF x ⊥轴，2213PF F Q =，则E 的离心率为（ D ）A 3B ．12C ．22D 312．已知函数ln ,0()(2),2x x ef x f e x e x e⎧<≤=⎨-<<⎩，若方程()()F x f x ax =-有4个零点，则a 的可能的值为（A ） A ．14B ．1C ．12D ．1e二.填空题（每题5分,满分20分,把答案填在题中横线上） 13．函数2()x f x x e =在x ＝1处的切线斜率是_ ________.3e14.已知()()()212ln 212f f x x x f x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，则()1f =____________.-215．已知函数()25,042ln ,0x x x f x x ax x ⎧++≤⎪=⎨⎪->⎩，若210,0x x ∀≤∃>，使()()120f x f x +=成立，则a 的取值范围为_________.2(e-∞ 16．如果两个函数存在零点，分别为α，β，若满足n αβ-<，则称两个函数互为“n 度零点函数”．若2()log (3)f x x =-与2()x g x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为___________．214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦三.解答题17.已知函数32()2f x x ax bx =+++在1x =-处取得极值7． （1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值【答案】（1）39a b =-⎧⎨=-⎩；（2）max ()7f x =.【详解】（1）因为32()2f x x ax bx =+++，所以2()32f x x ax b '=++，又函数32()2f x x ax bx =+++在1x =-处取得极值7，(1)17(1)320f a b f a b -=+-=⎧⎨-=-+='⎩，解得39a b =-⎧⎨=-⎩；， 所以3()3693(3)(1)f x x x x x '=--=-+， 由()0f x '>得3x >或1x <-；由()0f x '<得13x；满足题意；（2）又[2,2]x ∈-，由（1）得()f x 在(2,1)x ∈--上单调递增，在(1,2)x ∈-上单调递减， 因此max ()(1)7f x f =-=．18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>经过点()06,P y ，F 为抛物线的焦点，且||10PF =． （1）求0y 的值；（2）点Q 为抛物线C 上一动点，点M 为线段 FQ 的中点，试求点M 的轨迹方程．【答案】（1）±（2）2816y x =-. 【详解】（1）由抛物线2:2(0)C y px p =>经过点()06,P y 可得：2012y p =，又||10PF =，可得6102p+=， 解得8p =，0y =±；（2）由（1）知2:16C y x =，则(4,0)F ， 设11(,)Q x y ，(,)M x y ，根据点M 为线段FQ 的中点，可得：11422x x y y +=⎧⎨=⎩，即11242x x y y =-⎧⎨=⎩， 由点Q 为抛物线C 上，所以2(2)16(24)y x =-， 整理可得点M 的轨迹方程为2816y x =-. 19．已知函数()sin ln 1.f x x x =+-（1）求()f x 在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）求证：()f x 在()0,π上存在唯一的极大值.【答案】（1）2ln12y x ππ=+-；（2）证明见解析.【详解】（1）由()sin ln 1f x x x =+-可得()1cos f x x x'=+1ln 1ln 222f πππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，22cos 22f ππππ⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭所以()f x 在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为22ln ln 1222y x y x πππππ⎛⎫-=-⇒=+- ⎪⎝⎭（2）证明：1()cos f x x x '=+，设211()()cos ()sin 0g x f x x g x x x x''==+⇒=--<f x 在()0,π上递减，210,()102f f ππππ⎛⎫''=>=-+< ⎪⎝⎭由零点存在定理可知，存在0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00f x '=当()()00,,0x x f x '∈>，()f x 递增；当()()()0,,0,x x f x f x π'∈<递减所以()f x 在()0,π上存在唯一的极大值 20．已知函数()1ln 1=+++f x a x bx x. （1）当0a =时，函数()f x 的极小值为5，求正数b 的值； （2）若1b =，()()3F x f x x=-，且当a ≥-时，不等式()1F x ≥在区间[]1,2上有解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）4b =（2）1ln 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0)+∞，. 当0a =时，1()1f x bx x =++，则21()f x b x'=-+，()00f x x '<⇒<<()0f x x '>⇒ 所以()f x在0⎛ ⎝上单调递减，()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增， 所以函数()f x的极小值为15f =+=，∴4b =.（2）当1b =时，2()ln 1F x a x x x=-++，[12]x ∈，， 则22222222224()1a a x a x ax F x x x x x ⎛⎫++-⎪++⎝⎭'=++==. ①当2204a -≥，即a -≤≤()0F x '≥，所以()F x 在[12]，上单调递增，所以max ()(2)F x F =；②当2204a -<，即a >2220(80)x ax a ++=∆=->的两根分别为1x ，2x ，则12x x a +=-，122x x =，∴10x <，20x <， 所以在区间[12]，上，222()0x ax F x x ++'=>， 所以()F x 在[12]，上单调递增，所以max ()(2)F x F =.综上，当a ≥-时，()F x 在区间[12]，上的最大值为(2)ln 221F a =+≥， ∴1ln 2a -≥， 所以实数a 的取值范围是1ln 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， 21. 已知斜率为1的直线l 与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>交于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点为31,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，椭圆C的上顶点为(B .（1）求椭圆C 的离心率； （2）设直线:(l y kx m m '=+≠与椭圆C 交于,M N 两点，若直线BM 与BN 的斜率之和为2，证明：l '过定点.【答案】（1）12e =（2）见证明 【详解】（1）设点()11,P x y ，()22,Q x y ，由于点A 为线段PQ 的中点所以1212232x x y y +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，又22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式作差212121212121x x y y b k a y y x x +--⋅===+-， 所以2234b a =，即12e =；（2）由（1）结合上顶点B ，椭圆的方程为22143x y +=，设点()()3344,,,M x y N x y ，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，则韦达定理得， 据题意可得342234283441234km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩343434341122(2(BM BN x xk k k m k m x x x x ⎛⎫+=+==++=+ ⎪⎝⎭代入韦达定理得2822(412km k m m --==-，化简得m =所以直线l '为(y kx k x =+=+，过定点(， 综上，直线l '过定点(. 22．已知函数121()(1)e (0)2x f x x a x ax x -=---+>. （1）讨论()f x 的单调性.（2）当2a ≤时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为121()(1)e (0)2x f x x a x ax x -=---+>，所以()1()(1)(0)x f x x a e x -'=-->. 令0fx ，得x a =或1x =.①当0a ≤时，由0fx，得1x >；由0fx，得01x <<.则()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增；②当01a <<时，由0fx ，得0x a <<或1x >；由0fx ，得1<<a x .则()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和1,上单调递增.③当1a =时，0f x 恒成立，则()f x 在0,上单调递增.④当1a >时，由0fx，得01x <<或x a >；由0f x ，得1x a <<.则()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1)和(,)a +∞上单调递增. 综上，当0a ≤时，()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增；当01a <<时，()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和1,上单调递增；当1a =时，()f x 在0,上单调递增； 当1a >时，()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1)和(,)a +∞上单调递增.（2）①当0a ≤时，由（1）可知()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增，则()f x 有最小值()112f =-，故0a ≤不符合题意. ②当01a <<时，由（1）可知()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和1,上单调递增，因为()f x 无最小值，所以()()01f f <，即11<2a e +--，解得112e a -<<； ③当1a =时，由（1）可知()f x 在0,上单调递增， 所以()f x 无最小值，所以1a =符合题意；④当12a <≤时，由（1）可知()f x 在()1,a 上单调递减，在()()0,1,,a +∞上单调递增.因为()f x 无最小值，所以()()0f f a <，即2111<2a a a e e -+--，即121102a a e a e-+--<. 设()()1211122x x g x e x x e -+=--<≤，则()()1112x g x e x x e-'=--<≤ 设()()()1112x h x g x e x x e -'==--<≤，则()110x h x e -'=->在(]1,2上恒成立. 故()h x 在(]1,2上单调递增，即()g x '在(]1,2上单调递增.因为()()1110,220g g e e e''=-<=-->，所以存在唯一的(]01,2x ∈，使得()00g x '=. 故()g x 在()01,x 上单调递减，在(]0,2x 上单调递增.因为()()124310,22022e g g e e e e-=--=<=--<，所以()0g x <在(]1,2上恒成立， 即1211<02a a e a e -+--在(]1,2恒成立，即12a <≤符合题意. 综上，实数a 的取值范围为1,22e ⎛⎤-⎥⎝⎦.。
山西大学附属中学2020-2021学年高二下学期4月月考理科数学试题(含答案解析)
山西大学附属中学2020-2021学年高二下学期4月月考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列式子不正确的是A ．()23cos 6cos sin x x x x x x x'+=+-B ．23112ln x x x x '+=-（）C ．()sin 22cos 2x x'=D ．2sin cos sin x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭2．函数()()22f x x x =-的单调递减区间是（）A ．（-∞，23）B ．（-2，-23）C ．（23，2）D ．（2，+∞）3．设函数()f x 在R 上可导，导函数为(),(1)()f x y x f x ''=-图象如图所示，则（）A ．()f x 有极大值(2)f ，极小值(1)fB ．()f x 有极大值(2)f -，极小值(1)fC ．()f x 有极大值(2)f ，极小值(2)f -D ．()f x 有极大值(2)f -，极小值(2)f 4．“1a >”是“函数()cos f x ax x =+在(),-∞+∞上单调递增”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．若函数2()ln f x x x a x =++在区间(1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是A ．3a ≥-B ．3a <-C ．3a ≤-D ．3a >-6．已知3a <且3e 3e a a =，4b <且44b be e =，5c <且5e 5e c c =，则（）A ．c b a<<B ．b<c<aC ．a c b<<D ．a b c<<7．已知直线240x y --=与抛物线2y x =相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，P 为抛物线的弧AOB 上任意点，则当ABP 的面积最大时，P 点坐标为（）A ．(0)0，B ．(11)，C ．11()42，D ．(28．若函数21()ln 2f x x x bx =+-存在单调递减区间,则实数b 的取值范围为A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞9．定义在(0,2π上的函数()f x ，其导函数是()f x '，且恒有()()tan f x f x x <'⋅成立，则（）A ．()()63f ππB ．()()63f ππ<C (()63f ππ>D (()63f ππ<10．已知函数()23ln 6f x x kx x =-+，若()0f x >的解集为(),m n ，且(),m n 中只有两个整数，则（）A ．k 无最值B ．