离散-11-集合的基本概念_ou
集合的基本概念
集合的基本概念集合是数学中一个基本的概念，它是由一些确定的元素组成的整体。
在集合理论中，元素是构成集合的最基本单位，而集合由元素组成。
本文将介绍集合的基本概念以及相关的一些术语和符号。
一、集合的定义与表示在数学中，集合是由一些确定的对象（即元素）组成的整体。
集合是一个无序的集合，其中的元素不重复。
数学中通常用大写字母A、B、C等来表示集合，而元素则用小写字母a、b、c等来表示。
集合可以通过列举元素的形式进行表示，例如集合A={1, 2, 3}表示了一个包含元素1、2、3的集合A。
另外，我们还可以通过描述集合的特征来表示集合，例如集合B={x | x是自然数，且x<5}表示了一个包含小于5的自然数的集合B。
二、集合的基本性质1. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，通常用符号∅来表示。
空集是任何集合的子集。
2. 子集与真子集：对于两个集合A和B，如果A中的每一个元素都属于B，那么我们称A是B的子集，记作A⊆B。
如果存在至少一个元素属于A但不属于B，那么我们称A是B的真子集，记作A⊂B。
3. 相等集：如果两个集合A和B中的元素完全相同，那么我们称A 与B相等，记作A=B。
4. 交集、并集与补集：对于两个集合A和B，交集表示包含属于A 且属于B的所有元素的新集合，记作A∩B。
并集表示包含属于A或属于B的所有元素的新集合，记作A∪B。
A关于某个全集的补集表示全集中不属于A的元素组成的集合，记作A'。
三、集合的运算法则集合的运算法则是用来描述集合之间的关系和运算规则的。
1. 结合律：对于任意三个集合A、B、C，交换交集和并集运算的顺序不改变结果，即(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
2. 分配律：对于任意三个集合A、B、C，交集和并集运算满足分配律，即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
3. 德·摩根定律：对于任意两个集合A和B，补集运算满足德·摩根定律，即(A∪B)'=A'∩B'，(A∩B)'=A'∪B'。
离散数学---集合
3、 幂集： 、 幂集：
定义： 是一个集合， 定义：设A是一个集合，由A的所有子集 是一个集合 的所有子集 组成的集合称为A的幂集 ， 组成的集合称为 的幂集， 记 作 P(A)或 的幂集 或
。 2A。 。
该定义可以写作P(A)={u| 该定义可以写作P(A)={u|u⊆ A} P(A)={u 例如， 例如，A = {0, 1}，则 ， P(A) = { {}, {0}, {1}, {0, 1} }
定义： 定义：若A⊆ B且A ≠ B ，则称 A为 ⊆ 且 为 B的真子集。记 作 A ⊂ B ，或 B ⊃ A 的真子集。 的真子集 对一切x如果x 必有x 对一切x如果x∈A必有x∈B，并且存在一个 x0∈B且x0∉A。
三、特殊的集合
1、 空集： 、 空集： 定义： 不含任何元素的集合称为空集， 定义 ： 不含任何元素的集合称为空集 ， 记 作∅。 例如： 例如：Z={xx2+1=0,x∈R}，这是空集。 ∈ ，这是空集。 定理：空集是任何集合的子集。 定理：空集是任何集合的子集。 证明： 证明： ∅ ⊆ A ⇔ ∀ x(x∈∅ x∈A) ⇔1 ∈∅ ∈
特定的一些集合的表示符号
自然数集N={0，1，2，…} ， ， ， 自然数集 整数集合Z={…-2，-1，0，1，2，…} 整数集合 ， ， ， ， ， 有理数集合Q={xx=P⁄⁄q，p,q∈Z} 有理数集合 ， ∈ 实数集合R={ x x是实数 是实数} 实数集合 是实数 复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=-1}
第三章 集合的基本概念
集合(set)：集合是数学中最基本的概念之一， ：集合是数学中最基本的概念之一， 集合 不能以更简单的概念来定义(define)，只能给 ， 不能以更简单的概念来定义 出它的描述(description)。一些对象的整体就 。 出它的描述 称为一个集合， 称为一个集合，这个整体的每个对象称为该 集合的一个元素 集合的一个元素(member或element)。 元素 或 。
集合概念的综述(1).ppt
• (1) 当A不是B的Байду номын сангаас集时，可以记作
A B（或B A）.
