复数的概念及运算
复数概念及公式总结
复数概念及公式总结复数是数学中一个重要的概念，它在代数、解析几何、微积分等多个数学分支中都有着重要的应用。
本文将对复数的概念及相关公式进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用复数。
一、复数的概念。
复数是由实数和虚数组成的数，一般表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i 为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应x 轴，虚部对应y轴。
复数的模长是指复数到原点的距离，记作|a+bi|=√(a²+b²)。
复数的共轭是指虚部取负，即a-bi。
二、复数的运算。
1. 加减法，实部和虚部分别相加减。
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
(a+bi) (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
2. 乘法，先用分配律展开，然后利用i²=-1化简。
(a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 除法，将分子有理化，然后利用共轭的性质进行化简。
(a+bi) / (c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)/(c²+d²)i。
三、复数的指数形式。
复数可以用指数形式表示，即a+bi = r(cosθ + isinθ)，其中r为模长，θ为幅角。
根据欧拉公式，e^(iθ) = cosθ + isinθ，所以复数也可以表示为a+bi = re^(i θ)。
四、复数的常见公式。
1. 欧拉公式，e^(iπ)+1=0，这是数学中最著名的等式之一，将自然对数的底e、圆周率π、虚数单位i、单位复数1组合在一起。
2. 范-诺伊曼级数，1+2+3+4+...=-1/12，这是一个看似荒谬但又被证明正确的等式，它涉及了复数的无穷级数求和。
3. 费马大定理，xⁿ+yⁿ=zⁿ在n大于2时无整数解，这是数论中著名的定理，它与复数的幂运算有着密切的联系。
【数学知识点】复数的定义及运算公式大全
【数学知识点】复数的定义及运算公式大全
我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i 称为虚数单位。
接下来分享有关虚数的定义及运算公式，供参考。
我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i 称为虚数单位。
当z的虚部等于零时，常称z为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。
复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。
复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
(1)加法运算
设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。
(2)乘法运算
设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
(3)除法运算
复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
复数概念及其运算
复数概念及其运算复数是数学中一个非常重要的概念，起源于希腊数学。
在实数范围中，我们可以解决绝大多数方程和不等式问题，但在某些情况下，我们需要引入复数来进行运算。
本文将讨论复数的概念及其运算规则。
一、复数的概念复数是由一个实数部分和一个虚数部分组成的数。
虚数定义为包含负数的平方根的数。
通常情况下，复数用字母"z"表示。
一个复数可以表示为：z = a + bi其中，a为实数部分，bi为虚数部分，i为单位虚数，且满足i²= -1。
例如，一个典型的复数可以是：z = 3 + 4i。
在这个例子中，实数部分为3，虚数部分为4。
二、复数的运算规则1. 加法：复数的加法规则遵循实数和虚数分别相加的原则。
设有两个复数 z₁ = a₁ + b₁i 和 z₂ = a₂ + b₂i。
它们的和为：z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i例如，有两个复数 z₁ = 3 + 4i 和 z₂ = 2 + 5i。