k 的最小值为123ln 24+C ．k 的最大值为123ln 24+D ．k 的最小值为6ln 33+11．已知椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F （如图），过2F 的直线交E 于P ，Q 两点，且1PF x ⊥轴，223PF F Q =，则E 的离心率为（）A ．3B ．12C ．2D ．212．已知函数ln ,0,()(2),2,x x e f x f e x e x e ⎧<=⎨-<<⎩ ，若方程()()F x f x ax =-有4个零点，则a的可能的值为（）A ．14B ．1C ．12D ．1e二、填空题13．函数()2e xf x x =在1x =处的切线斜率是_________.14．已知()()()212ln 212f f x x x f x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，则()1f =___________.15．已知函数25,0()42ln ,0x x x f x x ax x ⎧++≤⎪=⎨⎪->⎩，若20x ∀≤，10x ∃>，使()()120f x f x +=成立，则a 的取值范围为_______．16．如果两个函数存在零点，分别为α，β，若满足n αβ-<，则称两个函数互为“n 度零点函数”.若2()log (3)f x x =-与2()x g x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________.三、解答题17．已知函数()322x ax x f b x =+++在=1x -处取得极值3.(1)求a ，b 的值；(2)求函数()f x 在区间[]22-，上的最值.18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>经过点()06,P y ，F 为抛物线的焦点，且||10PF =．（1）求0y 的值；（2）点Q 为抛物线C 上一动点，点M 为线段 FQ 的中点，试求点M 的轨迹方程．19．已知函数()sin ln 1.f x x x =+-（1）求()f x 在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程；（2）求证：()f x 在()0,π上存在唯一的极大值.20．已知函数()1ln 1=+++f x a x bx x.（1）当0a =时，函数()f x 的极小值为5，求正数b 的值；（2）若1b =，()()3F x f x x=-，且当a ≥-()1F x ≥在区间[]1,2上有解，求实数a 的取值范围.21．已知斜率为1的直线l 与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点为31,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，椭圆C的上顶点为(B .（1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线:(l y kx m m '=+≠与椭圆C 交于,M N 两点，若直线BM 与BN 的斜率之和为2，证明：l '过定点.22．已知函数121()(1)e (0)2x f x x a ax x -=---+>.（1）讨论()f x 的单调性.（2）当2a ≤时，若()f x 无最小值，求实数a 的取值范围.参考答案：1．D【分析】利用导数的运算法则以及复合函数的求导法则对各选项逐一验证.【详解】对于A 选项，()()()223cos 3cos 6cos sin x x x x x x x x x x '''+=+=+-，A 选项正确；对于B 选项，23112ln x x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，B 选项正确；对于C 选项，由复合函数的求导法则得()()sin 2cos 222cos 2x x x x ''=⋅=，C 选项正确；对于D 选项，()22sin sin sin cos sin x x x x x x x x x x x '''⋅--⎛⎫== ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选D.【点睛】本题考查导数的计算，解题的关键就是导数的运算法则以及复合函数求导法则的应用，考查计算能力，属于基础题.2．C【分析】求函数()f x 得导数，令()0f x '<解不等式得出结果即可.【详解】已知函数()()322244x f x x x x x -=-=+，则()()()2384322f x x x x x =-+=--'.由()0f x '<，解得223x <<，所以()f x 的单调递减区间为2,23⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.3．C【分析】根据()f x 的单调性与()f x '正负的关系，由函数图象分别判断函数导数的符号，结合函数单调性和极值的关系进行判断即可．【详解】解：由图象知，当2x >时，(1)()0y x f x '=-<，则()0f x '<，当12x <<时，(1)()0y x f x '=->，则()0f x '>，当2<<1x -时，(1)()0y x f x '=-<，则()0f x '>，当<2x -时，(1)()0y x f x '=->，则()0f x '<，即当2x >时，()0f x '<，当22x -<<时，()0f x '>，当<2x -时，()0f x '<，即当2x =时，函数()f x 取得极大值()2f ，当2x =-时，函数()f x 取得极小值(2)f -.故选：C.【点睛】本题考查函数极值的判断，结合函数导数图象判断函数的单调性，结合函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键.4．A【分析】求出函数()f x 的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出a 的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】()'sin f x a x =-，当1a >时，()'0f x >恒成立，即()f x 递增，但当1a =时，()'0f x ≥恒成立，()f x 也递增，因此题中应是“充分不必要条件”.故选A ．【点睛】充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法：①定义法：若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②构造命题法：“若p ，则q ”为真命题，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；③数集转化法：p ：x A ∈，q ：x B ∈，若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.5．A【详解】分析：将原问题转化为恒成立的问题，然后求解实数a 的取值范围即可.详解：由题意可得：()22'21a x x af x x x x++=++=，函数在区间()1,+∞上单调递增，则220x x a ++≥在区间()1,+∞上恒成立，即22a x x ≥--在区间()1,+∞上恒成立，二次函数22y x x =--开口向下，对称轴为14x =-，则函数在区间()1,+∞上单调递减，当1x =时，223y x x =--=-，则该函数区间()1,+∞上的值域为(),3-∞-，综上可知：实数a 的取值范围是3a ≥-.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查导函数研究函数的单调性，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．A【分析】根据题意，设()xe f x x=，对三个式子变形可得()()3f a f =，()()4f b f =，()()5f c f =，求出()f x 的导数，分析其单调性，可得()f x 的大致图象，分析可得答案．【详解】解：根据题意，设()xe f x x=，3a <且3e 3e aa =，变形可得33a e e a =，即()()3f a f =，4b <且44bbe e =，变形可得44b e e b =，即()()4f b f =，5c <且5e 5e cc =，变形可得55c e e c =，即()()5f c f =，()x e f x x =，其导数2(1)()x e x f x x -'=，在区间(0,1)上，()0f x '<，则()f x 为减函数，在区间(1,)+∞上，()0f x '>，则()f x 为增函数，其草图如图：则有01c b a <<<<，故选：A ．7．B【分析】||AB 为定值，要使ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，进而在点P 处的切线与AB 平行，设00(,)P x y ，过点P 与AB 平行的直线为l ，利用导数的几何意义求得切点坐标，得到答案．【详解】设00(,)P x y ，过点P 与AB 平行的直线为l，如图：∵直线240x y --=与抛物线2y x =相交于,A B 两点，∴||AB 为定值，要使ABP 的面积最大，只要P 到||AB 的距离最大，而P 点是抛物线的弧AOB 上的一点，∴点P 是抛物线上平行于直线||AB 的切线的切点，由图知点P 在x轴上方，y =，y '=，由题意知12AB k =，∴112k =，即01x =，∴01y =，∴(1,1)P ，故选：B ．8．B【解析】求出()f x 的导数2'1()0x bx f x x-+=<，由其存在单调递减区间可得b 的取值范围.【详解】解：由21()ln 2f x x x bx =+-，可得2'1()(0)x bx f x x x-+=>，由题意可得存在0x＞，使得2'1()0x bx f x x-+=<，即存在0x >，使得210x bx -+<，等价于1b x x>+，由对勾函数性质易得2b >，故选B.【点睛】本题主要考查利用导数及利用函数的单调性求参数，属于中档题.9．D【分析】把给出的等式变形得到()sin ()cos 0f x x f x x '->，由此联想构造辅助函数()()sin f x g x x=，由其导函数的符号得到其在(0,2π上为增函数，则(g )(6g π<)3π，整理后即可得到答案．【详解】解：因为(0,)2x π∈，所以sin 0x >，cos 0x >．由()()tan f x f x x <'，得()cos ()sin f x x f x x <'．即()sin ()cos 0f x x f x x '->．令()()sin f x g x x =，(0,2x π∈，则2()sin ()cos ()0f x x f x xg x sin x '-'=>．所以函数()()sin f x g x x =在(0,2x π∈上为增函数，则()(6g g π<)3π，即()()63sin sin63f f ππππ<，所以()()6312f f ππ<()(63f ππ<．故选：D ．【点评】本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数构造法，属中档题型．10．D【分析】原不等式化为3ln 6x kx x >-，设()()3ln ,6xg x h x kx x==-，画出函数图象，结合函数图象列不等式求解即可.【详解】由()23ln 60f x x kx x =-+>，得3ln 6xkx x>-，设()()3ln ,6xg x h x kx x ==-，()()231ln x g x x -'=，()()00,0g x x e g x x e>⇒<<⇒''所以()g x 在()0,e 的上单调递增，在(),e +∞单调递减，而()6h x kx =-的图象是一条恒过点()0,6-的直线，函数()g x 与()h x 的图象如图所示，依题意得，01m <<，若(),m n 中只有两个整数，这两个整数只能是1和2，则()()()()2233g h g h ⎧>⎪⎨≤⎪⎩，即3ln 2262ln 336k k ⎧>-⎪⎨⎪≤-⎩，解得6ln 3123ln 234k ++≤<，故k 的最小值为6ln 33+，故选：D.【点睛】方法点睛：函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．11．A【分析】根据1PF x ⊥，223PF F Q =求出点Q 的坐标，然后代入E 方程即可求出结果．【详解】依题意设()()122,,,P c y Q x y -，则221221y c a b +=，所以21b y a=；由于223PF F Q =，所以22225,,333c c b x c y a=+==-由2222221x y a b +=得222223153c b a a b⎛⎭⎫ ⎪-⎭⎛⎫ ⎝+⎪⎝=，化为222259c b a +=，所以223c a =，得e =故选：A 12．A【解析】先画出函数图象，由图可知方程()()F x f x ax =-有4个零点，只需a 小于ln y x =在区间[1,e]上的过坐标原点的切线的斜率即可，然后利用导数的几何意义求解【详解】解：根据函数()f x的解析式可知，函数的图象如下：要使方程()()F x f x ax =-有4个零点，则()f x 的图象与直线y ax =有4个不同的交点，所以只需a 小于ln y x =在区间[1,]e 上的过坐标原点的切线的斜率即可.由ln y x =，得1y x'=，设切点坐标为()00,x y ，则切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过(0,0)，所以()0001ln x x x -=-，解得0x e =，故此时切线的斜率为011x e =，故10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，结合选项知，选：A.故选：A【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系画出函数的图象，利用数形结合的方法求解13．3e【分析】根据导数的几何意义，求导后即可得到在1x =处的切线斜率.【详解】解：已知()2e x f x x =，则()()222e e e 2x x x f x x x x x =+=+'，()()121e 123e k f ∴=+='=，故答案为：3e .14．2-【分析】求导后，将1x =代入()f x 和()f x '，得到方程组求解即可.【详解】解：已知()()()212ln 212f f x x x f x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，则()()()112ln 22122f f x x x f x x ⎛⎫''=+-⋅+⋅ ⎪⎝⎭()()()()()121112412f f f f f ⎧=⎪∴⎨=-'+''⎪⎩，解得()()1211f f ⎧=-⎪⎨=-'⎪⎩，故答案为：2-.15．(,e-∞【分析】求出函数()f x 在0x ≤时的取值范围A ，集合{|}C x x A =-∈，再求出()f x 在0x >时取值范围B ，由C B ⊆可得参数范围．