• (2)任何一个集合是它本身的子集.
即 A A • (3)空集是任何集合A的子集.即φ A
12
2.真子集：如果A是B的子集，并且 B中至少有一个元素不属于A，那么
集合A叫做集合B的真子集。记作：
A B（或B A）
3
• 13描述法：把集合中的元素的公共属性描 述出来，写在大括号内表示集合的方法。
• 14描述法有两种表述形式：1、数式形式 如由不等式x-3＞2的所有解组成的集合， 可表示为 {x│x-3＞2}； 由直线y=x+1 上所有的点的坐标组成的集合，可表示为 {（x，y）│ y=x+1 }。2、语言形式 如由所 有直角三角形组成的集合，可表示为{直角 三角形}；由所有小于6的正整数组成的集 合，可表示为 {小于6的正整数}
素个数为0，是有限集）。 • 7单元素集：仅含有一个元素的集合。 • 8点集：集合中的元素全部由点组成。 • 9数集：集合中的元素全部由数组成。 • 10解集：由方程或方程组、不等式或不等
式组的解作为元素构成的集合。
2
• 11列举法：把集合中的元素一一列举出来， 写在大括号内表示集合的方法。
• 12列举法有三种形式：1、是有限集而元 素个数较少，如由0、2、-3、5组成的集合 可表示为{0，2，-3，5}；2、是有限集但 元素个数较多，如由从50到100的所有整 数组成的集合可表示为{50，51，52， 53，…，98，99，100}；3、是无限集且 元素离散，如由所有的正偶数组成的集合 可表示为{2，4，6，8，……}
• 1.{大于3小于11的偶数}（描述法） • 答案：4、6、8、10。用列举法可以表示
集合的基本概念与运算
集合的基本概念与运算集合是数学中的一个基本概念，可以理解为具有共同特征的事物的总体。
集合中的元素是指构成集合的个体或对象。
在集合中，元素的顺序并不重要，也不会重复出现。
本文将介绍集合的基本概念、集合运算的种类以及相关的性质。
一、集合的基本概念集合通常用大写字母表示，例如A、B、C等。
集合中的元素用小写字母表示，例如a、b、c等。
如果一个元素x属于集合A，我们用x∈A表示；如果一个元素y不属于集合A，我们用y∉A表示。
一个集合中的元素可以是任何事物，可以是数，可以是字母，也可以是其他集合。
集合的大小可以通过计算集合中元素的个数来确定。
如果集合A中有n个元素，我们用|A|表示集合A的大小，即|A|=n。
二、集合的表示方法1. 列举法：将集合中的元素逐个列举出来并用花括号{}括起来。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示集合A包含了元素1、2、3、4。
2. 描述法：用一个条件来描述集合中的元素。
例如，集合B={x | x 是整数，0≤x≤10}表示集合B包含了满足0≤x≤10的所有整数。
三、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集四种。
1. 并集：记为A∪B，表示包含了属于A或属于B的元素的集合。
即A∪B={x | x∈A或x∈B}。
例如，若A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
2. 交集：记为A∩B，表示包含了既属于A又属于B的元素的集合。
即A∩B={x | x∈A且x∈B}。
例如，若A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。
3. 差集：记为A-B，表示包含了属于A但不属于B的元素的集合。
即A-B={x | x∈A且x∉B}。
例如，若A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A-B={1, 2}。
4. 补集：对于给定的全集U，集合A的补集记为A'，表示包含了属于U但不属于A的元素的集合。
即A'={x | x∈U且x∉A}。
《离散数学集合》课件
满射。
双射
03
如果一个映射既是单射又是满射，则称该映射为双射。
函数的基本性质
确定性
对于任意一个输入，函数只能有一个输出。
互异性
函数的输出与输入一一对应，没有重复的输 出值。
可计算性
对于任意给定的输入，函数都能计算出唯一 的输出值。
域和陪域
函数的输入值的集合称为函数的定义域，函 数输出的集合称为函数的陪域。
04
集合的运算性质
并集运算性质
并集的交换律
对于任意集合A和B，有A∪B=B∪A。
