复数的基本概念与基本运算
复数的基本概念与运算法则
复数的基本概念与运算法则复数是数学中的一种数形。
它由实部和虚部组成，可以表示在二维平面上的点。
复数的形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
一、复数的基本概念1. 实部和虚部：复数的实部和虚部分别用Re(z)和Im(z)表示，其中z是一个复数。
例如，对于复数2+3i来说，实部为2，虚部为3。
2. 共轭复数：对于复数z=a+bi，它的共轭复数z*定义为z的实部不变，而虚部取相反数，即z*=a-bi。
例如，对于复数2+3i来说，其共轭复数是2-3i。
3. 复数的模：复数z=a+bi的模表示为|z|，定义为实部和虚部的平方和的平方根，即|z| = √(a^2+b^2)。
例如，对于复数2+3i，它的模为√(2^2+3^2)=√13。
4. 平面表示：复数可以在复平面上表示为一个点。
复平面中，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
因此，复数a+bi对应于复平面上的点(a, b)。
二、复数的运算法则1. 加减法：复数的加减法涉及实部和虚部的运算。
例如，对于复数z = a+bi和复数w = c+di，它们的和为z+w = (a+c) + (b+d)i，差为z-w = (a-c) + (b-d)i。
2. 乘法：复数的乘法涉及实部、虚部和虚数单位的运算。
例如，对于复数z = a+bi和复数w = c+di，它们的乘积为zw = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 除法：复数的除法一般涉及共轭复数和模的运算。
例如，对于非零复数z = a+bi和非零复数w = c+di，它们的商为z/w =(ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i。
4. 乘方：复数的乘方涉及实部、虚部和幂指数的运算。
例如，对于复数z = a+bi和非零正整数n，它们的乘方为z^n = (a+bi)^n =r^n(cos(nθ) + isin(nθ))，其中r = |z|，θ为z的辐角。
复数的基本概念及运算ppt课件
8.点M是△ABC所在平面内的一点,且满足 AM =
3 4
AB +
1 4
AC
,
则△ABM与△ABC的面积之比为_____.
类似题：《作业手册》P251 选做2
（10分）已知△ABC中, AB = a , AC = b ,对于平面ABC上 任意一点O,动点P满足 OP = OA +λa +λ b ,则动点P的轨. 迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.
（1）i4n=1; i4n+1=i; i4n+2=-1 i4n+3=-i
(2)in+in+1+in+2+in+3=0；
(3) (1±i)2=±2i ；
(4) 1 i i, 1 i i; 1i 1 i
(5) 设 ω - 1 3 i 则 22
ω3 1，ω2 ω，ω2 ω 1 0.
EX1:《创新》P213 例3
今晚自修①《作业手册》P315
4. 复数 z = a+bi 的模、共轭复数的概念:
| z | a2 b2
z a bi
5. 复数相等:
a=c
a+bi=c+di (a,b,c,d∈R)
b=d
注意 : 两个虚数不能比较大小!
