复数的概念1
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第一章复变函数
z z 0 r0
为闭区域
（三）复变函数例 1. 多项式
a 0 a1 z a 2 z a n z
2
n
( n 为整数 )
2. 有理分式
a 0 a1 z a 2 z b 0 b1 z b 2 z
2
anz bm z
n m
2
( m 和 n 为整数 )
(e
z
iz
e
z
),
cos z ch z 1 2
1 2
(e
z
iz
e
z
iz
)
(e e
),
(e e
)
ln z ln(| z | e z
s
i Arg z
) ln | z | i Arg z
e
s ln z
( s 为复数 )
sh同sinh，双曲正弦 (hyperbolic sine) ch同cosh, 双曲余弦 (hyperbolic cosine)
全体复数与平面上的点一一对应
y
cos =|z|
•
z=x+iy (x,y) (,)
/2-
复数平面
sin cos(/2-) x
o
z1=x1+i y1 ，z2=x2+i y2，如z1=z2，则x1=x2， y1 = y2
2) 极坐标表示 利用坐标变换:
y arctan 2 2 x 0 2
例5. 指数函数
2 i sin e
i
sin
e 2i
- i
5
3. 辐角主值: 辐角 = Arg
为闭区域
（三）复变函数例 1. 多项式
a 0 a1 z a 2 z a n z
2
n
( n 为整数 )
2. 有理分式
a 0 a1 z a 2 z b 0 b1 z b 2 z
2
anz bm z
n m
2
( m 和 n 为整数 )
(e
z
iz
e
z
),
cos z ch z 1 2
1 2
(e
z
iz
e
z
iz
)
(e e
),
(e e
)
ln z ln(| z | e z
s
i Arg z
) ln | z | i Arg z
e
s ln z
( s 为复数 )
sh同sinh，双曲正弦 (hyperbolic sine) ch同cosh, 双曲余弦 (hyperbolic cosine)
全体复数与平面上的点一一对应
y
cos =|z|
•
z=x+iy (x,y) (,)
/2-
复数平面
sin cos(/2-) x
o
z1=x1+i y1 ，z2=x2+i y2，如z1=z2，则x1=x2， y1 = y2
2) 极坐标表示 利用坐标变换:
y arctan 2 2 x 0 2
例5. 指数函数
2 i sin e
i
sin
e 2i
- i
5
3. 辐角主值: 辐角 = Arg
001第1讲 _共轭复数
3 1 Re( z ) , Im( z ) , 2 2
3 1 5 . 2 2 z z Re( z ) Im( z ) 2 2 2
2
2
23
共轭复数的性质
z z (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; 1 1 ; z2 z2
证
z1 z2 z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) 2( x1 x2 y1 y2 ) 2 Re( z1 z2 ).
我们称 N 为北极, S 为南极.
x
S O
y
17
虚数单位的特性:
i 1 i;
4 2 2
i 2 1;
i 3 i i 2 i; i 5 i 4 i 1 i; i 7 i 4 i 3 i;
……
i i i 1; i 6 i 4 i 2 1;
11
4.复数的乘幂与方根
1) 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
若 z1 r1 (cos1 i sin1） ,
z2 r2 (cos 2 i sin 2） ,
则有
z1 z2 r1 r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )] Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz . 当 z 0 时, z 0, 而辐角不确定 .
3 1 5 . 2 2 z z Re( z ) Im( z ) 2 2 2
2
2
23
共轭复数的性质
z z (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; 1 1 ; z2 z2
证
z1 z2 z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) 2( x1 x2 y1 y2 ) 2 Re( z1 z2 ).
我们称 N 为北极, S 为南极.
x
S O
y
17
虚数单位的特性:
i 1 i;
4 2 2
i 2 1;
i 3 i i 2 i; i 5 i 4 i 1 i; i 7 i 4 i 3 i;
……
i i i 1; i 6 i 4 i 2 1;
11
4.复数的乘幂与方根
1) 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
若 z1 r1 (cos1 i sin1） ,
z2 r2 (cos 2 i sin 2） ,
则有
z1 z2 r1 r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )] Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
z 的向量OP 为终边的角的弧度数 称为 z 的辐角, 记作 Argz . 当 z 0 时, z 0, 而辐角不确定 .
