离散-11-集合的基本概念_ou
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➢§1.1 集合的基本概念 ➢§1.2 关 系 ➢§1.3 映 射
集合论(Set Theory)发展史
起源可追溯到16世纪末 主要是对数集进行卓有成效的研究。
集合论实际发展是由 19世纪 70年代德国数学 家康托尔在无穷序列和分析的有关课题的理论 研究中创立的。 他创立的集合论是实数理论，以至整个微积分 理论体系的基础。
➢ 1879年 任哈雷大学教授 ➢ 1891年 组建德国数学家联合会，被选为第一任主席 ➢ 1904年 被伦敦皇家学会授予当时数学界最高荣誉—— 西尔威斯特（Sylvester）奖章
➢ 1884年春天起
患了严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安， 精神病时时发作，不得不经常住到精神病院 的疗养所去。变得很自卑，甚至怀疑自己的 工作是否可靠。
➢1918年 在哈雷大学附属精神病院去世
对Cantor的不同评价
克罗内克（L.Kronecker 1823－1891） --Cantor的老师
用各种用得上的尖刻语言，粗暴地、 连续不断地攻击Cantor达十年之久。横加 阻挠Cantor在柏林得到一个薪金较高、声 望更大的教授职位。
法国数学家庞加莱 （H.Poincare 1854－1912）
离散数学结构
Discrete Mathematical Structures
计算机学院智能信息处理研究室
1、课程的性质
➢ 现代数学的一个重要分支 随着计算机科学的发展而逐步建立
➢ 是计算机科学与技术一级学科、软件工程 一级学科及其相关专业必修的基础理论的 核心课程。
1、课程的性质
➢ 研究对象：离散量结构及相互关系。 离散量:逻辑量、图、树、整数、布尔代数 连续量:温度、压力、体积、电压 —— 计算机中离散处理
1920年到北大担任客座教授，一年后离开，隔年 写成《中国问题》这本书
➢1927年，与夫人布拉克在英国彼得斯费 尔德市附近创办一所私立学校，实验他的 教育理论，是当时英国进步主义学校之一。 一直主张“自由教育”和“爱的教育”。 认为教育的基本目的是品格的发展,而 “活力、勇气、敏感和智慧”是形成“理 想品格”的基础。
婚，三次离婚
பைடு நூலகம்
➢ 《罗素自传》序言 我为什么而活着 对爱情的渴望，对知识的追求，对人类苦难不可遏
制的同情心，这三种纯洁但无比强烈的激情支配着我的 一生。这三种激情就像飓风一样，在深深的苦海上，肆 意地把我吹来吹大，吹到濒临绝望的边缘。
我寻求爱情，首先因为爱情给我带来狂喜，它如此 强烈以致我经常愿意为了几小时的欢愉而牺牲生命中的 其它一切。我寻求爱情，其次是因为爱情解除孤寂—— 那是一颗震颤的心，在世界的边缘，俯瞰那冰冷死寂、 深不可测的深渊。我寻求爱情，最后是因为在爱情的结 合中，我看到圣徒和诗人们所想象的天堂景象的神秘缩 影。这就是我所寻求的，虽然它对人生似乎过于美好， 然而最终我还是得到了它。
—— 约 代 因
Cantor的主要研究成果
➢ 通过一一对应关系建立了集合之间等势的概念， 奠定了无限集分类的基础。
➢ 引进了可数集的概念， 证明了有理数全体及代数数全体都是可数集合。
➢ 证明了实数集是不可数集， 从而间接推导出超越数比代数数多， 同时也说明了无限集可按大小区分为不同的类。
Cantor的主要研究成果
➢1931年继承为第三世罗素勋爵 ➢1949年获荣誉勋章 ➢1950年由于“多产而重要的哲学著作,
并以此成为人道主义与自由思想的代 言人”而获得诺贝尔文学奖
➢ 50年代因积极参加世界和平运动，反对核
战争而获得世界和平奖。
团结爱因斯坦、约里奥·居里、汤川秀树和李诺·鲍林等多位 科学家在著名的《罗素―爱因斯坦宣言》上签字--反对核战争
➢证明了n维空间与一维直线之间存在一一 对应。
➢系统研究了序数理论，提出了良序原理。
➢证明了集的幂集比原集有更大的基数。
➢提出了连续统假设。
集合论发展史（继续）
1900年前后，出现了许多悖论 有力冲击了集合论的发展
➢ 著名的罗素悖论 1902年，受到“理发师悖论”的启发而提出。