它们的和为：z₁ + z₂ = (3 + 2) + (4 + 5)i = 5 + 9i2. 减法：复数的减法规则与加法类似，实数部分和虚数部分分别相减。
设有两个复数 z₁ = a₁ + b₁i 和 z₂ = a₂ + b₂i。
它们的差为：z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i例如，有两个复数 z₁ = 3 + 4i 和 z₂ = 2 + 5i。
它们的差为：z₁ - z₂ = (3 - 2) + (4 - 5)i = 1 - i3. 乘法：复数的乘法规则通过展开公式进行计算。
设有两个复数 z₁ = a₁ + b₁i 和 z₂ = a₂ + b₂i。
它们的积为：z₁ * z₂ = (a₁a₂ - b₁b₂) + (a₁b₂ + b₁a₂)i例如，有两个复数 z₁ = 3 + 4i 和 z₂ = 2 + 5i。
它们的积为：z₁ * z₂ = (3 * 2 - 4 * 5) + (3 * 5 + 4 * 2)i = -14 + 23i4. 除法：复数的除法规则通过乘以共轭复数并进行简化计算。
八年级数学复数的概念与运算
八年级数学复数的概念与运算复数是数学中一个重要的概念，它在代数学、几何学和物理学等领域中都有广泛的应用。
复数由实数部分和虚数部分组成，可以用形如a+bi的形式表示，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位。
在八年级数学中，我们将学习复数的概念与运算。
一、复数的概念复数的定义是通过实数和虚数单位i来表示一个数。
实数部分可以为任意实数，虚数部分则是以i为系数的一个实数。
虚数单位i满足i²=-1的性质。
例如，2+3i就是一个复数，其中实数部分为2，虚数部分为3i。
二、复数的表示形式复数有三种一般表示形式：代数形式、极坐标形式和指数形式。
1. 代数形式代数形式是最常见的复数表示形式，即a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分。
2. 极坐标形式复数还可以用极坐标表示形式，即r(cosθ+isinθ)。
其中，r为复数的模，θ为复数的辐角。
根据三角函数的性质，可以将复数转换成极坐标形式，也可以将极坐标形式转换成代数形式。
3. 指数形式对于一个复数a+bi，我们可以将它表示为reⁱθ的指数形式，其中r 为复数的模，θ为复数的辐角。
指数形式在复数的乘方和开方运算中非常有用。
三、复数的运算与实数类似，复数也可以进行基本的四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
1. 复数的加法和减法复数的加法和减法实际上是对应实部和虚部的运算。
例如，(2+3i) + (4+5i) = 6+8i；(2+3i) - (4+5i) = -2-2i。
2. 复数的乘法复数的乘法是将每一个部分都相乘然后合并。
例如，(2+3i) × (4+5i) = (-7+22i)。
3. 复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数转换为乘法运算。
共轭复数是将复数的虚数部分取负，例如，(2+3i) ÷ (4+5i) = (2+3i) × (4-5i) ÷ ((4+5i) ×(4-5i)) = (23/41) + (2/41)i。
复数的概念与运算
[解析] 方法一：z＝
( 3＋i)(－2＋2 3i) ＋ )(－ ＋ ) )( 3 1 ＝－ 4 ＋4i， ， )(－ ＋ (－2－2 3i)(－2＋2 3i) － )( ) 所以 z·
z ＝－
32 12 1 ＋ ＝ . 4 4 4
16
方法二： ＝ 方法二：z＝ 3 1 － 4 ＋4i， ， 所以 z·
7
m2－m－6 － 例 2 当 m＝________时，复数 z＝ ＝ 时 ＝ ＋(m2－2m－15)i 是纯 － m＋3 ＋ 虚数． 虚数．
例 2
[思路 正确理解复数的相关概念．要特别注意复数 z＝a＋ 思路] 正确理解复数的相关概念． ＝ ＋ 思路
bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是 a＝0 且 b≠0. ， ∈ 为纯虚数的充要条件是 ＝ ≠ － ≠ ， m2－2m－15≠0， 2 － ＝ ， [解析 z 为纯虚数⇒m －m－6＝0， 解析] 解析 为纯虚数⇒ m＋3≠0 ＋ ≠
15
[2010· 课标全国卷 已知复数 z＝ 课标全国卷] ＝ 的共轭复数， ) 的共轭复数，则 z· z ＝( 1 1 B. C．1 D．2 A. ． ． 4 2
变式题 A
