第二节：裂纹尖端的应力场
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02--断裂力学-I-II-III裂尖场
断裂力学简介研究内容断裂力学分类断裂力学分类线弹性断裂力学弹塑性断裂力学微观断裂力学线弹性断裂力学弹塑性断裂力学微观断裂力学2裂纹的分类断裂发生破坏的几个阶段与断裂力学应用断裂发生破坏的几个阶段与断裂力学应用主要应力分量iii型反平面剪切问题根据复变函数理论任何解析函数的实部和虚部都满足laplace方程它们构成共轭的调和函数
z C2 z
C2 A2 B2i
C1,C2为待定复常数
0为实常数
代入裂纹上下表面（ ）的应力自由边界条 件，可得：
22 i 12 C1 r 1ei ( 1) C1 r 1e i ( 1)
C1 1 r 1ei ( 1) C2 r 1ei ( 1) 0
和 为解析函数
Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题
易证：
11 22 2 m 2 ( z ) ( z ) 4 Re ( z )
22 11 2i12 2 z ( z) ( z)
22 i12 ( z) ( z) z ( z) ( z)
平面问题 u u ( x1, x2 ) ，应变分量为：
(u , u , )
1 2
线弹性本构关系为：
平衡方程为： 变形协调方程为：
1 1 3 ( ) E 2 4
x
zy zy
K III cos 2 2 r K III sin 2 2 r
其中，K III S y a
线弹性断裂力学
均匀受载含中心裂纹无限大板的裂纹尖端附近 位移场（I-II混合型裂纹）：
K II r 2 cos 1 2sin 2 2 2 2 r 2 sin 1 2 cos 2 2
z C2 z
C2 A2 B2i
C1,C2为待定复常数
0为实常数
代入裂纹上下表面（ ）的应力自由边界条 件，可得：
22 i 12 C1 r 1ei ( 1) C1 r 1e i ( 1)
C1 1 r 1ei ( 1) C2 r 1ei ( 1) 0
和 为解析函数
Ⅰ型和Ⅱ型裂纹问题
易证：
11 22 2 m 2 ( z ) ( z ) 4 Re ( z )
22 11 2i12 2 z ( z) ( z)
22 i12 ( z) ( z) z ( z) ( z)
平面问题 u u ( x1, x2 ) ，应变分量为：
(u , u , )
1 2
线弹性本构关系为：
平衡方程为： 变形协调方程为：
1 1 3 ( ) E 2 4
x
zy zy
K III cos 2 2 r K III sin 2 2 r
其中，K III S y a
线弹性断裂力学
均匀受载含中心裂纹无限大板的裂纹尖端附近 位移场（I-II混合型裂纹）：
K II r 2 cos 1 2sin 2 2 2 2 r 2 sin 1 2 cos 2 2
断裂力学
（2）几何方程
1 x ( x y) E 1 y ( y x) E 2(1 ) xy xy E
（4）相容方程
u x x v y y v u xy x y
4 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
k
结构为何破坏？
存在裂纹
（2） 研究对象与任务
定义： 断裂力学是研究带裂纹体的强度和裂纹扩展规律的一门学科。 任务： 1) 研究裂纹尖端附近的应力变化。 2) 掌握裂纹在荷载作用下的扩展规律。 3) 了解带裂纹构件的承载能力。 4) 提出抗断设计的方法，保证构件安全。
断裂力学的发展为强度设计打开了新领域，但并不能完全代替传统 的强度设计理论。
1.2 材料断裂韧度
（1）脆性断裂与韧性断裂