理发师悖论：“一个理发师宣称，他不给自己刮 脸的人刮脸，但给所有不自己刮脸的人刮脸。” 人们问：“理发师先生，您自己的脸谁刮？”
我以同样的热情寻求知识,我希望了解人的心灵。 我希望知道星星为什么闪闪发光，我试图理解毕达哥 拉斯的思想威力，即数字支配着万物流转。这方面我 获得一些成就，然而并不多。
爱情和知识，尽其可能地把我引上天堂，但是同 情心总把我带回尘世。痛苦的呼号的回声在我心中回 荡，饥饿的儿童，被压迫者折磨的受害者，被儿女视 为可厌负担的无助的老人以及充满孤寂、贫穷和痛苦 的整个世界，都是对人类应有生活的嘲讽。我渴望减 轻这些不幸，但是我无能为力，而且我自己也深受其 害。
I have sought love, first, because it brings ecstasy - ecstasy so great that I would often have sacrificed all the rest of life for a few hours of this joy. I have sought it, next, because it relieves loneliness--that terrible loneliness in which one shivering consciousness looks over the rim of the world into the cold unfathomable lifeless abyss. I have sought it finally, because in the union of love I have seen, in a mystic miniature, the prefiguring vision of the heaven that saints and poets have imagined. This is what I sought, and though it might seem too good for human life, this is what--at last--I have found.
集合论是一个有趣的“病理学的情形”， 后一代将把集合论当作一种疾病，而人 们已经从中恢复过来了。
德国数学家魏尔（C.H.Hermann Weyl， 1885－1955）: 关于基数的等级观点是雾上之雾。
德国数学家菲利克斯.克莱因 （F.Klein，1849－1925）:
不赞成集合论的思想。 数学家H．A．施瓦兹—Cantor的好友 由于反对集合论而同Cantor断交。
⑴ 是否肯定一定对。 ⑵ 是否有更简洁的方法。 ⑶ 推理是否严密。 ⑷ 语言是否流畅。
5、离散数学结构教学内容
➢第一章 集合论基础（集合论） ➢第二章 计数 ➢第三章 古典数理逻辑 ➢第四章 图与网络 （图论） ➢第五章 数论基础 （数论） ➢六—七章 抽象代数 ----离散Ⅱ
离散Ⅰ
第一章 集合论基础
这对我来说是最值得钦佩的数学理智之
花，也是在纯粹理性范畴中人类活动所
取得的最高成就之一。
没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱
赶出去。
——希尔伯特
超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯 粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之 一。
—— 罗 素 由康托尔的工作所带来的哲学革命也许甚 至比数学本身还伟大。
With equal passion I have sought knowledge. I have wished to understand the hearts of men. I have wished to know why the stars shine. And I have tried to apprehend the Pythagorean power by which number holds sway above the flux. A little of this, but not much, I have achieved.
