§2.1——F集合的基本概念、运算
集合的基本运算(课件
集合的元素
01
02
03
确定性
集合中的元素是确定的， 不存在模糊不清的情况。
互异性
集合中的元素是互不相同 的，即集合中没有重复的 元素。
无序性
集合中的元素没有顺序， 即集合中元素的排列顺序 不影响集合本身。
空集
定义
不含任何元素的集合称为空集。常用 希腊字母∅表示空集。
性质
空集是任何集合的子集，即对于任意集 合A，都有{}⊆A。
补集
补集是指属于全集但不属于某个特定 集合的元素组成的集合。
补集运算不满足交换律和结合律，即 AB≠BA，且(AB)C≠A (BC)。
补集运算可以用符号“”表示，例如 ：AB 表示集合A和集合B的补集。
03 集合运算的性质
交换律
定义
对于任意两个集合A和B，若A∪B=B∪A和A∩B=B∩A，则称交 换律成立。
04 集合运算的应用
在数学中的应用
集合的交、并、差运算
01
这些基本运算在数学中用于描述集合之间的关系，如两个集合
的共有元素、所有元素等。
集合的对称差运算
02
在数学中，对称差运算用于描述两个集合之间的相对差异，即
属于一个集合但不属于另一个集合的元素。
集合的补运算
03
补运算用于描述全集中不属于某个集合的元素组成的集合，即
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分配律
定义
对于任意三个集合A、B和C，若A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)和 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，则称分配律成立。
举例
设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}，则A∪(B∩C)={1,2,3,4}， (A∪B)∩(A∪C)={1,2,3,4}，满足分配律。
集合的概念与运算PPT课件
6.子集、真子集及其性质: 对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A⊆ B(或 B⊇ A); 若集合 A⊆ B,但存在元素 x∈B,且 x∉A,则 A⫋ B(或 B⫌ A);
⌀ ⊆ A;A⊆ A;A⊆ B,B⊆ C⇒ A⊆ C. 若集合 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,A 的非空子集有 2n-1个,A
【例 2-2】已知集合 A={x|x2-2x+a≤0},B={x|x2-3x+2≤0},且 A⫋ B,求实 数 a 的取值范围.
解:由题意可得 B={x|1≤x≤2}. 对于 A:Δ=(-2)2-4a<0,即 a>1 时,A≠⌀ ,满足 A⫋ B;
Δ=(-2)2-4a=0,即 a=1 时,A={1},满足 A⫋ B;
A.(a*b)*a=a
B.[a*(b*a)]*(a*b)=a
C.b*(b*b)=b
D.(a*b)*[b*(a*b)]=b 解析:在 B 选项中,[a*(b*a)]*(a*b)=b*(a*b)=a,故 B 正确;在 C 选项中,易知 a*(b*a)=b*(b*b)=b 成立,故 C 正确;在 D 选项中,令 a*b=c,则 c*(b*c)=b 成立, 故 D 正确.只有 A 选项不能恒成立.
5.设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a 的值为 1
.
解析:∵A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},a2+4>3, ∴a+2=3,a=1.
一、集合的概念
【例 1-1】 若集合 A={2,3,4},B={x|x=n·m,m,n∈A,m≠n},则集合 B 的元 素个数为( B ).
