1.5 三角化简求值(课时测试)-2016届高三数学三轮复习(原卷版)
高考数学二轮复习第1讲三角函数的化简与求值滚动小练(含参考答案)
高考数学二轮复习： 第1讲 三角函数的化简与求值1.(2018常州教育学会学业水平检测)若π2<θ<π,则点P(tanθ,sinθ)位于第 象限. 2.已知扇形的半径为3cm,圆心角为2弧度,则扇形的面积为 cm 2. 3.(2018江苏镇江期末)点P (ππππ3,-ππππ3)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为 . 4.已知πππα+3πππα3πππα-πππα=5,则sin 2α-sinαcosα= .5.已知sinα=cos 2π5,0<α<π,则α的取值集合为 .6.(2018江苏五校高三学情检测)已知α∈(π3,5π6),且cos (α-π3)=35,则sinα的值是 .7.(2018江苏南通调研)在平面直角坐标系xOy 中,已知角α,β的始边均为x 轴的正半轴,终边分别经过点A(1,2),B(5,1),则tan(α-β)的值为 .8.已知角α的终边在第四象限,与单位圆的交点A 的坐标为(√50),且终边上有一点P 到原点的距离为√5.(1)求y 0的值和P 点的坐标; (2)求tan(α-3π)cos(π-2α)+cos (3π2+2α)的值.9.已知sinα=-4√37,α∈(-π2,0).(1)求cos (π4+α)的值;(2)若sin(α+β)=-3√314,β∈(0,π2),求β的值.答案精解精析1.答案 二解析 由π2<θ<π得tanθ<0,sinθ>0,则点P 位于第二象限. 2.答案 9解析 该扇形的弧长为6cm,则面积为12×6×3=9(cm 2). 3.答案11π6解析 点P (√32,-12)落在角θ的终边上,则tanθ=-√33,点P 在第四象限,且θ∈[0,2π),则θ=11π6.4.答案 25解析 由题意可得tanα+33-tanα=5,tanα=2,则sin 2α-sinαcosα=sin 2α-sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α-tanαtan 2α+1=25.5.答案 {π10,9π10}解析 sinα=cos 2π5=sin (π2-2π5)=sin π10=sin 9π10,0<α<π,则α的取值集合为{π10,9π10}. 6.答案4+3√310解析 α∈(π3,5π6)⇒α-π3∈(0,π2),且cos (α-π3)=35, 则sin (α-π3)=45, 则sinα=sin (α-π3+π3) =45×12+35×√32=4+3√310. 7.答案 97解析 由三角函数的定义可得tanα=2,tanβ=15,则tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=2-151+25=97.8.解析 (1)由题意可得(√5)2+y 02=1,y 0<0,则y 0=-2√55,则sinα=-2√55=P √5,y P =-2,cosα=√55=P √5,x P =1,则P(1,-2).(2)原式=-tanαcos2α+sin2α=sin2αcosα-cos2αsinαcosα=sinαcosα=-2.9.解析 (1)因为sinα=-4√37,α∈(-π2,0),所以cosα=√1-sin 2α=√1-4849=17.从而cos (π4+α)=cos π4cosα-sin π4sinα=√22×17-√22×(-4√37)=√2+4√614. (2)因为α∈(-π2,0),β∈(0,π2),所以α+β∈(-π2,π2).因为sin(α+β)=-3√314,所以cos(α+β)=√1-sin 2(α+β)=√1-(-3√314)2=1314.从而sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=-3√314×17-1314×(-4√37)=√32.因为β∈(0,π2),所以β=π3.。
高考数学统考一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第六节 简单的三角恒等变形课时规范练(文,含解析
学习资料第三章 三角函数、解三角形第六节 简单的三角恒等变形课时规范练A 组——基础对点练1．化简：错误!＝（ ）A ．sin 2αB ．tan 2αC ．sin 2 错误!D ．tan 2 错误!解析：原式＝错误!＝tan 2 错误!。
答案：D2．若tan α＝错误!，tan(α＋β）＝错误!,则tan β＝（ ）A.错误!B ．错误! C.错误! D ．错误! 解析：tan β＝tan ［（α＋β）－α]＝错误!＝错误!＝错误!.答案:A3．计算：错误!＝( )A.错误!B ．－错误! C.错误! D ．－错误!解析:原式＝－23·错误!＝错误!·tan 错误!＝－错误!. 答案：D4．（2020·长沙质检）sin 163°sin 223°＋sin 253°·sin 313°等于（ )A ．－错误!B ．错误!C ．－错误!D ．错误!解析：原式＝sin 163°sin 223°＋cos 163°·cos 223°＝cos （163°－223°）＝cos （－60°）＝错误!. 答案：B5．（2020·吉林三模）已知错误!＝tan β，且β－α＝错误!，则m ＝( ）A ．1B ．－1 C. 2 D ．－ 2解析:由于m sin α＋cos αm cos α－sin α＝m tan α＋1m －tan α＝tan β＝tan(α＋错误!)＝错误!，故m ＝1. 答案:A6．（2020·青岛二模）若sin （α－β）sin β－cos （α－β)cos β＝错误!，且α为第二象限角，则tan （α＋π4）＝（ ) A ．7 B ．错误!C ．－7D ．－错误!解析：sin （α－β)sin β－cos(α－β）cos β＝错误!，即sin αcos β sin β－cos αsin 2 β－cos αcos 2 β－sin αsin βcos β＝45，即cos α＝－错误!。
浙江省高考数学一轮复习 第五章 三角函数、解三角形 第5节 三角函数的化简与求值(含解析)-人教版高
第5节 三角函数的化简与求值考试要求 掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.知 识 梳 理1.三角变换三角变换是重要的代数式变形，变形过程中，不仅需要熟练把握各种三角公式，还需要有一种处理复杂代数式的能力，更需要有一种化归的意识. 2.三角恒等变换中常用的方法技巧(1)角的变换：在化简、求值、证明中，表达式中往往会出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，缩小条件与结构中角的差异，使问题获解，此时需熟悉倍角与半角的相对性及角的拆并，变换的技巧，如α3是 2α3的半角，α2是α4的二倍角，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β等.(2)函数名称的变换：在三角函数中，正弦函数、余弦函数是基础，在变形中，通常化切为弦，变异名为同名.(3)常数代换：在三角函数的运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数和或积等形式，例如常数“1”的代换变形为：1＝sin 2α＋cos 2α＝tan 45°＝sin 90°.(4)幂的变换：升幂和降幂是三角变换中常用的方法，对于次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法.(5)公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式及其逆用和变形应用.例如sin αcos α＝12sin 2α，tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tanB )等.[常用结论与易错提醒](1)辅助角公式：a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ)，其中角φ所在象限由a ，b 的符号确定，且tan φ＝b a.(2)(选用)万能公式：sin θ＝2tanθ21＋tan 2θ2，cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2，tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2.(3)(选用)三倍角公式：sin 3θ＝3sin θ－4sin 3θ，cos 3θ＝4cos 3θ－3cos θ，tan 3θ＝3tan θ－tan 3θ1－3 tan 2θ. 诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)1＋tan α1－tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.( ) (2)在半角公式：sin α2＝±1－cos α2，cos α2＝±1＋cos α2，tan α2＝±1－cos α1＋cos α中，符号由α2所在象限决定.( )(3)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.( )(4)12cos α＋32sin α＝cos(60°＋α).( ) 解析 12cos α＋32sin α＝cos 60°cos α＋sin 60°sin α＝cos(60°－α)，(4)不正确.答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2.1＋cos 260°2的值是( )A.sin 40°B.cos 40°C.cos 130°D.±cos 50°解析 原式＝2cos 2130°2＝|cos 130°|＝cos 50°＝sin 40°. 答案 A3.若cos α＝23，且α∈[0，π]，则cos α2＋sin α2的值是( )A.56 B.30＋66 C.65D.30＋65解析 ∵α∈[0，π]，cos α＝23，∴sin α＝1－cos 2α＝53，则⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22＝1＋sin α＝1＋53，检验知B 符合上式.答案 B 4.若sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝35，则tan 2x ＝________.解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝35，∴－cos 2x ＝35，即cos 2x ＝－35，∴tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝1－cos 2x 1＋cos 2x ＝1＋351－35＝4. 答案 45.方程sin x ＋3cos x ＝1在区间[0，2π]上的所有解的和等于________.解析 sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1，x ∈[0，2π]，解得x 1＝π2，x 2＝2π－π6，∴x 1＋x 2＝7π3.答案7π36.定义运算a ⊕b ＝ab 2＋a 2b ，则sin 15°⊕cos 15°＝________.解析 由定义运算知sin 15°⊕cos 15°＝sin 15°cos 215°＋sin 215°cos 15°＝sin 15°cos 15°(cos 15°＋sin 15°)＝22×2sin 15°cos 15°sin(45°＋15°)＝68. 答案68考点一 三角函数式的化简【例1】 化简1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ.解 原式＝2sin 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝sin θ（sin θ＋cos θ）cos θ（sin θ＋cos θ）＝sin θcos θ＝tan θ. 规律方法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等. 【训练1】 化简tan αtan 2αtan 2α－tan α＋3(sin 2α－cos 2α).解 原式＝tan α2tan α1－tan 2αtan α⎝ ⎛⎭⎪⎫21－tan 2α－1－3cos 2α＝2tan α1＋tan 2α－3cos 2α ＝2sin αcos α·cos 2αsin 2α＋cos 2α－3cos 2α ＝sin 2α－3cos 2α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3. 考点二 三角函数式的求值 多维探究角度1 给角求值【例2－1】 求值：1＋cos 20°[2cos 40°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]. 解 原式＝2cos 10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 40°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°co s 10°＝2cos 10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 40°＋2sin 10°·sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°cos 10° ＝22(cos 40°cos 10°＋sin 10°sin 40°) ＝22cos 30° ＝ 6.角度2 给值求值【例2－2】 已知α，β都是锐角，cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，求cos β的值.解 ∵α，β都是锐角，cos α＝17，∴sin α＝1－cos 2α＝437，又0<α＋β<π，cos(α＋β)＝－1114，∴sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝5314， 故cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1114×17＋5314×437＝12.角度3 给出关系式求值【例2－3】 已知sin 4θ＋cos 4θ＝59，求sin 2θ的值.