集合的基本概念及其表示
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中的一个基本概念，广泛应用于各个领域。
本文将对集合的相关概念、运算、性质以及其在实际中的应用进行总结。
一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由确定的元素组成的整体，没有重复元素，顺序不重要。
2. 元素和集合的关系：元素是集合的组成部分，用于描述集合的特征。
3. 表示方法：- 列举法：将集合的所有元素逐个列举出来。
- 描述法：通过一定的特征或条件来描述集合。
4. 空集和全集：- 空集：不含有任何元素的集合，用符号∅表示。
- 全集：包含所有元素的集合，用符号U表示。
二、集合的运算1. 交集：两个集合中具有相同元素的部分构成的新集合，用符号∩表示。
2. 并集：两个集合的所有元素组成的新集合，用符号∪表示。
3. 差集：一个集合中去掉与另一个集合共有元素后的新集合，用符号－表示。
4. 互补集：在全集中与某个集合没有交集的元素所构成的新集合，用符号A'表示。
5. 笛卡尔积：由两个集合的所有有序对构成的集合，用符号×表示。
三、集合的性质1. 包含关系：集合A包含于集合B，表示为A⊆B，当且仅当A的每个元素都是B的元素。
2. 相等关系：如果两个集合A和B互相包含，即A⊆B且B⊆A，则称A和B相等，表示为A=B。
3. 幂集：一个集合的所有子集所构成的集合，用符号P(A)表示。
4. 交换律、结合律和分配律：集合的交换律、结合律与数的运算性质类似，具有相似的性质。
四、集合的应用1. 概率论与统计学：集合论为概率论和统计学提供了重要的数学基础，通过对事件的集合进行分析与运算。
2. 数据库管理系统：集合运算在数据库查询和数据处理中起着重要的作用，用于筛选、合并和处理数据。
3. 逻辑学与集合论关系：集合论与逻辑学相辅相成，通过集合的运算和逻辑连接词（与、或、非）进行逻辑推理。
4. 集合在数学证明中的应用：集合的性质和运算方式在数学证明中经常被使用，可以简化证明过程。
总结：集合是数学中不可或缺的重要概念，它具有基本的定义、运算和性质。
1.集合及其表示
集合及其表示知识要点1．集合概念（1）我们常常把能够确切指定的对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个结合的元素。
集合常用大写字母A ，B ，C ……表示，集合中的元素用小写字母a b c ⋅⋅⋅、、表示。
例如：a 是集合A 中元素，记作a A ∈，a 不是A 中元素，记作a A ∉，分别读作“a 属于A ”，“a 不属于A ”。
（2）集合的分类：有限集、无限集和空集。
空集记作∅。
（3）特殊集合的表示：自然数：N ；不包括零的自然数：N *；整数：Z ；有理数：Q ；实数：R 。
2．集合的表示法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（列举时不考虑元素的顺序）并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫列举法。
（补充：比较适合个数较少的有限集）（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所具有的共同特性，即{}A x x P =∈，这中表示集合的方法叫做描述法。
（3）图示法：用图形围成的区域来表示集合的方法叫做集合的图示法，通常用圆及圆内部表示集合。
3．集合元素的性质：确定性、互异性、无序性。
4．集合之间的关系（1）子集及子集相关定义：对于两个集合A 和B ，如果A 中任何一个元素都属于B ，那么集合A 叫做集合B 的子集。
记作A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”。
我们规定∅是任何集合的子集。
对于集合A 、B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”。
（2）相等的集合：两个集合A 、B ，如果A B ⊆且B A ⊆，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作A=B 。
精选例题例1、 用适当的符号;;;;≠≠∈⊂∉=⊃填空. 3.14_______;Q {}0______0; ________;N ∅________;Z N +* 0________∅ 2;Q________;Q π {}2_______;-偶数 {}{}1________-奇数0.3_______;Q {}1________;质数{}{}21,_______21,x x k k Z t t k k Z =-∈=+∈ {}2_______20,;x x x R ∅+=∈{}{}24,_________,y y x x R z z x x R =∈=∈ 例2、用适当的方法表示下列集合：(1) 关于x 的不等式||5x <的整数的解集；(2) 所有奇数构成的集合；(3) 方程0)2)(1(22=---x x x 的解的集合；(4) 直角坐标平面上所有第三象限的点；(5) 函数3y x =- 的所有函数值组成的集合。
集合的基本概念
集合的基本概念集合是数学中基础而重要的概念之一。
它被广泛应用于各个数学分支和其他科学领域。
本文将介绍集合的基本概念、符号表示法以及一些常见的集合运算。