集合论创始人 康托尔 德国数学家 (Georg Cantor 1845－1918)
Cantor 生平
➢ 1845年 出生于俄国 ➢ 1863年 进入柏林大学 ➢ 1866年 获得数学博士学位 ➢ 1874年 在《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第 一篇革命性文章。数学史上一般认为这篇文章的 发表标志着集合论的诞生。
学基础》获三一学院研究员职位 ➢1908年当选为皇家学会会员
➢1910年发表《哲学文集》 1917年发表《哲学的问题》
➢1914年加入工党 ➢第一次世界大战期间,因参加和平主义者的活动,
被处罚金，革职入狱。狱中，撰写《数学哲学导 论》（1919年） ➢1920年访问中国和苏联，著有《布尔什维主义的 实践和理论》
➢1961年，89岁高龄的罗素参与一个核裁军的游行 后被拘禁了7天。
➢反对越南战争，和萨特一起于1967年5月成立了 一个民间法庭（后被称为“罗素法庭”），揭露 美国的战争罪行。
➢ 1959年，发表《西方智慧》 ➢ 1967年95岁高龄之际完成了一生
最优秀的著作之一《罗素自传》 ➢1970年2月2日去世，一生曾四次结
伯特兰·罗素（1872-1970） 英国著名哲学家、数学家、逻辑学家、
散文作家、社会活动家
罗素生平
➢1872年出生于英国，幼年时父母双亡 ➢1890年进剑桥大学三一学院学习 ➢1893年获数学荣誉学士学位一级 ➢1894年获道德哲学荣誉学士学位一级 ➢毕业后曾游学德国学经济，受马克思主义影响，
回国后，在伦敦大学政治和经济学院任讲师 ➢1903年发表《数学原理》一书，并以论文《几何
离散数学结构充分描述了计算机学科离散性的特点。
➢ 是一门理论性较强，应用性较广的课程。
2、课程的目的
❖掌握离散数学结构的基本概念和基本原理
所涉及的概念、方法和理论，大量地出现在 “编译原理”、“数据结构”、“操作系统”、 “数据库系统”、“算法分析”、“定理机器 证明”、“人工智能”等众多领域，为学习这 些课程做了必要的知识准备 。
2、课程的目的
❖ 提供良好的数学训练
⑴提高逻辑思维、抽象思维能力 ⑵提高严密的推理能力 ⑶提高数学语言描述能力 ⑷提高判断对错能力—独立工作能力
分析问题与 解决问题 的能力
3、课程的特点
❖定义与定理多
❖方法性强
4、如何学好离散数学结构？
➢掌握概念： 在模棱两可的地方多下功夫，弄懂、弄透。
➢ 认真完成作业 一道题做完，还要提出如下几个问题：
Love and knowledge, so far as they were possible, led upward toward the heavens. But always pity brought me back to earth. Echoes of cries of pain reverberate in my heart. Children in famine, victims tortured by oppressors, helpless old people a burden to their sons, and the whole world of loneliness, poverty, and pain make a mockery of what human life should be. I long to alleviate this evil, but I cannot, and I too suffer.
这就是我的一生，我觉得它值得活。如果有机会 的话，我还乐意再活—次。
The Prologue to Bertrand Russell's Autobiography What I Have Lived For
Three passions, simple but overwhelmingly strong, have governed my life: the longing for love, the search for knowledge, and unbearable pity for the suffering of mankind. These passions, like great winds, have blown me hither and thither, in a wayward course, over a great ocean of anguish, reaching to the very verge of despair.
集合论(Set Theory)发展史
起源可追溯到16世纪末 主要是对数集进行卓有成效的研究。
集合论实际发展是由 19世纪 70年代德国数学 家康托尔在无穷序列和分析的有关课题的理论 研究中创立的。 他创立的集合论是实数理论，以至整个微积分 理论体系的基础。
➢ 1879年 任哈雷大学教授 ➢ 1891年 组建德国数学家联合会，被选为第一任主席 ➢ 1904年 被伦敦皇家学会授予当时数学界最高荣誉—— 西尔威斯特（Sylvester）奖章
➢ 1884年春天起
患了严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安， 精神病时时发作，不得不经常住到精神病院 的疗养所去。变得很自卑，甚至怀疑自己的 工作是否可靠。