解 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝59，∴2sin 2θcos 2θ＝49，∴sin θcos θ＝±23，sin 2θ＝2sin θcos θ＝±223.角度4 给值求角 【例2－4】 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，求α＋β的值. 解 ∵sin 2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π， ∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22， 又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4. 规律方法 (1)给角求值时，往往出现特殊角、出现正负项相消、分子分母出现公因式，注意观察化简、求值；(2)给值求值要寻找已知函数值的角与欲求函数值角之间的关系； (3)给出关系式求值，需要对已知关系式灵活变形、化简；(4)给值求角注意先求角的范围，然后再求出在此范围上一种单调函数的角的三角函数值. 【训练2】 (1)(角度1)计算：2cos 10°sin 70°－tan 20°.(2)(角度2)已知α是第一象限角，sin α＝2425，求tan α2的值.(3)(角度3)已知2sin θ＝1－cos θ，求tan θ的值. (4)(角度4)(一题多解)设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π2，求α－β的值. 解 (1)2cos 10°sin 70°－tan 20°＝2cos 10°cos 20°－sin 20°cos 20°＝2cos （30°－20°）cos 20°－sin 20°cos 20°＝2（cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°）cos 20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°cos 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.(2)因为α是第一象限角，sin α＝2425，所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫24252＝725，所以tan α＝sin αcos α＝247，tan α＝2tanα21－tan2α2＝247，整理得12tan 2α2＋7tan α2－12＝0，解得tan α2＝34或tan α2＝－43(舍去)，故tan α2＝34. (3)因为2sin θ＝1－cos θ，所以4sin θ2cos θ2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2θ2＝2sin 2θ2，解得sin θ2＝0或2cos θ2＝sin θ2，tan θ2＝0或2，又tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2，当tan θ2＝0时，tan θ＝0；当tan θ2＝2时，tan θ＝－43.(4)法一 由cos α＝－55，π<α<3π2，得sin α＝－255， tan α＝2，又tan β＝13，于是tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－131＋2×13＝1. 又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此α－β＝5π4.法二 由cos α＝－55，π<α<3π2得sin α＝－255. 由tan β＝13，0<β<π2得sin β＝110，cos β＝310.所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－255⎝ ⎛⎭⎪⎫310－⎝ ⎛⎭⎪⎫－55⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝－22. 又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此α－β＝5π4. 考点三 三角函数恒等式的证明【例3】 证明：sin （2α＋β）sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明 左端＝sin[（α＋β）＋α]－2cos （α＋β）sin αsin α＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α＝sin[（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α＝右端.规律方法 (1)三角函数恒等式的证明要从“角、名、形”进行分析消除两端的差异； (2)常从繁杂一边推出简单的一边，或者两边同时推出一个共同式子，有时需对要证等式先进行等价变换，进而证明其等价命题(等式).【训练3】 证明：cos 4α＋4cos 2α＋3＝8cos 4α. 证明 左边＝cos 4α＋4cos 2α＋3 ＝2cos 22α－1＋4cos 2α＋3＝2(cos 22α＋2cos 2α＋1)＝2(cos 2α＋1)2＝2(2cos 2α－1＋1)2＝2(2cos 2α)2＝8cos 4α＝右边.三角函数求值【例题】 (满分14分)(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值.审题路线图用三角函数定义求出sin α，cos α—用诱导公式求出sin （α＋π）角度转换β＝（α＋β）－α计算cos β满分解答解 (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45得sin α＝－45，2分所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.5分(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45得cos α＝－35，7分由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213.10分由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.14分[构建模板]……利用三角函数定义求三角函数……诱导公式计算……平方关系计算……角的变换……利用两角差的余弦公式，分类计算……明确规范的表述结论【训练】 (2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值.解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π). 又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247， 因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.基础巩固题组一、选择题1.若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725 B.15 C.－15D.－725解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.答案 D2.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝( )A.－79B.－13C.13D.79解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2×19－1＝－79. 答案 A3.计算sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A.－32B.－12C.32D.12解析 原式＝sin （30°＋17°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.答案 D4.式子3tan 11°＋3tan 19°＋tan 11°tan 19°的值是( ) A. 3 B.33C.0D.1解析 ∵tan 30°＝tan(11°＋19°)＝tan 11°＋tan 19°1－tan 11°tan 19°，∴tan 11°＋tan 19° ＝33(1－tan 11°tan 19°)， ∴原式＝3(t an 11°＋tan 19°)＋tan 11°tan 19° ＝3×33(1－tan 11°tan 19°)＋tan 11°tan 19° ＝1. 答案 D5.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.－118B.118C.－1718D.1718解析 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)， 于是3(cos α＋sin α)＝22， 所以1＋2sin αcos α＝118，所以sin 2α＝－1718，故选C.答案 C 6.已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β＝( ) A.5π12B.π3 C.π4D.π6解析 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.答案 C 二、填空题 7.已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α－cos α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝________.解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－cos α＝12cos α－32sin α－cos α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－13.答案 －138.求值：tan 10°＋1cos 50°＝________.解析 原式＝sin 10°cos 10°＋1sin 40°＝cos 80°si n 80°＋2cos 40°2sin 40°cos 40°＝cos 80°＋2cos 40°sin 80°＝cos 80°＋2（cos 10°cos 30°－sin 10°sin 30°）sin 80°＝cos 80°＋3cos 10°－sin 10°sin 80°＝3cos 10°sin 80°＝3sin 80°sin 80°＝ 3. 答案39.已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin 2α的值是________.解析 ∵π2<β<α<3π4，∴－3π4<－β<－π2，∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2，∵cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，∴sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，∴sin 2α＝sin []（α－β）＋（α＋β）＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665.答案 －566510.已知sin(x ＋20°)＝cos(x ＋10°)＋cos(x －10°)，则tan x 的值是________. 解析 ∵sin(x ＋20°)＝cos(x ＋10°)＋cos(x －10°)， ∴sin x cos 20°＋cos x sin 20°＝2cos x cos 10°，∴tan x ＝2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝2cos 30°cos 20°＋2sin 30°sin 20°－sin 20°cos 20°＝2cos 30°＝ 3. 答案3三、解答题11.求值：cos π15cos 2π15cos 3π15cos 4π15 cos 5π15cos 6π15cos 7π15.解 原式＝1sinπ15·s in π15cos π15cos 2π15cos 4π15·cos π5·cos 2π5cos 7π15·cos π3＝1sinπ15·12sin 2π15cos 2π15cos 4π15cos π5cos 2π5cos 7π15·12 ＝1sinπ15·123sin 4π15cos 4π15·cos π5cos 2π5cos 7π15 ＝1sinπ15·124sin 8π15⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 8π15·cos π5cos 2π5＝1sin π15·125⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin 16π15·1sinπ5·sin π5cos π5cos 2π5 ＝125·1sin π15·sin π15·1sinπ5·12sin 2π5cos 2π5 ＝126·1sinπ5·12sin 4π5 ＝127·1sinπ5·sin π5 ＝127＝1128. 12.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π4，求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值.解 sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x1－sin xcos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x＝sin 2x ·1＋tan x1－tan x＝sin 2x ·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .由17π12<x <7π4，得5π3<x ＋π4<2π， 又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－45，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－43.cos x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－210，sin x ＝－7210，tan x ＝7， sin 2x ＝2sin x cos x ＝725.