复数知识点归纳(一)2024
复数知识点归纳（一）引言概述：复数是数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用。
本文将要介绍复数的一些重要知识点，包括复数的定义、复数的表示形式、复数的运算规则、复数的性质以及复数在实际应用中的应用场景。
正文：1. 复数的定义：- 复数是由一个实部和一个虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式。
- 实部和虚部分别由实数a和b来表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
2. 复数的表示形式：- 矩形形式：复数可以用直角坐标系中的点来表示，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标，形成一个复平面。
- 极坐标形式：复数可以用极坐标表示，即用模和幅角来表示。
3. 复数的运算规则：- 加法和减法：复数相加减时，实部和虚部分别进行运算。
- 乘法和除法：复数相乘除时，可以使用矩阵形式进行运算，实部和虚部分别进行运算。
- 幂运算：复数的幂运算可以通过将复数转化为极坐标形式来简化运算。
4. 复数的性质：- 共轭复数：一个复数的共轭复数是将该复数的虚部取负数得到的复数。
- 模和幅角：一个复数的模是其在复平面上到原点的距离，幅角是与x轴正向的夹角。
- 相等和不等式：两个复数相等的条件是实部和虚部分别相等，两个复数的大小可以通过比较它们的模的大小来确定。
5. 复数的应用场景：- 电路分析：复数可以表示交流电压和交流电流，用于描述电路中电压和电流的相位关系。
- 信号处理：复数可以用于描述信号的频谱分析，在数字信号处理中有着重要应用。
- 工程计算：在工程中经常需要处理复杂的计算问题，复数可以简化计算过程。
总结：复数是一个由实部和虚部组成的数，可以用矩形形式和极坐标形式进行表示。
复数的运算包括加减法、乘除法和幂运算，具有一些重要的性质如共轭复数、模和幅角。
复数在实际应用中有广泛的应用场景，包括电路分析、信号处理和工程计算等。
深入理解和掌握复数知识，将对数学和工程领域的学习与应用产生积极的影响。
复变函数-第一章-复数与复变函数
y
28
1 i
2
q
4
w0
r 2
q 2k
n i sin
w2
q 2k
n )
o
w3
x
wk n r (cos
16
例 2. 求
4
-1
解 : 1 cos i sin
4
1 cos
2k
4
i sin
2k
4
, (k 0,1,2,3).
z1
z2
z0 内点
P
D-区域
(6) 连通 D中任意两点可用一条全在D
中的曲线连接起来。
21
外点
z1
z2
z0 内点
P
(7) 区域
连通的开集.
D-区域
区域D与它的边界一起构成闭区域, 或闭域. D
22
(8) 有界区域 如果存在正数M，使得对于一切D中的点z， z M, 有 则称 D为有界区域,否则称为无界区域。 例如
设 w e , 由w z , 有 ne in re iq ,
i n
则 n r , n q 2k
(k为整数 ).
即 w = n z = n re
r (cos
n
i
θ + 2 kπ n
，
q 2k
n )
q 2k
n
i sin
(k为整数).
14
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
z. 共轭 x iy为x iy的共轭复数，记为
注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同； (2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数； (3)实部为0，虚部不为0，为纯虚数。
复数的概念1
因生产和科学发展的需要而逐步扩充， 数集的每一次扩充，对数学学科本身来
说，也解决了在原有数集中某种运算不
是永远可以实施的矛盾，分数解决了在
整数集中不能整除的矛盾，负数解决了
在正有理数集中不够减的矛盾，无理数 解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩 到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还
是无解的，因为没有一个实数的平方等 于－1.由于解方程的需要，人们引入了一 个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了 复数
x满足( )
A.x=－D.x12≠1B且.xx=≠－－22或－
1 2
C.x≠－2
3.已知集合M=｛1，2，(m2－3m－1)+(m2－ 5m－6)i｝，集合P=｛－1，3｝.M∩P=｛3｝， 则实数m的值为( )
A.－1 B.－1或4 C.6 D.6或－1
4.满足方程x2－2x－3+(9y2－6y+1)i=0的实数 对(x，y)表示的点的个数是______.
5.复数z=a+｜b｜i，z’=c+｜d｜i(a、b、c、 d∈R)，则z=z’的充要条件是______.
6.设复数z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)， 如果z是纯虚数，求m的值.
7.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根， 试求实数m的值.
古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。
返回
无理数
为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理
量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要 引进
无理数。约在公元前530，毕达哥拉斯学派已知道边长为1的
正方形的对角线的长度（即 2）不能是有理数。 15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它
复变函数第一章
Re z 0表 示 右 半 复 平 面 , Im z 0表 示 下 半 复 平 面 .
复数z x iy可用平面上坐标为 ( x，y )的点P表示.
x轴 — 实 轴 y轴 — 虚 轴 此时， 平 面— 复 平 面 或 z平 面
点的表示：z x iy 复平面上的点 P( x，y )
数z与点z同义.
2. 向量表示法
z x iy 点P ( x，y ) OP { x , y }
z1 5 5i 7i 解: z2 3 4i 5
1 i 例2 : 求 1 i
4
1 i i 1 i
例3.证 明 若 z是 实 系 数 方 程 a n x n a n -1 x n 1 a1 x a 0 0 的 根, 则 z也 是 其 根 . (实 多 项 式 的 零 点 成 对 现 出)
当z落于一,四象限时，不变。
。 当z落于第三象限时，减 。
当z落于第二象限时，加
y arctan 2 x 2
由向量表示法知
z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由 此 得: z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1
y
(z)
z1
的集合称为点 z 0 的δ（去心）邻域 。
记为Ｕ(z0 ,δ) (U ( z0 , )) 即， U ( z0 , ) {z z z0 }
z0
(U ( z0 , ) { z 0 z z0 }) 设G是一平面上点集 内点 对任意z0属于G，若存在Ｕ(z 0 ,δ)， 使该邻 域内的所有点都属于G，则称z 0是G的内点。
《复变函数》第1章
3
3
23
23
arg z
23 6
2019/7/14
《复变函数》(第四版)
第10页
书 P.7
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
解: 1) 1) z 12 2i
2) z sin i cos
5
5
r
12 4 4,
z 4(
12 2 i ) 44
2019/7/14
《复变函数》(第四版)
第3页
(3) 除法: z z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy2 )
z2 x2 iy2 ( x2 iy2 )( x2 iy2 )
x1x2 y1 y2 x22 y22
i
x2 y1 x1 y2 x22 y22
复数的运算满足交换律、结合律和分配律.
