复数的定义
复数的基本概念与运算
复数的基本概念与运算复数是数学中一个重要的概念，常用于表示具有实部和虚部的数。
本文将介绍复数的基本概念与运算，并通过几个例子来说明其使用方法和性质。
1. 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数。
一般形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
在复平面上，可以将复数表示为复平面上的一个点，实部a对应横坐标，虚部b对应纵坐标。
2. 复数的加法复数的加法满足交换律和结合律。
对于两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，其和z=z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i。
实际上，复数的加法即是实部和虚部的分别相加。
3. 复数的减法复数的减法也满足交换律和结合律。
对于两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，其差z=z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i。
复数的减法实际上就是实部和虚部的分别相减。
4. 复数的乘法复数的乘法满足交换律和结合律。
对于两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，其积z=z1*z2=(a1*a2-b1*b2)+(a1*b2+a2*b1)i。
复数的乘法即是实部和虚部的线性组合。
5. 复数的除法复数的除法可以通过分子分母同时乘以共轭复数的方式进行。
对于两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，其商z=z1/z2=(a1*a2+b1*b2)/(a2^2+b2^2)+((a2*b1-a1*b2)/(a2^2+b2^2))i。
注意分母不能为0。
6. 复数的共轭复数的共轭即是保持实部不变而虚部取负数的操作。
对于一个复数z=a+bi，其共轭复数为z*=a-bi。
复数和其共轭的乘积等于复数的模的平方。
7. 复数的模复数的模表示复数到原点的距离，也可以看成是复数在复平面上的长度。
对于一个复数z=a+bi，其模|z|等于√(a^2+b^2)。
8. 复数的幂运算复数的幂运算与实数的幂运算类似，可以通过指数的乘法法则进行计算。
对于一个复数z=a+bi和正整数n，其幂运算z^n等于以z为边长的正n角形所对应的复数。
复数的定义与四则运算法则
复数的定义与四则运算法则复数是数学中的一种特殊数形式，由实部和虚部组成。
实部通常用实数表示，而虚部通常以虚数单位 i 表示。
复数的一般表示形式为 a + bi，其中 a 表示实部，b 表示虚部。
一、复数的定义复数的定义是通过引入虚数单位 i 而获得的。
虚数单位 i 的定义是i^2 = -1。
根据这个定义，我们可以得出两个重要的结论：i 的平方等于-1，而 -1 的平方根是 i。
二、虚数与实数虚数是指虚部不为零的复数。
当虚部 b 不为零时，复数 a + bi 称为虚数。
实部为零，即虚部 b 不为零时，复数 a + bi 称为纯虚数。
与实数不同的是，虚数和纯虚数在实轴上没有对应的点。
三、四则运算法则1. 加法法则：复数的加法满足交换律和结合律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的和为 (a + c) + (b + d)i。
2. 减法法则：复数的减法也满足交换律和结合律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的差为 (a - c) + (b - d)i。
3. 乘法法则：复数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di，它们的乘积为 (ac - bd) + (ad + bc)i。
4. 除法法则：复数的除法也满足交换律、结合律和分配律。
对于两个复数 a + bi 和 c + di（其中 c + di 不等于 0），它们的商为 [(ac + bd)/(c^2 + d^2)] + [(bc - ad)/(c^2 + d^2)]i。
四、共轭复数对于复数 a + bi，其中 a 表示实部，b 表示虚部。
那么复数 a - bi 称为其共轭复数。
共轭复数的一个重要性质是，两个复数的乘积的虚部为零。
五、复数的绝对值复数 a + bi 的绝对值等于它的模长，记作 |a + bi|，定义为 |a + bi| = √(a^2 + b^2)。
复数的模长是一个非负实数。
复数的知识点总结
复数的知识点总结复数是数学中的一个重要概念，它表示数量不止一个的情况。
在复数中，有实部和虚部两个部分，可以用数学形式表示为a+bi。
其中a是实部，bi是虚部，i表示虚数单位。
下面将从复数的定义、复数的运算、复数的表示形式以及复数的应用等方面进行总结。
一、复数的定义复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a和b 都是实数，i表示虚数单位，i满足i^2=-1。
实部表示复数在实数轴上的位置，虚部则表示复数在虚数轴上的位置。
通过复数，可以扩展实数系到复数系，使得一些无法用实数表示的数也能够得到解释。
二、复数的运算1. 复数的加减法：实部和虚部分别相加或相减。
2. 复数的乘法：按照分配律和虚数单位的性质相乘。
3. 复数的除法：先将分母有理化为实数，再按照分配律相除。
需要注意的是，复数的运算遵循交换律、结合律和分配律，与实数的运算相似。
三、复数的表示形式1. 算术形式：a+bi，其中a和b都是实数。
