1-1复数的基本概念
新教材高中数学第5章复数1复数的概念及其几何意义 复数的几何意义课件北师大版必修第二册
z1，z2 对应的点之间的距离．
思考2：复数模的几何意义是什么？ 提示：复数z在复平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常数,则满足 条 件 |z| ＝ r 的 点 Z 的 轨 迹 为 以 原 点 为 圆 心 , r 为 半 径 的 圆 , |z|<r 表 示 圆 的 内 部,|z|>r表示圆的外部．
C．(0,0)
D．(－1,－1)
3．向量a＝(－2,1)所对应的复数是
A．z＝1＋2i
B．z＝1－2i
C．Z＝－1＋2i
D．z＝－2＋i
(A ) (D )
4．已知复数 z＝1＋2i(i 是虚数单位)，则 z ＝___1_－__2_i _.
[解析] 因为 z＝1＋2i，所以 z ＝1－2i.
5．已知复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点位于第二象限，则实数 m 的范围为__(_1_，___2_)_.
[分析] 根据复数与点、复数与向量的关系求解．
[解析] (1)两个复数对应的点分别为 A(10,7)，B(－6，1)，则 C(2,4)．故 其对应的复数为 2＋4i.
(2)①由复数的几何意义知： O→A＝(1,0)，O→B＝(2,1)，O→C＝(－1,2)， 所以A→B＝O→B－O→A＝(1,1)，A→C＝O→C－O→A＝(－2,2)，B→C＝O→C－O→B＝ (－3,1)，所以A→B，A→C，B→C对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－3＋i.
[解析] 因为复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点(m2－2，m－1)位于 第二象限，所以 m2－2<0，且 m－1>0，所以 1<m< 2.
01-第一节 复数的概念-课时1 数系的扩充和复数的概念高中数学必修第二册人教版
6
2
2
2
2.设i是虚数单位，若复数 = 3 + 2 + (2 − 3)i的实部与虚部互为相反数，
则实数 =( A )
A.5
B.−5
C.3
D.−3
【解析】 因为复数 = 3 + 2 + (2 − 3)i的实部与虚部互为相反数，所
以3 + 2 = −(2 − 3)，解得 = 5.
Hale Waihona Puke 1 = 2 ⇔ = 且 = .
D.−3
8.[2024安徽安庆名校联考]若i − 2i2 = + 2i,, ∈ ，则复数 + i等
于( B
A.−2 + i
)
B.4 + 2i
C.1 − 2i
D.1 + 2i
【解析】 由i2 = −1,得i − 2i2 = 2 + i,则2 + i = + 2i,根据复数相等
所以 = 5时，复数为实数.
（2）为纯虚数;
【解析】
2 −−6
当
+3
= 0且 + 3 ≠ 0且2 − 2 − 15 ≠ 0时，复数为纯
虚数,
解得 = 3或 = −2,
所以 = 3或 = −2时，复数为纯虚数.
（3）为虚数.