要区分两种不同的断裂需要首先了解什么是脆性,什么是韧性。 韧性（度）是指材料在断裂前的弹塑性变形中吸收能量的能力。 韧度高的材料不易断裂。比如低强度钢在断裂前往往有大量的塑性 变形，颈缩。可容易产生塑性变形的材料并不一定韧度高。如金、 银很容易断裂，是因为强度太低，吸收能量有限。把韧性低的材料 称为脆性材料，如玻璃、粉笔。 脆性断裂：荷载与变形量是线性关系（非线性段很小）。起裂点与失 稳点非常接近。如图，裂纹扩展后荷载迅速下降，断裂过程很快结束。 从实验现象上看脆断的断口比较平坦，基本与轴线垂直。 韧性断裂： 韧性断裂有较长的非线性关系（即先早已进入塑性阶段）。 启裂后又有一段缓慢的扩展时间，除外荷载增加到失稳点否则不失稳。 实验试件切口根部发生塑性变形，剩余面积变小，端口可能是锯齿型。
1) 2) 3)
Z的共轭复数:
z x iy
z1 z 2 z1 z 2
cos i sin
1 x ( x y) E 1 y ( y x) E 2(1 ) xy xy E
（4）相容方程
u x x v y y v u xy x y
4 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
k
结构为何破坏？
存在裂纹
（2） 研究对象与任务
定义： 断裂力学是研究带裂纹体的强度和裂纹扩展规律的一门学科。 任务： 1) 研究裂纹尖端附近的应力变化。 2) 掌握裂纹在荷载作用下的扩展规律。 3) 了解带裂纹构件的承载能力。 4) 提出抗断设计的方法，保证构件安全。
断裂力学的发展为强度设计打开了新领域，但并不能完全代替传统 的强度设计理论。
1.2 材料断裂韧度
（1）脆性断裂与韧性断裂
要区分两种不同的断裂需要首先了解什么是脆性,什么是韧性。 韧性（度）是指材料在断裂前的弹塑性变形中吸收能量的能力。 韧度高的材料不易断裂。比如低强度钢在断裂前往往有大量的塑性 变形，颈缩。可容易产生塑性变形的材料并不一定韧度高。如金、 银很容易断裂，是因为强度太低，吸收能量有限。把韧性低的材料 称为脆性材料，如玻璃、粉笔。 脆性断裂：荷载与变形量是线性关系（非线性段很小）。起裂点与失 稳点非常接近。如图，裂纹扩展后荷载迅速下降，断裂过程很快结束。 从实验现象上看脆断的断口比较平坦，基本与轴线垂直。 韧性断裂： 韧性断裂有较长的非线性关系（即先早已进入塑性阶段）。 启裂后又有一段缓慢的扩展时间，除外荷载增加到失稳点否则不失稳。 实验试件切口根部发生塑性变形，剩余面积变小，端口可能是锯齿型。
1) 2) 3)
Z的共轭复数:
z x iy
z1 z 2 z1 z 2
cos i sin
1-2第二节 裂纹尖端场
λn + 1 > 0
故
λn = − ,0, ,1,...
1 2
1 2
当 λn = −
1 2
1/ 2 u1 K II r sin(θ / 2)[κ + 1 + 2 cos 2 (θ / 2)] = u 2 2µ 2π − cos(θ / 2)[κ − 1 − 2 sin 2 (θ / 2)]
2 2
代入裂纹面的边界条件 C1n = C3n = 0 (λn + 1)(λn + 2)[C2 n cos(λn + 1)π + C4 n cos λnπ ] = 0
+
1 ∂U r ∂r
− (λn + 1)[(λn + 2)C2 n sin(λn + 1)π + λnC4 n sin λnπ ] = 0
σ rr − cos(3θ / 2) + 5 cos(θ / 2) KI 1 σ θθ = cos(3θ / 2) + 3 cos(θ / 2) 2πr 4 σ sin(θ / 2) + sin(3θ / 2) rθ
σ rr − 5 sin(θ / 2) + 3 sin(3θ / 2) K II 1 σ θθ = − 3 sin(θ / 2) − 3 sin(3θ / 2) 2πr 4 σ cos(θ / 2) + 3 cos(3θ / 2) rθ
n
在裂纹面
σ 32 θ = ±π = 0
An e
± i 2 λn π
− An = 0
e i 4 λ n π = 1 ⇔ λn = n / 2 n = 0， 1， 2 K ± ,±
故
λn = − ,0, ,1,...