1. 集合的定义在数学中，集合可以被定义为由确定的对象所构成的整体。
这些对象可以是任何事物，如数、字母、图形等。
一个集合可以包含零个或多个对象，而且每个对象在集合中只能出现一次。
2. 集合的符号表示法数学中，集合通常用大写字母表示，例如A、B、C等。
对于属于集合的对象，可以用小写字母表示，例如a、b、c等。
表示一个对象属于某个集合，可以使用符号“∈”。
例如，如果a属于集合A，我们可以写作a ∈ A。
相反地，如果一个对象不属于某个集合，可以使用符号“∉”。
例如，如果b不属于集合A，我们可以写作b ∉ A。
3. 集合的描述方法有时，我们需要对集合中的对象进行描述。
有两种常见方法可以描述集合：a. 列举法：通过列举集合中的所有对象来描述集合。
例如，如果集合A包含元素1、2和3，我们可以写作A = {1, 2, 3}。
b. 描述法：通过给出满足某个条件的对象来描述集合。
例如，如果集合B包含所有大于0的整数，我们可以写作B = {x | x > 0}，其中“|”表示“满足条件”。
4. 集合的基本运算集合之间可以进行一些常见的运算，包括并集、交集、差集和补集。
a. 并集：两个集合A和B的并集，表示为A ∪ B，包含了A和B中所有的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。
b. 交集：两个集合A和B的交集，表示为A ∩ B，包含了A和B共有的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∩ B = {3}。
c. 差集：两个集合A和B的差集，表示为A - B，包含了属于A但不属于B的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A - B= {1, 2}。
高中数学集合知识点归纳
高中数学集合知识点归纳一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由一些明确的、互不相同的元素所构成的整体，用大写字母如A, B, C等表示。
2. 元素：集合中的每一个成员被称为元素，用小写字母如a, b, c等表示。
3. 空集：不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。
4. 集合的表示：集合通常可以通过列举法或描述法来表示。
例如，集合A = {1, 2, 3} 或 A = {x | x 是一个正整数}。
二、集合间的关系1. 子集：如果集合B的所有元素都是集合A的元素，则称B是A的子集，记作B ⊆ A。
2. 真子集：如果集合B是A的子集，并且B不等于A，则称B是A的真子集，记作B ⊂ A。
3. 补集：对于集合A，其在全集U中的补集是包含U中所有不属于A的元素的集合，记作A' 或 C_U(A)。
4. 交集：两个集合A和B的交集是包含同时属于A和B的所有元素的集合，记作A ∩ B。
5. 并集：两个集合A和B的并集是包含属于A或属于B的所有元素的集合，记作A ∪ B。
三、集合运算1. 德摩根定律：对于任意集合A和B，(A ∪ B)' = A' ∩ B' 和 (A ∩ B)' = A' ∪ B'。
2. 集合的幂集：一个集合的所有子集构成的集合称为该集合的幂集。
3. 笛卡尔积：两个集合A和B的笛卡尔积是所有可能的有序对(a, b)的集合，其中a属于A，b属于B，记作A × B。
四、特殊集合1. 有限集：包含有限个元素的集合称为有限集。
2. 无限集：包含无限个元素的集合称为无限集。
3. 有界集：如果集合中的所有元素都小于或等于某个实数，那么这个集合是有上界的；类似地，如果所有元素都大于或等于某个实数，则集合有下界。
4. 区间：实数线上的一段，包括开区间、闭区间和半开半闭区间。
五、集合的应用1. 函数的定义域和值域：函数的定义域是函数中所有允许输入的x值的集合；值域是函数输出的所有y值的集合。
1.1集合及其表示方法(学生版)
（3）函数221y x x =-+的图像上所有的点（4）12345,,,,34567⎧⎫⎨⎬⎩⎭例5、用列举法表示下列集合：（1）(){},|5,,x y x y x y +=∈∈N N（2）{}2230,x x x x --=∈R（3）{}2230,x xx x -+=∈R例6、用符号∈或∉填空： （1）{}23____11x x <（2）{}2*3____1,x x n n =+∈N（3）(){}21,1____y y x-=（4）()(){}21,1____,x y y x -=1.下列说法：①地球周围的行星能确定一个集合；②实数中不是有理数的所有数能确定一个集合； ③我们班视力较差的同学能确定一个集合． 其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．32. 集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}，(A 、B 中x ∈R ，y ∈R )．关于元素与集合关系的判断都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈B B ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈BC ．2∈A ，且(3,10)∈BD ．(3,10)∈A ，且2∈B3. 集合{y |y ＝x ，－1≤x ≤1，x ∈Z }用列举法表示是( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{－1,0}D ．{－1,1}4. 满足不等式11219x <+<的合数组成的集合为 。