3＋i ＋ ，z是 z (1－ 3i)2 － )
[思路 先化简 z，再求 z ，最后确定 z· z 的值． 思路] 的值． 思路 ， 3＋i ＋ 3＋i 3＋i ＋ ＋ ＝ ＝ ＝ 1－2 3i－3 － ) － (1－ 3i)2 － －2－2 3i －
∴z＝3＋4i. ＝ ＋
[点评 本题考查共轭复数和复数的模的概念，掌握这两个概念的有关 点评] 本题考查共轭复数和复数的模的概念， 点评 性质，可以简化解题过程．共轭复数的性质有： 性质，可以简化解题过程．共轭复数的性质有：① z ＝z；②z· z ＝|z|2＝| z |2； ； ③z∈R⇔ ＝ z .设 z＝a＋bi，|z|＝ a2＋b2，运算性质有：①|z|＝| z |；②|z1·z2| ∈ ⇔ z＝ 设 ＝ ＋ ， ＝ 运算性质有： ＝ ； z· 如下面的变式题． ＝|z1||z2|； |z|＝1⇔ z ＝1； |z|2＝| z |2＝|z2|＝| z 2|＝z· z 等． ； ③ ＝ ⇔ ； ④ ＝ ＝ 如下面的变式题．
初中数学知识归纳复数的概念与运算
初中数学知识归纳复数的概念与运算复数是数学中一个重要的概念，它可以用来表示一些无理数和虚数。
在初中数学中，学习复数的概念和运算是十分关键的。
本文将对初中数学中涉及的复数相关知识进行归纳总结。
一、复数的概念复数是由实数和虚数单位 i 组成的数。
其中，实数部分可以是任意的实数，虚数部分则为实数与 i 相乘得到的数。
复数通常用符号 a+bi来表示，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分。
二、复数的表示形式1. 代数形式代数形式是复数的一种常见表示形式，即复数的实部和虚部分别用实数表示。
例如，复数 2+3i 就是采用代数形式表示的。
2. 几何形式几何形式是复数另一种重要的表示形式，它用平面向量的概念来表示复数。
复数 a+bi 可以看成是平面上点的坐标，其中实部 a 表示点的横坐标，虚部 b 表示点的纵坐标。
三、复数的运算1. 复数的加法复数的加法遵循实部相加、虚部相加的原则。
例如，(2+3i) + (4+5i) = 6+8i。
2. 复数的减法复数的减法与加法类似，实部相减，虚部相减。
例如，(2+3i) -(4+5i) = -2-2i。
3. 复数的乘法复数的乘法需要应用到乘法公式 (a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i。
例如，(2+3i)(4+5i) = -7+22i。
4. 复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数，并应用乘法公式来实现。
例如，(2+3i) ÷ (4+5i) = (2+3i)(4-5i) ÷ (4+5i)(4-5i) = (23/41)-(2/41)i。
四、复数的性质1. 共轭复数两个复数的共轭复数指的是虚部相反的复数。
例如，复数 a+bi 的共轭复数为 a-bi。
2. 模复数的模指的是复数对应的向量的长度，即平面上从原点到该点的距离。
3. 模的性质复数 a+bi 的模的平方等于 a^2 + b^2，即 |a+bi|^2 = a^2 + b^2。
这个性质可以通过向量的长度公式得出。
复数的基本概念与运算规则
复数的基本概念与运算规则复数是数学中的一种数形式，可以表示为实部与虚部的和。
在复数中，虚部用i来表示，i为虚数单位，满足i² = -1。
复数的基本概念与运算规则是我们学习复数的基础，以下将对其进行详细介绍。
一、复数的基本概念复数由实部和虚部组成，一般表示为a + bi，其中a为实部，bi为虚部。
实部和虚部都可以是实数。
当虚部为0时，复数退化为实数。
反之，当实部为0时，复数退化为纯虚数。
二、复数的表示形式1. 笛卡尔形式：复数a + bi可以表示为有序对(a, b)，其中a表示实部，b表示虚部。
2. 楔形式：复数a + bi可以表示为模长和辐角的形式。
其中模长是复数到原点的距离，辐角是复数与实轴的夹角。
三、复数的运算规则1. 加法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其和为(a + c) + (b +d)i。
即实部相加，虚部相加。
2. 减法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其差为(a - c) + (b - d)i。
即实部相减，虚部相减。
3. 乘法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其积为(ac - bd) + (ad+ bc)i。