所以sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝－2875.能力提升题组13.已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为( )A.－13B.13C.－233D.233解析 因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.答案 B14.已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，y ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6，且x tan y ＝2(1－cos x )，则( )A.y <x4B.x 4<y <x2 C.x2<y <x D.y >x解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，y ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6，∴0<sin x <x <tan x ，又x tan y ＝2(1－cos x )⇒tan y ＝2－2cos x x ，因此tan y ＝2（1－cos x ）x <4sin 2x 2sin x ＝2sin x 2cos x 2＝2tan x2，∴tan y ＝2tany21－tan2y 2<2tanx2，∴2tan y2<2tany21－tan2y 2<2tan x2⇒y 2<x2⇒y <x ，又tan y ＝2（1－cos x ）x >2（1－cos x ）tan x＝4sin 2x 2cos x sin x ＝2sin x2cos xcosx 2＝2cos x tan x 2，∵函数y ＝2cos x 在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递减，∴2cos x ∈(3，2)，∴tan y ＝2（1－cos x ）x >2cos x tan x 2>tan x 2，∴y >x 2，∴x2<y <x ，故选C. 答案 C15.如果cos 5θ－sin 5θ<7(sin 3θ－cos 3θ)，θ∈[0，2π)，那么θ的取值范围是________. 解析 不等式cos 5θ－sin 5θ<7(sin 3θ－cos 3θ)等价于sin 3θ＋17sin 5θ>cos 3θ＋17cos 5θ，又f (x )＝x 3＋17x 5是R 上的增函数，所以sin θ>cos θ，故有2k π＋π4<θ<2k π＋5π4(k ∈Z )，又θ∈[0，2π)，∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π416.已知a为正实数，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1，x ≥a ，x 2－3ax ＋2a 2＋1，x <a ，若存在θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2，满足f (sin θ)＝f (cos θ)，则实数a 的取值范围是________.解析 由题意得对任意x >0，f (a ＋x )＝(a ＋x )2－a (a ＋x )＋1＝x 2＋ax ＋1，f (a －x )＝(a －x )2－3a (a －x )＋2a 2＋1＝x 2＋ax ＋1，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，又因为当x ≥a时，f (x )＝x 2－ax ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋1－a 24，且a >0，所以函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，则由f (sin θ)＝f (cos θ)得a ＝sin θ＋cos θ2＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，又因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，则a ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2217.已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值.解 (1)因为tan(π＋α)＝－13，所以tan α＝－13，从而有tan(α＋β)＝2sin αcos α＋4cos 2α10cos 2α－2sin αcos α ＝2sin α＋4cos α10cos α－2sin α＝tan α＋25－tan α＝516.(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝516－⎝ ⎛⎭⎪⎫－131＋516·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3143. 18.已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且7sin α＝5sin (α＋2β)，(1)求证：tan(α＋β)＝6tan β； (2)若tan α＝3tan β，求α的值. (1)证明 因为7sin α＝5sin(α＋2β)， 7sin[(α＋β)－β]＝5sin[(α＋β)＋β]， 得7[sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β] ＝5[sin(α＋β)cos β＋cos(α＋β)sin β]， 即sin(α＋β)cos β＝6cos(α＋β)sin β.又因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 则α＋β∈(0，π)，cos α≠0，cos(α＋β)≠0， 所以tan(α＋β)＝6tan β.(2)解 由上可知tan(α＋β)＝6tan β，即tan α＋tan β1－tan αtan β＝6tan β.又因为tan α＝3tan β，代入得tan α＋13tan α1－tan α·13tan α＝6·13tan α，解得tan α＝1或tan α＝－1(舍)或tan α＝0(舍)，故α＝π4.。
2025年高考数学一轮复习-三角函数、解三角形(基础巩固卷)【含答案】
三角函数、解三角形(基础巩固卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知＝12，且θ()A.0B.12C.32D.12.黄金分割数5－12的近似值为0.618，这一数值也可表示为a＝2sin18°，若a2＋b＝4，则a2b1－cos72°＝()A.1 2B.2C.5＋12D.43.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝23，B＝45°，C ＝75°，则b＝()A.2B.6C.22D.324.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝根据此公式，若a cos B＋(b－2c)cos A＝0，且b2＋c2－a2＝4，则△ABC的面积为()A.6B.23C.3D.325.为得到函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象，只需将函数g(x)＝sin2x－cos2x的图象()A.向左平移π4个单位长度B.向左平移π2个单位长度C.向右平移π4个单位长度D.向右平移π2个单位长度6.已知αα＝－17，则sin2α－cos2α1＋cos2α的值是()A.－32B.－1 C.1 D.327.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A＋2c sin C＝2b sin C cos A，则角A的最大值为()A.π6B.π4C.π3D.2π38.故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群.故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°，图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度(单位：米)约为()A.3B.4C.6(3－1)D.3(3＋1)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数f(x)＝sin x2，则以下结论恒成立的是()A.f(－x)＝－f(x)B.f(－x)＝f(x)C.f(2π－x)＝f(x)D.f(π＋x)＝f(π－x)10.已知函数f(x)＝cos2x1＋sin x，则()A.f(x＋π)＝f(－x)B.f(x)的最大值为4－22C.f(x)是奇函数D.f(x)的最小值为－1211.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝π4，BC边上的高等于a3，则以下四个结论正确的有()A.cos C＝255B.sin∠BAC＝31010C.tan∠BAC＝3D.b2－c2＝a2312.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，关于此函数的描述下列选项正确的是()A.ω＝2B.φ＝π3C.若x 1＋x 2＝π3，则f (x 1)＝f (x 2)D.若x 1＋x 2＝π3，则f (x 1)＋f (x 2)＝0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知α是第三象限角，且cos ＝35，则tan α＝________，sin （π－α）cos （π＋α）＝________.14.某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.QRT 是一个以点O 为圆心、QT 长为直径的半圆，QT ＝23dm.QST 的圆心为P ，PQ ＝PT ＝2dm.QRT 与QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为________dm 2.15.对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：a *b a －2b ，a ≥b ，b －2a ，a ＜b ，则函数f (x )＝sin x *cosx 的值域为________.16.[2022·江西红色七校联考]在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若4S ＝b 2＋c 2－a 2，b ＝6，2cos 2B ＋cos 2B ＝0，则S ＝________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)下面给出有关△ABC 的四个论断：①S △ABC ＝32；②b 2＋ac ＝a 2＋c 2；③a c ＝2或12；④b ＝3.以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若________，则________(用序号表示)；并给出证明过程.18.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角φ的终边与单位圆的交点为A ，圆C ：x 2＋y 2＝3与x 轴正半轴的交点是P 0.若圆C 上一动点从P 0开始，以πrad/s 的角速度逆时针做圆周运动，t s 后到达点P .设f (t )＝|AP |2.(1)若φ＝π3且t ∈(0，2)，求函数f (t )的单调递增区间；(2)若2，π3＜φ＜5π6，求19.(12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，3c sin A ＝4b sin C ，再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题.(1)证明：△ABC 为等腰三角形；(2)若△ABC 的面积为25，点D 在线段AB 上，且BD ＝2DA ，求CD 的长.条件①：cos C ＝23；条件②：cos A ＝19.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.20.(12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ＞0，ω＞0，|φ|.(1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g(x)＝f(x)－cos2x，求函数g(x)在区间0，π2上的单调性.21.(12分)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，从以下三个条件中选取一个解答该题.①2b－ca＝cos Ccos A；②4cos(B＋C)＋2cos2A＝－3；③a3cos A＝bsin（A＋C）.(1)求角A的大小；(2)若a＝14，b＋c＝42，求△ABC的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22.(12分)已知f(x)＝x＋12sinx－34.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若2对任意的x∈π4，π3恒成立，求实数a的取值范围.参考答案1.D [由θ，得－π6＜θ－π6＜π3，又＝12，所以θ－π6＝π6，解得θ＝π3，故cos 0＝1，故选D.]2.B[把a ＝2sin 18°代入a 2＋b ＝4，得b ＝4－a 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，a 2b 1－cos 72°＝4sin 218°·4cos 218°1－cos 72°4sin 236°1－（1－2sin 236°）＝2.