➢1918年 在哈雷大学附属精神病院去世
对Cantor的不同评价
克罗内克（L.Kronecker 1823－1891） --Cantor的老师
用各种用得上的尖刻语言，粗暴地、 连续不断地攻击Cantor达十年之久。横加 阻挠Cantor在柏林得到一个薪金较高、声 望更大的教授职位。
法国数学家庞加莱 （H.Poincare 1854－1912）
离散数学结构
Discrete Mathematical Structures
计算机学院智能信息处理研究室
1、课程的性质
➢ 现代数学的一个重要分支 随着计算机科学的发展而逐步建立
➢ 是计算机科学与技术一级学科、软件工程 一级学科及其相关专业必修的基础理论的 核心课程。
1、课程的性质
➢ 研究对象：离散量结构及相互关系。 离散量:逻辑量、图、树、整数、布尔代数 连续量:温度、压力、体积、电压 —— 计算机中离散处理
1920年到北大担任客座教授，一年后离开，隔年 写成《中国问题》这本书
➢1927年，与夫人布拉克在英国彼得斯费 尔德市附近创办一所私立学校，实验他的 教育理论，是当时英国进步主义学校之一。 一直主张“自由教育”和“爱的教育”。 认为教育的基本目的是品格的发展,而 “活力、勇气、敏感和智慧”是形成“理 想品格”的基础。
婚，三次离婚
பைடு நூலகம்
➢ 《罗素自传》序言 我为什么而活着 对爱情的渴望，对知识的追求，对人类苦难不可遏
制的同情心，这三种纯洁但无比强烈的激情支配着我的 一生。这三种激情就像飓风一样，在深深的苦海上，肆 意地把我吹来吹大，吹到濒临绝望的边缘。
我寻求爱情，首先因为爱情给我带来狂喜，它如此 强烈以致我经常愿意为了几小时的欢愉而牺牲生命中的 其它一切。我寻求爱情，其次是因为爱情解除孤寂—— 那是一颗震颤的心，在世界的边缘，俯瞰那冰冷死寂、 深不可测的深渊。我寻求爱情，最后是因为在爱情的结 合中，我看到圣徒和诗人们所想象的天堂景象的神秘缩 影。这就是我所寻求的，虽然它对人生似乎过于美好， 然而最终我还是得到了它。
—— 约 代 因
Cantor的主要研究成果
➢ 通过一一对应关系建立了集合之间等势的概念， 奠定了无限集分类的基础。
➢ 引进了可数集的概念， 证明了有理数全体及代数数全体都是可数集合。
➢ 证明了实数集是不可数集， 从而间接推导出超越数比代数数多， 同时也说明了无限集可按大小区分为不同的类。
Cantor的主要研究成果
➢1931年继承为第三世罗素勋爵 ➢1949年获荣誉勋章 ➢1950年由于“多产而重要的哲学著作,
并以此成为人道主义与自由思想的代 言人”而获得诺贝尔文学奖
➢ 50年代因积极参加世界和平运动，反对核
战争而获得世界和平奖。
团结爱因斯坦、约里奥·居里、汤川秀树和李诺·鲍林等多位 科学家在著名的《罗素―爱因斯坦宣言》上签字--反对核战争
➢证明了n维空间与一维直线之间存在一一 对应。
➢系统研究了序数理论，提出了良序原理。
➢证明了集的幂集比原集有更大的基数。
➢提出了连续统假设。
集合论发展史（继续）
1900年前后，出现了许多悖论 有力冲击了集合论的发展
➢ 著名的罗素悖论 1902年，受到“理发师悖论”的启发而提出。
理发师悖论：“一个理发师宣称，他不给自己刮 脸的人刮脸，但给所有不自己刮脸的人刮脸。” 人们问：“理发师先生，您自己的脸谁刮？”
我以同样的热情寻求知识,我希望了解人的心灵。 我希望知道星星为什么闪闪发光，我试图理解毕达哥 拉斯的思想威力，即数字支配着万物流转。这方面我 获得一些成就，然而并不多。
爱情和知识，尽其可能地把我引上天堂，但是同 情心总把我带回尘世。痛苦的呼号的回声在我心中回 荡，饥饿的儿童，被压迫者折磨的受害者，被儿女视 为可厌负担的无助的老人以及充满孤寂、贫穷和痛苦 的整个世界，都是对人类应有生活的嘲讽。我渴望减 轻这些不幸，但是我无能为力，而且我自己也深受其 害。
I have sought love, first, because it brings ecstasy - ecstasy so great that I would often have sacrificed all the rest of life for a few hours of this joy. I have sought it, next, because it relieves loneliness--that terrible loneliness in which one shivering consciousness looks over the rim of the world into the cold unfathomable lifeless abyss. I have sought it finally, because in the union of love I have seen, in a mystic miniature, the prefiguring vision of the heaven that saints and poets have imagined. This is what I sought, and though it might seem too good for human life, this is what--at last--I have found.