即实部的乘积减去虚部的乘积，然后再加上实部和虚部的乘积。
4. 除法运算：对于两个复数(a + bi)和(c + di)，其商为[(ac + bd)/(c² + d²)] + [(bc - ad)/(c² +d²)]i。
即实部的乘积加上虚部的乘积除以除数的模长的平方，然后再加上虚部的乘积减去实部的乘积除以除数的模长的平方。
4. 共轭运算：对于复数a + bi，其共轭为a - bi。
即实部不变，虚部取相反数。
五、复数的基本性质1. 加法满足交换律和结合律：对于任意复数a, b和c，有a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 乘法满足交换律和结合律：对于任意复数a, b和c，有ab = ba和(ab)c = a(bc)。
复数的基本概念和运算
复数是由实数和虚数部分组成的数。
实数部分和虚数部分可以写成一对有序实数(x, y)，其中x是实数部分，y是虚数部分。
复数常用形式为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
复数的基本概念：1.实数部分和虚数部分：复数可以表示为实数部分和虚数部分的和。
实数部分表示复数在实轴上的位置，虚数部分表示复数在虚轴上的位置。
2.纯虚数和实数：如果一个复数的实数部分为0，则该复数为纯虚数。
纯虚数可以表示为bi，其中b为非零实数。
3.共轭复数：如果一个复数的实数部分保持不变而虚数部分的符号取相反数，得到的复数称为原复数的共轭复数。
共轭复数可以表示为a-bi。
复数的运算：1.加法：两个复数相加可以将它们的实数部分相加，虚数部分相加。
例如(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i。
2.减法：两个复数相减可以将它们的实数部分相减，虚数部分相减。
例如(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
3.乘法：两个复数相乘可以使用分配律和i^2=-1。
例如(a+bi)(c+di) =(ac-bd) + (ad+bc)i。
4.除法：两个复数相除可以使用乘法的逆运算。
具体步骤是将除数的共轭复数乘以被除数，并将结果除以除数的模的平方。
例如(a+bi) / (c+di) = [(a+bi) * (c-di)] / (c^2+d^2) = [(ac+bd) + (bc-ad)i] /(c^2+d^2)。
复数运算的性质：1.加法和乘法满足交换律和结合律。
2.乘法满足分配律。
3.共轭复数的和等于两个复数的和的共轭。
4.除数和商的共轭等于被除数的共轭。
复数的应用：1.在物理学中，复数用于描述波的振幅和相位，如电磁波传播。
2.在工程学中，复数用于描述电路中的交流信号，如频率和相位差。
3.在数学分析中，复数用于解析几何和向量运算。
4.在计算机科学中，复数用于图像处理和信号处理。
总结起来，复数的基本概念包括实数部分和虚数部分，复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
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变式1. 复数z＝
(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点
不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：解法一：z＝
显然
＞0与－
＞0不可能同时成立，
则z＝
对应的点不可能位于第一象限．
解法二：z＝
设x＝
，y＝
，则2x＋y＋2＝0
又直线2x＋y＋2＝0不过第一象限，
则z＝
(4)(a＋bi)÷(c＋di)＝
.
2．复数的加法乘法运算律 (1)z1＋z2＝z2＋z1. (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． (3)z1z2＝z2z1. (4)z1(z2z3)＝(z1z2)z3. (5)z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
3．虚数单位i的乘方 i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.(其中n∈Z)
(3)1的三次虚根
的乘方．
【例3】(1)复数(
)10的值是( )
A．－1
B．1
C．－32
D．32
解析：本小题主要考查复数的运算，以及虚数单位的性质．
答案：A
(2)复数
的值是( )
A．－16
B．16
C．
D.
解析：本小题主要考查复数的运算.
