§16.1.1复数的概念
《复数》知识点总结
《复数》知识点总结一、基本概念：1. 复数：由实数和虚数相加构成的数，形如a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
2.实数：实数即我们常说的数，包括有理数和无理数。
3.虚数：不能与实数相对应的数，虚部b≠0。
4.复数集：由所有复数构成的集合，记作C。
5.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数。
6. 复平面：以实轴为x轴，虚轴为y轴，将复数a+bi与平面上的点(z, y)一一对应。
7. 模长：用来衡量复数a+bi从原点到相应点的距离，记作，a+bi。
二、复数运算：1.加法：对应实部相加，虚部相加，记作(z1+z2)=(a1+a2)+(b1+b2)i。
2.减法：对应实部相减，虚部相减，记作(z1-z2)=(a1-a2)+(b1-b2)i。
3.乘法：先用分配律展开，再利用i的平方等于-1化简得到结果。
4.除法：乘以共轭复数的形式，再利用公式得到结果。
5.幂运算：将复数表示为模长和辐角的形式，利用欧拉公式进行计算。
6.开方：可以用模长和辐角的形式表示，通过极坐标展开公式进行计算。
三、复数的性质：1.加法交换律，减法和乘法也满足交换律。
2.加法结合律，减法和乘法也满足结合律。
3.乘法满足分配律。
4.加法有单位元0+0i，乘法有单位元1+0i。
5.对于任何复数z，存在唯一的共轭复数z*，满足z+z*=2Re(z)（其中Re(z)表示实部）。
6.对于任何复数z，有，z，^2=z*z。
四、复数的应用：1.向量：复数可以表示平面上的向量，可以用来描述物体在平面上的位移和方向。
2.电路分析：电阻、电感、电容等元件在交流电路中可以用复数表示，方便进行计算和分析。
3.信号处理：复数可以表示正弦波和余弦波等周期函数，方便进行频域分析。
复数是数学中一个非常重要的概念，在多个领域具有广泛的应用。
理解和掌握复数的基本概念、运算规则和性质，对于学习和应用相关领域的知识都是至关重要的。
《复数》定义及其性质
《复数》定义及其性质
（数的概念扩展）
复数x被定义为二元有序实数对(a,b)[1] ，记为z=a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位。
在复数a+bi中，a=Re(z)称为实部，b=Im(z)称为虚部。
当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。
复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。
复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
复数的四则运算规定为：加法法则：（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；减法法则：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i；乘法法则：（a+bi）·（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i；除法法则：（a+bi）÷（c+di）=[（ac+bd）/（c²+d²）]+[（bc-ad）/（c²+d²）]i.[2]
例如：[（a+bi）+（c+di）]-[(a+c）+（b+d）i]=0，最终结果还是0，也就在数字中没有复数的存在。
[（a+bi）+（c+di）]-[(a+c）+（b+d）i]=z是一个函数。
数学复数概念知识点总结
数学复数概念知识点总结1.复数的定义复数是由实数和虚数单位i组成的数，虚数单位i定义为i^2=-1。
因此，一个一般的复数可以表示为z=a+bi，其中a和b都是实数，a称为复数的实部，b称为复数的虚部。
显然，实数可以视作具有虚部为0的复数。
复数的虚部和实部分别在复平面上对应于y轴和x轴的坐标，这使得复数可以用平面上的点来表示，也被称为复平面。
2.复数的运算复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，下面分别介绍这些运算的规则。
加法和减法：两个复数的加法和减法是按照实部和虚部分别进行运算的，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i和(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
乘法：两个复数的乘法可以通过分配律和虚数单位的定义进行计算，即(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=ac+(ad+bc)i-bd。
除法：复数的除法可以通过乘以共轭复数后再进行化简得到，即(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-ad)/(c^2+d^2)i。
复数的运算遵守了实数的运算规则，并且通过虚数单位i的定义可以很方便地进行计算。
3.复数的幅角表示复数在复平面上可以用极坐标形式表示，即z=r(cosθ+isinθ)，其中r为复数到原点的距离，θ为复数与实轴的夹角。
这种表示方式可以很方便地计算幂运算和求根运算，也称为辐角表示。
4.复数方程与不等式复数可用于解方程和不等式。
解复数方程和不等式时，通常要转化为复数运算后再进行计算。
方程的解：复数方程通常会有多个解，因为虚部的存在使得复数有无穷多个根。
例如，方程z^2=1有两个根z=1和z=-1。
对于高次复数方程，可以使用牛顿法和其他数值方法来求解。
不等式：复数的大小可以用模来表示，即|z|=√(a^2+b^2)，这便是复数的模。
因此，复数的比较大小可以转化为模的比较，即|z1|<|z2|表示z1的模小于z2的模。
复数知识点归纳
1 / 8 复数知识点归纳 【知识梳理】 一、复数的基本概念 1虚数单位的性质 2 2 i复数知识点归纳①I可与实数进行四则运算；② I = ;这样方程x= -1就有解了，解为X二i
或 x = -i 2、复数的概念 (1) _______________________________________________________________ 定义：形如a bi
(a,b€ R)的数叫做复数，其中1叫做虚数单位,a叫做 ____________________________ ,b叫做 ____ 。全体复 数所成的集合C复数知识点归纳z表示，即z = a • bi @,b€ R) 对于复数的定义要注意以下几点： ① z = a bi (a,b € R)被称为复数的代数形式，其中bi表示b与虚数单位i相乘 ② 复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 (2) 分类： 满足条件(a,b为实数)
复数的分类 a + bi为实数？ b= 0 a + bi为虚数？ 0 a + bi为纯虚数？ a = 0且b* 0
2 例题：当实数m为何值时复数(m -5m 6) (m -3m)i是实数？虚数？纯虚数?