【详解】2251()142y x x x =++=++，因为0x ≤，所以1y ≥，（其中12x =-时，1y =，即0x ≤时，()f x 的取值范围是[1,)+∞，0x >时，()2ln f x x ax =-，2()2()a x af x a x x-'=-=，（1）0a ≤时，则()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，x →+∞时，()f x →+∞，0x →时，()f x →-∞，所以0x >时，()f x 的取值范围是(,)-∞+∞，(,1](,)-∞-⊆-∞+∞，满足题意；（2）0a >时，20x a <<时，()0f x '>，()f x 递增，2x a>时，()0f x '<，()f x 递减，所以max 22()()2ln 2f x f a a==-，因为0a >，因此同样有0x →时，()f x →-∞，这样要满足题意，必须有2()1f a ≥-，即22ln 21a -≥-，解得0a <≤，综上，a的取值范围是(-∞．故答案为：(-∞．16．214,e e ⎛⎤⎝⎦【解析】求出()y f x =的零点2，设()y g x =的零点0x ，再根据题意求出013x <<，由2e 0x x a -=，分离参数可得020e x x a =，设2()e x x h x =，利用导数求出函数的最值，确定函数的值域即可求解.【详解】函数()y f x =有唯一的零点2，由题意知函数()y g x =的零点0x 满足021x -<，即013x <<.因为020e 0x x a -=，所以020ex x a =，设2()e x x h x =，则22()e xx x h x -'=，(1,3)x ∈，当(1,2)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数；当(2,3)x ∈时，()0h x '<，()h x 是减函数，所以max 24()(2)eh x h ==，又1(1)e h =，39(3)e h =，所以实数a 的取值范围为214,e e a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故答案为：214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦.17．(1)1a =，1b =-(2)()f x 的最小值为0，最大值为12【分析】（1）求出函数()f x 的导函数，利用极值的性质列方程组，即可求解a ，b 的值；（2）由（1）可得函数()f x 及其导函数，利用导数求出()f x 的单调区间，从而求出极值与端点处的函数值，从而可得最值．【详解】（1）依题意，()232f x x ax b '=++，因为()f x 在=1x -处取得极值3，所以()1320(1)13f a b f a b ⎧-=-+=⎨-=+-='⎩，解得1a =，1b =-．此时()2321(31)(1)f x x x x x '=+-=-+，显然当1x <-和13x >时，()0f x ¢>，当113x -<<时，()0f x '<，故()f x 在()11,,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，所以()f x 在=1x -处取得极大值(1)3f -=，所以1a =，1b =-．（2）由（1）知，32()2f x x x x =+-+，()(31)(1)f x x x '=-+，当2<<1x --或123x <<时，()0f x ¢>，当113x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在[2-，1)-，1(3，2]上单调递增，在1(1,3-上单调递减，(2)0f -=，(1)3f -=，149(327f =，()212f =，所以()f x 的最小值为0，最大值为12．18．（1）±（2）2816y x =-.【解析】（1）根据题意，由||10PF =，可得6102p+=，解得8p =，再由点()06,P y ，代入即可得解；（2）2:16C y x =，设11(,)Q x y ，(,)M x y ，根据点M 为线段FQ 的中点，可得：11422x xy y +=⎧⎨=⎩，由点Q 为抛物线C 上，代入即可得解，【详解】（1）由抛物线2:2(0)C y px p =>经过点()06,P y 可得：2012y p =，又||10PF =，可得6102p+=，解得8p =，0y =±（2）由（1）知2:16C y x =，则(4,0)F ，设11(,)Q x y ，(,)M x y ，根据点M 为线段FQ 的中点，可得：11422x x y y +=⎧⎨=⎩，即11242x x y y =-⎧⎨=⎩，由点Q 为抛物线C 上，所以2(2)16(24)y x =-，整理可得点M 的轨迹方程为2816y x =-.19．（1）2ln12y x ππ=+-；（2）证明见解析.【分析】（1）求出2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭和2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭即可（2）设1()()cos g x f x x x '==+，则21()sin 0g x x x'=--<，即得()f x ¢在()0,π上递减，然后由零点存在定理可得存在0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00f x '=，然后得出()f x 的单调性即可.【详解】（1）由()sin ln 1f x x x =+-可得()1cos f x x x'=+1ln 1ln 222f πππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，22cos 22f ππππ⎛⎫'=+=⎪⎝⎭所以()f x 在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为22ln ln 1222y x y x πππππ⎛⎫-=-⇒=+- ⎪⎝⎭（2）证明：1()cos f x x x'=+，设211()()cos ()sin 0g x f x x g x x x x''==+⇒=--<()f x ¢在()0,π上递减，210,()102f f ππππ⎛⎫''=>=-+< ⎪⎝⎭由零点存在定理可知，存在0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00f x '=当()()00,,0x x f x '∈>，()f x 递增；当()()()0,,0,x x f x f x π'∈<递减所以()f x 在()0,π上存在唯一的极大值【点睛】本题考查的是导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性、极值，属于基础题.20．（1）4；（2）1,ln 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）由0a =，得到1()1f x bx x=++，求导21()f x b x '=-+，再利用极值的定义，由函数()f x 的极小值为5求解.（2）由1b =，得到2()ln 1F x a x x x =-++，[12]x ∈，，求导222222224()a a x x ax F x x x ⎛⎫++-⎪++⎝⎭'==，分2204a -≥，2204a -<讨论求得最大值求解.【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0)+∞，.当0a =时，1()1f x bx x=++，则21()f x b x '=-+，()00f x x '<⇒<()0f x x '>⇒>所以()f x在0⎛ ⎝上单调递减，()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，所以函数()f x的极小值为15f =+=，∴4b =.（2）当1b =时，2()ln 1F x a x x x=-++，[12]x ∈，，则22222222224()1a a x a x ax F x x x x x⎛⎫++- ⎪++⎝⎭'=++==.①当2204a -≥，即a -≤≤()0F x '≥，所以()F x 在[12]，上单调递增，所以max ()(2)F x F =；②当2204a -<，即a >2220(80)x ax a ++=∆=->的两根分别为1x ，2x ，则12x x a +=-，122x x =，∴10x <，20x <，所以在区间[12]，上，222()0x ax F x x ++'=>，所以()F x 在[12]，上单调递增，所以max ()(2)F x F =.综上，当a ≥-()F x 在区间[12]，上的最大值为(2)ln 221F a =+≥，∴1ln 2a -≥，所以实数a 的取值范围是1ln 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：不等式有解问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()max ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<.21．（1）12e =（2）见证明【分析】（1）设点P ，Q 的坐标，代入椭圆C 的方程，利用点差法及中点坐标公式可得a ，b 的关系，可得e ；（2）联立直线l '方程与椭圆方程，利用根与系数的关系可得M ，N 的横坐标的和与积，由直线AM 与AN 的斜率之和为2可得m 与k 的关系，再由直线系方程得答案．【详解】（1）设点()11,P x y ，()22,Q x y ，由于点A 为线段PQ 的中点所以1212232x x y y +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，又22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式作差212121212121x x y y b k a y y x x +--⋅===+-，所以2234b a =，即12e =；（2）由（1）结合上顶点B ，椭圆的方程为22143x y +=，设点()()3344,,,M x y N x y ，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，则韦达定理得，据题意可得342234283441234km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩343434341122(2(BM BN x x k k k m k m x x x x ⎛⎫+=+=+-+=+- ⎪⎝⎭代入韦达定理得2822(3)412km k m m --=-m =-所以直线l '为(y kx k x ==(，综上，直线l '过定点(.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了点差法的技巧，是中档题22．（1）当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增；当01a <<时，()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增；当1a =时，()f x 在()0,+¥上单调递增；当1a >时，()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1),(,)a +∞上单调递增.（2）1,22e ⎛⎤- ⎥⎝⎦.【解析】（1）对()f x 求导，然后对a 分类讨论分别得出()f x ¢所对应的x 的取值范围即为函数的单调增区间，()f x ¢所对应的x 的取值范围即为函数的单调减区间．（2）结合（1）中的单调性结论对函数的最小值进行讨论.对于第四种情况，得出关于a 的不等式后，需要构造新的函数分析求解.【详解】解：（1）因为121()(1)e (0)2x f x x a x ax x -=---+>，所以()1()(1)(0)x f x x a e x -'=-->.令()0f x ¢=，得x a =或1x =.①当0a ≤时，由()0f x ¢>，得1x >；由()0f x ¢<，得01x <<.则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增；②当01a <<时，由()0f x ¢>，得0x a <<或1x >；由()0f x ¢<，得1<<a x .则()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增.③当1a =时，()0f x ¢³恒成立，则()f x 在()0,+¥上单调递增.④当1a >时，由()0f x ¢>，得01x <<或x a >；由()0f x ¢<，得1x a <<.则()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1)和(,)a +∞上单调递增.综上，当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增；当01a <<时，()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增；当1a =时，()f x 在()0,+¥上单调递增；当1a >时，()f x 在()1,a 上单调递减，在(0,1)和(,)a +∞上单调递增.（2）①当0a ≤时，由（1）可知()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+¥上单调递增，则()f x 有最小值()112f =-，故0a ≤不符合题意.②当01a <<时，由（1）可知()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+¥上单调递增，因为()f x 无最小值，所以()()01f f <，即11<2a e +--，解得112e a -<<；③当1a =时，由（1）可知()f x 在()0,+¥上单调递增，所以()f x 无最小值，所以1a =符合题意；④当12a <≤时，由（1）可知()f x 在()1,a 上单调递减，在()()0,1,,a +∞上单调递增.因为()f x 无最小值，所以()()0f f a <，即2111<2a a a e e -+--，即121102a a e a e-+--<.设()()1211122x x g x ex x e -+=--<≤，则()()1112x g x e x x e-'=--<≤设()()()1112x h x g x e x x e-'==--<≤，则()110x h x e -'=->在(]1,2上恒成立.故()h x 在(]1,2上单调递增，即()g x '在(]1,2上单调递增.因为()()1110,220g g e e e''=-<=--，所以存在唯一的(]01,2x ∈，使得()00g x '=.故()g x 在()01,x 上单调递减，在(]0,2x 上单调递增.因为()()124310,22022e g g e e e e-=--=<=--<，所以()0g x <在(]1,2上恒成立，即1211<02a a ea e-+--在(]1,2恒成立，即12a <≤符合题意.综上，实数a 的取值范围为1,22e ⎛⎤- ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查分类讨论思想，首先利用函数求导公式对函数求导，然后再利用导函数大于0或者小于0讨论函数单调性，分类时一般利用()f x ¢有无解对参数进行分类．常见注意点如下：（1）对二次项系数的符号进行讨论；（2）导函数是否有零点进行讨论；（3）导函数中零点的大小进行讨论；（4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等.。
山西省忻州市岢岚县中学2020-2021学年高二下学期4月月考数学(理)试题答案
(1)依题意,函数
的定义域为
,对函数求导得
.