5．用另一种方法表示下列集合： （1）11325,,,,32537⎧⎫⎨⎬⎩⎭= 。
（2）{}3绝对值不大于的整数= 。
6. 集合{},5x x x x x Z =<∈且可用列举法表示为 。
7. 满足不等式11219x <+<的合数组成的集合为 。
8.已知集合{}2,,A x x a b a b ==+∈Z ，若12,x x A ∈，判断：A x x ∈⋅21是否成立．1. 若集合A 含有两个元素0,1，则( )A ．1∉AB ．0∈AC ．0∉AD ．2∈A2. 已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．103. 已知集合A 含有三个元素1,0，x ，若x 2∈A ，则实数x ＝________.4. 集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，25，12，47，58可用特征性质描述法表示为__________．5.（2015上海模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a+b ，a}={0，，b}，则b-a=（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-26. 已知集合A 中含有三个元素m －1,3m ，m 2－1，若－1∈A ，求实数m 的值．7. 已知集合M 含有三个元素1,2，x 2，则x 的值为______________．8. 若集合A ＝{x ∈Z |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋2 000，x ∈A }，则用列举法表示集合B ＝____________.9. 用描述法表示图中阴影部分(不含边界)的点构成的集合；10. 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋1＝0，a ∈R }，若A 中元素最多只有一个，求a 的取值范围．。
数学集合知识点概要总结
数学集合知识点概要总结在数学中，集合是一种基本的概念，它是由一些确定的对象（称为元素）所组成的整体。
在数学中，集合论是一个非常重要的分支，它研究的对象就是集合及其各种性质和关系。
在这篇文章中，我们将对数学集合的一些基本概念和性质进行总结和概述。
1. 集合的基本概念首先，我们来回顾一下集合的基本概念。
集合可以用大括号{}来表示，例如，集合A可以写成A={a,b,c,d}。
在这个集合中，a，b，c，d就是A的元素。
需要注意的是，集合中的元素是不重复的，也就是说，集合中的元素没有顺序和重复。
集合之间的关系有交集和并集。
集合A和集合B的交集，记作A∩B，表示的是同时属于A和B的元素组成的集合；而集合A和集合B的并集，记作A∪B，表示的是属于A或者属于B的元素组成的集合。
2. 集合的表示方法在数学中，集合可以通过列举法、描述法和图示法来表示。
列举法就是直接列出集合中的元素，例如A={1,2,3,4}；描述法是用一定的条件来描述集合中的元素，例如A={x|x是自然数，0<x<5}；图示法是用图形来表示集合，通常是用圆来表示，圆内的元素是属于这个集合的，圆外的元素是不属于这个集合的。
3. 集合的基本运算在集合论中，有几种基本的集合运算，包括交集、并集、差集和补集。
交集就是对应集合中共同元素的集合，即两个集合共同包含的元素。
例如，A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A∩B={3,4}。
并集是两个集合中所有元素的集合，即两个集合合起来的集合。
例如，A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A∪B={1,2,3,4,5,6}。
差集是包含在一个集合中但不包含在另一个集合中的元素构成的集合。
例如，A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A-B={1,2}。
补集是指对于给定的全集，一个集合中所有不属于全集的元素构成的集合。
例如，全集为U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A={1,2,3,4}，则A的补集为A'={5,6,7,8,9,10}。
集合的定义及表示(第2课时)
提出几个与预习内容相关的问题，带着问题听课，提高听课效率。
预习目标
了解集合的划分、覆盖、基数等概念，为下节课的学习做好准备。
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图示法
02
03
用平面上封闭图形的内部来表示集合的方法。
集合间的关系
Part 03
子集与真子集
对于两个集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。
子集定义
如果集合A是集合B的子集，且A不等于B，则称集合A是集合B的真子集。
真子集定义
若A⊆B，表示A是B的子集；若A⊂B，表示A是B的真子集。
集合的定义及表示(第2课时)
CATALOGUE