集合的基本概念与运算方法
集合的基本概念与运算方法在数学中，集合是由一组独立的元素组成的。
理解集合的基本概念和运算方法对于解决各种数学问题至关重要。
本文将介绍集合的基本概念以及常用的运算方法。
一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合通常用大写字母表示，集合内的元素用逗号分隔，并放在大括号中。
例如，集合A可以表示为：A = {1, 2, 3, 4}。
2. 元素：一个集合由若干个元素组成，元素是集合的基本单位。
例如，集合A中的元素1、2、3、4便是集合A的元素。
3. 子集：若一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，则称集合A为集合B的子集。
用符号表示为A ⊆ B。
例如，集合A = {1, 2}是集合B = {1, 2, 3}的子集。
4. 相等集合：若两个集合A和B拥有相同的元素，则称集合A和集合B相等。
用符号表示为A = B。
二、集合的运算方法1. 并集：若A和B为两个集合，他们的并集就是包含两个集合中所有元素的集合。
用符号表示为A ∪ B。
例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的并集为A ∪ B = {1, 2, 3}。
2. 交集：若A和B为两个集合，他们的交集就是属于A且属于B的所有元素的集合。
用符号表示为A ∩ B。
例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的交集为A ∩ B = {2}。
3. 补集：设U为全集，若A为一个集合，则相对于全集U，A的补集为U中不属于A的所有元素组成的集合。
用符号表示为A'。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}相对于全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}的补集为A' = {5, 6}。
4. 差集：若A和B为两个集合，他们的差集就是属于A但不属于B的所有元素的集合。
用符号表示为A - B。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {2, 3}的差集为A - B = {1, 4}。
5. 互斥集：若两个集合A和B的交集为空集，则称它们为互斥集。
集合的概念与运算知识点总结
集合的概念与运算知识点总结一、集合的概念集合是数学中最基础的概念之一，它是由一些对象组成的整体。
集合内的每个对象称为集合的元素。
通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。
集合的描述方式有两种常见方法：列举法和描述法。
列举法是指通过将集合中的元素一一列举出来来描述集合的方法，例如集合A={1, 2, 3}；描述法是指通过某些条件来描述集合的方法，例如集合B={x|x是正整数}。
二、集合的关系1. 子集关系：如果一个集合A的所有元素都是另一个集合B的元素，则称集合A 是集合B的子集，记作A⊆B。
若集合A既是集合B的子集，又有至少一个元素不是集合B的元素，则称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。
2. 相等关系：如果一个集合A是另一个集合B的子集并且B是A的子集，则称集合A和集合B相等，记作A=B。
3. 并集关系：集合A和集合B的并集，表示由所有属于A或属于B的元素组成的新集合，记作A∪B。
4. 交集关系：集合A和集合B的交集，表示由同时属于A和属于B的元素组成的新集合，记作A∩B。
5. 差集关系：集合A和集合B的差集，表示由属于A但不属于B的元素组成的新集合，记作A-B。
三、集合的运算规则1. 交换律：集合的并集和交集满足交换律，即A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
2. 结合律：集合的并集和交集满足结合律，即(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
3. 吸收律：集合的并集和交集满足吸收律，即A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A。
4. 分配律：集合的交集对并集满足分配律，即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
5. 补集运算：集合A与它的全集U的差集被称为集合A的补集，记作A'。
补集运算满足以下规则：A∪A'=U，A∩A'=∅。
四、集合的应用场景1. 数学中的集合论可以用于解决排列组合、概率论等问题。
集合的概念与运算
分配律
定义
对于任意三个集合A、B和C，如果A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)和 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，则称集合的运算满足分配律。
解释
分配律意味着并集和交集运算可以分配给括号内的并集和交集运算。 即，括号内的并集和交集运算的结果可以与外部的并集和交集运算 的结果进行交换。
伍 集合的应用
集合的元素
元素可以是具体的， 如苹果、汽车等；也 可以是抽象的，如数 字、图形等。 元素是构成集合的基 本单位，可以是任何 对象或实体。
并集
并集是将两个集合中 的所有元素合并到一 个新的集合中。 并集运算可以用符号 “∪”表示。
交集
交集运算可以用符号“∩”表示。 交集是两个集合中共有的元素组成的集合。
壹
集合的概念与运算
目录 CONTENTS
0 1 集合的基本概念
0 4 集合的应用
0 2 集合的运算
0 5 集合运算的注意事项
0 3 集合运算的性质
贰 集合的基本概念
集的定义
集合中的元素具有确定性、 互异性和无序性。 集合是由确定的、互不相 同的元素所组成的总体。
集合的表示方法
将集合中的元素一一列举出 来，用大括号括起来。 列举法 通过描述集合中元素的共同 特征，用大括号括起来。 描述法
交集是指两个或多个集合中共有的元素的集合，即同时属于A和B的元素组成的集合。 交集的表示方法为A∩B，其中A和B为两个集合。 交集的性质包括交换律、结合律和分配律。
差集
差集是指属于A但不属于B的元素的集合，即所有属于A但不属于B的元素组成的集合。 差集的表示方法为A−B，其中A和B为两个集合。 差集的性质包括反身律、对称律和传递律。
解释
集合的基本概念和运算ppt课件
集总数有
C
m n
C n 0C n 1C n 2.. .C n n2n
.