1 2
1 2
当 λn = −
1 2
1/ 2 u1 K II r sin(θ / 2)[κ + 1 + 2 cos 2 (θ / 2)] = u 2 2µ 2π − cos(θ / 2)[κ − 1 − 2 sin 2 (θ / 2)]
2 2
代入裂纹面的边界条件 C1n = C3n = 0 (λn + 1)(λn + 2)[C2 n cos(λn + 1)π + C4 n cos λnπ ] = 0
+
1 ∂U r ∂r
− (λn + 1)[(λn + 2)C2 n sin(λn + 1)π + λnC4 n sin λnπ ] = 0
σ rr − cos(3θ / 2) + 5 cos(θ / 2) KI 1 σ θθ = cos(3θ / 2) + 3 cos(θ / 2) 2πr 4 σ sin(θ / 2) + sin(3θ / 2) rθ
σ rr − 5 sin(θ / 2) + 3 sin(3θ / 2) K II 1 σ θθ = − 3 sin(θ / 2) − 3 sin(3θ / 2) 2πr 4 σ cos(θ / 2) + 3 cos(3θ / 2) rθ
n
在裂纹面
σ 32 θ = ±π = 0
An e
± i 2 λn π
− An = 0
e i 4 λ n π = 1 ⇔ λn = n / 2 n = 0， 1， 2 K ± ,±
断裂力学——2Griffith 理论(1)
13
Griffith理论
二、Griffith理论 1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题 时，将Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith裂纹。
Griffith研究了如图所示厚度为B的薄平板。 上、下端受到均匀拉应力作用，将板拉长 后，固定两端，构成能量封闭系统。
14
12
Griffith理论
一、动机 两个矛盾的事实
The stress needed to fracture bulk glass is around 100 MPa. The theoretical stress needed for breaking atomic bonds is approximately 10,000 MPa experiments on glass fibers that Griffith himself conducted suggested that the fracture stress increases as the fiber diameter decreases. –尺寸相关性
6
C. E. Inglis
Department of Engineering Head of Department 1919-43
He carried the largest teaching load, covering the subjects : statics, dynamics, theory of structures, materials and drawing, balancing engines, girder design and reinforced concretE. Inglis
A Mathematical Treatise on Vibrations in Railway Bridges. By C. E. Inglis. Cambridge, University Press, and New York, Macmillan, 1934. 203 pp. and 65 figures.
裂纹板尖端应力场
结构的几何参数、边界条件而变化）；r＜＜a。
。
Tianjin University
I型裂纹尖端的应力场
对于I型应力场中的给定点(r,θ) ，其应力场方程
一般式可写成通式:
结论：
ij
KI
(2r)1/ 2
fij ( )
（1） ij1 r ，故当r→0时，ij ，称为应力具有 1 r 的
对无限大板，中心有一长为2a的裂纹尖端位移场：
u KII 4G
r
2
2k
3
sin
2
sin 3
2
KII
4G
r
2
2k
3 cos
2
cos
3
2
w 0(平面应变)
w
E
(
x
y
)dz(平面应力)
KII a
E
(
x
y
)dz(平面应力)
3
其中：k 1
平面应力
3 4 平面应变
Tianjin University
I型裂纹尖端的应力场
2.有限尖端半径的裂纹端部区域的应力场:
x y xy
KI
2
r
cos
2
1
sin
2
sin
3
2
奇异性。只要是I型裂纹问题裂尖区域的应力场都具有 相同的奇异性，它远比其它附加项要大得多。
（2）应力分量由两部分组成：一部分是关于场分布的描 述，它随点的坐标而变化，通过的奇异性及角分布函fij 数 来体现；另一部分是关于场强度的描述，由应力强度因
断裂力学3裂纹尖端应力场和位移场计算
❖ K场内的位移与 成线性比例关系。
25
线弹性裂尖场特点
❖ 三种情况下的K场有相似的形式，分别由应力强度 因子决定着其场的强度。SIF取决于外加载荷，而 且与构件几何、裂纹尺寸有关，但是与( )坐标 无关。在K场范围内，应力和应变均正比于SIF，所 以SIF是裂纹尖端附近应力、应变场强度的表征， 是描述裂尖场强度的参数。
应力强度因子
——名义应力，即裂纹位置上按无裂纹计算的应力 ——裂纹尺寸，即裂纹长或深
——形状系数，与裂纹大小、位置有关 应力强度因子单位：N.m-3/2
28
应力强度因子