故选B.]3.C[由题意A ＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin Bsin A＝23×sin 45°sin 60°＝22，故选C.]4.C[因为a cos B ＋(b －2c )cos A ＝0，所以由余弦定理可得a ×a 2＋c 2－b 22ac＋(b －2c )×b 2＋c 2－a 22bc ＝0，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，又b 2＋c 2－a 2＝4，所以bc ＝4，由△ABC的面积公式得S 1216－4＝3，故选C.]5.A [f (x )＝2sinx g (x )＝2sin x g (x )的图象→f (x )的图象，即g (x )的图象向左平移π4个单位长度.故选A.]6.B [由α＝－17，可得tan 2α＋11－tan 2α＝－17，解得tan 2α＝－43，又由2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝－12，或tan α＝2(舍去)，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－1.故选B.]7.A[由正弦定理可得a 2＋2c 2＝2bc cos A ，根据余弦定理得b 2＋c 2－2bc cos A ＋2c 2＝2bc cos A ，整理得4bc cos A ＝b 2＋3c 2≥23bc ，当且仅当b ＝3c 时等号成立，所以cos A ≥32，又A ∈(0，π)，所以0＜A ≤π6，故选A.]8.C[如图，根据题意得∠ACB ＝15°，∠ACD ＝105°，∠ADC ＝30°，CD ＝24，所以∠CAD ＝45°，所以在△ACD 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝ACsin ∠ADC，即24sin 45°＝ACsin 30°，解得AC ＝122，所以在Rt △ACB 中，sin ∠ACB ＝ABAC ，即sin 15°＝AB 122，解得AB ＝122sin 15°＝122sin(60°－45°)＝122×22－12×122×6－24＝32(6－2)＝63－6.故选C.]9.ACD [对于A ，B ，f (－x )＝sin x2＝－f (x )，所以A 正确，B 错误；对于C ，f (2π－x )＝sin 2π－x 2＝sin x2＝f (x )，所以C 正确；对于D ，因为f (π＋x )＝sin π＋x 2＝cos x2，f (π－x )＝sin π－x 2＝＝cos x2，所以f (π＋x )＝f (π－x )，所以D 正确，故选ACD.]10.AB [由题意，函数f (x )＝cos 2x 1＋sin x ，可得f (x ＋π)＝cos[2（x ＋π）]1＋sin （x ＋π）＝cos 2x1－sin x ，f (－x )＝cos （－2x ）1＋sin （－x ）＝cos 2x1－sin x，所以A 正确；f(x)＝cos2x1＋sin x＝1－2sin2x 1＋sin x＝4＋2sin x4－22，当且仅当sin x＝22－1时等号成立，故B正确；由f(－x)＝cos（－2x）1＋sin（－x）＝cos2x1－sin x，得f(－x)≠－f(x)，所以C不正确；1＋＝－121－32＝－2－3＜－12，所以D不正确.故选AB.]11.ABD[∵sin B＝a3c＝a3c＝22，∴c＝23a.由余弦定理知，cos B＝a2＋c2－b22ac＝＝22，解得b＝53a，b2－c2＝13a2，选项D正确；b＝53a，由正弦定理得sin B＝53sin∠BAC＝22，则sin∠BAC＝31010，选项B 正确；易知c＝105b，B＝π4，则C＜π4⇒∠BAC＞π2，tan∠BAC＝－3，选项C错误；sin C＝105sin B＝105×22＝55⇒cos C＝255，选项A正确.故选ABD.]12.AC[对于A，由题图知，f(x)的最小正周期T＝25π12－π，所以ω＝2πT ＝2，故A正确；对于B，由A知f(x)＝2sin(2x＋φ)，－π12，得2＋φ＝2kπ(k∈Z)，结合|φ|＜π解得φ＝π6，故B错误；对于C 、D ，由B 知f (x )＝x令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的一条对称轴，由x 1＋x 2＝π3，知x 1，x 2关于直线x ＝π6对称，所以f (x 1)＝f (x 2)，故C 正确，D 错误.综上所述，正确的结论为A 、C.]13.34－45[因为＝35，所以－sin α＝35，所以sin α＝－35.又因为α是第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝34，sin （π－α）cos （π＋α）＝－sin αcos α－sin α＝cos α＝－45.]14.3＋π6[连接PO ，可得PO ⊥QT ，因为sin ∠QPO ＝QO PQ ＝32，所以∠QPO ＝π3，∠QPT ＝2π3，所以月牙的面积为S ＝12×π×(3)222×2π3－12×23×2.故答案为3＋π6.]15.[0，22][由题知a *b ＝2|a －b |，则f (x )＝sin x *cos x ＝2|sin x －cos x |＝22|∈[0，22].]16.3＋32[在△ABC 中，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，因为4S ＝b 2＋c 2－a 2，S ＝12bc sin A ，所以cos A ＝4S 2bc ＝4×12bc sin A 2bc＝sin A ，所以tan A＝1.又AA ＝π4由2cos 2B ＋cos 2B ＝0得2cos 2B ＋2cos 2B －1＝0，即cos 2B ＝14，又BB ＝π3，由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，a ＝b sin A sin B ＝6×2232＝2.因为sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×12＋22×32＝6＋24，所以S ＝12ab sin C ＝3＋32.]17.解方案一若①②③，则④.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，又B ＝60°，故ac ＝2.由③a c ＝2或12，不妨取a c＝2，与ac ＝2联立，得a ＝2，c ＝1.故b 2＝a 2＋c 2－ac ＝4＋1－2＝3，得b ＝3，④成立.方案二若①②④，则③.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，又B ＝60°，故ac ＝2.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，可得a 2＋c 2－ac ＝3，从而(a ＋c )2＝9，a ＋c ＝3，与ac ＝2联立，＝2，＝1＝1，＝2，故a c ＝2或12，③成立.方案三若①③④，则②.(错误选择，零分)由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，由③a c ＝2或12，不妨取a c ＝2，得c 2sin B ＝32，即sin B ＝32c2.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，a c＝2，可得5c 2－4c 2cos B ＝3，从而cos B ＝5c 2－34c 2.又sin 2B ＋cos 2B ＝1，得3c 4－10c 2＋7＝0，得c ＝1或73，当c ＝1时，得a ＝2，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＝3，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°).即B ＝60°，即b 2＝a 2＋c 2－ac 成立，②成立；当c ＝73时，得a ＝273，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＝3，得cos B ＝1314，故B ＝60°不成立，即b 2＝a 2＋c 2－ac 不成立，②不成立.方案四若②③④，则①.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，得a 2＋c 2－ac ＝3.由③a c ＝2或12，不妨取a c＝2，代入a 2＋c 2－ac ＝3中可得，3c 2＝3，得c ＝1，a ＝2，从而得12ac sin B ＝32，即S △ABC ＝32，①成立.18.解由已知条件和三角函数的定义得，A (cos φ，sin φ)，P (3cos πt ，3sin πt )，∴f (t )＝|AP |2＝(cos φ－3cos πt )2＋(sin φ－3sin πt )2＝4－23cos(πt －φ).(1)若φ＝π3，则f (t )＝4－23cos t 令2k π≤πt －π3≤π＋2k π(k ∈Z )，得13＋2k ≤t ≤43＋2k (k ∈Z ).又t ∈(0，2)，∴函数f (t )的单调递增区间是13，43.(2)由2，及π3＜φ＜5π6，得＝33，－π2＜π3－φ＜0，∴＝－63，∴4－23cos＝4＋23sin 4－2 2.19.解选择条件①cos C ＝23.(1)证明由3c sin A ＝4b sin C 和正弦定理得3a ＝4b ，由cos C ＝23和余弦定理得23＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25b 2－9c 224b 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形.(2)由(1)得3a ＝4b ，b ＝c ，∵cos ∠ACB ＝23，且∠ACB 为△ABC 一内角，∴sin ∠ACB ＝53，∴S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝259c 2＝25，∴c ＝b ＝3，a ＝4.∵BD ＝2DA ，∴BD ＝2，DA ＝1，∴CD 2＝a 2＋BD 2－2a ·BD cos B ＝42＋22－2×4×2×23＝283，∴CD ＝2213.选择条件②cos A ＝19.(1)证明由3c sin A ＝4b sin C 和正弦定理得3a ＝4b ，由cos A ＝19和余弦定理得19＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9c 2－7b 218bc ，∴b ＝c 或b ＝－97c (舍去)，∴△ABC 为等腰三角形.(2)由(1)得3a ＝4b ，b ＝c ，∵cos A ＝19，且A ∈(0，π).∴sin A ＝459，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝259b 2＝25，∴c ＝b ＝3，a ＝4.∵BD ＝2DA ，∴BD ＝2，DA ＝1，∴CD 2＝b 2＋AD 2－2b ·AD cos A ＝283，∴CD ＝2213.20.解(1)由图可得A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，当x ＝π6时，f (x )＝1，可得2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，而|φ|＜π2，于是有φ＝π6，所以f (x )的解析式为f (x )＝x π.(2)g (x )＝f (x )－cos 2x ＝x cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6－cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝x 由0≤x ≤π2，得－π6≤2x －π6≤5π6，当－π6≤2x －π6≤π2有0≤x ≤π3，g (x )单调递增，当π2＜2x －π6≤5π6有π3＜x ≤π2，g (x )单调递减，所以g (x )在0，π3单调递增，在，π2单调递减.21.解若选①，(1)根据正弦定理知，2b －c a ＝2sin B －sin C sin A＝cos C cos A ，即2sin B ·cosA ＝cos C ·sin A ＋sin C ·cos A ，即2sinB ·cos A ＝sin(A ＋C )，因为A ＋C ＝π－B ，所以2sin B ·cos A ＝sin B ，又B ∈(0，π)，故sin B ≠0，解得cos A ＝12.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.若选②，(1)由题意可得4cos(B ＋C )＋2(2cos 2A －1)＝－3，又cos(B ＋C )＝－cos A ，所以－4cos A ＋2(2cos 2A －1)＝－3，所以4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.若选③，(1)由正弦定理及a 3cos A ＝b sin （A ＋C ），得sin A 3cos A ＝sin B sin （A ＋C ），又sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，所以sin A 3cos A ＝sin B sin B ，得tan A ＝ 3.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.22.解(1)化简得f (x )＝cosx ＋32cos2x ＋32cos 2－34＝14sin 2x ＋32×1＋cos 2x 2＋14sin 2x ＋34cos 2x －34＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝x 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，所以单调递增区间为－512π＋k π，π12＋k π，k ∈Z .(2)由(1)可得a sin x －cos x ≥2，即a ≥2＋cos x sin x，对任意的x ∈π4，π3恒成立，只需要amax 即可，2＋cos x sin x＝2sin x 2cos x 22sin x 2cos x 2令t＝sin x2cos x2＝tanx2，因为x∈π4，π3，则x2∈π8，π6，所以t＝tan x2∈2－1，33，所以2＋cos xsin x＝3＋t22t＝32t＋t2，由对勾函数性质可得，当t∈2－1，33时，y＝32t＋t2为减函数，所以当t＝2－1max＝22＋1，所以实数a的取值范围是[22＋1，＋∞).。
2016年高考数学(新课标版) 专题06 三角化简求值 含解析