并集的幂等律
对于任意集合A，有A∪A=A。
并集的结合律
对于任意集合A、B和C，有 A∪(B∪C)=(A∪B)∪C。
并集的零律
对于任意集合A和空集∅，有A∪∅=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
交集运算性质
交集的交换律
对于任意集合A和B，有A∩B=B∩A。
在数学中的应用
集合论
集合论是数学的基础，它为数学提供了基本的逻辑和概念 框架。通过集合，可以定义和讨论概念、关系和性质等。
概率论
在概率论中，集合用来表示事件，事件发生的概率可以定 义为该事件所对应的集合的元素个数与样本空间所对应的 集合的元素个数之比。
拓扑学
拓扑学是研究几何形状在大范围内变化的学科。在拓扑学 中，集合用来表示空间中的点、线、面等元素，以及它们 之间的关系。
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03
集合的分类
有穷集和无穷集
有穷集
集合中元素的数量是有限的，可以明 确地列举出集合中的所有元素。例如 ，集合{1, 2, 3}是一个有穷集。
无穷集
集合中元素的数量是无限的，无法列 举出集合中的所有元素。例如，自然 数集N={1, 2, 3,...}是一个无穷集。
集合知识点考点总结
集合知识点考点总结1. 集合的基本概念(1) 集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体。
这些对象可以是数字、字母、符号或者其他事物。
(2) 元素：组成集合的每个对象都称为集合的元素，通常用小写字母表示。
(3) 无序性：集合中的元素没有顺序之分，即两个相同的集合只有相同的元素组成，元素的排列次序不同，它们之间也是相等的。
(4) 互异性：集合中的元素各不相同，即每个元素在集合中只能出现一次。
(5) 集合的表示方法：集合可以用列举法、描述法和等价关系法表示。
2. 集合的分类(1) 空集：不包含任何元素的集合称为空集，通常用符号∅表示。
(2) 单集：只包含一个元素的集合称为单集。
(3) 有限集和无限集：集合中元素的个数有限的称为有限集，否则称为无限集。
(4) 相等集：具有相同元素的集合称为相等集。
3. 集合的运算(1) 并集：设A和B是两个集合，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A和B的并集，通常用符号∪表示。
(2) 交集：设A和B是两个集合，由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合称为A和B的交集，通常用符号∩表示。
(3) 补集：设U是一个给定的集合，A是U的一个子集，由所有属于U而不属于A的元素组成的集合称为A的补集，通常用符号A'表示。
(4) 差集：设A和B是两个集合，由所有属于集合A而不属于集合B的元素组成的集合称为A和B的差集，通常用符号A-B表示。
4. 集合的运算法则和性质(1) 交换律：对于任意的集合A和B，A∪B = B∪A，A∩B = B∩A。
(2) 结合律：对于任意的集合A、B和C，(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
(3) 分配律：对于任意的集合A、B和C，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。
(4) 吸收律：对于任意的集合A和B，A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A。
集合的概念及其基本运算PPT教学课件
在描述法表示集合时，描 述不清或描述错误导致集 合不确定。应该准确描述 元素的性质，确保集合的 确定性。
在进行集合运算时，忽略 空集的情况。空集是任何 集合的子集，因此在进行 交集、并集等运算时需要 考虑空集的情况。
在表示集合时，要确保元 素的互异性，即同一个元 素在一个集合中只能出现 一次。
在进行集合运算时，要遵 循运算规则，确保结果的 准确性。例如，在求交集 时要找两个集合中共有的 元素；在求并集时要将两 个集合中的所有元素合并 在一起并去掉重复元素。
偏序关系与等价关系
等价关系定义
设R是集合A上的一个二元关系 ，如果R满足自反性、对称性和 传递性，则称R是A上的一个等 价关系。
区别