鉴于应力强度因子的重要性，在断裂力学这门科学近半个 世纪的快速发展中，应力强度因子的分析计算一直是一个 经久不衰的研究课题，这可从这方面的专著（如二十世纪 七十年代Sih的专著和近期的专著）和专门的应力强度因子 手册可见一斑。从研究方法上，从解析的Westergaard stress function、 Muskhelishvili stress function 到解 析的或半解析的Green Function、Singular Integral Equation、Conforming Mapping（保形映射）, 及数值 方法如Boundary Collocation Method， Finite Element Method (有限元法)和Boundary Element Method (边界元法)。
23
通过前面的推导，各种类型裂尖应力和来自移场可表示为若上标写成II、III，代表II型或III型裂纹。 裂纹尖端应力场是渐进解，仅仅适合于裂纹尖端附近
24
线弹性裂尖场特点
❖ 三种变形情况下裂纹尖端应力场和应变场都具有奇异 性，即在裂纹尖端处，应力和应变为无穷大，这种不 真实的性质是由于所采用的本构关系所决定的，即认 为材料能承受无限大的应力，且应变与应力呈线性关 系。另外，在上述的分析中，裂纹假设成理想的尖裂 纹，即裂纹尖端曲率为无穷大。实际上，裂纹尖端不 可避免地会出现塑性区，并且裂纹尖端地曲率是有限 的，但是在塑性区很小的情况下，在围绕裂尖的一个 环状区域内K场是适用的。
25
线弹性裂尖场特点
❖ 三种情况下的K场有相似的形式，分别由应力强度 因子决定着其场的强度。SIF取决于外加载荷，而 且与构件几何、裂纹尺寸有关，但是与( )坐标 无关。在K场范围内，应力和应变均正比于SIF，所 以SIF是裂纹尖端附近应力、应变场强度的表征， 是描述裂尖场强度的参数。
应力强度因子
——名义应力，即裂纹位置上按无裂纹计算的应力 ——裂纹尺寸，即裂纹长或深
——形状系数，与裂纹大小、位置有关 应力强度因子单位：N.m-3/2
28
应力强度因子
鉴于应力强度因子的重要性，在断裂力学这门科学近半个 世纪的快速发展中，应力强度因子的分析计算一直是一个 经久不衰的研究课题，这可从这方面的专著（如二十世纪 七十年代Sih的专著和近期的专著）和专门的应力强度因子 手册可见一斑。从研究方法上，从解析的Westergaard stress function、 Muskhelishvili stress function 到解 析的或半解析的Green Function、Singular Integral Equation、Conforming Mapping（保形映射）, 及数值 方法如Boundary Collocation Method， Finite Element Method (有限元法)和Boundary Element Method (边界元法)。
23
通过前面的推导，各种类型裂尖应力和来自移场可表示为若上标写成II、III，代表II型或III型裂纹。 裂纹尖端应力场是渐进解，仅仅适合于裂纹尖端附近
24
线弹性裂尖场特点
❖ 三种变形情况下裂纹尖端应力场和应变场都具有奇异 性，即在裂纹尖端处，应力和应变为无穷大，这种不 真实的性质是由于所采用的本构关系所决定的，即认 为材料能承受无限大的应力，且应变与应力呈线性关 系。另外，在上述的分析中，裂纹假设成理想的尖裂 纹，即裂纹尖端曲率为无穷大。实际上，裂纹尖端不 可避免地会出现塑性区，并且裂纹尖端地曲率是有限 的，但是在塑性区很小的情况下，在围绕裂尖的一个 环状区域内K场是适用的。
断裂力学——2Griffith 理论(1)
3
Griffith理论
线弹性断裂力学的基本理论
线弹性断裂力学的基本理论包括：
Griffith理论，即能量释放率理论； Irwin理论，即应力强度因子理论。 断裂力学作为一门崭新的学科是在上个世纪50年代才建立和发展 起来的。但是Griffith在1920年建立的针对玻璃、陶瓷等脆性材 料的脆性断裂准则，成功地解释了这类材料的实际断裂强度远小 于理论强度这一客观事实。该理论仅适用于完全脆性材料，对于 绝大多数金属材料，在断裂前和断裂过程中裂纹尖端总存在塑性 区，裂纹尖端也因塑性变形而钝化。不能使用Griffith理论，这 就是该理论长期得不到重视和发展的主要原因。后来Irwin修正 了Griffith的理论，使得断裂力学成为一门学科。
Griffith理论
设想在板中沿垂直于载荷方向切开一条 长度为2a的贯穿裂纹，由于裂纹的长度 远小于板的面内尺寸，可以将此板视为 “无限大”板。由于设想切开了一条贯 穿裂纹，裂纹就形成了上下两个自由面， 原来作用于该表面位置的拉应力消失了， 与此同时，上下自由表面发生相对张开 位移，消失的拉应力对此张开位移做负 功，使得板内的应变能降低了。 Griffith根据Inglis（1913）对“无限 大”板内开了一个椭圆形圆孔后分析得 1 2 U a 2 2 B 到的应力场、位移场计算公式，得出当 E 椭圆孔短轴尺寸趋于零（理想尖裂纹） U 1 a 2 2 B E 时，弹性应变能的改变量为
6
C. E. Inglis
Department of Engineering Head of Department 1919-43
He carried the largest teaching load, covering the subjects : statics, dynamics, theory of structures, materials and drawing, balancing engines, girder design and reinforced concrete.