2016年高考三轮复习系列：讲练测之核心热点 【全国通用版】 热点六 三角化简求值 【名师精讲指南篇】 【高考真题再现】1.【2013⋅新课标全国】设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______【答案】；2.【2013⋅新课标全国】已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b =（ ）（A ）10（B ）9（C ）8（D ）5【答案】D ；【解析】因为225cos 10A -=,且锐角△ABC,故1cos 5A =,故2222cos a b c bc A =+-,解得5b =.3.【2014高考全国1文】若0tan >α,则（ ）A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α 【答案】C 【解析】试题分析：由sin tan 0cos ααα=>,可得：sin ,cos αα同正或同负,即可排除A 和B,又由sin 22sin cos ααα=⋅,故sin 20α>.4.【2014全国1高考理】设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） （A ） 32παβ-= （B ）32παβ+=（C ）22παβ-=（D ）22παβ+=【答案】C5.【2015全国1理】sin 20cos10cos160sin10-=（ ）.A.．12- D ．12B.原式sin 20cos10cos 20sin10=+=1sin 302=.故选D ． 【热点深度剖析】三角函数的化简、求值及最值问题,主要考查同角三角函数的基本关系式,三角函数的诱导公式,和、差、倍、半、和积互化公式在求三角函数值时的应用,考查利用三角公式进行恒等变形的技能,以及基本运算的能力,特别突出算理方法的考查． 2013年试题主要考查三角恒等变换,及倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力. 2014年的试题文主要考查三角函数的同角的三角函数关系,理科考查三角函数的同角的三角函数关系,三角恒等变换.2015主要考查两角和与差的三角函数公式.通过三年试题来看,二倍角公式,同角的三角函数关系是考试的重点．从近几年的高考试题来看,利用同角三角函数的关系改变三角函数的名称,利用诱导公式、和差角公式及二倍角公式改变角的恒等变换是高考的热点,常与三角函数式的求值、三角函数的图象与性质、三角形中三角恒等变化,向量等知识综合考查,既有选择题、填空题,又有解答题,属中低档题．预测2016年会加大对三角客观题考查的力度,同角三角函数基本关系式、诱导公式及三角恒等变换是考查重点． 【重点知识整合】 一．三角函数诱导公式1.对于形如2,,()k a a a k Z ππ±-±∈即满足2nπα+中n 取偶数时：等于角α的同名三角函数,前面加上一个把α看成是锐角时,该角所在象限的符号； 2.对于形如3,()22a a k Z ππ±±∈即满足2nπα+中n 取奇数时：等于角α的余名三角函数,前面加上一个把α看成是锐角时,该角所在象限的符号.3.口诀：奇变偶不变,符号看象限（看原函数,同时可把α看成是锐角）.4.运用诱导公式转化角的一般步骤：(1)负化正：当已知角为负角时,先利用负角的诱导公式把这个角的三角函数化为正角的三角函数值；(2)正化负：当已知角是大于360的角时,可用360k α⋅+的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间0360→内的三角函数值；(3)主化锐：当已知角是90到360内的角时,可利用180,270,360ααα---的诱导公式把这个角的三角函数值化为0到90内的角. 二． 两角和与差的三角函数公式1. 两角和与差的正弦公式：()sin αβ±=sin cos cos sin αβαβ±. 变形式：()()sin sin αβαβ++-=2sin cos αβ()();sin sin αβαβ+--=2cos sin αβ；2.两角和与差的余弦公式：()cos αβ±=cos cos sin sin αβαβ变形式：()()cos cos αβαβ++-=2cos cos αβ；()()cos cos αβαβ+--=2sin sin αβ；3．两角和与差的正切公式：()tan αβ±=tan tan 1tan tan αβαβ±())2k k Z παβαβπ+≠+∈（、、.变形式：tan tan αβ±=()()tan 1tan tan αβαβ±.注意：运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式,我们不仅要记住公式,更重要的是抓住公式的特征,如角的关系,次数关系,三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用,而且抓住了公式的结构特征,有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征,联想到相应的公式,从而找到解题的切入点.三．二倍角公式的正弦、余弦、正切1.二倍角的正弦公式:sin 2α=2sin cos αα；二倍角的余弦公式:cos 2α=22cos sin αα-=22cos 1α-=212sin α-；二倍角的正切公式:tan 2α= 22tan 1tan αα- .2. 降幂公式：sin cos αα=1sin 22α；2sin α=1cos 22α-；2cos α=1cos 22α+. 3.升幂公式：1sin 2α+=2(sin cos )αα+;1cos 2α+=22cos α;1cos 2α-=22sin α.注意：在二倍角公式中,两个角的倍数关系,不仅限于2α是α的二倍,要熟悉多种形式的两个角的倍数关系,同时还要注意απαπα-+442，，三个角的内在联系的作用,⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±=⎪⎭⎫⎝⎛±=απαπαπα4cos 4sin 222sin 2cos 是常用的三角变换. 【应试技巧点拨】1. 利用诱导公式求值：给角求值的原则和步骤 (1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.(2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为02π:之间角的三角函数,然后求值,其步骤为：给值求值的原则:寻求所求角与已知角之间的联系,通过相加或相减建立联系,若出现2π的倍数,则通过诱导公式建立两者之间的联系,然后求解. 常见的互余与互补关系 (1)常见的互余关系有：3πα+与6πα-；3πα-与6πα+；4πα+与4πα-等.(2)常见的互补关系有：3πα+ 与23πα-;4πα+与34πα-等.遇到此类问题,不妨考虑两个角的和,要善于利用角的变换的思想方法解决问题. 2.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求(1)原则：遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行三角函数名称转化,以保证三角函数名称最少.(2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.2. 利用诱导公式证明三角恒等式的主要思路 (1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.(2)左右归一法：使两端化异为同,把左右式都化为第三个式子. (3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形,再证明.提醒：由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如()()cos 5cos cos παπαα-=-=-. 4. 正、余弦三兄妹“sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的应用sin cos x x ±与sin cos x x ⋅通过平方关系联系到一起,即2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±,2(sin cos )1sin cos ,2x x x x +-=21(sin cos )sin cos .2x x x x --=因此在解题中若发现题设条件有三者之一,就可以利用上述关系求出或转化为另外两个. 5.如何利用“切弦互化”技巧（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式,这样减少了变量,统一为“切”得表达式,进行求值. 常见的结构有:① sin ,cos αα的二次齐次式（如22sin sin cos cos a b c αααα++）的问题常采用“1”代换法求解；②sin ,cos αα的齐次分式（如sin cos sin cos a b c d αααα++）的问题常采用分式的基本性质进行变形．（2）切化弦：利用公式tan α=sin cos αα,把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候,采用此技巧.6.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,2()()αβαβα=+--,22αβαβ++=⋅,()()222αββααβ+=---等. (2)三角函数名互化：切割化弦,弦的齐次结构化成切. (3)公式变形使用：如()()()()()()()()cos cos sin sin cos tan 1tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan .αββαββααβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=+-=++=+--+++=+，，，(4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式. (5)式子结构的转化.(6)常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan sin 42ππ===等.（7）辅助角公式：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a b 、的符号确定,θ的值由tan baθ=确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角θ为特殊角的情况即可.如sin cos ),sin 2sin(cos 2sin()436x x x x x x x x x πππ±=±±=±±=±等.【考场经验分享】1．在利用三角函数定义时,点P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点．OP r =一定是正值．2．同角三角函数关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系在求三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围判断符号,正确取舍．3．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号,特别是在具体题目中出现类似kπ±α(k ∈Z)的形式时,需要对k 的取值进行分类讨论,从而确定三角函数值的正负．4.重视三角函数的“三变”： “三变”是“变角”,“ 变名”,“ 变式”；变角为：对角的拆分要尽可能化为同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形．4．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉,而且对公式的变形应用也要熟悉； （2）善于拆角、拼角如()ββαα-+=,()()()αβαβαβαβαα++=+-++=22，等； （3）注意倍角的相对性 （4）要时时注意角的范围（5）化简要求熟悉常用的方法与技巧,如切化弦,异名化同名,异角化同角等.5．证明三角等式的思路和方法.（1）思路：利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式.（2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等.6．解答三角高考题的策略.（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”.（2）寻找联系：运用相关公式,找出差异之间的内在联系.（3）合理转化：选择恰当的公式,促使差异的转化.7．加强三角函数应用意识的训练由于考生对三角函数的概念认识肤浅,不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系,造成思维障碍,思路受阻.实际上,三角函数是以角为自变量的函数,也是以实数为自变量的函数,它产生于生产实践,是客观实际的抽象,同时又广泛地应用于客观实际,故应培养实践第一的观点.总之,三角部分的考查保持了内容稳定,难度稳定,题量稳定,题型稳定,考查的重点是三角函数的概念、性质和图象,三角函数的求值问题以及三角变换的方法. 8．变为主线、抓好训练变是本章的主题,在三角变换考查中,角的变换,三角函数名的变换,三角函数次数的变换,三角函数式表达形式的变换等比比皆是,在训练中,强化变意识是关键,但题目不可太难,较特殊技巧的题目不做,立足课本,掌握课本中常见问题的解法,把课本中习题进行归类,并进行分析比较,寻找解题规律.针对高考中题目看,还要强化变角训练,经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强,这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目.三角函数求值中要特别注意角的范围,如根据21cos2sin2αα-=求sinα的值时,sinα=中的符号是根据角的范围确定的,即当α的范围使得sin0α≥时,取正号,反之取负号．注意在运用同角三角函数关系时也有类似问题．9.本热点一般难度不大,属于得全分的题目,一般放在选择题与填空题的中间位置,但是因题目解法的灵活性造成在紧张的考试氛围里面,容易一时的思路堵塞,需冷静处理,如果一时想不到化简的方向,可暂且放一放,不要钻牛角尖,否则可能造成心理负担,情绪受到影响,因新课标高考对这个热点考查难度已经降低,学生应有必胜的信心.