【解析】 当 + 3 ≠ 0且2 − 2 − 15 ≠ 0时，复数为虚数,解得
第七章 复数
第一节 复数的概念
课时1 数系的扩充和复数的概念
过基础 教材必备知识精练
知识点1 数系的扩充和复数的概念
1.复数 =
1
A.−
2
【解析】
1
工程数学《复变函数》(第四版)课件 1-1,2 西安交大 天津工业大学理学院 赵璐
z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3
z1 ( z2 z3 ) = ( z1 z2 ) z3
分配律
z1 ( z2 + z3 ) = z1 z2 + z2 z3
9
⑤ 设 z x iy, 定义 z的共轭复数z x iy. 共轭复数的性质： i) ii)
x x1 t x 2 x1 y y1 t y 2 y1
t
∴它的复数形式的参数方程为
z x yi z1 t z2 z1 t
由z1 到 z 2 直线段的参数方程为
20
z1 z 2 1 特别地，取 t , 则线段 z1 z2 的中点为 z 2 2
z1 5 5i 3 4i 5 5i 3 4i 3 4i z 2 3 4i
z1 求 与 z2
z1 z 2
25 1 3i z , 求 Rez , Im z 与 zz . 例2 设 i 1 i
复 变 函 数
教师： 赵璐 邮箱：zhaolu.nan@
课程介绍
• 研究对象：复变函数（自变量为复数的函数） • 主要任务：研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分。
· 学习方法：复变函数中许多概念、理论、和方
法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之 间有许多相似之处，但又有不同之点，在学习中 要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的 那些性质与结果。
x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 2 x1 x2 y1 y2 2 Rez1 z2
万变不离其宗五【选修1-1,1-2,4-5】：专题四 推理与证明、复数 含解析
(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．(2)分类：推理⎩⎪⎨⎪⎧合情推理演绎推理2．合情推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式：三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做 出的判断.4．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法．(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． 综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又称为：执果索因法(逆推证法)． 5．间接证明反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． 6．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2．7．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i ―→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )―→一一对应 平面向量OZ →．8．复数的运算(1)复数的加、减 、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．行；归纳推理是依据特殊现象推断出一般现象，因此所得结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的．2．归纳推理的一般过程：(1)通过观察个别情况发现相同的性质； (2)推出一个明确表述的一般性结论．3．在数学中，类比是发现概念、方法、定理、公式的重要手段，并且应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限等之间有不少结论都是先用类比的方法提出猜想，然后再加以证明的．4．类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)，但结论不一定正确，有待进一步证明．5.把握合情推理与演绎推理的三点(1)合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．(2)在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．(3)应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．6.在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．7.演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写；(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．8．综合法又叫顺推证法或由因导果法，它是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理是在寻求它的必要条件．综合法的解题步骤用符号表示是：P(已知)⇒Q1⇒Q2⇒Q3⇒…⇒Q n⇒Q(结论)．9．分析法又叫逆推证法或执果索因法，它是从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的实质是寻求使结论成立的充分条件．分析法的解题步骤用符号表示是：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(已知)．10．分析法与综合法的综合应用分析法和综合法是两种思路相反的推理证明方法，二者各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁，且表述易错；综合法条理清晰，宜于表述，缺点是探路艰难，易生枝节．在证明数学问题的过程中分析法和综合法往往是相互结合的，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法表述．11．