偏序关系不满足对称性而等价关 系满足对称性；偏序关系具有方 向性而等价关系不具有方向性。
01
偏序关系定义
设R是集合A上的一个二元关系 ，如果R满足自反性、反对称性 和传递性，则称R是A上的一个 偏序关系。
说明。
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04
集合的应用举例
在数学领域的应用
数的分类
自然数集、整数集、有理数集、实数集等都 是数学中常见的集合，通过对这些集合的研 究，可以深入了解数的性质和分类。
函数定义域和值域
函数中的定义域和值域都是集合，通过对这 些集合的运算和研究，可以了解函数的性质 和特点。
方程和不等式的解集
方程和不等式的解集也是集合，通过对这些 集合的运算和研究，可以了解方程和不等式 的解的性质和特点。
02
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联系
偏序关系和等价关系都是集合上 的二元关系，都满足自反性和传 递性。
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序偶与笛卡尔积
序偶定义：由两个元素a和b按一定顺序排列成的二元 组称为序偶，记作(a,b)。序偶中的元素具有顺序性，即 (a,b)和(b,a)表示不同的序偶。 笛卡尔积的性质
集合的概念和表示法-集合与关系-离散数学
Φ {Φ}
第22页
3、幂集 引例：求集合的子集及子集的个数
例
A 子集 子集个数 Φ Φ 1 {a} Φ,{a} 2 {a,b} Φ,{a},{b},{a,b} 4 {a,b,c} Φ,{a},{b},{c},{a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} 8 一般来说，对于n个元素的集合A，它的不同的子集 总数有：
0 2 ＋ Cn ＋ C1 C n n ＋…… ＋
Cn n
＝(1+1)n＝2n 所以，n元集共有2n个子集。
第23页
一般来说，对于n个元素的集合A，它的不同的子 集总数有 0 1 2 n
Cn ＋ Cn
＋ C n ＋…… ＋
Cn
而 1 n-1 n n n x n-2y2 ＋… ＋ ＋ (x+y)n= C 0 C n x y ＋ C2 n x C n n y 令x=y=1时得 0 n 2 n ＋ 2 = Cn ＋ C1 ＋ …… ＋ C C n n n 所以不同子集总数有 2n
文氏(Venn)图-辅助的集合的表示方法
第6 页
1、枚举法（显式表示法）
就是把集合的元素（全部或部分）写在花括号的里面， 每个元素仅写一次，不考虑顺序，并用”,”分开。 例 （1）命题的真假值组成的集合：S={T,F} （2）A＝{a，e，i，o，u}
第7 页
在使用中，分两种情况：
（1）当集合中元素个数有限且较少时，将元素全部写出。 例1：设集合A是由绝对值不超过3的整数组成。 A={-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} （2）当集合A元素的个数无限或有限但个数较多时，不 能或不需要一一列举出来，只要写出少数元素，以显示 出它的规律。（当规律不明确，不能用此方法）。 例2：设集合B是由自然数的平方构成的集合。 B = {0, 1, 4, 9, 16, …, n2, …}
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➢1927年，与夫人布拉克在英国彼得斯费 尔德市附近创办一所私立学校，实验他的 教育理论，是当时英国进步主义学校之一。 一直主张“自由教育”和“爱的教育”。 认为教育的基本目的是品格的发展,而 “活力、勇气、敏感和智慧”是形成“理 想品格”的基础。
➢§1.1 集合的基本概念 ➢§1.2 关 系 ➢§1.3 映 射
集合论(Set Theory)发展史
起源可追溯到16世纪末 主要是对数集进行卓有成效的研究。
集合论实际发展是由 19世纪 70年代德国数学 家康托尔在无穷序列和分析的有关课题的理论 研究中创立的。 他创立的集合论是实数理论，以至整个微积分 理论体系的基础。
➢1918年 在哈雷大学附属精神病院去世
对Cantor的不同评价
克罗内克（L.Kronecker 1823－1891） --Cantor的老师
