复数的概念

知识引入
我们已知知道： 我们已知知道： 对于一元二次方程 没有实数根． x + 1 = 0 没有实数根．
2
x = −1
2
思考？ 思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的 我们能否将实数集进行扩充， 数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 数集中，该问题能得到圆满解决呢？
引入一个新数： 引入一个新数：
i
a b
建立了平面直角 坐标系来表示复数的 复数平面 平面 ------复数平面 (简称复平面 简称复平面 简称复平面)
x
o
x轴------实轴 轴 实轴 y轴------虚轴 轴 虚轴
特别注意：虚轴不包括原点。 特别注意：虚轴不包括原点。
用复平面内点表示复数(每个小方格的 例2:用复平面内点表示复数 每个小方格的 用复平面内点表示复数 边长是1)： 0. 边长是 ：3-2i, 3i, -3,
x, y 的值。 的值。
解：根据共轭复数的定义，得方程组 根据共轭复数的定义，
x + 1 = 3x − 1 y = −2
解得
x = 1, y = −2
练习
1.已知 (2x-1) + i = y -(3-y)i ,其中 x , y ∈R,求 x 与 y . 已知 其中 求
2x −1 = y 1 = −(3 − y)
若a, b, c, d ∈ R,
a = c a + bi = c + di ⇔ b = d
= y − ( 3 − y )i ，其中x , y ∈ R
例4 已知 ( 2 x − 1) + i 求 x与y . 与
解：根据复数相等的定义，得方程组 根据复数相等的定义，
2 x − 1 = y 1 = −( 3 − y )
y
B x C O A
y
例3:说出 说出 图中复平 面内点所 表示的复 数(每个小 每个小 方格的边 长是1) 长是
A C
-8+6i
6+7i
B
-6
O D
x
-3i
E
2-7i
如果两个复数的实部 虚部分别相等， 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那 实部和 分别相等 么我们就说这两个复数相等 复数相等． 么我们就说这两个复数相等．
a = c = c + di ⇔ b = d
虚部
其中
称为虚数单位 虚数单位。 i 称为虚数单位。
(1)当b=0时，a+bi就是实数 如：1，2.5，-1/2 当 就是实数 时 就是实数， ， ， (2)当 虚数， (2)当b≠0时，a+bi是虚数 (含虚数单位i) 时 虚数
如：
−i
−2+
3 i 2
2i
1+ i
如： − i
(3)其中 其中a=0且b≠0时称为纯虚数。 时称为纯虚数 其中 且 时称为纯虚数。
时，复数z 是虚数． 复数 是虚数．
m − 1 ≠ 0
2
即 纯虚数． 纯虚数．
复数z m = −1时，复数 是
练习: 练习:当m为何实数时，复数 为何实数时，
Z = m + m − 2 + (m − 1)i
2
是 （1）实数
（2）虚数
（3）纯虚数
有序实数对(a,b) 有序实数对
一一对应
复数z=a+bi 直角坐标系中的点Z(a,b) 复数 直角坐标系中的点 （数）复数的一个几何意义 （形） y z=a+bi Z(a,b)
2i
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数， 1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚 说明下列数中 并指出复数的实部与虚部。 数，并指出复数的实部与虚部。
2+ 7
实数 −
3 i 纯虚数
3− 9 2i
2i − 1
虚数
i
2 实数
i 1− 3
(
) 纯虚数
虚数
2、判断下列命题是否正确： 判断下列命题是否正确： 时不成立 （1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数 错误，当b=0时不成立 为实数， Z=a+bi为虚数 错误， 时不成立 为实数， Z=bi必为纯虚数 错误， （2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数 错误，当b=0时不成立 （3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数 正确 a一定不是虚数 为实数，
数系的扩充与复数的概念
数系的扩充数程 . ① 分数 分数
自然数 ② 整数
负数
有理数 实数 ③ 无理数
①分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。 分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。 ②负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。 负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。 ③无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。 无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。 ④在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数， 在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数， 才能解决这个矛盾呢？ 才能解决这个矛盾呢？满足 Nhomakorabeai = −1
2
复数的概念
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位， 叫做虚数单位， 并且规定： 并且规定： （1）i2=−1； ） =−1 进行四则运算， （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运 ） 算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、 合率和分配率)仍然成立。 合率和分配率)仍然成立。
5 解得 x = , y = 4 2
共轭复数
定义：实部相等， 定义：实部相等，虚部互为相反数的 两个复数为共轭复数。 两个复数为共轭复数。
即 如
例5 若
复数a+bi与a-bi互为共轭复数。 与 互为共轭复数。 复数 互为共轭复数
3 + 5i与3 − 5i 3i与 − 3i ( x + 1) + yi 和 (3x − 1) + 2i 是共轭复数，求实数 是共轭复数，
2x −1 = y 1 = 3 − y
x = 2, y = 2
1.虚数单位 的引入 1.虚数单位i的引入； 虚数单位 的引入； 2.复数有关概念： 2.复数有关概念： 复数有关概念
复数的代数形式: 复数的代数形式: z = a + bi (a ∈ R, b ∈ R) 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 虚数、 复数相等 a + bi
例1 实数m取什么值时，复数 实数m取什么值时，
z = m + 1 + ( m − 1)i
复数z 是实数． m = 1时，复数 是实数．
m ≠1
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ 实数？ 虚数？ 纯虚数？
解: （1）当 m − 1 = 0，即 ） （2）当 m − 1 ≠ 0 ，即 ） （3）当 m + 1 = 0 ）
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数 ∈ 的数叫做复数 的数叫做复数. 形如
全体复数所形成的集合叫做复数集 复数集， 全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字 母C表示 .
复数的代数形式： 复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即 表示，
z = a + bi (a ∈ R, b ∈ R)
实部
注意： 注意：
5 x= ,y =4 2
2.已知 x+2y-5 + (x-y+1)i =0,求实数 x 与 y 的值 已知 的值. 求实数 =1 2y x =1 x + 2y − 5 = 0 y = 2 x − y +1 = 0 3.已知 (2x-1) + i 与 y -(3-y)i ,其中 x , y ∈R,求 x 与 y . 已知 其中 求