二、复数的代数形式及运算法则
设 z1 a bi, z2 c di (a,b,c,d R) 加减法：(a bi) (c di) (a c) (b d)i
(2)(3 4i) (1 2i) 2 2i (3)a = 0是复数z = a + bi为纯虚数的必要不充分条件 (4)z = z是复数z R的充要条件 (5)若z z 0，则复数z为纯虚数 (6)任意两个复数不能比较大小 以上说法正确的有 __________
复数的基本概念和运算
复数的基本概念和运算复数是数学中一个重要的概念，它是由实数和虚数构成的。
本文将介绍复数的基本概念和运算方法。
一、复数的基本概念复数是由实数与虚数相加组成的数，通常表示为a+bi，其中a 是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位，满足i²=-1。
实数部分和虚数部分都可以是正数、负数或零。
在复数的表示中，实数部分和虚数部分都是具体的数，可以是整数、小数或分数。
当虚数部分为0时，复数退化成实数。
当实数部分为0时，复数是纯虚数。
二、复数的运算1. 复数的加法复数的加法遵循实部相加、虚部相加的原则。
例如，设有两个复数a+bi和c+di，它们的和为(a+c)+(b+d)i。
2. 复数的减法复数的减法是加法的逆运算，即将减数取相反数后，按照加法的规则进行计算。
例如，设有两个复数a+bi和c+di，它们的差为(a-c)+(b-d)i。
3. 复数的乘法复数的乘法遵循分配律和虚数单位平方为-1的原则，即(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 复数的除法复数的除法是乘法的逆运算，即将除数的共轭复数作为分子和分母的乘积，然后按照乘法的规则进行计算。
例如，设有两个复数a+bi和c+di，它们的商为[(ac+bd)/(c²+d²)]+[(bc-ad)/(c²+d²)]i。
三、复数的应用复数在数学中有广泛的应用，在物理学、工程学、电子学等领域都起着重要的作用。
1. 物理学中的应用复数在波动理论、电磁场理论等物理学中有着重要的应用。
例如在波动理论中，复数可以表示波的振幅、相位等信息。
2. 工程学中的应用在工程学中，复数在信号处理、控制系统、电路分析等方面起着关键的作用。
例如在控制系统中，复数可以表示系统的稳定性、响应速度等性能指标。
3. 电子学中的应用在电子学中，复数在交流电路分析、滤波器设计等方面被广泛应用。
例如在交流电路分析中，复数可以表示电压和电流的相位关系等信息。
初中数学知识归纳复数的基本概念和运算
初中数学知识归纳复数的基本概念和运算初中数学知识归纳：复数的基本概念和运算在初中数学学习过程中，复数是一个重要的概念。
它不仅扩展了实数系，还在解决方程、函数图像等问题中发挥了重要的作用。
本文将对初中数学中关于复数的基本概念和运算进行归纳总结，帮助同学们掌握这一知识点。
一、复数的概念复数是由实数和虚数构成的数，形如a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
实部和虚部都是实数。
实数可以看作虚部为零的复数，即实数与复数是可以相互转化的。
二、复数的表示形式1. 笛卡尔形式：即a+bi的形式，其中a为实部，bi为虚部。
在笛卡尔形式下，复数可以进行加减乘除等运算。
2. 三角形式：z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。
三角形式的复数形式清晰、直观，适合于处理角度相关的问题。
三、复数的基本运算1. 加法和减法：复数相加减时，将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，得到结果的实部和虚部。
例如，(2+3i)+(4+5i)=6+8i；(2+3i)-(4+5i)=-2-2i。
2. 乘法：复数相乘时，按照FOIL法则进行计算，即先乘首项，再乘外项，再乘内项，最后乘末项。
例如，(2+3i)×(4+5i)=8+10i+12i+15i^2=8+22i-15=7+22i。
3. 除法：将除法转化为乘法，并与倒数相乘。
例如，(2+3i)/(4+5i)=(2+3i)×(4-5i)/(4+5i)×(4-5i)=（2+3i）(4-5i)/(4^2-(5i)^2)=(8+7i)/(16+25)=8/41+7/41i。