用反证法证明命题的一般步骤：(1)分清命题的条件和结论； (2)做出与命题结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用正确的推理方法，推出与已知条件，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾的结果；(4)断定产生矛盾的原因是假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 12．可用反证法证明的数学命题类型 (1)结论是否定形式的命题；(2)结论是以至多、至少、唯一等语句给出的命题； (3)结论的反面是较明显或较易证明的命题；(4)用直接法较难证明或需要分成多种情形进行分类讨论的命题． 13．常见的“结论词”与“反设词”14.几个应注意的问题 (1)两个虚数不能比较大小．(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z 1，z 2∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内有可能成立． 15．复数的运算技巧(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．16．复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i ＝－i ；(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(3)i 4n ＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0，n ∈N *.17.解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部 18.复数几何意义及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 19.复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．1. 原题（选修1-2第五十一页例）1(1)m m m i ++-实数取什么值时复数z=是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？改编1 若复数sin 2(1cos 2)z a i a =--是纯虚数,则a = .改编2 使复数为实数的充分而不必要条件是 ( )A ．z z -= B ．z z = C ．2z 为实数 D ．z z -+为实数 【解析】 ∴即要找出若“复数为实数”则不能推出的选项选B 改编3 若有,,R R X +-分别表示正实数集,负实数集,纯虚数集,则集合}{2mm X ∈=( ).A ．R +B ．R -C ．RR +- D ．{}0R +【解析】 222(0),)0m m bi b m bi b B =≠=-<∴若为纯虚数，设则(选＝2. 原题（选修1-2第五十五页习题3.1 A 组第5题）：实数m 取什么值时，复平面内表示复数22(815)(514)z m m m m i =-++--的点（1）位于第四象限？ （2）位于第一、二象限？（3）位于直线上？改编1 复数ｚ＝（ａ2－2ａ）＋（ａ2－ａ－2）ｉ对应的点在虚轴上，则（ ） A.ａ≠2或ａ≠1 B.ａ≠2且ａ≠1 C.ａ＝2或ａ＝0 D.ａ＝0【解析】 200 2.a a a -=∴==2要求虚部为即可或0.即a改编2 已知复数12z i =+，21z i =-，则在12z z z =⋅复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】123z z z i z ==-∴复数表示的点在第四象限.选D.改编 3 如果35a <<,复数22(815)(514)z a a a a i =-++--在复平面上的对应点z 在 象限.改编4 已知ｚ0＝2＋2ｉ，|ｚ－ｚ0|，（1）求复数ｚ在复平面内对应的点的轨迹;（2）求ｚ为何值时，|ｚ|有最小值，并求出|ｚ|的最小值.【解析】（1）设z ＝x ＋y ｉ（x ，y ∈R ），由|ｚ－ｚ0|，即 |x ＋y ｉ－（2＋2ｉ）|＝|（x －2）＋（y －2）ｉ|，解得（x －2）2＋（y －2）2＝2∴复数ｚ点的轨迹是以Z 0（2,2的圆. （2）当Z 点在OZ 0的连线上时，|ｚ|有最大值或最小值，∵| OZ 0|＝，∴当ｚ＝1＋ｉ时，|ｚ|ｍｉｎ.3. 原题（选修1-2第五十五页习题 3.1B 组第二题）改编 设,C z ∈满足条件.12141log 21->--+-z z 的复数z 所对应的点z 的集合表示什么图形?【解析】12,14|1|4log 12|1|81012|1|28z Z Z Z z Z -+-+>-<->----由，得化简得：，所以表示以为圆心，以为半径的圆0<（，）的外部.4. 原题（选修1-2第六十三页复习参考题A 组1（4））1(2i i -3复数+的值为( ) A. B. C.-1 D.1改编12008200711()122i i i +⎛⎫+-+ ⎪-⎝⎭＝（ ）A. 2ｉB.－1＋ｉC.1＋ｉD.2 【解析】22320082007210043669111)1,()1,)()[()][()]2222i i i ii i i ==--+=∴+-+=+-+=1+1+1+((1-1-1- .D ∴选改编2 复数ｚ＝1＋ｚ＋ｚ2的值；5. 原题（选修1-2第六十三页复习参考题B 组第二题）改编1 2012432i i i i i +++++ 的值为________．【解析】 0432=+++i i i i 则2012432i i i i i +++++ =0. 改编2若1z i=-,那么100501z z ++的值是 . 【解析】22441005042522525252))(1),1,11(1)(1)221()()1(1)1i i i z z i z i i i i z z z z i i+++===∴==∴=-=--+∴++=++=-++=又。
新教材高中数学第5章复数1复数的概念及其几何意义1-1复数的概念课件北师大版必修第二册
【对点练习】❷ m 取何实数时，复数 z＝m2m－＋m3－6＋(m2－2m－15)i. (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？
[解析] (1)由条件得mm2＋－32≠m0－，15＝0， ∴mm＝ ≠－5或3.m＝－3， ∴当 m＝5 时，z 是实数． (2)由条件得mm2＋－32≠m0－. 15≠0， ∴mm≠ ≠5－且3m. ≠－3， ， ∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
[解析] 由 m2＋5m＋6＝0 得，m＝－2 或 m＝－3，由 m2－2m－15 ＝0 得 m＝5 或 m＝－3.