2. 指数形式：re^(iθ)，其中r是复数的模，θ是复数的幅角。
四、复数的应用1. 电路分析：在电路分析中，很多情况下需要使用复数来表示电流和电压等物理量，特别是交流电路。
2. 信号处理：复数可以方便地表示信号的频率和相位，对于信号处理和调制等领域具有广泛的应用。
3. 物理学：在波动光学和量子力学等物理学领域，复数也起到了非常重要的作用。
4. 工程计算：在求解二次方程及其特征值、求解导数和积分等数学问题中，复数都有重要的应用。
总结：复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式。
复数的运算包括加减法、乘法和除法，与实数的运算相似。
复数可以用算术形式和指数形式表示。
复数的应用广泛，包括电路分析、信号处理、物理学和工程计算等领域。
深入理解复数的概念和运算规则，对于进一步学习和应用数学和物理学等学科都具有重要的意义。
完整版)复数的定义
完整版)复数的定义第十四章复数一、复数的概念1.虚数单位：i规定：（1）i²= -1；（2）虚数单位i，可以与实数进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立。
2.复数：形如a+bi，a∈R，b∈R的数叫做复数，a叫实部，b叫虚部。
3.复数集：所有复数构成的集合，复数集C={x|x=a+bi。
a∈R。
b∈R}。
4.分类：b=0时为实数；b≠0时为虚数，a=0,b≠0时为纯虚数，且R∪C。
5.两个复数相等：a+bi=c+di ⇔ a=c且b=d(a,b,c,d∈R)。
例1：下面五个命题①3+4i比2+4i大；②复数3-2i的实部为3，虚部为-2i；③Z1，Z2为复数，Z1-Z2>0，那么Z1>Z2；④两个复数互为共轭复数，则其和为实数；⑤两个复数相等：a+bi=c+di ⇔ a=c且b=d(a,b,c,d∈R)。
例2：已知：Z=(m+1)+(m-1)i，m∈R，求Z为（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数时，求m的值。
例3：已知x²+y²-2i=6+(y-x)i，求实数x,y的值。
二、复数的几何意义Z=a+bi，a∈R，b∈R，与点(a,b)一一对应。
1.复平面：x轴叫实轴；y轴叫虚轴。
x轴上点为实数，y 轴上除原点外的点为纯虚数。
2.Z=a+bi；连接点(a,b)与原点，得到向量OZ，点Z(a,b)，向量OZ，Z=a+bi之间一一对应。
3.模：Z=a+bi=OZ=√(a²+b²)。
注：Z的几何意义：令Z=x+yi(x,y∈R)，则Z=√(x²+y²)，由此可知表示复数Z的点到原点的距离就是Z的几何意义；Z1-Z2的几何意义是复平面内表示复数Z1，Z2的两点之间的距离。
三、复数的四则运算Z1=a+bi，Z2=c+di，a,b,c,d∈R。
1.加减法：Z1+Z2=(a+c)+(b+d)i；Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i即实部与实部，虚部与虚部分别相加减。
复数的考点知识点归纳总结
复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。
本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。
一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。
3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。
4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。
5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。
6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。
三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。
2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。
3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。
复数的知识点总结
复数的知识点总结复数是数学中一个重要的概念，它扩展了实数系统，允许我们处理平方根为负数的情况。
以下是复数的知识点总结：1. 复数的定义：复数是实数和虚数的组合，通常表示为a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
2. 复数的分类：- 实数：当b=0时，复数a+bi退化为实数a。
- 纯虚数：当a=0时，复数a+bi被称为纯虚数bi。
- 复数：当a和b都不为0时，a+bi是一个完整的复数。
3. 复数的表示：- 代数形式：a+bi，其中a是实部，b是虚部。
- 极坐标形式：r(cosθ + isinθ)，其中r是模，θ是幅角。
- 指数形式：r(cosθ + isinθ) = re^(iθ)。
4. 复数的四则运算：- 加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i- 减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i- 乘法：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i- 除法：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd) / (c^2+d^2)] + [(bc-ad) / (c^2+d^2)]i5. 复数的共轭：对于复数a+bi，其共轭为a-bi，记作a+bi*。