用各种用得上的尖刻语言，粗暴地、 连续不断地攻击Cantor达十年之久。横加 阻挠Cantor在柏林得到一个薪金较高、声 望更大的教授职位。
法国数学家庞加莱 （H.Poincare 1854－1912）
➢1961年，89岁高龄的罗素参与一个核裁军的游行 后被拘禁了7天。
➢反Байду номын сангаас越南战争，和萨特一起于1967年5月成立了 一个民间法庭（后被称为“罗素法庭”），揭露 美国的战争罪行。
➢ 1959年，发表《西方智慧》 ➢ 1967年95岁高龄之际完成了一生
最优秀的著作之一《罗素自传》 ➢1970年2月2日去世，一生曾四次结
➢ 1879年 任哈雷大学教授 ➢ 1891年 组建德国数学家联合会，被选为第一任主席 ➢ 1904年 被伦敦皇家学会授予当时数学界最高荣誉—— 西尔威斯特（Sylvester）奖章
➢ 1884年春天起
患了严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安， 精神病时时发作，不得不经常住到精神病院 的疗养所去。变得很自卑，甚至怀疑自己的 工作是否可靠。
婚，三次离婚
➢ 《罗素自传》序言 我为什么而活着 对爱情的渴望，对知识的追求，对人类苦难不可遏
制的同情心，这三种纯洁但无比强烈的激情支配着我的 一生。这三种激情就像飓风一样，在深深的苦海上，肆 意地把我吹来吹大，吹到濒临绝望的边缘。
我寻求爱情，首先因为爱情给我带来狂喜，它如此 强烈以致我经常愿意为了几小时的欢愉而牺牲生命中的 其它一切。我寻求爱情，其次是因为爱情解除孤寂—— 那是一颗震颤的心，在世界的边缘，俯瞰那冰冷死寂、 深不可测的深渊。我寻求爱情，最后是因为在爱情的结 合中，我看到圣徒和诗人们所想象的天堂景象的神秘缩 影。这就是我所寻求的，虽然它对人生似乎过于美好， 然而最终我还是得到了它。
我以同样的热情寻求知识,我希望了解人的心灵。 我希望知道星星为什么闪闪发光，我试图理解毕达哥 拉斯的思想威力，即数字支配着万物流转。这方面我 获得一些成就，然而并不多。
爱情和知识，尽其可能地把我引上天堂，但是同 情心总把我带回尘世。痛苦的呼号的回声在我心中回 荡，饥饿的儿童，被压迫者折磨的受害者，被儿女视 为可厌负担的无助的老人以及充满孤寂、贫穷和痛苦 的整个世界，都是对人类应有生活的嘲讽。我渴望减 轻这些不幸，但是我无能为力，而且我自己也深受其 害。
这就是我的一生，我觉得它值得活。如果有机会 的话，我还乐意再活—次。
The Prologue to Bertrand Russell's Autobiography What I Have Lived For
Three passions, simple but overwhelmingly strong, have governed my life: the longing for love, the search for knowledge, and unbearable pity for the suffering of mankind. These passions, like great winds, have blown me hither and thither, in a wayward course, over a great ocean of anguish, reaching to the very verge of despair.
离散数学结构充分描述了计算机学科离散性的特点。
➢ 是一门理论性较强，应用性较广的课程。
2、课程的目的
❖掌握离散数学结构的基本概念和基本原理
所涉及的概念、方法和理论，大量地出现在 “编译原理”、“数据结构”、“操作系统”、 “数据库系统”、“算法分析”、“定理机器 证明”、“人工智能”等众多领域，为学习这 些课程做了必要的知识准备 。
With equal passion I have sought knowledge. I have wished to understand the hearts of men. I have wished to know why the stars shine. And I have tried to apprehend the Pythagorean power by which number holds sway above the flux. A little of this, but not much, I have achieved.