(1)当 m2－2m－15＝0 时，复数 z 为实数，∴m＝5 或－3. (2)当 m2－2m－15≠0 时，复数 z 为虚数， ∴m≠5 且 m≠－3. (3)当mm22－ ＋25mm－ ＋165＝≠00. ， 时，复数 z 是纯虚数，∴m＝－2. (4)当mm22－ ＋25mm－ ＋165＝＝00. ， 时，复数 z 是 0，∴m＝－3.
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．
(×)
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．
(√)
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数
的相等．
(√)
[解析] (1)当b＝0时，z＝a＋bi为实数．
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则这两个复数的
a2－3a－1＝3， ∴a2－5a－6＝0. 解得 a＝－1．
4．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于__－__3__. m2－9＝0
[解析] ∵z<0，∴m＋1<0 ，∴m＝－3.
5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：10.1.1复数的概念含解析
第十章复数10．1复数及其几何意义10．1.1复数的概念[课程目标] 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学知识体系内部的矛盾(数的运算规则、求方程的根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．知识点一复数的概念及分类[填一填](1)复数的概念①为了使得方程x2＝－1有解，人们规定i的平方等于－1，即i2＝－1，并称i为虚数单位．②当a与b都是实数时，称a＋b i为复数，复数一般用小写字母z 表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)．其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b.(2)复数的分类所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋b i，a，b∈R}．任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数．特别地，称虚部不为0的复数为虚数，称实部为0的虚数为纯虚数．[答一答]1．复数集与实数集的关系是怎样的？与已学过的有关数集的关系是怎样的？提示：实数集R 是复数集C 的真子集，即RC .至此，我们学过的有关数集的关系如下：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧ 实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎨⎧ 纯虚数(a ＝0)，非纯虚数(a ≠0).知识点二 复数相等 [填一填]两个复数z 1与z 2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z 1＝z 2.如果a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .特别地，当a ，b 都是实数时，a ＋b i ＝0的充要条件是a ＝0且b ＝0.[答一答]2．怎样理解两复数相等的概念？提示：(1)两个实数可以比较大小，但两个不全是实数的复数就不能比较大小，只能说相等或不相等．如2＋i 和3－i,2和i 之间就无大小可言．(2)虚数不能比较大小，有大小关系的两个数一定是实数．两个不全为实数的复数不能比较大小．(1)根据复数a＋b i与c＋d i相等的定义可知，在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么就有a＋b i≠c＋d i.(2)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．(3)实数之间的“<”(小于)关系，具有以下性质：①若a<b，b<c，则a<c；②若a<b，则对任意实数c，满足a＋c<b＋c；③若a<b，c>0，则ac<bc.如果我们要在复数之间引入一个“小于”关系，自然也应要求具有上述性质，但是，在复数之间具有上述性质的关系却是不存在的.类型一复数的概念[例1]判断下列说法是否正确．(1)当z∈C时，z2≥0；(2)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；(3)若a>b，则a＋i>b＋i.[分析]本题考查复数的基本概念和基本性质．[解](1)错误．当且仅当z∈R时，z2≥0成立．若z＝i，则z2＝－1<0.(2)错误．当a＝－1时，(a＋1)i＝(－1＋1)i＝0·i＝0∈R.(3)错误．两个虚数不能比较大小．1.虚数单位i 具有i 2＝－1的性质.2.只有在两个复数都是实数时，才可以比较它们的大小.3.复数z 的平方未必为非负数.[变式训练1] 下列命题正确的是(1)．(1)复数－i ＋1的虚部为－1.(2)若z 1，z 2∈C 且z 1－z 2>0，则z 1>z 2.(3)任意两个复数都不能比较大小．解析：(1)复数－i ＋1＝1－i ，虚部为－1.正确．(2)若z 1，z 2不全为实数，则z 1，z 2不能比较大小．错误．(3)若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．