∵
是
的极值点,∴
,即
,得
,
于是
,
.
函数
在
上单调递增,且
,
因此当
时,
.
当
时,
,
∴
在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)当
时,
,
此时
在
上单调递增.
又
,
,故
,
在
上有唯一的解 ,且
.
当
时,
;
当
时,
.
故当
时,
取极小值,
故由
得
,解得
,
故
,
∵
,∴
,故
.
当且仅当
,即
时,等号成立,
第 20 题解析
（1）因为
，
（
），所以
，
.
猜测
，
.
（2）①n=1 时，
，结论成立.
②假设
时结论成立，即
.
那么，当
时，由
，
得
，综上所述，对一切
都有
.
第 21 题答案 见解析 第 21 题解析
(1)
的定义域为
,且
.
∵
在
处取得极值,
∴
,解得
或
(舍),
当
时,
,
;
,
,
∴函数
在
故
.
处取得极小值,
(2)
.
令
,解得
;
令
,解得
,
∴函数
的单调增区间为
山西省太原五中高二下学期4月月考(数学理)
山西省太原五中高二下学期4月月考（数学理）一、选择题（每小题只有一个正确选项；每小题4分，共40分） 1．下列求导运算正确的是A ．211)1(x x x +='+ B ．2ln 1)(log 2x x =' C ．ex x 3log 3)3(=' D ．x x x x sin 2)cos (2-=' 2．下列等于1的积分是A ．dx x ⎰10 B ．dx x ⎰+10)1( C ．dx ⎰101 D ．dx ⎰10213．一物体的运动方程为2t t s +=，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度为（ ）A.3米/秒B.5米/秒C.7米/秒D.9米/秒 4.. 一辆汽车以速度v =3t2行驶，则这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶路程为A. 31B . 1 C. 3 D. 275.曲线3()2f x x x =+-在P 处的切线平行于直线41y x =-，则P 点的坐标为 A.( 1 , 0 ) B.( 2 , 8 )C.( 1 , 0 )或(－1, －4)D.( 2 , 8 )和或(－1, －4)6．()x f '是)(x f 的导函数，()x f '的图象如右图所示，则)(x f 的图象只可能是A B C D7．函数x e xx f -=)( ()1<<b a ,则A ．)()(b f a f = B. )()(b f a f < C ．)()(b f a f > D.)(),(b f a f 大小不确定8.设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =A.在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点B.在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点 C.在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点 D.在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点9. 设12)(:23+++=mx x x x f p 在()+∞∞-,内单调递增,,34:≥m q 则p 是q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 函数F(x)=⎰-xdtt t 0)4(在[-1,5]上审核：A .有最大值0,无最小值 B.有最大值0,最小值332-C.有最小值332-,无最大值 D .既无最大值也无最小值二、填空题（把答案写在题后的横线上；每小题4分，共16分）11.函数3255y x x x =+--的单调递增区间是 ； 12．dxx ⎰--2224 = .13.一物体在力F(x)=⎩⎨⎧>+≤≤)2(,43)20(,10x x x (单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x=0处运动到x=4（单位：m ）处，则力F （x ）做的功为14. 函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则)2(f = .三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.设a 为实数，已知函数3221()(1)3f x x ax a x=-+-.（1）当a=1时，求函数()f x 的极值．（2）若方程()f x =0有三个不等实数根，求a 的取值范围．16.曲线84)(-=xxf在点A（6，4）处的切线为l（1）求切线l（2）求切线l与x 形的面积S17.设2 ()(xf x e ax=(1)讨论f（x）的单调性；(2) 若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行,证明：当[0,]f(cos)f(sin)2 2πθθθ∈-<时，18.已知函数.32)(2xxexf x-+=⑴求证:函数)(xf在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值（精确度0.2）；⑵当,1)3(25)(,212恒成立的不等式若关于时+-+≥≥xaxxfxx试求实数a的取值范围.参考答案一、选择题（每小题4分）二、填空题（每小题4分）11.),1(),35,(+∞--∞；12. 2π；13. 46 N ；14. 18 ;三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设a为实数，已知函数3221()(1)3f x x ax a x=-+-.（1）当a=1时，求函数()f x的极值．（2）若方程()f x=0有三个不等实数根，求a的取值范围．解(1)依题有321()3f x x x=-，故()()222 f'x x x x x=-=-由得()f x在0x=时取得极大值()00f=，()f x在2x=时取得极小值()423f=-.(2) 因为()[][] 222(1)(1)(1)f'x x ax a x a x a=-+-=---+，所以方程()0f'x=的两根为a－1和a+1，显然，函数()f x在x= a－1取得极大值，在x=a+1是取得极小值. 因为方程()f x=0有三个不等实根，所以(1)0,(1)0,f af a->⎧⎨+<⎩即221(2)(1)0,31(2)(1)0,3a aa a⎧+->⎪⎨⎪-+<⎩解得22a-<<且1a≠±.故a的取值范围是(2,1)(1,1)(1,2)---.16.过点A （6，4）作曲线84)(-=x x f 的切线l（1）求切线l 的方程；（2）求切线l 与x 轴以及曲线所围成的封闭图形的面积S（1）切线的方程121+=x y ；（2）面积31617.设2()(1)x f x e ax x =++， (1)讨论f （x ）的单调性；(2) 若曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线与x 轴平行.证明：当[0,]f(cos )f(sin )22πθθθ∈-<时，（Ⅰ）2'()(121)x f x e ax x ax =++++)2)(1(++=x ax e x故当a=0时，()f x 在(,2)-∞-单调减小，),2(+∞-单调增加当a ＜0时.，()f x 在(,2)-∞-单调减少，在)1,2(a --单调增加，在),1(+∞-a 单调减少. 当a=21时，.()f x 在R 上单调增加 当21>a 时，()f x 在(,2)-∞-单调增加，在)1,2(a --单调减小，在),1(+∞-a 单调增加.当210<<a 时，()f x 在)1,(a --∞单调增加，在)2,1(--a 单调减小，在),2(+∞-单调增加.（Ⅱ）2'()(121)x f x e ax x ax =++++.有条件知， '(1)0f =，故3201a a a ++=⇒=-.于是2'()(2)(2)(1)x xf x e x x e x x =--+=-++. 所以()f x 在[0,1]单调增加，故()f x 在[0,1]的最大值为(1)f e =，最小值为(0)1f =. 从而对任意1x ，2x [0,1]∈，有12()()12f x f x e -≤-<.而当[0,]2πθ∈时，cos ,sin θθ∈[0,1].从而(cos )(sin )2f f θθ-<知函数.32)(2x x e x f x -+= ⑴求证:函数)(x f 在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x 的近似值（精确度0.2）；⑵当,1)3(25)(,212恒成立的不等式若关于时+-+≥≥x a x x f x x 试求实数a 的取值范围.解（1）()()011,02300+='-=-='e f e f ， ()(),010 f f '⋅'∴令()()34-+='=x e x f x h x ，则()()[]1,0,04在x f x e x h x'∴+=' 上单调递增， ()[]10，在x f '∴上存在唯一零点，()[]1,0在x f ∴上存在唯一的极值点取区间[]1,0作为起始区间，用二分法逐次计算如下01)21(>-='e f 02)41(4<-='e f ()x f y =∴函数取得极值时，相应375.083=≈x（2）由()()()1325321325222+-+≥-++-+≥x a x x x e x a x x f x 得，即21,1212≥--≤x x e ax x ，x x e a x 1212--≤∴，令()()()2221211,121x x x e x g x x e x g x x +--='--=则令()()()()1,12112-='+--=x x e x x x x e x ϕϕ则()()⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∴'∴≥，在21,0,21x x x ϕϕ 上单调递增，()0218721 e x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∴ϕϕ，因此()()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞',21,0在故x g x g 上单调递增， 则()492211812121-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥e e g x g ，a ∴的取值范围是492-≤e a。
山西高二高中数学月考试卷带答案解析
山西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合，，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.双曲线的焦距为（）A．3B．4C．3D．43.抛物线y=1/4x2的准线方程为（）A．x=-1B．x=-1/16C．y=-1D．y=-1/164.命题“对任意的”的否定是（）A．不存在B．存在C．存在D．对任意的5.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则等于（）A．B．C．4D．6.已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点（）A．（2,0）B．（1,0）C．（0,1）D．（0，－1）7.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（）A．B．C．D．8.已知AB是抛物线的一条过焦点的弦,且|AB|=4,则AB中点C的横坐标是（）A．2B．C．D．9.椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10.椭圆与直线相交于两点，过中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．1D．211.设，分别为有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（）A．B．2C．3D．不确定12.双曲线的虚轴长为4，离心率分别是它的左右焦点，若过的直线与双曲线的左支交与、两点，且的等差中项，则等于（）A．B．C．D．8二、填空题1.若双曲线经过点，且其渐近线方程为，则此双曲线的标准方程______________．2.已知抛物线y2＝4px（p＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为．3.点在椭圆上，点到直线的最大距离和最小距离为___________．4.已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．三、解答题1.已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：双曲线的离心率；若为真，且为假，求实数的取值范围．2.已知直线经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．（1）若AF＝4，求点A的坐标；（2）求线段AB的长的最小值．3.已知双曲线的虚轴长为2，离心率为，为双曲线的两个焦点．（1）求双曲线的方程；（2）若双曲线上有一点，满足，求的面积．4.平面内动点与两定点连线的斜率之积等于，若点的轨迹为曲线，过点作斜率不为零的直线交曲线于点．（1）求曲线的方程；（2）求证：；5.如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点．（1）求抛物线的焦点F的坐标及准线的方程；（2）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值．6.点M是圆上的一个动点，过点M作MD垂直于轴，垂足为D，为线段MD的中点．（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为，若直线（其中为曲线的离心率）与曲线有两个不同的交点与且（其中为坐标原点）,求的值．山西高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.