3.1 集合的基本概念
定义3.1.5 设A为集合，把A的全体子集构成的集合叫做A的幂 集，记作ρ(A)。幂集的符号化表示为
ρ(A) = { x | x⊆A}
对于例3.1.4中的集合A有ρ(A) ={ , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a,
ABBA A B C A B C
AO A AAO A B A C B C
A B A I~ B 建立了相对补运算和交运算之间的联系，可以利 用它将相对补转变成交。A B B A B A B A A B Ø 给 出了AB 的三种等价的定义，为证明两个集合之间包含关系提供 了新方法，同时也可以用于集合公式的化简。
把以上定义加以推广，可以得到n个集合的并集和交集，即
A 1 A 2 . . A n .{ x |x A 1 x A 2 . . x . A n }
A 1 A 2 . . A n .{ x |x A 1 x A 2 . . x . A n }
.
3.2.1 集合的运算
定义3.2.2 设U为全集， A⊆U，则称A对U的相对补集为A的绝 对补集，记作~A。
.
3.1 集合的基本概念
定义3.1.1 设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元 素，则称B为A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包 含B。记作B⊆A。包含的符号化表示为
B A ( x)(x B x A )
定义3.1.2设A，B为集合，如果B⊆A且A⊆B，则称A与B相等， 记作A=B。相等的符号化表示为
BA A BB A
由以上定义可知，两个集合相等的充分必要条件是它们具有 相同的元素。如
§2.1——F集合的基本概念、运算
−2
−1
u
1
0
25
u* 100 50 u**
u − 50 A∩ A = 1 + ∫ 50<u ≤u ** 5
c
−2
−1
u
−2 −1
u − 50 + ∫ 1 − 1 + u ** <u ≤100 5
解： 1) A∪B (A∪B)(u1)=A(u1)∨B(u1) =max(A(u1),B(u1)) =max(1,0)=1 同理： 同理：(A∪B)(u2)=0.8 (A∪B)(u3)=0.8 (A∪B)(u4)=0
1 0.8 0.8 0 A∪ B = + + + u1 u2 u3 u4 1 ∨ 0 0.8 ∨ 0.2 0.2 ∨ 0.8 0 ∨ 0 = + + + u1 u2 u3 u4
例1 设论域U ={x1(140),x2(150),x3(160), x4 (170),x5(180),x6(190)}(单位 (190)}(单位： 单位：cm)表示人的身 cm)表示人的身 高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函 数A(x)可定义为
x − 140 A( x) = 190 − 140
3)
A = (0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)
例4 接例2: 接例2:设论域 2:设论域U ＝[0,100],设集合 [0,100],设集合A 设集合A和B分 别表示“年轻”的集合与“老年”的集合， 的集合，且:
0 ≤ u ≤ 25 1 , −1 2 A(u ) = u − 25 1 + ,25 < u ≤ 100 5
集合的基本概念和运算
集合的基本概念和运算集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。
集合的概念在数学中有着广泛的应用，并且在解决实际问题时也发挥着重要的作用。
本文将介绍集合的基本概念以及集合的运算。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。
如果一个元素a属于一个集合A，我们可以写作a∈A。
相反地，如果一个元素b不属于一个集合B，我们可以写作b∉B。
集合的元素可以是任何类型的对象，比如数字、字母、符号或者其他集合。
例如，自然数的集合可以表示为N={0,1,2,3,...}，其中0、1、2、3等都是集合N的元素。
二、集合的表示方法集合有多种表示方法，其中最常见的是列举法和描述法。
1. 列举法：通过列举集合的元素来表示一个集合。
例如，集合A={1,2,3}表示由整数1、2、3组成的集合A。
2. 描述法：通过描述集合元素的特征来表示一个集合。
例如，集合B={x|x是大于0且小于10的整数}表示在0和10之间的整数构成的集合B。
值得注意的是，集合中的元素是没有顺序的，且集合中的元素是互不相同的。
这意味着{1,2,3}和{3,2,1}表示的是相同的集合。