类型二 复数的分类[例2] 已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[分析] 根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的a 的值．[解] (1)当z 为实数时，⎩⎨⎧ a 2－1≠0，a 2－5a －6＝0，∴⎩⎨⎧ a ≠±1，a ＝－1或a ＝6.∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z为虚数时，⎩⎨⎧a2－5a－6≠0，a2－1≠0，⎩⎪⎨⎪⎧a≠－1且a≠6，a≠±1.∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，⎩⎨⎧a2－7a＋6a2－1＝0，a2－5a－6≠0，∴⎩⎨⎧a＝6，a≠－1且a≠6.∴不存在实数a，使得z为纯虚数．本题除要熟悉复数的实部、虚部的概念及复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件外，还要注意“分式分母不为零”这个隐含条件.[变式训练2]实数m取什么值时，复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．解：设z＝(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i.(1)要使z为实数，必须有m2－3m＝0，得m＝0或m＝3，即m＝0或m＝3时，z为实数．(2)要使z为虚数，必须有m2－3m≠0，即m≠0且m≠3.故m≠0且m≠3时，z为虚数．(3)要使z为纯虚数，必须有⎩⎨⎧m2－3m≠0，m2－5m＋6＝0.∴⎩⎨⎧ m ≠3且m ≠0，m ＝3或m ＝2.∴m ＝2.∴m ＝2时，z 为纯虚数．(4)要使z ＝0时，依复数相等的充要条件有：⎩⎨⎧ m 2－5m ＋6＝0，m 2－3m ＝0⇒⎩⎨⎧ m ＝2或m ＝3，m ＝0或m ＝3⇒m ＝3，∴当m ＝3时，复数z 为零．类型三 复数相等的应用[例3] (1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x 、y 的值．(2)关于x 的方程3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．[分析] (1)复数a ＋b i ＝c ＋d i 的充要条件是什么？(⎩⎨⎧ a ＝c ，b ＝d )(2)利用复数相等解题的前提是什么？(a ，b ，c ，d ∈R )[解] (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎨⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝－1.(2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a 2m －1＝(10－m －2m 2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.1.利用两个复数相等进行解题的依据是实部与虚部分别相等．2．在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R .忽略条件后，不能成立．因此在解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题来解决．[变式训练3] 已知关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0有实数根，求实数m 的值．解：设方程的实根为x 0，则x 20－(2i －1)x 0＋3m －i ＝0，因为x 0、m ∈R ，所以方程变形为(x 20＋x 0＋3m )－(2x 0＋1)i ＝0，由复数相等得⎩⎨⎧ x 20＋x 0＋3m ＝0，2x 0＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－12m ＝112，故m ＝112.1．复数1－i 的虚部是( B )A ．1B ．－1C ．iD ．－i解析：分清复数的实部、虚部是解题的关键．2．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值为( A )A ．1B ．－1C ．±1D ．以上全不对解析：由题意得⎩⎨⎧ x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，∴x ＝1. 3．复数(2x 2＋5x ＋2)＋(x 2＋x －2)i 为虚数，则实数x 满足( D ) A ．x ＝－12B ．x ＝－2或x ＝－12C ．x ≠－2D ．x ≠1且x ≠－2解析：由题意得x 2＋x －2≠0，解得x ≠1且x ≠－2.4．已知z 1＝m 2－3m ＋m i ，z 2＝4＋(5m ＋4)i ，其中m 为实数，i 为虚数单位，若z 1＝z 2，则m 的值为－1.解析：由题意得m 2－3m ＋m i ＝4＋(5m ＋4)i ，从而⎩⎨⎧ m 2－3m ＝4，m ＝5m ＋4，解得m ＝－1.。
高中数学 必修2(北师大)5.1.1复数的概念
方法归纳 利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意 义的条件，再结合实部与虚部的取值求解，否则容易产生增根．特别 要注意，复数 z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件为 a＝0 且 b≠0.