四、复数的性质1. 实部与虚部的运算：实数与复数相加减时，实数部分保持不变，虚数部分仍然是虚数。
例如，3+（2+5i）=5+5i；3-（2+5i）=1-5i。
2. 共轭复数：复数a+bi的共轭复数为a-bi，记作a-bi。
例如，共轭复数与原复数的实部相等，但虚部符号相反。
3. 幂：复数的幂运算可以使用三角形式直接计算。
推导复数的基本概念与运算
推导复数的基本概念与运算复数是由实数和虚数构成的数学概念。
它具有实部和虚部，实部表示实数部分，虚部表示虚数部分。
推导复数的基本概念与运算，我们可以从以下几个方面进行探讨。
一、复数的基本定义复数可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 为实数部分，b 为虚数部分，i 为虚数单位，满足 i^2=-1。
实数部分和虚数部分可以是任意实数。
二、复数的图像表示复数可以在复平面上进行图像表示，实部和虚部分别作为横纵坐标，在复平面上得到坐标点。
通过复数的图像表示，我们可以更直观地理解复数的性质和运算。
三、复数的加法和减法复数的加法和减法运算与实数的加法和减法类似。
对于两个复数a+bi 和 c+di，实部相加，虚部相加得到结果。
四、复数的乘法复数的乘法运算使用分配律进行计算。
对于两个复数 a+bi 和 c+di，将其展开后，按照实部和虚部相加的方式计算得到结果。
五、复数的除法复数的除法运算存在一定的复杂性。
我们可以将除法运算转化为乘法运算，即通过求倒数的方式来实现。
对于两个复数 a+bi 和 c+di，先求倒数后再进行乘法运算得到结果。
六、复数的共轭复数的共轭是指保持实部相同，而虚部变号的操作。
对于复数a+bi，它的共轭复数为 a-bi。
共轭复数在复数运算中有重要的应用。
七、复数的模和幅角复数的模表示复数到原点的距离，可以使用勾股定理进行计算。
复数的幅角表示复数与实轴的夹角，可以使用反正切函数进行计算。
模和幅角是描述复数性质的重要指标。
八、复数的乘方和开方复数的乘方和开方运算可以使用指数运算进行计算。
复数的乘方表示复数连乘的结果，复数的开方表示找到指定次数幂等于该复数的复数值。
在复数的推导中，我们还可以应用欧拉公式、复数的指数函数和对数函数等高级数学概念。
这些内容超出本篇文章的范围，但相信通过以上基本概念与运算的探讨，读者已能初步理解和应用复数的推导。
总结：通过对复数的基本概念与运算的推导，我们可以更全面地了解复数的性质和运算规律。
复数的基本概念与运算规则
复数的基本概念与运算规则复数是数学中的一种数形式，可以表示为实部与虚部的和。
在复数中，虚部用i来表示，i为虚数单位，满足i² = -1。
复数的基本概念与运算规则是我们学习复数的基础，以下将对其进行详细介绍。
一、复数的基本概念复数由实部和虚部组成，一般表示为a + bi，其中a为实部，bi为虚部。
实部和虚部都可以是实数。
当虚部为0时，复数退化为实数。
反之，当实部为0时，复数退化为纯虚数。
二、复数的表示形式1. 笛卡尔形式：复数a + bi可以表示为有序对(a, b)，其中a表示实部，b表示虚部。
2. 楔形式：复数a + bi可以表示为模长和辐角的形式。
其中模长是复数到原点的距离，辐角是复数与实轴的夹角。
三、复数的运算规则1. 加法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其和为(a + c) + (b +d)i。
即实部相加，虚部相加。
2. 减法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其差为(a - c) + (b - d)i。
即实部相减，虚部相减。
3. 乘法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其积为(ac - bd) + (ad+ bc)i。
即实部的乘积减去虚部的乘积，然后再加上实部和虚部的乘积。
4. 除法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其商为[(ac + bd)/(c² + d²)] + [(bc - ad)/(c² +d²)]i。
即实部的乘积加上虚部的乘积除以除数的模长的平方，然后再加上虚部的乘积减去实部的乘积除以除数的模长的平方。
4. 共轭运算：对于复数a + bi，其共轭为a - bi。