(4) 共轭复数性质
i) z1 z2 z1 z2 , ii) z z ;
z1z2 z1 z2 ,
z1 z1 z2 z2
;
iii) z z Re(z)2 Im( z)2 ;
iv) z z 2 Re(z) , z z 2i Im( z) .
4(
3 1 i ). 22
cos 3 ,
2
sin 1
2
5.
6
(或
arctan 2
12
arctan
3
3
5
6
∴
∵ z 在第三象限 ) 三角式: z 4[cos(
5
)
i
sin(
复变函数与积分变换(第一章)
z1z2 r1ei1 r2ei2 r1r2ei (1 2 ) .
z1z2 rr 1 2 z1 z2
Arg( z1 z2 ) Argz1 Argz2 .
两个复数相乘，积的模等于各复 数的模的积，积的幅角等于这两 个复数的幅角的和.
z1z2 rr 1 2 z1 z2
(6)简单曲线、光滑曲线
设x(t)和y(t)是实变量t的两个实函数，它们在闭区 间[,]上连续，则由方程组 x x(t ) y y(t ) 或由复值函数 z (t ) x(t ) iy(t ) 定义的集合称为复平面上的一条曲线，上述方程称为 曲线的参数方程.点A=z() 和B=z()分别称为曲线的 起点和终点.如果当 t1 , t2 [ , ], t1 t2 时，有 z(t1 ) z(t2 ) ， 称曲线为简单曲线，也称为约当(Jordan)曲线. z ( ) z ( ) 的简单曲线称为简单闭曲线.
3 i 2eiπ / 6
复数乘法的几何意义
z1 r1 (cos1 i sin 1 ), z2 r2 (cos2 i sin 2 ).
z1 z2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 r2 ((cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) i(sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 )) r1r2 (cos(1 2 ) i sin(2 2 ))
a 0, ； (3) a ，则 a
a (4) a 0 ，则 ； 0
(5) , 的实部、虚部、幅角都无意义； (6)为了避免和算术定律相矛盾，对
0 , 0 , , 0
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纤云弄巧，飞星传恨，银汉迢迢暗度。金风玉露一相逢，便胜却人间无数。柔情似水，佳期如梦，忍顾鹊桥归路。两情若是长久时，又岂在朝朝暮暮。秦少游、苏小妹的爱情故事，虽历经夜夜明月今何 在，不把桂影投，关关雎鸠恨悠悠，一般苦，两样愁的一破三折，最终以两情相悦的圆满结局而告终。比特币 / 天阶夜色凉如水，卧看牵牛织女星。在月色如镜的夜晚，常常对着遥远的夜空，眼望繁星点点，细数流年心结，遥想望穿秋水的鹊桥相会，牛郎织女相见时该是相拥而泣，还是相对无言？该是嘘寒问暖， 还是顾影自怜？ 有人说，黄昏时分最易让人感伤怀旧，特别是细雨如绵时。每每此时一人独处，一丝莫名的感伤便会从心灵柔弱处飘然而至，因此，便有了李清照的满地黄花堆积，憔悴损，如今有谁堪摘？守著窗儿， 独自怎生得黑？梧桐更兼细雨，到黄昏，点点滴滴，这次第，怎一个，愁字了地？的凄惨落寞的心境。 迎着这初夏温润尤寒的晚风，望着一轮如钩的新月，心底便会韵润出一丝遐想。多想驾着这艘弯弯的小船，抛开世俗的烦忧，远离喧嚣的红尘，踏着梦想的节拍，游弋到渺无人烟的僻静之地，让一袭尚 存的红颜，在淡泊宁静中渐渐老去，直至生命的钟摆停息。 楼上黄昏欲望休，玉梯横绝月如钩。芭蕉不展丁香结，同向春风各自愁。心绪在文字中凝结，情感在墨香里释放，是喜？是悲？是乐？是叹？抑或是温馨而蕴含凄美的夏韵？
烟雨迷蒙的三月间，春雨绵绵，濡湿了沉郁ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ心情，沉沉的，却又空空的，于是便日日期盼春阳的抚摸，期盼春风的轻拂。
烟雨迷蒙的三月间，春雨绵绵，濡湿了沉郁ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ心情，沉沉的，却又空空的，于是便日日期盼春阳的抚摸，期盼春风的轻拂。