设集合，，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件【考点】充分条件与必要条件2.双曲线的焦距为（）A．3B．4C．3D．4【答案】D【解析】由方程可知，焦距【考点】双曲线方程及性质3.抛物线y=1/4x2的准线方程为（）A．x=-1B．x=-1/16C．y=-1D．y=-1/16【答案】C【解析】抛物线方程变形为，准线为【考点】抛物线方程及性质4.命题“对任意的”的否定是（）A．不存在B．存在C．存在D．对任意的【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，的否定为，所以原命题的否定为存在【考点】全称命题与特称命题5.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则等于（）A．B．C．4D．【答案】A【解析】双曲线方程变形为标准方程的形式为，由虚轴长是实轴长的2倍可得【考点】双曲线方程及性质6.已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点（）A．（2,0）B．（1,0）C．（0,1）D．（0，－1）【答案】B【解析】设动圆的圆心到直线x=-1的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=-1，所以动圆圆心到直线x=-1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）．【考点】抛物线的方程及简单性质7.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】椭圆中焦点为，结合双曲线定义可知点到的距离之差为，方程为【考点】椭圆双曲线方程及性质8.已知AB是抛物线的一条过焦点的弦,且|AB|=4,则AB中点C的横坐标是（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】设根据抛物线的定义可知【考点】抛物线的定义9.椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正方形的对角线长度相等可得【考点】椭圆方程及性质10.椭圆与直线相交于两点，过中点M与坐标原点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．1D．2【答案】A【解析】设，①，②，由AB 的中点为M可得，由M，N在椭圆上，可得两式相减可得③，把①②代入③可得③，整理可得【考点】直线与圆锥曲线的关系11.设，分别为有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（）A．B．2C．3D．不确定【答案】B【解析】设椭圆的长半轴是，双曲线的实半轴是，它们的半焦距是c，并设，根据椭圆的和双曲线的定义可得解得又，由勾股定理得，，化简可得【考点】圆锥曲线的共同特征12.双曲线的虚轴长为4，离心率分别是它的左右焦点，若过的直线与双曲线的左支交与、两点，且的等差中项，则等于（）A．B．C．D．8【答案】C【解析】由题意可知，于是，∵的等差中项，∴，∵，∴．【考点】双曲线的简单性质二、填空题1.若双曲线经过点，且其渐近线方程为，则此双曲线的标准方程______________．【答案】【解析】由双曲线渐近线方程为，所以方程可设为，代入点可得【考点】双曲线方程及性质2.已知抛物线y2＝4px（p＞0）与双曲线（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为．【答案】【解析】∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=c，∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴，设A点的纵坐标大于0，∴|AF|=2p，∴A（p，2p），∵点A在双曲线上，，∵p=c，，，化简得：，【考点】抛物线双曲线性质3.点在椭圆上，点到直线的最大距离和最小距离为___________．【答案】；【解析】设点P的坐标为（4cosθ，3sinθ），可得点P到直线3x-4y=24的当时，d取得最大值为，当时，最小值为．【考点】圆锥曲线的最值问题；直线与圆锥曲线的关系4.已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．【答案】【解析】可知，设C，．∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，，化为．，∴a的取值范围为．【考点】直线与圆锥曲线的关系三、解答题1.已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：双曲线的离心率；若为真，且为假，求实数的取值范围．【答案】或【解析】根据题意求出命题p、q为真时m的范围分别为0＜m＜5、．由p∨q为真，p∧q为假得p真q假，或p假q真，进而求出答案即可试题解析：命题为真时：，即:命题为假时:命题为真时:命题为假时: 由为真，为假可知:、一真一假①真假时:②假真时:综上所述:或【考点】1．命题的真假判断与应用；2．椭圆的定义；3．双曲线的简单性质2.已知直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． （1）若AF ＝4，求点A 的坐标； （2）求线段AB 的长的最小值． 【答案】（1）（3，）或（3，－）（2）4 【解析】（1）由y 2＝4x ，得p=2，其准线方程为x=-1，焦点F （1，0）．设A ，B．由抛物线的定义可知，，从而．由此能得到点A 的坐标；（2）分类讨论，设直线l 的方程为y=k （x-1），代入y 2＝4x 整理得，其两根为，且．由抛物线的定义可知线段AB 的长试题解析：（1）由抛物线的定义可知，AF ＝x 1＋，从而x 1＝4－1＝3． 代入y 2＝4x ，解得y 1＝±．∴点A 的坐标为（3，）或（3，－）．（2）当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k （x －1）． 与抛物线方程联立，消去y ，整理得k 2x 2－（2k 2＋4）x ＋k 2＝0， 因为直线与抛物线相交于A 、B 两点， 则k≠0，并设其两根为x 1，x 2，则 由抛物线的定义可知，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A （1，2），B （1，－2）， 此时AB ＝4，所以，AB≥4，即线段AB 的长的最小值为4． 【考点】抛物线的简单性质3.已知双曲线的虚轴长为2，离心率为，为双曲线的两个焦点．（1）求双曲线的方程；（2）若双曲线上有一点，满足，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】（1）利用双曲线的离心率，以及虚轴长，求解a ，b ，得到双曲线的方程；（2）利用双曲线的简单性质以及定义，结合余弦定理三角形的面积公式求解即可 试题解析：（1）∵ ∴ 又∴∴∴双曲线的方程为（2）由双曲线方程可知由双曲线定义有两边平方得①由余弦定理，有②由①②可得【考点】1．直线与圆锥曲线的综合问题；2．直线与圆锥曲线的关系4.平面内动点与两定点连线的斜率之积等于，若点的轨迹为曲线，过点作斜率不为零的直线交曲线于点．（1）求曲线的方程；（2）求证：；【答案】（1）．（2）详见解析【解析】（1）设动点P坐标为（x，y），当x≠±2时，由条件得：，化简得曲线E的方程；（2）设CD方程与椭圆联立，利用数量积为0，证明AC⊥AD试题解析：（1）设动点P坐标为，当时，由条件得：，化简得，故曲线E的方程为：．（2）斜率不为，所以可设方程为，与椭圆联立得：设，所以．，所以．【考点】1．轨迹方程；2．直线与圆锥曲线的关系5.如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点．（1）求抛物线的焦点F的坐标及准线的方程；（2）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值．【答案】（1）（2）8【解析】（1）根据抛物线的标准方程，可求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（2）作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C，D，求出|FA|，|FB|，即可得到结论试题解析：（1）解：设抛物线的标准方程为，则，从而因此焦点的坐标为（2，0）．又准线方程的一般式为．从而所求准线l的方程为．（2）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|．记A、B的横坐标分别为xx xz，则|FA|＝|AC|＝解得，类似地有，解得．记直线m与AB的交点为E，则，所以．故．解法二：设，，直线AB的斜率为，则直线方程为．将此式代入,得，故．记直线m与AB的交点为，则，，故直线m的方程为．令y=0,得P的横坐标故．从而为定值．【考点】1．直线与圆锥曲线的关系；2．抛物线的标准方程6.点M是圆上的一个动点，过点M作MD垂直于轴，垂足为D，为线段MD的中点．（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为，若直线（其中为曲线的离心率）与曲线有两个不同的交点与且（其中为坐标原点）,求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意点M是圆上的一个动点，过点M作MD垂直于x轴，垂足为D，P为线段MD 的中点，可得点M的坐标与点P的坐标的关系，用中点P的坐标表示出点M的坐标，然后再代入圆的方程求出点P的轨迹方程；（2）由点P的轨迹是椭圆，知．由直线l：与曲线C：有两个不同的交点A与B，知有两个解，所以-2＜m＜2．设，，由，知，由此能求出m试题解析：（Ⅰ）设P（） M（）则D（）即即为所求（Ⅱ）设、，，直线由得，整理得又，，．代入①得，满足题意，所求实数的值为【考点】1．直线与圆锥曲线的综合问题；2．轨迹方程。
山西省2024-2025学年高二上学期第二次月考试题 数学含答案
山西省2024—2025学年第一学期第二次阶段性考试题（卷）高二年级数学（答案在最后）卷面总分值150分考试时间120分钟第I 卷（客观题）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.直线10x ++=的倾斜角为（）A.π6B.5π6 C.π3D.2π32.已知m 为实数，直线()()12:220,:5210l m x y l x m y ++-=+-+=，则“12l l //”是“3m =-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（）A .1m <- B.1m < C.1m >- D.1m ≥-4.过点(1,2)的直线被圆229x y +=所截弦长最短时的直线方程是（）A.250x y +-=B.20x y -=C.230x y -+= D.20x y +=5.已知a ，b 都是正实数，且直线()2360x b y --+=与直线50bx ay +-=互相垂直，则23a b +的最小值为（）A.12B.10C.8D.256.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别为,OA BC 的中点，点G 在线段MN上，3MG GN =，若OG xOA yOB zOC =++ ，则x y z ++=（）A.118B.98C.78D.587.直线:(2)(21)340l m x m y m -++++=分别与x 轴，y 轴交于A 、B 两点，若三角形AOB 面积为5，则实数m 的解有几个（）A.B.2C.3D.48.若圆()()22:344C x y -+-=上总存在两点关于直线43120ax by ++=对称，则过圆C 外一点(),a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（）A.4B.2C.25D.27二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法一定正确的是（）A.过点(0,1)的直线方程为1y kx =+B.直线sin cos 10x y αα-+=的倾斜角为αC.若0ab >，0bc <，则直线0ax by c ++=不经过第三象限D.过()11,x y ，()22,x y 两点的直线方程为()()()()121121y y x x x x y y --=--10.已知直线:50l x y +-=与圆22:(1)2C x y -+=，若点P 为直线l 上的一个动点，下列说法正确的是（）A.直线l 与圆C 相离B.圆C 关于直线l 对称的圆的方程为22(5)(4)2x y -++=C.若点Q 为圆C 上的动点，则PQ 的取值范围为)2,+∞D.圆C 上存在两个点到直线l 的距离为32211.如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，BA BC ⊥，2PA PB PC ===，O 为AC 的中点，点M 是棱BC 上一动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥P ABC -1+B.若M 为棱BC 的中点，则异面直线PM 与AB 所成角的余弦值为77C.若PC 与平面PAM 所成角的正弦值为12，则二面角M PA C --的正弦值为3D.PM MA +的取值范围为4⎤⎥⎦第Ⅱ卷（主观题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知实数x ，y 满足1355y x =-，且23x -≤≤，则31y x -+的取值范围是__________.13.如图，已知点(8,0)A ，(0,4)B -，从点(3,0)P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路程是__________.14.已知圆C ：()()22114x y ++-=，若直线5y kx =+上总存在点P ，使得过点P 的圆C 的两条切线夹角为60o ，则实数k 的取值范围是_________四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线1l 的方程为240x y +-=，若2l 在x 轴上的截距为32，且12l l ⊥．