即实部不变，虚部取相反数。
五、复数的基本性质1. 加法满足交换律和结合律：对于任意复数a, b和c，有a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 乘法满足交换律和结合律：对于任意复数a, b和c，有ab = ba和(ab)c = a(bc)。
复数的基本概念和运算
复数是由实数和虚数部分组成的数。
实数部分和虚数部分可以写成一对有序实数(x, y)，其中x是实数部分，y是虚数部分。
复数常用形式为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
复数的基本概念：1.实数部分和虚数部分：复数可以表示为实数部分和虚数部分的和。
实数部分表示复数在实轴上的位置，虚数部分表示复数在虚轴上的位置。
2.纯虚数和实数：如果一个复数的实数部分为0，则该复数为纯虚数。
纯虚数可以表示为bi，其中b为非零实数。
3.共轭复数：如果一个复数的实数部分保持不变而虚数部分的符号取相反数，得到的复数称为原复数的共轭复数。
共轭复数可以表示为a-bi。
复数的运算：1.加法：两个复数相加可以将它们的实数部分相加，虚数部分相加。
例如(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
2.减法：两个复数相减可以将它们的实数部分相减，虚数部分相减。
例如(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
3.乘法：两个复数相乘可以使用分配律和i^2=-1。
例如(a+bi)(c+di) =(ac-bd) + (ad+bc)i。
4.除法：两个复数相除可以使用乘法的逆运算。
具体步骤是将除数的共轭复数乘以被除数，并将结果除以除数的模的平方。
例如(a+bi) / (c+di) = [(a+bi) * (c-di)] / (c^2+d^2) = [(ac+bd) + (bc-ad)i] /(c^2+d^2)。
复数运算的性质：1.加法和乘法满足交换律和结合律。
2.乘法满足分配律。
3.共轭复数的和等于两个复数的和的共轭。
4.除数和商的共轭等于被除数的共轭。
复数的应用：1.在物理学中，复数用于描述波的振幅和相位，如电磁波传播。
2.在工程学中，复数用于描述电路中的交流信号，如频率和相位差。
3.在数学分析中，复数用于解析几何和向量运算。
4.在计算机科学中，复数用于图像处理和信号处理。
总结起来，复数的基本概念包括实数部分和虚数部分，复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
复数的基本概念和运算
1、复数 z=x+iy或 z=x+yi 、
x, y为实数;i 2 = −1
实部： ( z ) = x; 虚部为 Im ( z ) = y Re 若 Im ( z ) = 0，则z为实数； 若 Re ( z ) = 0，则z为纯虚数。
共轭 z = x − iy
z1 z1 i) z1 ± z2 = z1 ± z2, z1z2 = z1z2, = ; z2 z2 ii) z = z; iii) zz =[ R z)] +[ Im z)] ; e( (
x → x0 y → y0
定理四、如果 f ( z )， g ( z )在 z 0处连续，下列函数在 z 0 处都连续。 处连续， 处都连续。 定理四、 f ( z ) ± g ( z ),
w = zn 多 项 式 ： w = P ( z ) = a 0 + a1 z + L + a n z n 有 理 式 ： w= P(z) 在 Q(z) ≠ 0 Q(z)
– 复平面与直角坐标平面上的点一一对应
y
0
z = x + iy (x,y )
x
P
• 向量表示
–模 – 幅角
| z |= r = x 2 + y 2
y
θ
O
z=x+iy
θ = Argz = arg z + 2kπ θ 0 = arg z, −π < θ0 ≤ π
x
z=0时辐角不确定
• 三角表示： z = r (cos θ + i sin θ )
(4) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支和其它各分支 处处连续, 处处可导, 且 (ln z )′ = 1 , (Lnz )′ = 1 .