目录
1
集合的基本概念
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2
集合的表示方法
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3
集合间的关系
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4
集合的运算
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5
典型例题解析
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6
课堂小结与作业布置
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集合的基本概念
Part 01
集合的定义
集合是具有某种特定性质的事物的总体，事物称为元素。 集合的概念 通常用大写的英文字母A、B、C等表示集合，元素用小写的英文字母a、b、c等表示。 集合的表示
并集及其性质
并集定义
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B（或B∪A）。
幂等律
A∪A=A。
交换律
A∪B=B∪A。
零一律
A∪∅=A。
结合律
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
吸收律
集合的概念
第一节集合的概念及其表示1、集合的概念（1）集合：把一些具有共同特征的对象集在一起构成集合.（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a AÏ要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.3、集合分类根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集注：应区分F，{}F，}0{，0等符号的含义根据集合的不同类型，可以把集合分为：数集、点集、集合集等4、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R注：（1）自然数集包括数0.，（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+应用示例：用符号∈或Ï填空:(1)1______N,0______N,-3______N,0.5______N,2______N;(2)1______Z,0______Z,-3______Z,0.5______Z,2______Z;(3)1______Q,0______Q,-3______Q,0.5______Q,2______Q;(4)1______R,0______R,-3______R,0.5______R,2______R.3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. （2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.例1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点 变式训练：1.下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工例2.在数集{2x,x 2-x}中,实数x 的取值范围是__________________。
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学校乐从中学年级高二学科数学导学案
主备审核授课人授课时间班级姓名小组
课题：集合的概念和基本关系
课型：复习课时：1
【学习目标】
理解集合的概念，集合的表示方法，深刻理解子集、真子集、空集的概念，能使用Venn图表达集合的关系。
【学习过程】
一、知识要点：
1、集合的概念
（1）、集合的定义：。
（2）、集合的三性：、、。
（3）、元素a属于集合A，记作
元素a不属于集合A，记作
常见数集：。
集合的表示方法：、、。
2、集合的基本关系
（1）、子集：。
（2）、集合相等：。
（3）、真子集：。
（4）、空集：。
二、例题讲解
例1（1）写出数集N，Z，Q，R，C之间的包含关系，并用Venn图表示（2）判断对错：①Φ⊆A ②Φ A ③A
A⊆④A A
例2选择恰当的符号填空：
①、Φ___{0}，
②、0 Φ，
③、0 {（0，1）}，
④、（1，2）{1，2，3}，
⑤、{1，2} {1，2，3}
例3对于集合A、B，“不成立”的含义是( )
（A）B是A的子集
（B）A中的元素都不是B中的元素
（C）A中至少有一个元素不属于B
（D）B中至少有一个元素不属于A
例4 下列命题中，正确的命题的序号是____________________-
① {2，4，6，8｝与｛4，8，2，6｝是同一集合。
② {x|x > 3 ,x∈R} 与{t|t > 3 ,t∈R}表示同一集合。
③｛y|y= x2，x∈R｝与｛（x,y）|y=x2，x∈R｝表示的是同一集合。
④｛x|x2-2x-1=0｝与｛x2-2x-1=0｝表示同一集合。
⑤ {x|x=2k-1，k∈Z }与{x|x=2k+1，k∈Z } 表示同一集合。
（教师“复备”栏或学生笔记栏）。