（1）求直线1l 与2l 的交点坐标；（2）已知直线3l 经过1l 与2l 的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求3l 的方程．16.已知圆C 的圆心在直线y x =上，且过点(3,0)A ，(2,1)B -（1）求圆C 的方程；（2）若直线:4390l x y -+=与圆C 交于E 、F 两点，求线段EF 的长度.17.已知线段AB 的端点B 的坐标是(6,8)，端点A 在圆2216x y +=上运动，M 是线段AB 的中点，且直线l 过定点(1,0).（1）求点M 的轨迹方程；（2）记（1）中求得的图形为曲线E ，若直线l 与曲线E 只有一个公共点，求直线l 的方程.18.已知三棱锥P ABC -满足,,AB AC AB PB AC PC ⊥⊥⊥，且3,AP BP BC ===（1）求证：⊥AP BC ；（2）求直线BC 与平面ABP 所成角的正弦值，19.在平面直角坐标系xOy 中，已知两点()()4,0,1,0S T ，动点P 满足2PS PT =，设点P 的轨迹为C .如图，动直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B （,A B 均在x 轴上方），且180ATO BTO ∠+∠= .（1）求曲线C 的方程；（2）当A 为曲线C 与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；（3）是否存在一个定点，使得直线l 始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.山西省2024—2025学年第一学期第二次阶段性考试题（卷）高二年级数学卷面总分值150分考试时间120分钟第I卷（客观题）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】CD【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】ABD第Ⅱ卷（主观题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】0k ≥或815k ≤-．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）()2,1（2）20x y -=或250x y +-=【16题答案】【答案】（1）22(1)(1)5x y -+-=.（2）2.【17题答案】【答案】（1）()()22344x y -+-=（2）1x =或3430x y --=【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）10【19题答案】【答案】（1）224x y +=（2）122y x =-+4,0（3）存在，定点为()。
山西省高二下学期4月联考数学(理)试题(解析版)
山西省高二下学期4月联考数学（理）试题一、单选题1．设命题:0p x ∀>，||x x =，则p ⌝为（ ） A ．0x ∀>，||x x ≠ B ．00x ∃>，00x x ≠ C ．0x ∀„，||x x = D ．00x ∃„，00x x =【答案】B【解析】根据非命题的要求得解. 【详解】因为“任意”的否定是“存在”，“等于”的否定是“不等于” 故选B. 【点睛】本题考查非命题，注意区别非命题与命题的否定，属于基础题. 2．在复平面内，复数211(1)i --的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】先化简复数21111(1)2i i -=--，然后求其共轭复数，再利用复数的几何意义求解. 【详解】 因为复数21111(1)2i i -=--，其共轭复数为112i +，对应的点是11,2⎛⎫⎪⎝⎭， 所以位于第一象限. 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的概念及其几何意义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 3．已知(){}2ln 9A x y x ==-+，{}2xB y y ==，则A B =I（ ）A ．(]0,3B ．(]0,ln9C ．()3,0-D ．()0,3【答案】D【解析】求函数定义域得集合A ，求函数值域得集合B ，取交集即可得答案． 【详解】由函数y ＝ln （9﹣x 2），得9﹣x 2＞0， 即（x +3）（x ﹣3）＜0，解得：﹣3＜x ＜3， 所以集合A ＝（﹣3，3），由函数2x y =＞0，得集合B ＝（0，+∞）， 则A ∩B ＝()0,3． 故选D ． 【点睛】本题考查交集的运算及函数定义域值域的求法，属于基础题.4．已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，若324116,17a a a a +==，则218a a a +++=L （ ）A ．34B ．255C ．240D ．511【答案】B【解析】由241516a a a a ==，结合1517,1a a q +=>，求得1,a q ，再代入等比数列前n 项和求解.【详解】因为24151516,17,1a a a a a a q ==+=>， 所以151,16,2a a q ===，所以881(12)25512S ⨯-==-.故选：B 【点睛】本题主要考查等比数列的性质及其前n 项和，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5．“2m =-”是“直线()110m x y +++=与直线()2420x m y +++=互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】利用两直线垂直时它们的一般方程的系数间的关系可求m 的值. 【详解】若直线()110m x y +++=与直线()2420x m y +++=互相垂直， 则()()2140m m +++=，解得2m =-.所以“2m =-”是“直线()110m x y +++=与直线()2420x m y +++=互相垂直”的充要条件，选C. 【点睛】如果直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=， （1）若12l l ⊥，则12120A A B B +=；（2）若BDC ∠，则1212A B B A =且1212A C C A ≠或1212B C C B ≠； （2）若12,l l 重合，则1212A B B A =，1212A C C A =，1212B C C B =. 6．执行如图所示的程序框图，则输出的=S （ ）A ．14B ．310C ．13D ．514【答案】B【解析】根据输入的条件执行循环，并且每一次都要判断结论是或否，直至退出循环. 【详解】2k =，16S =，3k =，21116334S =+=+；4k =，211344410S =+=+． 【点睛】本题考查程序框图，执行循环，属于基础题.7．某大学外语系有6名志愿者，其中志愿者1A ，2A ，C 只通晓英语，志愿者1B ，2B ，3B 只通晓俄语.现从这6名志愿者中选出2名，组成一个能通晓两种语言的小组，则C被选中的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．25【答案】C【解析】先列举出从这6名志愿者中选出2名通晓两种语言的小组基本事件，再找出其中C 被选中的基本事件，再利用古典概型求解. 【详解】从这6名志愿者中选出2名通晓两种语言的小组基本事件()()()()()()()()()111213212223123,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B C B C B C B ，共有9个.其中C 被选中的基本事件有()1,B C ，()2,B C ，()3,B C ，共3个， 所以所求概率为3193=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了古典概型概率的求法，还考查了列举分析问题的能力，属于基础题. 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．16B ．8C ．83D ．163【答案】C【解析】先根据三视图画出直观图，然后在直观图中，结合三视图求得底面积和高，再代入三棱锥体积公式求解. 【详解】三视图的直观图如图所示，过点P 作平面ABC 的垂线，垂足为D ，连接,BD AD ，如图所示：结合三视图数据，得11184223323P ABC ABC V S PD -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=V . 故选：C 【点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和理解辨析的能力，属于基础题. 9．过点(2,3)作圆22(1)(1)4x y +++=的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．3430x y +-=B ．3430x y ++=C ．3430x y -+=D ．3430x y --=【答案】B【解析】求出以()2,3P ，O(-1,-1)为直径的圆的方程，然后与22(1)(1)4x y +++=相减得到的方程即为所求. 【详解】因为以()2,3P ，O(-1,-1)为直径的圆的方程为：22125()(1)24x y -+-=与22(1)(1)4x y +++=相减： 化简得3430x y ++=. 即为直线AB 的方程. 故选：B 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10．将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 …则在表中数字2019出现在（ ）A ．第44行第82列B ．第45行第82列C ．第44行第83列D ．第45行第83列 【答案】D【解析】观察数阵的规律，每行的最后一个数分别是1，4，9，16，…，可归纳出第n 行的最后一个数是2n ，然后根据2019，找平方数是2019附近的正整数即可. 【详解】因为每行的最后一个数分别是1，4，9，16，…， 可归纳出第n 行的最后一个数是2n ， 因为22441936,452025==，所以2019出现在第45行，又2019193683-=， 所以2019出现在第45行第83列. 故选：D 【点睛】本题主要考查数列的应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 11．已知函数()*11()8sin sin 2N 222f x x x ππωπωω⎛⎫⎛⎫=++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间11,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．将函数()f x 的图象向左平移16个单位长度，再向下平移2个单位长度．得到函数()g x 的图象，且当1,3x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()[2,4]g x ∈-，则a 的取值范围是（ ）A ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．24,33⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据正弦的二倍角化简，再由函数的单调性和值域求解. 【详解】将11()8sin sin 2222f x x x ππωπω⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简，得()4sin()2f x x πω=+， 由已知可得3242ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩…„，则32ω„．因为*N ω∈，所以1ω=．所以()4sin 6g x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当1,3x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，,666x a πππππ⎛⎫⎡⎤+∈-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又()[2,4]g x ∈-，结合正弦函数的图象可得7266a ππππ+剟，所以113a 剟． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换和函数的单调性和值域，属于基础题.12．已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点M （-a ，0），N （0，b ），点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅u u u v u u u u v取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则21S S =( )A ．B ．4C ．D ．8 【答案】B【解析】根据离心率求得ba的值，由此求得线段MN 所在直线方程，设出P 点的坐标，代入12PF PF ⋅u u u v u u u u v ，利用二次函数求最值的方法求得12PF PF ⋅u u u v u u u u v 取得最小值和最大值时对应的P 点的纵坐标，根据面积公式求得面积的比值. 【详解】由于双曲线的离心率为2c a ==，故b a =所以直线MN的方程为)y x a =+，设()[](),0P t t a ∈-，焦点坐标为()()12,0,,0F c F c -，将12,,P F F 坐标代入12PF PF ⋅u u u v u u u u v 并化简得22313444t a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由于[],0t a ∈-，故当34t a =-时取得最小值，此时34P y a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭；当0t =时取得最大值，此时P y =.