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复数的基本概念与基本运算
一、《考试说明》中复数的考试内容(1)数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；(2)复数的代数表示与向量表示；(3)复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；(4)复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。
二、考试要求（1）使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念．掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换；（2）掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义；（3）掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法．（4）通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力．（5）通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育．三、学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；?(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z = r(cosθ+isinθ) , OZ(Z(a,b)) , z=a+bi (3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；复(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三
角数实数集集形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根纯虚数集ω的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）；(7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。
四、本章知识结构与复习要点1．知识体系表解 1 1/16页2．复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位，规定2i,,1，形如a+bi的数称为复数，其中a，b?R．(2)复数的分类(下面的a，b均为实数) (3)复数的相等设复数，那么的充要zz,zabizabiababR,，,，,,(,,,)121112221122条件是：．abab,,且1122 (4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b?R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的． 2 2/16页复数
z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b) abR,,，，向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．(7)复数与实数不同处?任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．?实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．3．有关计算：?**n4k，rrkNrN,,,nN,ii,i怎样计算？（先求n被4除所得的余数，），，，，1313?,,,，i、,,,,i
是1的两个虚立方根，并且：
122222113322 ,,,,1,,,,,,,,,,12122121,,12 ,，,,,1 ,,,,,,1212 21? 复数集内的三角形不等式是：z,z,z,z,z，z，其中左边在复数121212z、z对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z、z对应的向量共1212线且同向（反向）时取等号。
nn? 棣莫佛定理是：,,r(cos,，isin,),r(cosn,，isinn,)(n,Z)? 若非零复数z,r(cos,，isin,)，则z的n次方根有n个，即：2k，2k，,,,,nz,r(cos，isin)(k,0，1，2，？，n,1) knn它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？nrn 3 3/16页,,z,2，z,3(cos，isin),z? 若，复数z、z对应的点分别是A、B，
则?12121331,AOB（O为坐标原点）的面积是，2，6，sin,33。
232? z=。
z,z? 复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：?轨迹为一条射线。
argz,,,(为实常数), ?轨迹为一条射线。
arg(zz,),,(z是复常数，,是实常数）,00 ?轨迹是一个圆。
z,z,r(r 是正的常数）,0 ?轨迹是一条直线。
z,z,z,z(z、z是复常数),1212 ?轨迹有三种可能z,z，z,z,2a(z、z是复常数，a是正的常数）,1212情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；2a,z,z2a,z,z1212c)当时，轨迹不存在。
2a,z,z12 ?z,z,z,z,2a(a是正的常数),轨迹有三种可能情形：a)
当122a,z,z时，轨迹为双曲线；b) 当2a,z,z时，轨迹为两条射线；c) 当12122a,z,z时，轨迹不存在。
12 五、高考命题规律分析复数在过去几年里是代数的重要内容之一，涉
及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一。
但随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，因此考生要把握好复习的尺度。
从近几年的高考试题上看：复数部分考查的重点是基础知识题型和运算能力题型。
基础知识部分重点是复数的有关概念、复数的代数形式、三角形式、两复数相等的充要条件及其应用，复平面内复数的几何表示及复向量的运算。
主要考点为复数的模与辐角主值，共轭复数的概念和应用。
若只涉及到一、二个知识点的试题大都集中在选择题和填空题；若涉及几个知识点的试题，往往是中、高档题目，解答此类问题一般要抓住相应的概念进行正确的变换，对有些题目，往往用数形结合可获得简捷的解法。
有关复数n次乘方、求4 4/16页辐角（主值）等问题，涉及到复数的三角形式，首先要将所给复数转化为三角形式后再进行变换。
复数的运算是高考中复数部分的热点问题。
主要考查复数的代数和三角形式的运算，复数模及辐角主值的求解及复向量运算等问题。
基于上述情况，我们在学习“复数”一章内容时，要注意以下几点：（1）复数的概念几乎都是解题的手段。
因此在学习复数时要在深入理解、熟练掌握复数概念上下功夫。
除去复数相等、模、辐角、共轭复数的三角形式和代数式，提供了将“复数问题实数化”的手段。
复数的几何意义也是解题的一个重要手段。
（2）对于涉及知识点多，与方程、三角、解析几何等知识综合运用的思想
方法较多的题型，以及复数本身的综合题，一直成为学生的难点，应掌握规律及典型题型的技巧解法，并加以强化训练以突破此难点；(3) 重视以下知识盲点：?不能正确理解复数的几何意义，常常搞错向量旋转的方向；?忽视方程的虚根成对出现的条件是实系数；?盲目地将实数范围内数与形的一些结论，不加怀疑地引用到复数范围中来；?容易混淆复数的有关概念，如纯虚数与虚数的区别问题，实轴与虚轴的交集问题，复数辐角主值的范围问题等。
六、典型例题分析?实数？?虚数？?纯虚数？?复数z是实数的充要条件是：?当m＝,2时复数z为实数．?复数z是虚数的充要条件： 5 5/16页。