三、集合的运算集合的运算有并集、交集、差集和补集等。
1. 并集：如果A和B是两个集合，它们的并集表示为A∪B，包含了属于集合A或者属于集合B的所有元素。
例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}的并集为A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集：如果A和B是两个集合，它们的交集表示为A∩B，包含了同时属于集合A和集合B的所有元素。
例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}的交集为A∩B={3}。
3. 差集：如果A和B是两个集合，它们的差集表示为A-B，包含了属于集合A但不属于集合B的所有元素。
例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}的差集为A-B={1,2}。
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A(ui ) ∨ B(ui )
i=1
ui
A
∩
B
=
n
∑
A(ui
)
∧
B(ui
)
i=1
ui
Ac
=
n 1− ∑
A(ui
)
i=1 ui
特别地，当U为区域时，令：
A = ∫ A(u) / u
u∈U
B = ∫ B(u) / u
u∈U
A ∪ B = ∫ A(u) ∨ B(u) / u
u∈U
A ∩ B = ∫ A(u) ∧ B(u) / u
A为“高个子”集合
则：
u x1 x2 x3 x4 x5 x6 A(u) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
所以： 1) A＝{(x1,0),(x2,0.2),(x3,0.4),(x4,0.6),(x5,0.8),(x6,1)}
＝{(x2,0.2),(x3,0.4),(x4,0.6),(x5,0.8),(x6,1)}
T＝{1,2,…}且：
An
(u)
≡
1 2
⎜⎛1 − ⎝
1 n
⎟⎞ ⎠
则：
∪(
n∈T
An )(u)
=
∨
n∈T
An (u)
=
sup
n∈T
An
(u)
≡
1 2
∪n∈T
An
=
⎜⎛ ⎝
1 2
,
1 2
,
⎟⎞ ⎠
∩(
An )(u)
=
∧
n∈T
An (u)
n∈T
=
inf
n∈T
An (u)
≡
0
∩ An = (0,0, )
那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数
A(x)可定义为
A(x) = x −140 A(x) = x −100
190 −140
200 −100
即：A(x)表示某人属于A即“高个子”的程度。
例2、对年轻、年老问题，设论域U ＝[0,100], 设集合A和B分别表示“年轻”的集合与 “老年”的集合，则我们可给出它们的隶属 度的计算公式：
⎧1 ,
0 ≤ u ≤ 25
A(u)
=
⎪⎪⎨⎡ ⎪⎢1 ⎪⎩⎢⎣
+
⎜⎛ ⎝
u
− 25 5
⎟⎞ ⎠
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
−1
,25
<
u
≤
100
⎧0 ,
0 ≤ u ≤ 50
B(u)
=
⎪⎪⎨⎡ ⎪⎢1 ⎪⎩⎢⎣
+
⎜⎛ ⎝
u
− 50 5
⎞⎟ −2 ⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
−1
,50
<
u
≤
100
2、F集的表示法
1) 一般情形：A={(u,A(u))|u∈U}； 2) 如果U为有限集或可数集：
u∈U
Ac = ∫ (1 − A(u)) / u
u∈U
推广：设At∈ℑ(U )，t∈T，T为指标集，则：
1) 并集： ∪ At
t∈T
( ∪ At
t∈T
)(u)
=
∨
t∈T
At
(u)
=
sup
t∈T
At
(u)
2) 交集： ∩ At
t∈T
( ∩ At
t∈T
)(u)
=
∧
t∈T
At (u)
= inf
t∈T
At (u)
n∈T
并、交、补的图形表示：
A(u) B(u)
A
(A∪B)(u)
B
(A∩B)(u)
Ac(u)
A∪B
A∩B
Ac
例7、设F集A和B的隶属函数为：
⎧0 ,
0 ≤ u ≤ 50
A(u)
=
⎪⎪⎨⎡ ⎪⎢1 ⎪⎩⎣⎢
+
⎜⎛ ⎝
u
− 50 5
⎟⎞ ⎠
−2
⎤ ⎥ ⎥⎦
−1
,50
<
u
≤
100
⎧1 ,
0 ≤ u ≤ 25பைடு நூலகம்
B(u
)
=
⎪⎪⎨⎡ ⎪⎢1 ⎪⎩⎢⎣
+
⎜⎛ ⎝
u
− 25 5
⎟⎞ ⎠
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