答案：(1)B (2)－4 (3)1＋i 或－1－i
易错辨析 对复数虚部的认识不清致错 例 3 若 z＝i＋i2(i 为虚数单位)，则 z 的虚部是( ) A．1 B．－1 C．i D．－i
解析：∵z＝i＋i2＝－1＋i，∴z 的虚部为 1，故选 A. 答案：A
易错警示
易错原因
纠错心得
对于复数的实部、虚部
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可写成 a＋bi(a，b∈R)的 形式，其中 0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数 b 而非 bi. (3)复数 z＝a＋bi 只有在 a，b∈R 时才是复数的代数形式，否则不 是代数形式．
2．复数代数形式的应用 (1)从代数形式可判定 z 是实数、虚数还是纯虚数，若 z 是纯虚数， 可设 z＝bi(b≠0，b∈R) 若 z 是虚数，可设 z＝a＋bi(b≠0，b∈R) 若 z 是复数，可设 z＝a＋bi(a，b∈R) (2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不 相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
变式探究 本例中的条件改为“m∈R，复数 z＝mmm－＋12＋(m2＋ 2m－3)i，”当 m 为何值时，
(1)z 为实数？ (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数？
解析：(1)要使 z 为实数，m 需满足 m2＋2m－3＝0，且mmm－＋12有意 义，即 m－1≠0，解得 m＝－3.
北师大版必修第二册5-1-1复数的概念课件(32张)
2x－1＋i＝y－3－yi
①
2x＋ay－4x－y＋bi＝9－8i②
有实数解，则实数 a，b 的值分别为__1_,_2____．
解析：(1)因为 m∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.由复数相 等的充要条件得2mm2－＋27＝＝4mm2－ ＋83， ， 解得 m＝5.
[正解] 设方程一实根为 a，则有 a2＋(k＋2i)a＋2＋ki＝0， 由复数相等的定义可得a22a＋＋kka＝＋02，＝0， 解得 k＝±2 2， 因此当 k＝±2 2时，原方程至少有一个实根. [防范措施] 对于复系数的一元二次方程，方程有实根，不能使用 Δ≥0，而应设出 实根代入，然后利用复数相 等的条件解出，这与实系数一元二次方程的解法是有区别的.
[自主记]
[解析] 因为 a，m∈R，所以由 a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，可得a22a＋＋amm＝＋02，＝0，
解得am＝＝－2，2 2
或am＝＝－2
2， 2，
所以 a＝± 2.
(2)[解] 设方程的实数根为 x＝m，
则 3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，
∴3m2－a2m－1＝0， 10－m－2m2＝0，
当 b≠0 时，x0＝－db存在，则 abd＝d2＋b2c. 综上可知，当 b＝d＝0，且 Δ＝a2－4c≥0 或 b≠0，且 abd＝d2＋b2c 时，方程 x2＋(a ＋bi)x＋c＋di＝0(a，b，c，d∈R)有实数根．
m2－m－6＝0， ③当m＋3≠0，
m2－2m－15≠0，
即mm＝≠－－23或，m＝3， m≠5且m≠－3，
即 m＝－2 或 m＝3 时，z 是纯虚数．
研习 2 复数相等的充要条件 [典例 2] (1)已知 a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(m∈R)成立，则实数 a＝___±___2__. (2)关于 x 的方程 3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，求实数 a 的值．
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§1.1 复数的基本概念
授课要点：复数的定义，复数的代数表示，三角式、指数式及它们与复数几何表示（二维向量）之间的关系
1、 复数的定义：
设有一个有序数对(),a b ，遵从如下的运算法则
加法：()()()11221212,,,a b a b a a b b +=++
乘法：()(),,(,)
a b c d ac bd ad bc =-+
则称这一有序数对(),a b 为复数，记为α，即 α=(),a b
其中a 为α实部，b 为α的虚部，记为
a =Re α，
b =Im α
纯实数a =(),0a ，纯虚数记为b =()0,b ，所以有
α=(),0a +()0,b =a(1,0)+b （0,1）
其中(0，1)即为虚数单位，常记为i.