故214S S ==.所以选B. 【点睛】本小题主要考查双曲线的离心率，考查平面向量的数量积，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.二、填空题13．已知|z |=zz 的虚部是________.【答案】【解析】根据z()z bi b R =∈，然后根据|z |=.【详解】因为z()z bi b R =∈，又因为|z |=所以225b +=，解得b = 故z的虚部为.故答案为：【点睛】本题主要考查复数的概念和运算，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.14．若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =-的最小值为______．【答案】1-【解析】画出可行域，通过向上平移基准直线230x y -=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数z 2x 3y =-在点()1,1A 处取得最小值，且最小值为231z =-=-.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15．已知幂函数()23()33m f x m m x +=-+为偶函数，则22log mm +=_________.【答案】2【解析】根据函数()23()33m f x m m x +=-+为幂函数，由2331m m -+=，求得m ，再根据()f x 为偶函数求解. 【详解】因为函数()23()33m f x m m x +=-+为幂函数，所以2331m m -+=，解得1m =或2m =， 又因为()f x 为偶函数， 所以1,m =.所以22log 2mm +=，故答案为：2 【点睛】本题主要考查幂函数的概念及性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 16．体积为43的三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，2PA =，2ABC π∠=，则球O 的表面积的最小值为_________.【答案】12π【解析】根据球的直径为PC 的长，即为补成的长方体的体对角线的长，再根据PA ⊥平面ABC ，2PA =，2ABC π∠=，111423323P ABC ABC V S PA AB BC -=⨯=⨯⨯⨯⨯=V ，求得4AB BC ⨯=，再由22142R AB BC =++，利用基本不等式求解. 【详解】 如图所示：因为PA ⊥平面ABC ，2PA =，2ABC π∠=，所以111423323P ABC ABC V S PA AB BC -=⨯=⨯⨯⨯⨯=V ， 解得4AB BC ⨯=，设外接球的半径为R ，球的直径为PC 的长， 则2211424322R AB BC AB BC =++⨯+=… 当且仅当2AB BC ==时，取等号.所以2412S R ππ=球….所以球O 的表面积的最小值为12π. 故答案为：12π 【点睛】本题主要考查球有关的组合体问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．已知曲线2y x =与直线32y x =-所围成的平面图形的面积为a . （1）求a 的值； （2）求函数sin ()xg x x=的图象在6x a π=处的切线l 的方程. 【答案】（1）16；（2）0x y ππ+-= 【解析】（1）由232y x y x ⎧=⎨=-⎩得1x =或2x =，再利用定积分求解.（2）求导2cos sin ()x x xg x x-'=，由6a ππ=，求导直线l 的斜率和()0π=g ，写出切线方程. 【详解】（1）由232y x y x ⎧=⎨=-⎩得1x =或2x =，所以()2122321311322236a x x dx x x x ⎛⎫=⎰--=--= ⎪⎝⎭.（2）2cos sin ()x x xg x x -'=，因为6a ππ=，所以直线l 的斜率1()k g ππ'==-，而()0π=g ，所以l 的方程为0x y ππ+-=. 【点睛】本题主要考查定积分的应用和导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin 4cos2B CA +=.（1）求tan A ；（2）若10b c +=，2sin 8cos a B b A =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）43；（2）8. 【解析】(1) 由题设及222A B C π++=，得2sin 4sin 2A A =，化简得到1tan 22A =，再由二倍角公式可得tan A ；（2）由4tan 3A =，得4sin 5A =，3cos 5A =，由正弦定理得到6a =，再结合余弦定理得到20bc =，即可得解. 【详解】（1）由题设及222A B C π++=，得2sin 4sin 2AA =， 故22sin cos 4sin 222A A A =， 整理得1tan 22A =，所以22tan42tan 31tan 2A A A ==-. （2）由4tan 3A =，得4sin 5A =，3cos 5A =，由2sin 8cos a B b A =，得sin sin 8sin cos a A B B A =，所以6a =. 由余弦定理及10b c +=，得2222cos a b c bc A =+- ()()221cos b c bc A =+-+，336100215bc ⎛⎫=-⨯⨯+ ⎪⎝⎭，所以20bc =，故1sin 82ABC S bc A ∆==. 【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答 19．已知直线():400l x y m m -+=>与抛物线()2:20C y px p =>交于A ，B 两点，已知弦AB 的中点的纵坐标为2． （1）求p ；（2）直线():4l y m x '=-与抛物线C 交于M ，N 两点，求MN 的取值范围． 【答案】（1）8p =（2）()32,+∞ 【解析】（1）联立l 与C 的方程，得出122y y +即可 （2）联立l '与C 的方程得出M ，N 两点的横坐标之和，然后用m 表示出MN ，运用函数的知识求出范围即可 【详解】解：（1）设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立l 与C 的方程得220y py pm -+=， 则12224y y p+==， 即8p =．（2）直线l '经过C 的焦点（4，0），设()33,M x y ，()11,N x y ，则31MN x x p =++． 联立()2416y m x y x⎧=-⎨=⎩，得()2222816160m x m x m -++=，则342168x x m +=+． 因为()2864640p pm m --=->，且0m >，所以01m <<． 所以342161632MN x x p m=++=+>． 从而MN 的取值范围为()32,+∞． 【点睛】要注意31MN x x p =++，比用弦长公式求MN 计算量要小些.20．在如图所示的多面体ABCDEF 中，112EF BC ==，且//EF BC ，四边形ABCD 为正方形，ABE △为等边三角形，平面ABE ⊥平面ABCD .（1）求异面直线FD 与CE 所成角的余弦值； （2）求二面角A ED B --的正弦值. 【答案】（1）105；（2）427【解析】（1）分别取,AB BD 的中点,O M ，连接,,EO OM FM ，由AE EB =，得EO AB ⊥，根据平面ABE ⊥平面ABCD ，得到EO ⊥平面ABCD .然后以O 为坐标原点，分别以,,OA OM OE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求得向量,FD CE u u u r u u u u r 的坐标，代入线线角的向量公式cos ,||||FD CE FD CE FD CE ⋅〈〉=u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r 求解.（2）在（1）的坐标系下，分别求得平面ADE 和平面BDE 的一个法向量为，代入面面角的向量公式cos ,||||m nm n m n ⋅〈〉=u r ru r r u r r 求解. 【详解】分别取,AB BD 的中点,O M ，连接,,EO OM FM ， 因为AE EB =，所以EO AB ⊥.因为平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE I 平面ABCD AB =， 所以EO ⊥平面ABCD . 又因为//OM AD ，且11,//,22OM AD EF AD EF AD ==， 所以//EF OM ，且EF OM =，则四边形EOMF 为平行四边形，故//FM EO ， 所以FM ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，分别以,,OA OM OE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题意可得(1,0,0),3),(1,2,0),(1,0,0),3),(1,2,0)A E D B F C --，（1）因为(0,1,3),(1,3)FD CE ==-u u u r u u u r，所以10cos ,||||FD CE FD CE FD CE ⋅〈〉==u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r则异面直线FD 与CE 10（2）(3),(1,2,3),(1,0,3)AE ED EB =-==-u u u r u u u r u u u r，设平面ADE 的法向量为()111,,n x y z =r， 则00n AE n ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即1111130230x z x y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩， 令13z =113,0x y ==.于是3)n =r.设平面BDE 的法向量为()222,,m x y z =u r，则00m EB m ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即2222230230x z x y z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令23z =223,3x y =-=.于是(3)m =-u r.所以7cos ,7||||m n m n m n ⋅〈〉==-u r ru r r u r r .所以二面角A ED B --的正弦值为427. 【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和线面角，面面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和空间想象和运算求解的能力，属于中档题.21．已知函数3212f x xlnx ax ax =+-（），a R ∈. （1）当0a =时，求f x （）的单调区间；（2）若函数f x g x x=（）（）存在两个极值点1x ，2x ，求12g x g x +（）（）的取值范围.【答案】（1）函数f x （）在10e （，）递减，在1e ∞+（，）递增；（2）34ln ∞---（，）【解析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出a 的范围，得到()()12()t a g x g x =+的解析式，结合函数的单调性求出其范围即可. 【详解】（1）当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+，令()0f x '<，解得：10x e<<， 令()0f x '>，解得：1x e>， 故函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增； （2）2()1()ln (0)2f xg x x ax ax x x ==+->， 21()ax ax g x x'-+=， 由题意知：12,x x 是方程()0g x '=的两个不相等的正实根， 即12,x x 是方程210ax ax -+=的两个不相等的正实根，故240,0,a a a ⎧∆=->⎨>⎩，解得：4a >，又121x x =+，121x x a =，()()12()t a g x g x =+Q2211122211ln ln 22ax ax x ax ax x =-++-+ ()()()21212121212ln 2a x x x x a x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦1ln 12a a =---，显然，'11()02t a a =--<在4a >恒成立，∴函数单调减函数，故()(4)3ln 4t a t <=--，故()()12g x g x +的范围是(,3ln 4)-∞--. 【点睛】本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题.22．设12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，12F PF △的面积为234a .（1）求椭圆离心率e ；（2）设AB 是椭圆垂直于x 轴的弦，C 的坐标为(3,0)，直线BC 与椭圆交于点E ，若直线AE 恒过定点4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，求椭圆的方程.【答案】（1）12；（2）22143x y +=【解析】（1）余弦定理得：()222212121212(2)3c PF PF PF PF PF PF PF PF =+-⋅=+-，解得21243PF PF b ⋅=，再根据正弦定理结合12F PF △23，由122121332F PF S PF PF =⨯⨯=V 求解.（2）由（1）可设椭圆的方程为2222143x y c c+=，同时设AE 的方程为y kx m =+，联立椭圆的方程与直线AE 的方程， 得()22223484120kxkmx m c +++-=，再根据,,B E C 三点共线，则有BC EC k k =，得到243m c k =-，代入直线AE 的方程，求得直线过的定点即可. 【详解】（1）由余弦定理得：()222212121212(2)3c PF PF PF PF PF PF PF PF =+-⋅=+-，所以21243PF PF b ⋅=，故1221212F PF S PF PF =⨯⨯=V ，22=，得2234a b =，故12e ==.（2）由（1）可知椭圆的方程为2222143x y c c+=，设AE 的方程为y kx m =+，设()()()112211,,,,,A x y E x y B x y -， 联立椭圆的方程与直线AE 的方程， 得()22223484120kxkmx m c +++-=221212228412,3434km m c x x x x k k --+==++ 又,,B E C 三点共线，1212,33BC EC y y k k x x -==--， 所以1212,33y y x x -=--， 所以()()()()2112330,kx m x kx m x +-++-= 所以()12122(3)60kx x m k x x m +-+-=所以222241282(3)603434m c kmk m k m k k--+--=++，解得243m c k =-，于是直线AE 的方程为243y kx c k =-， 所以直线过定点24,03c ⎛⎫⎪⎝⎭，于是1c =， 故椭圆方程为22143x y +=.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质和直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