【名题精选练兵篇】ns s i2cos B ＋2sin B =,B.tanα=2,则=． B ． C ． D ．=sinαcosα===,tanx=,（+x ．B ．C ．D ．tanx=+x==+ ++=,10．【2016届甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考】已知sin 2cos αα=,则tanα=2tan则= 【答案】：∵tanα=2tan,======== ,故答案为：．sincos22sin cos22παπαπαπα++-=---（ ）A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 【答案】B.【解析】由题意3sin 5α=-,因为α是第三象限的角,所以4cos 5α=-,因此222sincoscossin(cossin )1sin 1222222cos 2sin cos cos sin cos sin 222222παπααααααπαπαααααα++-+++====------. 13. 【惠安一中、养正中学、安溪一中2015届高三上学期联合考试】已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上一点()1,2P --,则sin 2θ 等于（ ） A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】D.【解析】根据任意角的三角函数的定义,sin θ=,cos θ=4sin 22sin cos 5θθθ==.14. 【宿迁市2015届高三年级摸底考试】若1cos()33απ-=,则sin(2)απ-6的值是 ． 【答案】97-. 【解析】9719121)3(cos 2)322cos()2322sin()62sin(2-=-⨯=--=-=+-=-παπαππαπα.15. 【浙江省效实中学2015届高三上学期期末考试】化简：22cos ()12πα--=A ．cos αB ．cos α-C ．cos 2αD ．cos 2α- 【答案】D 【解析】22cos ()12πα--=ααπαπ2cos )2cos()2(2cos -=-=-,答案D.16. 【拉萨中学高三年级（2015届）第三次月考试卷】若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈24ππθ，, 8732sin =θ,则θsin =（ ）A. 53B. 54C. 47D. 43或47【答案】D.17. 若202παβπ<<<<-,1cos()43πα+=,cos()42πβ-=则cos()2βα+= A ．33B ．33-C ．935 D ．96-【答案】C. 【解析】因为202παβπ<<<<-,1cos()43πα+=,所以4344παππ<+<,且322)4sin(=+απ；又因为cos()42πβ-=且02<<-βπ,所以2244πβππ<-<,且36)24sin(=-βπ．又因为)24()4(2βπαπβα--+=+,所以)24sin()4sin()24cos()4cos()]24()4cos[()2cos(βπαπβπαπβπαπβα-++-+=--+=+935363223331=⨯+⨯=．故应选C. 18. 【北京101中学2014—2015学年度高三第一学期期中模拟】在ABC ∆中,若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则 .【答案】2【解析】因为C B A cos cos 2sin =,所以()2tan tan cos sin cos sin sin cos cos 2=+⇒+=+=C B B C C B C B C B【名师原创测试篇】1. 若锐角θ满足3sin 5θ=,则tan(2)4πθ-的值为（ ） A.1731 B.1625 C.3117- D.2516- 【答案】A2. 已知1sin 22α=,则11tan tan 2αα-=____． 【答案】2【解析】由已知得2222sin cos 2tan 1sin 2sin cos 1tan 2ααααααα===++,所以11tan tan 2αα-=2211tan 1tan 2tan 2tan 2tan ααααα-+-==． 3. 已知第三象限角α的终边经过点P ()3,4a a ,则cos α=( ) A.35 B.45 C.35- D.45- 【答案】C【解析】由题可得,因为角α是第三象限角,所以0a <,根据三角函数的概念可得33cos 55a a α===--,故选C. 4. 执行如图所示的程序框图,则输出结果S 的值为（ ）C.12- D.12cos3。
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第三讲第2课时三角函数式的化简与求值学案新人教版
第二课时 三角函数式的化简与求值考点突破·互动探究考点一 三角函数式的化简——师生共研例1 化简下列各式：(1)sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)； (2)11－tan θ－11＋tan θ； (3)tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α.〖解析〗 (1)原式 ＝sin α·cos β＋cos α·sin β－2sin α·cos β2sin α·sin β＋cos α·cos β－sin α·sin β＝－(sin α·cos β－cos α·sin β)cos α·cos β＋sin α·sin β＝－sin (α－β)cos (α－β)＝－tan(α－β)．(2)原式＝(1＋tan θ)－(1－tan θ)1－tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ.(3)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1.名师点拨(1)此类化简题，对公式既要会正用，又要会逆用，甚至变形应用．(2)应用公式时特别注意角不要化错，函数名称、符号一定要把握准确． (3)对a sin x ＋b cos x 化简时，辅助角φ的值如何求要清楚． 〔变式训练1〕(1)化简sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝ 0 . (2)(2020·开封模拟)化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝ 12.〖解析〗 (1)解法一：原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos2π3cos x －3sin2π3sin x ＝⎝⎛⎭⎫cos π3＋2cos π3－3sin 2π3sin x ＋⎝⎛ sin π3－2sin π3－3cos⎭⎫2π3cos x ＝⎝⎛⎭⎫12＋1－3×32sin x ＋⎝⎛⎭⎫32－3＋3×12cos x ＝0.解法二：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝0. (2)解法一：(从“角”入手，化复角为单角)原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(2cos 2α－1)(2cos 2β－1)＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2αsin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12.解法二：(从“名”入手，化异名为同名) 原式＝sin 2αsin 2β＋(1－sin 2α)cos 2β－12cos 2αcos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2αcos 2β＝cos 2β－sin 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝cos 2β－cos 2β(sin 2α＋12cos 2α)＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12. 解法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β＝14(1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β＋1＋cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12cos 2αcos 2β＝14＋14＝12. 解法四：从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方原式＝(sin α·sin β－cos α·cos β)2＋2sin α·sin β·cos α·cos β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2(α＋β)＋12sin 2α·sin 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2(α＋β)－12·cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)－12·〖2cos 2(α＋β)－1〗＝12.考点二 求值问题——多维探究 角度1 给角求值例2 求下列各式的值．(1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°； (2)3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2). 〖解析〗 (1)原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－ 3.(2)3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2)＝3(sin 12°－3cos 12°)2cos 24°sin 12°cos12°＝23sin (12°－60°)12sin 48°＝－4 3.名师点拨给角求值问题的解题思路给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意： (1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分； (2)观察名，尽可能使函数统一名称；(3)观察结构，利用公式，整体化简． 角度2 给值求值例3 已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝ 4－3310. 〖解析〗 由题意可得cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即sin 2θ＝45.因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝35，由两角差的正弦公式，可得 sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3 ＝45×12－35×32＝4－3310.名师点拨给值求值问题的解题关键给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论．如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α等． 角度3 给值求角 例4 已知A ，B 均为钝角，sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，且sin B ＝1010，则A ＋B ＝( C )A.3π4 B ．5π4C ．7π4D ．7π6〖解析〗 由题意知12(1－cos A )＋12cos A －32sin A ＝12－1510，得sin A ＝55，sin B ＝1010.A ，B 均为钝角，π<A ＋B <2π，cos A ＝－255，cos B ＝－31010，cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22>0，那么，3π2<A ＋B <2π，所以A ＋B ＝7π4，故选C.名师点拨(1)已知三角函数值求角的解题步骤：①求出角的某一三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围确定角．(2)给值求角的原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦较好． 〔变式训练2〕(1)(角度1)3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝( D ) A.12 B ．22C ．1D ． 2(2)(角度2)(2021·黑龙江哈师大附中模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( C )A.18 B ．－18C ．78D ．－78(3)(角度3)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( C ) A.5π12 B ．π3C ．π4D ．π6〖解析〗 (1)3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝2，故选D.(2)由题意可得2(cos 2α－sin 2α)＝cos π4cos α＋sin π4sin α，即2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝22(cos α＋sin α)．由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，可得cos α＋sin α≠0，所以cos α－sin α＝24，等式两边平方，可得1－sin 2α＝18，所以sin 2α＝78，故选C.(3)∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2，∴cos α＝1－sin 2α＝255， cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010∴sin β＝sin 〖α－(α－β)〗 ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22， ∴β＝π4，故选C.