、复数相等 a bi = c di 二 a 二 c,b 二 d (a,b, c,d R) 也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等 注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小
例题：已知(x • y-3) • (x-4)i =°求x, y的值
三、共轭复数 2/8
a bi 与 c di 共轭二 a =c, b =「d(a,b, c, d R)
z =a +bi的共轭复数记作 z =a —bi，且z z = a2 +b2
四、复数的几何意义 1、复平面的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表3/8 示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 2、复数的几何意义
复数的有关概念
复数的有关概念1. 复数的定义复数是数学中的一个重要概念，用于表示实数以外的数。
复数由实部和虚部组成，可以用 a + bi 的形式表示，其中 a 和 b 均为实数，i 表示虚数单位，满足 i^2 = -1。
在复数中，a 表示实部，b 表示虚部。
2. 复数的运算与实数类似，复数也可以进行加、减、乘、除运算。
下面分别介绍这些运算的具体定义：2.1 加法和减法复数的加法和减法可以通过实部和虚部的分别相加或相减来完成。
例如，对于复数 a + bi 和 c + di，它们的加法和减法分别为： - 加法：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i - 减法：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i2.2 乘法复数的乘法可以通过实部和虚部的运算来完成。
例如，对于复数 a + bi 和 c + di，它们的乘法为：(a + bi) * (c + di) = (a * c - b * d) + (a * d + b * c)i2.3 除法复数的除法可以通过乘以共轭复数并除以模的平方来完成。
例如，对于复数 a + bi 和 c + di，它们的除法为：(a + bi) / (c + di) = [(a * c + b * d) / (c^2 + d^2)] + [(b * c - a * d) / (c^2 + d^2)] * i3. 复数的性质复数具有一些特殊的性质，下面列举其中几个重要的性质：3.1 共轭复数对于复数 a + bi，它的共轭复数为 a - bi。
共轭复数的实部相同，虚部相反。
例如，对于复数 3 + 4i，它的共轭复数为 3 - 4i。
3.2 模复数的模可以表示为复数到原点的距离，记作 |a + bi|。
模的计算公式为：|a + bi| = sqrt(a^2 + b^2)3.3 幂运算复数的幂运算可以根据指数法则来进行计算。
数学复数知识点总结
数学复数知识点总结数学复数是在实数的基础上构造的一种数，它包含了实数无法涵盖的一类数。
复数在数学中拥有广泛的应用，尤其在电路分析、信号处理、量子力学等领域发挥着重要的作用。
本文将对数学复数的相关概念、性质和运算法则进行总结，帮助读者更好地理解和应用复数。
一、复数的定义和基本概念复数由实部和虚部组成，一般表示为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
1.1 复数的实部和虚部:实部和虚部是复数的两个独立部分。
实部表示复数在实数轴上的投影，常用Re(z)表示；虚部表示复数在虚数轴上的投影，常用Im(z)表示。
1.2 复数的共轭:设z=a+bi为一个复数，其共轭复数为z*=a-bi。
共轭复数的实部与原复数相同，而虚部符号相反。
1.3 复数的模和辐角:复数的模表示复数到原点的距离，用|z|表示。
模的计算公式为|z|=√(a²+b²)。
复数的辐角表示复数与正实轴的夹角，用arg(z)表示。
二、复数的运算法则复数的运算法则与实数的运算法则有很多相似之处，但也存在一些特殊的规则。
2.1 加法和减法:复数的加法和减法运算只需将实部和虚部进行相应的计算。
即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。
2.2 乘法:复数的乘法是通过将两个复数的实部和虚部进行展开计算得到。
即(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
2.3 除法:复数的除法需要借助共轭复数进行计算。
即(a+bi)÷(c+di)=((a+bi)×(c-di))/(c²+d²)。
三、复数的指数和对数运算与实数类似，复数也可以进行指数和对数运算。
3.1 复数的指数形式:复数可以用指数形式表示为z=r×e^(iθ)，其中r为模，θ为辐角。
指数形式可以简化复数的运算，并方便表示周期性现象。
复数的概念及运算
CHENLI
5
④除法：zz21＝ac＋＋dbii＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii）） ＝（ac＋bd）c2＋＋（d2bc－ad）i(c＋di≠0). (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有： z1＋z2＝_z_2_＋__z_1 ，(z1＋z2)＋z3＝_z_1＋__(_z_2＋__z_3_)._.