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山西省祁县中学2017-2018学年高二数学4月月考试题 理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数2+3i 的共轭复数是（ ）A. -2+3iB. 2-3iC. -2-3iD. 3-2i 2.下列函数中，x ＝0是其极值点的函数是( )A ．f(x)＝－cosxB ．f(x)＝－x 3C ．f(x)＝sinx －xD ．f(x)＝1x3.下面使用类比推理，得到的结论正确的是( ） A.直线a,b,c,若a//b,b//c,则a//c.类比推出:向量,,a b c ，若//,//a b b c ，则//a c . B.同一平面内,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a//b. 类比推出:空间中,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a//b. C.以点(0,0)为圆心,r 为半径的圆的方程为222x y r +=.类比推出:以点(0,0,0)为球心,r 为半径的球面的方程为2222x y z r ++=. D.实数,a b ,若方程20x ax b ++=有实数根,则24a b ≥.类比推出:复数,a b ,若方程20x ax b ++=有实数根,则24a b ≥.4.已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c ∈{0,1,2,3,4}，则不同的二次函数的个数共有( ) A ．125个 B ．60个 C ．100个 D ．48个5.下面是一段演绎推理：大前提：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线； 小前提：已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α； 结论：所以直线b ∥直线a. 在这个推理中( )A ．大前提正确，结论错误B ．大前提错误，结论错误C ．大、小前提正确，只有结论错误D ．小前提与结论都是错误的6.如果曲线()y f x =在点00(,())x f x处的切线方程为ln 30x y +=,那么（ ） A. 0()0f x '< B. 0()0f x '> C.0()0f x '= D. ()f x '在0x x =处不存在 7.已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是( )8.由直线12x =，2x =，曲线1y x =及x 轴所围成的图形的面积是（ ）A ．174B ．154C ．1ln 22D ．2ln 29.用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设，否定“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”时正确的反设为 ( ) A. 自然数,,a b c 都是奇数B. 自然数,,a b c 都是偶数C. 自然数,,a b c 至少有两个偶数或都是奇数D. 自然数,,a b c 至少有两个偶数 10. 若关于x 的方程x 3－3x ＋m ＝0在[0,2]上有根，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－2,0] B ．[0,2] C ．[－2,2] D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)11.若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于（ ） A ．74-或25-64 B ．1-或25-64 C ．74-或7 D ．1-或21412. 以圆x 2＋y 2－2x －2y －1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为( )A ．84B ．78C ．81D ．76 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.若复数1(1)z m m i =++-为纯虚数，则实数m =____________. 14.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花， 要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．15.0cos()cos66limx x xππ∆→+∆-∆的值为 ___ . 16.已知函数y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x∈（－∞，0）时不等式f （x ）＋xf′（x ）<0成立，若a ＝30.3·f（30.3），b ＝(log π3）)3(log π⋅f ， c ＝(log 391)·f (log 391).则a ，b ，c 的大小关系是________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分） 已知3211()(4),xf x t dt t =-⎰求)()1(i f i f ⋅-的值（其中i 为虚数单位）18.（本小题满分12分）已知二次函数2()3f x ax bx =+-在1x =处取得极值，且在(0,3)-点处的切线与直线20x y +=平行．（1）求()f x 的解析式； （2）求函数()()4g x xf x x =+的单调递增区间．19.（本小题满分12分）从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问： （1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）在（1）中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？（3）在（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ （4）在（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？ （答题要求：先列式，后计算 , 结果用具体数字表示．）20.（本小题满分12分） 已知:当*n N ∈时，有1111111111,2342121232n n S T n n n n n n=-+-++-=+++-+++； （1）求1212,,,;S S T T数学（理）试题共4页 第3页（2）猜想n S 与n T 的大小关系，并用数学归纳法证明.21.（本小题满分12分） （1）（用综合法证明）已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A 、B 、C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，证明：△ABC 为等边三角形。
（2）（用分析法证明）设a ，b ，c 为一个三角形的三边，s ＝12(a ＋b ＋c)，且s 2＝2ab ，试证：s<2a.22.（本小题满分12分）设函数()1,.xf x ae x a R =--∈（1）当(0,)x ∈+∞时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（2）求证：当(0,)x ∈+∞时，1ln 2x e xx ->.答案一、选择题 BACCBA BDCCBD 二、填空题 —1 72 21- b<a<c 三、解答题17.解：44111()()|2xf x t x tx =+=+-………………………………………3分 4111(1)(1)2122if i i i -=-+-=-+-…………………………………5分41()21f i i i i=+-=--…………………………………………………7分(1)()65f i f i i -=+……………………………………………………10分18.解：（Ⅰ）由2()3f x ax bx =+-，可得'()2f x ax b =+．由题设有''(1)0,(0) 2.f f ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 即20,2.a b b +=⎧⎨=-⎩ 解得1a =，2b =-．所以2()23f x x x =--．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 （Ⅱ）由题意得32()()42g x xf x x x x x =+=-+，所以2()341(31)(1)g x x x x x '=-+=--．令()0g x '=，得11x =，21x =．所以函数()g x 的单调递增区间为(,)3-∞，(1,)+∞.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分19. 解:（Ⅰ）347457100800C C A =个．(Ⅱ)3453455314400C C A A =个．(Ⅲ)34342453425760C C A A A =个．(Ⅳ)43354528800A C A =个．（每小题3分，结果正确即可，没有中间分） 20.解: （Ⅰ）121111171,1,2223412S S =-==-+-= 1211117,;112212212T T ===+=++⨯……………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可以猜想n n S T =,…………………………………………5分下面用数学归纳法进行证明:①1n =时, 由（Ⅰ）知等式显然成立；…………………………………………6分 ②假设当(*)n k k N =∈时等式成立,即k k S T =,…………………………………………7分1111112(1)12(1)212(1)1111111111111232212(1)2322112(1)11111232212(1).k k k k S S T k k k k k k k k k k k k k k k k T k k k k k ++=+-=+-+-+++=+++++-=+++++-++++++++++=+∴++++=++++ 这就是说,当1n k =+时等式成立. …………………………………………11分综合①②可知,猜想n n S T =成立. …………………………………………12分 21. 证明 （1）因为A 、B 、C 成等差数列，所以C A B +=2 由π=++C B A ，所以3π=B （2分）因为a ，b ，c 成等比数列，所以ac b =2由余弦定理得ac c a B ac c a b -+=-+=22222cos 2所以ac c a ac -+=22即0)(2=-c a 所以c a = （4分）所以C A =，又3π=B ，所以3π===C B A所以△ABC 为等边三角形。
（6分）（2）要证s<2a ，由于s 2＝2ab ，所以只需证s<s2b，即证b<s. （8分）因为s ＝12(a ＋b ＋c)，所以只需证2b<a ＋b ＋c ，即证b<a ＋c. （10分）由于a ，b ，c 为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立． （12分）22. （Ⅰ）解:由题设知1x x a e +>在(0,)+∞上恒成立，设1()xx g x e +=…………2分 则当0x ≥时，'()0x xg x e=-≤ 即()g x 在[0,)+∞上为减函数∴当(0,)x ∈+∞时，()(0)1g x g <=，……………………4分 ∴1a ≥……………………6分（Ⅱ）证明：由题设知21ln 1(0)2xx x e x e xe x x ->⇔->>，设2()1x x h x e xe =-- 由（Ⅰ）知:当1a =时，()10x f x e x =-->即10(0)xe x x -->>恒成立，∴当x ∈(0，＋∞)时，222222'()(1)0xxxxx x xh x e e e e e =--=-->即()h x 在(0,)+∞上为增函数，此时有()(0)0h x h >=，即210xxe xe -->∴当x ∈(0，＋∞)时，1ln 2x e xx ->……………………12分。