—— 约 代 因
Cantor的主要研究成果
➢ 通过一一对应关系建立了集合之间等势的概念， 奠定了无限集分类的基础。
➢ 引进了可数集的概念， 证明了有理数全体及代数数全体都是可数集合。
➢ 证明了实数集是不可数集， 从而间接推导出超越数比代数数多， 同时也说明了无限集可按大小区分为不同的类。
Cantor的主要研究成果
I have sought love, first, because it brings ecstasy - ecstasy so great that I would often have sacrificed all the rest of life for a few hours of this joy. I have sought it, next, because it relieves loneliness--that terrible loneliness in which one shivering consciousness looks over the rim of the world into the cold unfathomable lifeless abyss. I have sought it finally, because in the union of love I have seen, in a mystic miniature, the prefiguring vision of the heaven that saints and poets have imagined. This is what I sought, and though it might seem too good for human life, this is what--at last--I have found.
集合论是一个有趣的“病理学的情形”， 后一代将把集合论当作一种疾病，而人 们已经从中恢复过来了。
德国数学家魏尔（C.H.Hermann Weyl， 1885－1955）: 关于基数的等级观点是雾上之雾。
德国数学家菲利克斯.克莱因 （F.Klein，1849－1925）:
不赞成集合论的思想。 数学家H．A．施瓦兹—Cantor的好友 由于反对集合论而同Cantor断交。
离散数学结构
Discrete Mathematical Structures
计算机学院智能信息处理研究室
1、课程的性质
➢ 现代数学的一个重要分支 随着计算机科学的发展而逐步建立
➢ 是计算机科学与技术一级学科、软件工程 一级学科及其相关专业必修的基础理论的 核心课程。
1、课程的性质
➢ 研究对象：离散量结构及相互关系。 离散量:逻辑量、图、树、整数、布尔代数 连续量:温度、压力、体积、电压 —— 计算机中离散处理
伯特兰·罗素（1872-1970） 英国著名哲学家、数学家、逻辑学家、
散文作家、社会活动家
罗素生平
➢1872年出生于英国，幼年时父母双亡 ➢1890年进剑桥大学三一学院学习 ➢1893年获数学荣誉学士学位一级 ➢1894年获道德哲学荣誉学士学位一级 ➢毕业后曾游学德国学经济，受马克思主义影响，
回国后，在伦敦大学政治和经济学院任讲师 ➢1903年发表《数学原理》一书，并以论文《几何
2、课程的目的
❖ 提供良好的数学训练
⑴提高逻辑思维、抽象思维能力 ⑵提高严密的推理能力 ⑶提高数学语言描述能力 ⑷提高判断对错能力—独立工作能力
分析问题与 解决问题 的能力
3、课程的特点
❖定义与定理多
❖方法性强
4、如何学好离散数学结构？
➢掌握概念： 在模棱两可的地方多下功夫，弄懂、弄透。
➢ 认真完成作业 一道题做完，还要提出如下几个问题：
➢1931年继承为第三世罗素勋爵 ➢1949年获荣誉勋章 ➢1950年由于“多产而重要的哲学著作,
并以此成为人道主义与自由思想的代 言人”而获得诺贝尔文学奖
➢ 50年代因积极参加世界和平运动，反对核
战争而获得世界和平奖。
团结爱因斯坦、约里奥·居里、汤川秀树和李诺·鲍林等多位 科学家在著名的《罗素―爱因斯坦宣言》上签字--反对核战争
Love and knowledge, so far as they were possible, led upward toward the heavens. But always pity brought me back to earth. Echoes of cries of pain reverberate in my heart. Children in famine, victims tortured by oppressors, helpless old people a burden to their sons, and the whole world of loneliness, poverty, and pain make a mockery of what human life should be. I long to alleviate this evil, but I cannot, and I too suffer.