−1
,25
<
u
≤
100
求：A∪B,A∩B,Ac,A∪Ac,A∩Ac,A∪Ac。
解：
A ∪ B = ∫ A(u) ∨ B(u) / u
u∈U
∫ ∫ ∫ = 1/ u +
⎡ ⎢1
+
⎛⎜
u
−
25
⎞⎟
2
⎤ ⎥
−1
u+
⎡ ⎢1
=min(1,0)=0
同理，略。
A ∩ B = 0 + 0.2 + 0.2 + 0 u1 u2 u3 u4
= 1∧ 0 + 0.8 ∧ 0.2 + 0.2 ∧ 0.8 + 0 ∧ 0
u1
u2
u3
u4
3) Ac
Ac(u1)=1-A(u1)＝1-1＝0；
同理，略。
Ac = 0 + 0.2 + 0.8 + 1 u1 u2 u3 u4
= 1−1 + 1− 0.8 + 1− 0.2 + 1− 0
u1
u2
u3
u4
特别地：
A = 1 + 0.8 + 0.2 + 0 Ac = 0 + 0.2 + 0.8 + 1
u1 u2 u3 u4
u1 u2 u3 u4
A ∪ Ac = 1∨ 0 + 0.8 ∨ 0.2 + 0.2 ∨ 0.8 + 0 ∨1
50<u≤100 ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
1
0 25 u* 100 50
A ∪ Ac = ∫ 1 u +
∫
1
−
⎡ ⎢1
+
⎛⎜
u
−
50
⎞⎟
−2
⎤ ⎥
−1
u
0≤u≤50
50<u≤u** ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
+
∫
⎡ ⎢1
+
⎛⎜
u
−
50
⎞⎟ −2
⎤ ⎥
−1
u
u**<u≤100 ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
( A ∪ Ac )(50) = 1
t∈T
t∈T
6) 0-1律： A∪U=U，A∩U=A；
A∪φ=A，A∩φ=φ ； 7) 还原律：(Ac)c=A； 8) 对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc；
(A∩B)c=Ac∪Bc;
推广： ( ∪ At )c = ∩ Atc ( ∩ A)c = ∪ Atc
t∈T
t∈T
t∈T
t∈T
8) 证明：对∀u∈U，有：
1
0 25 u* 100 50 u**
A ∩ Ac =
∫
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
u
−
50
⎞⎟
−2
⎤ ⎥
−1
u
50<u≤u** ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
+
∫
1
−
⎡ ⎢1
+
⎜⎛
u
−
50
⎟⎞
−2
⎤ ⎥
−1
u
u**<u≤100 ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦
1
0 25 u* 100 50 u**
3、并、交、补集的性质：
1) 幂等律：A∪A =A， A∩A=A； 2) 交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A； 3) 结合律：(A∪B)∪C =A∪(B∪C)，
2）交集：A∩B其隶属函数为： (A∩B)(u)=A(u)∧B(u)=min(A(u),B(u))
3）补集：Ac其隶属函数为： Ac(u)=1-A(u).
特别地，当U＝{u1,u2,…,un}时，令：
n
n
A = ∑ A(ui ) / ui B = ∑ B(ui ) / ui
i=1
i=1
则：
n
A∪B= ∑
u1
u2
u3
u4
= 1 + 0.8 + 0.8 + 1 ≠ U u1 u2 u3 u4
A ∩ Ac = 1∧ 0 + 0.8 ∧ 0.2 + 0.2 ∧ 0.8 + 0 ∧1
u1
u2
u3
u4
= 0 + 0.2 + 0.2 + 0 ≠ φ
u1 u2 u3 u4
例6、设An∈ℑ(U )，n∈T，T为指标集，
“⊆”具有如下性质：
1）自反性：∀A∈ℑ(U )，有A ⊆A；
2）反对称关系：若A⊆B，B⊆A,则 A=B； 3）传递性：若A⊆B,B⊆C，则A⊆C。
故：(ℑ(U ),⊆)是偏序集。
2、F集运算的定义
1）并集：A∪B其隶属函数为： (A∪B)(u)=A(u)∨B(u)=max(A(u),B(u))
模糊数学
Fuzzy mathematics
重庆大学数学与统计学院
第二章 F集合
主要内容： 一、F集的基本概念 二、F集的运算 三、模糊算子 四、F集的分解定理
一、F集的基本概念
普通集合表达的是“非此即彼”的现象：
设CA为一映射，U 为论域，且： CA:U →{0,1}