6. 复数的模：复数a+bi的模是|a+bi| = √(a^2+b^2)，表示复数在复平面上到原点的距离。
7. 复数的幅角：复数a+bi的幅角是θ，满足tanθ = b/a，且θ的取值范围通常在[0, 2π)。
8. 复数的极坐标表示：复数可以表示为极坐标形式r(cosθ +isinθ)，其中r是模，θ是幅角。
9. 复数的指数形式：复数的指数形式是re^(iθ)，其中r是模，θ是幅角。
10. 复数的代数基本定理：任何非零复数都可以分解为若干个线性因子的乘积。
11. 复数的解析函数：在复数域上，如果一个函数在某区域内处处可导，则该函数在该区域内是解析的。
高中数学复数知识点总结
高中数学复数知识点总结1. 复数的定义复数是由实数和虚数单位i（i²=-1）组成的数，一般形式为a+bi，其中a和b都是实数。
实数部分a称为复数的实部，虚数部分b称为复数的虚部。
2. 复数的加法复数的加法和实数的加法类似，即把实部相加，虚部相加，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
3. 复数的减法复数的减法也和实数的减法类似，即把实部相减，虚部相减，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
4. 复数的乘法复数的乘法是通过分配律展开计算的，即(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=ac+(ad+bc)i+bd(-1)=ac-bd+(ad+bc)i。
5. 复数的除法复数的除法需要进行有理化处理，即分子和分母都乘以分母的共轭形式，然后进行化简，最终得到结果。
例如，(a+bi)/(c+di)的结果为[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
6. 复数的模复数z=a+bi的模记为|z|，它表示复数到原点的距离，它的计算公式为|a+bi| = √(a²+b²)。
7. 复数的共轭复数z=a+bi的共轭记为z，它表示实部不变，虚部相反数的复数，即z=a-bi。
8. 复数的极坐标形式复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ=arctan(b/a)。
9. 复数的三角形式复数z=r(cosθ+isinθ)的三角形式表示为z=r∙e^(iθ)，其中e^(iθ)=cosθ+isinθ，称为欧拉公式。
10. 复数的指数形式复数z=r∙e^(iθ)的指数形式表示为z=r∙exp(iθ)，其中exp表示自然底数e的指数函数。
11. 复数的乘方复数的乘方可以通过三角形式或指数形式进行计算，即z^n = |z|^n∙(cos(nθ)+isin(nθ))或z^n = |z|^n∙exp(inθ)。
复数的有关概念
复数的相关概念引言复数是数学中的一种扩展形式，可以表示实数范围之外的数字。
它由实部和虚部组成，并且遵循特定的运算规则。
本文将介绍复数的定义、表示法、运算法则以及它在实际应用中的相关概念。
一、复数的定义复数是指由实部和虚部组成的数。
实部是一个实数，虚部是一个带有虚单位i的实数。
复数可以表示为a + bi，其中a是实部，b是虚部。
二、复数的表示法复数有多种表示法，常见的有直角坐标表示法和极坐标表示法。
1. 直角坐标表示法在直角坐标系中，一个复数被表示为一个有序实数对(a, b)。
其中，a是实部，b是虚部。
该表示法可以将复数视为复平面上的点，其中a沿着实轴表示，b沿着虚轴表示。
2. 极坐标表示法在极坐标系中，一个复数可以被表示为一个模和一个辐角的有序实数对(r, θ)。
其中，r是复数的模，表示复数与原点的距离；θ是辐角，表示复数与正实轴之间的夹角。
该表示法可以将复数视为复平面上的向量。
三、复数的运算法则复数的运算法则基于实数的运算法则，并额外考虑了虚部之间的运算。
1. 加法和减法复数的加法和减法遵循实部和虚部分别相加或相减的原则。
例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d均为实数，则有z1 + z2 = (a + c) + (b +d)i，z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i。
复数的乘法涉及到实部和虚部之间的相乘。
例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，则有z1 z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i*。
3. 除法复数的除法涉及到实部和虚部的除法运算。
例如，对于复数z1 = a + bi和z2 = c + di，则有z1 / z2 = ( (ac + bd) / (c^2 + d^2) ) + ( (bc - ad) / (c^2 + d^2) )i。
四、复数的相关概念1. 共轭复数共轭复数指的是虚部符号相反的复数。
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第十四章 复数
一 、复数的概念
1. 虚数单位：i 规定：（1）21i =-；（2）虚数单位i ，可以与实数进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立。
2. 复数:形如a bi +，,a R b R ∈∈的数叫做复数，a 叫实部，b 叫虚部。
3. 复数集：所有复数构成的集合，复数集{},,C x x a bi a R b R ==+∈∈.