Griffith理论
线弹性断裂力学的基本理论
线弹性断裂力学的基本理论包括：
Griffith理论，即能量释放率理论； Irwin理论，即应力强度因子理论。 断裂力学作为一门崭新的学科是在上个世纪50年代才建立和发展 起来的。但是Griffith在1920年建立的针对玻璃、陶瓷等脆性材 料的脆性断裂准则，成功地解释了这类材料的实际断裂强度远小 于理论强度这一客观事实。该理论仅适用于完全脆性材料，对于 绝大多数金属材料，在断裂前和断裂过程中裂纹尖端总存在塑性 区，裂纹尖端也因塑性变形而钝化。不能使用Griffith理论，这 就是该理论长期得不到重视和发展的主要原因。后来Irwin修正 了Griffith的理论，使得断裂力学成为一门学科。
Griffith理论
设想在板中沿垂直于载荷方向切开一条 长度为2a的贯穿裂纹，由于裂纹的长度 远小于板的面内尺寸，可以将此板视为 “无限大”板。由于设想切开了一条贯 穿裂纹，裂纹就形成了上下两个自由面， 原来作用于该表面位置的拉应力消失了， 与此同时，上下自由表面发生相对张开 位移，消失的拉应力对此张开位移做负 功，使得板内的应变能降低了。 Griffith根据Inglis（1913）对“无限 大”板内开了一个椭圆形圆孔后分析得 1 2 U a 2 2 B 到的应力场、位移场计算公式，得出当 E 椭圆孔短轴尺寸趋于零（理想尖裂纹） U 1 a 2 2 B E 时，弹性应变能的改变量为
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C. E. Inglis
Department of Engineering Head of Department 1919-43
He carried the largest teaching load, covering the subjects : statics, dynamics, theory of structures, materials and drawing, balancing engines, girder design and reinforced concrete.
裂纹尖端应力场的测量方法
裂纹尖端应力场的测量方法1.引言1.1 概述概述部分的内容可以侧重于解释裂纹尖端应力场以及其测量方法的重要性和应用背景。
以下是对概述部分的一个潜在的写作内容：在工程领域，裂纹是一种常见的材料和结构损伤形式，常常会导致材料的破坏和结构失效。
裂纹尖端附近的应力场是裂纹扩展行为的关键因素之一。
准确测量和理解裂纹尖端应力场的变化对于评估材料的强度、疲劳寿命和结构的可靠性至关重要。
裂纹尖端应力场的测量方法是研究裂纹行为和预测材料寿命的基础。
通过准确测量裂纹尖端附近的应力分布，我们能够揭示裂纹扩展过程中应力集中的区域和变化规律。
这些数据将有助于我们对裂纹行为做出合理的预测和分析，从而指导工程师和科学家进行更有效的材料设计、损伤评估和结构优化。
在享有广泛研究兴趣的应用领域中，如航空航天、核工程、石油化工等，准确测量裂纹尖端应力场对于确保结构安全和材料可靠性至关重要。
通过测量裂纹尖端应力场，我们能够为这些领域中的关键结构和材料提供有效的损伤监测和评估方法。
此外，裂纹尖端应力场的测量方法还可以用于材料的疲劳性能评估、裂纹扩展速率预测等方面，从而为工程实践和科学研究提供有价值的参考和指导。
综上所述，测量裂纹尖端应力场的方法在材料科学和工程中具有重要的地位和应用前景。
准确测量和理解裂纹尖端应力场的变化将有助于提高材料和结构的安全性、可靠性和寿命。
本文将介绍和探讨一些当前常用的裂纹尖端应力场测量方法，希望能够为相关研究和实践提供一定的参考和借鉴。
1.2文章结构文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行叙述和研究裂纹尖端应力场的测量方法：第一部分为引言，介绍了本文的研究背景和目的，概述了裂纹尖端应力场的重要性，以及本文的结构安排。
第二部分为正文，重点探讨了测量裂纹尖端应力场的方法。
首先，将介绍常用的测量手段和技术，如应变片法、激光衍射法等，对每种方法的测量原理和适用范围进行详细解析和比较。
其次，将介绍一些先进的测量技术，如数字图像相关法、电子全息术等，探讨其在测量裂纹尖端应力场中的应用优势和局限性。