集合论是一个有趣的“病理学的情形”， 后一代将把集合论当作一种疾病，而人 们已经从中恢复过来了。
德国数学家魏尔（C.H.Hermann Weyl， 1885－1955）: 关于基数的等级观点是雾上之雾。
德国数学家菲利克斯.克莱因 （F.Klein，1849－1925）:
不赞成集合论的思想。 数学家H．A．施瓦兹—Cantor的好友 由于反对集合论而同Cantor断交。
⑴ 是否肯定一定对。 ⑵ 是否有更简洁的方法。 ⑶ 推理是否严密。 ⑷ 语言是否流畅。
5、离散数学结构教学内容
➢第一章 集合论基础（集合论） ➢第二章 计数 ➢第三章 古典数理逻辑 ➢第四章 图与网络 （图论） ➢第五章 数论基础 （数论） ➢六—七章 抽象代数 ----离散Ⅱ
离散Ⅰ
第一章 集合论基础
这对我来说是最值得钦佩的数学理智之
花，也是在纯粹理性范畴中人类活动所
取得的最高成就之一。
没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱
赶出去。
——希尔伯特
超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯 粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之 一。
—— 罗 素 由康托尔的工作所带来的哲学革命也许甚 至比数学本身还伟大。
With equal passion I have sought knowledge. I have wished to understand the hearts of men. I have wished to know why the stars shine. And I have tried to apprehend the Pythagorean power by which number holds sway above the flux. A little of this, but not much, I have achieved.
集合论创始人 康托尔 德国数学家 (Georg Cantor 1845－1918)
Cantor 生平
➢ 1845年 出生于俄国 ➢ 1863年 进入柏林大学 ➢ 1866年 获得数学博士学位 ➢ 1874年 在《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第 一篇革命性文章。数学史上一般认为这篇文章的 发表标志着集合论的诞生。
学基础》获三一学院研究员职位 ➢1908年当选为皇家学会会员
➢1910年发表《哲学文集》 1917年发表《哲学的问题》
➢1914年加入工党 ➢第一次世界大战期间,因参加和平主义者的活动,
被处罚金，革职入狱。狱中，撰写《数学哲学导 论》（1919年） ➢1920年访问中国和苏联，著有《布尔什维主义的 实践和理论》
➢1961年，89岁高龄的罗素参与一个核裁军的游行 后被拘禁了7天。
➢反对越南战争，和萨特一起于1967年5月成立了 一个民间法庭（后被称为“罗素法庭”），揭露 美国的战争罪行。
➢ 1959年，发表《西方智慧》 ➢ 1967年95岁高龄之际完成了一生
最优秀的著作之一《罗素自传》 ➢1970年2月2日去世，一生曾四次结
伯特兰·罗素（1872-1970） 英国著名哲学家、数学家、逻辑学家、
散文作家、社会活动家
罗素生平
➢1872年出生于英国，幼年时父母双亡 ➢1890年进剑桥大学三一学院学习 ➢1893年获数学荣誉学士学位一级 ➢1894年获道德哲学荣誉学士学位一级 ➢毕业后曾游学德国学经济，受马克思主义影响，
回国后，在伦敦大学政治和经济学院任讲师 ➢1903年发表《数学原理》一书，并以论文《几何
离散数学结构充分描述了计算机学科离散性的特点。
➢ 是一门理论性较强，应用性较广的课程。
2、课程的目的
❖掌握离散数学结构的基本概念和基本原理
所涉及的概念、方法和理论，大量地出现在 “编译原理”、“数据结构”、“操作系统”、 “数据库系统”、“算法分析”、“定理机器 证明”、“人工智能”等众多领域，为学习这 些课程做了必要的知识准备 。
2、课程的目的
❖ 提供良好的数学训练
⑴提高逻辑思维、抽象思维能力 ⑵提高严密的推理能力 ⑶提高数学语言描述能力 ⑷提高判断对错能力—独立工作能力
分析问题与 解决问题 的能力
3、课程的特点
❖定义与定理多
❖方法性强
4、如何学好离散数学结构？
➢掌握概念： 在模棱两可的地方多下功夫，弄懂、弄透。
➢ 认真完成作业 一道题做完，还要提出如下几个问题：
Love and knowledge, so far as they were possible, led upward toward the heavens. But always pity brought me back to earth. Echoes of cries of pain reverberate in my heart. Children in famine, victims tortured by oppressors, helpless old people a burden to their sons, and the whole world of loneliness, poverty, and pain make a mockery of what human life should be. I long to alleviate this evil, but I cannot, and I too suffer.
这就是我的一生，我觉得它值得活。如果有机会 的话，我还乐意再活—次。
The Prologue to Bertrand Russell's Autobiography What I Have Lived For
Three passions, simple but overwhelmingly strong, have governed my life: the longing for love, the search for knowledge, and unbearable pity for the suffering of mankind. These passions, like great winds, have blown me hither and thither, in a wayward course, over a great ocean of anguish, reaching to the very verge of despair.