2、 复数的相等与大小
两个复数相等的充要条件是：实部、虚部分别相等.
复数不能比较大小！这一点可用反证法证明：
假设认为i ＞0，则在不等式两边同乘以一个大于0的数i ，不等式符号应当不变，即
20i >
即 -1>0，这显然是错误的！
3、 几个特殊的复数：
(0，0）：(0,0)(,)(,)(0,0)(,)(0,0)a b a b a b +=⎧⎨=⎩
(1,0)：(1,0)(,)(,)a b a b =
(0,1)：（0,1）(0,1)=(-1，0)=-1
(0,1）是-1的平方根，是虚数单位，记为i =(0,1)
4、 共轭复数：(,)a b α=，*
(,)a b α=-互为共轭复数
性质：**()αα=（共轭的共轭等于自己）
*2ααα+=为实数（两个互为共轭的复数相加，结果必为实数） *22a b αα⋅=+，为非负实数（α的模方）
5、 复数的减法、除法
减法：()()()()a ib c id a c i b d +-+=-+- 除法：2222()()()()a ib a ib c id ac bd bc ad i c id c id c id c d c d
++-+-==+++-++ ↑“分母实数化”
6、 复数的几何表示：
（1） 任何一个复数都可以和复平面上的一点对应，将这一点和原点连起来（原点为起
点），形成一个二维矢量，这是一个二维自由向量，即将op 平移后，仍代表同一
矢量（如右图所示）
（2） 加法的几何表示（平行四边形法则与三角形法则）
γαβ=+
（3） 减法的几何表示：
γαβ=- 复数不等式1212z z z z +≤+，1212z z z z -≤-，这 可以用三角形法则证明
7、 复数的极坐标表示
极坐标下，复数(cos sin )r i αθθ=+
r 称为α的模，θ为辐角，记为：
，
r α=，Arg θα=
辐角不唯一，辐角加上2π的任意整数倍代表同一个复数，将
（0，2π）之间的辐角值称为辐角的主值arg α
arg 2Arg k ααπ=+⋅.（k=0，±1，±2，……）
提示：各种教材上的主值区间规定可能不一样，
（0，0）的辐角无意义
复共轭：(cos sin )a bi r i αθθ=+=+
*(cos sin )a bi r i αθθ=-=-
乘法：111(cos sin )r i αθθ=+
222(cos sin )r i βθθ=+则 121122(cos sin )(cos sin )r r i i αβθθθθ=++
1212121212(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )
r r i θθθθθθθθ=-++121212[cos()sin()]r r i θθθθ=+++
规则是：模相乘，辐角相加 除法：112122[cos()sin()]r i r αθθθθβ=-+-
规则是：模相除，辐角相减
相比较而言，在极坐标表示下，复数的乘除运算比较容易
8、 复数的指数表示
欧拉公式：cos sin i e i θ
θθ=+ (cos sin )i r i re θαθθ=+=称为复数α的指数表示
复数表示下，乘法，除法变得更容易
1212
()1212i i i r e r e r r e θθθθαβ+⋅=⋅= 1212()1122i i i re r e
r e r θθθθαβ-== 乘方，开方运算: i re θα=
n n in r e θα=
(2),0,1,21i k n re k n θπ+⋅==-
小结:这一小结是对高中阶段所学复数知识的一个简短的总结回顾，没有难点。
9、 复数球
复数球上的点和复平面上的一一对应，无穷远点和北极N 相对应，需要注意的是：无论A 沿哪种方式趋于无穷远点∞，'A 总是趋于N 。
无穷远点是“一个点”，无穷远点的辐角也没有明确意义。
我们以为自己站在一个平面上，实际是站在一个球面上（地球）
一个无穷大的平面可以等价的看作一个球，这可以帮我们理解静电屏蔽：在无穷大的平面
的左边放置一个电荷，则平面的右边没有该电荷的电场。