名师讲坛·素养提升 三角形中的恒等变换问题在三角形中，常用的角的变形结论有：A ＋B ＝π－C ；2A ＋2B ＋2C ＝2π；A 2＋B 2＋C 2＝π2.三角函数的结论有：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝－tan C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B ．例5 (1)设A ，B 是△ABC 的内角，且cos A ＝35，sin B ＝513，则sin C ＝( D )A.6365或－1665 B ．1665C ．1665或－6365D ．6365(2)(2021·河北唐山一中质检)在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是( D )A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形〖分析〗 (1)由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B 知求sin A 、cos B 即可． (2)利用cos(B ＋C )＝－cos A ，sin(A ＋C )＝sin B 及两角差的正弦公式求解． 〖解析〗 (1)∵cos A ＝35，0<A <π，∴A 为锐角，且sin A ＝1－cos 2A ＝45.又sin B ＝513<sin A ，∴B <A ，∴B 为锐角且cos B ＝1－sin 2B ＝1213.∴sin C ＝sin 〖π－(A ＋B )〗＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝6365.故选D.(2)∵sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )·sin(A ＋C )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝1－2cos A sin B ， ∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝1，即sin(A ＋B )＝1， ∴sin C ＝1，又0<C <π，∴C ＝π2，∴△ABC 为直角三角形，故选D.〖误区警示〗 本题(1)极易求得两解，问题出在∠B 上，因为由sin B ＝513，可得两个B值，考虑A 的因素，只有一个适合，因此sin C 只有一个结果．名师点拨利用三角函数解决三角形问题要注意一些隐含条件，再根据所给的三角函数值确定角的范围，然后再进行求值．本题应用三角形中大角对大边，也可知A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，知B 为锐角．〔变式训练3〕(1)在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则C ＝( D ) A.π6 B ．π4C ．π3D ．7π12(2)(2020·宁夏平罗中学期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin A ＝2sin B cos C ，则△ABC 一定是( A )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形〖解析〗 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－sin A ＝－2sin B ①，3cos A ＝2cos B ②，①2＋②2，得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22.当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A ，B 是三角形的内角， 所以A ＝π4，B ＝π6，所以C ＝π－(A ＋B )＝7π12.当cos A ＝－22时，cos B ＝－32，又A ，B 是三角形的内角， 所以A ＝34π，B ＝56π不符题意，舍去．综上可得C＝7π，故选D.12(2)由题意知sin(B＋C)＝2sin B cos C，整理化简得sin B cos C－cos B sin C＝0 即sin(B－C)＝0，又－π<B－C<π，∴B－C＝0，即B＝C，故选A.。
高考数学一轮复习 第六单元 解三角形 高考达标检测(十八)三角恒等变换的3个考查点——化简、求值和应
高考达标检测（十八） 三角恒等变换的3个考查点——化简、求值和应用一、选择题1．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.45解析：选D ∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ， 又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2＜α＜0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( ) A ．－255B ．－3510C ．－31010D.255解析：选A 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α＝－255.3．(2018·温州测试)已知sin x ＋3cos x ＝65，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝( )A ．－35B.35 C ．－45D.45解析：选B ∵sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin x ＋cos π6cos x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝65，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝35.4．(2018·东北三省模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos 2α＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．0解析：选D ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α， ∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α， ∴tan α＝sin αcos α＝－1，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0. 5．(2018·南宁调研)若θ∈[0，π]，cos θ＝34，则tan θ2＝( )A.7B.17 C ．7D.77解析：选D 法一：因为θ∈[0，π]，所以θ2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos θ2＝cos θ＋12＝144， 所以sin θ2＝24，所以tan θ2＝77.法二：由题意得sin θ＝74，所以tan θ＝73. 因为θ∈[0，π]，所以θ2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以由tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝73， 解得tan θ2＝77或tan θ2＝－7(舍去)，故选D.6．(2018·吉林大学附中检测)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为( )A ．－356 B ．－16C ．－3518D ．－1718解析：选D ∵3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∴3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)， 易知sin α≠cos α，故cos α＋sin α＝26， 两边平方得1＋sin 2α＝118，解得sin 2α＝－1718.7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－45B ．－35C ．－25D ．－15解析：选A 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＋sin α＝32cos α＋32sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 8．(2018·长沙模拟)在△ABC 中，若3(tan B ＋tan C )＝tan B ·tan C －1，则sin 2A ＝( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：选D 由两角和的正切公式知tan B ＋tan C ＝tan(B ＋C )(1－tan B ·tan C )， 所以3(tan B ＋tan C )＝tan B ·tan C －1＝3tan(B ＋C )(1－tan B ·tan C )， 所以tan(B ＋C )＝－33，所以tan A ＝33，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6，所以sin 2A ＝32，故选D.二、填空题9．化简：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________. 解析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.答案：110．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.解析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称， 所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos(α－β)＝cos(2α－2k π－π)＝－cos 2α ＝－(1－2sin 2α)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－79.答案：－7911．(2018·东北三省四市联考)已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2 x 2－sin x －1sin x ＋cos x＝________.解析：由诱导公式得tan(3π－x )＝－tan x ＝2， 即tan x ＝－2，故2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－3.答案：－312．(2018·珠海六校联考)已知tan(α＋β)＝25，tan β＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为________．解析：∵tan(α＋β)＝25，tan β＝13，∴tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan α＋β－tan β1＋tan α＋β·tan β＝25－131＋25×13＝117，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝1＋1171－117＝98.答案：98三、解答题13．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的取值集合；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．解：(1)f (x )＝sin x cos x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 故当2x －π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝5π12＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值1，故当f (x )取得最大值1时，x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5π12＋k π，k ∈Z. (2)由(1)可知f (x )的图象关于直线x ＝5π12对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝1，∴x 1＋x 2＝5π6，即x 1＝5π6－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝f (x 2)＝23.14．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f(x)＝1－cos 2x2－1－cos⎝⎛⎭⎪⎫2x－π32＝12⎝⎛⎭⎪⎫12cos 2x＋32sin 2x－12cos 2x＝34sin 2x－14cos 2x＝12sin⎝⎛⎭⎪⎫2x－π6.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f⎝⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f⎝⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f⎝⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.1．已知函数f(x)＝sin2ωx2＋12sin ωx－12(ω>0)，x∈R，若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，18B.⎝⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1C.⎝⎛⎦⎥⎤0，58D.