答案：A
CHENLI
23
CHENLI
20
【互动探究】 3．(2015 年广东江门一模)i 是虚数单位，1＋1 i＋i＝( A )
A.1＋2 i
B.1－2 i
C.1＋2 3i
D.－12－i
CHENLI
21
●易错、易混、易漏●
⊙对复数概念理解不透彻致误
例题：(1)(2012 年广东韶关三模)若复数 z＝(x2－1)＋(x－1)i
图 10-2-1
A．A
B．B
C．C
D．D
解析：z 的共轭复数与 z 实部相等，虚部相反，所对应的点
与 z 所对应的点关于 x 轴对称．故选 B.
答案：B
CHENLI15源自(2)(2013 年山东)复数 z＝2－i i2(i 为虚数单位)，则|z|＝
()
A．25
B. 41
C．5
D. 5
解析：z＝2－i i2＝3－i 4i＝3－i24ii＝4－＋13i＝－4－3i， 则|z|＝ －42＋－32＝5.
CHENLI
13
【互动探究】 1．(2014年湖南)复数3＋i2 i(i为虚数单位)的实部等于 ___－__3___．
解析：由题意，得3＋i2 i＝－3－i，－3－i 的实部为－3.
复数的知识点总结高一
复数的知识点总结高一高中数学中，复数是一个重要且基础性的概念。
掌握好复数的知识对于学好高中数学具有重要意义。
本文将对复数的一些知识点进行总结和归纳，让我们一起来探讨一下吧！一、复数的定义与表示复数是由实数和虚数构成的数，记作a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位（即i²=-1）。
实数部分a可以为0，虚数部分b也可以为0。
当虚数部分b≠0时，复数就是非实数。
二、复数的运算1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法的运算规则与实数的加法和减法类似，实数部分分别相加减，虚数部分分别相加减。
2. 复数的乘法：复数的乘法也遵循分配律、交换律以及结合律。
具体计算时，将实数部分和虚数部分分别相乘再相加即可。
3. 复数的除法：复数的除法需要进行有理化处理，即将除数的实部与虚部分别乘以其共轭复数（即虚数部分取相反数），然后按照分数的除法规则进行计算。
三、复数的共轭与模1. 共轭复数：设z=a+bi为一个复数，其中a和b分别为实数部分和虚数部分。
则z的共轭复数记作z*=a-bi。
共轭复数的实部不变，虚部取相反数。
2. 复数的模：模是复数的长度或大小，记作|z|。
复数z的模等于实部a和虚部b构成的向量的长度，即|z|=√(a²+b²)。
模的计算也可以通过利用共轭复数来简化，即|z| = √(z · z*)。
四、复数的指数形式复数可以通过指数形式进行表示。
设z=a+bi为一个复数，其中a和b分别为实数部分和虚数部分。
利用欧拉公式，复数可以表示为z=r*e^(iθ)，其中r为模，θ为辐角（即与正实轴的夹角）。
e为数学常数，近似值约为2.71828。
在指数形式下，复数的乘除运算变得简单，只需要对模和辐角进行相应的运算。
五、复数的应用复数的应用广泛，尤其在电学和物理学中扮演着重要角色。
例如，交流电中的电流和电压可以用复数来表示，便于进行计算和分析。
此外，在信号处理、控制系统以及振动与波动等领域中，复数也有着广泛的应用。