＝
答案：A
【方法规律】
1．复数可以用代数形式，复平面中的点表示，还可以用三角形式和向量表 示等，要注意数形结合思想方法的运用．
3．复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，把复数表示 成a＋bi的形式，叫做复数的代数形式．
4．复数的分类：对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，复数a＋bi(a、 b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z＝a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫 做纯虚数．
二、复数的运算
1．复数的四则运算法则
若复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则 (1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. (2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. (3)(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
2．可以用复数相等的定义，将复数问题转化为实数问题来解决． 3．一般两个复数不存在大小关系(除非两个复数都是实数)这也是复数与实
数的区别之一．在数系扩充后有关实数的一些结论在复数范围内未必成 立．如实数中a2＋b2＝0的充要条件是a＝b＝0，在复数集中不一定成立． 4．复数的加、减、乘法运算类似多项式的运算，虚数单位的乘方结果呈周 期性的变化，复数的除法通过分母实数化转化为乘法运算．
∴
得
变式2. 求值：(1)
(2)
解答：(1)原式＝
＝
(2)设ω＝－
，则ω3＝1，
＝ωi.
∴原式＝(ωi＋ω)8＝ω8(1＋i)8＝ω6×ω2(2i)4＝16ω2
＝
1. 利用代数形式进行复数的乘方运算一般方法就是利用二项式定理展开．
2．在进行复数乘方运算时要注意以下特殊结论的应用：
(1)虚数单位i的乘方；(2)(1±i)2＝±2i；
第十一单元 数系的扩 推理与证明 11.1 复数的概念及运算
(理解复数的基本概念/理解复数相等的充要条件/了解复数的代数表示法及其 几何意义/掌握复数代数形式的四则运算/了解复数代数形式的加、减运算的 几何意义)
一、复数的有关概念 1．虚数单位i
(1)它的平方等于－1，即i2＝－1； (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时， 原有加、乘运算律仍然成立． 2．复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的 虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示．
5．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说 这两个复数相等．
6．复平面、实轴、虚轴：如图，复数z＝a＋bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一 一对应关系．这是因为对于任何一个复数z＝a＋bi(a、b∈R)，由复数相等的定 义可知，可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定，复数z对应点的横坐标是a， 纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标 系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚 轴．实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置．
【例1】已知复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，则z＝______. 解析：设z＝ai，a∈R且a≠0，则(z＋2)2－8i＝4－a2＋(4a－8)i. ∵(z＋2)2－8i是纯虚数，∴4－a2＝0且4a－8≠0. 解得a＝－2. 因此z＝－2i. 答案：－2i
解析：
＝－1.
答案：A
4．复数(1－i)3的虚部为( )
A．3
B．－3
C．2
D．－2
解析：(1－i)3＝－2i(1－i)＝－2－2i.则复数(1－i)3的虚部为－2.
答案：D
5．复数 解析： 答案：
的值是________．
1. 根据复数的代数形式，通过其实部和虚部可判断一个复数是实数，还是虚数． 2．复数z＝a＋bi，a∈R，b∈R与复平面上的点Z(a，b)是一一对应的，通过复数z
5．对于简单的复数乘方运算，可以利用二项式定理进行运算，特殊的可利
用：(1)(1±i)2＝±2i；
(2)若ω＝
，
则ω3n＝1，ω3n＋1＝ω，ω3n＋2＝ ，n∈N.
6．在复数集中分解因式，对于x的多项式，都可分解为x的一次因式，分解
因式与对应方程解的关系与实数集中分解因式与对应方程解的关系是一样的．
1．设a是实数，且
是实数，则a等于( )
A.
B．1
C.
D．2
答案：B
2．在复平面内，复数
对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析： ＝1－i，则复数对应的 Nhomakorabea(1，－1)在第四象限．
答案：D
3．(2010·开封高三月考)复数
＝( )
A．－1
B．1 C．－i D．i
对应的点不可能位于第一象限．
答案：A
复数的加减乘法运算类似于多项式的加减乘法运算，而复数的除法是通过分 母的实数化转化为复数的乘法运算．
【例2】已知z＝1＋i，
＝1－i，求实数a、b的值．
解答：由
＝1－i，把z＝1＋i代入得
＝1－i，
∴
＝1－i.
∴(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i，