⎝⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58解析：选D f(x)＝sin2ωx2＋12sin ωx－12＝12sin ωx－12cos ωx＝22sin⎝⎛⎭⎪⎫ωx－π4，因为π<x<2π，所以ωπ－π4<ωx－π4<2ωπ－π4，因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧22sin⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ－π4≥0，22sin⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π4≥0或⎩⎪⎨⎪⎧22sin⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ－π4≤0，22sin⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π4≤0，则⎩⎪⎨⎪⎧2k＋14≤ω≤2k＋54，k＋18≤ω≤k＋58(k∈Z)或⎩⎪⎨⎪⎧2k－34≤ω≤2k＋14，k－38≤ω≤k＋18(k∈Z)，又因为ω>0，所以0<ω≤18或14≤ω≤58.2．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)＋2sin 2ωx ＋φ2－1(ω>0，0<φ<π)为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为π2.(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π4时，求f (x )的单调递减区间； (2)将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴方向向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6时，求函数g (x )的值域． 解：(1)由题意得，f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6，因为相邻两对称轴间的距离为π2，所以T ＝2πω＝π，ω＝2.又因为函数f (x )为奇函数，所以φ－π6＝k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z.因为0<φ<π，所以φ＝π6，故函数f (x )＝2sin 2x .令π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ， 令k ＝－1，得－3π4≤x ≤－π4，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π4，所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π4.(2)由题意可得，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π6，所以－2π3≤4x －π3≤π3， 所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3≤32，g (x )∈[－2，3]，即函数g (x )的值域为[－2，3]．。
(五年高考真题)2016届高考数学复习 第四章 第四节 三角恒等变换 理(全国通用)
第四节 三角恒等变换考点 三角函数的求值与化简1．(2015·新课标全国Ⅰ，2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.答案 D2．(2014·新课标全国Ⅰ，8)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，所以sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，因此α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选C.答案 C3．(2013·重庆，9)4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2B.2＋32C. 3D ．22－1解析 4cos 50°－tan 40° ＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin 100°－sin 40°cos 40°＝2sin （60°＋40°）－sin 40°cos 40°＝2×32cos 40°＋2×12sin 40°－sin 40°cos 40°＝ 3. 答案 C4．(2012·重庆，5)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， 而tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3，故选A.答案 A5．(2012·山东，7)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35 B.45C.74D.34解析 ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，∴cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18，∴sin θ＝1－cos 2θ2＝34，故选D. 答案 D6．(2012·大纲全国，7)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53解析 由(sin α＋cos α)2＝13，得2sin αcos α＝－23.∵α在第二象限，∴cos α<0，sin α>0，∴cos α－sin α＝－（sin α＋cos α）2－4sin αcos α ＝－153， 故cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎫－153＝－53，选A. 答案 A7．(2015·四川，12)sin 15°＋sin 75°的值是________．解析 sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 答案628．(2015·江苏，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析 ∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tanβ＝3. 答案 39．(2014·新课标全国Ⅱ，14)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－ 2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．解析 f (x )＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－ cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ，因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为1. 答案 110．(2013·新课标全国Ⅰ，15)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________． 解析 f (x )＝sin x －2cos x＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫15sin x －25cos x ，令cos α＝15，sin α＝－25，则f (x )＝5sin(α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )有最大值5，即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝－25＝－255.答案 －25511．(2011·江苏，7)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________．解析 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝2，得tan x ＝13，tan x tan 2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x ＝12(1－tan 2x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝49. 答案 4912．(2015·山东，16)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z, 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 13．(2014·江西，16)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)若a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值． 解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ， 因为x ∈[0，π]， 从而π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f （π）＝1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2a sin θ）＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1， 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2知cos θ≠0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.14．(2014·广东，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ.解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝32，∴A ·32＝32，A ＝ 3. (2)f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π4＝32， ∴3[22(sin θ＋cos θ)＋22(－sin θ＋cos θ)]＝32， ∴6cos θ＝32，cos θ＝64，又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 15．(2014·江苏，15)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 (1)因为a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.16．(2013·广东，16)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 解 (1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π12 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos π4＝1.(2)因为cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π， 所以sin θ＝－45.所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ ＝－725－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝1725.。
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三角化简求值
时间:30分钟，总分：70分 班级： 姓名：
一、选择题
1. (北京市海淀区2016届高三第一学期期中数学理5)已知函数
，下列结论错误的是 （ ）
A ．
B ．函数的图象关于直线x ＝0对称
C ．的最小正周期为π
D ．的值域为
2．.(北京市石景山区2016届高三第一学期期末数学理15)已知函数R x x x x x f ∈-=,sin 2cos sin 32)(2. 求函数)(x f 在[0,]4
π上的最大值（ ） A.1 B. 0 C. -1 D.2
3．若()()11sin ,sin 23
αβαβ+=-=，则tan tan αβ为（ ） A ．5 B ．-1 C ．6 D ．16
4．000
0sin 47sin17cos30cos17
-（ ） A
． B ．12- C ．12
D
5
．若
cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭则cos sin αα+的值为（ ） A
． B ．12- C ．12 D
6．设α、β都是锐角，且cos α＝13
，sin （α＋β）＝45，则cos β等于（ ） A
B
C 或
D ．以上都不对
7
．若函数()cos f x x x ωω=+的图像向右平移
3π个单位后所的图像关于y 轴对称，则ω的值可以
是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10
8．若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-
=- （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
二、填空题
9．（北京市顺义区2015届高三第一次统一练习（一模）理14
）已知函数
()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈又12()2,()0f x f x =-=且12||x x -的最小值等于π.则ω的值为_________．
10.（北京市丰台区2015届高三5月统一练习（二）理11）
已知函数21()sin 22f x x x =
+，则()f x 的最小正周期是 ；如果()f x 的导函数是()f x '，则()6f π'= ．
11.（北京市海淀区101中学2014年高三上学期期中模拟考试理8）函数],0[,sin cos )(π∈+=x x x x f 的最大值是 ．
12.(北京市东城区2016届高三第一学期期末数学理16)
已知函数22()sin cos cos ()f x x x x x x =+-∈R ． 若α为第四象限角，且3cos 5α=，求7π()212f α+的值为________.。