4. 分类：0b =时为实数；0b ≠时为虚数，0,0a b =≠时为纯虚数，且R
C . 5. 两个复数相等：a bi c di a c +=+⇔=且(,,,)b d a b c d R =∈
例1 下面五个命题
①34i +比24i +大； ②复数32i -的实部为3，虚部为2i -； ③1Z ,2Z 为复数，120Z Z ->，那么12Z Z >；④两个复数互为共轭复数，则其和为实数； ⑤两个复数相等：a bi c di a c +=+⇔=且(,,,)b d a b c d R =∈. 例2 已知：(1)(1),Z m m i m R =++-∈求Z 为（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数时，求m 的值。
例3 已知2226()x y i y x i +-=+-，求实数,x y 的值。
二 、复数的几何意义：,,,Z a bi a R b R =+∈∈与点(,)a b 一一对应。
1.复平面：x 轴叫实轴；y 轴叫虚轴。
x 轴上点为实数，y 轴上除原点外的点为纯虚数。
2.Z a bi =+；连接点(,)a b 与原点，得到向量OZ ,点(,)Z a b ，向量OZ ，Z a bi =+之间一一对应。
3.模：2Z a bi OZ a =+==
注：Z 的几何意义：令(,)Z x yi x y R =+∈,则Z =Z 的点到原点的距离就是Z 的几何意义；12Z Z -的几何意义是复平面内表示复数1Z ，2Z 的两点之间的距离。
三、复数的四则运算：12,,,,,Z a bi Z c di a b c d R =+=+∈
1.加减法：12()()Z Z a c b d i +=+++；12()()Z Z a c b d i -=-+-
即实部与实部，虚部与虚部分别相加减
2.乘法：12()()()()Z Z a bi c di ac bd ad bc i •=++=-++
即：按多项式乘法展开，把2i 化为1-后，合并同类项。
3.除法：22
()()()()()()c di c di a bi ac bd ad bc i a bi a bi a bi a b ++-++-==++-+。
四、共轭复数：a bi +与a bi -互为共轭复数，Z 的共轭复数记作Z . 1.Z Z Z =⇔是实数； 2.2Z Z Z =
练 习
1.设(12)()i a i ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ）
A.-3
B.-2
C.2
D.3
2.若43,Z Z i Z
=+=则( ) A.1 B.-1 C.43
55i + D.4355i -
3.若复数Z 满足1Z i i
=-，其中i 为虚数单位，则Z =（ ） A.1i - B.1i + C.1i -- D.1i -+
4.设
11Z i i =++，则Z =（ ）
A.1
2 B.
25.设i 是虚数单位，复数321i i i
++=（ ） A.i - B.i C.-1 D.1
6.已知复数(2)(2)5Z i i --=，则Z =（ ）
A.23i +
B.23i -
C.32i +
D.32i -
7.在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8.若复数Z 满足24iZ i =+，则在复平面内，Z 对应的点的坐标是（ ）
A.（2,4）
B.(2，-4)
C.(4，-2)
D.(4,2)
9.若复数Z 满足(34)43i Z i -=+，则Z 的虚部为（ ） A.-4 B.45- C.4 D.45
10.已知集合{}1,2,M Zi =，i 为虚数单位，{}{}3,4,4N M N =⋂=,则复数
Z =( )
A.2i -
B. 2i
C.4i -
D.4i
11.设,,a b R i ∈是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i
+为纯虚数”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
12.若复数
63ai i +-。
（其中,a R i ∈为虚数单位）的屎部与虚部相等，则a =（ ）
A.3
B.6
C.4
D.12
13.若复数3(,12a i a R i i +∈+为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ） A.-6 B.-2 C.4 D.6
14.若复数Z 满足20152016(1Z i i i i
=++为虚数单位），则复数Z =（ ） A.1 B.2 C.i D.2i
15. 已知复数2320151i i i i Z i
+++⋅⋅⋅+=+，则复数Z 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
16. 复数3412i Z i
+=-（其中i 是虚数单位），则复数Z 的共轭复数Z =( )
A. 12i --
B.12i -+
C.12i +
D.12i -。